高考数学参数方程

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高考数学知识点参数方程

高考数学知识点参数方程高考数学知识点：参数方程数学在高考中占据着重要的地位，其中一个重要的知识点就是参数方程。

参数方程是描述物体运动以及数学曲线的一种有效方式。

本文将从基本概念开始，逐步深入探讨参数方程的相关内容。

一、什么是参数方程？参数方程是一种使用参数表示变量关系的表达方式。

在平面直角坐标系中，我们通常使用 x 和 y 坐标轴来表示一个点的位置。

但在有些情况下，一个点的位置需要通过另外的变量来确定。

例如，我们可以使用时间作为参数来描述物体的运动轨迹。

二、参数方程的表示方法通常，参数方程可以用以下形式表示：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) 和 g(t) 是关于参数 t 的函数。

通过不同的 t 值，我们可以得到一组点 (x, y) 的坐标。

三、平面曲线的参数方程1. 点的轨迹考虑一个点 P(x, y)，沿着一条轨迹运动。

如果我们能够找到一个参数 t，能够唯一确定点的位置，那么我们可以使用参数方程来描述点的轨迹。

2. 直线的参数方程对于直线，我们可以使用参数方程表示。

例如，一条直线的参数方程可以写作：x = at + by = ct + d其中 a、b、c、d 是常数。

3. 圆的参数方程对于一个圆，我们可以使用参数方程表示。

以原点 O 为圆心，半径为 r 的圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，t 是参数，范围在[0, 2π]。

