上海中考数学22、24专题(优选.)

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上海数学中考22题

上海数学中考22题
2023年上海市中考卷22题：
“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元。

假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完。

（l）他实际花了多少钱购买会员卡?
(2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式(不用写出定义域）
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
参考答案：（1）900元（2）y=0.9（x-0.3)=0.9x-0.27
（3）1元
解析：（1）0.9×1000=900元。

（2）设减价后每升油的单价为y元每升，原价为x元每升。

那么买完油以后平均的价格y=0.9（x-0.3)=0.9x-0.27
（3）将第二问答案代入第三问，解得y=6.3元，所以优惠后油的单价比原价便宜7.3-6.3=1元。

上海中考数学22、24专题

龙文教育个性化辅导授课案教师：学生: 时间 2016年月日时段中考模拟22、24题专题复习练习：1.如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点C （0，32-），且与x 轴交于点A 、点B ，若tan ∠ACO =23．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点（不与点B 重合），∠MPQ=45°，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标．2．（本题满分12分，每小题各4分）已知，二次函数2y =ax +bx 的图像经过点(5,0)A -和点B ，其中点B 在第一象限，且OA =OB ，cot ∠BAO=2．（1）求点B 的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）过点B 作直线BC 平行于x 轴，直线BC 与二次函数图像的另一个交点为C ，联结AC ，如果点P 在x 轴上，且△ABC 和△P AB 相似，求点P 的坐标．x（第1题）MACBOyPQyxO 11 -1 -1AB8、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（本题满分4+3+2+3=12分）9、（本题满分12分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y x bx c=++与x轴交于,A B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为(3,0)，与y轴交于点(0,3)C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）联结AC，BC，求ACB∠的正切值；（3）点P是抛物线的对称轴上一点，当PBD∆与CAB∆相似时，求点P的坐标．y14．如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．11、某游泳池内现存水)(m 18903，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍.假设在换水时需要经历“排水——清洗——灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y （3m ）与换水时间t （h ）之间的函数关系如图5所示根据图像解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y （3m ）与换水时间t （h ）之间的函数关系式，写出函数的定义域. )(t hO18905 21 图5（第14题）12、我市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加了20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？13、一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．第14题图14、学校组织“义捐义卖”活动，小明的小组准备自制贺年卡进行义卖．活动当天，为了方便，小组准备了一点零钱备用，按照定价售出一些贺年卡后，又降价出售．小组所拥有的所有钱数y（元）与售出卡片数x（张）的关系如图所示．（1）求降价前y（元）与x（张）之间的函数解析式，并写出定义域；（2）如果按照定价打八折后，将剩余的卡片全部卖出，这时，小组一共有280元（含备用零钱），求该小组一共准备了多少张卡片．15、销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元∕件时，销售数量y（件）与商品单价x（元∕件）的函数关系的图像如图5所示中的线段AB.。

2024年上海市中考数学真题试卷及答案

2024年上海市中考数学真题试卷一、选择题（每题4分,共24分）1.如果x y >,那么下列正确的是（）A.55x y +<+B.55x y -<-C.55x y >D.55x y ->- 2.函数2()3x f x x -=-的定义域是（） A.2x = B.2x ≠ C.3x = D.3x ≠ 3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A.260x x -=B.290xC.2660x x -+=D.2690x x -+=4.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花,从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．（）A.甲种类B.乙种类C.丙种类D.丁种类 5.四边形ABCD 为矩形,过A C 、作对角线BD 的垂线,过B D 、作对角线AC 的垂线,如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为（）A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形 6.在ABC ∆中,3AC =,4BC =,5AB =,点P 在ABC ∆内,分别以A B P 、、为圆心画,圆A 半径为1,圆B 半径为2,圆P 半径为3,圆A 与圆P 内切,圆P 与圆B 的关系是（）A.内含B.相交C.外切D.相离二、填空题（每题4分,共48分）7.计算:()324x =___________． 8.计算()()a b b a +-=______．9.1=,则x =___________．10.科学家研发了一种新的蓝光唱片,一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ,一张普通唱片的容量约为25GB ,则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示）11.若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)-,则y 的值随x 的增大而___________．（选填“增大”或“减小”）12.在菱形ABCD 中,66ABC ∠=︒,则BAC ∠=___________．13.某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系,当投入10万元时销售额1000万元,当投入90万元时销售量5000万元,则投入80万元时,销售量为___________万元．14.一个袋子中有若干个白球和绿球,它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球,恰好摸到绿球的概率是35,则袋子中至少有___________个绿球． 15.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为对角线AC 上一点,设AC a =,BE b =,若2AE EC =,则DC =___________（结果用含a ,b 的式子表示）．16.博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式,博物馆共回收有效问卷1000张,其中700人没有讲解需求,剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）,那么在总共2万人的参观中,需要AR 增强讲解的人数约有__________人．17.在平行四边形ABCD 中,ABC ∠是锐角,将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线,对应点分别为C ',D ,若::1:3:7AC AB BC '=,则cos ABC ∠=__________． 18.对于一个二次函数2()y a x m k =-+（0a ≠）中存在一点(),P x y '',使得0x m y k '-='-≠,则称2x m '-为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线211323y x x =-++“开口大小”为__________．三、简答题（共78分,其中第19-22题每题10分,第23,24题每题12分,第25题14分）19.计算:102|124(1++-． 20.解方程组:2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②． 21.在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数k y x=（k 为常数且0k ≠）上有一点()3,A m -,且与直线24y x =-+交于另一点(),6B n ．（1）求k 与m 的值（2）过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =+交于点C ,求sin OCA ∠的值． 22.同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形,且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）,直角三角形斜边上的高都为h ．（1）求:①两个直角三角形的直角边（结果用h 表示）②小平行四边形的底、高和面积（结果用h 表示）（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图,要求①不与给定的图形状相同②画出三角形的边．23.如图所示,在矩形ABCD 中,E 为边CD 上一点,且AE BD ⊥．（1）求证:2AD DE DC =⋅（2）F 为线段AE 延长线上一点,且满足12EF CF BD ==,求证:CE AD =． 24.在平面直角坐标系中,已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．（1）求平移后新抛物线的表达式（2）直线x m =（0m >）与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q ． ①如果PQ 小于3,求m 的取值范围①记点P 在原抛物线上的对应点为P ',如果四边形P BPQ '有一组对边平行,求点P 的坐标．25.在梯形ABCD 中,AD BC ∥,点E 在边AB 上,且13AE AB =．（1）如图1所示,点F 在边CD 上,且13DF CD =,联结EF ,求证:EF BC ∥ （2）已知1AD AE ==①如图2所示,联结DE ,如果ADE 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上,求ADE 的外接圆的半径长①如图3所示,如果点M 在边BC 上,联结EM ,DM ,EC ,DM 与EC 交于N,如果4BC =,且2CD DM DN =⋅,DMC CEM ∠=∠,求边CD 的长．2024年上海市中考数学真题试卷答案一、选择题.1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】B【解析】解:圆A半径为1,圆P半径为3,圆A与圆P内切∴圆A含在圆P内,即312PA=-=∴在以A为圆心,2为半径的圆与ABC边相交形成的弧上运动,如图所示P∴当到P'位置时,圆P与圆B圆心距离PB最大,=<+=325∴圆P与圆B相交故选:B．二、填空题.7.【答案】664x8.【答案】22b a -9.【答案】110.【答案】3810⨯11.【答案】减小12.【答案】57︒13.【答案】450014.【答案】315.【答案】23a b - 【解析】解:四边形ABCD 是平行四边形DC AB ∴∥,DC AB =． E 是AC 上一点,2AE EC =23AE AC ∴= 23AB AE EB AE BE a b =+=-=- ∴23DC a b =- 故答案为:23a b -． 16.【答案】200017.【答案】27或47【解析】解:当C '在AB 之间时,作下图根据::1:3:7AC AB BC '=,不妨设1,3,7AC AB BC '===由翻折的性质知:FCD FC D ''∠=∠ CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线BC F FC D FCD FBA '''∴∠+∠=∠+∠BC F FBA '∴∠=∠。

