4.7 独立剩余

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高中数学第三章统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(第3课时)教案新人教A版选修23

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用第三课时教学目标知识与技能理解独立性检验的基本思想，会根据K 2的观测值的大小判断两个分类变量有关的可信度，培养学生的自主探究的学习能力，并能应用数学知识解决实际问题．过程与方法通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体实例中归纳出进行独立性检验的基本步骤，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透统计的基本思想和方法．情感、态度与价值观使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神．重点难点教学重点：利用独立性检验的基本思想解决实际问题以及处理步骤；教学难点：对独立性检验思想的理解．教学过程引入新课提出问题：在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶．(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？学生活动：小组合作完成．活动结果：根据题目所给的数据画出列联表：比较来说，秃顶的病人中患心脏病的比例大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”．根据列联表中的数据，得到k ＝1 437×(214×597－175×451)2389×1 048×665×772≈16.373>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系．设计目的：以实际问题创建情境，引起学生的好奇，激发学习和探究知识的兴趣，从而也引起学生的无意注意，在不知不觉中进入教师设计的教学情境中，为本节课的学习做有利的准备．探究新知提出问题：上述解法中，用到了等高条形图和独立性检验两种方法来判断“秃顶与患心脏病是否有关系”，试比较两种方法的关系和各自的特点．学生活动：学生先自由发言，大胆描述．学情预测：独立性检验能精确判断可靠程度，而等高条形图的优点是直观，但只可以粗略判断两个分类变量是否有关系，一般在通过图表判断后还需要用独立性检验来确认，这主要是因为列联表中的数据来源于样本数据，它们反映出来的这种相关性的特征能够在多大程度上代表总体，则需要用独立性检验来确认．提出问题：试总结独立性检验的基本步骤．学生活动：思考总结，然后回答．活动结果：①根据数据画出列联表；②计算随机变量K 2的观测值；③与已知数据对照下结论．设计目的：比较判断分类变量相关性方法的优缺点，并在解决问题的基础上将独立性检验的具体步骤模式化．理解新知提出问题：你所得的结论在什么范围内有效？学生活动：学生先自由发言，教师逐步引导学生．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动结果：“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其他的证据表明可以进行这种推广．设计意图：让学生充分体会用样本估计总体的思想．提出问题：两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下若令W ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d ，试结合前面的学习，分析W 的大小与“X 与Y 有关系”的联系．学生活动：分组讨论，通过协作交流来解决问题，教师进行适当的引导．学情预测：W 越大，越有利于结论“X 与Y 有关系”，它越小，越有利于结论“X 与Y 没有关系”．提出问题：类似于通过K 2的构造判断规则，我们也可以用W 构造一个判断“X 与Y 有关系”的规则，即当W 的观测值w>w 0时，就判断“X 与Y 有关系”；否则，判断“X 与Y 没有关系”．那么，在“X 与Y 没有关系”的前提下P(W≥w 0)＝0.01，且P(K 2≥k 0)＝0.01，可以通过k 0来确定w 0吗？学生活动：分组讨论，通过协作交流来解决问题，教师进行适当的引导．学情预测：由计算公式可得K 2＝W 2×n(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.因此，K 2≥k 0等价于W≥k 0×(a ＋c)(b ＋d)n(a ＋b)(c ＋d)，即可取w 0＝k 0×(a ＋c)(b ＋d)n(a ＋b)(c ＋d).设计目的：通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养探究问题的能力，提升思维的层次．在解决问题的过程中，激发学生的研究兴趣，培养学生的科学理性精神，体会交流、合作和竞争等现代意识．运用新知1为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300由表中数据计算得到K的观察值k≈4.513.在多大程度上可以认为高中生的性别与数学课程之间是否有关系？分析：根据K2的观察值k≈4.513，对照数据确定多大程度上可以认为高中生的性别与数学课程之间是否有关系．由上表可知k≈4.513>3.841，而P(K≥3.841)≈0.05，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高中生的性别与数学课程之间有关系”．点评：在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算K2的观测值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视．【变练演编】2某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表.案．活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后全班交流．学情预测：等高条形图、独立性检验等.设计意图：设置本开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．课堂小结1．知识收获：独立性检验的思想方法及一般步骤；2．方法收获：独立性检验的思想方法；3．思维收获：数学来源于生活．设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．补充练习【基础练习】1．在研究某种新药对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：2．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，据此资料，在犯错误的概率不超过0.1的前提下，你是否认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机？答案：1.提示：K 20.01的前提下认为新措施对防治猪白痢有效．2．提示：K 2的观测值k≈2.149＜2.706，而P(K 2>2.706)≈0.10，故在犯错误的概率不超过0.1的前提下，我们不能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机．【拓展练习】3．考察黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病的关系，调查了457株黄烟，得到下表中的数据，请根据数据作统计分析.解：根据公式得K 2的观测值k ＝457×(25×142－80×210)235×222×105×352≈41.61，由于41.61＞10.828，故在犯错误的概率不超过0.001的前提下，说明黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病是有关系的．设计说明本设计主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线，思维为主攻”的“四为主”原则．教师不是抛售现成的结论，而是充分暴露学生的思维，展示“发现”的过程，突出“师生互动”的教学，这种设计充分体现了教师的主导作用．学生在一系列的思考、探究中逐步完成了本节的学习任务，充分实现了学生的主体性地位，在整个教学过程中，始终着眼于培养学生的思维能力，这种设计符合现代教学观和学习观的精神，体现了素质教育的要求：教与学有机结合而对立统一．良好的教学设想，必须通过教学实践来体现，教师必须善于驾驭教法，指导学法，完成教学目标，从而使学生愉快地、顺利地、认真地、科学地接受知识．备课资料独立性检验在实际生活中有广泛的应用，解决该类问题的关键是准确的运算．例1为了研究色盲与性别的关系，调查了1 000人，调查结果如下表所示：根据上述数据，试问在犯错概率不超过0.001的前提下，色盲与性别是否是相互独立的？假设色盲与性别是相互独立的，即色盲与性别无关，依据公式得K2的观测值k＝1 000×(442×6－38×514)2≈27.139.956×44×480×520由于27.139＞10.828，∴在犯错概率不超过0.001的前提下，可认为色盲与性别有关，从而拒绝原假设，故在犯错概率不超过0.01的前提下，可以认为色盲与性别不是相互独立的．。

