微积分1--5章复习

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微积分复习题(1)(1)

《微积分》期末考试复习题第一章函数与极限2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-6. 求下列极限：24213423(2)lim ;31(4)lim ;31(1)(2)(3)(6)lim ;5x x n x xx x x xx x n n n n →→∞→∞+-+--++++ 7若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 9. 通过恒等变形求下列极限：2243222231016811(2)lim ;(4)lim ;15422 (5)lim log (1)113 (12)lim ;(13)lim ; (11)lim ; (1)11(1n n x x x a x x x x x x x xx x x x x x x →∞→→+∞→→→→-+⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭+-+⎛⎫- ⎪---⎝⎭3sin 0001sin 4)lim ; (15)lim(12); (16)lim ln .x xx x x a x x x x→→→-+11. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 013(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);xx x x xx x x x x x x x +→∞→∞→→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+12. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()1201(1)lim ;(4)lim .1e xx xx x x x →→∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭14. 利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：000sin 1cos 2(1)lim;(3)lim ;sin sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ;2x x n n x n mx xnx x xx x x →→→→∞-16、若0→x 时,1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小,求a 的值。

微积分复习

0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
o
D
r = ϕ (θ )
β
α
图2
A
∫∫
D
f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
β ϕ (θ )
= ∫ dθ ∫
α
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
（3）区域如图）区域如图3
r = ϕ (θ )
π 0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
D
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图3
= ∫ dθ ∫
0
2π
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
微积分口诀
——无穷级数
10：无穷级数不神秘，部分和后求极限。：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 11：正项级数判别法，比较比值和根值。：正项级数判别法，比较比值和根值。
α ≤θ ≤ β,
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
r = ϕ1 (θ)
D
α
β
o
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图1
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
（2）区域如图）区域如图2
α ≤θ ≤ β,
级数（1） un , 级数（2） vn敛散性判别法 ∑ ∑
n =1 n =1
∞
∞
级数的收敛性名称条件收敛 Ι 比较判别法 ΙΙ 发散若级数(2)收敛，若级数(1)发散，则级则级数(1) 数(2)发散收敛当0<A<+ 时，当A=+ 时，若级数若级数(2)收敛， (2)发散，则级数则级数(1)收敛 (1)发散当0≤r<1时当r>1时

大学微积分总复习提纲

2
微积分（一） calculus
第二章极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章函数
初等函数分段函数
定义域、值域奇偶性周期性有界性反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章函数
经济学函数
需求与供给函数成本函数收益函数利润函数库存函数
边际与弹性最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章导数与微分
基本公式
求导数
四则运算链式法则反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限极限四则运算未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法

高数高频易错点

经济数学――微积分复习提纲第一章函数1、函数的定义域及分段函数的求值。

2、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

3、常用的经济函数(需求函数、供给函数、总成本函数、总收益函数、总利润函数、库存函数)第二章极限与连续1、无穷小的定义与性质。

1）极限为零的变量称为无穷小量。

注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.（2）零是常数中唯一的无穷小量。

2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。

3）函数极限与无穷小的关系：的充要条件是，其中A为常数，。

2、无穷大的定义。

在某一变化过程中，若f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)为此变化过程中的无穷大量。

注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。

3、无穷大与无穷小互为倒数。

4、极限的运算法则。

见教材P48 定理1、2、3、4及推论1、25、两个重要极限。

会用重要极限求函数极限。

6、会用等价无穷小代替求极限7、连续的定义。

见教材P66函数f(x) 在点x0处连续，必须同时满足三个条件：1) 在点x0处有定义；2）存在；3）极限值等于函数值，即。

8、函数在点连续的充分必要条件是：既左连续又右连续。

9、函数在点处连续与该点处极限的关系：函数在点处连续则在该点处必有极限，但函数在点处有极限并不一定在该点连续。

10、如何求连续函数的极限连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即11、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。