四、参数方程的应用1. 物体运动在物理学中，参数方程常常用于描述物体的运动轨迹。

例如，一个抛体运动的轨迹可以使用参数方程来表示。

2. 曲线绘制在计算机图形学中，参数方程可以用于生成各种复杂的曲线。

通过调整参数的取值，我们可以绘制出各种形状的曲线，如椭圆、双曲线等。

3. 函数的参数化有些函数无法用解析式直接表示，但可以通过参数方程来表示。

例如，钟摆的运动可以通过一个参数方程来描述。

五、参数方程的优点和不足1. 灵活性参数方程具有很大的灵活性，可以描述出各种复杂的曲线。

高三数学——参数方程

一、参数方程的概念一、参数方程的定义： 1 定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x叫做这条曲线的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2说明：(1)参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义. (2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 (3)在实际问题中要确定参数的取值范围 3. 参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标. 4. 参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点M 坐标为),(y x（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点M 坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 5. 关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单. 与运动有关的问题选取时间t 做参数. 与旋转的有关问题选取角θ做参数.或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等. 二、例题选讲例1 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（教材21页探究）解：由物理学知识得2100()15002x t t y gt =⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数 ①救援物资落地时，应有0y =，即2150002gt -= 解得10.10t ≈s.将10.10t =代入①，得到1010x ≈m.因此，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m 时投放物资，可以使其准确落在指定地点.例2已知曲线C 的参数方程是2321x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）. （1）判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系；（2）已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值.解：（1）把点1M 的坐标(0,1)代入方程组，解得0t =，因此1M 在曲线C 上. 把点2M 的坐标(5,4)代入方程组，得到253421t t =⎧⎨=+⎩这个方程组无解，因此点2M 不在曲线C 上.（2）因为点),6(3a M 在曲线C 上，所以26321t a t =⎧⎨=+⎩解得2,9t a ==. 因此，9a =. 例3设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）（2）若s m V o /100=，6πα=，当炮弹发出2秒时，求炮弹高度和射程解：(1)由物理学知识得020cos ()1sin 2x V tt y V t at αα=⋅⎧⎪⎨=⋅-⎪⎩为参数(2) 若s m V o /100=，6πα=，当炮弹发出2秒时，0220cos =100cos 2173.2611sin 100sin 29.8280.4262x V t y V t at παπα⎧=⋅⋅==⎪⎪⎨⎪=⋅-=⋅-⋅⋅=⎪⎩所以炮弹高度为80.4m ，射程为173.2m.课后练习：1．点(3,)P b在曲线1(21x t y t ⎧⎪=⎨=--⎪⎩为参数）上，则b 的值为【】 A ． —5 B ．3 C ．—5或3 D ．—2或32 曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是【】A 21)(,0)52、 B 11)(,0)52、 C 4)(8,0)-、 D 5(0,)(8,0)9、3 下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是【】A1(,)2B 31(,)42- C() D)4．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的速度分别是2m/s ，5m/s,直角坐标系的长度单位是1m ，点M的起点位置在0(1,2)M -处，则点M 的轨迹的参数方程为【】 A 22(0)15x tt y t=+⎧≥⎨=-+⎩ B15(0)22x tt y t =-+⎧≥⎨=+⎩ C 25(0)12x tt y t =+⎧≥⎨=-+⎩D12(0)25x tt y t =-+⎧≥⎨=+⎩5．已知曲线的参数方程为3214x ty t=-⎧⎨=--⎩，它表示的曲线是【】A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线6. 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x （θ为参数），当3πθ=时，曲线上对应点的坐标是 .7. 已知弹道曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==20021sin cos t g t v y t v x αα（t 为参数），则炮弹从发射到落回地面所需的时间为 .8. 已知曲线C 的参数方程是22(31x t t y t =⎧⎨=-⎩为参数）（1）判断点12(2,2),(2,3)M M -与曲线C 的位置关系（2）已知点3(4,)M a -在曲线C 上，求a 的值．参考答案：1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6. )3,23( 7．gv αsin 20 8．解：（1）把点1M 的坐标(2,2)代入方程组，解得1t =，因此1M 在曲线C 上.把点2M 的坐标(2,3)-代入方程组，得到222331t t -=⎧⎨=-⎩这个方程组无解，因此点2M 不在曲线C 上.（2）因为点3(4,)M a -在曲线C 上，所以24231ta t -=⎧⎨=-⎩解得2,11t a =-=.因此，11a =.二、圆的参数方程一、圆的参数方程1. 圆心为原点半径为r 的圆的参数方程如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置0M （t =0时的位置）出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，0OM 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数.如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是(,)M x y ，那么t θω=.设||OM r =，那么由三角函数定义，有cos ,sin x y t t r rωω==，即 cos ()sin x r tt y r tωω=⎧⎨=⎩为参数这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程.其中参数t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）.考虑到t θω=，也可以取θ为参数，于是有cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数这也是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是0OM 绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，0OM 转过的角度.2. 圆心为),(b a 原点半径为r 的圆的参数方程如图，设圆1O 上任意一点P (x ,y )，它是圆O 上一点),(111y x P 按平移向量),(b a v =平移后得到的，则根据平移公式，有⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 11，由于θθsin ,cos 11r y r x ==，故⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x ()θ为参数这就是圆心为),(1b a O ，半径为r 的圆的参数方程.二例题选讲例1如图所示，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.解：设点M 的坐标是(y x ,),xOP θ∠=,则点P 的坐标是(2cos θ,2sin θ). 由中点坐标公式可得 2cos 62sin 3cos ,sin 22x y θθθθ+==+== 因此，点M 的轨迹的参数方程是3cos ,()sin .x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数例2把圆0622=-+x y x 化为参数方程.解：方程0622=-+x y x 可化为22(3)9x y -+=，所以圆心为（3，0），半径为3. 因此，圆0622=-+x y x 的参数方程是 33cos ,()3sin .x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数例3已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ,求y x S -=3的最大值和最小值．解：由已知圆的参数方程为12cos ,()22sin .x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数33(12cos )(22sin )156cos 2sin 5)(tan )3S x yθθθθθϕϕ=-=+--+=+-=++=所以故max min 55S S =+=-课后练习：1．半径为3，圆心在点(1,2)-的圆的参数方程为【】A ．13cos (02)23sin x t t y t π=-+⎧≤<⎨=+⎩ B ．23cos (02)13sin x tt y tπ=+⎧≤<⎨=-+⎩C ．23cos (02)13sin x t t y t π=-⎧≤<⎨=--⎩D ．13cos (02)23sin x t t y t π=--⎧≤<⎨=-⎩2．(,)P x y 是曲线2c o s s i nx y αα=+⎧⎨=⎩ （α为参数）上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为【】A ．36B ．6C ．26D ．253．直线l ：32y x =+与圆：⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x 的位置关系是【】A ．相交且过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离4．点(,)P x y 是曲线c o s2(s i nx y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）上任意一点，则yx的最大值为【】A ． 1B ． 2C ．D ．5圆2224cos 4sin 30(0)x y Rx Ry R R αα+--+=>的圆心的轨迹是【】 A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 6．圆222x y x +=的参数方程为．7．点(,)P x y 是曲线2cos 12sin 1x y θθ=+⎧⎨=-⎩（θ的最大值为．8.已知点P 是圆2216x y +=上一个动点，定点(12,0)A ，点M 在线段PA 上，且2PM MA =，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹．参考答案：1．A 2．A 3．B 4．D 5．A6. 1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数） 7．2+8．解：设点M 的坐标是(y x ,),xOP θ∠=,则点P 的坐标是(4cos θ,4sin θ).∵2PM MA =， ∴由题设23AM AP =.∴(12,x y -)=2(4cos 12,4sin )3θθ-∴884cos ,sin 33x y θθ=+=因此，点M 的轨迹的参数方程是84cos ,3()8sin .3x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 . 三、参数方程和普通方程的互化一、参数方程和普通方程的互化1. 参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程的过程就是消参过程.常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数；（2）三角法：利用三角恒等式消去参数；（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去. 2. 普通方程化为参数方程一般地，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x就是曲线的参数方程.二、例题选讲例1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 211（t 为参数）；（2）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）.解：（1）由11x =≥1x =-代入1y =-，得到 23y x =-+.又因为11x =≥，所以与参数方程等价的普通方程是 23(1)y x x =-+≥. 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）.（2）把 sin cos x θθ=+平方后减去1sin 2y θ=+，得到2x y =又因为sin cos )4x πθθθ=+=+，所以[x ∈. 因此，与参数方程等价的普通方程是2x y =，[x ∈ 这是抛物线的一部分.例2 求椭圆14922=+y x 的参数方程：（1）设ϕcos 3=x ，ϕ为参数；（2）设t y 2=，t 为参数.解：（1）把ϕcos 3=x 代入椭圆方程，得到229cos 194y ϕ+=，于是2224(1cos )4sin y ϕϕ=-=，即2sin y ϕ=±.由参数ϕ的任意性，可取2sin y ϕ=，因此，椭圆14922=+y x 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 3y x （ϕ为参数）. （2）把t y 2=代入椭圆方程，得224194x t +=，于是229(1)x t =-,即x =±因此，椭圆14922=+y x 的参数方程是 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x 2132（t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧=--=ty t x 2132（t 为参数）. 例3将参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(2)1(2t t b y tt a x （t 为参数）化为普通方程，并指出它表示什么曲线.解：∵4)1()1(22=--+tt tt ，∴4)2()2(22=-bya x ，即12222=-by a x ，它表示双曲线.课后练习：1．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为【】 A 2y x =- B 2y x =+C 2(23)y x x =-≤≤D 2(01)y x y =+≤≤2．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是【】A 一条直线B 两条直线C 一条射线D 两条射线3．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y-=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =【】A ． 2B ．23C ． 52D ． 34．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为【】 A ．221,(2)416x y x -=≥ B ．221,(2)416x y x +=≥ C ．221,(2)416x y x +=≤- D ．221,(2)416x y x -=≤- 5. 参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=1212t t y t x （t 为参数）的普通方程是_______________.6. 设θtan b y =，θ为参数，则双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的参数方程是 .7 参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=222211t t y t t x （t 为参数）的普通方程是_______，表示的曲线是 ________.8．参数方程⎩⎨⎧-=-=tt y t x 2221（t 为参数）化为普通方程为 .参考答案：1．C 2．D 3．C 4．A 5 )0(0223≠=-+x y x ；6．g v αsin 20； 7．⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan cos b y a x ；9．)2(422≥=-x y x ,双曲线的右支；。

