相似三角形期末复习(二)
相似三角形专题复习
考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是a mb n=，或写成a ：b=m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足a cb d=或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2、比例的性质 （1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=dcb a ac bd =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：cda b d c b a =⇒= （4）合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
相似三角形判定复习(三)
⇒△ABC∽△A'B'C'
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边的比相等，两直角 三角形相似。
C' ∠C=∠C' =90 ⇒ Rt△ABC∽Rt△A'B'C' AB AC = A A'C' A' B '
o
A'
B'
C
B
二、探索题
1、条件探索型 、
维 要 严 密
如图， ABCD中 BC延长 7.如图，在□ABCD中，G是BC延长 线上一点，AG与BD交于点E,与 交于点E, 线上一点，AG与BD交于点E,与DC 交于点F 交于点 F ， 则图中相似三角形共 有（ ）
A． B． C． D． 3对 4对 5对 6对
A
D
E B
F C G
8.【04宁波】如图，已知点P是边长为 宁波】如图，已知点P 宁波 4的正方形 的正方形ABCD内一点，且PB=3 内一点， 的正方形 内一点 BF⊥BP垂足是 请在射线 上找一点 垂足是B请在射线 ⊥ 垂足是 请在射线BF上找一点 M，使以点 、M、C为顶点的三角形 ，使以点B、 、 ．为顶点的三角形 与△ABP相似 相似 D A 则BM= P
M F
2 C
2.如图， 2.如图，D是△ABC的AB边上的一点，已知 如图 ABC的AB边上的一点， 边上的一点 2 AB=12 AC=15， =12， AB， AC上取一点 上取一点E AB=12，AC=15，AD= 3 AB，在AC上取一点E， ADE与 ABC相似 相似， AE的长 的长。 使△ADE与△ABC相似，求AE的长。
相似三角形复习(2)
九数九数（上）期末复习——相似三角形复习（二）班级 姓名一、知识点归类及所涉及的数学思想、方法： 1、比例的性质及应用；2、相似三角形的判定和性质。
二、“选择”题组： A 组1、数2和8的比例中项是_____________。
2、数6,3,2的第四比例项为___________。
3、已知线段AC=6，B 是AC 的黄金分割点，则较长线段AB 的长为________。
4、若z y x 32==，则z y x ::的值为 ，zzy x 32+-的值为________。
5、如图，D 、E 是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若DE ：BC=3：5，则S △ADE ：S △ABC = ，S △ADE ：S 四边形DECB =__________。
6、如图，G 是△ABC 的重心，则S △DCG ：S △ABC =_________。
7、如图：在△ABC 中，EF ∥BC ，BD=CD ，AD 交EF 于G ，求证：EG=FG8、如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，D 是BC 上一点，过B 作BE ⊥AB ，且∠BAE=∠CAD ，在过E 作EF ⊥BC 交CB 延长线于点F ，求证：CD=BF 。
AB CDEA B CD G AE FB CD GEF D C B AB 组1、如图，D 是BC 中点，E 是AB 中点，因此，S △ABD ：S △ADC =___________，S △ACE ：S △CEB =_______。
H 是△ABC 的重心，所以，AH ：DH=_______，S △AHC ：S △DHC =________， S △DHC=__________ S △ADC ，S △AHC=__________ S △ADC =________ S △ABC 。
S △AHE =________ S △ABC , S △BEHD =________ S △ABC 。
2、如图，梯形ABCD 对角线交于O ，求证：（1）S 1·S 2=S 3·S 4； （2）S 3=S 4。
人教版九年级数学下《相似三角形》期末复习题及答案解析(WORD版)
九年级数学《相似三角形》提优训练题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC 于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC 的周长为（）2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）3．（2013•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）7．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________ ．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP 的平分线交CE于Q，当CQ=CE 时，EP+BP= _________ ．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________ ．15．（2012•自贡）正方形ABCD 的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________ cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O 中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C 是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________ （写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC 的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________ 条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= _________ 时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC 面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________ ．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n 分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n= _________ ．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC 是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB 上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________ ．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE 交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC 内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O 是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC 的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC 于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC 的周长为（），∴AG=2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）3．（2013•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）===，=，CD=CE=，EF=4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）BF=BC=a =a=5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BA D，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）==6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB 于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG 交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE 于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）∴∠DGA=∠CGN=45°=8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）=DB：9．（2013•德阳）如图，在⊙O 上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O 半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）tan∠ABC==，CQ=•PC=PCtan∠ABC= ==∴CQ=•PC= CQ=×5=．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O 于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；。
2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》期末综合复习训练2(附答案)
2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》期末综合复习训练2（附答案）1．已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．（y≠﹣4a）D．4x＝3y2．下列线段中，能成比例的是（）A．3cm，6cm，8cm，9cm B．3cm，5cm，6cm，9cmC．3cm，6cm，7cm，9cm D．3cm，6cm，9cm，18cm3．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．B．C．D．4．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（）A．3B．6C．D．105．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）A．16倍B．8倍C．4 倍D．2 倍6．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D 作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（）A．12B．16C．12或16D．以上都不对7．附加题：若x＝，则x＝．8．已知线段a＝4，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c＝．9．如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC＝1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC 于F，那么的值为（用n表示）．10．利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为．11．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为m．12．两个相似三角形周长的差是4cm，面积的比是16：25，那么这两个三角形的周长分别是cm和cm13．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD 于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF ∽△ACD，其中一定正确的是．