12、如何求连续区间？基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

13、间断点的定义。

14、间断点的类型。

（一）第一类间断点1、可去间断点（1）在处无定义，但存在。

微积分-期末复习总结整理-第一章.docx

第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。

2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。

二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。

显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。

当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。

第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。

假设B中的元素为y。

则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。

我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。

符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。

微积分(上)复习资料_公式

1
0
0
-1
不存在
0
0
不存在
(1) (2)
(3)
(B )
定理 2 复合函数极限
设函数
是函数
，
的复合函数。
若
,
在有定义且
，则
因为
，所以定理结论也也可写成
推论 3 若
存在，C 为常数，则
推论 4 若
存在，n 为正整数，则
2.3 常用极限
lim n a (a o) 1
n
lim n n 1
n
lim arctan x
sin
a
b
sin
a
b
6.万能公式
2 tan a
sin a
2
1 tan2 a
2
7.平方关系
1 tan2 a
cos a
2
1 tan2 a
2
2 tan a
tan a
2
1 tan2 a
2
sin2 x cos2 x 1
sec2 x ta n2 x 1
csc2 x cot2 x 1
8.倒数关系 tan xcot x 1 9.商数关系
cos A 1 cos A
2
2
cot A 1 cos A sin A 2 1 cos A 1 cos A
4.和差化积公式
sin a sin b 2sin a b cos a b
2
2
sin a sin b 2cos a b sin a b
2
2
cos a cos b 2cos a b cos a b
⑼ ax ax ln a ⑽ ex ex
⑾

微积分上学期答案

1微积分答案第一章函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ；３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4；（2）25；（3）1；（4）5；（5）2.2、（1）3；（2）0；（3）2；（4）5e -；（5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。

第二章极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1；（4）0；（5）12．四、略。

微积分(上)复习

n
n−1
同步练习P6 同步练习一、13，33，35 ，，二、6，9，16 ，，
11/58
(6)幂指函数求导法幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以为底的复合函数再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存在的点). 在的点). (3) 间断点
①可去间断点(左可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点例如：例如：振荡
同步练习P5 同步练习二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质无穷小与无穷大的概念与性质（1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（微积分（上）

