2009-2010学年第二学期概率论期中考试试卷答案
09-10学年度概率论与数理统计期中考试卷
命题人：试卷分类（A卷或B卷）五邑大学试卷学期： 2009 至 2010学年度第一学期课程：概率论与数理统计专业：班级：AP0803姓名：学号：（每空2分，共计30分）(1) 1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个,至少有2个次品的概率________.(2) 3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为2的概率等于________.(3) 已知()0.2P A=,P(B)=0.5,()0.6P A B⋃=,求()P AB= ________.(5)X~b(5,0.3),则X~P{ X =k}=________; EX=______; DX=________;(6)X~π(5), 则X~P{ X =k}=________;(7)X~E(5), 则X~f(x)=________; F(x)=_____________; DX=________.(8)X~N(1,2), 则X~f(x)=________. P{X>1}=__________.(9)(X,Y)服从区域(){}22,|1G x y x y=+≤上的均匀分布，则(X,Y)~(),f x y=________.1．某地区18岁女青年的血压服从分布N（110，122）.确定最小的x，使P{X>x}≤0.05 (z0.05 =1.645)(8分) 解:P{X>x}=1-P{X≤x}=1-F(x)=1-11012x-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭≤0.05,故11012x-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭≥0.95又z0.05=1.645. 故()1.6450.95Φ=,得到1101.64512x-≥,129.74x≥.2．随机变量X，Y独立，X~N（720，302），Y~N（640，402）.计算P{X-Y>140}.（6分）解：Z=X-Y~N（80，502）.14080-⎛⎫()4．设 (X , Y )~0(,)0ye x yf x y -⎧<<=⎨⎩其它；令Z =X +Y, 求f Z (z ) =?（8分）(要求画图)解：f Z (z ) =(),f x z x dx ∞-∞-⎰f(x,z-x)>0时，满足0<x<z-x,即 z>0;0<x<z; z>0时，f Z (z ) =()()011zzz x zx z z z e dx ee dx e e e -----==-=-⎰⎰; z<0时，f Z (z ) =0;得到 ()100ze zf z z -⎧->=⎨≤⎩5．设)4,1(~N X ，)9,1(~-N Y ，且它们相互独立，试求Y X Z Y X Z 3,3221-=+=的相关系数。
概率2009-2010试题及答案
[七]、 （满分 8 分） （此题仅学过 1 至 9 章的学生做；学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生不做）
将红、白、黑三只球随机地逐个放入编号为 1，2，3,4 的四个盒内 （每盒容纳球的个数不限） ，以 X 表示有球盒子的最小号码， 试求： （1）随机变量 X 的分布律； （2） EX .
北京航空航天大学
BEIHANG UNIVERSITY
2009－2010 学年 第二学期期末
考试统一用答题册
考试课程 概率统计 （09J70040） 概率统计与随机过程 A（09J70050）
A
班 级_____________ 姓 名______________ 考场教室_________
题号 一 二 三
2、一盒内装有 5 个红球和 15 个白球,从中不放回取 10 次,每次取一个球, 则第 5 次取球时得到的是红球的概率是（ （A） ） 。
1 ； 5
（B）
1 ； 4
（C）
1 1 ； （D） 3 2
。
0, x 1 0.3,1 x 3 3、已知离散型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) 0.5,3 x 4 1, x 4
六、 （满分 12 分）
……解 （1）根据题设条件知
X
i 1
9
i
~ N (0,9 2 ) ； ………………………3 分
1
9
（2）
X
i 1
9
i
~ N (0,1) ,
Yi
~ N (0,1) ,
1
2
Y
i 1
9
2
i
9 Y ( i )2 ~ 2 (9) ；………………………6 分 i 1
概率论与数理统计期终考试试卷及参考答案
上海应用技术学院2009—2010学年第二学期 《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷课程代码: B2220073/B2220071 学分: 3 考试时间: 100 分钟课程序号: 1441、1447、1451、1455、1456、1457、1458、1459、1460、1461、1976 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、填空题（每题3分，共计18分）1、设A 、B 、C 为三事件，则事件“A 、B 、C 不都发生”可表示为_______________。
2、设()4.0=A P ，()7.0=+B A P ，若B A ,相互独立，则()=B P ___________。
3、100件产品中有5件次品，任取10件，恰有2件为次品的概率为______________。
4、设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧≤≤=其他,0,10,32x x x f ，则()=X E __________。
5、设由总体~(,)X F x θ（θ未知）的样本观察值求得9.0}5.455.35{=<<θP ，则称区间[35.5，45.5]为θ的一个置信度为________的置信区间。
6、设Z Y X ,,相互独立，X 在]6,0[上服从均匀分布，)4,1(~N Y ，Z 服从参数2=λ 的泊松分布，32+--=Z Y X W ，()D W = 。
二、选择题（每题3分，共12分）1、对于任意两个随机变量X 和Y ，若)()()(Y E X E XY E =，则（ ）。
（A ）)()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ （C ）X 和Y 相互独立（D ）X 和Y 不独立2、设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量1123131ˆ5102X X X μ=++，2123115ˆ3412X X X μ=++，3123111ˆ362X X X μ=++其中方差最小的估计量是（ ）。