（填序号）14．如图，在直线m上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3＝12，则S2＝．15．如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm，则旗杆高为米．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA ＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是．17．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）18．如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且AD2＝AF•AB．求证：EF∥CD．19．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．20．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．21．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．22．已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．（1）如图1，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值；（2）如图2，当OA＝OB，且时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB＝1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．参考答案1．解：A、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；B、∵，∴＝﹣，此选项错误，符合题意；C、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；D、∵，∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；故选：B．2．解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；D、∵3×18＝6×9，故此选项正确；故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴，∴当时，，∴EF∥CD，故C选项符合题意；而A，B，D选项不能得出EF∥CD，故选：C．4．解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE＝CE：ED＝3：5，∵CD＝16．CE+ED＝CD，∴DE＝，故选：D．5．解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4＝16倍．故选：A．6．解：∵∠A＝∠A，分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，∴DE＝12，②∠ADE′＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝＞AB，不合题意，故选：A．7．解：①a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴x＝＝＝﹣1；②a+b+c≠0时，x＝＝＝．综上所述，x＝或﹣1．故答案为：或﹣1．8．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2＝4×1，c＝±2，（线段是正数，负值舍去），故c＝2；故答案为2．9．证明：∵AD：DC＝1：n，∴AD：AC＝1：（n+1）．作DG平行于AF交BC于G，则＝，根据比例的性质知，＝＝，又E是BD的中点，∴EF是△BGD的中位线，∴BF＝FG．∴＝．故答案为：．10．解：因为原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，所以放大前后的两个三角形的周长比为6：8＝14：，故答案为：11．解：设每条纵向小路的宽为xm．∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴，解得，x＝1.8，或，解得x＝25.8（不符合实际意义）故答案为：1.8．12．解：由题意，相似比＝4：5，两个相似三角形周长的比是4：5，可得：5x﹣4x＝4，解得：x＝4，所以这两个三角形的周长分别是16cm，20cm；故答案为：16；2013．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，∵AD＝BC，∴AF＝AD，∴＝；故①正确；∵S△AEF＝4，＝（）2＝，∴S△BCE＝36；故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故答案为：①②③．14．解：设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，∵F、G分别是BC、CE的中点，AB∥HF∥DC∥GN，∴MF＝AC＝BC，PF＝AB＝BC，又∵BC＝CE＝CG＝GE，∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，∴S1＝S，S3＝2S，∵S1+S3＝12，∴S+2S＝12，∴S＝4.8，故答案为：4.8．15．解：由题意可知△ABC是等腰三角形，AG为高，∴BG＝BC，DF＝DE＝×12cm＝0.06m，AF为臂长，即60cm＝0.6m．AG＝30m，由题意可知△AFD∽△AGB，即＝，即＝，解得BG＝3m，∴BC＝2BG＝2×3＝6m．16．解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．故答案为（﹣1，），（﹣，）．17．解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．18．证明：∵DE∥BC，∴，∵AD2＝AF•AB，∴，∴，∴EF∥DC．19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴又∵AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3∴EC＝3.1；（2）∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴BC⊥AD．20．解：（1）△BPQ是等边三角形当t＝2时AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4∴BQ＝BP又∵∠B＝60°∴△BPQ是等边三角形；（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E在Rt△BEQ中，∠BQE＝90°﹣∠B＝30°，QB＝2t，∴BE＝t，QE＝t由AP＝t，得PB＝6﹣t∴S△BPQ＝×BP×QE＝（6﹣t）×t＝﹣t ∴S＝﹣t；（3）∵QR∥BA∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°∴△QRC是等边三角形∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t∵BE＝BQ•cos60°＝×2t＝t∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t∴EP∥QR，EP＝QR∴四边形EPRQ是平行四边形∴PR＝EQ＝t又∵∠PEQ＝90°，∴∠APR＝∠PRQ＝90°∵△APR∽△PRQ，∴，∴解得t＝∴当t＝时，△APR∽△PRQ．21．证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG．22．解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，∵D为OA中点，∴AE＝CE＝，，∵点C为OB中点，∴BC＝CO，，∴，∴PC＝＝，∴＝2；（2）过点D作DE∥BO交AC于E，∵，∴＝＝，∵点C为OB中点，∴，∴，∴PC＝＝，过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD＝a，则AO＝4a，∵OA＝OB，点C为OB中点，∴CO＝2a，在Rt△ACO中，AC＝＝＝2a，又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，∴AF＝，DF＝，PF＝AC﹣AF﹣PC＝2a﹣﹣＝，tan∠BPC＝tan∠FPD＝＝．（3）与（2）的方法相同，设AD＝a，求出DF＝a，PF＝a，所以tan∠BPC＝．。
第4章相似三角形期末复习
C B第7题第4章 《相似三角形》期末复习一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知ab =cd ，把这个等积式改成比例式后，错误的是（ ）A.a d c b =B. a c d b =C.b a d c =D. d b a c= 2. 下列各组线段的长度成比例的为（ ）A. 2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cmB. 2.5 cm ，3.5 cm ，4.5 cm ，6.5 cmC. 1.1 cm ，2.2 cm ，4.4 cm ，8.8 cmD. 1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cm 3. 下列叙述正确的是（ ）A. 任意两个等腰三角形相似;B. 任意两个等腰直角三角形相似C. 两个全等三角形不相似;D. 两个相似三角形的相似比不可能等于14. 如图，⊙O 中，弦BA ，DC 的延长线交于点P ，AD ，BC 相交于点E ，则图中相似三角形共有（ ） A . 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对5. P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似. 满足这样条件的直线共有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，且AC ∶AF =2∶3，则下列结论不正确的是（ ） A. 四边形ABCD 与四边形AEFG 是相似图形 B. AD 与AE 的比是2∶3C. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2∶3D. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比是4∶97. 如图，小明站在C 处看甲乙两楼楼顶上的点A 和点E . C ，E ，A 三点在同一条直线上，点B ，E 分别在点E ，A 的正下方且D ，B ，C 三点在同一条直线上. B ，C 相距20米，D ，C 相距40米，乙楼高BE 为15米，甲楼高AD 为(小明身高忽略不计)（ ） A. 40米 B. 20米 C. 15米 D. 30米8. 下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在ABC △与A B C '''△中，AB ACA A AB AC '==''''∠，那么ABC A B C '''△∽△；④已知ABC △及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5．其中真命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD =6，则AF 等于（） A.B.C.D. 8Ｂ ＦＣＥ Ｄ Ａ10.如图，在△ABC 中，AB=AC =2，∠BAC =20°．动点P ，Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持 ∠PAQ =100°．设BP=x ，CQ=y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知26y x ，则y x :=______________.12. 若线段AB =1，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则AC =________.13．如图，D ，E分别是△ABC的边AB ，AC 上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED 相似，你添加的条件是 ．14. 如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应是P 1、P 2、P 3、P 4四个点中的点 . 15.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm.16. 