2023 上海中考数学 22题

2023 上海中考数学 22题题目：某学校有三个合唱团A、B、C，每个合唱团都有男生和女生两个部分。

已知合唱团A男生人数是合唱团C男生人数的2倍，合唱团C女生人数是合唱团B女生人数的3倍。

如果每个合唱团的男生人数与女生人数相等，求合唱团A的男生人数。

解析：设合唱团A的男生人数为x，则合唱团C的男生人数为2x。

合唱团C的女生人数为合唱团B的女生人数的3倍，设合唱团B的女生人数为y，则合唱团C的女生人数为3y。

根据已知条件，合唱团A的男生人数与女生人数相等，即x = x。

合唱团A的男生人数为x，女生人数也为x。

根据题目要求，每个合唱团的男生人数与女生人数相等，即x + x = 2x （合唱团A男生人数与女生人数之和等于2倍的男生人数）3y + y = 2x （合唱团C女生人数与合唱团B女生人数之和等于2倍的男生人数）化简上述两个等式，可得：2x = 2x4y = 2x由于每个合唱团的男生人数与女生人数相等，可以得到以下等式：x = x2x + 4y = 2x化简上述两个等式，可得：4y = 0根据上述结果可以得出，合唱团C的女生人数为0。

根据合唱团C的女生人数为合唱团B的女生人数的3倍，即3y = 0，可以得出：y = 0再代入等式2x + 4y = 2x，可得：2x + 4 * 0 = 2x2x = 2x由于等式2x = 2x的解为所有实数，合唱团A的男生人数可以是任意值。

综上所述，合唱团A的男生人数可以为任意值。

总结：根据题目给出的条件和要求，我们得出合唱团A的男生人数可以是任意值。

这意味着无法确定合唱团A的男生人数具体是多少。

2023年上海中考数学试卷22题

2023年上海中考数学试卷22题
2023年上海中考数学试卷22题是一道关于概率的题目。

本题考察学生对概率的理解和计算能力。

下面将详细解答该题。

题目描述：某班级有30个学生，其中15个是女生，15个是男生。

班级中有5个学生喜欢阅读科幻小说，其中3个是男生。

如果从班级中随机选取一名学生，那么这个学生既是女生又喜欢阅读科幻小说的概率是多少？
解答：
首先，我们需要计算班级中既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生人数。

根据题目描述，班级中有15个女生，其中5个学生喜欢阅读科幻小说。

所以，既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生人数是5个。

接下来，我们需要计算从班级中随机选取一名学生的概率。

班级总共有30个学生，因此，从班级中随机选取一名学生的概率是1/30。

最后，我们需要计算既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生被选中的概率。

根据概率的定义，既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生被选中的概率等于既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生人数除以总体样本空间的大小。

所以，既是女生又喜欢阅读科幻小说的学生被选中的概率是5/30。

综上所述，这个学生既是女生又喜欢阅读科幻小说的概率是5/30，即1/6。

2024年上海市中考数学试卷正式版含答案解析

绝密★启用前2024年上海市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如果x>y，那么下列正确的是( )A. x+5≤y+5B. x−5<y−5C. 5x>5yD. −5x>−5y的定义域是( )2.函数f(x)=2−xx−3A. x=2B. x≠2C. x=3D. x≠33.以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )A. x2−6x=0B. x2−9=0C. x2−6x+6=0D. x2−6x+9=04.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是( )A. 甲种类B. 乙种类C. 丙种类D. 丁种类5.四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为( )A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形6.在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是( )A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.计算：(4x 2)3= ______． 8.计算(a +b)(b −a)= ______． 9.已知√ 2x −1=1，则x = ______．10.科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的______倍.(用科学记数法表示)11.若正比例函数y =kx 的图象经过点(7,−13)，则y 的值随x 的增大而______.(选填“增大”或“减小”) 12.在菱形ABCD 中，∠ABC =66°，则∠BAC = ______°.13.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元.则投入80万元时，销售量为______万元．14.一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同.随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有______个绿球．15.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若AE =2EC ，则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______(结果用含a ，b ⃗ 的式子表示)．16.博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示(一人可以选择多种).那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有______人.17.在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC=1：3：7，则cos∠ABC=______．18.对于一个二次函数y=a(x−m)2+k(a≠0)中存在一点P(x′,y′)，使得x′−m=y′−k≠0，则称2|x′−m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=−12x2+13x+3“开口大小”为______．三、解答题：本题共7小题，共78分。

2023上海中考数学第22题

2023上海中考数学第22题一、题目描述题目要求：已知一个正方形的边长为12cm，将它割掉四分之一后所得的小正方形，再将剩下的部分按照图示剪成两个矩形，如图所示。

