北邮考研概率论与数理统计7.4区间估计(3)
区间估计 (3)ppt课件
当两样本为成对资料时，在置信度为P＝1- α 时，两总体平均数差数µ 1-µ 2的置信区间可估 计为：
0+1.96x
临界值
u x
P ( 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 1 . 96 ) P ( x 1 . 96 ) 0 . 05 x x
P ( 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
当为大样本时，不论总体方差σ2为已 知或未知，可以利用样本平均数 x 和总体 方差σ2作出置信度为P＝1-α的中体平均数 的区间估计为：
( L x u , L x u ) 1 2 x x
其置信区间的下限L1和上限L2为
L u 1 x x
L u 2 x x
总体平均数的点估计L为：
L x tsx
tа为正态分布下置信度P＝1－ α时的t临界值
蛋白质含量的点估计为：
L x u 14 . 5 1 . 96 0 . 50 14 . 5 0 . 98 x
说明小麦蛋白质含量有95％的把握落在13.52％～ 15.48％的区间里。
P ( x 2 . 58 ) P ( x 2 . 58 ) 0 . 01 x x
P ( x 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
总体平均数的点估计未知时，
σ2需由样本方差s2来估计，于是置信度为P
＝1-α的总体平均数μ的置信区间可估计为
( x t s , x t s ) x x
北邮概率论与数理统计参数估计的评选标准 (7.3)
§7.3 估计量的评选标准由点估计提法可以看出,估计的概念相当广泛,并且用不同的估计方法往往会得出不同的估计.如果不对估计的好坏加以明确,估计是没有意义的.评价估计量的优劣并不简单，这首先需要明确衡量优良性的标准.这些标准不是唯一的，也不是绝对的.从不同角度出发可以提出不同的标准.下面我们讨论评价估计优劣的一些常用的标准. （一）均方误差同一参数的估计有多种，那么什么样的估计算是好的甚至是最好的？这就涉及优良性标准.从直观上看，估计量与被估计量越接近越好.当我们用)(ˆX θ估计θ时,评价该估计好坏的一个自然的度量是|)(ˆ|θθ-X ,但由于θ是未知的,样本又具有随机性,因而这种自然度量在实际中是不可行的,为了消除随机性的影响,可以考虑对它求平均|)(ˆ|θθ-X E ,出于数学处理上的方便,最常用的标准是由下式给出的均方误差.2))(ˆ()ˆ(θθθθ-=X E MSE 例7.3.1设n X X ,,1 为来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本， (1) 若μ已知,考虑2σ的两个估计量:∑=---=n i i X n 1221)(11ˆμσ,∑=-=n i i X n 1220)(1ˆμσ, 求这两个估计量的均方误差,并比较它们的大小; (2)若μ未知,考虑2σ的两个估计量:∑=---=n i i X X n 1221)(11ˆσ,∑=-=n i i X X n 1220)(1ˆσ, 求这两个估计量的均方误差, 并比较它们的大小.解:(1)先求20ˆσ的均方误差,由于220)ˆ(σσ=E ,所以])([1)ˆ()ˆ(1222022∑=-==n i i X D n D M S E μσσσ, 又∑=-ni iX122)(1μσ～)(2n χ,故n XD ni i2])(1[122=-∑=μσ,即得4122])([σμn X D ni i =-∑=,从而知nMSE 4202)ˆ(2σσσ=,或])([1)ˆ()ˆ(1222022∑=-==ni i X D n D MSE μσσσ n X D nni i 41222)(1σμ=-=∑=, (这里用到了:若X ～),(2σμN ,则⎩⎨⎧-=-为奇数，为偶数，k k k X E k k0,!)!1()(σμ从而422)(σμ=-X D )再求21ˆ-σ的均方误差,}])({)1(1)ˆ(212222212∑=-+---=ni i n X E n MSE σσμσσ 424122)1(12}])([{)1(1σσμ-+=+--=∑=n n X D n ni i , 易见对任意的02>σ,总有>-)ˆ(212σσMSE )ˆ(202σσMSE , 思考题：考虑∑=-+=n i i kX k n 122)(1ˆμσ（k 为整数），计算)ˆ(22k MSE σσ并找出k 为何值时均方误差最小.