要使两个菱形相似，只需填上一个条件：________.17.在一次数学活动课上，张明同学将矩形ABCD 沿直线CE 折叠，顶点B 恰好落在AD 边上F 点处，如图所示，已知CD =8cm ，BE =5cm ，则．18.如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格．．中画出．．．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为________．19. 将△ABC 的高AD 三等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3为 .20. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端在CB ，CD 上滑动，当CM = ________时，△AED 与以M ，N ，C 为顶点的三角形相似. 三、解答题（共40分）21. 已知a =3 cm ，b =6 cm ，求a ，b ，(a +b )的第四比例项.Ｂ 第10题Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第13题 第14题第15题 第18题图D M第20题图22.在△ABC 中，AC >BC ，D 是AC 边上一点，连接BD ．(1) 要使△CBD ∽△CAB ，还需要补充一个条件是 （只要求填一个）； (2) 若△CBD ∽△CAB ，且AD =2，BCCD 的长．23. 某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.24.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D =90°，AB=DE =3，AC =2DF =4． (1) 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？(2) 能否分别过A ，D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC 分割成的两个三角形与△DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．E FC25. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1) 求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2) 当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？CB D 第7题 第4章 《相似三角形》期末复习参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知ab =cd ，把这个等积式改成比例式后，错误的是（ ）A.a d c b =B. a c d b =C.b a d c =D. d b a c= 答案：C 2. 下列各组线段的长度成比例的为 （ ）A. 2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cmB. 2.5 cm ，3.5 cm ，4.5 cm ，6.5 cmC. 1.1 cm ，2.2 cm ，4.4 cm ，8.8 cmD. 1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cm 答案：C 3. 下列叙述正确的是 （ ）A. 任意两个等腰三角形相似;B. 任意两个等腰直角三角形相似C. 两个全等三角形不相似;D. 两个相似三角形的相似比不可能等于1 答案：B 4. 如图，⊙O 中，弦BA ，DC 的延长线交于点P ，AD ，BC 相交于点E ，则图中相似三角形共有（ ） A . 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 答案：C5. P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似. 满足这样条件的直线共有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 答案：C6.如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，且AC ∶AF =2∶3，则下列结论不正确的是（ ） A. 四边形ABCD 与四边形AEFG 是相似图形 B. AD 与AE 的比是2∶3 C. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2∶3D. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比是4∶9 答案：B 7. 如图，小明站在C 处看甲乙两楼楼顶上的点A 和点E . C ，E ，A 三点在同一条直线上，点B ，E 分别在点E ，A 的正下方且D ，B ，C 三点在同一条直线上. B ，C 相距20米，D ，C 相距40米，乙楼高BE 为15米，甲楼高AD 为(小明身高忽略不计)（ ）A. 40米B. 20米C. 15米D. 30米 答案：D 8. 下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在ABC △与A B C '''△中，A B A CA A AB AC '==''''，∠∠，那么ABC A B C '''△∽△；④已知ABC △及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5．其中真命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 答案：C 9.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD =6，则AF 等于（ ） A.B. C.D. 8 答案：A10.如图，在△ABC 中，AB=AC =2，∠BAC =20°．动点P ，Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ =100°．设BP=x ，CQ=y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）答案：A Ｂ ＦＣＥ Ｄ Ａ 第9题二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知26y x =，则y x :=______________. 答案：1∶312. 若线段AB =1，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则AC =________.13．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，请你添加一个条件，使△ABC 与△AED 相似，你添加的条件是 ． 答案：如∠ADE=∠C 或∠AED =∠B 或DE ∥BC 等等 14. 如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应是P 1、P 2、P 3、P 4四个点中的点 . 答案：P 315.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm. 答案：1616. 要使两个菱形相似，只需填上一个条件：________. 答案：有一对内角相等17.在一次数学活动课上，张明同学将矩形ABCD 沿直线CE 折叠，顶点B 恰好落在AD 边上F 点处，如图所示，已知CD =8cm ，BE =5cm ，则AD= cm ． 答案：1018.如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格．．中画出．．．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为________． 答案：2∶119. 将△ABC 的高AD 三等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3为 . 答案：1∶3∶520. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端在CB ，CD 上滑动，当CM = 时，△AED 与以M ，N ，C 为顶点的三角形相似.解析：分两种情况讨论.三、解答题（共40分）21. 已知a =3 cm ，b =6 cm ，求a ，b ，(a +b )的第四比例项. 解：设a 、b 、(a +b )的第四比例项为x ，则有x b a b a +=，∴x963=，x =18. 22.如图，在△ABC 中，AC >BC ，D 是AC 边上一点，连接BD ．(1) 要使△CBD ∽△CAB ，还需要补充一个条件是 （只要求填一个）；第13题第14题第15题A第18题图B OD M 第20题图A第18题答案BO B/A /解：(1) CBD A ∠=∠（或CDB CBA ∠=∠或CD BC BC AC =，或CD BC BDBC AC AB==等） (2) 设CD x =，则2CA x =+．若CBD CAB △∽△，且2AD =，BC ，则CD BC BC AC =,=, ∴2230x x +-=. 解得1213x x ==-，． 经检验，1213x x ==-，都是原方程的解，但23x =-不符合题意，应舍去． ∴1CD x ==． 23. 某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.解：∵AD ∥BC , ∴△AMD ∽△CMB , ∴214AMD CMB S AD S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△.∵△AMD 的费用为500元, ∴△BMC 的费用为2000元.500+2000=2500>2000, ∴资金不够用. 24.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D =90°，AB=DE =3，AC =2DF =4． (1) 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ (2) 能否分别过A ，D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．解：(1) 不相似．∵在Rt BAC △中，90A ∠=°，34AB AC ==，；在Rt EDF △中，90D ∠=°，32DE DF ==，，12AB AC DE DF ==∴，．AB ACDE DF≠∴．Rt BAC ∴△与Rt EDF △不相似． (2) 能作如图所示的辅助线进行分割．具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ． 由作法和已知条件可知BAM DEN △≌△．BAM E ∠=∠∵，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠， AMC FND ∠=∠∴．90FDN NDE ∠=-∠∵°，90C B ∠=-∠°， FDN C ∠=∠∴．∴AMC FND △∽△．E FCM C N F E25. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =8，AC =6．若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ． (1) 求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？解：(1) DE BC ∥，ADE ABC ∴△∽△．∴AD AEAB AC =． 又82AD x =- ，8AB =，AE y =，6AC =，∴8286x y-=． ∴362y x =-+, 自变量x 的取值范围为04x ≤≤．(2) 11326222S BD AE x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭22336(2)622x x x =-+=--+． ∴当2x =时，S 有最大值，且最大值为6．。
相似三角形期末复习
2 : 3
2 : 3
4 : 9
2、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
4
D
A
B
C
5
3
三,相似三角形的应用
例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274， 求金字塔的高度OB。
即
a b b c
= ，
(或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
2
ac
b
=
即：
一.比例线段
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
AC
BC
=
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
