2015-2016学年高中数学 第2章 3.2平面向量基本定理课件 北师大版必修4

)
→ → → → 3．若D在△ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则 3r＋s＝( 16 A． 5 8 C．5 ) 12 B． 5 4 D．5
[答案] C
→ 4→ 4→ 4→ [解析] 由题意得CD＝5CB＝5AB－5AC， 4 4 8 ∴r＝5，s＝－5，∴3r＋s＝5.
4．已知向量a与b的夹角是45°，则向量2a与－b的夹角是 ________． [答案] 135° 5．设e1，e2是平面的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋ e2，则e1＋e2＝________a＋________b． 2 1 [答案] 3 －3 a＝e1＋2e2， [解析] 由方程组 b＝－e1＋e2，
A．①② C．①④
B．①③ D．③④
[答案] B
[规范解答] → → → → ①AD与AB不共线；②DA＝－BC，
→ → → → ∴DA∥BC，即DA与BC共线； → → → → ③CA与DC不共线；④OD＝－OB， → → → → ∴OD∥OB，即OD与OB共线． 由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基 底．
平面向量基本定理及其应用 用向量法证明三角形的三条中线交于一点． [思路分析] 解决本题有两个关键点：一是由题意证明三 线交于一点，需先明确要用同一法；二是利用向量证明两点重
合的方法是构造以同一点为起点这两点为终点的两向量相等，
从而得这两点重合．
[证明] 如右图，设D、E、F分别是△ABC的三边BC、 AC、AB的中点， → → 以AC＝a，BC＝b为基底， 1 → → → 则 AB ＝a－b， AD ＝a－ 2 b， BE ＝－ 1 2a＋b， → → → → 设AD与BE相交于点G1，且 AG1 ＝λ AD ， BG1 ＝μ BE (λ，μ∈ R)，
呢？ 根据物理知识，力 F 可以分解为力 F1 和力 F2 ，即 F ＝ F1 ＋ F2.事实上力的分解与合成就是应用了平行四边形法则，所以其
他向量也可以用平行四边形法则来分解或合成．
平面上不共线的两个向量都可以作为一组基底，用这个基 底的线性运算可以表示平面上的任意向量，这就是本节要学习 的平面向量基本定理．
C．－e1－2e2与2e1＋4e2 D．e1－2e2与2e1－e2
[答案] D [解析] 根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基 底，易知选D．
2．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则( A．a＝0，b＝0 C．λ＝0，b＝0 [答案] B [解析] 由平面向量基本定理可知λ＝μ＝0，选B． B．λ＝μ＝0 D．a＝0，μ＝0
[规律总结]
构造三角形、平行四边形利用向量加法、减
法把所求向量与已知向量联系起来．
如图，在▱ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知 → → → → AM＝c，AN＝d，试用c、d表示AB和AD.
→ → [解析] 设 AB ＝a， AD ＝b，则由M、N分别为DC、BC的 → 1 → 1 中点可得：BN＝2b，DM＝2A． 1 → → → AD＋DM＝AM，即b＋2a＝c．① 1 → → → AB＋BN＝AN，即a＋2b＝d．② 2 2 由①②可得a＝3(2d－c)，b＝3(2c－d)， → 2 → 2 即AB＝3(2d－c)，AD＝3(2c－d)．
[错解] B
[ 辨析 ] 若 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2 则这样的 a 只能与 e1 ， e2 在同一平 面内，且λ1，λ2唯一确定． [正解] A [规律总结] 构成的． 解此类题目的关键是要深刻理解平面向量基
本定理，应注意定理中的一组基底是由两个不共线的非零向量
→ → → 而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2 4 λ＝5 λ ＋ 2 μ ＝ 2 ∴ ，解得 3λ＋μ＝3 μ＝3 5 → 4→ 故AP＝5AM，即 AP:PM＝4:1.
