描述运动的四个物理量

dr dx ˆ dy ˆ ˆ v i j 2i 4tˆ j dt dt dt 2
ˆ j t 2s, v 2i 8 ˆ(m / s) dv ˆm / s 2 a 4 j dt
2 v vx v y 22 82 68 8.25m / s
▲ 球极坐标系（ ▲ 柱坐标系（
固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度 坐标系：
r,θ , ）
, , z ）

●
▲ 自然“坐标系”（本章

x
r
y
§1.7）
x

y
三、质点(particle)
质点--把实际物体看成只有质量而无大小 形 状的力学研究对象。
注意： a能否将研究对象看成质点是相对于所 研究的问题而言的 b 不能看成质点的物体可看成质点的集合。
r ----（1） v t
z
x
S v (2) t
注意：v v | |
r v t
S v t
2R v 0 t
R m
v 0
2瞬时速度：
t t1
r 1 r2 r3 r 4 dr
定义： 质点在某时刻或某位置的瞬时速度等于 在此时刻附近取 t 时间，让 t 0 时平均 A（t） 速度的极限值。
vz dt
X
x ˆ y ˆ z ˆ lim ( i j k) t 0 t t t
dr r v lim dt t 0 t
dy vy dt
2 2 2 速度大小 v vx v y vz
方向可由其方向余弦表示
dx ˆ dy ˆ dz ˆ i j k dt dt dt
y C o x
ra OHale Waihona Puke Baidu
ra
a s b
质点实际运动轨迹的长度s 叫路程。
r
rb
y
注意：s r , 一般s r , 但 ds dr ；
r r ， d r d r
a
Δr rb
要分清 r 、r、r 等的几何意义。
b
Δr
m s 1 例：一质点，以 的匀速率作半
x v0t
Y V0 H X
消去t可得轨迹方程：
1 2 y H gt 2
O
1 x2 yH g 2 2 v 0
例：已知质点位置矢量：
2ˆ 2 ˆ r 15t i ( 4 20t ) jcm，求其轨道方程。
解：由位置矢量方程
Y（cm）
4
3 2 1
X（cm）
0 1 2 3 4
vb
计算：（直角坐标）
dv dv x ˆ dv y ˆ dvz ˆ a i j k dt dt dt dt a
z
a
ax
或：
ay
d xˆ d y ˆ d z ˆ 2 i 2 j 2 k dt dt dt
2
2
2
ˆ ˆ a xi a y ˆ a z k j
0y 0 0z 0
求 r (t )
求导
例1：一质点在xoy平面内运动，运动方程为x=2t和
y=19-2t2(SI),则在第2秒内质点的平均速度大小，2秒末的 瞬时速度大小和加速度 解： (1) 2, y (1) 17 x
x(2) 4, y(2) 11
v vx2 v y2 40 6.32m / s
2 2 2 a a a x a y az
{
arccos a x / a arccos a y / a arccos a z / a
五、运动学的两类问题
一类：已知 r(t) 求 v a
0x 0
二类：已知 a ，求 v 积分 初始条件---t=0（或t=t0）时刻质点运动的 状态值。记为： v x ; v y ; v z
§1-2描述 质点运动的物理量
一、质点的位置表示和运动方程
位置矢量---从参考点指向质点所在位置的有向线段
r op
Z
r r (t ) (1)
r
X O
建立坐标系： X= X（ t ） P Y= Y（ t ）----(2) Z = Z（ t ） 运动方程----质点运动时位 Y 置与时间关系的方程。
四、加速度（Acceleration） 1、平均加速度（Average acceleration） 定义：在t 时间内质点 vb (t t ) 运动速度的增量 v 与 va (t ) v 间 t 之比，称为质点 在一段时间内运动的平 均加速度。
vb v vb va
{
参照系 r x(t )i y(t ) ˆ z (t )k (3) ˆ ˆ j
ˆ ˆ r x(t )i y (t ) ˆ z (t )k (3) j
:注意：1 研究质点运动，首先要找到运动方程。 2 运动方程实为位置与t的参数方程， 消去t可得轨迹(轨道）方程。 例：一质点以v0在离地面H处作平抛运动，求轨 道方程。 解：
rb
y
x
计算（直角坐标 中） r rb ra
含义：反映质点运动位置 变化的实际效果
r rb ra
大小： r (x) 2 (y) 2 (z ) 2 方向可由其方向余弦表示
ˆ ˆ ( xbiˆ yb ˆ zb k ) ( xaiˆ ya ˆ za k ) j j ˆ ˆ yˆ zk xi j
0 0
1 2
v 2x 2x
2
3
v 2 x x ( SI )
3
例3：一质点从X=0处以v=v0沿X轴运动，已知 加速度a=-k v，求质点运动的速度及位置矢量。 已知： xt 0 x0 0; vt 0 v0 ; a kv
求：
0
v(t ) ? x(t ) ?
S dS v lim dt t 0 t 速度的大小 dr ds | v | v dt dt
方向为切线方向
计算：（直角坐标）
Z
dr
v
ˆ ˆ r xi yˆ zk j
r
Y
ˆ ˆ v xi v y ˆ vz k j
dx 其中：v x dz dt
dv车 dv车 ds d a车 dt ds dt ds
2 2 H h v0 v0 s v0 2 2 2 H h s H h s 2
v0
v(t )
dv 解： a kv dt
（统一变量）