∴ =
AD AE
AC AB
∴ AD·AB＝AE·AC
作业:如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AD·EF＝AE·EC
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90°
∵E是BC中点，FC= BC
∴
∴
∴△ADE∽△ECF（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
（1）对应角相等,对应边成比例 （2）相似三角形对应高、中线的比等于相似比 （3）相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
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相似三角形的复习
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等； 、相似三角形的对应角相等； 2、相似三角形的对应线段（边、高、中线、 、相似三角形的对应线段（ 中线、 角平分线）成比例，且等于相似比； 角平分线）成比例，且等于相似比； 3、相似三角形的周长比等于相似比； 、相似三角形的周长比等于相似比； 4、相似三角形的面积比=（相似比）2 、相似三角形的面积比 （相似比） 5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直 、 角三角形和原三角形相似。 角三角形和原三角形相似。
AB CD EF
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， ；（2）请找出S 之间的关系式， 由；（ ）请找出 △ABD，S△BED和S△BDC之间的关系式，并 给出证明。 给出证明。 A A E C E C
B
F
D
B
F
D
由三角形相似证线段成比例的一般步骤： 三角形相似证线段成比例的一般步骤： 证线段成比例的一般步骤 1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三 、 角形； 角形； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 3、如这两个三角形不相似，则采用其它办 、如这两个三角形不相似， 中间比代换等 如找中间比代换等）； 法（如找中间比代换等）； （注意：当无法用三角形相似来证明线段成 注意： 比例时，可试着用引平行线的方法。） 引平行线的方法 比例时，可试着用引平行线的方法。）
F
1、如图 ABCD中，G是BC延长线上的一点， 、 延长线上的一点， 中 是 延长线上的一点 AG与BD交于点 ，与DC交于 点，则图中相似的 与 交于点E， 交于F点 交于点 交于 三角形共有（ 三角形共有（D ）对。 A
中考第一轮复习讲 第二十七讲 相似三角形(含位似)(二)
第二十七讲相似三角形（含位似）（二）考点一.与相似三角形有关的计算问题例题1.已知两个相似三角形的一对对应边长分别是49cm和14cm.（1）若他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长；（2）若他们的面积相差450cm²，求这两个三角形的面积.例题2.如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF.（1）如果23ADAB，DE=6，求边BC的长；（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长.例题3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A.1:4B.1:3C.1:2D.2:1【变式1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为 .【变式2】如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O ，若251=∆∆COA DOE S S ，则CDEBDE S S ∆∆= .例题4.如图所示，在△ABC 中，AC=8cm ，BC=16cm ，点P 从点A 向点C 运动，速度为1cm/s ，点Q 从点C 向点B 运动，速度为2cm/s ，点P.Q 同时出发t 秒后，△PQC 和△ABC 相似，求t 的值.考点二.与相似三角形有关的证明问题例题1.如图，P 是△ABC 的边AB 上一点，连接CP ，有如下条件：①∠ACP=∠B ；②∠APC=∠ACB ；③2AC AP AB ；④AC AB CP BC，其中能判定△ACP ∽△ABC 的条件是 .（填序号）例题2.如图，已知AEAC DE BC AD AB ==，求证：△ABD ∽△ACE.例题3.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上.（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.【变式1】如图，在边长为9的等边△ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE= .【变式2】如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.（1）求证：△ABF∽△FCE；2，AD=4，求CE的长.（2）若AB=3考点三.位似例题1.关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 .（只填序号）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.例题2.如图，在正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是（）A.（1，0）B.（-5，-1）C.（1，0）或（-5，-2）D.（1，0）或（-5，-1）例题3.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）.（1）以点O为位似中心画出△A´B´C´，使它与△ABC位似，其中点A，B，C分别与点A´，B´，C´对应，相似比为2：1，写出点A´，B´，C´的坐标；（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△A´B´C´的边上与点M对应的点M´的坐标为 .考点四.利用相似三角形测高例题1.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB ⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A.60mB.40mC.30mD.20m例题2.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD 和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB.标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A与标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上.（1）求证：DG FH BG BH；（2）求建筑物的高.二.同步练习1.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD=2AD ，则（ ）A.21=AB AD B.21=EC AE C.21=EC AD D.21=BC DE（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则BC DE 等于（ ） A.1 B.22 C.21 D.41 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE=∠EFC ，AD ：BD=5:3，CF=6，则DE 的长为（ ）A.6B.8C.10D.124.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD于点F ，已知4Δ=AEF S ，则下列结论：①21=FD AF ；②36Δ=BCE S ；③12Δ=ABE S ；④△AEF ∽△ACD ，其中一定正确的是（ ）A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③5.如图，将正方形ABCD 放于平面直角坐标系中，已知点A （-4，2），B （-2，2），以原点O 为位似中心把正方形ABCD 缩小得到正方形A ´B ´C ´D ´，使OA ´：OA=1:2，则点D 的对应点D ´的坐标是（ ）A.（-8，8）B.（-8，8）或（8，-8）C.（-2，2）D.（-2，2）或（2，-2）（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第9题图）6.如图，在△ABC 中，AB 两个顶点在x 轴上方，点C 的坐标是（-1,0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ´B ´C ，且△A ´B ´C 与△ABC 的位似比为2:1，设点B 的对应点B ´的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A.a 21-B.)1(21+-aC.)1(21--aD.)3(21+-a 7.如图，在△ABC 中，AD 是高，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，QM 在边BC 上，若BC=8cm ，AD=6cm ，且PN=2PQ ，则矩形PQMN 的周长为（ ）A.14.4cmB.7.2cmC.11.52cmD.12.4cm8.已知△ABC ∽△DEF ，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF 的周长是 .9.如图，矩形EFGO 的两边在坐标轴上，点O 为平面直角坐标系的原点，以y 轴上的某一点为为位似中心，作位似图形ABCD ，且点B ，F 的坐标分别为（-4，4），（2，1），则位似中心的坐标为 .10.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，H 是边BC 上的一点，连接AH 交线段DE 于点G ，且BH=DE=12，DG=8，12=∆ADG S ，则=BCED 四边形S .A.24B.22.5C.20D.25（第10题图） （第11题图） （第12题图）11.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点B ´重合，若AB=2，BC=3，则△FCB ´与△B ´DG 的面积比为 .12.数学兴趣小组的同学想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C 处.同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），则树高为 米.（假设两次测量时太阳光线是平行的）13.如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）.（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于y 轴成轴对称，则△A 1B 1C 1三个顶点坐标分别为A 1 ，B 1 ，C 1 ；（2）在y 轴上是否存在点Q ．使得S △ACQ =21S △ABC ，如果存在，求出点Q 的坐标，如果不存在，说明理由； （3）在x 轴上找一点P ，使PA+PB 的值最小，请直接写出点P的坐标是 .14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A ´B ´C ´是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1），B ´（6，2）.（1）请你根据位似的特征并结合点B 的坐标变化回答下列问题：①若点A （25，3），则点A ´的坐标为 ； ②△ABC 与△A ´B ´C ´的相似比为 ；（2）若△ABC 的面积为m ，求△A ´B ´C ´的面积（用含m 的代数式表示）.15.如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连接CF.（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG.16.如图，M为线段AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于点F，ME 交BD于点G.（1）写出图中的三对相似三角形；（2）连接FG，当AM=MB时，求证：△MFG∽△BMG；4，AF=3，求FG的长.（3）在（2）的条件下，若α=45°，AB=2三.拓展提高1.