管理运筹学(第四版)第三章习题答案

（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321Λ=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321Λ=≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。

由P32式（）（）（）可知b B b 1-='，5,,1,,1Λ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和jP 都是初始数据。

设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21b b b ，5,,1,21Λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-021********10212322211312111a a a a a a P B P j j ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a ()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c 所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB解：→j c-5 5 13 0 0B CB Xb '1x2x3x4x5x5 2x 20 -1 1 3 1 0 05x10 16 0 -2 -4 1100-2-5（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。

第9章存贮论练习题

第9章存贮论问题一、选择1.为了解决供应（或生产）与需求（或消费）之间的不协调的一种手段是（A ） A 存储B 生产C 供应D 订货2.存贮论就是将一个实际的存贮问题归结为一种（B ），然后求出最佳的量和期的数值。

A 公式B 数学模型C 存贮策略D 手段3.在物资的生产和流通过程中，一切暂存在仓库中的原料，在生产过程中两个阶段之间、上下两工序之间的在制品，生产结束后未售出的产出品等均称为（C ） A 产成品B 在制品C 存储物D 原材料4.存贮策略是（ C ）A 供应量的问题B 需求量的问题C 供需的期和量的问题D 供应的期和量 5.在一般的EOQ 模型中，当D P 〉〉时，就变为（B ）模型。

A 基本的EOQ 模型B 订货提前期为零，允许缺货的EOQ 模型 C 生产需一定时间，不允许缺货的EOQ 模型D 以上都不是 6. 在一般的EOQ 模型中，当∞→Cs时，就变为（A ）模型。

A 生产需一定时间，不允许缺货的EOQ 模型B 基本的EOQ 模型C 订货提前期为零，允许缺货的EOQ 模型D 以上都不是 7. 在一般的EOQ 模型中，当D P 〉〉时,及∞→Cs时，就变为（ A ）模型A 基本的EOQ 模型B 订货提前期为零，允许缺货的EOQ 模型C 生产需一定时间，不允许缺货的EOQ 模型D 以上都不是 8.在具有约束条件的存贮模型中，需要建立（A ）函数。

A 拉格朗日函数B 微分函数C 积分函数D 指数函数9. 在具有约束条件的存贮模型中，需要建立拉格朗日函数，并要求拉格朗日乘数λ（ C ） A 等于零B 大于零C 小于零D 无约束10.在存贮模型分为确定性存贮模型与（ C ）A 阶段性存贮模型B 多目标存贮模型C 随机性存贮模型D 概率性存贮模型二、填空1.不论是供应或需求，都有两个基本问题要考虑：即是（量）和（期）的问题。

2.存贮问题包括的基本要素有（需求率）、（订货批量）（订货间隔期），（订货提前期），（存贮策略）。

概率论与数理统计第七章练习题与答案详解

概率论与数理统计第七章参数估计练习题与答案（答案在最后）1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（）．(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 121 (C) ∑=n i i X n 121 (D) 2S2．矩估计必然是（）．(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是．4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ≠ˆE ，则θˆ是θ的（） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（）才是μ的无偏估计．(A) 213432X X + (B) 214241X X + (C)215352X X + (D) 214143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（）．(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（）．(A) 321313131X X X ++ (B) 213132X X + (C)321412141X X X ++ (D) 216561X X + 8．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n U X n U X σσ025.0025.0，作为μ的置信区间，其置信水平是（）．(A) 0.9 (B) 0.95 (C) 0.975 (D) 0.05 9．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，μ的置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n U X n U X σσαα22 ，的长度是α的减函数，对吗？10．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它101x x x f θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．11．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它002222x ex x f x θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．12．设总体X 服从几何分布：()()11--==x p p x X P ，() ,2,1=x ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计． 13．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,0σN 的一个样本，求参数2σ的最大似然估计．14．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,7t a n σμ+N 的一个样本，其中22πμπ<<-，求参数2,σμ的最大似然估计．15．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,~σμN X 的一个样本，对给定t ，求()t X P ≤的最大似然估计．16．一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，发现其中有k 个白球，求罐中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计． 17．总体X 的分布律是：()()()θθθ312,0,21-=====-=X P X P X P ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计． 18．设总体X 服从二项分布()p N B ,，N 为正整数，10<<p ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的大样本，求参数p N ,的矩估计量．19．设μ=EX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明：()∑=-=n i i X n T 121μ是总体方差的无偏估计．20．总体X 服从()θθ2,上均匀分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计．21．设总体X 服从二项分布()p m B ,，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明∑==ni i X n m p 11ˆ是参数θ的无偏估计． 22．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，且X 服从参数为λ的Poisson 分布，对任意()1,0∈α，证明()21S X αα-+是λ的无偏估计，其中2,S X 分别是样本均值和样本方差．23．设02>=σDX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，问2X 是否是()2EX 的无偏估计．24．设321,,X X X 是来自总体()2,σμN 的一个样本，试验证：32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，都是参数μ的无偏估计，并指出哪个更有效．25．从总体()1,1μN 抽取一个容量为1n 的样本：1,,,21n X X X ，从总体()4,2μN 抽取一个容量为2n 的样本：2,,,21n Y Y Y ，求21μμα-=的最大似然估计αˆ．假定总的样本容量21n n n +=不变时，求21,n n 使αˆ的方差最小． 26．为了测量一台机床的椭圆度,从全部产品中随机抽取100件进行测量，求得样本均值为mm X 081.0=，样本标准差为mm S 025.0=，求平均椭圆度μ的置信水平为0.95的置信区间．27．自动机床加工的同类零件中，随机抽取9件，测得长度如下：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，已知零件长度X 服从()2,σμN ，置信水平为0.95，(1) 若15.0=σ，求μ置信区间； (2) 若σ未知，求μ置信区间； (3) 若4.21=μ，求σ置信区间； (4) 若μ未知，求σ置信区间． 28．设总体X 服从()23,μN ，如果希望μ的置信水平为0.9的置信区间长度不超过2，则需要抽取的样本容量至少是多少？29．某厂利用两条自动化流水线灌装面粉，分别从两条流水线上抽取12和17的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为：6.10=X ，4.221=S ，5.9=Y ，7.422=S ，假设两条生产线上灌装面粉的重量都服从正态分布，其均值分别为21,μμ，方差相等，求21μμ-的置信水平为0.9的置信区间． 30．设两位化验员独立对某种聚合物含氯量用相同方法各作10次测定，其测定值的样本方差分别为：5419.021=S ，6065.022=S ，设2221,σσ分别为两位化验员所测定值总体的方差，设两位化验员的测定值都服从正态分布，求方差比2221σσ的置信水平为0.9的置信区间．31．从一批产品中抽取100个产品，发现其中有9个次品，求这批产品的次品率p 的置信水平为0.9的置信区间．答案详解1．C 2．B 3．31.064．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．对10．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX 11+==⎰θθθθdx x ，所以21⎪⎭⎫⎝⎛-=EX EX θ，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ (2) 最大似然估计似然函数为：()()∏==ni i x f L 1θ()()121-=θθnnx x x ，两边取对数， ()θL ln ()()nx x x n21ln 1ln 2-+=θθ，令()θθd L d ln ()0ln 21221=+=n x x x n θθ，得参数θ的最大似然估计为：212ln ˆ⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x n θ11．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX ⎰∞+-=022222dx exx θθ⎰∞+∞--=dx e xx 2222221θθ⎰∞+∞--=dx exx 2222222θθπθπθπ22=，所以EX πθ2=，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为X πθ2ˆ=。

