18.2.3平行四边形判定定理的应用(一)

.第18章 平行四边形第2节 平行四边形的判定第3课时 平行四边形判定定理的应用（一）A 夯实基础练一、选择题1、点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图6－2－24，四边形ABCD 是一个长方形，则图中表示AD 与BC 之间的距离的线段有（ ）A 、1条；B 、2条；C 、3条；D 、4条；3、如图6－2－25，在ABC 中，8,AB AC D ==是BC 上一动点（点D 与点B 、C 不重合），且//,//,DE AB DF AC 则四边形DEAF 的周长是（ ）A 、24；B 、18；C 、16；D 、12；4、如图，平面上两棵不同高度、笔直的小树，同一时刻在太阳光线照射下形成的影子分别是AB 、DC ，则（ ）A ．四边形ABCD 是平行四边形B ．四边形ABCD 是梯形C ．线段AB 与线段CD 相交D ．以上三个选项均有可能5、如图6－2－27所示，线段,,a b c 的端点分别在直线l 1，l 2上，则下列说法中，正确的是（ ）A 、若l 1//l 2，则a b =；B 、若1l //2,l 则a c =；C 、若//,a b 则a b =；D 、若12//l l ，且//a b ，则a b =二、填空题6、如图6－2－28，直线//,,a b A B 为直线b 上两点，,C D 为直线a 上两点。

（1）则图中所有面积相等的三角形有 对；（2）若A 、B 、C 为三个定点为，点D 在a 上移动，则无论点D 移动到何处，总有＿＿＿＿＿＿与△ABC 的面积相等。

这两个三角形的高相等的理由是＿＿＿＿＿＿＿＿。

7. 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，∠BAC≠90度．将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形＿＿＿＿＿个。

8.如图所示，在△ABC中，AB＝2AC，D是BC的中点且AD⊥AC，则∠BAC＝＿＿＿＿＿＿＿。

三、解答题中，点E，F分别在BC，AD上，且BE＝FD，求证：9.（2013南平）如图所示，在ABCD四边形AECF是平行四边形。

10.如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA 和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．11.如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE与DF 有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．○C12.如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以F为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接；（2）猜想：=；（3）证明．B 培优综合练1.如图所示，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点，且AE∥CF，若∠AEB＝∠100 ，∠= ，则∠BCF等于（）ADB25A.125B.40C.75D.902.如图所示，有一块平行四边形空地ABCD，EF∥BC，GH∥AB，EF与GH交于O，若栽树棵数与面积成正比，四边形AEOG、四边形BHOE、四边形OFCH中分别能栽4、16、12棵树，则四边形GOFD中能栽（）棵树。

A.1B.3C.5D.7中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，3.如图所示，在ABCD下列条件不能判定四边形DEBF是平行四边形的是（）A.DE＝BFB.AE=CFC.∠ADE＝∠CBFD.∠AED＝∠CFB4.（2013鄂州）如图所示，已知直线a b ∥，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB =。

试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a ，且A M M N N B++的长度和最短，则此时AM NB +等于（ ）A.6B.8C.10D.125.如图所示，六边形ABCDEF 中，AB 平行且等于ED ，AF 平行且等于CD ，BC 平行且等于FE ，对角线FD ⊥BD ，已知FD ＝4cm ，BD ＝3cm ，则六边形ABCDEF 的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿。

6.（2013龙岩）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 是对角线AC 上的两点，∠1＝∠2.（1）求证：AE ＝CF ；（2）求证：四边形EBFD 是平行四边形。

C 拔尖拓展练1.（2013北京）如图所示，在ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使12C E B C =，连接DE ，CF 。

（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若AB ＝4，AD ＝6，60B ∠= ，求DE 的长。