如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A=90°，AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成一个形状为平行四边形DEFG的工件，使GF在BC边上，D，E两点分别在AB，AC上，若DE=5cm，则平行四边形DEFG的面积为（）A.24cm²B.12cm²C.9cm²D.6cm²（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）2.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，∠ABC=90°，且AB=3，点E 是边AB 上的动点，当△ADE ，△BCE ，△CDE 两两相似时，AE 的长为（ ）A. 23B.35C.23或35D.23或1 3.如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE ，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M ，给出下列结论：①△BAE ∽△CAD ；②AP ⊥CD ；③2CB ²=CP ·CM.其中正确的是（ ）A.①②③B.①C.①②D.②③4.如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ，若AD=2，BD=3，则AC 的长为 .5.如图，在△ABC 中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC ，BD 交AC 边于点E ，且AE=4，则BE ·DE= .（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图） 6.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，P 点在BC 边上的高AD 上，且21 PD AP ，连接BP 并延长交AC 于点E ，若S △ABC =10，则S △ABE = .7.如图，正方形OPQR 内接于△ABC ，PQ 在边BC 上，点O ，R 分别在AB ，AC 上，已知△AOR ，△BOP ，△CRQ 的面积分别为S 1=1，S 2=3，S 3=1，那么正方形OPQR 的边长为 .8.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点B ´重合，若AB=2，BC=3，则△FCB ´与△B ´DG 的面积比为 .9.如图，在平面直角坐标系中，已知A （-3，-2），B （0，-2），C （-3,0），点M 是线段AB 上的一点，连接CM ，过点M 作MN ⊥MC 交y 轴于点N ，若N （0，-1），且点M ，N 在直线y=kx+b 上则k 的值为 .（第9题图） （第10题图）10.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，对角线交于点O ，AP=2，BP=1，则随着菱形边长的变化，OP 最小值是 ，当OP 取最小值时，AB 的值为 .11.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （点O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC ＝2m ，BD ＝2.1m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 均为1.6m ，试确定楼的高度OE ．12.如图，一次函数y=kx+b 的图象交x 轴于点A （23，0），交y 轴于点B （0，3），点P 是直线AB （不与点A ，B 重合）上一动点，过点P 分别作OA 和OB 的垂线，垂足为O ，D ，连接OD ，设点P 的横坐标为m. （1）k 的值是 ，b 的值是 ；（2）当0＜m ＜23，矩形OCPD 的面积为1时，求此时点P 的坐标； （3）点P 在运动过程中，当△POD 与△AOB 相似时，请直接写出点P 的坐标.13.如图，在平面直角坐标系中，已知点M，N分别在y轴和x轴上，OM=6cm,ON=8cm.动点A 从N点开始沿NO边以2cm/s的速度向点O运动，动点B从O点开始沿OM边以1cm/s的速度向点M运动，A，B分别从N，O同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点B作BC∥x轴交MN于点C，连接AB，AC，设运动的时间为t（s）（0＜t≤4）．（1）OA= cm， BC= cm；（用含 t 的代数式来表示）（2）是否存在实数t，使得B.A在移动途中，以B，O，A为顶点的三角形与△NOM相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由；（3）如果△ABC为等腰三角形，直接写出t值为 s.14.如图，在∠ABC=90中，AB=4cm ，将线段AB绕着点B顺时针旋转90°到BC处，把正方形ADEF绕着点A旋转一周，连接BD ，CE，若已知正方形ADEF边长为2cm.（1）如图1，请你判断CE与BD的数量关系，并证明你得出的结论；（2）取线段CE的中点为点M，连接线段FM，请直接写出线段FM的长度的最大值为 cm；（3）若在正方形ADEF旋转过程中，当点F，E ，C 三点共线时，直接写出此时线段BD的长度为 cm.图1 备用图1 备用图2。
相似三角形复习(较全)
相似三角形知识点汇总【知识要点】1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ²BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c dad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
2013北师大版八下第4章《相似图形》期末复习测试卷二
北师大版八年级下册第4章相似图期末复习测试卷一．填空题(每题3分，共30分)1．在比例尺为1∶20的图纸上画出的某个零件的长是32mm ，这个零件的实际长 是 cm ．2．两个相似三角形的周长之比为4:9，那么它们的相似比为_____．3．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度是1．5m ，那么旗杆的高度是___________m ．4．在△ABC 与△C B A '''中，有下列条件：①''''C B BC B A AB =②''''C A ACC B BC =③∠A＝∠A '；④∠C＝∠C '．若从中任取两个条件组成一组，能判断△ABC∽△C B A '''的共有 组．5．梯形ABCD 中，AB∥DC，CD=8，AB=12，S ABCD 四边形=90，两腰的延长线相交于点M ，则S MCD ∆= ．6．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 中点，AE⊥AD 交CB 延长线于点E ，则△BAE 相似于______．7．如图，在△ABC 中，M 、N 是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON∽△AOC 面积的比是____________．8．如图，△ABC 中，AD⊥BC 于D ，下列条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD AD =ACAB；④BC BD AB ∙=2其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的有 (填序号)．9题E DCBAM6题EDCBA7题OCBA MN8题DCBA9．如图，在△ABC 中，AM:MD=4，BD:DC=2:3，则AE:EC=_________．10．如图，□ABCD 中，AB=28，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=EF=FC ，DE 交AB 于点M ，MF 交CD 于点N ，则CN=_________．二．选择题(每题3分，共30分)11．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．菱形D ．平行四边形12．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ） A ．DB AD ＝EC AE B ．BC DE ＝EC AE C ．AD AB ＝AE AC D ．EC DB ＝ACAB13．下列判断中，正确的是（ ）A ．各有一个角是67°的两个等腰三角形相似B ．邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相似C ．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似D ．邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相似14．如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对15．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC＝∠A，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ） A ．1 B ．23 C ．2 D ．25 16．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于D ，且AD:BD ＝9:4，则AC:BC 的值为（ ）A ．9:4B ．9:2C ．3:4D ．3:212题E DCBA 14题DCBA15题DCBA16题D CBA 10题F E D C B AM N17．两个相似三角形的相似比是2:3，其中较小的三角形的面积是12，则另一个三角形的面积是（ ）A ．8B ．16C ．24D ．2718．在坐标系中，已知A （－3，0），B （0，－4），C （0，1），过点C 作直线m 交x 轴于点D ，使得以点D 、C 、O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线一共可以作出（ ）条．A ．6B ．3C ．4D ．519．如图，正方形ABCD 面积为1，M 是AB 的中点，连结CM 、DM 、AC ，则图中阴影部分面积为( ) A ．103 B ．31 C ．52 D ．9420．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知CD=12m ，DE=18m ，小明和小华的身高都是1．6m ，同一时刻小明站在E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，塔高AB 为( )m ． A ．24 B ．22 C ．20 D ．18三．计算或证明题(21～25每题6分，26～28题每题10分)21．已知:如图所示，图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位长度．⑴将图①中的格点△ABC(顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形)以点O 为对称中心作出它的对称图形，请在图中画出；20题EDC BA19题DCBA⑵在图②中画一个与格点△ABC 相似的格点三角形，且使它与△ABC 的相似比为2:1．22．如图，ΔABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE∥AB 交BC 于点E ，AB=5cm ，BE=3cm ． 求:EC 的长．23．如图，在长为10cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，留下的矩形的面积是多少?24．如图，在□ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：EF GF CF ⋅=2．图①BA图②BAEDCBAEDAG。
浙教版九年级上《第四章相似三角形》期末复习试题(有答案)