，
易错疑难辨析
如果 e1， e2 是平面 α 内所有向量的一组基底， 那 么下列命题正确的是( )
第二章
平面向量
第二章
§3 从速度的倍数到数乘向量
3.2
平面向量基本定理

1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
如右图所示，一盏电灯，可以由电线
CO吊在天花板上，也可以由电线 AO和绳子 BO拉住，所以拉力F起到的效果应与拉力F1
和 F2 共同作用的效果一样，这应如何解释
个定理揭示了任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向 量的线性表示的实质．它不仅提供了向量的几何表示方法，同 时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运 算与代数运算之间的桥梁．
如图，在△ ABC 中，点 M 是 BC 的中点，
点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于 点P，求AP:PM的值．
平面向量基本定理 定理：如果 e1 和e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那
么对于这一平面内的任一向量 a ，存在唯一一对实数 λ1 ， λ2 使 a＝λ1e1＋λ2e2 _______________ ．不共线的向量e ，e 叫作表示这一平面内所
1 2
基底 ． 有向量的一组________
1．已知向量e1，e2不共线，则下列各对向量可以作为平面 内的一组基底的是( A．e1－e2与e2－e1 ) 3 B．2e1－3e2与e1－2e2
λ μ → → 则有AG1＝λa－2b，BG1＝－2a＋μB． μ → → → 又有AG1＝AB＋BG1＝(1－2)a＋(μ－1)b， μ λ＝1－2， ∴ －λ ＝μ－1， 2 → 2→ ∴AG1＝3AD. 2 解得λ＝μ＝3，
→ → 再设AD与CF交于G2， → 2→ 同理求得AG2＝3AD， ∴点G1与点G2重合，即AD、BE、CF相交于一点． ∴三角形三条中线交于一点． [规律总结] 平面向量基本定理是向量法的理论基础，这
→ → [解析] 设BM＝e1，CN＝e2， → → → 则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1， → BN＝2e1＋e2
∵A、P、M 和 B、P、N 分别共线， → → ∴存在实数 λ、μ 使AP＝λAM＝－λe1－3λe2， → → BP＝μBN＝2μe1＋μe2， → → → 故BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
A．若实数 λ1，λ2 使 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＝λ2＝0 B．空间任一向量 a 都可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 λ1， λ 2 ∈R C．λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面 α 内 D． 对于平面 α 内的任一向量 a， 使 a＝λ1e1＋λ2e2 的实数 λ1， λ2 有无数对
量与基底e1，e2的关系进行求解．
[规范解答]
→ → → → → EA＝e1，EF＝e2，∴AF＝EF－EA＝e2－e1.
由已知AD＝2AB＝DE且F为DE中点， → → → ∴AB＝FD＝EF＝e2. → → → → → ∴AD＝ED－EA＝2EF－EA＝2e2－e1， → → BD＝AF＝e2－e1. → → → → ∴AF＝e2－e1，AB＝e2，AD＝2e2－e1，BD＝e2－e1.
[规律总结]
两个向量能否作为基底，关键是看它们是否
共线．此题中的向量是否共线，主要看它们所在的线段是否在 一条直线上或是否平行．
下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为
表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线 向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中 的向量，其中正确的说法是( A．①② C．①③ [答案] B [解析] 两个向量只要不共线，它们就可以作为平面内的 ) B．②③ D．①②③
1 2 e1＝3a－3b， 解得 e2＝1a＋1b. 3 3
2 1 ∴e1＋e2＝3a－3b．
课堂典例讲练
对基底的理解
如下图，设点O是▱ABCD两对角线交点，下列 → → → → → → → → 向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.可 作为该平面其他向量基底的是( )
一组基底，故①错，②③正确．
平面向量的表示
已知四边形ABCD为矩 形，且AD＝2AB，又△ADE为等腰直 → 角三角形，F为ED的中点，EA＝e1， → EF＝e2，取e1，e2作为一组基底，写出 → → → → 下列向量在此基底下的表达式：AF，AB，AD及BD. [思路分析] 利用三角形法则或平行四边形法则找所给向