2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案
则 Bn F ， n 1, 2, 3, ，而且
B1 B2 Bn Bn 1 ，
而且 Bn An ，所以，有
n 1 n 1
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2010-2011 学年第二学期概率论期中考试试卷答案
n n P A P B lim P B lim P A lim P A P Ai ． i i n n n n n i 1 n 1 n 1 i 1 n i 1
某学生参加一项考试，他可以决定聘请 5 名或者 7 名考官．各位考官独立地对他的成绩做出判断，并 且每位考官判断他通过考试的概率均为 0.3 ，如果至少有 3 位考官判断他通过，他便通过该考试．试问该 考生聘请 5 名还是 7 名考官，能使得他通过考试的概率较大？ 解：
设 A 一位考官判断他通过考试，则 P A 0.3 ．
x x
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2010-2011 学年第二学期概率论期中考试试卷答案
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解方程组
A 2 B 1 A B 0 2
，得 A
1 1 ，B 2
所以，
F x 1 1 arctan x 2
2011 学年第二学期概率论期中考试试卷答案
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B2 “炮弹在目标周围横方向偏离超过 10 米”
B3 “炮弹在目标周围竖方向偏离超过 10 米”
则有 A B1 B2 B3 ，因此有
PA PB1 B2 B3 1 PB1B2 B3 1 PB1 PB2 PB3
1 1 PB1 1 PB2 1 PB3
2009-2010学年概率论与数理统计B甲(答案)
安徽工业大学2009-2010学年概率论与数理统计B 期末考试卷(甲卷)参考答案0. 6 0. 6 ----- 0.750.6 0.6 亠 0.4 0.31 1 1 7. & — 9. 0.62 10.2 4 e 1 (z_2)2111. e 18 , -:::：Z ：： ::. 12. 3、壬7 2010 、选择题(本题共6小题，每小题3分，共18分) 1. B 2. D 3. B 4. C 5.A6. D、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分) 三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分) 13.X 14. V 15. X 16. X 17. V 四、解答题(本题共7小题，满分54分，解答应写出演算步骤.) 18.解：设事件A =｛作弊被监视器发现｝; B =｛作弊被监考教师发现｝ 则由题意有 p(A)=0.6 , p(B)=0.4, p(AB)=0.2 —— (4 分)故作弊考生被发现的概率为 P (A B) = p(A) p(B)-p(AB) =0. 6 0. 4 0.=2 0 即作弊考生被发现的概率为 0.8 (8 分)佃.解：由题意知： 13 1 1八—亠—亠—亠A 亠——亠B =1 ——(1) ……(3分)8812 24 若X 与Y 独立，应有： PX=1,Y=2 二 PX=1 PY=2 -1 A -2M V 12 丿(6分)即该同学若重考超过了 80分，他第一次考试就超过80分的概率为0.75。
------- (8 分)22 23 241 1 综合(1)(2)有:A =- B - 4 8 (8 分)20 (8分)【解】 (I ) EZ =3EX 2 -2E XY EY 2- 2 =3 DX +(EX f 丨—2 EX 莊Y + P XY + DY +(EY 「-2 =69 (3 分) (4分) (II ) DW =4DX DY 2Cov(2X,-Y) =4 4 9 -4Cov(X,Y) =25-4 匚丫 ' DX 、DY -------- (7 分)= 37. .................................. (8 分) 21. (8分)解：记事件 A =｛第一次考试超过 80分｝，事件B = ｛重考超过80 分｝，则由题意条件知： P(A 尸 0. ,6 P(B|A) =0.6,P(A)=0.4, P(B|A)=0.3 .............. (3 分)而所求事件的概率应为P(A| B)=P(A)P(B|台) P(A)P(B| A)P(A)P(B| A)------ (6 分)(8分)解：由已知条件有 X 的分布密度函数为「1/4, 1兰 X 乞5;f(T 0,令Y 表示三次独立观测中观测值大于丫3 二 B(3,p)else2的次数，则其中p 为故有(8 分) 解:5p= p{X 3}=(1/4)dx 二 1/2PM 勺心片一;)w(2 分)(4分)(6 分)(8 分)n1j1 (1)因为 E(X)二 xf (x)dx= 0(r 1)x dx—22EX -1 2X_12EX2=1为所求的矩估计量1 — X(2)似然函数为令:ln L胡(4分)L(%, ,X n ,T )二(二 1)n (X 1叮1 ln(x 1 小0ln(X1…X n )「为所求的极大似然估计星(6分)解： 设X 为n 次掷硬币正面出现的次数，则1X ~ B(n, p)，其中 p 二2XnF ， 0 人 1 ,(8 分)(1)由切比雪夫不等式知P 0.4辽 X ^o du P | X 一0.5卜 0.1 丄 P 1| x - 0.5n# 0.1n1 I. n J[ n J_1 一 D(X )2=1_(0.1n)n 兀丄 n4.252 — I —，0.01 n n令 1 一兰 H 90%.n则得 n- 250(3 分)(2)由中心极限定理， X P{0.4 0.6} = P{0.4n 乞 X < 0.6n}n得:p{0.4n 「0.5n X 「0.5n0.6n 「0.5ni 0.25n 0.25n0.25n0 1ny n2 ：」( )-1= 2〉( )-1— 90%0.引 n 5=」()-0.95.5从而有厶1.605即沦644沦655 ，(6 分)。
派期2009级《概率论》模拟试_卷(A卷)及解答
13．设 ，则…………………………………………………………………………( )
（A）A和B不相容；(Ｂ)A和B独立；
（Ｃ） 或 ；（Ｄ）
14．同时抛掷3枚匀称的硬币，则至少有两枚正面向上的概率为…………………….……（）
20．设 ， 是标准正态分布函数，已知 ， ， ，则 ……………………………………………………（ ）
（Ａ）0.2255；（Ｂ）0.3753；（Ｃ）0.6247；（Ｄ）0.7745
三、解答题（每小题10分，满分40分，将解答过程写在试卷空白上，并写清楚题目编号）
21．甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它是甲机床加工的概率.