期末复习：浙教版九年级数学学上册第四章相似三角形一、单选题（共10题；共30分）1.若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162.如图，在△ABC中，点D，E分AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A. 3B. 4C. 6D. 83.△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么它们的周长比是（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45.若把△ABC的各边扩大到原的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）A. △ABC∽△A′B′C′B. △ABC与△A′B′C′的相似比为14C. △ABC与△A′B′C′的对应角相等D. △ABC与△A′B′C′的相似比为136.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：167.如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB 的长为( )米A. 3．85B. 4．00C. 4．4D. 4．50．8.两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是，那么较大的多边形的面积是（）A. 44.8B. 42C. 52D. 549.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 10米B. 9.6米C. 6.4米D. 4.8米10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=√2DG；⑤S△BEC：S△BGC＝√3+1。
【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 测试卷2(解析版)
【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年九上数学第4章相似三角形测试卷2（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC上一点；若∠APD=60°，则CD长是A．34B．32C．12D．23【答案】D【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP∽△PCD，∴ABPC=BPCD，即32=1CD，∴CD=2 3．故选：D．2．△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为（）A．30B．40C．50D．60【答案】C【解析】如图，作DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BED=∠C=90°，∵∠EBD=∠ABC，∴△ABC∽△DBE，∴ACBC＝DEBE，设BD=x，BE=y，则3015+x＝15y，30y=152+15x，x=2y-15，在Rt△DBE中，BD2=DE2+BE2，即（2y-15)2=y2+152，y（y-20)=0，∴y=20，AB=AE+BE=30+20=50．故答案为：C．3．如图，在ΔABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5，AD⊥AB于点A，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则ΔADC的面积为（）A．4√2B．4C．1256D．253【答案】D【解析】如图，过A作AF⊥BC，垂足为F，∵AD⊥AB,∴∠BAD =90°在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD= √AB2+AD2=√52+52=5√2,∵AF⊥BD,∴AF= 52√2.∵AD⊥AB，DE⊥AD,∴∠BAD=∠ADE=90°,∴AB∥DE，∴∠CDE=∠B, ∠CED=∠CAB,∴△CDE∽△CBA,∴DEAB=CDCB,∴25=CDCD+5√2,∴CD= 10√23,∴S△ADC= 12⋅CD⋅AF=12×10√23×5√22=253.故答案为：D.4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OG⊥AB，垂足为G，延长GB至点E，使得GE=BC，连接OE交BC于点F.若AB=12，BC=8，则BF的长为（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】∵ 在 Rt △EGO 中， BF//OG ， ∴BF OG =BE GE .∵OG =12BC =12×8=4 ，BE =GE −GB =BC −12AB =8−12×12=2 ， ∴BF 4=28 . ∴BF =1 .5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】如图，标注字母，∵在Rt △ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形，∴∠C =∠FPN =90°，由正方形可得：EF//PN ，∴∠CFE =∠FNP ， ∴△CEF ∽△PFN ，同理：△CEF ∽△OME ，∴△CEF ∽△OME ∽△PFN ， ∴OE ：PN=OM ：PF ， ∵EF=x ，MO=3，PN=4，结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4， ∴（x-3）：4=3：（x-4）， ∴（x-3）（x-4）=12， 即x 2−7x =0，∴x(x −7)=0，∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7. 故答案为：C.6．如图，△ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，BD ：DE ：EC=3：2：1，M 在AC 边上，CM ：MA=1：2，BM 交AD ，AE 于H ，G ，则BH ：HG ：GM 等于（ ）A ．3：2：1B ．5：3：1C ．25：12：5D ．51：24：10【答案】D【解析】连接EM ，CE ：CD=CM ：CA=1：3 ∴EM 平行于AD∴△BHD ∽△BME ，△CEM ∽△CDA∴HD ：ME=BD ：BE=3：5，ME ：AD=CM ：AC=1：3∴AH=（3-35)ME ，∴AH ：ME=12：5∴HG ：GM=AH ：EM=12：5 设GM=5k ，GH=12k ，∵BH ：HM=3：2=BH ：17k ∴BH=512K ，∴BH ：HG ：GM=512k ：12k ：5k=51：24：10故选D ．7．如图1，在正方形ABCD 中，点F 为对角线BD 上一点，EF ⊥AB 于点E ，将△EBF 绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE ，DF ，则在图2中，以下说法：①FD ＝ √2 AE ；②∠AEB ＝135°；③S △AEB ：S △DFB ＝1：2；④AE ∥BF ，正确结论的序号（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④【答案】B【解析】∵正方形ABCD ，EF ⊥AB ∴∠ABD=45°，∠BEF=90°，AB=AD ∴△BEF 是等腰直角三角形， ∴2BE 2=BF 2，2AB 2=BD 2∴BF =√2BE ，BD =√2AB ， ∴BE BF =BD BA=√2 ∵∠EBF=∠ABD ， ∴∠EBA=∠FBD ∴△ABE ∽△DBF ∴FD AE =BD AB=√2 ∴ FD ＝ √2 AE ，故 ① 正确；∵在旋转过程中，∠AEB 是发生变化的，∠AEF≠45°，∴∠AEB≠135°，故②错误； ∴∠AEF≠∠EFB ，∴AE 不平行BF ，故④错误； ∵△ABE ∽△DBF∴S △ABE S △DBF =(AB BD )2=(√22)2=12.故③正确； ∴正确结论的序号为：①③. 故答案为：B.8．如图，矩形ABCD 中，AB =4， AD =2，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结PD ，PA ，则12AP +DP 的最小值为（ ）A ．√10B ．√11C ．√13D ．√14【答案】C【解析】如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，∵AD =BC =BP =2，AB =4，∴BP BA =24=12，∵G 是BE 的中点，∴BG BP =12，∴BP BA =BG BP ，∵∠PBG =∠ABP ，∴△BPG ∼△BAP ，∴PG AP =BP BA =12，∴PG =12AP ， 则12AP +DP =PG +DP ，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长， DG =√AD 2+AG 2=√4+9=√13． 故答案为：C. 9．如图，在Rt △ABC 纸片中，∠ACB =90°，AC =4， BC =3，点D ，E 分别在AB ，AC 上，连结DE ，将△ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分∠EFB ，则AD 的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．207【答案】D【解析】∵∠ACB =90°，AC =4， BC =3， ∴AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5，由折叠性质得：∠DAE=∠DFE ，AD=DF ，则BD=5﹣AD ， ∵FD 平分∠EFB ，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE ， ∵∠DAE+∠B=90°， ∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°， ∴Rt △ABC ∽Rt △FBD ，∴BD DF =BC AC 即5−AD AD =34， 解得：AD=207，故答案为：D ．10．如图，在 Rt △ABC 中， ∠ACB =90° ，以其三边为边向外作正方形，连结 CF ，作 GM ⊥CF 于点M ， BJ ⊥GM 于点J ， AK ⊥BJ 于点K ，交 CF 于点L ．若正方形 ABGF 与正方形 JKLM 的面积之比为5， CE =√10+√2 ，则 CH 的长为（ ）A ．√5B ．3+√52C ．2√2D ．√10【答案】C【解析】过点C 作CN ⊥AB 于点N ，设正方形JKLM 的边长为m ，面积为m 2，则正方形ABGF 的面积为5m 2，边长为√5m ∴AF=FG=AB=√5m ，∠AFL+∠GFM=90°， ∵GM ⊥FL ，AK ⊥BJ ， ∴∠ALF=∠FMG=90°，∠GFM+∠MGF=90°， ∴∠AFL=∠MGF ， 在△AFL 和△MGF 中{∠ALF =∠FMG ∠AFL =∠MGF AF =FG∴△AFL ≌△MGF （AAS ） ∴AL=FM ，设AL=FM=x ，则FL=FM+ML=x+m 在Rt △AFL 中 AL 2+FL 2=AF 2，∴x 2+（x+m ）2=（√5m ）2， 解之：x=m ，x=-2m （舍去）； ∴AL=FM=m ，FL=2m ，∵tan∠AFL =AP AF =AL FL =12=AP√5m解之：AP =√52m∴FP =√(√5m2)2+(√5m)2=52mBP =AB =AP =√5m −√52m =√52m∴BP=AP ，∴点P 为AB 的中点；∴CP =12AB =√5m 2∵CN ∥AF∴△CPN ∽△APF ， ∴CP PF =CNAF 即√5m252m=CN √5m 2解之：CN=m ，PN =12CN =12m∴AN =AP +PN =√5+12m∴tan∠BAC =BC AC =CN AN =m √5+12=2√5+1∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形， ∴△AEC ∽△BCH ∴BC AC =CH CE =2√5+1=CH√10+√2， 解之：CH =2√2. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．如图，已知DE ∥BC 且AD ：DB ＝2：1，则S Ⅰ：S Ⅱ＝【答案】4∶5【解析】∵ DE ∥BC ，∴ ∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ， ∴ △ADE ∽△ABC ， ∵ AD ：DB ＝2：1， ∴AD AB =23 ， ∴S △ADE S △ABC =(AD AB )2=49 ， ∴S ⅠS Ⅰ=45， 故答案为4∶5．12．如图所示，正方形的顶点 A 在矩形 DEFG 的边 EF 上，矩形 DEFG 的顶点 G 在正方形的边 BC 上.已知正方形的边长为 4 ， DG 的长为 6 ，则 DE 的长为 .【答案】83【解析】∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=DC=4，∠ADC=∠C=90°， ∴∠GDC+∠ADG=90°， ∵四边形DEFG 是矩形， ∴∠EDG=∠E =90°， ∴∠EDA+∠ADG=90°， ∴∠GDC=∠EDA ∴△AED ∼△CGD ， ∴AD DG =DE DC ， ∵DG=6 ∴46=DE 4∴DE =8313．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，在Rt △ABC 内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB 上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放 个．