选修2-3第一章1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
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增减性：当 k＜ n ＋1 时，二项式系数是逐渐增大的；当 k＞ 2
增减性与 最大值
n＋1 时， 二项式系数是逐渐减小的． 最大值： 当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式 系数的和
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自学导引
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系 相等 ； 数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n． 两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同 吗？ 提示 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
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二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中， 与首末两端 _________的两个二 － n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2． 掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1． 杨辉三角的特点．(难点) 2． 二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
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n 中间一项是第 ＋1 项，它的二项式系数是 Cn2，它是所有二项 2 式系数中的最大值；当 n 是奇数时，(a＋b)n 的展开式共有 n＋ 1 项，n＋1 是偶数，这时展开式的形式是
n
n＋1 n＋3 中间两项是第 ， 项，它们的二项式系数是 Cn 2 2
n＋ 1
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1 解 由图知，数列中的首项是 C2 ，第 2 项是 C 2 2，第 3 项是 1 2 1 C2 3，第 4 项是 C3，„，第 17 项是 C10，第 18 项是 C10，第 19 2 项是 C11 . 1 1 2 1 2 1 2 2 ∴S19＝(C2 ＋C2 2)＋ (C3＋ C3 )＋ (C4＋ C4)＋„＋ (C10＋ C10)＋ C 11 1 1 1 2 2 2 ＝ (C 1 ＋ C ＋ C ＋ „ ＋ C ) ＋ (C ＋ C ＋ „ ＋ C 2 3 4 10 2 3 11 ) ＝ （2＋10）×9 ＋C3 12＝ 274. 2 规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通
名师点睛
1．对二项式系数性质的深层理解 n－ m (1)对称性： 源于组合数的性质“Cm ＝ C ， 基础是 C0 n n ” n＝ n n－1 2 Cn ＝1，然后从左右向中间靠拢，便有 C1 ＝ C ， C n n n＝ －2 Cn n ，„ (2)最大值：当 n 是偶数时，(a＋b)n 的展开式共 n＋1 项， n＋1 是奇数，这时展开式的形式是
n－ 1 2
、
Cn
2
， 这两个系数相等， 并且是所有二项式系数中的最大值．
1 2 n n n (3)各二项式系数和： C0 n＋ Cn ＋ Cn ＋„＋ C n＝ 2 源于 (a ＋ b) n 1 n－ 1 n n 0 ＝C0 a ＋ C a b ＋„＋ C b 中令 a ＝ 1 ， b ＝ 1 ，即得到 C n n n n＋ 2 n n C1 n＋Cn＋„＋Cn＝2 .
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解析 设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶ 3，则 14 C13 ∶ C n n ＝ 2∶ 3.
14 ∴ 3C13 ＝ 2C n n ，即
3· n！ 2· n！ ＝ ， 13！ · （ n－ 13）！ 14！ · （ n－ 14）！
3 2 ＝ ， n－ 13 14 ∴ n＝ 34. 得：
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题型一
与杨辉三角有关的问题
【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的 上方，从1开始箭头所示的数组成一 个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，
10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19
的值． [思路探索] 本题关键是观察数列的特征，数列的每一项在 杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式的二项式系 数，再利用组合数求解．
n k＝ 将 2
n 函数 f(k)的图象分成对称的两部分，即直线 k＝ 是图象的对 2 n 称轴，由此我们得到结论：当 k＝ 时，Ck n最大，这个结论 2 正确吗？
提示
n－ 1
不正确．当 n 是偶数时，Ck n最大；当 n 是奇数时，
n＋ 1 2
Cn
2
＝Cn
最大．
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n 1 2 n 2 ①C0 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＝ ___ ， n n n n n－ 1 2 4 1 3 5 2 ②C0 ＋ C ＋ C ＋„＝ C ＋ C ＋ C ＋„＝ _____ n n n n n n
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试一试：令
f(k)＝Ck n，k∈ {0，1，2，„ ，n}，则直线
过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的 相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出
来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连
续看、隔行看，从多角度观察．
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【变式1】 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 ________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
课前探究ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习
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2．赋值法的应用 求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，
