三角恒等变换思维养成训练

三角恒等变换
一、选择题
1．sin15°cos15°的值是( )
(A )41 (B )21 (C )43 (D )2
3 2．下列各式与cos2α 不相等的是( )
(A )cos 2α －sin 2α (B )2cos 2α －1
(C )1－2sin 2α (D )2sin 2α －1 3．若54)πcos(=-α，α 是第二象限角，则)3
πsin(+α等于( ) (A )53 (B )53- (C )10343- (D )10
343+ 4．函数)3π2cos()6π2sin(+++
=x x y 的最小正周期和最大值分别为( ) (A ) π，1
(B ) π，2 (C )2π，1 (D )2π，2 5．函数x
x x f cos 2cos 1)(-=( ) (A )在]π,2π(),2π,0[上递增，在]π2,2
π3(),2π3,π[上递减 (B )在)2π3,π[),2π,0[上递增，在]π2,2
π3(],π,2π(上递减 (C )在)π2,2π3(],π,2π(上递增，在)2
π3,π[),2π,0[上递减 (D )在)π2,2π3(),2π3,π[上递增，在]π,2
π(),2π,0[上递减 二、填空题 6．已知31sin =
x ，则)4π(2sin x -=______． 7． 15sin 2315cos 2
1+=______． 8．已知)π,2π(∈a ，53sin =
α则)4πtan(+α等于______． 9． 40cos 270tan 10sin 310cos 70tan -+=______．
10．关于函数x x x f 2cos 32sin )(+=(x ∈R )，有下列命题：
①由0)()(21==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍；
②y ＝f (x )的表达式可改写为)6
π
2cos(2)(-=x x f ；
③y ＝f (x )的图象关于点（0,6
π-
）对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线6π-=x 对称． 其中正确的命题的序号是______．
三、解答题
11．已知)π,2π(,55sin ∈=
αα，求下列各式的值． (1)sin2α ；
(2))4πtan(α+．
12．已知π2π0<<<<βα，且13
5)sin(,53cos =+=βαα． (1)求tan α ；
(2)求cos β .
13．已知函数x
x x f cos )4π2sin(21)(--=， (1)求f (x )的定义域；
(2)设α 是第四象限的角，且3
4tan -
=α，求f (α )的值．
14．已知5
1cos sin ,02π=+<<-x x x ． (1)求sin x －cos x 的值； (2)求2cos 2cos 2sin 22sin 322
x x x x +-的值．
15．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，若存在实数m ，n 使得h (x )＝m ·f (x )＋n ·
g (x )，则称h (x )为f (x )、g (x )在R 上生成的函数．
若f (x )＝cos2x ，g (x )＝sin x ．
(1)判断函数y ＝cos x 是否为f (x )，g (x )在R 上生成的函数．并说明理由；
(2)记l (x )为f (x )，g (x )在R 上生成的一个函数，若2)6
π( l ，且l (x )的最大值为4， 求l (x )．
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．A
提示：
5．x x x
x x x x f cos |sin |2cos )sin 21(1cos 2cos 1)(2=--=-=， 当]π,2
π(),2π,0[∈x 时，x x f tan 2)(=， 当]π2,2
3π(),23π,π[∈x 时，x x f tan 2)(-=. 据正切函数的图象可得(A )正确．
二、填空题
6．97 7．22 8．7
1 9．
2 10．②③． 提示：
10．令f (x )＝0，则)3
ππ(21,π3π2-==+k x k x ． ∵0)()(21==x f x f ∴x 1＝)3
ππ(21),3ππ(21221-=-k x k ． ∴π)(2
12121k k x x -=-，当k 1－k 2＝1时，x 1－x 2不是π的整数倍． ∴①不正确，其他选项易判断．
三、解答题
11．答：(1)542sin -
=α；(2) 3
1)4πtan(=+α． 12．略解：(1)由53cos ,2π0=<<αα，所以3
4tan ,54sin ==αα． (2)由π2π,2π0<<<<βα，所以，,13
12)cos(,23π2π-=+<+<βαβα 所以，65
16])cos[(cos -=-+=αβαβ． 13．解：(1)由cos x ≠0得)(2ππZ ∈+=/k k x ，故f (x )的定义域为},2
ππ|{Z ∈+=/k k x x ． (2)因为34tan -=α，且α 是第四象限的角，所以53cos ,54sin =-=αα 故α
αααααααcos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(21cos )4π2sin(21)(+-=--=--=f ⋅=-=-=5
14)sin (cos 2cos cos sin 2cos 22αααααα
14．解：(1)因为51cos sin =+x x ，所以25
12cos sin ,251cos sin 21-==+x x x x 则25
49cos sin 21)cos (sin 2=-=-x x x x ， 又因为02
π<<-x ，所以，sin x ＜0，cos x ＞0， 即sin x －cos x ＜0，故5
7cos sin -=-x x ． (2)2
cos 2cos 2sin 22sin 322x x x x +- 12
cos 2sin 22sin 22+-=x x x ＝2－cos x －sin x
5
9512=-=． 15．解：(1)函数y ＝cos x 不是f (x )、g (x )在R 上生成的函数．
理由：假设函数y ＝cos x 是f (x )、g (x )在R 上生成的函数，
则存在实数m ，n 使得cos x ＝m cos2x ＋n sin x ．
令x ＝0，得1＝m ＋0 ①
令x ＝π，得－1＝m ②
由①②矛盾知，所以函数y ＝cos x 不是f (x )、g (x )在R 上生成的函数．
(2)设l (x )＝a cos2x ＋b sin x (a ，b ∈R )． 则22
121)6π
(=+=b a l ， ∴a ＋b ＝4．
∴l (x )＝a cos2x ＋(4－a )sin x ＝－2a sin 2x ＋(4－a )sin x ＋a ，
∴l (x )＝－2a sin 2x ＋(4－a )sin x ＋a ．
设t ＝sin x ，则函数l (x )可化为：y ＝－2at 2＋(4－a )t ＋a ，t ∈[－1，1]． 当a ＝0时，函数化为：y ＝4t ，t ∈[－1，1]，
∵当t ＝1时，y max ＝4，
∴l (x )＝4sin x 符合题意．
当a ＞0时，函数化为：a a a a
a t a y 8)4()44(22
2-++---=， 当144≥-a a 时，即5
40≤<a 时， ∵当t ＝1时，y max ＝4－2a ，
∴由4－2a ＝4得a ＝0，不符合a ＞0舍去； 当1441<-<-a
a ，即54>a 或34-<a (舍去)时， ∵当a
a t 44-=时，a a a y 8)4(2
m ax -+=，
∴由48)4(2m ax =-+=a a a y ，得a ＝4或9
4=a (舍去)， ∴b ＝0，此时l (x )＝4cos2x 符合题意； 当144-≤-a a 时，即03
4<≤-a 时，不符合a ＞0舍去． 当a ＜0时，函数a a a a a t a y 8)4()44(222-++---=的对称轴,044<-=a
a t ∵当t ＝1时，y max ＝4－2a ，
∴由y max ＝4－2a ＝4得a ＝0，不符合a ＜0舍去；
综上所述，l (x )＝4sin x 或l (x )＝4cos2x .。