组合数学（卢开澄）第4章课后习题答案

组合数学（卢开澄）版第四章答案4.1，若群G 的元素a 均可表示为某一个元素x 的幂，即a=x m，则称这个群为循环群，若群的元素交换律成立。

即a ，b ∈G 满足，a ·b=b ·a证明：令a= x m ，b= x n ，则a ·b= x m ·x n = x n ·x m=b ·a ，因此是阿贝尔群4.2若x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m=e ，则称m 为x 的阶，试证： C={e,x,x 2,…x m-1}是G 的一个子群。

证明：一个群G 的不空集合H 作成G 的一个子群的充分必要条件是：1,a b H ab H a H a H-∈⇒∈∈⇒∈,a b 是H 的任意元素。

由题意知C 中的任意两个元素如,a b C ∈则ab C ∈；a C ∈则1a C -∈。

所以21{,,,,}m C e x x x -= 是G 的一个子群。

4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n 。

证明；因为G 中每有元素都能生成一个与元素等阶的子群，子群的阶当然不能超过群G 的阶；所以则G 的所有元素的阶都不超过n 。

4.4若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的幂： a 1 ，a 2 。

a n 的元素a 的数目。

证明：若一个群G 的每一个元都是G 的某一固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群；我们也说，G 是由元a 所生成的，并且用符号()G a =来表示。

所以就有一个这样的a ，即就有一个母元素。

4.5 试证循环群G 的子集也是循环群根据子群的定义，循环群G 的子群应满足循环群G 所满足的所有运算。

所以其子群页应该是循环群。

4.6若H 是G 的子群，x 和y 是G 的元素，试证xH ∩yH 或为空，或为xH=yHx,y ∉G若 xH ⋂yH ≠Φ可知：存在g ∈xH,g ∈yH 由g ∈xH,知存在h 1∈H,有g=xh 1;由g ∈yH,知存在h 2∈H,有g=yh 2; 从而有 xh1=yh2 ⇒x=y(h 2h 11-)------------式1任取z ∈xH,则存在h ∈H,有z=xh-------------------式2将-式1代入-式2： z=y(h 2h 11-)h=y(h 2h 11-h)--------- -式3H 是子群，有h 1，h 2，h ∈H 可推知，h 2h 11-h ∈H从而 y(h 2h 11-h) ∈yH.再由式3知 z ∈yH,这样我们就可推知xH ⊆yH 同理可推得 yH ⊆xH综上知道 yH=xH4.7若H 是G 的子群，H =k ，试证：xH =k ，其中x ∈GH =k设 H={n h h h h 32,1,} 同时对于i,j ∈{k ,3,2,1} 当i ≠j 时，有ah i≠ah j(否则，若有ah i =ah j ，由消去律得h i =h j ，矛盾) 表明{}n h h h h 32,1, 为n 个不同元而aH 恰有这些元组成，故 aH =k, ∴aH =H4．8有限群G 的阶为n ，H 是G 的子群，则H 的阶必除尽G 的阶。

运筹学习题答案(第七章)

64
68 78 78
42
108 110 120
50 114 118
60 124
66
0
1 2 3
64
108 114 124
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运筹学教程
第七章习题解答
工厂1 状态（可能的投资数） 4 决策（分配资金） 0 124 1 155 2 154 3 124 4 66 最优决策 1 最优决策的效益值 155
page 13 11 July 2013
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运筹学教程
第七章习题解答
7.6 某工厂有l 000台机器，可以在高、低两种不同负荷下进行生产，假没在高负荷下生产时，产品的年产量s1和投入的机器数量y1的关系为s1=8y1，机器的完好率为0.7；在低负荷下生产时，产品的年产量s2 和投入的机器数量y2 的关系为s2=5y2 ，机器的完好率为 0.9。现在要求制定一个5年生产计划，问应如何安排使在5年内的产品总产量最高。解：y=0表示低负荷，y=1表示高负荷 Y(1)=0 Y(2)=0 Y(3)=1 Y(4)=1 Y(5)=1 各月的产量如下： X(1)=5000，X(2)=4500，X(3)=64800， X(4)=4536，X(5)=3175.2
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表7-19 1 5
2 3
3 2
4 1
School of Management
运筹学教程
第七章习题解答
解：xi表示生产量，Ii表示存储量，yi表示控制变量， yi=1表示该月进行生产。该问题的模型如下： min=5*(x1+x2+x3+x4) +(I0+I1+I2+I3+I4) +4*(Y1+Y2+Y3+Y4); I0=0;I4=0; I0+x1-I1=5; I1+x2-I2=3; I2+x3-I3=2; I3+x4-I4=1; x1<6*Y1;x2<6*Y2;x3<6*Y3;x4<6*Y4; @bin(Y1);@bin(Y2);@bin(Y3);@bin(Y4); 运行模型后，1月生产5，2月生产6，最小费用为67。