24．向矩形 上均匀地掷一随机点 ,求点 落到圆 上的概率．
2009级工管《概率论》（A卷）参考答案
一、填空题（每空2分，共36分）
1． 或 ；2．(1)0.2，(2)0.14；3．（1）0.3（2）0.75；4． ；5．（1） ；（2） ；6．(1) ，(2)0.8；
7． ,
则
8．（1）0.5；（2） ；9．(1)0.4；(2)0.1；10． ；
在最后一个积分中作换元： ，得
于是，点 落到圆 上的概率近似等于0.64．
22．用 表示一个生产周期内发生故障的次数， 表示一个生产周期的利润．显然 ，从而
于是 的分布列为
10
5
0
P
0.4096
0.4096
0.1536
【清华】2009-2010秋季学期概率统计参考答案
0 μ1μ2 eμ2u dv −∞ μ1 + μ2
= μ1 μ1 + μ2
pW
,V
(w,
v)
=
μ μ e 1 −μ1wv−μ2v
12
w>0,v>0
pW
(w)
=
μ1μ2
( μ1w + μ2
)2
1w>0
∫ P ( X1 < X 2 ) = P(W < 1) =
1 μ1μ2
0 ( μ1w + μ2
)2
dw
X
≤
t)
=
P( X
≥
e−t )
=
⎧1 − e−t , ⎨ ⎩ 0,
t ≥ 0; t < 0.
故 Z ∼ Exp(1)
(2) 解法 1：卷积公式
+∞
∫ f X +Y (t) = −∞ f X (x) fY (t − x)dx
∫=
1 0
e−
(t
−
x
)1t
−
x
>0
dx
∫ = 1t>0 e−t
min(1,t ) ex dx
∫ ∫ ⎪ t t−x
=⎨ ⎪0 0
f X (x) fY ( y)dydx,
⎪
0
⎩
t ≥ 1; 0 ≤ t < 1;
t < 0.
∫⎧
⎪
1
1
−
e
x−t
dx
0
= 1 − e−t (e −1)
∫ ⎪
=⎨
t
1−
ex−t dx
=
t
+
e−t
概率论期中考试试卷及答案
概率论期中考试试卷及答案1、将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里,求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球、 解:把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果、 (1)A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有302415=C C 种方法4个球中取2个放在一个盒子里,其她2个各放在一个盒子里有12种方法因此,B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果、 故12572625360)(==B P2、某货运码头仅能容纳一只船卸货,而,甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时与2小时,设甲、乙在24小时内随时可能到达,求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。
解:设x,y 分别为两船到达码头的时刻。
由于两船随时可以到达,故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值,如右图 方形区域,记为Ω。
设A 为“两船不碰面”,则表现为阴影部分。
222024,024024,024,2111()24576,()2322506.522()()0.8793()x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===⨯+⨯===Ω={(x,y)},A={(x,y)或},有所以，3、设商场出售的某种商品由三个厂家供货,其供应量之比就是3:1:1,且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%,若在该商场随机购买一件商品,求:(1) 该件商品就是次品的概率。
(2) 该件次品就是由第一厂家生产的概率。
解:厦门大学概统课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业考试时间 2013、11、81231122331,(1)()()(|)()(|)()(|)=60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024(2) (|)A B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B P B A =++=设为该产品为次品，,分别为三个厂家产品，则由全概率公式可知由贝叶斯公式可知111()()(|)60%*(1-98%)()()0.024 =0.5P AB P B P A B P A P A ==4、甲乙丙三台机床独立工作,在同一时间内她们不需要工人照顾的概率分别为0、7,08,0、9,求在这段时间内,最多只有一台机床需人照顾的概率。
概率论与数理统计2009—2010第二学期期末考试试卷B
概率论与数理统计2009—2010第二学期期末考试试卷B《概率论与数理统计》2009—2010第二学期期末考试试卷B题号一二三四五六七八总分分数一单项选择（每题3分，共18分）1.对于任意二事件A ,B ，若P (AB )=0，则下列选项正确的是( )A.P (A )=0或P (B )=0B.事件A , B 互不相容C.P (A -B )=P (A )D.事件A , B 相互独立2.考虑函数∈-=Gx Gx x x f 0,sin )(则f (x )可以做随机变量的密度函数，如果G =( ) A.[-π/2, 0] B.[0, π/2] C.[-π/2, π/2]D.[π/2, 3π/2]3.设随机变量X ～N (μ,42),Y ～N (μ,52), p 1=P {X ≤μ-4}, p 2= P {Y ≥μ+5}，则下列选项正确的是( ) A.对于任意实数μ，有p 1=p 2 B. 对于任意实数μ,，有p 1>p 2 C.对于个别实数μ，有p 1=p 2D. 对于任意实数μ,，有p 14.设随机变量X ,Y 相互独立，其概率分布相应为则下列选项中正确的是( ) A.P {X =0，Y =0}=0.1 B.P {X =1,Y =1}=0. C.P {X =0,Y =0}=0.2D.P {X =1,Y =1}=0.4X 0 1 p k0.4 0.6Y 0 1p k0.5 0.55.设总体X～N(0,1), X1,X2,… ,X n是来自总体X的简单随机样本，随机变量Y=X12+X22,则下列选项正确的是 ( )A. Y～χ2（3）B. Y～χ2（2）C. Y～t(3)D. Y～F(1,2)6.在假设检验问题中，如果检验方法选择正确，计算也没有错误，则下列叙述正确的是( )A.仍有可能作出错误判断B.不可能作出错误判断C.计算再精确些就有可能作出正确判断D.增加样本容量就不会作出错误判断二填空题（每空3分，共24分）1.设A?B, P(A)=0.1, P(B)=0.5,则P(A∪B)= ,P(A|B)=2.一试验可以独立重复进行，每次试验成功的概率为p,则进行8次试验成功3次的概率为3.设随机变量X～B(4,0.8),Y～P(4),已知D(X+Y)=3,则X和Y的相关系数ρXY=4.设二维随机变量X,Y相互独立，且X～N(2,4),Y～N(0,1),则E(X+Y)= D(X+Y) ,P{X+Y< 2}=5.X为随机变量，且EX=2,DX=9，则对任给定的ε>0, 由切比雪夫不定式得P{|X-2|<ε}>三（本题10分）在套圈游戏中，甲、乙、丙三人每投一次套中的概率分别是0.1，0.2，0.3，已知三个人中某一个人投圈3次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？四(本题10分）设X 的分布函数为≥<≤<=2/,2/0,sin 0,0)(ππx B x x A x x F ，确定常数A,B 并求X 的概率密度f (x )五（本题10分）设随机变量X ～Exp (0.5),Y =X 2,计算P{X ≤1,Y ≤4}，并求Y 的概率密度f Y (y )六（本题8分）随机变量X 的分布律如下表，求关于X ，关于Y 的边缘分布律，判断X ，Y 是否相互独立，是否相关，并说明理由。
