初中数学竞赛 知识点和真题 第20讲 锐角三角函数

第20讲 锐角三角函数
没有精确的数学计算，没有多种测量和
几何作图，社会生产就无从进行。

——凯洛夫 知识方法扫描
三角函数是基本初等函数之一，在科学技术许多领域中应用广泛，锐角三角函数体现了直角三角形中边和角之间的数量关系，因此它本身是几何和代数的一种结合体，用特殊角三角函数值和三角函数性质解题的方法称为三角法，用三角法解题通常要与构造直角三角形相结合。

① 掌握锐角的三角函数即角的正弦，余弦，正切，余切的定义；同角三角函数间的关系，如α
ααcos sin tan =,1cos sin 22=+αα等； ② 掌握三角函数值的取值范围，当0º≤α≤90º时，0≤sinα≤1, 0≤cosα≤1； ③ 会解直角三角形；
④ 要会利用当锐角变大时，其正弦值和正切值也变大，而余弦值和余切值变小的规律来处理关于比较同名函数值大小的问题；
⑤ 要会解答三角与代数，三角与几何的综合问题
经典例题解析
例1．已知,1cos cos 2=+θθ 求θθθθ8642sin sin sin sin 2+++的值。

解．1cos cos 2=+θθ ，θθθ22sin cos 1cos =-=∴。

+∴θ2sin 2θθθθθθθ432864cos cos cos cos 2sin sin sin +++=++ )cos (cos cos cos )cos (cos 222θθθθθθ++++=
211cos cos 12=+=++=θθ
例2．（1987年宁波市初中数学竞赛试题）若α为锐角，求证：
1114sin cos sin cos αααα
++>。

证明 1114s i n c o s s i n c o s
αααα++- =111(1)(1)(2)sin cos sin cos αααα
-+-+- =1sin 1cos 12sin cos sin cos sin cos αααααααα
---++
=2
1sin 1cos (sin cos )sin cos sin cos αααααααα
---++ ∵α为锐角， ∴0<sin α<1, 0<cos α<1 , ∴1-sin α>0, 1-cos α>0,
∴ 21sin 1cos (sin cos )sin cos sin cos αααααααα---++>0, 即1114sin cos sin cos αααα
++>。

例3．设θθθ,1sin sin 2=+为锐角，下列结论中正确的是( )．
1cos cos )(2<+θθA 1c o s c o s )(2=+θθB
1cos cos )(2>+θθC θθ2c o s c o s )(+D 与1的大小关系不确定
解 θθ2sin ,sin 在o o 900≤≤θ内其值随θ的增大而增大，当 45=θ时，
+θsin 12
122s in 2>+=θ。

所以满足1s in s in
2=+θθ的,45o <θ 此时,c o s s in ,c o s s in 22θθθθ<<故,1cos cos 2>+θθ选C
例4．（1996年山东省初中数学竞赛试题）在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA 和sinB 是方程x 2-2x-k=0的两个根，求∠A 和∠B 的度数及k 的值。

解 ∵sinA 和sinB 是方程x 2-02=-k x 的两个根，由根与系数的关系，得： ⎩⎨⎧-=⋅=+k B A B A s i n s i n 2s i n s i n ①式两边平方，得sin 2A+2sinA+sinB+sin 2B=2
∵∠A+∠B=90° ∴sinB=cosA
又sin 2A+cos 2B=1,
∴ 2sinAcosA=1, ③
将②代入③得：-2k=1
∴ k=-21 ④
将④代入方程x 2-得,02=-k x ：x 2-0212=+
x 解之，得x 1=x 2=22，即sinA=sinB=2
2。

∴∠A=∠B=45° 例5．（1990年安庆市初中数学竞赛试题）锐角α和锐角β互余，记f =sin α+sin β，则有（ ）。

（A ） 1<f ≤2（B ）1≤f <2（C ）1<f <2（D ）1≤f ≤2
①
②
解 作三角形ABC ， 使得∠A=α，∠B=β，则∠C=90º。

若AB=c, 则BC= c sin α，AC= c sin β。

因BC+AC>AB, 故c sin α+ c sin β> c ，f =sin α+sin β>1. 又 BC 2+AC 2=AB 2，故(c sin α)2+( c sin β)2 = c 2, sin 2α +sin 2β = 1
f 2=(sin α+sin β) 2= sin 2α +sin 2β+2 sin αsin β≤1+ sin 2α +sin 2β=2 , f ≤2.
故有1<f ≤2 ， 应选（A ）
例6．(1995年武汉，广州，重庆，洛阳，西安五市初中数学联赛试题)已知⊙O 外接于△ABC ，AB,BC,CA 都不是圆的直径，且⊙O 的任一条直径所在的直线都不能使A,B,C 三点在这条直线的同侧。

（1）△ABC 是什么三角形？为什么？
（2）试证明△ABC 的三个角中，任一角的正弦大于其它两个角的余弦。

解 （1）若线段AB,BC,CA 中有一条是圆的直径，则△ABC 是直角三角形，但AB,BC,CA 都不是圆的直径，故△ABC 不是直角三角形。

若线段AB,BC,CA 在某直径的同侧，则△ABC 的三个角中，必有一角所对的弧大于半圆，这个角必大于90º，此时△ABC 为钝角三角形，但⊙O 的任一条直径所在的直线都不能使A,B,C 三点在这条直线的同侧，故△ABC 不可能为钝角三角形。

所以△ABC 是锐角三角形。

（2）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+B>90º, A>90º-B 。

因为正弦函数值随角的增大而增大，于是sinA > sin(90º-B)=cosB. 同理，sinA >cosC 。

即任一角的正弦大于其它两个角的余弦。

例7．（1984年苏州市初中数学竞赛试题）若0º≤θ≤90º，且适合
(1-sin θ)2(2+sin θ)=3
2，则必有θ<30º. 证明 由0≤sin θ≤1, 有 2≤2+sin θ≤3. 故有
3
2=(1-sin θ)2(2+sin θ) ≤3(1-sin θ)2 即1-sin θ≥32，或sin θ≤1-32，从而 2+sin θ≤3-
32，再代入题设式有32=(1-sin θ)2(2+sin θ) ≤(1-sin θ)2(3-32)，故有(1-sin θ)2≥292->4
1, 即1-sin θ>21, 从而sin θ<21,故必有θ<30º. 例8．设x 2+y 2=1，且x≠-1，y≠-2，求证：
y x x y y x x y +-+=++-111)(2。

分析 本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件x 2+y 2=1，联想到sin 2α+cos 2α=1，因此可设x=sinα，y=cosα，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些．
证明 设x=sinα，y=cosα，则
y x x y +-+11=α
αααcos 1sin sin 1cos +-+=)cos 1)(sin 1(sin sin cos cos 22αααααα++--+。