v0
dv dt kv 0
t
X
dv dt kv
两边积分：
1 v(t ) ln t k v0 v(t ) kt e v0
v(t ) v0e
kt
xt 0 x0 0;
vt 0 v0 ;
例4 一身高为 h 的人，用绳子拉一小车奔跑。小车放
L
O
A
H
s
x
B v 0
x
C
l
h
解：设小车运动方向沿 Ox 轴正方向，如图所示。 车的坐标为 ,滑轮到O点距离为L，人的坐标为L+s
L
O
A
H
s
x
l
x
dx 车的速度 v车 dt
C
B v 0
h
d（L s) ds v0 人的速度 v人 dt dt 绳的长度为 L x s 2 ( H h) 2 , 是不变的 sv0 s ds dx d 2 2 2 2 dt H h s H h s v车 H h2 s 2 dt dt
质点运动学 Kinematics of particles
§1.1 参考系 、坐标系、质点 一、参考系： （frame of reference, reference system） 参考系： 用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 1.描述物体运动必须选取参考系(运动的相对性)。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的 运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。
整理得：
x 15t 2 y 4 20t x y4 2 t 则： 15 20
2
3 y 4 x 12 0
要特别注意： 5m r
二）质点的位移
y
C
o
ra
a
r
b
定义：当质点从某点a运动 到另一点b时，a指向b点的有 向线段， 称为这两点间的位 移。记为： r
r1 r2 v1 v2 t1 t 2 r3 r 4 v3 v4 t3 t 4
r dr v lim (2) t dt
注意：
即速度等于位置矢量对时间的一阶导数。 含义：反映质点在某时或某位置的运动状态。
v 是一个矢量，方向沿其切线方向： 的方向 r 0的方向， dr
含义：平均而言，质点在一段时间内速度改变的快慢。 注意：1）说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或 哪一段位移中的平均加速度。
v a (1) t
2）a 是矢量， v
__
的方向。
2）瞬时加速度） vb (t t ) (Instantaneous acceleration） v 定义： 质点在某位置或某 va (t )
第一章 质点运动学 （Kinematics of particles）
3.常用参考系: ▲ 太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） ▲ 地心参考系（地球 ） ▲ 地面参考系或实验室参考系 ▲ 质心参考系
二. 坐标系（coordinate system） 1.坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后，坐标系还可任选。 不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。 3.常用坐标系: ▲ 直角坐标系（ x , y , z ） z z
X
a kv
v0 kt v(t ) v0e
0
x x0 v(t )dt
X0=0 t
v0e dt
kt 0
t
0
v0 kt (1 e ) k
v0 kt x(t ) (1 e ) k
在高出地面 H 的光滑平台上，若人奔跑的速率是v0 ，求小 车的速度和加速度。
ˆ (19 2t 2 ) ˆ r (1) 2i 17 ˆ r (2) 4i 11 ˆ ˆ ˆ r 2ti j j j ˆ r (2) r (1) 2i 6 ˆ j ˆ v 2i 6 ˆ j 1 1
x(2) x(1) 4 2 vx 2m / s v vx2 v y2 40 1 1 y (2) y (1) 11 17 6.32m / s vy 6m / s 1 1
时刻的加速度等于 在该时 刻附近取时间间隔t，让 A t 0 时平均加速度的极 限值。 v dv
即加速度等于速度对时间的一阶导数 含义：反映质点在任一瞬间的运动状态改变的 快慢。 2 单位： m / s
2 d dr d r ( ) 2 a lim dt t 0 t dt dt dt
例2：一质点沿X轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系
a=2+6x2（SI),如果在原点处的速度为零，求其在任意位置 处的速度.
o
X
解：
v (2 6 x )dt
2 0
t
v (2 6 x )dx
2 0
x
dv dv dx dv a v dt dx dt dx v x 2 vdv adx vdv (2 6 x )dx
径为5m的圆周运动，则该质点在5s 10m 内（1）位移的大小_____,(2);经过 5 m 的路程为________
定义：质点在 t时间内, 位移 和所经历的时间的比值称 为这段时间内质点的平均 速度。
三）质点运动的速度 1 平均速度
y （t） （t+t） a r b
含义：反映一段时间内，质点位置变化的 平均快慢。 注意：a）说到平均速度一定要明确是哪一段 时间或 哪一段位移中的平均速度。 b）有时常用到平均速率的概念。