求剩下的两个矩形的面积之和。

二、解题思路根据题目描述，我们需要求解剩下的两个矩形的面积之和。

首先，我们需要求解剖分下来的两个矩形的边长。

1. 求解小正方形的边长已知正方形的边长为12cm，割掉四分之一后所得到的小正方形与原正方形边长相等。

因此，小正方形的边长也为12cm。

2. 求解矩形的长和宽根据题目描述，将小正方形剪成两个矩形。

由图示可知，小正方形剪开后，剩下的两个矩形与原正方形的边平行。

因此，剩下的两个矩形中，一个矩形的长等于原正方形的边长，即12cm；另一个矩形的宽等于小正方形的边长，即12cm。

3. 求解面积之和根据矩形的面积公式，面积 = 长 ×宽。

根据题目所求，我们需要求解剩下的两个矩形的面积之和。

根据上述计算，我们可以得到：第一个矩形的面积为 12cm × 12cm = 144cm²；第二个矩形的面积为 12cm × 12cm = 144cm²。

因此，两个矩形的面积之和为 144cm² + 144cm² = 288cm²。

三、答案验证为了验证我们的答案是否正确，可以采用另外一种方法进行验证。

1. 计算整个正方形的面积已知正方形的边长为12cm，根据正方形的面积公式，正方形的面积 =边长 ×边长 = 12cm × 12cm = 144cm²。

2. 计算割掉四分之一后所得到的小正方形的面积根据题目所求，割掉四分之一后所得到的小正方形的边长与原正方形的边长相等，即为12cm。

小正方形的面积 = 边长 ×边长 = 12cm ×12cm = 144cm²。

3. 计算剩下的部分的面积剩下的部分是通过剪切小正方形得到的两个矩形。

上海中考数学24题解题技巧

上海中考数学24题解题技巧
嘿，同学们！今天咱就来讲讲上海中考数学 24 题的解题技巧。

你说这24 题啊，就像是一座小山，乍一看挺难翻越的，可咱要是掌握了技巧，那
也能轻松登顶呀！比如说，碰到那种要找相似三角形的，就好比在一群人中找自己的好朋友，得仔细瞧，认真找线索呀。

就像上次我做的一道题，图形里藏了好几个三角形，我就一点点分析，看哪个角跟哪个角相等，这不就找到相似的啦！还有啊，函数问题也经常出现，那这函数就像是个调皮的小精灵，一会儿上蹿下跳的，咱可得抓住它的规律。

像有一次考试，我就是通过画图，一下就看出函数的走势了，问题不就迎刃而解了嘛！做24 题的时候，千万不能慌张，要静下心来。

就像将军打仗一样，得沉着冷静才能打胜仗啊。

咱细心分析，大胆尝试，肯定能攻克这道难关！总之啊，上海中考数学 24 题并不可怕，只要掌握了这些解题技巧，你就能轻松应对啦！。

上海中考数学 22题

上海中考数学 22题22题：已知数列an的前n项和Sn = n² + 2n，求数列an的通项公式。

解析：本题是一个数列求和与通项公式的问题。

我们可以通过观察数列前n项的和的公式，来推导出数列的通项公式。

解答：首先，我们可以通过试验法来找到数列前n项和Sn与数列项an之间的关系。

以前几项为例进行计算如下：当n = 1时，Sn = 1² + 2*1 = 1 + 2 = 3，a1 = 3 - 0 = 3；当n = 2时，Sn = 2² + 2*2 = 4 + 4 = 8，a2 = 8 - 3 = 5；当n = 3时，Sn = 3² + 2*3 = 9 + 6 = 15，a3 = 15 - 8 = 7；...通过观察我们可以发现，数列前n项的和Sn与数列项an之间的关系可以表示为：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an通过观察数列前n项的和Sn与数列项an之间的差值，我们可以做如下的推导：Sn - Sn-1 = (a1 + a2 + a3 + ... + an) - (a1 + a2 + a3 + ... + an-1)= (a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an) - (a1 + a2 + a3 + ... + an-1)= an因此，Sn - Sn-1 = an，我们可以得到数列前n项和Sn与数列项an 之间的关系式。

接下来，我们来推导数列前n项和Sn的表达式。

根据已知条件，我们可以得到：Sn = n² + 2n通过观察，我们发现Sn与n²和2n之间有一定的关系。

我们可以将n²和2n进行拆分，然后与Sn进行比较。

n² = (n-1+1)² = (n-1)² + 2(n-1) + 12n = (n-1+1)² - (n-1)² = (n-1)² + 2(n-1) + 1 - (n-1)²将上面推导出的关系带入Sn的表达式中，我们可以得到：Sn = (n-1)² + 2(n-1) + 1 + (n-1)² + 2(n-1) + 1= 2(n-1)² + 4(n-1) + 2= 2[(n-1)² + 2(n-1) +1]= 2(n-1+1)²= 2n²由此可以得出Sn和n²之间的关系为Sn = 2n²。

上海中考数学2023 22题

上海中考数学2023 22题2023年上海中考数学试题中的第22题是一道关于平行四边形的题目。

本题要求计算给定平行四边形的周长。

首先，我们先来复述一下题目内容。

题目描述了一个平行四边形ABCD，四边分别为AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，并给出a=3，b=4，c=5，d=6。

要求计算平行四边形ABCD的周长。

解答这道题目的关键在于理解平行四边形的性质。

平行四边形是一种特殊的四边形，它有以下性质：1. 对角线互相平分。

2. 相邻角互补（和为180°）。

3. 对边平行。

根据这些性质，我们可以得出以下结论：1. AD和BC是平行四边形ABCD的对角线，所以它们互相平分。

2. AB和CD是平行四边形ABCD的对边，所以它们平行。

3. AD和BC是平行四边形ABCD的对边，所以它们平行。

由于平行四边形ABCD的两组对边互相平分，我们可以得出以下结论：AD = BCAB = CD根据题目给出的AB=a，BC=b，CD=c，DA=d以及上述结论，我们可以得出以下等式：AD = DA = dBC = AB = aCD = DC = c现在我们可以开始计算平行四边形ABCD的周长。

平行四边形的周长可以通过计算其四条边的长度之和得到。

周长 = AB + BC + CD + AD= a + b + c + d= 3 + 4 + 5 + 6= 18所以，平行四边形ABCD的周长为18。

在解答这道题目的过程中，我们需要充分利用平行四边形的性质，通过观察和推理，得出相应的结论。

在计算周长时，我们使用了已知的边长数值进行简单的加法运算，得出最终结果。

总而言之，上海中考数学2023年的第22题是一道关于平行四边形周长计算的题目。

通过充分利用平行四边形的性质和已知的边长数值，我们可以轻松地计算出平行四边形的周长为18。

这道题目考察了对平行四边形性质的理解和应用，以及简单的数值计算能力。

通过解答这道题目，我们不仅能够巩固对平行四边形性质的理解，还能够培养我们的观察力和推理能力。

上海中考数学22题2023

上海中考数学22题20232023年上海中考数学试题中的第22题是一道考察函数的题目。

该题目的内容如下：已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，g(x) = ax + b，则满足下列条件：f(g(x)) = 6x - 5，g(f(x)) = 4x - 3。

求函数g(x)的表达式和常数a、b的值。

我们需要按照要求准确地回答这道题目，下面我将详细解答。

首先，我们根据已知条件来求解函数g(x)的表达式和常数a、b的值。

根据题目中的条件f(g(x)) = 6x - 5，我们可以将g(x)代入f(x)中，得到：f(g(x)) = 3(g(x))^2 + 2(g(x)) - 1 = 6x - 5将g(x)记为y，上式可以转化为：3y^2 + 2y - 1 = 6x - 5化简得：3y^2 + 2y - 6x + 4 = 0这是一个关于y的二次方程，我们可以使用求根公式来求解。