应用回归分析第4章课后习题集参考答案

第4章违背基本假设的情况思考与练习参考答案4.1 试举例说明产生异方差的原因。

答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Y i=0+1X i+εi其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。

由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。

例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Y i=A i1K i2L i3eεi被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。

由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。

这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。

4.2 异方差带来的后果有哪些？答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：1、参数估计量非有效2、变量的显著性检验失去意义3、回归方程的应用效果极不理想总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。

4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。

答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。

其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。

在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。

然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。

由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。

所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。

高中数学第三章统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教材梳理素材新人教A版选修23

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用庖丁巧解牛知识·巧学一、两个分类变量之间关系的定性分析 1.分类变量取不同的“值”表示个体所属不同类别的分量称为分类变量.这里的“变量”和值都应作为“广义”的变量和值进行理解.例如：对于性别变量，其取值为男和女两种.那么这里的变量指的是性别，同样这里的“值”指的是“男”和“女”，因此，这里所说的“变量”和值不一定取的是具体的数值.要点提示注意此处空半格分类变量是大量存在的，例如：吸烟变量有吸烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别. 2.定性分析的方法（1）频率分析通过对样本的每个分类变量的不同类别的事件发生的频率大小比较来分析分类变量之间是否有关联关系.通常通过列联表列出两个分类变量的占少数表来进行分析. （2）图形分析①三维柱形图.它可以清晰的看出各个频数的相对大小；②二维条形图.如本节引例中，可画叠在一起的二维条形图.浅色条高表示不患肺癌的人数，深色条高表示患肺癌的人数； ③频率分布条形图：为了更清晰的表示引例的特征，我们可用等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例.方法归纳注意此处空半格三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况.作三维柱形图时要注意选择恰当的视角，以使每个柱体都能被看到. 二、独立假设 1.2×2列联表种状态又分两种情况：吸烟，不吸烟以及患肺癌、未患肺癌.表中排成两列的数据是调查得来的结果，希望根据这4个数据来检验上述两种状态是否有关.这一检验就称为2×2列联表的独立性检验.2.独立性检验：利用随机变量K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-（其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ为样本容量）来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.要点提示注意此处空半格上述表达式就是统计中重要的K 2统计量，用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H 1，如果算出的K 2值较大，就拒绝H 1，也就是拒绝事件“X 与Y 无关”，从而就认为它们是有关的了.深化升华注意此处空半格独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.在该假设下构造的随机变量K 2应该很小.如果由观测数据计算得到的K 2的观测值ｋ很大，则在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量K 2的含义，可以通过概率P(K 2≥k)的大小来评价该假设不合理的程度有多大，从而说明这“两个分类变量没有关系”这一结论成立的可信程度有多大.三、判断结论成立的可能性的方法 1.通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.（1）在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ａｄ与副对角线上的两个柱形高度的乘积ｂｃ相关越大，H 1成立的可能性就越大.（2）在二维条形图中，可以估计满足条件X=x 1的个体中具有Y=y 1的个体所占的比例ba a+，也可以估计满足条件X=x 2的个体中具有Y=y 2的个体所占的比例dc c+.两个比例的值相差越大，H 1成立的可能性就越大.2.利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法是根据观测数据计算检验随机变量K 2的值k ，其值越大，说明H 1成立的可能性就越大.当得到的观测数据ａ、ｂ、ｃ、ｄ都不小于5时，可以通过随机变量k 2来确定结论的可信程度.要点提示注意此处空半格在计算得检验随机变量K 2的值时，要注意临界值 6.635，3.841和2.706.如果k 2＞6.635，就有99%把握认为“X 与Y 有关系”.如果k 2＞3.841，就有95%把握认为“X 与Y 有关系”.如果k 2＞2.706，就有90%把握认为“X 与Y 有关系”.而如果k 2≤2.706，就认为没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”.误区警示注意此处空半格使用K 2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，所以在选取样本容量时一定要注意这一点. 问题·探究问题1某聋哑研究机构对聋哑关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而另外不聋的680人中有249人哑.你能运用这组数据得出相应结论吗？思路:认真分析后，我们就是要在聋与哑有无关系上作出结论.于是可以运用独立性检验进行判断.一种方法可以根据题目所给数据得到2×2列联表，计算K 2的值，与临界值做比较；另一种方法可以用三维柱形图粗略估计得出结论.当然，我们也可以采用对照两组人群中哑的比例进行粗略估计，但精确度要相对低一些.根据列联表中数据得到：K 2=680657672665)241249431416(13372⨯⨯⨯⨯-⨯≈95.29>10.828，所以我们有99.9%的把握说聋与哑有关.方法二：我们可以把题目中的数据做出相应的三维柱形图（图），容易比较发现，底面副对角线两个柱体高度的乘积大些，可以在某种程度上认为聋与哑有关. 问题2如何进行独立性检验？试举一例说明之.思路:（1）作统计假设：假设H 0“事件A 与B 独立”；（2）根据公式K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-，求出K 2；（3）作出统计判断：若K 2＞6.635，则有99%的把握说事件A 与B 有关，若K 2＞3.841，则有95%的把握说事件A 与B 有关.若K 2≤2.706，则认为没有充分的证据显示事件A 与B 有关.注意在此过程中要使表中的4个数据大于5.如“五一”黄金周前某地的一旅游景点票价上浮，黄金周过后，统计本地与外地来的游客人数，问票价上浮后游客人数与所处地区是否有关系？探究:按照独立性检验的基本步骤，假设票价上浮后游客人数与所处地区没有关系.因为k 2=4907273833964249)1331284220651407(76452⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈30.35>6.635.所以假设不成立，我们有99%的把握认为票价上浮后游客人数与所处地区有关系. 典题·热题例1为了研究人的性别与患色盲与否是否有关，某研究所进行了随机调查.发现在调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试检验人的性别与患色盲与否有关？思路分析:由题意列出2×2列联表，由公式计算出K 2，与临界值做比较，得出事件成立的可信程度.解：由题意所得数据列2×2列联表得：由公式得K 2=52048095545)441651439(10002⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈28.23.因为28.23＞10.828，所以有99.9%的把握认为患色盲与否与人的性别有关，男性患色盲的概率要比女性大很多.方法归纳注意此处空半格独立性检验问题的基本步骤为：（1）找相关数据，作列联表；（2）求统计量K 2；（3）判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的确信度.例2某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：根据此资料，你是否认为教龄的长短与支持新的数学教材有关？思路分析:根据独立性检验思想，由公式计算出K 2，然后与两临界值比较得出结论.解：由公式得K 2=49223437)10252412(71))()()(()(22⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-d b c a d c b a bc ad n ≈0.08.由K 2＜2.706，我们没有充分的证据说明教龄的长短与支持新的数学教材有关.深化升华注意此处空半格独立性检验能帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测.因此要在学习中,应通过案例分析，理解和掌握独立性检验的方法，体会其基本思想在解决实际问题中的应用，以提高我们分析和处理问题的能力.例3在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论是在什么范围内有效？思路分析:由题意列出2×2列联表，利用公式求得K 2后与临界值比较，得出结论后要注意这组数据是来自于住院的病人，而不是随机对全体人群采样.由公式得K 2=7726651048389)451175597214(14372⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈10.828.所以有99.9%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.误区警示注意此处空半格在应用公式时，切忌误用公式为K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-.这会使结果相差甚远.例4某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人.思路分析:分别列出两个量间的2×2列联表，将数据代入公式求得K 2，对照K 2与临界值及三个的大小关系得出结论.代入公式可得K ＝270.114 3.（3）列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：由上面分析可知，数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系.由计算K2的值都大于10.828，由此说明都有99.9%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，物理次之.深化升华注意此处空半格本例中，我们利用2×2列联表的独立假设分析了数学与物理、化学、总分优秀是否有关系.由此发现，学好数学对总分及学好物理关联很大，因此我们要努力学好数学.其次，本例还告诉我们如何利用所学习的独立性假设的思想方法来分析多个分类变量之间关系的方法.。

