二重积分的反常积分

目 录

1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)D

f x y d σ⎰⎰收敛的判定 (2)

2.3B 函数与Γ函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .. (12)

二重积分的反常积分

数学系本0601班魏慧

指导教师：梁素萍

摘要：本文探究了二重积分中的两种反常积分，即无界区域上的二重积分和无界函数的二重积分，分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛散性，同时还计算了泊松(Poisson)积分，并用其证明了B函数与Г函数的关系式，鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性。

关键词：二重积分，反常，广义。

Double integral of the improper integral

Name: Wei Hui

Class0601, Mathematics Department

Tutor: Liang Suping

Abstract：This paper discusses the double integral of the two kinds of abnormal points, namely the unbounded regional double and unbounded function, the double integral respectively from two aspects of definition and research method about double abnormal integral convergence, also calculate d, pine (Poisson tabor, and its proof) Г function with the B function equation, vividly reflected abnormal double to prove some questions in the superiority.

Key words: Double integral, Abnormal , Generalized.

1引言

与定积分相同， 我们也可以把二重积分推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。

2无界区域上的二重积分

2.1定义

反常二重积分是数学分析中的一个重要内容，用它来计算泊松(Poisson )积分，或是用它来证明B 函数与Г函数的关系式，都是十分简捷的。在概率、统计、数理方程等学科中,反常二重积分也被广泛的引用。所以,对反常二重积分给出一个严格、明确而又易于运用的定义,是十分有益的。

定义1 (,)f x y 为定义在无界区域D 上的二元函数，若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，(,)f x y 在曲线γ所围的有界区域E γ 与D 的交集E

γ

D =D γ上二重可积。令d γ=

min (,)}x y γ∈，若存

在有限极限：

(,)lim

(,)d D

D J f x y d f x y d γγ

σσ→∞

==⎰⎰⎰⎰

且与γ的取法无关，则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分收敛，并记 (,)lim (,)d D

D J f x y d f x y d γγ

σσ→∞

==⎰⎰⎰⎰; （1）

否则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分发散，或简称(,)D

f x y d σ⎰⎰发散。

2.2 (,)

D

f x y dσ

⎰⎰

定理1 设在无界区域D上(,)0

f x y≥，

12

,,,,

n

γγγ为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足

(i)(,)}()

n n

d x y n

γ

=∈→∞→∞；

(ii) sup(,)

n

n D

I f x y dσ

=<+∞

⎰⎰，

其中

n n

D E D

=，

n

E为

n

γ所围的有界区域，这时反常二重积分(1) 必定收敛，并且(,)

D

f x y d I

σ=

⎰⎰

证设'γ为任何包围原点的光滑封闭曲线，它所围成的区域记为'E，并记''

D E D

=。因为lim

n

x

d

→∞

=+∞，因此存在n，使得'

n

D D D

⊂⊂。由于(,)0

f x y≥，所以有

'

(,)(,)

n

D

D

f x y d f x y d I

σσ

≤≤

⎰⎰⎰⎰

另一方面，因为

sup(,)

n

n D

I f x y dσ

=⎰⎰，

故对任给的0

ε>，总有

n，使得

(,)

n

D

f x y d I

σε

>-

⎰⎰

因而对于充分大的

'

n

D D

⊃，有

'

(,)

D

f x y d I

σε

>-

⎰⎰