根据二次方程的求根公式，对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a对于我们的方程3y^2 + 2y - 6x + 4 = 0，其中a = 3，b = 2，c = -6x + 4。

根据求根公式，我们可以得到y的值。

根据题目中的条件g(f(x)) = 4x - 3，同样地，我们可以将f(x)代入g(x)中，得到：g(f(x)) = a(f(x)) + b = 4x - 3将f(x)记为z，上式可以转化为：az + b = 4x - 3根据题目中的给定函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，我们可以将z代入上式，得到：a(3x^2 + 2x - 1) + b = 4x - 3化简得：3ax^2 + 2ax - a + b = 4x - 3这是一个关于x的二次方程，我们同样可以使用求根公式来求解。

根据二次方程的求根公式，对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a对于我们的方程3ax^2 + 2ax - a + b = 4x - 3，其中a = 3a，b = 2a - 1，c = -a + b + 3。

上海中考数学第22题解题方法(一)

上海中考数学第22题解题方法(一)关于上海中考数学第22题解题的讨论引言上海中考数学第22题是一道考察学生数学逻辑推理能力的典型题目。

本文将探讨该题目的解题方法，并详细说明各种方法的具体步骤。

问题描述题目描述如下：某班全体学生参加田径比赛，成绩按照得到的分数从高到低顺序排列，相邻两名同学的分数差不超过3。

现已知得到了第1名至第50名同学的分数，求可能得到第51名同学的最高分数。

解题思路要解决这个问题，我们需要根据已给出的信息进行分析，找到一种可能得到第51名同学最高分数的情况。

我们可以按照以下三个步骤来解题：步骤一：列举条件首先，我们应该列举已知的条件。

根据题目描述，已知如下条件：•学生参加田径比赛，成绩按照得到的分数从高到低顺序排列。

•相邻两名同学的分数差不超过3。

•已知得到了第1名至第50名同学的分数。

步骤二：分析条件接下来，我们需要分析已知的条件，找到其中的规律和限制。

通过观察题目描述，我们可以得出以下结论：•总体分数的范围是有限的，即不可能无限制地增长或减少。

•第51名同学的分数最高，因此应该尽量接近已知分数中的最大值。

步骤三：找出最高分数根据以上分析，我们可以采用以下方法来求得可能得到第51名同学最高分数的情况：1.首先，我们将已知的前50名同学的分数按照从大到小的顺序排列。

2.然后，我们观察已知分数的差值情况。

如果某两个相邻的分数差值大于3，那么我们就可以在这两个分数之间插入一个数，使得插入后的分数值仍然满足题目要求。

3.根据以上方法，我们可以不断插入分数，直到插入到第50名同学的分数位置。

这样，我们就找到了可能得到第51名同学最高分数的情况。

结论通过以上步骤，我们成功地解答了上海中考数学第22题。

根据题目要求，我们找到了一种可能得到第51名同学最高分数的情况。

不过需要注意的是，这只是一种可能情况，并不保证是唯一的解答。

总结起来，解决这道题目需要运用数学逻辑推理能力，通过列举条件、分析条件和找出最高分数的方法，我们可以有效地解决类似的问题。

上海中考数学第24题分析（中）

上海中考数学第24题分析（中）上海中考数学第24题分析（中）——二次函数中的三角形存在问题一、我们先复习下各类特殊三角形的性质1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

二、两圆一线VS两线一圆1、“两圆一线”模型如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为等腰三角形；这样的点C的集合如下图所示，在以点A，B分别为圆心且AB为半径的圆和AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点，简称“两圆一线”。

2、“两线一圆”模型如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形；这样的点C的集合如下图所示，分别过点A，B作线段AB的垂线，并以AB为直径画圆，除点A，B以外的点都可以与点A，B构成直角三角形，这个模型简称“两线一圆”。

三、关于等腰三角形找点（作点）和求点的方法1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图上找出存在点的个数，只找不求。

2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分顶点进行讨论，例1：已知两点A、B，在二次函数图像上求一点C，使得△ABC 为等腰三角形解法——这是求点法：第一步：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB、BC、AC的长度；第二步：作假设，（1）以点A为顶点的两条腰相等，即AB=AC；（2）以点B为顶点的两条腰相等，即BA=BC；（3）以点C为顶点的两条腰相等，即CA=CB；第三步：根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步：进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。

上海中考数学22题 2023

上海中考数学22题2023摘要：1.上海中考数学22题概述2.解题思路分析3.解题步骤详解4.相似题目练习建议5.提高解题能力的建议正文：【提纲】一、上海中考数学22题概述上海中考数学第22题通常涉及几何、代数等知识点，题目较为复杂，需要考生具备较强的数学思维能力和运算能力。

2023年的题目可能在难度、题型等方面有所变化，但总体而言，该题目的核心目标是考察学生的综合素质。

二、解题思路分析在解题过程中，考生应首先明确题目的要求，理清思路。

对于几何题，要熟练掌握相关图形的性质和判定方法；对于代数题，要善于运用公式、法则进行计算和推导。

同时，要关注题目中的已知条件和隐含信息，善于寻找解题突破口。

三、解题步骤详解1.审题：仔细阅读题目，理解题意，画出图形（如有需要）。

2.构建解题思路：分析题目中的已知条件和所求目标，寻找解题方法。

3.逐步求解：按照解题思路，将问题分解为若干小问题，依次解决。

4.总结：在解题过程中，要注意总结解题方法、技巧和经验，以便在类似题目中灵活运用。

四、相似题目练习建议1.针对中考数学第22题的特点，多做相似题目的练习，提高解题熟练度。

2.分析相似题目的解题思路，总结规律，增强解题信心。

3.学会调整解题策略，应对题目的变化。

五、提高解题能力的建议1.巩固基础知识：熟练掌握几何和代数的基本知识，为解题打下坚实基础。

2.提高运算能力：加强运算练习，提高运算速度和准确性。

3.培养解题思维：多做难题练习，培养逻辑思维、空间想象和创新能力。

4.学会总结反思：在解题过程中，不断总结经验，提高解题水平。

通过以上分析和建议，希望能帮助考生更好地应对上海中考数学第22题。

在备考过程中，要保持积极心态，努力提高自己的综合素质，相信自己一定能取得优异成绩。

上海中考数学22题2023年

上海中考数学22题2023年摘要：一、上海中考数学22 题的背景和重要性1.上海中考数学的考试大纲和命题原则2.22 题在数学试卷中的地位和作用二、2023 年上海中考数学22 题的具体内容1.题目类型和难度2.题目考查的知识点和能力要求三、解决上海中考数学22 题的策略和方法1.分析题目，理解问题2.运用相关知识点和技巧3.注意解题过程中的计算准确性和逻辑清晰性四、上海中考数学22 题的备考建议1.熟悉考试大纲和命题趋势2.加强相关知识点的掌握和运用3.培养解题技巧和应试能力正文：上海中考数学22 题是每年中考数学试卷中的一道重要题目，对于考生来说，能否正确解答这道题目，不仅直接影响到数学试卷的分数，而且也反映出考生的数学素养和综合能力。