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解4.1甲、乙两台机床生产同一种零件，在一天内生产的次品数分别记为x 和r.已知 X,Y 的概率分布如下表所示：X1 2 3 p 0.40.30.20.11 23 P 0.3 0.5 0.2 0如果两台机床的产量相同，问哪台机床生产的零件的质量较好？解： F(X) = 0x0.44-1x0.3 + 2x0.2 + 3x0.1 = 1E (r )= 0x03 + 1x0.5 + 2x0.2 + 3x0 = 0.9因为E(X)>E(Y)・即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。

4.2袋中有5个球，编号为123,4,5,现从中任意抽取3个球，用X 表示取出的3个球中的最大编号，求E(X)・解：X 的可能取值为3A5.1 1 c2 3因为 P(X =3) = —= — = 0」：P(X =4) = -^ = — = 0.3；Cl 10 cl 10P(X = 5) == — = 0.6 eg io所以 E(X) = 3x0.1+ 4x03 + 5x0.6 = 4.5k4.3设随机变量X 的槪率分布P{X=k}=aA ,伙=0,1,2,…),其中“>0是个常(1 + «) 1数，求E(X)易知幕级数的收敛半径为R = \.于是有xkxk-\解：胆)甘•琵严吋/占下而求幕级数的和函数,A-]XX&■】m根据已知条件，a>0.因此Ov — <1,所以有1 + 6/E(X)=——-~~ ------------ - ----- =a ・(1+沙(J &)2\ + a4.4某人每次射击命中目标的概率为卩，现连续向目标射击，直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望.解：因为X的可能取值为1,2,……。

依题意，知X的分布律为P(X =k) = qZp, ? = l_p，上= 1,2, ..................□c*00 00所以E(X)=±kq k-l P =迂("pQy y = p(”_y2 —1 2 1—01 1 1=p-——=PV(1-〃p4.5在射击比赛中，每人射击4次，每次一发子弹.规左4弹全未中得0分，只中1弹得15 分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分.某人每次射击的命中率为0.6,此人期望能得到多少分？解：设4次射击中命中目标的子弹数为X,得分为匕则X~B(4.0・6)因为p(x = 0) = C：0.6° X 0.44 = 0.0256P(X =1)= ^0.6" x 0.4s =0.1536P(X =2)=C；0.62 X0.42 =0.3456P(X =3)=C：O.6'X O4 =0.3456P(X =4) = C：0.6° x 0.4° =0.1296所以yE(K) = 0x0.0256+15x0.1536+30x0.3456 + 55x0.3456+100x0.1296=44.643女94.6设随机变量X的槪率分布为P{X=(-l/+,〒}=初伙=12…)说明X的期望不存在。

运筹学第二版 (吴祁宗著) 课后习题答案机械工业出版社

1 3 P3 2 0 1 0 P5 2 1 2 1 P4 3 0 3 0 P5 0 1 1
(2) M inf x1 5 x2 2 x3
3x1 2 x 2 4 x3 6 2 x 3 x x 5 1 2 3 s.t : x1 x 2 x3 9 x1 0, x 2 0
令 z f , 则Maxz x1 5 x 2 2 x3
2 3
X2
2 1 0
X2
1 2 A
3 4 B
D
x1
5 B 4 3 2 1 0 1 2 3
C A Z
*
T z * 13
4 5 6 x1
4
(3)Max z= x1+ 2x2 s.t: 2x1- x2≤6 (A) 3x1+ 2x2≤12 (B) x1 ≤3 (C) x1，x2≥0 从图中可知，最优解为 0
T
T
同时为基本可行解， z 2 3 同时为基本可行解， z 1
对应 B6的基本解为0 1 0 对应 B7的基本解为0 对应 B8的基本解为0 对应 B9的基本解为0 对应 B10的基本解为0 ∴最优解为 x 14 3
5
B9 P3
共 10 个基
2 0 P5 1 1
B10 P4
1 0 P5 0 1
x1 20 3 x1 x 2 6 对应B1的基本解为：令x 3 x 4 x5 0得 2 x1 4 x 2 4 x 2 3
15 x1
1 1 2 1 0 A P1 1 4 1 0 1 B1 P1 B3 P1 B5 P2 B7 P2 1 1 P2 1 4 1 1 P4 1 0 1 2 P3 4 1 1 0 P5 4 1