（2）先求21ˆ-σ的均方误差,由于221)ˆ(σσ=-E ,所以 ])([)1(1)ˆ()ˆ(12221212∑=----==ni i X X D n D MSE σσσ又∑=-ni i X X122)(1σ～)1(2-n χ,故)1(2])(1[122-=-∑=n X XD ni iσ, 即得412)1(2])([σ-=-∑=n X X D ni i ,从而知12)ˆ(4212-=-n MSE σσσ,再求20ˆσ的均方误差,}])1()({1)ˆ(21222222∑=----=ni i n X X E n MSE σσσσ 42412212}])([{1σσn n X X D n ni i -=+-=∑=, 易见对任意的02>σ,总有>-)ˆ(212σσMSE )ˆ(202σσMSE . 思考题：考虑∑=-+=n i i kX X k n 122)(1ˆσ（k 为整数），计算)ˆ(22k MSE σσ并找出k 为何值时均方误差最小.（二） 无偏性均方误差可分解成两部分:2))(ˆ()ˆ(θθθθ-=X E MSE 2ˆˆ]-)(E [)(r Va θθθ+= 若偏差0ˆ==θθθ-)(E )b(，那么均方误差就等于方差.这样的估计量叫做无偏估计量.因此有如下义.定义 设θ为待估参数,参数空间为Θ,),,,(ˆˆ21nX X X θθ=为θ的估计量,若对于任意Θ∈θ,总有θθθ=)ˆ(E ， 则称),,,(ˆˆ21n X X X θθ=为θ的无偏估计量,或者说),,,(ˆˆ21n X X X θθ=作为θ的估计量具有无偏性.又若0=∞→)b(lim n θ，称θˆ是θ的渐近无偏估计.例7.3.2 设总体X 的均值为μ，方差为2σ，n X X ,,1 是来自该总体的简单随机样本.则（i ）样本均值X 为总体均值μ的无偏估计； （ii ）样本均值2S 为总体均值2σ的无偏估计;思考题:样本标准差S 是否是总体标准差σ的无偏估计?如果不是，在正态模型下如何修改使之为无偏估计.例7.3.3 设n X X ,,1 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，求解下面问题(1)2σ的两个常用估计量∑=-=n i i nX X n S 122)(1,∑=--=n i i X X n S 122)(11中哪个是无偏估计?(2) 若22bS X a T +=为2μ的无偏估计,确定b a ,. 解:(1)略(2) 2222222)()1()()()(σμσσμna b a b n a S bE X aE T E ++=++=+=， 由无偏性定义知 对2,σμ∀，有 222)(μσμ=++na b a 从而得nb a 1,1-==。
概率与统计中的点估计与区间估计
概率与统计中的点估计与区间估计概率与统计是一门应用广泛的学科，通过对数据的收集、整理和分析，可以得到对现实世界的认知和预测。
在概率与统计中，点估计与区间估计是两个重要的概念，它们在估计参数值和确定参数范围上起到了关键的作用。
一、点估计点估计是利用样本数据来估计总体参数值的方法。
总体是研究对象的全体，而样本是总体的部分表现。
通过对样本数据的分析，我们可以得到对总体特征的估计值。
点估计的目标是找到一个统计量，使得它的期望值等于待估参数，即使得样本平均值等于总体均值、样本方差等于总体方差。
点估计的常见方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是在给定样本下，选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
而矩估计是利用样本矩和总体矩之间的关系，通过求解方程来得到参数的估计值。
这两种方法在实际应用中具有很好的性质和效果。
二、区间估计区间估计是对总体参数的取值范围进行估计。
与点估计不同，区间估计提供了参数可能的取值范围，而不仅仅是一个估计值。
通过给出置信区间，我们可以以一定的置信水平确定参数的范围。
在区间估计中，置信水平是一个很重要的概念。
置信水平是指在重复抽样的情况下，估计参数的置信区间包含真实参数的比例。
常见的置信水平有95%和99%，其含义是在100次重复抽样中，有95次（99次）的置信区间包含真实参数值。