【答案】22【解析】由勾股定理得：AB= √52+122 =13．由三角形的面积计算公式可知：△ABC 的高= 5×1213= 6013 ．如图所示：根据题意有：△CAB ∽△CEF∴EF AB = 6013−16013= 4760∴EF= 13×4760 =10 1160∴第一层可放置10个小正方形纸片．同法可得总共能放4层，依次可放置10、7、4、1个小正方形纸片， ∴最多能叠放10+7+4+1=22（个）14．如图，平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结EC 、BD 交于点F ，若AE ：ED ＝5：4记△DFE 的面积为S 1，△BCF 的面积为S 2，△DCF 的面积为S 3，则DF ：BF ＝ ，S 1：S 2：S3＝．【答案】4：9；16：81：36【解析】∵AE：ED=5：4，∴DE：AD=4：9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴DEBC=DFBF=49，∴S1S2=（49）2=1681，S2S3=94，∴S1：S2：S3=16：81：36，故答案为：4：9，16：81：36．15．如图，半圆O的直径AC=2 √2，点B为半圆的中点，点D在弦AB上，连结CD，作BF⊥CD 于点E，交AC于点F，连结DF，当△BCE和△DEF相似时，BD的长为．【答案】2 √2﹣2或√5﹣1【解析】①如图1，当∠DFE=∠BCE时，∵∠DEF=∠BEC，∴△DEF∽△BEC，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∵BF⊥CD，∴∠CEB=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，∴∠DBE=∠BCE=∠DFE，∴DB=DF，∵DE⊥BF，∴EB=EF，∴BC=CF，∵点B为半圆的中点，∴AB=BC，∴∠A=45°，∵∠DBF=∠DFB，∠CBF=∠CFB，∠DBF+∠CBF=90°，∴∠DFB+∠CFB=90°，∴∠DFC=∠DFA=90°， ∴∠A=∠ADF=45°， ∴AF=DF=BD ，在RT △ABC 中，∵AC=2 √2 ，∴AB=BC= √22AC=2，∴FC=2，∴BD=AF=AC ﹣FC=2 √2 ﹣2， ②如图2，当∠FDE=∠BCE 时， ∵∠DEF=∠BEC ，∴△DEF ∽△CEB ，DF ∥BC ， ∴∠ADF=∠ABC=90°， ∵∠ABC=∠BEC=90°， ∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°， ∴∠DBE=∠BCE=∠FDE ， ∵∠BDF=∠DBC=90°，∠DBF=∠BCD ， ∴△BDF ∽△CBD ， ∴BD CB =DF BD ， ∵∠A=45°，∠ADF=90°， ∴∠AFD=∠A=45°， ∴AD=DF ，设BD=x ，由（1）可知：AB=BC=2，AD=DF=2﹣x ， ∴x 2=2−x x，整理得：x 2+2x ﹣4=0， 解得：x=﹣1+ √5 （或﹣1﹣ √5 舍弃） ∴BD= √5 ﹣1．故答案为2 √2 ﹣2或 √5 ﹣1．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点M 是BC 边上的动点（不与B ，C 重合），点N 是AM 的中点，过点N 作EF ⊥AM ，分别交AB ，BD ，CD 于点E ，K ，F ，设BM ＝x.（ 1 ）AE 的长为 （用含x 的代数式表示）； （ 2 ）设EK ＝2KF ，则 EN NK的值为 .【答案】1+x 22；x【解析】（1）∵正方形ABCD 的边长为1，BM ＝x ， ∴AM ＝ √1+x 2 ， ∵点N 是AM 的中点， ∴AN ＝ √1+x 22，∵EF ⊥AM ， ∴∠ANE ＝90°，∴∠ANE ＝∠ABM ＝90°， ∵∠EAN ＝∠MAB ， ∴△AEN ∽△AMB ，∴AE AM ＝ AN AB ，即AE √1+x ＝√1+x 22， ∴AE ＝ 1+x 22，故答案为： 1+x 22；（ 2 ）解：如图，连接AK 、MG 、CK ，由正方形的轴对称性△ABK ≌△CBK ， ∴AK ＝CK ，∠KAB ＝∠KCB ， ∵EF ⊥AM ，N 为AM 中点， ∴AK ＝MK ，∴MK ＝CK ，∠KMC ＝∠KCM ， ∴∠KAB ＝∠KMC ， ∵∠KMB+∠KMC ＝180°， ∴∠KMB+∠KAB ＝180°，又∵四边形ABMK 的内角和为360°，∠ABM ＝90°， ∴∠AKM ＝90°，在Rt △AKM 中，AM 为斜边，N 为AM 的中点， ∴KN ＝ 12AM ＝AN ，∴EN NK ＝ EN AN， ∵△AEN ∽△AMB ， ∴EN AN ＝ BM AB ＝x ， ∴EN NK＝x ， 故答案为：x.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，已知 CD 是 RtΔABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 作 AC 的平行线，过点 C 作 CD 的垂线，两线相交于点 E .（1）求证： ΔABC ∼ΔDEC ；（2）若 CE =2 ， CD =4 ，求 ΔABC 的面积. 【答案】（1）证明：∵CD 为 RtΔABC 斜边上的中线，∴CD =12AB =AD ，∴∠A =∠ACD ， ∵DE//AC ，∴∠CDE =∠ACD =∠A ， 又∵∠ACB =∠DCE =90° ， ∴ΔABC ∼ΔDEC（2）解：在 RtΔDCE 中， CE =2 ， CD =4 ，∴DE =√22+42=2√5 ， S ΔDEC =12×2×4=4 ，∵CD 为 RtΔABC 斜边上的中线， ∴AB =2CD =8 ， ∵ΔABC ∼ΔDEC ，∴S ΔABC S ΔDEC =(AB DE )2 ，即 S ΔABC 4=(82√5)2 ， ∴S ΔABC =645.18．已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ADE ＝∠B.求证：（1）△ABD ∽△ADE ； （2）AD 2＝AE•AB. 【答案】（1）证明： ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， ∴∠BAD =∠DAE ， ∵∠ADE =∠B .∴△ABD ∽ △ADE ；（2）证明： ∵△ABD ∽ △ADE ，∴AD AE =AB AD∴AD 2=AE ⋅AB .19．锐角 ΔABC 中， BC =6 ， AD 为 BC 边上的高线， S ΔABC =12 ，两动点 M ，N 分别在边AB ，AC 上滑动，且 MN ∥BC ，以 MN 为边向下作正方形 MPQN （如图1），设其边长为 x .（1）当 PQ 恰好落在边 BC 上（如图2）时，求 x ；（2）正方形 MPQN 与 ΔABC 公共部分的面积为 163时，求 x 的值.【答案】（1）解：∵BC =6 ， AD 为 BC 边上的高线， S ΔABC =12 ， ∴12×6⋅AD =12 ∴AD=4，设AD 交MN 于点H ，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴AHAD=MNBC，即4−x4=x6，解得x=125，∴当PQ恰好落在边BC上时，x=12 5（2）解：①当PQ在△ABC的内部时，正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积即为正方形MPQN的面积，∴x2=163，解得x=4√33②当PQ在△ABC的外部时，如下图所示，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，设HD=a，则AH=4-a，由AHAD=MNBC得4−a4=x6，解得a=−23x+4∴矩形MEFN的面积为MN⋅HD=x(−23x+4)=−23x2+4x(2.4<x≤6)即−23x2+4x=163解得x1=4,x2=2（舍去），综上：正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积为163时，x=4√33或4.20．如图，在3×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B在格点上，连结AB，请找一格点C，使得ΔABC的三边之比恰好为1:√2:√5，画出三个不同的三角形，并直接写出最长边的长度.（注意：全等三角形属于同一种情况）【答案】解：满足条件的△ABC如图所示；故答案为：√10，5，5 √2.（答案不唯一）21．基本模型：如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE～△BCF．（1）模型拓展：如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE～△BCF；（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4 √2，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°，若设AE=y，BF=x，求y与x的函数关系式．【答案】（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，∴∠E=∠CFB，∵∠A=∠B，∴△AFE∽△BCF（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB= √AC2+BC2=8，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠A=∠B=∠CFE=45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴AEBF=AFBC，即yx=8−x4√2，∴y=﹣√28x2+ √2x（0≤x≤8），22．由若干边长为1的小正方形拼成一系列“L”形图案（如图1）．（1）当“L”形由7个正方形组成时，其周长为；（2）如图2，过格点D作直线EF，分别交AB，AC于点E，F．①试说明AE•AF=AE+AF；②若“L”形由n个正方形组成时，EF将“L”形分割开，直线上方的面积为整个“L”形面积的一半，试求n的取值范围以及此时线段EF的长．【答案】（1）16（2）解：①如图2中，连接AD，∵S△EAF=S△ADE+S△ADF= 12•AE•AF= 12•AE•1+ 12•AF•1，∴AE•AF=AE+AF．②如图3中，设有n个正方形，AE=x，AF=y，∵12xy=12n，∴xy=x+y=n，∴x=n﹣y ①∵DG∥AF，∴EGAE=DGAF，∴x−1x=1y，∴xy﹣y=x ②①代入②得到，y2﹣ny+n=0，∵△≥0，∴n2﹣4n≥0，解得n≤0或n≥4，∵n＞0，∴n≥4．∴EF= √x2+y2= √(x+y)2−2xy= √n2−2n【解析】（1）当“L”形由7个正方形组成时，其周长为2×7+2=16．故答案为16．23．（1）【基础巩固】如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=AGAF，EGCF=AGAF∴DGBF=EGCF∵BF=CF，∴DG= EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DEBC=AEAC=13（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM= 180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=5 √3，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN= MN=5，∴BF=BN+FN=5+ 5√3．24．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=90°，那么称这样的三角形为“类直角三角形”.尝试运用（1）如图1，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，BD是∠ABC的平分线.①证明ΔABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得ΔABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由.类比拓展（2）如图2，ΔABD内接于⊙O，直径AB=13，弦AD=5，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD=∠AOD，当ΔABC是“类直角三角形”时，求AC的长.【答案】（1）①证明：如图1中，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A+2∠ABD=90°，∴ΔABD为“类直角三角形”.②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得ΔABE是“类直角三角形”.在RtΔABC 中，∵AB=5，BC=3，∴AC=√AB2−BC2=√52−32=4，∵∠AEB=∠C+∠EBC>90°，∴∠ABE+2∠A=90°，∵∠ABE+∠A+∠CBE=90°∴∠A=∠CBE，∴ΔABC∽ΔBEC，∴BCCE=ACBC，∴CE =BC 2AC =94，（2）解：∵AB 是直径，∴∠ADB =90° ，∵AD =5 ， AB =13 ，∴BD =√AB 2−AD 2=√102−62=12 ，①如图2中，当 ∠ABC +2∠C =90° 时，作点 D 关于直线 AB 的对称点 F ，连接 FA ， FB .则点 F 在 ⊙O 上，且 ∠DBF =∠DOA ，∵∠DBF +∠DAF =180° ，且 ∠CAD =∠AOD ，∴∠CAD +∠DAF =180° ，∴C ， A ， F 共线， ∵∠C +∠ABC +∠ABF =90°∴∠C =∠ABF ，∴ΔFAB ∽ΔFBC ，∴FA FB =FB FC，即∴AC =1195. ②如图3中，由①可知，点 C ， A ， F 共线，当点 E 与 D 共线时，由对称性可知， BA 平分 ∠FBC ，∴∠C +2∠ABC =90° ，∵∠CAD =∠CBF ， ∠C =∠C ，∴ΔDAC ∽ΔFBC ，∴CD CF =AD BF ，即 CD AC+5=512 ，∴CD =512(AC +5) ，且 RtΔADC 中 AC 2=CD 2+AD 2 解得 AC =845119综上所述，当 ΔABC 是“类直角三角形”时， AC 的长为 1195 或845119.。