2020年智慧树知道网课《数理统计》课后章节测试满分答案

2020年智慧树知道网课《数理统计》课后章节测试满分答案绪论单元测试1单选题】二战之后，数理统计学科在计算统计、理论统计、应用统计等方面取得快速发展，这个阶段称为数理统计学的A.纵深时期B.发展时期C.萌芽时期第一章测试1单选题】某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10.理论上说，80分到90分之间的人数是A.32B.20C.8D.16单选题】设随机变量的方差均存在，那么下列说法正确的是A.方差存在，则期望存在B.期望存在，则方差存在C.方差存在，则随机变量的值域存在D.期望存在，则随机变量的值域存在单选题】已知总体的方差，若样本容量增大，则样本均值的方差A.增大B.不变C.减小D.无法确定单选题】若总体的方差已知，则样本均值的抽样分布是A.正态分布B.均匀分布XXX分布D.卡方分布判断题】样本均值是总体均值的无偏估计量A.错B.对判断题】几何分布和指数分布是无记忆性分布。

A.对B.错多选题】以下哪些方法可以用于检验总体均值与给定值是否有显著差异？A.单侧z检验B.双侧z检验C.单侧t检验D.双侧t检验多选题】以下哪些方法可以用于检验总体方差是否有显著差异？A.单侧z检验B.双侧z检验C.单侧t检验D.双侧t检验第二章测试1单选题】已知两个总体方差相等，样本容量分别为n1和n2，若两个总体均值相等，则两个样本均值之差的抽样分布是A.正态分布B.均匀分布XXX分布D.卡方分布单选题】已知两个总体方差相等，样本容量分别为n1和n2，若两个总体均值不相等，则两个样本均值之差的抽样分布是A.正态分布B.均匀分布XXX分布D.卡方分布单选题】已知两个总体方差不相等，样本容量分别为n1和n2，若两个总体均值相等，则两个样本均值之差的抽样分布是A.正态分布B.均匀分布XXX分布D.卡方分布单选题】已知两个总体方差不相等，样本容量分别为n1和n2，若两个总体均值不相等，则两个样本均值之差的抽样分布是A.正态分布B.均匀分布XXX分布D.卡方分布单选题】以下哪个检验方法可以用于检验两个总体方差是否相等？A.单侧z检验B.双侧z检验C.单侧t检验D.F检验次序统计量是独立不同分布的样本，即从不同分布中独立地抽取样本。

伍德里奇《计量经济学导论》(第4版)笔记和课后习题详解(2-8章)

使用普通最小二乘法，此时最小化的残差平方和为()211niii y x β=-∑利用一元微积分可以证明，1β必须满足一阶条件()110niiii x y x β=-=∑从而解出1β为：1121ni ii nii x yxβ===∑∑当且仅当0x =时，这两个估计值才是相同的。

2.2 课后习题详解一、习题1．在简单线性回归模型01y x u ββ=++中，假定()0E u ≠。

令()0E u α=，证明：这个模型总可以改写为另一种形式：斜率与原来相同，但截距和误差有所不同，并且新的误差期望值为零。

证明：在方程右边加上()0E u α=，则0010y x u αββα=+++-令新的误差项为0e u α=-，因此()0E e =。

新的截距项为00αβ+，斜率不变为1β。

2（Ⅰ）利用OLS 估计GPA 和ACT 的关系；也就是说，求出如下方程中的截距和斜率估计值01ˆˆGPA ACT ββ=+＾评价这个关系的方向。

这里的截距有没有一个有用的解释？请说明。

如果ACT 分数提高5分，预期GPA 会提高多少？（Ⅱ）计算每次观测的拟合值和残差，并验证残差和（近似）为零。

（Ⅲ）当20ACT =时，GPA 的预测值为多少？（Ⅳ）对这8个学生来说，GPA 的变异中，有多少能由ACT 解释？试说明。

答：（Ⅰ）变量的均值为： 3.2125GPA =，25.875ACT =。

()()15.8125niii GPA GPA ACT ACT =--=∑根据公式2.19可得：1ˆ 5.8125/56.8750.1022β==。

根据公式2.17可知：0ˆ 3.21250.102225.8750.5681β=-⨯=。

因此0.56810.1022GPA ACT =+＾。

此处截距没有一个很好的解释，因为对样本而言，ACT 并不接近0。

如果ACT 分数提高5分，预期GPA 会提高0.1022×5=0.511。

（Ⅱ）每次观测的拟合值和残差表如表2-3所示：根据表可知，残差和为-0.002，忽略固有的舍入误差，残差和近似为零。

下学期数学人教A版选修2-33.2独立性检验的基本思想及其初步应用课件

85
女 35
143
K2 的观测值 k≈__4_._5_1_4__.(保留 3 位小数)
解析 k＝3001×22×371×781×437－2×852×28352≈4.514.
k 5.在独立性检验时计算的的观测值 2=3.299，那么我们
有（）的把握认为这两个分类变量有关系（） D A.90% B.95% C.99% D.以上都不对
不能推断“X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足
够证据
探究点一
支列持联结表论和“等X高与条Y形有图关系”.
问题 1 举例说明什么是分类变量？
答变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量，分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等等．
9.某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了 515 个成年人，其中吸烟者 220 人，不吸烟者 295 人．调查结果是：吸烟的 220 人中有 37 人患呼吸道疾病(简称患病)， 183 人未患呼吸道疾病(简称未患病)；不吸烟的 295 人中有 21 人患病，274 人未患病．根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？(用列联表和等高条形图说明)．
0.1%把握认为A与B无关 99.9%把握认A与B有关
1%把握认为A与B无关
99%把握认为A与B有关
10%把握认为A与B无关 90%把握认为A与B有关
没有充分的根据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关
1．下面是一个 2×2 列联表：
y1 y2
总计
x1 a 21
73
x2 8 25