概率论权威试题及其答案详细解析
概率论与数理统计试题 A 卷 2007-2008学年 第二学期 2008.06一、填空题（每空3分，共18分）1. 事件A 发生的概率为0.3，事件B 发生的概率为0.6，事件A ，B 至少有一个发生的概率为0.9，则事件A ，B 同时发生的概率为____________2. 设随机向量（X ，Y ）取数组（0，0），（-1，1），（-1，2），（1，0）的概率分别为,45,41,1,21cc c c 取其余数组的概率均为0，则c =__________3. 设随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则关于y 的方程012=+-Xy y 无实根的概率为_______________. 4. 若)1,0(~N X ，)1,0(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______________5. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,0,10,)1();(x x x f θθθ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，则待估参数）（-1>θθ的最大似然估计量为_____________. 6. 当2σ已知，正态总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为（样本容量为n ）___________二、选择题（每题3分，共18分）1. 对任意事件A 与B ，下列成立的是-------------------------------------------------------------（ ） （A ）)0)((),()|(≠=B P A P B A P （B ）)()()(B P A P B A P += （C ）)0)((),|()()(≠=A P A B P A P AB P （D ）)()()(B P A P AB P =2. 设随机变量X ),(~p n B 且期望和方差分别为48.0)(,4.2)(==X D X E ，则----（ ）(A) 3.0,8==p n (B) 4.0,6==p n (C) 4.0,3==p n （D ） 8.0,3==p n 3. 设随机变量X 的分布函数为F X （x ），则24+=X Y 的分布函数F Y （y ）为-------------( ) (A) 1()22X F y + (B) 1(2)2X F y +(C) (2)4X F y - （D ）(24)X F y -4. 若随机变量X 和Y 的相关系数0=XY ρ，则下列错误的是---------------------------------（ ）)1(~-n t S X (A) Y X ,必相互独立 (B) 必有)()()(Y E X E XY E = (C) Y X ,必不相关 （D ） 必有)()()(Y D X D Y X D +=+5. 总体)1,0(~N X ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则下列不正确的是--------------------------------------------------------------------（ ）(A) ),0(~n N X n (B) (C) （D ）6. 设随机变量)2,1( =k X k 相互独立,具有同一分布, ,0=k EX ,2σ=K DX ,2,1=k ，则当n 很大时，1nkk X=∑的近似分布是--------------------------------------------------------（ ） (A) 2(0,)N n σ (B) 2(0,)N σ (C) 2(0,/)N n σ(D) 22(0,/)N n σ三、解答题（共64分）1. （本题10分）设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%，三个等级的发芽率依次为0.9，0.7，0.3，求这批麦种的发芽率。
厦门大学2009级概率论期中考试试卷及答案
1. （6分）设B A ,都出现的概率与B A ,都不出现的概率相等, 且p A P =)(, 求)(B P .2. （6分）设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.3. （8分）人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票将上涨的概率.4. （12分）一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求解以下两个问题:(1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率;(2) 一次取1件, 无放回地抽取,求当取到第二件次品时, 之前已取到8件正品的概率. 5．（14分）设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f}.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数6．（12分）具有概率密度设二维随机变量),(Y X⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-.,0,0,0,2),()2(其它y x ey x f y x(1) 求分布函数);,(y x F (2) 求概率}.{X Y P ≤厦门大学概率统计课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业考试时间 2010.11.207． （12分）设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为Y ，当日销售量为X 假定一天中不再往柜台上补充货物，于是Y X ≤. 根据历史资料，),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0200,0,200/1),(其它时，当y y x y x f即),(Y X 服从直角三角形区域OAB 上的均匀分布, 见右图. 求(1) 给定y Y =条件下,X 的条件分布.(2)假定某日开门时,10=Y 件,求这天顾客买走5≤X 件的概率. 如果20=Y 件呢?8．（10分）某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X (以年计), 规定:.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款>≤<≤<≤X X X X设寿命X 服从指数分布, 概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,00,10110/x x e x f x试求该类家用电器一台收费Y 的数学期望. 9．（20分）设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-.,0;0,),(其它y x e y x f y(1) 求X 与Y 的边际概率密度, 并判断X 与Y 是否相互独立;(2) 求在y Y =的条件下, X 的条件概率密度; (3) 求概率{}{}.4|21|2/10},12{=≥≤≤≤≤+Y X P Y X P Y X P厦门大学2009年概率统计期中答案1. 解 由题设条件得)P()P()P(1)P(1)P()P(AB B A B A B A AB +--=-== --------4分故 p A B -=-=1)P(1)P(。