确定置信区间的方法有多种，其中最常见的是基于正态分布的方法。
当样本容量较大时，根据中心极限定理，可以使用正态分布近似总体分布，以样本统计量的抽样分布来确定置信区间。
此外，还有基于t分布的方法，对于小样本情况，使用t分布更准确。
三、点估计与区间估计的关系点估计与区间估计是概率与统计中密切相关的两个概念。
它们相辅相成，点估计提供了参数的单个估计值，而区间估计提供了参数的取值范围。
点估计通常是区间估计的基础，通过点估计得到的估计值可以用于构建置信区间。
比如，当我们对某总体的均值进行点估计时，可以使用样本均值作为参数的估计值，并结合样本标准差构建置信区间。
北邮概率论与数理统计区间估计(7.4)
§7.4 区间估计参数的区间估计与参数的点估计一样，是参数估计的重要方法。
参数的点估计给出了一个具体值，但这个具体值不会是参数的精确值，而是一个近似值。
尽管近似的精度可以用均方误差给出评估，但我们还是无法知道估计值与真值相差多少。
区间估计在一定程度上解决了这个问题。
区间估计就是通过两个统计量及覆盖概率给出参数的另一种形式的估计。
当有样本值后，可以把未知参数估计在一定的范围内，并且可以给出这种估计的可信程度。
在某些具体问题中区间估计可能比点估计更具实用价值，并且区间估计还是度量点估计精度的最直观的方法。
因此区间估计是一种应用非常广泛的估计形式。
7.4.1 区间估计的概念设θ是未知参数，n x x x ,...,,21是样本，所谓区间估计就是要找两个统计量),...,,(ˆˆ21n L L x x x θ=θ和),...,,(ˆˆ21n U U x x x θ=θ，使得),...,,(ˆ21n L x x x θ),...,,(ˆ21n U x x x θ<，并构造一个随机区间)ˆ,ˆ(U L θθ，在有了样本值后把θ估计在区间)ˆ,ˆ(U L θθ内。
由于样本的随机性，随机区间)ˆ,ˆ(U L θθ覆盖θ有一定的概率，自然要求随机区间)ˆ,ˆ(U L θθ覆盖θ的概率)ˆˆ(UL P θθθ<<尽可能大，但这必然导致区间长度增大，而过长的区间又会导致给出的区间估计无意义。
为解决此矛盾，Neyman 建议采取一种折中方案:在使得覆盖θ的概率达到一定要求的前提下,寻找“精确度”尽量高的区间估计. 因此我们把)ˆ,ˆ(U L θθ覆盖θ的的概率事先指定，这就引入置信区间的概念。
定义 设θ是总体的一个参数，假设有两个统计量),...,,(ˆˆ21n L L x x x θ=θ和),...,,(ˆˆ21n U U x x x θ=θ，若对任意Θ∈θ，有 )ˆˆ(UL P θθθ<<α-≥1 则称随机区间),ˆ(U L θθ为θ的置信水平为α-1的置信区间，UL θθ,ˆ分别称为θ的置信水平为α-1的（双侧）置信下限和置信上限。
《数理统计》第7章§4区间估计
3/7
故 的置信水平为 1 的置信区间为 ( X z / 2 , X z / 2 ) n n 特别取 n 16 , 0.05 ,则 z / 2 z0.025 1.96 于是 的置信水平为 0.95 的一个置信区间为
( X 0.49 , X 0.49)
第七章 参数估计
§4 区间估计 设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 1 ) 的样本, 试求未知参数 的置信水平为 1 的置信区间. 的 MLE为 X ，且 X ~ N (0,1) ( 0 1) 0 / n 故对于给定的置信水平 1 , 查表可求得 z / 2 使得 | X | P z / 2 1 1 0 / n 等价地有 z /2 z /2 P{ X 0 z / 2 X 0 z / 2} 1
第七章 参数估计
§4 区间估计
2/7
设总体 X ~ F ( x , ) ( ) , 0 1 若存在 两个统计量 ( X1 , X 2 , , X n ), ( X1 , X 2 ,, X n ) ( ) 使得 Θ 有 P{ } 1 则称随机区间 ( , ) 为 的置信水平为 1 的置信区间, 、 分别称为置信下限和置信上限. 双侧置信区间 置信水平也称为置信度,通常 较小,1 较大 对于连续型总体,则取 P{ } 1 对于离散型总体,则取 P{ }尽可能接近 1
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6.《操作系统》：操作系统是计算机专业的重点课程，也是考研中的重点。