部编版2020学年高中数学第一章1.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案含解析新人教A版选修7

1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用[提出问题问题1：观察教材第10页的探究，其中的频数表叫什么？提示：列联表．问题2：由表中数据，你能说吸烟对患肺癌有影响吗？提示：能．问题3：如何用数字分析此类问题？提示：利用随机变量K2进行分析．[导入新知]1．分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称2×2列联表)为：3．等高条形图将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．4．K2统计量为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝n ad －bc2，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．a ＋b c＋d a＋c b＋d5．独立性检验利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．[化解疑难]反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率.[提出问题]问题：利用随机变量K2进行独立性检验需要几步？提示：三步．[导入新知]独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查右表确定临界值k0.(2)利用公式K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，计算随机变量K2的观测值k.(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．[化解疑难]详析独立性检验(1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．(2)列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体．[例1] 生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．[解] 作列联表如下：相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．[类题通法]细解等高条形图(1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色．(2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显即aa ＋b 和cc ＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．[活学活用]为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响．解：等高条形图如下：由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女不吸烟者中父母吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”.[例2] (在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：惯方面有差异”？[解] 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k＝－270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．[类题通法]解决独立性检验问题的思路解决一般的独立性检验问题，首先由题目所给的2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后代入随机变量K2的计算公式求出观测值k，将k与临界值k0进行对比，确定有多大的把握认为“两个分类变量有关系”．[活学活用]某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？解：(1)列联表如下：(2)K2＝≈3.571＜3.841，120×80×168×32所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．1.独立性检验与统计的综合应用[典例] (12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．表1：A类工人生产能力的频数分布表表2：B类工人生产能力的频数分布表(1)确定x ，y 的值；(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系.附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d，[解题流程][规范解答](1)∵从该工厂的工人中抽取100名工人，且该工厂中有250名A 类工人，750名B 类工人，∴要从A 类工人中抽取25名，从B 类工人中抽取75名，(2分) ∴x ＝25－8－3－2＝12，y ＝75－6－27－18＝24.(4分) (2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝－225×75×50×50＝12＞10.828.(10分)因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为工人的生产能力与工人的类别有关系．(12分)[名师批注]要确定x，y的值，应先确定A类工人及B类工人中应各抽取多少人，此处易误认为x ＝25，y＝75，从而导致解题错误分此处易犯错误有两点：①计算失误；②将公式中的数据搞错[活学活用]电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？附：解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名，“非体育迷”有75名，又已知100名观众中女性有55名，女“体育迷”有10名，所以男性有45名，男“体育迷”有15名，从而可完成2×2列联表，如下表：由2×2列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝－245×55×75×25≈3.030.因为3.030＜3.841，所以没有充分的证据表明“体育迷”与性别有关．[随堂即时演练]1．下面是一个2×2列联表：则表中a ，b 处的值分别为( ) A ．94,96 B ．52,50 C ．52,54D ．54,52解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋21＝73，a ＋2＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝54.2．博士生和硕士生毕业情况的一个随机样本给出了关于所获取的学位类别与学生性别的分类数据如下表．由表中的数据，可得( )A．性别与获取学位类别有关B．性别与获取学位类别无关C．性别决定获取学位的类别D．以上说法都不正确解析：选 A 由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝－2×340 305×35×189×151≈7.34>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与获取学位类别有关．而选项C 中的表述不恰当，因为性别与获取学位类别不是因果关系，只是统计学上的一种非确定性关系，故不能用“决定”二字描述．3．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构造随机变量K2，如果K2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．答案：无关不成立4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________(填序号)．解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下推断在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机？解：由已知条件得出下面的2×2列联表：由公式可得K2的观测值k＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d＝－255×34×32×57≈3.689>2.706.故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．[课时达标检测]一、选择题1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是( ) A．2×2列联表 B．独立性检验C．等高条形图 D．其他解析：选B A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．2．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．故选B.3．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( )A．k≥6.635 B．k＜6.635C．k≥7.879 D．k＜7.879解析：选C 犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A．成绩 B．视力C．智商 D．阅读量解析：选D 因为k 1＝－2 16×36×32×20＝52×8216×36×32×20，k 2＝－2 16×36×32×20＝52×112216×36×32×20，k 3＝－2 16×36×32×20＝52×96216×36×32×20，k 4＝－2 16×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有k4>k2>k3>k1，所以阅读量与性别关联的可能性最大.5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d算得，观测值k＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选A 由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．二、填空题6．下列关于K 2的说法中，正确的有________(填序号)． ①K 2的值越大，两个分类变量的相关性越大； ②K 2的计算公式是K 2＝n ad －bc a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d；③若求出K 2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；④独立性检验就是选取一个假设H 0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H 0的推断．解析：对于①，K 2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad －bc )应为(ad －bc )2，故②错；③④对．答案：③④7．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：填“是”或“否”)．解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．答案：是8．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：差别的结论________(填“能”或“不能”)．解析：根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值k＝－2 68×324×196×196≈1.779.K2＜2.072的概率为0.85.不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．答案：1.779 不能三、解答题9．巴西医生马廷恩收集犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员寿命的调查资料：500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命，152人的寿命大于或等于平均寿命；590名廉洁官员中有93人的寿命小于平均寿命，497人的寿命大于或等于平均寿命．这里，平均寿命是指“当地人均寿命”．能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间有关系？解：据题意列2×2列联表如下：由公式得K2的观测值k＝－2 500×590×441×649≈325.635.因为325.635＞6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是有关系的．10．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行1 700次观测，列联表如下：分的证据显示二者有关系．解：相应的等高条形图如图所示．图中两个阴影条的高分别表示水位有变化和水位无变化的样本中有震的频率．由图可看出，水位有变化样本中有震的频率与水位无变化样本中有震的频率相差不大，因此不能判断地震与水位变化有关系．根据列联表中的数据，得K2的观测值为k＝－9021 000×700×180×1 520≈1.594<2.072，所以题中数据没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关系，但也不能认为二者无关系．。