2009-2010(2)概率论与数理统计期终考试试卷B评分标准
上海应用技术学院2009—2010学年第二学期 《概率论与数理统计》期（末）（B ）试卷参考答案及评分标准一、填空题（每题3分，共计18分）1、ABC ；2、65.0；3、23354341⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；4、7；5、()X -321；6、()1(2-±n t ns X α)。
二、选择题（每题3分，共12分） 1、B ；2、C ；3、D ；4、A 。
三、解答题（第1,3小题每题12分，其余每小题10分，共64分）1、一道考题同时列出四个答案，要求学生把其中的一个正确答案选择出来，假设他知道正确答案的概率是1／2，而乱猜的概率也是1／2。
设他乱猜答案猜对的概率为1／4。
（1）求该同学答对题的概率；（2）如果已知他答对了，求他确实知道哪个是正确答案的概率。
解 设A 表示“考生知道正确答案”，B 表示“答对了”。
则2/1)(=A P ，2/1)(=A P ，4/1)|(=A B P ，…………………………………………………………………………..（2分） （1）852141211)()|()()|()(=⨯+⨯=⋅+⋅=A P A B P A P A B P B P ，…………….....（8分）（2）5485121)()|()()()()|(=⨯=⋅==B P A B P A P B P AB P B A P 。
…………………………（12分）2、随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-00)(x x axe x f x ，求：（1）常数a ；（2）)1(≤X P 。
（1）由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dx x f ，得01xaxe dx +∞-=⎰a =，所以，得1a =．即随机变量X 的密度函数为0()0xxe x f x x -⎧>=⎨≤⎩．……………………………………………….（5分）（2）)1(≤X P ()11xf x dx xe dx --∞==⎰⎰112e -=-…………………………………（10分）3、设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为X Y X Y 解：X 的边缘分布律为Y4分） 因此，()()0831410831=⨯+⨯+⨯-=X E 同理，()()0831410831=⨯+⨯+⨯-=Y E ，()()0411210411=⨯+⨯+⨯-=XYE ，所以，()()()()0,cov =-=Y E X E XY E Y X ，这表明随机变量X 与Y 不相关．……….（8分）()()()41410000,0⨯===≠===Y P X P Y X P ，所以X 与Y 不独立．……..（12分）4、一般公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下设计的。
2010概率论与数理统计期中考试答案
2009年《概率论与数理统计》期中考试答案一、 填空题（每小题5分，总分40分）1、0.72、2/33、5 4、4p 2(1-p)3 5、6、a=0; b=1；c=07、1/68、4/7 二、计算题（每小题12分，总分60分） 1、 （10分）解：设A = “取出的一件是次品”； B 1 = “取出的一箱是甲厂生产的”B 2 = “取出的一箱是乙厂生产的”； B 3 = “取出的一箱是丙厂生产的”则B 1、B 2 、B 3构成一个完备事件组，而且P(B 1)=6/12, P(B 2)=4/12 ,P(B 3)=2/12 P(A/B 1)=1/18, P(A/B 2)=1/12 ,P(A/B 3)=1/6(1)由全概率公式得P(A)= P(B 1)P(A/B 1)+ P(B 2)P(A/B 2)+ P(B 3)P(A/B 3)=1/12 (2) P(B 2/ A)=22(B )(A /B )1/31/121/3()1/12P P P A ⋅==2、（10分）解：设(){}0,1,2i A i i ==取出的品中有件次品，，则246210(),iii C C P A C-=显然012,,A A A 互不相容。
所求概率为21222121212(())()1(|).()()()5P A A A P A P A A A P A A P A P A ===+3、（12分） 解: (1) 2221- 131() (1)1122A f x dx A x dx xA +∞∞==-=-=-⎰⎰A =4/3(2) 当x<1, F(x)=0)(x - =⎰∞dx x f31x x 32dt )1t 34()(F(x)2,x 12x 1x- +-=-==<≤⎰⎰∞dx x f 当1dx 0dx )1x 34(dx 0)(F(x)2,x x 2211x - =+-+==≥⎰⎰⎰⎰∞-∞dx x f 当(3) P{1.5<ξ<3}=32)134( )(21.52 1.5=-=⎰⎰dx x dx x f4、（6分）解：由已知)1,0(~N X ，则X 的概率密度为∞<<∞-=-x ex f xX 2221)(π)21()12()()(22-≤=≤+=≤=y X P y XP y Y P y F Y ；当y <1时，0)21()(2=-≤=y XP y F Y当1≥y时，22211()()(2xY y F y P XP X dx --=≤=≤≤=⎰从而122+=XY 的概率密度为110)1(21)(41≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=--y y e y y f y Y π5、（10分）解：Y 的概率密度为,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他，则 2122{0,0}{1,2}{2},y P X X P Y Y P Y e dy e +∞--===>>=>==⎰212121{0,1}{1,2}{12},y P X X P Y Y P Y e dy ee ---===>≤=<≤==-⎰12{1,0}{1,2}{}0,P X X P Y Y P φ===≤>==11120{1,1}{1,2}{1}1,y P X X P Y Y P Y e dy e --===≤≤=≤==-⎰然后概率分布可列表给出。
2009级《概率论与数理统计》第二次考试试卷(A)答案及评分标准