数学高考知识点参数方程

数学高考知识点参数方程在高考数学中，参数方程是一个重要的知识点。

参数方程是指用参数表示变量之间的关系，并通过参数的变化来描述这种关系。

参数方程不仅在数学中有着广泛的应用，同时也在物理、工程等多个领域中发挥着重要的作用。

一、参数的引入参数方程的引入可以简化问题的表达和计算。

举个例子，考虑一个直线上的点P，可以用其横坐标x和纵坐标y来表示。

但是如果直线是一个曲线，那么就无法简单地用一个表达式来表示。

这时，我们可以引入一个参数t，用t来表示点P在曲线上的位置。

于是，点P的横纵坐标可以分别表示为x(t)和y(t)，这就是一个参数方程。

二、参数方程的优势相比于常规的函数方程，参数方程具有一些独特的优势。

首先，参数方程的描述更加直观。

通过引入参数，我们可以更加清晰地描述出几何图形的运动轨迹。

其次，参数方程使得求解问题更加简单。

通过参数的引入，我们可以将一个复杂的问题简化为多个参数方程的求解，提高了问题的可解性。

三、参数方程的应用参数方程在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

在几何学中，参数方程可以用来描述曲线、曲面的形状和位置。

例如，圆的参数方程可以表示为x = r*cos(t)，y = r*sin(t)，其中r为半径，t为参数。

在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。

例如，一个抛物线的参数方程可以表示为x = v*cos(θ)*t，y =v*sin(θ)*t - (1/2)*g*t^2，其中v为初速度，θ为抛物线与水平方向的夹角，g为重力加速度。

在工程领域中，参数方程可以用来设计和分析曲线的形状和曲率。

例如，在建筑设计中，可以利用参数方程来描述建筑物的外观。

四、求解参数方程在高考中，我们经常会遇到求解参数方程的问题。

求解参数方程的关键在于确定参数的取值范围和方程的解析形式。

一般来说，我们可以通过限定参数的取值范围，确定曲线或曲面的一部分。

并且，我们可以通过消元、代入等数学方法，将参数方程转化为常规的函数方程，以便求解。

高三数学参数方程知识点

高三数学参数方程知识点数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它的应用广泛，对于高三学生来说，数学的学习变得更加重要和密集。

本文将着重介绍高三数学中的参数方程知识点，帮助学生全面理解并有效记忆这一概念。

一、参数方程的定义与特点参数方程是指用一个参数表示所有的自变量和因变量之间的函数关系。

通常用t作为参数，表示自变量的取值范围。

在参数方程中，将自变量和因变量用参数表示，使得函数的自变量和因变量之间的关系更为灵活。

二、参数方程的表示方法参数方程的表示方法有多种形式，常见的有向量表示法和分量表示法。

1. 向量表示法在向量表示法中，自变量和因变量都用向量表示。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可表示为：P(t) = (x(t), y(t))其中，x(t)和y(t)分别表示点P的x坐标和y坐标，t为参数。