微积分专复习题

微积分复习题第一章函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( B )A. (0，5)B. (1，5 )C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ D ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.下列函数中为奇函数的是（ D ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4)D.y=1e 1e x x +-4.函数f(x)=1+xsin2x 是（ B ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数5.下列极限正确的是( A ) A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ； C.1sin lim =∞→x x x ； D.12sin lim 0=→xx x ；6.=→2xtan3xlimx （ B ） A.∞B.23C.0D.17.xmxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( D )A.0B. 1C.m1D. m8.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x ax xx x f 在x=0处连续，则常数a=（ B ）A.0B.1C.2D.39.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ，，在0=x 点处连续，则k 等于( B ) A.0； B.1； C. 21； D. 2；10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ，　，在点0=x 处连续，则k 等于 ( B ) A. 0 B. 41 C. 21 D. 2二、填空题1.=-∞→xxx x sin lim ______1_____2.x x x)21(lim +∞→＝ 2e . 3.设f(x)=⎩⎨⎧>-≤+010sin x e x ax x在x=0处连续，则常数a=____0_________. 三、解答题 1. 求下列各极限：(1) 64lim 222-+-→x x x x解：原式22(2)(2)24limlim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+ (2) xxx x cos 1sin lim 0-→解：原式=00022sin cos cos2222limlim 2lim cos 211222sin sin sin222x x x x x x xx x x x x x →→→⋅⋅==⋅=⋅⋅= (3) )1312(lim 321---→x x x 解：原式= 22211232(1)3(1)lim lim (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→⎛⎫++-+-= ⎪-+-++-+++⎝⎭ = 2221121(21)(1)lim lim (1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→--+-=-+++-+++ 21(21)31lim(1)(1)232x x x x x →+===+++⋅第二章导数及其应用一、单项选择题:1.如果f(x 0)=0且f '(x 0)存在，则=-→0x x x x )x (f lim 0( A ) A.f '(x 0)B. 0C. 不存在D. ∞2.设y=log a x （a>0，a ≠1），则dy=（ D ） A.x1dx B.x 1 C.ax ln 1 D.ax ln 1dx 3.设函数u(x),v(x)可导，且u(x)≠0,若)()(x v x u y =，则y '等于（ B ）A ．)()()()()(2x v x v x u x v x u ''+' B ．)()()()()(2x v x v x u x v x u '-' C ．)()()()()(2x v x v x u x v x u +'' D ．)()()(2x v x v x u ''4.设y=2x +e 2,则y ′=（ C ）Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 5.设y=sin(7x+2),则=dxdy( B ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2) 6.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ B ） A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0D.x-y+2=07.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ A ）A.)0,(-∞B. ),(+∞-∞C.),0(+∞D.（－1，1） 8.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ A ） A.),1(+∞ B.)1,(-∞ C.),(+∞-∞D.),2(+∞二、填空题1.曲线2x x y +=上点(1,2)处的切线平行于直线13-=x y .2.设y=xlnx+x 2，则dy=(ln 12)x x dx ++.3.函数2x 11y +=的单调递减区间是(0,)+∞ 4.若函数)(x f 在0x 点取得极小值，且)(x f 在0x 点可导，则)(0x f '必为____0_______．5.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a - 1，=c ___1____．6.设)(),(x g x f 可导，0)0()0(==g f ，当0≠x 时0)(≠'x g ，且A x g x f x =''→)()(lim，则=→)()(limx g x f x A ．三、解答题： 1.求下列函数的导数:(1) +=xxe y xxsin 解：22cos sin cos sin (1)x x xx x x x x x y e xe e x x x⋅-⋅-'=++=++ (2) ()1ln +=x x y解：1ln(1)(1)ln(1)11x y x x x x x x ''=++⋅+=++++ （3）2sin )32cos(xx y +-=解：1sin(23)(23)cos 3sin(23)cos 2222x x xy x x x '⎛⎫''=--⋅-+⋅=-+ ⎪⎝⎭2.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．解：方程两边对x 求导: 0x y y xy e e y ''+-+⋅=解得：x y e y y x e -'=+ 当0x =时，0y = 于是000|10x e y e=-'==+ 3.求下列极限：（1）xxe x x sin cos lim 0-→；解：原式0sin 10lim1cos 1x x e x x →++=== (2) 30sin lim x xx x -→解：原式2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-=== (3) )1e 1x 1(lim x 0x --→ 解：原式0001111lim lim lim (1)(1)1102x x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---=====--+++++ 四、证明题1.证明：当x>0时，e x >1+x.证：设()(1)x f x e x =-+，则0(0)(10)0f e =-+=()10x f x e '=->，显然()f x 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞上可导所以()f x 在[0,)+∞上单调增加，则()(1)(0)0xf x e x f =-+>=即0x >时，1xe x >+第三章不定积分一、单项选择题1.若⎰⎰=++=dx )1x 2(f ,C )x (F dx )x (f 则（ B ）A. 2F(2x+1)+CB.C )1x 2(F 21++ C.C )x (F 21+ D.2F(x)+C2.设)()(x f x F ='，则下列正确的表达式是（ B ） A.⎰+=C x f x dF )()( B.⎰+=C x F dx x f )()(C.⎰+=C x f dx x F dxd)()( D. ⎰+='C x f dx x F )()( 3.设⎰+=C xxdx x f ln )(，则=)(x f （ D ） A.21ln x x - B.2)(ln 21x C.x ln ln D.2ln 1xx - 4.⎰=xdx 3sin （ B ） A.C x 3cos 31+B. -C x 3cos 31+C. –cos3x+CD. cos3x+C5.下列等式计算正确的是（ A ）A.⎰+-=C x xdx cos sinB.⎰+=---C x dx x 43)4(C.⎰+=C x dx x32D.⎰+=C dx x x336．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( C ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. xx y x y sin 1'=+D. x y y ='+''2 二、填空题1.⎰=-dx x )12sin( 1cos(21)2x C --+． 2.不定积分⎰=dx x33ln 3xC +． 3.微分方程0y dxdy =-的通解为xy Ce = 4.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是132y Cx =- 三、解答题 1.求下列不定积分：（1）⎰++dx x x x )1(21222；解：原式222222(1)111arctan (1)1x x dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰（2）⎰+dx x )1ln(2；解：原式22222ln(1)ln(1)ln(1)1xx x xd x x x x dx x =+-+=+-⋅+⎰⎰22222(1)11ln(1)2ln(1)2(1)11x x x dx x x dx x x +-=+-=+--++⎰⎰ 2ln(1)2(arctan )x x x x C =+--+2.求解下列微分方程：（1）22x e xy dxdy-=+ 解：2()2,()x P x x Q x e-==由通解公式2()()22()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()2222xx x xe e e dx C e x C ---=+=+⎰（2）y ′+ycosx=e -sinx解：sin ()cos ,()x P x x Q x e -==由通解公式()()cos cos sin ()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()sin sin sin sin xx xx e eedx C e x C ---=+=+⎰（3）x y '+y=xe x ， y(1)=1 解：两边除以x ，1x y y e x '+=，1(),()x P x Q x e x== 由通解公式11()()()dx dx P x dxP x dx x x x y e Q x e dx C e e e dx C --⎛⎫⎰⎰⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()ln ln 11xx xxxe e e dx C xe dx C xdeC x x-=+=+=+⎰⎰⎰()()11x x x x xe e dx C xe e C x x =-+=-+⎰ 第四章定积分及其应用一、单项选择题1.=⎰→320sin limx dt t xx （ B ）A.41 B.31 C.21D.12.=⎰-22cos ππxdx x （ C ）A. π32B.34 C. 0 D.32 3.⎰-=ππxdx x sin 2（ D ）A.2B.1C.-2D.04.广义积分⎰+∞1xdx （ B ）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于15.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.⎰∞1dx x B.⎰∞11dx xC.⎰∞11dx xD.⎰∞121dx x二、填空题 1.⎰-=++113.___2___)1cos 3(dx x x x2.已知函数f(x)=⎰-=⎩⎨⎧>+≤-21dx )x (f 0x ,x 10x ,x 1则____112_______. 三、解答题(图自己画)1.计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。