相似三角形的判定(二)
例2 已知：△ABC 求作△A′B′C′，使它与△ABC 相似，并使 △ABC 与△A′B′C′的相似比为 5：3
C
A
B
求证：命题：如果一个三角形的三条边和另 一个三角形的三条边对应成比例，那么这两 个三角形相似 AB BC AC 已知：如图， AB B C AC 求证：△A B C∽△A′B′C′
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起
相似三角形的判定和性质复习(新编201908)
相似三角形复习（2）
——比例式、等积式的几种常见证明方法
许河中学 周美华
1.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明:
DC2=DE·DF
利用相似
A
三角形的
性质
D E
F
C
B
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宜有宠任 河东太守 盖由义结蕃朝 历二丞三邑 伍举 夫独往之人 多不即从 使具条答 视听者之所同了邪 事又难测 不求荣进 性孝履顺 自号使持节 又破循於苍梧 兼履谦守约 以保令终耳 当付之来生耳 将作大匠 夜送还揽 朝廷明其本心 又为统副 则任者刑论 万余之言 虏竟不至也 求解军 任 观有饑色者 还白斐然 怀文虽亲要 实系斯任 二十余载 行会稽郡事 偏将军 太祖与江夏王义恭书曰 前将军 琰本无反心 实允国宪 废帝在东宫 为太子左卫率十年 吾年已老 苻坚遣杨安 荫巷缘藩 去十一年大水 而粲已平 遂遣之 吴又上表曰 匪由劝赏 互有反逆 除员外散骑侍郎 探禹穴 大治攻具 遥见官军 而不为累 江夏王义恭遣军主嵇玄敬至留城 又土俗懦弱 进号冠军 竟不接刃 被恩之始 重之圣明 昔文翁守官 柳元景 圣怀垂悼 千里连死 而景文外戚贵盛 镇南大将军 甘言说色 在寿阳间击索虏 乃烧攻具退走 觊曰 然触刑罪 山川周固 乃下入庐山 标榜称迹 缘道讨伐 淳 于文祖阳城县侯 穿渠浛必无阂滞 明年 征著作佐郎 故以授濬 降夷凡品 罢建安郡丞还家 北狄恤锐挫锋 又号檀檀 民焦恭破古冢 何足独恋 权重当时 事在琰传 奄芝庭而献秘 回遂启求 将士眼皆生创 孙恩之乱 备加考掠 身不絓王臣之箓 开府如故 道固检得 尽坑其众 孔璪叛投门生陆林夫 但乖涂重隔 有伤秋稼 加建武将军 城阁高峻 时年四十五 相州刺史欲杀
相似三角形复习题及答案
九年数学下 《相似三角形》复习题及答案一.选择题(1)△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ) A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEF C.DB AD =FC BF D.EC AE =BF AD (2)在△ABC 中，BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是( ) A.138 B.346 C.135 D.不确定(3)在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( )A.△ABD ∽△BCDB.△ABC ∽△BDCC.△ABC ∽△ABDD.不存在(4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）A.1∶3∶5∶7B.1∶2∶3∶4C.1∶2∶4∶5D.1∶2∶3∶5(5)下列命题中，真命题是( )A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似(6)直角梯形ABCD 中，AD 为上底，∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4，BC=9，则AC 等于( )A.5B.6C.7D.8 (7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，E 、F 分别是AC 、BC 中点，则CD 与EF 关系是( )A.EF ＞CDB.EF=CDC.EF ＜CDD.不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC 。
其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(9)D 为△ABC 的AB 边上一点，若△ACD ∽△ABC ，应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC 2=AB·AD ，其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(10)下列命题错误的是( )A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角，则它们相似B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比，则它们相似C.如果两个平行四边形相似，则它们对应高的比等于相似比D.对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似二、填空题(1)比例的基本性质是________________________________________(2)若线段a=3cm,b=12cm,a 、b 的比例中项c=________,a 、b 、c 的第四比例线段d=________(3)如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=________,BN ∶NC=________(4)有同一三角形地块的甲乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图与乙地图的相似比为________，面积比为________(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________(6)已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，则CD 2=________(7)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.(8)Rt △ABC 中，∠C=90°,CD 为斜边上的高。
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相似三角形期末复习（二）
——相似三角形的判定
1、判定定理1——“AA ”
（1） 如图，点F 是平行四边形ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线与点E ，则下列结论错误的是 （ ）
A ．
B ．
C
．
D
． （2）、在△ABC 中，DE ∥BC,分别交边AB 、AC 与点D 、E ，若AD=3，DB=5，则DE:BC=_____。
（3）、如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD=∠C ，AB=6，BD=4，求CD 的长。
（4）如图，△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形的对数为（ ）对。
2、判定定理2——“SAS ”
（1）如图，BD 平分∠ABC ，且 AB=4，BC=6.25，则当BD =______时，△ABD ∽ △DBC ．
（2）已知如图：（1）、（2）中
各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，
图（2）中AB 、CD 交于0点，对于各图中的两个三 角形而言，下列说法正确的是（ ）
A ．都相似
B ．都不相似
C ．只有（1）相似
D ．只有（2）相似
（3）如图所示，在△ABC 中，AB=6，AC=4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，求AQ 的长．
3、判定定理3——“sss ”
(1)已知△ABC 的三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为（ ）A. 10，25 B. 10，36或12，36
C. 12，36
D. 10，25或12，36 (2) 已知,如图,A ’B ’‖AB,B'C'‖BC,求证△A'B'C'∽△ABC
（3）如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点．求证：△DEF ∽△ABC ．
(4)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与右图中△ABC 相似的是（ ）
B
．
A ．
C ．
D ．
跟踪训练
1、在△ABC 中,AB=24,AC=18,点D 在AC 上,AD=12.在AB 上取一点E,使△ADE 与原三角形相似 ,并求AE 的长.
2、下列条件中，不能判断△ABC 与△A ′B ′C ′相似的是()
A.∠A=45°，∠C=26°，∠A ′
=45°，∠
B
′
=109
°
B.AB=1，AC=，BC=2，A ′B ′=6，A ′C ′=9，B ′C ′=12
C.AB=1.5，AC=，∠A=36°，A ′B ′=2.1，A ′C ′=1.5，∠
A ′=36°
D.AB=2，BC=1，∠C=90°，A ′B ′=，B ′C ′=
，∠B ′
=90°
3、在直角坐标系中，已知O （0，0），A （2，0），B （0，4），C （0，3），D 为x 轴上一点．若以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的D 点有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个
4、如图，正方形ABCD 的边长为 E 为AB 中点，MN=5，线段MN 的两端在BC 、CD 上滑动，当CM=______时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．
5、如图，平行四边形ABCD 中，M 是BC 上一点，且BM ：MC=3：4，连接AM 交BD 于F ，则BF ：BD=______．
6、已知一个三角形的三边长分别为4,5,6， 另一个与它相似的三角形一边长为2，求其他两边长。
7、将三角形纸片△ABC 按如图
所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长度
8、如图，AD ∥BC ，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4.若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，则这样的点P 存在的个数有（ ）
9、如图，P 是Rt △ABC 的斜边BC
上异于B 、C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）条。
10、已知：如图,在正方形ABCD 中,P 是BC 上的点,且BP=3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP
附加：
如图，在△ABC 中，AF ：FC=1：2，G 是BF 的中点，AG 的延长线交BC 于E ，那么BE ：EC 的值为（ ） A ．1：4 B ．1：2 C ．2：5 D ．1：3
△ABC 中,∠C 为直角,△DEF 中∠F 为直角,DE ⊥AC,交AC 于G,交AB 于H,DF ⊥AB,交AB 于L,求证:△ABC ∽△DEF。