2. 分量表示法在分量表示法中，将自变量和因变量都分别表示为关于参数t的函数。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数，t为参数。

三、参数方程应用领域参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在曲线的研究中起到重要作用。

下面分别介绍参数方程在平面曲线和空间曲线中的应用。

1. 平面曲线参数方程在平面曲线中的应用非常广泛，常见的曲线方程如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。

通过参数方程，可以对曲线的形状和性质进行更深入的研究。

例如，对于圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = a*sin(t)其中，a为半径，t为参数。

通过改变参数t的取值范围，可以绘制出一条圆的完整轨迹。

2. 空间曲线参数方程在空间曲线的研究中也起到重要作用，例如，直线、曲线、螺旋线等都可以通过参数方程来表示。

通过参数方程，可以描述物体在空间中的运动轨迹，从而研究物体的运动方式和变化规律。

四、参数方程的解法当给定一个参数方程时，我们需要求解参数方程对应的曲线方程或图形。

高中数学参数方程

参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)
．
(2)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
(θ 为参数) ．
x＝acos φ，
(3)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的参数方程为 y＝bsin φ
返回 (φ 为参数)
．
(4)双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的参数方程为xy＝＝batcaon1s
第二节
参数方程
返回
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，
y 都是某个变数 t 的函数：xy＝＝gftt，，并且对于 t 的每一个允许
值，由方程组xy＝＝gftt，所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，
那么方程xy＝＝gftt，就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做
即 7t2＋16t＝0，
解得 t1＝0，t2＝－176，所以|AB|＝|t1－t2|＝176.
答案：176
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课堂考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一参数方程与普通方程的互化
[考什么·怎么考]
参数方程与普通方程的互化是每年高考的热点内容，常与极坐标、直线与圆锥曲线的位置关系综合考查，属于基础题．
的参数方程为xy＝＝35scions
φ， φ
(φ 为参数)，过左焦点 F1

高考参数方程知识点归纳

高考参数方程知识点归纳高考数学中的参数方程作为一个重要的知识点，是考查学生对于坐标系、直线方程和解析几何的基本理解和应用能力的一种方式。

参数方程是通过引入参数的方式来描述一条曲线或者曲面的方程，它与直角坐标系有着密切的联系，可以方便地表达出不同形状和特征的图形。

在这篇文章中，我们将对高考中常见的参数方程知识点进行归纳和总结。

1. 参数方程的基本概念和应用参数方程是一种用参数的形式来表示曲线或者曲面上的点的方程，它通常以参数的形式给出，通过改变参数的取值范围，可以得到不同位置的点，从而形成一条曲线或者曲面。

在解析几何中，参数方程可以用来描述直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等各种不同形状的曲线。

2. 参数方程与直线的关系直线可以通过参数方程的形式来表示，这种表示方式可以使得直线的方程更加简洁和直观。

一般而言，一条直线在参数方程中可以表示为x=at+b，y=ct+d，其中a、b、c、d 是常数。

通过给定不同的参数值，我们可以得到直线上的不同点，从而构成整条直线。

3. 参数方程与曲线的关系参数方程在描述曲线时可以给出曲线上每个点的坐标，从而实现对曲线形状的准确描述。

例如，给定一个参数方程 x=f(t)，y=g(t)，通过给定不同的参数 t 值，我们可以获得曲线上的不同点的坐标。

参数方程不仅可以表达直线，还可以表达各种曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

4. 参数方程的转换和应用有时候，我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程转换为参数方程。

对于参数方程转换为直角坐标方程，我们可以通过将参数方程中的参数表示用 x、y 表示，然后通过联立方程求解得到直角坐标方程。

而对于直角坐标方程转换为参数方程，我们可以通过引入参数来对直角坐标进行参数化，从而得到参数方程。

5. 参数方程与面积的计算通过参数方程，我们还可以计算曲线所围成的面积。

对于曲线上的两个相邻点 P 和 Q，我们可以用线段 PQ 所围成的面积近似代替曲线围成的面积，并且随着线段 PQ 的长度逐渐缩小，所得到的近似值也会越来越接近实际面积。

高中数学参数方程知识点大全

高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义和基本概念参数方程是指用一个或多个参数表示一个点在平面或空间上的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)或x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)等形式。

1. 参数的取值范围参数的取值范围是指t,u,v等参数的取值范围，有些问题中可能要求特定的参数取值范围，例如0≤t≤1。

2. 参数方程的解析式参数方程的解析式是指将参数方程中的参数用其他变量（如x,y,z）表示出来的式子，通常要具体分析题目所求的内容，才能得到具体的解析式。

二、参数方程表示的图形及其性质参数方程表示的图形是指用参数方程所描述的点的集合，常见的有平面曲线、空间曲线和曲面。

1. 平面曲线的参数方程平面曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。

2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。

3. 曲面的参数方程曲面的参数方程一般形式为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，u,v∈D，其中D为平面区域。