因此，对2023 年上海中考数学22 题进行深入的研究和分析，对于考生来说具有重要的参考价值。

2023 年上海中考数学22 题的具体内容是：请根据以下条件，解答下列问题。

（题目内容略）这道题目属于中档难度，考查了考生在几何、代数和统计等方面的知识点和能力。

对于这道题目，考生需要熟练掌握相关的定理、公式和技巧，并且能够灵活运用这些知识点来解决问题。

解决上海中考数学22 题的策略和方法主要包括以下几个步骤：首先，考生需要认真阅读题目，理解题目的条件和问题。

这一步非常重要，因为题目中的条件和问题往往包含了很多关键信息，考生需要从中提取出有用信息，以便为下一步的解题做好准备。

其次，考生需要运用相关知识点和技巧来解决问题。

在这一步，考生需要注意计算的准确性和逻辑的清晰性。

计算的准确性是解题的基础，如果计算出现错误，那么得出的答案也是错误的。

逻辑的清晰性是解题的关键，考生需要清楚地表达出自己的思路和解题过程，以便阅卷老师能够理解自己的解题思路。

最后，考生需要注意解题的时间管理。

一般来说，中考数学试卷的考试时间是有限的，考生需要在规定的时间内完成所有题目的解答。

因此，考生需要在保证解题质量的同时，也要注意解题的速度，避免因为时间不足而导致题目解答不完整。

上海市中考数学24题各区期末汇编—二次函数综合题

一．解答题（共13小题）1．（2022秋•黄浦区校级期末）已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣8（a ≠0）经过A （﹣2，0），B （4，0）两点，上海市中考数学24题各区期末汇编—二次函数综合题与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y ＝ax 2+bx ﹣8（a ≠0）的解析式，并求出顶点P 的坐标；（2）求∠APB 的余弦值；（3）直线y ＝kx +4与y 轴交于点N ，与直线AC 的交点为M ，当△MNC 与△AOC 相似时，求点M 的坐标．2．（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．（1）当y1＝0，y2＝y3时，①求该抛物线的表达式；②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线经过点（1，0），求m的值；（2）若y2＝0，且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的b的值，再求b的取值范围．3．（2022秋•杨浦区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC，CB，直线y＝4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．4．（2022秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知AB＝5，tan∠CAB＝3，OC：OB＝3：4．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴分别与x轴、BC交于点E、F，求EF的长；（3）在（2）的条件下，联结CE，如果点P在该抛物线的对称轴上，当△CEP和△CEB相似时，求点P的坐标．5．（2022秋•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，3）、B（2，0），点C是该抛物线上的一个动点，联结AC，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．（1）求该抛物线的表达式；（2）当＝时，求点C到x轴的距离；（3）如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，联结DE，当2＜m＜3时，在△CDE中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．6．（2022秋•静安区期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−6（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB＝8，点P在抛物线上，且PO＝PB．（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．①求新抛物线的对称轴；②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF＝∠PCO，求点F的坐标．7．（2022秋•嘉定区校级期末）在平面直角坐标系xOy（如图7）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣4，0）、B（﹣2，2），与y轴的交点为C．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，联结MB，BC，求tan∠MBC；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．8．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC＝3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB＝∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．9．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+3x+c经过A（0，4）和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点P与点N重合，连接PA，求∠DAP的正弦值；（3）若PE∥x轴交AB于点E，若，求点E的坐标．10．（2022秋•徐汇区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为（6，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，点D是BC上方抛物线上的一个动点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积为时，求点D的坐标；（3）是否存在点D，使得∠DCB＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022秋•徐汇区期末）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B （2，2），与y轴的交点为C．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．12．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，二次函数y＝+bx+c的图象交坐标轴于点A（4，0），B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y＝+bx+c的表达式；（2）将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，若D恰好在抛物线上，求点D的坐标；（3）过点P作PQ⊥x轴分别交直线AB，抛物线于点Q，C，连接AC．若以点B、Q、C为顶点的三角形与△APQ相似，直接写出点P的坐标．13．（2022秋•青浦区校级期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．二十、专题10二次函数综合题（解答题24）（参考答案）一．解答题（共13小题）1．（2022秋•黄浦区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的余弦值；（3）直线y＝kx+4与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；（2）设对称轴直线x＝1与x轴交于点D，过A作AH⊥BP，垂足为H，先求出AB、PD、AP和BP的长，进而求出AH的长，即可求出cos∠APB的值；（3）△MNC与△AOC相似时，分①∠MNC＝∠AOC＝90°和②∠NMC＝∠AOC＝90°，利用相似三角形的性质以及全等三角形的知识求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣8，∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴顶点P坐标为（1，﹣9）；（2）设对称轴直线x＝1与x轴交于点D，过A作AH⊥BP，垂足为H，如图1，∵A（﹣2，0），B（4，0），P（1，﹣9），∴AB＝6，PD＝9，AP＝BP＝3，∵AB×PD＝PB×AH，∴AH＝，在Rt△APH中，PH＝＝，cos∠APB＝＝；（3）∵∠ACO＝∠MCN，∴△MNC与△AOC相似时，①∠MNC＝∠AOC＝90°，如图2：∴，∵点C在抛物线上，∴当x＝0时，y＝8，∴点C的坐标为（0，﹣8），∵直线y＝kx+4与y轴交于点N，∴当x＝0时，y＝4，∴N点坐标为（0，4），∴AO＝2，OC＝8，NC＝12，∴MN＝3，直线AC的解析式是：y＝﹣4x﹣8，设M点坐标为（a，4），代入上述解析式中得：a＝﹣3，∴M（﹣3，4），②当∠NMC＝∠AOC＝90°时，如图3：设MN与x轴交于点E，∴＝，∵AC＝＝＝2，∴＝，∴CM＝，设M坐标为（n，﹣4n﹣8），∵CM＝＝，∴或n＝﹣，∵M在第二象限，∴M（﹣，），综上M点的坐标为（﹣3，4）或（﹣，）．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角形函数值的定义是解答本题的关键．2．（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．（1）当y1＝0，y2＝y3时，①求该抛物线的表达式；②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线经过点（1，0），求m的值；（2）若y2＝0，且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的b的值，再求b【分析】（1）①根据y1＝0，y2＝y3，可得对称轴为x＝，求出b的值，再根据抛物线经过点A，求出c，从而得出抛物线解析式；②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把（0，0）代入解析式即可求出m的值；（2）根据题意分对称轴在y轴左侧和右侧两种情况讨论即可．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4），且y1＝0，y2＝y3，∴B，C为对称点，对称轴为直线x＝﹣＝＝，∴b＝1，∴y＝﹣x2+x+c，把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+x+c得：﹣1﹣1+c＝0，解得c＝2，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；②∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴把该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+﹣2，∵新抛物线经过点（1，0），∴﹣（1﹣+m）2+＝0，解得m＝0或m＝﹣1；（2）当y2＝0时，抛物线过原点（0，0），且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，当抛物线对称轴在y轴左侧时，且经过原点，即b＜0，此时y3＜0，y4＜0，如图：∴y1＞0，即当x＝﹣1时，y＞0，∴﹣1﹣b＞0，解得b＜﹣1；当抛物线对称轴在y轴右侧时即b＞0，且经过原点，此时，y1＜0，若想y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，必然是y3＞0，y4≤0，如图：∴，解得1＜b≤2，综上所述，b的取值范围为b＜﹣1或1＜b≤2．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC，CB，直线y＝4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，列方程组可求得．（2）由梯形的面积公式列方程即可求得m的值．