这本书主要介绍操作系统的基本原理和设计方法，包括进程管理、内存管理、文件管理、设备管理等。
7.《计算机网络》：计算机网络是计算机专业的重点课程之一，也是考研中的重点。
这本书介绍计算机网络的基本概念和协议，包括网络体系结构、传输层协议、网络层协议、应用层协议等。
8.《软件工程》：软件工程是计算机专业的重要课程之一，也是考研中的重点。
这本书介绍软件工程的基本概念和方法，包括需求分析、软件设计、软件测试、软件维护等。
9.《通信原理》：通信原理是通信工程专业的重点课程，也是考研中的重点。
这本书主要介绍通信原理的基本概念和方法，包括信号与系统、调制解调、多路复用、编码等。
10.《数字信号处理》：数字信号处理是电子工程专业的重点课程之一，也是考研中的重点。
概率论于数理统计7.3
ˆ ˆ 得置信区间 ( 1 , 2 )
15
概率论与数理统计
7.3.3 置信区间常用公式
(一) 一个正态总体 X ~N ( 2)的情形 (1) 方差 2已知, 的置信区间
n
得 的置信度为1 的置信区间为 ( X u , X u ) n n
2 2
17
概率论与数理统计
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
S S , X t (n 1) X t (n 1) (2) 2 2 n n
推导
n 2
得 2 的置信度为1 置信区间为
n 2 ( X i ) i 1 , 2 ( n) 2 ( X i ) i 1 (3) 2 1 (n) 2
n 2
19
概率论与数理统计
(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间 选取 则由
越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
ˆ ˆ 这时, 2 1往往增大, 因而估计精度降低.
7
概率论与数理统计
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
再
求参数 置信区间
保 证 可靠性
提 高 精 度
(3) 确定后, 置信区间的选取方法不唯一, 常 选最小的一个.
8
概率论与数理统计
0.4 0.3 0.2 0.1
(n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 2 (n 1) (n 1) 1 2 2
2 (4)
2
-2
1
概率论与数理统计第七章参数估计演示文档
概率论与数理统计第七章参数估计演示文档参数估计是概率论与数理统计中的重要内容之一，是通过样本数据来推断总体参数的方法。
在实际应用中，参数估计广泛应用于市场调查、医学研究、经济预测等领域。
本文将以一些常用的参数估计方法为例，进行演示说明。
首先，我们介绍最常见的点估计方法，矩估计。
矩估计是通过样本矩来估计总体矩。
以正态分布的均值和方差为例，假设我们有一个样本数据集，通过计算样本均值和样本方差，可以分别得到正态分布的均值和方差的矩估计值。
接下来我们介绍第二种常见的点估计方法，最大似然估计。
最大似然估计是通过找到使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值。
以二项分布的成功概率为例，假设我们有一组二项分布的观察数据，通过计算二项分布的似然函数，并求导得到其极大值点，可以得到二项分布的成功概率的最大似然估计值。
此外，假设检验是参数估计的重要应用。
在进行参数估计时，我们常常需要进行假设检验来判断参数估计是否具有统计意义。
以均值的假设检验为例，假设我们有两组样本数据，通过计算样本均值和样本方差，可以得到均值的矩估计值。
然后，我们可以利用假设检验的方法，比较这两个样本的均值，从而判断两个样本是否具有统计意义上的差异。
最后，我们介绍一种常用的参数区间估计方法，置信区间估计。
置信区间估计是通过样本数据得到一个区间，该区间内的参数值有一定的置信度。
以总体均值的置信区间估计为例，假设我们有一组样本数据，通过计算样本均值和样本标准差，可以得到总体均值的点估计值。
然后，我们可以利用参数估计的理论知识，计算得到总体均值的置信区间，从而对总体均值进行估计。
综上所述，参数估计是概率论与数理统计中的重要内容，应用广泛。
通过点估计方法可以从样本数据中推断总体参数的值，通过假设检验可以判断参数估计的统计意义，通过置信区间估计可以得到参数值的置信区间。