三、参数方程在计算机绘制图形中的应用在计算机绘制图形中，参数方程可以方便地表示出各种曲线和曲面，并通过计算机程序实现绘制，除此之外还可以进行各种变换和操作。

1. 坐标变换坐标变换是指通过参数方程的变换操作实现图形的变形、旋转、平移等操作。

2. 光照模拟通过参数方程计算表面法向量、光照强度和光照颜色，实现真实的光照模拟。

3. 碰撞检测通过参数方程计算图形的表面或体积信息，实现碰撞检测的功能，以及物体的相交等计算。

四、参数方程的求导1. 参数方程的一阶导数参数方程的一阶导数是指对参数t求导数得到的结果，常用来表示曲线的斜率和切线方向。

2. 参数方程的二阶导数参数方程的二阶导数是指对参数t进行二次求导得到的结果，常用来表示曲线的曲率和弧度的变化率。

五、参数方程的应用示例1. 斜抛运动斜抛运动的轨迹可以用参数方程表示，通过求解初始速度、角度等参数可以得到斜抛运动的轨迹方程，从而计算两点之间的距离和时间等参数。

高考数学(理)总复习讲义：参数方程

第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ，所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数，则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4，则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程，得72t 2＋72t －5＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107，根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ，得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3，即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213，又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。

高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)

5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2

高三关于参数方程的知识点

高三关于参数方程的知识点参数方程是解决平面几何问题中一种常见的数学工具，它通过引入参数变量来描述曲线的运动轨迹或者点的位置。

在高三数学学习中，参数方程是一个重要的知识点，下面将详细介绍参数方程相关的内容。

一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数变量表示出曲线上每个点的坐标，常见的参数变量有t、θ等。

一条曲线的参数方程一般为：x = f(t)，y =g(t)，其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数。

通过给定不同的参数值，就可以确定曲线上的各个点的坐标。

二、平面曲线的参数方程表示1. 直线的参数方程直线的参数方程常常选择一个点作为起点，然后给出直线的方向向量，并以参数t确定直线上其他点的位置。

设直线过点P(x₁,y₁)，方向向量为v(a, b)，则直线的参数方程可以表示为：x = x₁+ at， y = y₁ + bt，其中t为参数。

2. 圆的参数方程对于圆，其参数方程可以通过将x和y表示为两个函数的关系得到。

设圆的圆心为(h, k)，半径为r，则圆的参数方程可以表示为：x = h + rcos(t)， y = k + rsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程与圆类似，只是在计算x和y的时候引入了椭圆的长轴和短轴。

设椭圆的中心为(h, k)，半长轴长为a，半短轴长为b，则椭圆的参数方程可以表示为：x = h + acos(t)，y = k + bsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。

4. 抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以通过将x表示为关于y的函数得到。

常见的抛物线方程为y = ax² + bx + c，通过解这个方程得到x与y之间的关系，可以得到抛物线的参数方程。

三、参数方程在几何问题中的应用参数方程在解决几何问题中具有广泛的应用，例如曲线的切线和曲率、曲线的长度、曲线的弧长等。

1. 曲线的切线和曲率通过参数方程，可以求出曲线上任一点处的切线方程和曲率。

高考参数方程知识点讲解

高考参数方程知识点讲解高考数学中，参数方程是一个比较重要的知识点。

参数方程是一种以参数形式表示的函数，通过引入一个或多个参数，可以更灵活地描述图形在坐标平面上的运动轨迹。

接下来，我们将对参数方程的相关知识点进行讲解。

1. 参数方程的概念及表示方式在解析几何中，参数方程是用参数表示一个集合点的位置所满足的运算关系。

一般来说，参数方程通过引入独立变量（或称为参数），从而将平面上的点与参数之间建立起一种对应关系。

参数方程的标准形式可以写作：x = f(t)，y = g(t)，其中x和y是平面上的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。

2. 参数方程的图形表示参数方程可以用于描述一条曲线在平面上的运动轨迹。

以二维平面为例，我们可以通过改变参数t的取值范围，使得曲线上的点在平面上运动。

通过适当地选择参数的取值范围，可以得到曲线的各个特点，例如曲线的形状、方向等。

3. 参数方程与直角坐标方程的转换在解题时，有时我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程表示为参数方程。

这种转换可以帮助我们更好地理解和分析问题。

将直角坐标方程转换为参数方程时，我们可以通过引入适当的参数，将曲线上的点与参数建立起一一对应的关系，从而得到参数方程的表示式。

相反地，将参数方程转换为直角坐标方程时，我们需要通过消元法或代数运算将参数方程表示为关于x和y的等式。

这样，在直角坐标系下，我们可以得到曲线的方程。

4. 参数方程的应用参数方程在物理学、力学等领域有着广泛的应用。

通过引入参数，我们可以更好地描述和分析运动过程中物体的位置、速度、加速度等物理量。

在几何学中，参数方程可以用于描述曲线的性质和形状。

例如，通过引入角度参数，我们可以得到单位圆的参数方程，进而分析圆的性质。

参数方程也可以用于描述曲线的运动轨迹、曲率等特征。

此外，参数方程还可以用于解决几何题。

在解题过程中，我们可以通过构造合适的参数方程，将问题转化为方程组求解或参数边界求解等数学问题。

高中数学参数方程知识点大全

高中数学参数方程知识点大全1. 参数方程的概念与定义在数学中，参数方程是一种将变量的取值指定为其他变量的函数的方式。

它由一组参数方程组成，其中每个参数都具有自己的取值范围。

参数方程可以用来描述平面上的曲线、空间中的曲线、曲面等各种几何对象。

参数方程的一般形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示平面上的点的坐标，t是自变量（参数），f(t)和g(t)是关于t的方程。