（3）由以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形，分类讨论当CF∥AB时，点F在线段CD上，求得F（1，3），当AF∥BC时，直线BC的解析式为；y＝﹣3x+9，直线AF的解析式为y＝﹣3x﹣3，求得F（1，﹣6），当CA∥BF时，直线AC的解析式为；y＝x+1，直线BF的解析式为；y＝x﹣3，求得F（1，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（2，3）三点，∴解得：，∴所求抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，其对称轴是直线x＝1，（2）由题意，得：D（0，3），∵DC∥AB，AB＝4，CD＝2，∵直线y＝4x+m与线段DC交于点E，且将四边形ABCD的面积平分，∴直线y＝4x+m与边AB相交，设交点为点G，∴点E的纵坐标是3，点G的纵坐标是0，∴可求得E（，3），G（﹣，0），＝2S四边形AGED，由题意，得：S四边形ABCD∴AB+CD＝2（AG+DE）∴4+2＝2（﹣+1+），解得：m＝﹣．（3）当CF∥AB时，点F在线段CD上，∴F（1，3），当AF∥BC时，直线BC的解析式为；y＝﹣3x+9，∴直线AF的解析式为y＝﹣3x﹣3，当x＝1时，y＝﹣6，∴F（1，﹣6），当CA∥BF时，直线AC的解析式为；y＝x+1，∴直线BF的解析式为；y＝x﹣3，∴当x＝1时，y＝﹣2，∴F（1，﹣2）；综上所述；点F的坐标：（1，3），（1，﹣2），（1，﹣6）．【点评】此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、梯形的面积的求法重要知识点，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．4．（2022秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知AB＝5，tan∠CAB＝3，OC：OB＝3：4．（1）求该抛物线的表达式；（2x轴、BC交于点E、F，求EF的长；（3）在（2）的条件下，联结CE，如果点P在该抛物线的对称轴上，当△CEP和△CEB相似时，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）求出直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，即可求解；（3）由△CEP和△CEB相似和∠CEF＝∠ECF知：存在∠P＝∠ABC＝β或∠PCE＝∠ABC＝β两种情况，再用解直角三角形的方法即可求解．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，3），即OC＝3，∵OC：OB＝3：4，则OB＝4，即点B（4，0），∵tan∠CAB＝3，OC＝3，则OA＝1，即点A（﹣1，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝3，则a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）设直线BC的表达式为：y＝kx+3，将点B的坐标代入上式得：0＝4k+3，解得：k＝﹣，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣x+3＝，即EF＝；（3）由（2）知，点F（，），则CF＝＝＝EF，则∠CEF＝∠ECF＝∠OCE＝α，则tan∠CEF＝＝＝tanα，而tan∠OBC＝＝tanβ，由C、E的坐标得，CE＝，∵△CEP和△CEB相似，∠CEF＝∠ECF，故存在∠P＝∠ABC＝β或∠PCE＝∠ABC＝β两种情况，当∠P＝∠ABC＝β时，过点C作CH⊥PE于点H，在Rt△CHP中，设CH＝3m＝OE＝，则PH＝4m＝2，即点P（，5）；当∠PCE＝∠ABC＝β时，过点P作PH⊥CE于点H，在Rt△PHE中，tan，设PH＝3m，则EH＝6m，则Rt△PHC中，tanβ＝，则CH＝4m，则CE＝CH+EH＝10m＝，则PE＝＝3m＝，则点P（，），综上，点E的坐标为P（，5）或（，）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，线段旋转的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．5．（2022秋•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，3）、B（2，0），点C是该抛物线上的一个动点，联结AC，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．（1）求该抛物线的表达式；（2）当＝时，求点C到x轴的距离；（3）如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，联结DE，当2＜m＜3时，在△CDE中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由＝＝，得到CH＝，即可求解；（3）求出直线AC的表达式为：y＝（m﹣3）x+m，则点D（0，m），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x；（2）过点C作y轴的垂线交y H，交过点A与y轴的平行线于点G，则AG∥DH，则＝＝，由点A的坐标知，GH＝1，则CH＝，当x＝时，y＝x2﹣2x＝﹣，即点C的坐标为（，﹣），即点C到x轴的距离为；（3）存在，∠DEC＝45°为常数，理由：设点C的坐标为（m，m2﹣2m），设直线AC的表达式为：y＝k（x+1）+3，将点C的坐标代入上式并解得：k＝m﹣3，则直线AC的表达式为：y＝（m﹣3）x+m，则点D（0，m），则OD＝OE，即∠DEO＝45°，则∠DEC＝90°﹣∠DEO＝45°．【点评】本题考查了二次函数综合运用，主要考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数的性质、平行线分线段成比例等知识，有一定的综合性，难度适中．6．（2022秋•静安区期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−6（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB＝8，点P在抛物线上，且PO＝PB．（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．①求新抛物线的对称轴；②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF＝∠PCO，求点F的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①用待定系数法求出函数表达式，即可求解；②由新抛物线的表达式：y＝x2﹣4x，得到直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，进而求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx−6＝﹣6，即点C（0，﹣6），OC＝6，∵∠ABC的余切值＝＝，即OB＝2，则点B（2，0），∵AB＝8，则OA＝6，即点A（﹣6，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣2）（x+6）＝a（x2+4x﹣12），即﹣12a＝﹣6，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣6；（2）①∵PO＝PB，则点P在OB的中垂线上，故x P＝1，当x＝1时，y＝x2+2x﹣6＝﹣，故点P（1，﹣）；设新抛物线的表达式为：y＝x+bx，将点P的坐标代入上式得：﹣＝+b，解得：b＝﹣4，故新抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x，如下图，延长CP交x轴于点H，该函数的对称轴为x＝4；②由①知点E（4，0），则OE＝4，设直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，将点P的坐标代入上式得：﹣＝k﹣6，解得：k＝，故直线CP的表达式为：y＝x﹣6，即tan∠OHC＝，则tan∠PCO＝＝tan∠EOF，而tan∠EOF＝＝＝，则EF＝，则点F（4，）或（4，﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、图形的平移，学会构建一次函数，利用数形结合是解题的关键．7．（2022秋•嘉定区校级期末）在平面直角坐标系xOy（如图7）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣4，0）、B（﹣2，2），与y轴的交点为C．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，联结MB，BC，求tan∠MBC；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；（2）利用配方法和解方程可得抛物线的顶点为M（﹣1，），对称轴为直线x＝﹣1，C（0，2），即可得出∠BDM＝90°，再根据三角函数定义即可求得答案；（3）运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝x+4，过点D作DH⊥OD，交射线OE于点H，过点H作HF⊥直线x＝﹣1于点F，可证得△DHF≌△ODG（AAS），得出H（﹣3，1），再利用待定系数法求得直线OE的解析式为y＝﹣x，联立方程组即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣4，0）、B（﹣2，2），∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2与y轴的交点为C，∴C（0，2），∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴抛物线的顶点为M（﹣1，），对称轴为直线x＝﹣1，如图1，连接BC交抛物线的对称轴直线x＝﹣1于点D，∵B（﹣2，2），C（0，2），∴BC∥x轴，∴∠BDM＝90°，∴D（﹣1，2），∴BD＝﹣1﹣（﹣2）＝1，DM＝﹣2＝，∴tan∠MBC＝＝＝；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+c，∵A（﹣4，0）、B（﹣2，2），∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+4，如图2，过点D作DH⊥OD，交射线OE于点H，过点H作HF⊥直线x＝﹣1于点F，∵∠DOE＝45°，∠ODH＝90∴△ODH是等腰直角三角形，∴DH＝OD，∵∠OGD＝∠DFH＝90°，∴∠DHF+∠HDF＝90°，∵∠ODG+∠HDF＝90°，∴∠DHF＝∠ODG，∴△DHF≌△ODG（AAS），∴DF＝OG＝1，FH＝DG＝OC＝2，∴H（﹣3，1），设直线OE的解析式为y＝mx，则﹣3m＝1，解得：m＝﹣，∴直线OE的解析式为y＝﹣x，联立方程组，得：，解得：，∴点E的坐标为（﹣3，1）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角函数定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是通过构造全等三角形求出OE的解析式，联立方程组求点E的坐标．8．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC＝3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB＝∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3，∵tan∠OAC＝3，∴OA＝1，即点A的坐标为（﹣1，0），又点B（3，0），∴，解得，∴抛物线的函数表达式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵∠PAB＝∠CAB，∴tan∠PAB＝tan∠CAB＝3，∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），∴3（x+1）＝x2﹣2x﹣3，得x＝﹣1（舍去）或x＝6，当x＝6时，y＝21，∴点P的坐标为（6，21）；（3）如图，设点D的坐标为（0，y），易得△ABC为∠ABC＝45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，∴点D在点C的上方，∴∠DCB＝45°，∴∠ABC＝∠DCB，∵AB＝4，BC＝，DC＝y+3，①如果＝，则＝，∴y＝1，即点D（0，1），②如果＝则＝，∴y＝，即点D1（0，）．【点评】P点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．9．