绝密★启用前2009级《概率论与数理统计》期末考试试卷（二）标准答案和评分标准_____________________________________________________________________二、填 空 题（5×4分）1、 0.2;2、 21, 99 ; 3、 1,24; 4. 0.5328 0.6977 ； 5、(12.706,13.294)三、解：设=A {任取一个产品为合格品}，=B {任取一个产品被判为合格品}，则()()()();03.0,98.002.01,05.0,95.0==-===A B P A B P A P A P ………………2分于是（1） 任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率是()()()()()P B P A P B A P A P B A =+0.950.980.050.030.9325=⨯+⨯=……………………………………………6分 （2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率是()()()().9984.09325.098.095.0≈⨯==B P A B P A P B A P ………………………………10分四、解：()1由题意知，()1,010, X x f x others <<⎧=⎨⎩……………………………2分又相互独立，故与的联合概率密度为()()21, 01, 0,,()20, ,y X Y e x y f x y f x f y others -⎧<<>⎪=⋅=⎨⎪⎩…………….5分()2因｛a 有实根｝=｛判别式22440X Y =-≥ ｝{}2X Y =≥，故P ｛a 有实根｝{}2P X Y =≥…………………………………………6分()2,x yf x y dxdy >=⎰⎰21212y x dx e dy -=⎰⎰…………………………………………8分 ()2121xe dx -=-⎰222110222011x x x edx e dx e dx ----∞-∞⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()221221110x x e dx e dx ---∞-∞⎤=⎥⎦=Φ-Φ⎤⎦………………………………10分1 2.50640.34130.1446=-⨯=…………………………………………………11分五、解：由于2i X (1,...,36)(52,6.3),i N =故36111)36523636i i X X X ==⨯⨯∑＝，E(，2221 6.3D()36 6.3(),366X =⨯⨯=……2分故26.3(52,())6X N ，从而52(0,1)6.36X N - ………………………………….5分 设52=,6.36X ξ-故50.8525253.852(50.853.8)()6.3 6.3 6.3666X P X P ---<<=<< -81212-8()()()7777P ξφφ=<<=- 128()()10.8293.77φφ=+-≈………………………………………………….10分六、解：()1()()11,E X xf x y dxdy dx +∞+∞-∞-∞-==⎰⎰⎰0=……………………….……………………………….2分由对称性得()0E Y =…………………………………………………….3分()()11,E XY xyf x y dxdy dx +∞+∞-∞-∞-==⎰⎰⎰0=……………………………………………….…………………….5分 而()()()()cov ,0X Y E XY E X E Y =-=，于是0XY ρ=，X 与Y 不相关……………………………………………….…………6分()2()()1,0,1X x f x f x y dy x +∞-∞⎧≤⎪==⎨⎪>⎩⎰……………..……………..8分 由对称性得()()1,0,1 Y y f y f x y dx y +∞-∞⎧⎪≤==⎨⎪>⎩⎰……………………9分当1,1x y ≤≤时，()()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 不独立………………………………………………………………11分七、解：()()01;x E X xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰……………………………2分按矩估计法取()1,E X A X ==得1ˆXλ=………………………………………………………………4分 设1,,n x x 为总体X 的一个样本值，则似然函数为1nii x nn nx L e e λλλλ=--∑==………………………………………………………6分 取对数 ln ln L n nx λλ=-由对数似然方程()ln 0d L nnx d λλ=-=…………………………………9分解得1xλ=，……………………………………………………………………10分 故得极大似然估计为1ˆXλ= ………………………………………………11分编辑：张永锋2010-12-8。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A和B是互斥的，那么下列哪个说法是正确的？A. P(A∪B) = P(A) + P(B)B. P(A∩B) = 0C. P(A∪B) = P(A) - P(B)D. P(A∩B) = P(A) + P(B)答案：B2. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么以下哪个是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 以下哪个是条件概率的定义？A. P(A|B) = P(A) / P(B)B. P(A|B) = P(A∩B) / P(B)C. P(A|B) = P(B) / P(A)D. P(A|B) = P(A∪B) / P(B)答案：B4. 如果随机变量X和Y是独立的，那么以下哪个是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) - P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)答案：A5. 以下哪个是大数定律的表述？A. 样本均值收敛于总体均值B. 样本方差收敛于总体方差C. 样本中值收敛于总体中值D. 样本众数收敛于总体众数答案：A6. 以下哪个是中心极限定理的表述？A. 样本均值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布B. 样本方差的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布C. 样本中值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布D. 样本众数的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布答案：A7. 以下哪个是二项分布的参数？A. n和pB. n和σC. μ和pD. μ和σ答案：A8. 如果随机变量X服从泊松分布，那么其期望值E(X)等于？A. λB. 2λC. λ^2D. 1/λ答案：A9. 以下哪个是随机变量X的方差的定义？A. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2B. Var(X) = E(X) - [E(X)]^2C. Var(X) = E(X) - E(X^2)D. Var(X) = E(X^2) - E(X)答案：A10. 以下哪个是随机变量X的标准差的定义？A. SD(X) = √E(X^2) - [E(X)]^2B. SD(X) = √Var(X)C. SD(X) = E(X) - [E(X)]^2D. SD(X) = Var(X) - E(X^2)答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么其期望值E(X)为________。
试卷09-10(2)概率论与数理统计A答案
四、（12分）已知连续型随机变量 的概率密度函数 ，
（1）确定常数 ；（2）求 的分布函数 ；（3）求 .
解：（1）因 ，故 .…………3’
则随机变量 的概率密度函数 …………1’
（2） 的分布函数 ……5’
(3） …………3’
五．（7分）已知 的概率密度 ， ，求 的概率密度函数 .