这些参数估计方法为我们提供了在实际问题中进行估计和推断的依据，使我们能够更好地理解和分析数据。
概率论与数理统计 7.2(参数的区间估计)
常将该对称区间写成较短的形式： X z 2 n
7.2.2 正态总体均值的区间估计 当然，(7.7)式中的不等式不是唯一的，取两个对称 的分位点 –z/2 和 z/2 是为了使两点之间的长度最小， 从而保证了所得置信区间的精度最大． 2. 2未知时， 的置信区间
1. 已知时，2的置信区间
由于X～N(，2)，所以 取枢轴量
n 2
Xi 2 ~ （ n）， i 1
n
2
n X 1 2 2 i 2 X i i 1 i 1
由于 2概率密度不是对称的,对给定的置信水平1 – ,不容易找到最短的置信区间,习惯上仍取对称形
2未知时，不能再用
区间的枢轴量，因为其中含有另一个未知参数2． 考虑到S2是2的无偏估计，可以用S2代替2， 由定理6.3知 X ~ t ( n 1),
S/ n
X Z 作为求 的置信 / n
所以，可以选用 T
X 作为枢轴量． S/ n
7.2.2 正态总体均值的区间估计
第三节 区间估计
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值。 点估计缺点
它没有反映出这个近似值的误差范围， 还有可信度. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .
7.2.1 区间估计的一般步骤
定义7.5 设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样 本,θ为总体X的未知参数,对给定的(0,1),如 果有两个统计量 ˆ1 ˆ1 ( X1 , X 2 ,, X n )和
本相互独立，其样本均值分别记为 X 和 Y ，其样本方 差分别记为S12和S22. 我们来研究参数1 – 2的区间估计． 1. 12和22已知时，1–2的置信区间 由定理6.4知
概率论与数理统计：区间估计
点估计量是有不足之处的，因为点估计量是一个随机变量，每给一个样本观测值点估计的值就会发生变化。
虽然这些点估计的值都在真值附近波动，但是因为真值是未知的，所以这些点估计，他与真值之间到底有多近，这是不得而知的，因此点估计不能反映估计的精度。
因此我们就想能不能给岀未知参数的一个估计范围，并使苴包含增值的可靠性，达到一泄的要求，这就是我们今天要给大家介绍的区间估计。
二、讲授新课：引例，估计一下某人的年龄范围。
第一种你可能会选择1岁到100岁，第二种区间估计，20岁到21岁。
很明显，第一种区间长，他的可信度高，也就是说，真值100%都在这个区间里而，但是精确度却很低。
第二种区间短，这时可信度就低，也就是说，真值是不是在这个区间里而呢？因为区间太短可能性就很低了，它的精确度却很髙。
因此，我们发现可信度和精确度是一对矛盾，提高了可信度，精确度就下降了，提高了精确度，可信度就会下降，那么在他们两者之间，我们应该如何取舍呢？统计学家奈曼提出了处理原则，先确左可以接受的可信度的前提下，尽屋的提髙我们的精确度。
因此，我们首先来确龙区间估计的可信度，区间估计的可信度也被称为苣信度，我们用1-Q来表示。
1-&我们经常90%, 95%, 99%等,表示这个区间可信的程度。
1、区间估计的槪念：设总体的未知参数为<9,也就是我们要估计的参数。
由样本xl到xn确泄了两个统计量,R和玄对于给定的实数a(Ovavl)满足<0<O2)>\-a我们就称随机区间(&,玄)为&置信度为1 - a的置信区间，其中1 - a又称为置信水平或置信槪率，a显著性水平。
1-a这个宜信水平反映了区间的可信度。
0.-0.这个区间长度反映了区间的精确度。
（在左义中，我们要特别注意定义式的理解&是貞. 值，它不是一个随机变呈:，而是一个数，它要么在这个区间范用里而，要么不在这个区间范用里而，那么这个1-a的概率又从何谈起呢？我们可以这样理解，比如我们令1-等于0.95,那么就相当于抽取了100次样本，其中有约95个包含真值，而另外的5个不包含真值。
概率论与数理统计 7.3 区间估计
不依赖于未知参数 ;
(3) 对给定的置信水平 1 , 确定 1 与2 , 使得 P{1 < g < 2 } = 1 ,
5
一般是选取满足
2 (4) 由不等式 1 < g < 2 解出 的置信区间
( 1 , 2 ) .