答案：【A】一、1.B分析：根据平面的性质和平行四边形的判定求解．解：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．故选C．点拨：解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系．注意图形结合的解题思想．2.B3.C4.B分析：由已知条件可知：AB∥CD，但AB≠CD，所以四边形为梯形．解：因为AB、DC分别是同一时刻在太阳光线照射下形成的影子，所以AB∥DC，又因为两棵小树的高度不同，故AB≠DC，所以四边形ABCD是梯形．故选B点拨：此题要注意平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．5.D二、6.（1）3 （2）△ABD；平行线之间的距离处处相等7.3分析：分别以小直角三角形的三边为对角线，并令对应边重合，即可拼出图形，然后根据平行四边形的判定条件作答．解：若要拼成平行四边形，即是分别让它们的一组对应边重合，另外两组对应边分别平行．故能拼出3个．故答案为：3．点拨：本题灵活考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键，题意新颖，是道好题．8.120 点拨：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，BE，易得四边形ABEC为平行四边形，推出AB∥CE，AB＝CE，进而求出∠AEC的度数，即可求出∠BAC的度数。

中，AD＝BC，AD∥BC。

三、9，证明：在ABCD∵BE＝FD，∴AF＝CE。

又∵AF＝CE。

∴四边形AECF是平行四边形。

10.分析：由四边形ABCD是平行四边形和BE=DF可得△GBE≌△HDF，利用全等的性质和等量代换可知GE=HF，GE∥HF，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形GEHF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD．∴∠GEF=∠HFE．∴GE∥HF．∴四边形GEHF是平行四边形．点拨：主要考查了全等三角形与平行四边形的性质和判定，性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．11.分析：运用平行四边形的性质得到相关的线段、角相等，从而证明两个三角形全等．解：猜想：BE∥DF，BE=DF．证明：证法一：如图1∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∠1=∠2，又∵CE=AF，∴△BCE≌△DAF．∴BE=DF，∠3=∠4．∴BE∥DF．证法二：如图2连接BD，交AC于点O，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，AO=CO，又∵AF=CE，∴AE=CF．∴EO=FO．∴四边形BEDF是平行四边形．∴BE DF∥。

点拨：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．12.分析：（1）已知条件是AE=CF，那么应构造AE和CF所在的三角形，所以连接BF．（2）在两个三角形中，已知其他两条边对应相等，那么所求的一定是第三条边对应相等．（3）利用平行四边形的对边平行且相等，加上已知条件利用SAS可证得这两条边所在的三角形全等，进而求得相应的线段相等．解：解法一：（如图）（1）连接BF．（2）猜想：BF=DE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∴∠DAE=∠BCF．∴△BCF≌△DAE，∴BF=DE．解法二：（如图）（1）连接BF．（2）猜想：BF=DE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，DO=OB．∵AE=FC，∴AO-AE=OC-FC．∴OE=OF．∴四边形EBFD为平行四边形．∴BF=DE．解法三：（如图）（1）连接DF．（2）猜想：DF=BE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB．∴∠DCF=∠BAE．∴△CDF≌△ABE．∴DF=BE．点拨：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．【B 】1.C2.B 点拨：本题利用数形结合思想解答。

由题意易得四边形AEOG 、四边形GOFD 、四边形BHOE 、四边形OFCH 均为平行四边形。

因为AEOG 与GOFD 的高相等，所以::AEOG GOFD S S OE OF = ，因为BHOE 与OFCH 的高相等，所以四边形GOFD 中能栽3棵树。

3.A4.B5.122cm 点拨：本题运用数形结合思想解答。

如答图所示，连接AC 交BD 于G ，连接AE 交DF 于H 。

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形AEDB 和四边形AFDC 均为平行四边形。

易得AC ＝FD ，EH ＝BG 。

该六边形的面积可以分成三部分计算，即平行四边形AFDC 的面积、三角形ABC 的面积及三角形EFD 的面积，它们的面积和即为所求。

6.证明：（1）如答图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥BC ，∴∠3＝∠4，∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6.在△AD 与△CBF 中， ∠3＝∠4，AD ＝CB5＝∠6∴ADE CBF △≌△（ASA ）∴AE ＝CF 。