2. 参数方程的应用参数方程在数学中有广泛的应用。

以下是参数方程的一些常见应用：曲线的描述参数方程可以用来描述平面上的曲线。

通过给定不同的参数取值，可以得到曲线上的不同点的坐标。

例如，椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴长度，t为参数，取值范围为0到2π。

曲面的描述类似于曲线的描述，参数方程也可以用来描述空间中的曲面。

通过给定不同的参数取值，可以得到曲面上的不同点的坐标。

例如，球面的参数方程为：x = r*sinθ*cosφy = r*sinθ*sinφz = r*cosθ其中，r为球体的半径，θ和φ为参数，分别表示球面上的纬度和经度。

几何运动的描述参数方程可以用来描述几何对象的运动。

通过改变参数的取值，可以观察几何对象在空间中的运动情况。

例如，下面给出了一个简单的抛物线的参数方程：x = ty = t^2当参数t取不同的值时，可以得到抛物线上的不同点的坐标，从而描述出抛物线的运动轨迹。

3. 参数方程的性质参数方程具有一些特殊的性质，它们在数学中有重要的意义：反函数参数方程可以通过求解方程组得到反函数。

例如，对于参数方程：x = t^2y = t^3可以通过求解方程组，得到反函数：t = ∛yx = (∛y)^2这样就可以通过给定x和y的值，求出对应的参数t的值。

参数的限制参数方程中的参数通常有一定的限制条件。

例如，参数方程x = ty = t^2中，参数t可以取任意实数值，但如果我们限制t的取值范围为某个区间，比如[-1, 1]，就可以得到一段特定的曲线。

高考参数方程知识点总结

高考参数方程知识点总结高中数学中，参数方程是重要的知识点之一。

它可以帮助我们更好地理解和描述各种曲线，以及解决与曲线相关的问题。

在高考中，参数方程也是经常会涉及到的考点之一。

本文将对高考中常考的参数方程知识点进行总结。

一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量和因变量关系的方程。

通常用t来表示参数，在平面直角坐标系中，参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y分别是平面上某点的横坐标和纵坐标，f(t)和g(t)是关于t的函数。

二、参数方程的图像通过参数方程可以绘制出曲线的图像。

对于一条曲线上的任意一点，它的坐标可以由参数方程来表示。

通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制出完整的曲线图像。

例如，在参数方程x=2cost，y=sint中，我们可以将t的取值范围设定为0到2π。

当t=0时，点的坐标为(2cos0, sin0)=(2, 0)，当t=π/2时，点的坐标为(2cos(π/2), sin(π/2))=(0, 1)，以此类推。

连接这些点，我们就可以得到一条完整的曲线。

三、常见的参数方程曲线1. 抛物线抛物线是一种常见的参数方程曲线。

通常用参数方程x=t，y=t^2来表示。

通过改变t的取值范围，我们可以绘制出抛物线的多个点，从而得到抛物线的图像。

2. 圆圆也可以用参数方程来表示。

常用的参数方程为x=rcost，y=rsint。

其中r表示圆的半径，t的取值范围可以是0到2π。

通过改变r的值，我们可以绘制出不同大小的圆。

3. 椭圆椭圆是另一种常见的参数方程曲线。

通常用参数方程x=acos(t)，y=bsin(t)来表示。

其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，t的取值范围可以是0到2π。

通过改变a和b的值，我们可以绘制出不同形状的椭圆。

四、参数方程的应用参数方程不仅能够描述各种曲线，还可以解决与曲线相关的问题。

1. 曲线的切线和法线通过参数方程，我们可以求出曲线上任意一点的切线和法线方程。

高考数学中的参数方程及其应用

高考数学中的参数方程及其应用一、参数方程简介在数学中，参数方程指的是一种用参数来描述几何图形的方式。

与常规的直角坐标系不同，参数方程使用的是另一种坐标系，叫做参数坐标系。

在这种坐标系中，每一个点用两个参数来表示，分别是横坐标参数和纵坐标参数。

举个简单的例子，如果要描述一个圆形，我们可以使用直角坐标系中的圆方程x²+y²=r²，但是在参数坐标系中，我们可以使用以下的参数方程：x = r * cosθy = r * sinθ其中θ是角度参数，r是半径。