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+3x+c经过A（0，4）和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点P与点N重合，连接PA，求∠DAP的正弦值；（3）若PE∥x轴交AB于点E，若，求点E的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求解抛物线的表达式；（2）如下图，过点C 作CH ⊥AP 于点H ，先求出点M ，N 的坐标，从而求得OA ＝4，ON ＝4，，利用待定系数法求得直线AB 为：，进而求得C （﹣3，0），PC ＝1，PC ＝5，根据面积公式即可求得，从而即可得解；（3）先证△OCA ∽△PED ，得，∠COA ＝∠EDP ＝90°，进而得，利用面积求得PE＝1，设点E 的坐标为，则点，进而有方程，解方程即可得解．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过A （0，4）和两点，∴，解得，∴抛物线的表达式y ＝﹣x 2+3x +4；（2）如下图，过点C 作CH ⊥AP 于点H ，在抛物线y＝﹣x2+3x+4中，令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴M（﹣1，0），N（4，0），又∵A（0，4），∴OA＝4，ON＝4，，设直线AB为：y＝kx+b，∵y＝kx+b过A（0，4）和，∴，解得，∴直线AB为：，令y＝0，则，解得x＝3，∴C（﹣3，0），∴PC＝OP﹣OC＝4﹣3＝1，，＝CP•OA＝PA•CH，即∴S△ACP∴，∴；（3）∵PD⊥x轴，AO⊥x轴，∴PD∥AO，∴∠OAC＝∠EDP，∵PE∥x轴，∴∠OCA＝∠DEP，∴△OCA∽△PED，∴，即，∴，＝PD•PE＝，∵S△PED∴PE＝1，设点E的坐标为，则点，∵PE∥x轴，∴，解得，当x0＝3时，，当，，∴点E的坐标为（3，0）或．【点评】本题主要考查了二次函数的图像及性质、待定系数法求一次函数与二次函数、相似三角形的判定及性质以及正弦，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及二次函数的性质是解题的关键．10．（2022秋•徐汇区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为（6，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，点D是BC上方抛物线上的一个动点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积为时，求点D的坐标；（3）是否存在点D，使得∠DCB＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；（2）如图，连接OD，设D（x，﹣x2+x+3），令x＝0，则y＝3，即C（0，3），而B（6，0），再分，S△DOC，S△BOD，再利用△BCD的面积为列方程求解即可；别表示S△BOC（3）过D作DQ∥y轴交BC于Q，过C作CF⊥DQ于F，点D作DE⊥BC，垂足为点E，则CF∥x轴，可得∠FCB＝∠ABC，证明CD＝CQ，DF＝FQ，设D（x，﹣x2+x+3），则Q（x，﹣x+3），F（x，3），再列方程求解即可．【解答】解：（1）∵B点的坐标为（6，0），抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，∴，解得：，所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）连接OD，过点D作DE⊥OB于点E，如图，设D（x，﹣x2+x+3），∵点D是BC上方抛物线上的一个动点，∴0＜x＜6．∴DE＝﹣x2+x+3，OE＝x，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．∵B（6，0），∴OB＝6．＝S△DCO+S△DOB﹣S△OBC，△BCD的面积为，∵S△BCD∴×OC•OE+×OB•DE﹣×OB•OC＝，∴×3×x+×6×（﹣x2+x+3）﹣×6×3＝，整理得：x2﹣6x+5＝0．解得：x＝1或x＝5，∴D（1，）或（5，）；（3）存在点D，使得∠DCB＝2∠ABC，理由：过D作DQ∥y轴交BC于Q，交OB于点G，过C作CF⊥DQ于F，点D作DE⊥BC，垂足为点E，如图，当∠DCB＝2∠ABC时，∵CF∥x轴，∴∠FCB＝∠ABC，∴∠DCB＝2∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，在△DCF和△QCF中，，∴△DCF≌△QCF（ASA）．∴CD＝CQ，DF＝FQ，设BC的解析式为：y＝mx+n，∴，解得：，∴直线BC的解析式y＝﹣x+3设D（x，﹣x2+x+3），∵点D是BC上方抛物线上的一个动点，∴0＜x＜6．∴DG＝﹣x2+x+3，OG＝x，则Q（x，﹣x+3），F（x，3），∴FG＝3，QG＝﹣x+3．∴DF＝DG﹣FG＝（﹣x2+x+3）﹣3＝﹣x2+x，FQ＝FG﹣QG＝3﹣（﹣x+3）＝x，∴﹣x2+x＝x，解得：x1＝2，x2＝0（不符合题意，舍去），∴x＝2．∴D（2，4）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．11．（2022秋•徐汇区期末）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B （2，2），与y轴的交点为C．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用配方法可求出点M的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，利用分割图形求面积法可得出△AMC的面积；（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，则△BGA，△OCB是等腰直角三角形，进而可得出∠BAO＝∠DBO，由∠DOB+∠BOE＝45°，∠BOE+∠EOA＝45°可得出∠EOA＝∠DOB，进而可证出△AOE∽△BOD，利用相似三角形的性质结合抛物线的对称轴为直线x＝1可求出AE的长，过点E作EF ⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出AF、EF的长，进而可得出点E的坐标．【解答】解：（1）将A（4，0），B（2，2）代入y＝ax2+bx+2，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2．（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，∴顶点M的坐标为（1，）．当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，如图1所示．＝S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM，∴S△AMC＝（HM+AO）•OH﹣AO•OC﹣CH•MH，＝×（1+4）×﹣×4×2﹣×（﹣2）×1，＝．（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，如图2所示．∵点B的坐标为（2，2），点A的坐标为（4，0），∴BG＝2，GA＝2，∴△BGA是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°．同理，可得：∠BOA＝45°．∵点C的坐标为（2，0），∴BC＝2，OC＝2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，BO＝2，∴∠BAO＝∠DBO．∵∠DOE＝45°，∴∠DOB+∠BOE＝45°．∵∠BOE+∠EOA＝45°，∴∠EOA＝∠DOB，∴△AOE∽△BOD，∴＝．∵抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴是直线x＝1，∴点D的坐标为（1，2），∴BD＝1，∴＝，∴AE＝，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，∴EF＝AF＝1，∴点E的坐标为（3，1）．【点评】三角形（梯形）的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积公式，求出△AMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出AE的长度．12．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，二次函数y＝+bx+c的图象交坐标轴于点A（4，0），B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y＝+bx+c的表达式；（2）将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，若D恰好在抛物线上，求点D的坐标；（3）过点P作PQ⊥x轴分别交直线AB，抛物线于点Q，C，连接AC．若以点B、Q、C为顶点的三角形与△APQ相似，直接写出点P的坐标．【分析】（1）将A（4，0），B（0，﹣2），代入y＝+bx+c，即可求解；（2）设P（t，0），过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP（AAS），则D（t+2，﹣t），将D点代入抛物线解析式得﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），求得D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；（3）根据∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，待定系数法求得直线BC的解析式，解方程组得到P点的坐标；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式可得结论；【解答】解：（1）将A（4，0），B（0，﹣2），代入y＝+bx+c得，解得，∴二次函数y＝+bx+c的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）当x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，∴OB＝2，设P（t，0），如图2，过点D作x轴垂线交于点N，∵∠BPD＝90°，∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，∴∠NPD＝∠OBP，在△PND和△BOP中，，∴△PND≌△BOP（AAS），∴OP＝ND，BO＝PN，∴D（t+2，﹣t），∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），解得t＝1或t＝﹣10，∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴设直线AB的解析式为y＝x﹣2，∵PC∥y轴，∴∠APQ＝90°，∵∠AQP＝∠BQC，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBQ＝90°时，设P（x，0），则C（x，x2﹣x﹣2），Q（x，x﹣2），∵∠APQ＝∠CBQ＝90°，∠AQP＝∠CQB，∴△APQ∽△CBQ，∵BC⊥AB，∴设直线BC的解析式为y＝ax+c，∴a＝﹣2，c＝﹣2，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，解得，或（不合题意舍去），∴P（﹣11，0）；（②当∠BCQ＝90°时，则B和C是关于对称轴的对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝1，∴P（1，0）；综上，点P的坐标是（﹣11，0）或（1，0）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．13．（2022秋•青浦区校级期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，即可求解；②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A（1，﹣1），点B（m，m），则m ＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a＝1＞0，y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，03，3）；②当OC∥AB时，∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），∵四边形OABC是梯形，∴直线x＝m在y轴左侧，∵BC与OA不平行，∴OC∥AB，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的；当OB∥AC时，同理可得：抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2+2＝x2﹣4x+6，当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．。