统计量 的观察值 ,…………2’
故接受 ,即认为总体均值没有显著变化.…………1’
(1)一个新客户在购买保险后一年内需要理赔的概率为多少？
(2)如果该客户在购买保险后一年内出一次事故，他是第一类人的概率有多大？
解：设事件 ：新客户是第一类人，事件 ：新客户是第二类人;
事件B：新客户出事故,即需要理赔,
(1) …………3’
(2) …………3’
故一个新客户在购买保险后一年内需要理赔的概率为0.26
8．衡量估计量优良性的三个标准为一致性，无偏性，有效性_____.
9．已知随机变量 ,则 28/5.
10．设离散型随机变量 只能取0,1,2三个值,且取相应值的概率分别为 ，则 的分布律为 .
三、(6分)保险公司认为人可以分为两类：第一类是易出事故的人，第二类是比较谨慎，不易出事故的人。统计数字表明，第一类人一年内某时刻出一次事故的概率为0.4，第二类人在一年内某时刻出一次事故的概率为0.2,若第一类人占30%,问
令 ,…………1’
解得 的最大似然估计值为 …………1’
八、（7分）已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 ,现测了5炉铁水，得其平均含碳量为4.364。若方差未变，问总体均值是否有显著变化？（ ）
解:假设 …………1’
《概率论》期中测试题参考解答
《概率论》期中测试题参考解答1、（10分）设A B C、、的运算分别表、、表示三个随机事件，试用事件A B C示下列各事件：(1)A不发生而B C、都发生；表示为：ABC(2)A B C、、三个事件至少有一个发生；表示为：A B C；或表示为：ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC(3)A B C、、三个事件至多有一个发生；表示为：ABC ABC ABC ABC(4)A B C、、恰有两个不发生；表示为：ABC CAB BAC；(5)A B C、、都不发生；表示为：ABC(6)A B C、、三个事件不少于两个发生；表示为：AB BC AC；或表示为：ABC ABC ABC ABC(7)A B C、、同时发生；表示为：ABC(8)A B C、、三个事件不多于两个发生；表示为：A B C；或表示为：ABC或表示为：ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC(9)A B C、、不全发生；表示为：A B C；或表示为：ABC或表示为：ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC(10)A B C 、、恰有一个发生. 或表示为：ABC ABC ABC2、（14分）已知()0.6,()0.3,()0.6,P A P AB P B ===求：(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P A B ；(4)()P AB ；(5)()P A B ；(6)()P B A ；(7)()P A BA .解：（1）因为0.3()()()()P AB P A B P A P AB ==-=-，所以有()()0.3[1()]0.30.40.30.1P AB P A P A =-=--=-=；（2）()()()[1()]()(10.6)0.10.3P A B P A P AB P A P AB -=-=--=--=（3）()()()()0.40.60.10.9P A B P A P B P AB =+-=+-=； （4）()()1()10.90.1P AB P A B P A B ==-=-=； （5）()0.11()()0.66P AB P A B P B ===； （6）()()0.33()()1()0.44P AB P A B P B A P A P A -====-； （7）[()]()()()()()()P A B A P AB AA P A B A P B A P B P A P BA ==+-()()()[()()]P AB P B P A P B P AB =+--()0.11()()0.60.17P AB P A P AB ===++3、（8分）一个盒子中有10个球，其中4个黑球6个红球，求下列事件的概率：(1)A =“从盒子中任取一球，这个球是黑球”；(2)B =“从盒子中任取两球，刚好一黑一红”；(3)C =“从盒子中任取两球，都是红球”；(4)D =“从盒子中任取五球，恰好有两个黑球”.解：（1）141102()5C P A C ==；（2）11462108()15C C P B C ==；（3）262101()3C P C C ==； （4）234651010()21C C P C C ==4、（3分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为112,,323，求目标被命中的概率. 解：设1A =“甲命中目标”；2A =“乙命中目标”；3A =“丙命中目标”；A =“目标被击中”。
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因而有
a lim F x 0 ， d lim F x 1 ．
x x
由此得方程组
c 1 0 ，解此方程组，得 be ce 1 1
a 0, b 1, c 1, d 1 ．
十． （本题满分 8 分） 设随机变量 X 的密度函数为 第 5 页 共 8 页
1
pxdx px dx px dx px dx
0 0.5 0
1 c 1 c cx x dx x3 x 2 ， 2 0 24 8 3
2
0.5
解方程，得 c 21 ． ⑵ 当 x 0 时， F x
1 1 1 ， PB ， P A B ，求 P A B ． 3 4 6
2009-2010 学年第二学期概率论期中考试试卷答案
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有条件概率的性质，得
P A B 1 P A B 1
由题设条件，
PB 1 PB 1
⑴. 设 A 试验成功一次 ，则有
P A
4 C4 1 4 C8 70
1 ⑵. 设 X ：试验 10 次成功的次数，则 X ~ B10, 70
1 69 由于 P X 3 C 3.1633 10 4 70 70
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PB P Ak PB Ak 0.7 1 0.2
2 k 0
⑵ 由 Bayes 公式，得
A B C ．由概率的加法公式，得
P A PB C PB PC PBC
500 333 166 667 ． 1000 1000 1000 1000
二． （本题满分 8 分） 在某城市中，共发行 3 种报纸 A ， B ， C ，在这城市的居民中，订有 A 报纸的占 45% ，订有 B 报纸 的占 35% ，订有 C 报纸的占 30% ，同时订购 A ， B 报纸的占 10% ，同时订购 B ， C 报纸的占 5% ，同 时订购 A ， C 报纸的占 8% ，同时订购 A ， B ， C 报纸的占 3% ，试求下列事件的百分率：⑴ 只订购 A 报纸的（4 分） ；⑵ 正好订购两种报纸的（4 分） ． 解：