二、参数方程在高考数学中的应用在高考数学中，参数方程通常被用于描述曲线的形状。

这种方式非常直观，因为参数方程可以让我们更加清晰地了解曲线的性质。

下面是一些常见的应用场景。

1. 极坐标系与参数方程极坐标系是一种基于极角和极径的坐标系，与参数坐标系非常相似。

因此，参数方程在极坐标系中的应用非常广泛。

比如在物理领域中，有很多通过观察物体运动轨迹来推导出物理定律的案例，这个时候往往需要将轨迹用参数方程进行描述。

2. 参数方程与计算当我们需要计算曲线的长度，面积等参数时，参数方程同样能够提供便利。

在计算方面，通常需要使用微积分的知识，利用已知的数据推导出曲线的性质。

比如，我们可以使用参数方程来计算圆的弧长、圆的面积等等。

3. 参数方程与计算机随着计算机技术的日益发展，参数方程在计算机绘图中的应用也越来越广泛。

因为参数方程具有天然的“可视化”特征，我们可以通过直接输入参数来获取图像。

这种方式非常方便，尤其在建模、绘制等领域中非常实用。

三、基本参数方程除了上面提到的圆形参数方程之外，还有许多其他的基本参数方程。

这些基本参数方程可以用来描述各种不同的曲线类型，比如椭圆、双曲线、抛物线等等。

下面是一些常见的例子：1. 椭圆（a、b分别是长半轴和短半轴）x = a*cosθy = b*sinθ2. 双曲线（a、b分别是双曲线的常量）x = a*coshθy = b*sinhθ3. 抛物线（a是常数）x = a*t²y = 2*a*t四、总结参数方程的引入给我们提供了一种新的描述曲线的方式，不仅可以更加具体地了解曲线的性质，而且还可以方便计算和计算机绘图。

2023新高考一卷数学22题参数方程

2023新高考一卷数学22题参数方程2023年新高考一卷数学第22题参数方程已知曲线C的参数方程为$\{\begin{matrix} x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}t \end{matrix}(t$为参数$)$，以坐标原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线$l$的极坐标方程为$\theta = \frac{\pi}{4}($其中参数$\rho \in \mathbf{R})$．(1)写出曲线C的普通方程和直线$l$的直角坐标方程；(2)设直线$l$与曲线C的交点为$A,B$，求$\frac{1}{OA} +\frac{1}{OB}$的值．【分析】(1)消去参数$t$，能求出曲线C的普通方程；利用互化公式，能求出直线$l$的直角坐标方程．(2)把直线$l$的极坐标方程化为直角坐标方程，与曲线C的普通方程联立，由此能求出$\frac{1}{OA} + \frac{1}{OB}$的值．【解答】(1)$\because$曲线C的参数方程为$\{\begin{matrix} x = 2 +\frac{\sqrt{2}}{2}t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}t \end{matrix}(t$为参数），$\therefore$消去参数$t$，得曲线C的普通方程为：$x - 2 =y\sin\theta ，\because\theta = \frac{\pi}{4}$，$\therefore x - 2 = y$，即曲线C的普通方程为：$x - 2 = y$．$\because$以坐标原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，$\therefore\rho\cos\theta = x，\rho\sin\theta = y$，$\because\theta = \frac{\pi}{4}$，$\therefore x = \rho\cos\frac{\pi}{4}，y = \rho\sin\frac{\pi}{4}$，$\therefore$直线$l$的直角坐标方程为：$x - y = 0$．(2)由$(1)$知曲线C的普通方程为：$x - 2 = y$，直线$l$的直角坐标方程为：$x - y = 0$．联立$\{\begin{matrix} x - 2 = y \\x - y = 0 \\\end{matrix}$，解得$\{\begin{matrix} x_{1} = 1 + \sqrt{3} \\y_{1} = 1 + \sqrt{3} \\\end{matrix}$或$\{\begin{matrix} x_{2} = 1 - \sqrt{3} \\y_{2} = 1 - \sqrt{3} \\\end{matrix}$，$\therefore A(1 + \sqrt{3},1 + \sqrt{3})，B(1 -\sqrt{3},1 - \sqrt{3})$，$\thereforeOA = OB =$$\sqrt{(1 + \sqrt{3})^{2} + (1 + \sqrt{3})^{2}}$$= 2\sqrt{3} + 2$$\therefore\frac{1}{OA} +\frac{1}{OB} =$$\frac{1}{2\sqrt{3} + 2} + \frac{1}{2\sqrt{3} + 2}$$=\frac{\sqrt{3}}{3}$．。

冲刺高考数学参数方程与普通方程的互化

冲刺高考数学参数方程与普通方程的互化在高考数学中，参数方程与普通方程的互化是一个重要的考点，也是解决许多数学问题的有力工具。

对于即将参加高考的同学们来说，熟练掌握这一知识点至关重要。

首先，我们来了解一下什么是参数方程。

参数方程是指在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，并且对于 t 的每一个允许的取值，由方程组确定的点（x, y) 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程。

而普通方程，则是指直接用变量 x 和 y 表示的方程。

那么为什么要进行参数方程与普通方程的互化呢？这是因为在某些情况下，使用参数方程能够更方便地描述曲线的性质和特点；而在另一些情况下，使用普通方程则更便于进行计算和分析。