P{ g 1 } = P{ g 2 } =
已知 S 2 是 2 的无偏估计量 , 且有
2 =
( n 1 )S 2
2
2( n 1 ) ,
( x)
2
对于置信水平 1 ,
由 2 分布图(右) , 有
2
2 ( n-1) 2
15
O 2 ( n-1)
1 2
y
P{
2 1
2
( n 1) < < ( n 1)} = 1 ,
y
16
例3、已知一批零件的长度（单位：cm）服从正态分 布N(μ，σ 2 ) ， μ，σ 2 未知，从中随机抽16个零件，
得到长度的平均值为 x 40cm, 校正方差s = 4, 则
*2
2
的置信度为0.95的置信区间是_______。
解：第一步， 2的无偏点估计为 2 =s*2
17
第二步，构造类似统计量的枢轴函数
的置信水平为 1 的单侧置信区间, 2 称为
的置信水平为 1 的单侧置信上限 .
28
单侧置信限的求法:
对于正态总体 X , 若均值 , 方差 均未知,
2
设 X1 , X 2 ,
, X n 是一个样本, 由
X S n
t ( n 1) ,
概率论7-3
引例 某农作物的平均亩产量X（单位:kg）服从正态分 布N(μ,1002),今随机抽取100亩进行试验，观察其亩产量 值 x1, , x100 ，基此算出 x 500(kg) ，因此μ的点估计值 为500.由于抽样的随机性，μ的真值与 x 的值总有误差， 我们希望以95%的可信度估计 x 与μ的最大误差是多少？
2、 置信区间的长度2 1，反映了估计精度 ， 2 1
越小, 估计精度越高.
3、 反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1-
越大, 估计的可靠度越高,但这时, θ2-θ1往往增大, 因而 估计精度降低.
4、 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选置信
区间的长度最小的一个.
其含义是，若反复抽样多次，每个样本值(n=16)按(*)
式确定一个区间，在这么多的区间中，包含的约占95%
不包含的约仅占5%。现在抽样得到的区间(4.71, 5.69)，
则该区间属于那些包含的区间的可信程度为95%，或
“该区间包含”这一陈述的可信度为95%。
然而置信区间为1 的置信区间并不是唯一的，若
给定 =0.05，则
P{ z0.04
X
/
n
z0.01}
0.95
这样我们得到了的另一个置信水平为1-的置信
区间
（X
n
z 0.01
,X
z ）
n 0.04
由( X z0.025
,
n
X z0.025
n
)给出的区间长度为
2 n z0.025 3.92 n
由(
X
z0.01
,
n
X z0.04
n
)给出的区间长度为
《概率论与数理统计教学课件》7第七章_区间估计
从中解得：
P {X
S n
t 2 ( n 1) X
于是所求
的置信度为1
S n
置信区间为 ：
[X
t 2 ( n 1), X
S n
t 2 ( n 1)]
概率统计
例2. 确定某种溶液的化学浓度，现任取4个样品，测 得样本均值为 X 8.34%,
2
用6.678作为引力常数的估计值的可靠程 0.00387 (6.675，6.681) 2.015 0.003 度为 90%的区间是
于是所求
6 的置信度为 90% 置信区间为：
( X 0.03, X 0.003) (6.675, 6.681)
概率统计
33.32 6.664 在(2)中 Y 5 1 S2 (0.00036 ) 0.003 51 又 1 0.9, 0.1 s2 0.003 t ( n 1) t 0.1 (4) n 2 5 2
1 1 0.36667 0.6055 6 5
概率统计
于是所求
1 2 的置信度为 0.9 的置信区间为:
1 1 ( X Y t (n1 n2 2) sw ) n1 n2 2
(0.01, 0.02)
即用 0.014 作为 1 2 的估计值的可靠程度达到 90% 的区间是 (0.01, 0.02)
P {|
X
n
| u 2 } 1
从中解得：
概率统计
P{ X
于是所求
n
u 2 X
n
n
数理统计区间估计总结
数理统计区间估计总结数理统计是一门研究数据分析和概率推断的学科，而区间估计是数理统计中的一个重要方法。