如：求(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中各项系 数和，可令x＝1，即得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an.若 要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x ＝－1，x＝1，两等式相加或相减即可求出结果．
增减性与 最大值
n＋1 时， 二项式系数是逐渐减小的． 最大值： 当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式 系数的和
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1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系 相等 ； 数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n． 两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同 吗？ 提示 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
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二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中， 与首末两端 _________的两个二 － n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2． 掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1． 杨辉三角的特点．(难点) 2． 二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
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n 中间一项是第 ＋1 项，它的二项式系数是 Cn2，它是所有二项 2 式系数中的最大值；当 n 是奇数时，(a＋b)n 的展开式共有 n＋ 1 项，n＋1 是偶数，这时展开式的形式是
n
n＋1 n＋3 中间两项是第 ， 项，它们的二项式系数是 Cn 2 2
n＋ 1
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1 解 由图知，数列中的首项是 C2 ，第 2 项是 C 2 2，第 3 项是 1 2 1 C2 3，第 4 项是 C3，„，第 17 项是 C10，第 18 项是 C10，第 19 2 项是 C11 . 1 1 2 1 2 1 2 2 ∴S19＝(C2 ＋C2 2)＋ (C3＋ C3 )＋ (C4＋ C4)＋„＋ (C10＋ C10)＋ C 11 1 1 1 2 2 2 ＝ (C 1 ＋ C ＋ C ＋ „ ＋ C ) ＋ (C ＋ C ＋ „ ＋ C 2 3 4 10 2 3 11 ) ＝ （2＋10）×9 ＋C3 12＝ 274. 2 规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通
名师点睛
1．对二项式系数性质的深层理解 n－ m (1)对称性： 源于组合数的性质“Cm ＝ C ， 基础是 C0 n n ” n＝ n n－1 2 Cn ＝1，然后从左右向中间靠拢，便有 C1 ＝ C ， C n n n＝ －2 Cn n ，„ (2)最大值：当 n 是偶数时，(a＋b)n 的展开式共 n＋1 项， n＋1 是奇数，这时展开式的形式是
n－ 1 2
、
Cn
2
， 这两个系数相等， 并且是所有二项式系数中的最大值．
1 2 n n n (3)各二项式系数和： C0 n＋ Cn ＋ Cn ＋„＋ C n＝ 2 源于 (a ＋ b) n 1 n－ 1 n n 0 ＝C0 a ＋ C a b ＋„＋ C b 中令 a ＝ 1 ， b ＝ 1 ，即得到 C n n n n＋ 2 n n C1 n＋Cn＋„＋Cn＝2 .
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解析 设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶ 3，则 14 C13 ∶ C n n ＝ 2∶ 3.
14 ∴ 3C13 ＝ 2C n n ，即
3· n！ 2· n！ ＝ ， 13！ · （ n－ 13）！ 14！ · （ n－ 14）！
3 2 ＝ ， n－ 13 14 ∴ n＝ 34. 得：
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题型一
与杨辉三角有关的问题
【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的 上方，从1开始箭头所示的数组成一 个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，
10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19
的值． [思路探索] 本题关键是观察数列的特征，数列的每一项在 杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式的二项式系 数，再利用组合数求解．
n k＝ 将 2
n 函数 f(k)的图象分成对称的两部分，即直线 k＝ 是图象的对 2 n 称轴，由此我们得到结论：当 k＝ 时，Ck n最大，这个结论 2 正确吗？
提示
n－ 1
不正确．当 n 是偶数时，Ck n最大；当 n 是奇数时，
n＋ 1 2
Cn
2
＝Cn
最大．
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n 1 2 n 2 ①C0 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＝ ___ ， n n n n n－ 1 2 4 1 3 5 2 ②C0 ＋ C ＋ C ＋„＝ C ＋ C ＋ C ＋„＝ _____ n n n n n n
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试一试：令
f(k)＝Ck n，k∈ {0，1，2，„ ，n}，则直线
过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的 相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出
来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连
续看、隔行看，从多角度观察．
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【变式1】 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 ________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
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2．赋值法的应用 求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，
如：求(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中各项系 数和，可令x＝1，即得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an.若 要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x ＝－1，x＝1，两等式相加或相减即可求出结果．