接下来，我们具体看看如何进行参数方程与普通方程的互化。

先从参数方程化为普通方程说起。

以常见的圆的参数方程为例，假设圆的参数方程为：x ＝ a ＋r cosθ，y ＝ b ＋r sinθ （其中（a, b) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数）。

我们可以通过三角函数的平方和关系：cos²θ ＋sin²θ ＝ 1 来进行消参。

将 x ＝ a ＋r cosθ 变形为：cosθ ＝（x a) ／ r ，将 y ＝ b ＋r sinθ变形为：sinθ ＝（y b) ／ r 。

然后将它们代入cos²θ ＋sin²θ ＝ 1 中，得到：（x a) ／ r²＋（y b) ／ r²＝ 1经过整理，就可以得到圆的普通方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²再比如，椭圆的参数方程：x ＝a cosθ，y ＝b sinθ （其中 a 为长半轴，b 为短半轴，θ 为参数）。

同样利用三角函数的平方和关系消参，得到：（x ／ a)²＋（y ／ b)²＝cos²θ ＋sin²θ ＝ 1即椭圆的普通方程：x²／ a²＋ y²／ b²＝ 1在进行参数方程化为普通方程的过程中，需要注意以下几点：一是要注意参数的取值范围，确保在消参过程中不改变曲线的范围。

高考参数方程归纳总结

高考参数方程归纳总结一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数表示自变量和因变量之间的关系。

在数学中，参数方程常用于描述曲线、曲面或其他几何体的运动和变化规律。

在高考中，参数方程也是一道经典的考题类型，要求考生对参数方程的性质和特点进行分析和应用。

二、常见的参数方程类型1. 二维平面曲线的参数方程二维平面曲线的参数方程常用于描述平面上的曲线轨迹。

常见的参数方程类型有：- 抛物线的参数方程：x = t, y = at²- 圆的参数方程：x = rcos(t), y = rsin(t)- 椭圆的参数方程：x = acos(t), y = bsin(t)- 双曲线的参数方程：x = asec(t), y = btan(t)2. 三维空间曲线的参数方程三维空间曲线的参数方程常用于描述空间中的曲线轨迹。

常见的参数方程类型有：- 直线的参数方程：x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct- 空间曲线的参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)3. 二维平面曲面的参数方程二维平面曲面的参数方程常用于描述平面上的曲面形状。

常见的参数方程类型有：- 圆柱面的参数方程：x = acos(t), y = asin(t), z = bt- 双曲抛物面的参数方程：x = at, y = bt², z = ct4. 三维空间曲面的参数方程三维空间曲面的参数方程常用于描述空间中的曲面形状。

常见的参数方程类型有：- 球面的参数方程：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ- 椭球面的参数方程：x = a sinφcosθ, y = b sinφsinθ, z = c cosφ- 椭圆抛物面的参数方程：x = at², y = bt, z = ct三、参数方程的性质和应用1. 曲线的方向性在参数方程中，通过参数的增加方向可以确定曲线的运动方向。

高中数学参数方程知识点大全

高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义与表示参数方程是描述平面曲线的一种方法，它将曲线上的点用两个或多个参数表示。

参数方程的一般形式为：$$\begin{cases}x = x(t) \\y = y(t)\end{cases}$$其中，$t$ 是参数，$x(t)$ 和 $y(t)$ 分别是曲线上的点的横坐标和纵坐标。

二、参数方程与普通方程的转换1. 消去参数将参数方程中的参数消去，可以得到曲线的普通方程。

消去参数的方法主要有代数法和三角法。

2. 参数方程转换为普通方程将参数方程中的参数 $t$ 用普通方程中的变量 $x$ 或 $y$ 表示，可以得到曲线的普通方程。

三、参数方程的应用1. 描述运动轨迹参数方程可以用来描述物体的运动轨迹，例如抛体运动、圆周运动等。

2. 解决几何问题参数方程可以用来解决一些几何问题，例如求曲线的长度、面积、切线等。

3. 解决物理问题参数方程可以用来解决一些物理问题，例如求物体的速度、加速度、位移等。

四、常见参数方程1. 抛物线$$\begin{cases}x = at^2 \\y = bt^2 + ct + d\end{cases}$$2. 圆$$\begin{cases}x = a \cos t \\y = a \sin t\end{cases}$$3. 椭圆$$\begin{cases}x = a \cos t \\y = b \sin t\end{cases}$$4. 双曲线$$\begin{cases}x = a \sec t \\y = b \tan t\end{cases}$$5. 抛物线$$\begin{cases}x = a t^2 \\y = b t^2 + c t + d\end{cases}$$五、参数方程的优缺点优点可以方便地描述曲线的形状和运动规律。

可以解决一些普通方程难以解决的问题。

缺点需要找到合适的参数。

计算量可能较大。

参数方程是高中数学中一个重要的知识点，它可以帮助我们更好地理解曲线的形状和运动规律。