微积分(I)复习(不定积分与定积分)

7） b f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
8）估值定理
若m f ( x) M ,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
9）中值定理
若f ( x) C[a, b], 则存在 [a, b],
使得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
10）广义中值定理
若f ( x) C[a, b], g( x) R[a, b]且在[a, b]
上不变号, 则存在 [a, b], 使得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx .
(四)变上限定积分
x2 a2 dx.
x
解令 x asec t, 则
原式

a tant asec t

asin t cos2 t
dt

a
sin 2 t cos2 t
dt

a
tan 2
tdt
a (sec 2 t 1)dt a sec2 tdt dt
a d tant dt a tant at C
限值为f ( x)在[a, b]上的定积分，记作
b
n
a
f ( x)dx

lim
0 k1
f (k )xk
此时称f ( x)在[a, b]上可积.
2.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.

微积分总复习题详细答案

微积分总复习题详细答案一、极限与连续性1. 极限的定义- 极限是描述函数在某点或无穷远处的行为。

对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε，则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限。

2. 极限的运算法则- 极限的加法法则：lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)- 极限的乘法法则：lim(x→a) (f(x) * g(x)) = (lim(x→a)f(x)) * (lim(x→a) g(x))- 极限的除法法则：lim(x→a) (f(x) / g(x)) = (lim(x→a)f(x)) / (lim(x→a) g(x))，前提是lim(x→a) g(x) ≠ 0。

3. 连续性的定义- 函数f(x)在点a处连续，如果lim(x→a) f(x) = f(a)。

4. 间断点的类型- 可去间断点：函数在a点的左极限或右极限存在，但不等于f(a)。

- 跳跃间断点：函数在a点的左极限和右极限都存在，但两者不相等。

- 无穷间断点：函数在a点的左极限或右极限为无穷大。

二、导数与微分1. 导数的定义- 函数f(x)在点a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [(f(a+h)- f(a)) / h]。

2. 导数的几何意义- 导数表示函数在某点处的切线斜率。

3. 基本导数公式- (c)' = 0，其中c是常数。

- (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。

- (sin(x))' = cos(x)。

- (cos(x))' = -sin(x)。

- (e^x)' = e^x。

4. 高阶导数- 高阶导数是一阶导数的导数，记作f''(x)。

大学微积分复习(史上最全)

大学微积分复习(史上最全)引言本文档旨在为大学微积分的研究者提供一份全面的复资料。

微积分是数学领域中的重要学科，对于理解和应用各种数学问题至关重要。

通过系统的复和掌握微积分的基本概念和技巧，你将能够更好地应用微积分解决实际问题。

内容概述本文档将涵盖以下主要内容：1. 微积分的基本概念和原理2. 微分学的应用和技巧3. 积分学的应用和技巧4. 微分方程的解法5. 多元微积分的概念和应用微积分的基本概念和原理1. 函数的定义和性质2. 极限和连续3. 导数和微分- 导数的定义和计算- 常见函数的导数- 导数的应用：切线和法线4. 积分和不定积分- 积分的定义和计算- 不定积分的计算方法- 微积分基本定理微分学的应用和技巧1. 函数的图像和特性- 函数的图像和曲线的性质- 高阶导数和函数的凹凸性2. 极值和最值- 极值和最值的定义和判定条件- 最优化问题的求解方法积分学的应用和技巧1. 定积分的计算- 定积分的定义和计算方法- 常用积分公式和换元积分法2. 曲线下面积和定积分的应用- 曲线下面积的计算- 旋转体的体积计算- 曲线长度和曲面积的计算微分方程的解法1. 微分方程的基本概念和分类2. 一阶常微分方程的解法- 可分离变量方程- 齐次方程- 一阶线性方程3. 高阶微分方程的解法- 齐次线性方程和非齐次线性方程的解法- 常系数线性微分方程的特殊解- 欧拉方程和变系数线性微分方程的解法多元微积分的概念和应用1. 多元函数和偏导数2. 多重积分的计算方法- 二重积分的计算- 三重积分的计算3. 曲线积分和曲面积分- 曲线积分的计算- 曲面积分的计算- 格林公式和高斯公式结论通过全面复习本文档中所提及的内容，你将能够更好地理解和应用微积分的知识。