选修2-332独立性检验的思想及应用

H0：面包份量足 ←→ H1：面包份量不足
2020/3/21
郑平正制作
二:求解假设检验问题
考虑假设检验问题： H0：面包分量足 ←→ H1：面包分量不足
求解思路：
1. 在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；
2. 如果样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言H1成立；否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。
a ≈ a + b×a + c nn n
其中n = a + b + c + d为样本容量，即
(a+b+c+d)a (a+b)(a+c),
即ad bc
因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与郑平正制作
独立性检验
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分
现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设
H0：吸烟与患肺癌没有关系.
用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”
等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).
把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表
不吸烟吸烟总计
2020/3/21
析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量
K2
n(ad bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
（1）
其中n a b c d为样本容量。
若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。
根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：
k 9965(777549 42 2099）2 56.632 （2） 7817 2148987491

1CH1第四次独立性

P( B) P( B | A)P( A) P( B | A)P( A)
n N 1 m N m n M N 1 m n M N 1 n( N 1) mN (m n)( M N 1)
练习2 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机的挑选一人，恰好是色盲患者，求此人是男性的概率。解：A=“抽出的是男性” B=“抽出的是色盲”
因此A与B 相互独立 . 由此可立即推出 A 与B 独立 .
再由B B , 又推出A 与B相互独立 .
两个推论 1
。
若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则
其中任意k (2 k n)个事件也是相互独立 .
2 若事件A1 , A2 ,, An ( n 2)相互独立 , 则将A1
解设A=“ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ到的是一只次品”,Bi=“所取产品由第i厂提供”,
易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。 3 (1)由全概率公式: P(A) P ( Bi ) P ( A｜Bi )

i 1
=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.0125 (2)由贝叶斯公式: P(B1|A)= P ( A B1 ) P ( B1 ) 0.02 0.15 0.24 同理 P(B2|A)=0.64, P(B3|A)=0.12 . 故这只次品来自乙厂的可能性最大。
“甲乙甲”;
2 2
由于这三种情况互不相 , 于是由独立性得容甲最终获胜的概率为 : p p 2 p (1 p ).
1
采用五局三胜制 , 甲最终获胜 , 至少需比赛 3 局 ,

独立重复实验的方差和期望

独立重复实验的方差和期望
独立重复实验指的是在相同的条件下进行多次实验，并且每次实验的结果互相独立。

在独立重复实验中，方差和期望是重要的统计量。

方差是衡量一组数据的离散程度的度量，它表示数据的分散程度。

在独立重复实验中，每次实验的结果都是独立的，所以方差可以用来衡量不同实验结果的差异程度。

期望是指在多次独立重复实验中的平均结果，也称为数学期望。

它反映了在进行多次实验后得到的结果的平均水平。

期望可以用来预测在多次实验中得到的结果的平均水平。

总之，在独立重复实验中，方差和期望是重要的统计量，分别用来衡量不同实验结果的差异程度和预测在多次实验
中得到的结果的平均水平。

在独立重复实验中，方差和期望是相互关联的。

方差和期望可以用来估计结果的可能性和预测结果的变化范围。

具体来说，方差越小，说明多次实验的结果相似性越高，
更稳定，也说明期望为实际值；方差越大，说明多次实验结果的差异性越高，结果越不稳定，期望与实际值差距越大。

在独立重复实验中，期望是每个结果发生概率乘上该结果的结果，期望可以用来估计独立重复实验的平均结果。

而方差是期望值的方差，反映了多次实验结果的差异程度。

总之，在独立重复实验中，方差和期望是相互关联的，方差反映了多次实验结果的差异程度，期望反映了多次实验结果的平均水平。

第十一章均衡收入水平的决定

第十一章均衡收入水平的决定一、选择题1.边际消费倾向与编辑储蓄倾向之和等于1，这是因为A．任何两个边际量相加总是等于1；B．M PC和MPS都是直线；C．国民收入的每一美元不是用于消费就是用于储蓄；D．经济中的投资水平不变。

2.满足储蓄等于投资的均衡点使经济稳定是因为A．在这一点上政府停止干预；B．任何处于均衡外的经济将回到均衡点；C．人们为了有效地使用资源把所有储蓄用于投资；D．以上都正确。

3.因总漏出大于总注入而造成的经济不均衡可通过一下哪一项来调整？A．刺激投资的增加；B．减少税收；C．A和B；D．提高边际储蓄倾向。

4.在坐标图上，表示收入和消费关系的45°线意味着A．直线上所有房的点表示消费等于储蓄；B．所有的点表示收入等于储蓄；C．所有的点表示消费等于收入；D．以上都不正确。

5.以下哪一项不能改变社会的消费函数？A.大量有价值的自然资源的发现；B.总人口的变动；C.家庭收入的变动；D.社会流动资产价值的改变。

6.消费者收入水平决定A．流动资产的存量；B．购买力水平；C．财富的分配；D．消费者负债的水平。

7.预期投资若超过预期储蓄，那么A．总供给将大于总需求；在为充分就业情况下将增加就业；B．在为充分就业情况下将增加就业；C．将产生通货膨胀缺口；D．经济将处于非预期状态。

8.在收入的均衡水平上，A．非自愿的存货累积为零；B．计划支出等于实际支出；C．G NP没有变动的趋势；D．上述各项都正确。

9.如果消费函数为C=100+0.8（Ｙ－Ｔ），那么政府支出乘数是Ａ。

0.8Ｂ。

1.25Ｃ。

4Ｄ。

5。

10.如果消费函数为Ｃ＝100+0.8（Ｙ－Ｔ），并且税收和政府支出同时增加1美元，则均衡的收入水平将Ａ。

保持不变；Ｂ。

增加3美元；Ｃ。

增加1美元；Ｄ。

下降4美元。

11.下面哪一种说法不正确？Ａ。

利率下降会增加意愿的投资；Ｂ。

利率下降使意愿的支出曲线向上移动；Ｃ。

利率下降使ＩＳ曲线向右移；D.利率下降时，意愿的支出与实际的支出在更高的收入水平上相等。