上海中考数学第22题

上海中考数学第22题上海中考数学第22题第一段：题目描述与背景介绍（100字）作为中学生的关键一年，中考对于每一位学子来说都非常重要。

其中，数学科目一直被认为是许多学生的难点。

今天，我们来聚焦上海中考数学卷的第22题，探索一下这个有趣又具有挑战性的问题。

第二段：题目内容（150字）题目如下：某小组有9个人，每个人都是这9人中其余8人的好友之一。

若某人有6个好友，那么该人的6个好友之间至少有几对好友？本题要求根据题目给定的条件，计算某人的6个好友之间至少有几对好友。

这道题目考察了组合、排列的基本概念与运算规律，并要求学生能够应用这些知识解决实际问题。

第三段：解题思路（250字）解答该题目的关键在于正确理解题意。

首先，我们知道某个人有6个好友，那么他本人也是这9人中的一员。

同时，每个人都是其余8人中的好友之一，因此他的这6个好友中包括了另外5位，而这5位好友和他本人之间还需要选择配对。

因此，我们可以考虑这个问题的排列组合解决思路。

首先，我们从6个好友中选出2个好友作为一对，这样就有C(6,2) = 15种可能性。

接着，我们从4个剩下的好友中选出2个作为另外一对，这样就有C(4,2) = 6种可能性。

最后，我们从2个剩下的好友中选出2个作为最后一对，也就是只有一种可能性。

根据排列组合的乘法原理，将各个步骤的可能性相乘即可得到结果：15 × 6 × 1 = 90。

所以，某人的6个好友之间至少有90对好友。

第四段：数学知识的运用（150字）通过解答上海中考数学第22题，我们不仅巩固了排列组合的基本概念与运算规律，还学会了如何应用这些知识解决实际问题。

排列组合是数学中非常重要的一部分，它的应用范围非常广泛，不仅局限于数学竞赛中，还能在概率统计、图论等领域找到它的应用。

因此，在学习数学的过程中，我们应注重培养自己的逻辑思维能力与创造力，不断提升解决问题的能力。

结束段：总结（100字）上海中考数学第22题是一道运用排列组合知识解决实际问题的题目。