微积分作为数学学科中的基础和关键，对于各个领域的理解和创新都起到了重要作用。

祝你在微积分的学习和考试中取得好成绩！。

《高等数学(一)微积分》讲义

f −1 : f (D) → D
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、极限（1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，

(完整版)微积分复习资料

基本知识复习一、不定积分1．不定积分概念，第一换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。

()()'F x dx F x C =+⎰ 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2．第二换元积分法，分部积分法（1）第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3）基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。

《微积分》复习大纲1

《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。

2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。

重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。

2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。

例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。

例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。

\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。

经济数学基础--微积分复习提纲

《经济数学基础--微积分》复习提纲(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《经济数学基础--微积分》复习提纲一、第一章：函数1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。

例如：（1）函数21)(x x x f -+=的定义域是x=[0，1]；（2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…；（3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ；（4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x；（5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33x D ．xx 2(6) 设⎩⎨⎧>+≤+=05402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ；二、第二章：极限与连续1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。

能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→xx x sin lim 01。

例如：（1）443222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2；（2）3923lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3；（3）1027776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）xx im l x 110-+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→xx x sin lim0，=→x x x sin lim 01。

（7）已知122=+y x ，即y '＝yx -（课本61页例题）（8）课本35－37页有关例题。

高数一

高数一（微积分）总复习笔录---高数一（微积分）总复习笔录可能考的知识点:第一章：函数及其图形(一)对于定义域的求法：形如y=1/f(x)，要求f(x)不等于0对于根号f(x)，要求f(x)大于等于0对于Y=logf(x)，要求f(x)大于0对于y=arccosf(x)或y=arcsinf(x)，要求f(x)大于等于负1,小于等于正1.*值域：以定义域带进去求。

(二)判断函数的奇偶性：奇函数：f(-x)=-f(x)，关于原点对称；偶函数：f(-x)=f(x)，关于Y轴对称。

(1)两个偶函数之和或差是偶函数，两个奇函数之和或差是奇函数；(2)两个偶函数或两个奇函数之积或商是偶函数；(3)一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数。

(三)复合函数的分解：(四)反函数的求法：把x 从y=f(x)中反解出来即可。

* (五)经济学中常用的函数：(1)需求函数：D=(a-P)/b；D=(a-P^2)/b；(2)供给函数：S=aP-b；S=(aP-b)/(cP+d)。

(3)总收益函数。

(4)总成本函数：总成本＝固定成本+可变成本。

(5)总利润函数：第二章极限与连续(一)收敛数项级数的极限计算：1、当等比级数的公比的绝对值小于1时收敛，其和为a/(1-q)；当大于1时发散；2、荚逼定理：；3、单调上升有上界（或单调下降有下界）的数列必有极限。

(二)函数极限：1、定理：当x->x`时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在x`的左、右极限都存在并均为A。

2、极限的四则运算法则：(三)利用无穷小量与无穷大量的运算法则求极限：1、无穷小量：无穷小量的和、差、积也都是无穷小量。

有界变量与无穷小量的积为无穷小量。

2、两个无穷小量相除：a/b趋于0，a是比b高阶的无穷小，a趋于0的速度比b快；(四)利用无穷小量与无穷大量的关系求极限：(五)利用两个重要极限求极限：(六)利用函数的连续性求极限：函数在一点处连续,要求在这一点有定义,函数的极限存在,并且相等.(七)利用等价无穷小的代换求极限：(八)连续函数的运算和初等函数的连续性:1、连续函数的和、差、积、商仍是连续函数；2、设函数在区间上是单调的连续函数，则其值域是一个区间，且它的反函数是区间上的单调连续函数；3、闭区间上的连续函数必有界；4、最值定理：闭区间上的连续函数必有最大值和最小值；5、零点定理：设f(x)是[a,b]上的连续函数，且f(a),f(b)异号，则函数f(x)在（a,b）中至少有一个零点；6、介值定理：闭区间上的连续函数必能取得它在区间上的最大值和最小值之间的任何值。