所以， X 的分布列为
X
P
3
1 10
4
3 10
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6 10
2009-2010 学年第二学期概率论期中考试试卷答案
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X 的分布函数为
x3 0 1 3 x 4 10 F x 4 4 x5 10 5 x 1
分布函数的图形（略） ．
P AB ABC P AC ABC PBC ABC P AB P AC PBC 3P ABC
0.10 0.05 0.08 3 0.03 0.14 ．
三． （本题满分 8 分） 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如 果甲船的停泊时间是 3 小时，乙船的停泊时间是 2 小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率 是多少？ 解：
设 A “订购 A 报纸” ； B “订购 B 报纸” ； C “订购 C 报纸” ． 由已知， P A 0.45 ， PB 0.35 ， PC 0.30 ， P AB 0.10 ， PBC 0.05 ，
P AC 0.08 ， P ABC 0.03 ．
七． （本题满分 8 分） 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 4 杯．如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是 成功一次． ⑴. 某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？ ⑵. 某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验 10 次，成功 3 次．试推断他是猜对的，还是他 确有区分的能力（设各次试验是相互独立的） ． 解：
1 4
k 1
3 ， 4
k 1,
2, 3, ．
PX 取值偶数 PX 2k
k 1
1 k 1 4
2 k 1
1 1 2k k 3 3 1 1 1 4 3 3 16 3 16 ． 1 15 5 4 4 k 1 4 k 1 16 1 16 16
九． （本题满分 8 分） 试确定常数 a ， b ， c ， d 的值，使得函数
x 1 a F x bx ln x cx d 1 x e d xe
为一连续型随机变量的分布函数． 解：
因为连续型随机变量的分布函数 F x 是连续函数， 因此函数 F x 在分段点 x 1及 x e 处 连续，所以有
设： B 顾客买下这箱玻璃杯 ，
Ak 这箱玻璃杯中有 k 只次品，
⑴ 由全概率公式，得
k 0， 1， 2 ．
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4 4 C19 C18 0 . 1 0.9232 ． 4 4 C20 C20
PAB ． PB
1 3 ． 4 4
1 1 1 7 ． PAB P A AB P A P AB P A PB PA B 3 4 6 24
所以，
7 PAB 11 P A B 1 1 24 ． 3 18 PB 4
命中为止所用的射击次数，求 X 的分布列，并计算 X 取偶数的概率． 解：
随机变量 X 的取值为 1, 2, 3, ．并且
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P X k P前 k 1 枪均未击中目标，第 k 枪命中目标 P前 k 1 枪均未击中目标 P第 k 枪命中目标
设甲船于 x 时到达码头，乙船于 y 时到达码头．则
0 x 24, 0 y 24 ．
因此甲、乙两船的到达时刻 x,
y 与平面中区域 y ： 0 x 24, 0 y 24
D x,
中的点一一对应．
设 A “甲乙两船中任何一艘都不需要等候码头空出． ” 则随机事件 A 发生当且仅当 y x 3 或者 x y 2 ． 因此随机事件 A 与平面区域
x
f t dt
f t dt
0
f t dt
0.5
f t dt 1 ．
x0 0 x 0.5 ． x 0.5
x
综上所述，随机变量 X 的分布函数为
0 x2 F x 7 x3 2 1
十一． （本题满分 10 分） 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱中有 0 只，1 只，2 只次品的概率分别为 0.7，0.2，0.1，一 顾客欲购买玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而该顾客随意从中取出 4 只玻璃杯查看，若这 4 只 中无次品，则买下该箱产品，否则退回．试求： ⑴ 顾客买下这箱产品的概率（５分） ； ⑵ 在顾客买下的这箱产品中，确实没有次品的概率（５分） ． 解：
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0.45 0.10 0.08 0.03 0.30 ．
⑴ 所求概率为 PABC AB C A BC ．
PABC AB C A BC PABC PAB C PA BC
f t dt 0 ；
x
当 0 x 0.5 时， F x 当 x 0.5 时， F x
x
f t dt
0
0
f t dt f t dt 21t 2 t dt 7 x3
0 0 0.5； 2
DA x,
中的点一一对应．所以，
y ： y x 3, 或者 y x 2
1 212 222 D 的面积 2 P A 0.802951388 ． DA 的面积 242
四． （本题满分 8 分） 设 A 与 B 是两个随机事件，已知： P A 解： 第 2 页 共 8 页
五． （本题满分 8 分） 如果随机事件 A 的概率为 0，则称 A 是零概率事件． 证明：如果 A 是零概率事件， 则 A 与任意事件 B 都相互独立． 解：
设事件 A 是零概率事件： P A 0 ，则对任何事件 B ，由于 所以 因此有
AB A ，
0 P AB P A 0 ． P AB 0 P APB ．这表明事件 A 与 B 相互独立．
F 1 0 F 1 0 F 1 ，即有 a c d ． F e 0 F e 0 F e ，即有 be ce d d ．
又分布函数 F x 必须满足： lim F x 0 ， lim F x 1 ．
x x
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cx 2 x 0 x 0.5 p x ． 其它 0
⑴ 求常数 c ；⑵ 求 X 的分布函数 F x ． 解：
⑴ 由密度函数的性质
0
px dx 1 ，得
0.5 0.5
⑴ 所求概率为 PAB C ．
PAB C P A B C P A AB C
P A P AB C P A P AB AC P A P AB P AC P ABC