在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来推断总体参数的取值范围。
区间估计的目的就是通过样本数据来估计总体参数，并给出一个置信水平，表示我们对估计结果的信心程度。
区间估计的基本思想是根据样本数据的统计量来构造一个区间，使得总体参数有一定的概率落在这个区间内。
常见的区间估计方法包括正态分布的区间估计、t分布的区间估计等。
其中，正态分布的区间估计是应用最广泛的一种方法。
在进行区间估计时，我们首先需要确定置信水平。
置信水平是指在重复抽样的条件下，该区间估计方法能够包含总体参数的真值的概率。
常见的置信水平有90%、95%和99%等。
一般情况下，置信水平越高，估计的区间范围就越宽，我们对估计结果的信心程度也更高。
接下来，我们需要选择一个合适的统计量来进行区间估计。
常见的统计量有样本均值、样本比例、样本方差等。
根据不同的总体分布和参数类型，我们选择相应的统计量来构造区间估计。
我们根据区间估计的方法和统计量的抽样分布来计算区间的上下限。
以样本均值的区间估计为例，当总体服从正态分布时，我们可以使用z分布进行区间估计；当总体的标准差未知时，我们可以使用t 分布进行区间估计。
区间估计的优点是能够给出一个范围，而不是一个点估计，使我们对总体参数的估计更加准确。
同时，区间估计还能够给出一个置信水平，告诉我们估计结果的可靠程度。
然而，区间估计也存在一定的局限性，例如需要满足一些假设条件，样本量要求较大等。
区间估计是数理统计中一种重要的推断方法。
通过构造一个区间来估计总体参数，并给出一个置信水平，我们可以在实际应用中对未知参数进行推断。
区间估计的方法和步骤需要根据不同的问题进行选择和应用，以确保估计结果的准确性和可靠性。
北邮考研概率论与数理统计7.6(0-1)分布参数的区间估计(1)
第6页
b (2nX z2 / 2 ) (2nx z2 / 2 ) 123.84,
c nX 2 nx2 36,
于是 p1 b
b2 4ac 0.50, 2a
p2 b
b2 4ac 0.69,
2a
p 的置信水平为0.95的置信区间为 (0.50, 0.69).
第7页
例2设从一大批产品的120个样品中, 得次品9个, 求 这批产品的次品率 p 的置信水平为0.90的置信区间.
第1页
7.6 大样本置信区间
在样本容量充分大(n>50)时，可以用渐近分布 来构造近似的置信区间。
一个典型的例子是关于比例p 的置信区间。
( 0 1) 分布参数的近似置信区间
一、置信区间公式 二、典型例题
一、置信区间公式
第2页
设有一容量n 50的大样本, 它来自(0 1)分布 的总体 X , X 的分布律为 f ( x; p) px (1 p)1x ,
出事件A发生概率p 的0.95置信区间。
解：此处n=120，x=36/120=0.3 而u0.975=1.96，于
是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为
pˆL 0.3 1.96
0.3 0.7 0.218 120
pˆU 0.3 1.96
0.3 0.7 0.382 120
故所求的置信区间为 [0.218，0.382]
置信区间长u1度 2 不n超过d0，只需要
即可，从而
u1 2
n d0
（6.5.12）
n
u1 d0
2
2
第13页
这是一类常见的寻求样本量的问题。比
如，若取d0=0.04， =0.05，则
。
数理统计区间估计总结
数理统计区间估计总结数理统计是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，而区间估计是其中一种重要的方法。
区间估计是通过样本数据来推断总体参数的取值范围，它能够提供关于总体参数的不确定性程度的信息。
本文将对区间估计的概念、应用以及优缺点进行探讨，以期帮助读者更好地理解和运用这一统计方法。
一、区间估计的概念区间估计是一种基于样本数据的统计推断方法，通过计算得到一个包含未知总体参数的区间范围。
这个区间的上限和下限是根据样本数据计算出来的，并且具有一定的置信水平，代表了对总体参数的估计精度。
二、区间估计的应用区间估计广泛应用于各个领域的研究中，特别是在市场调研、医学实验、经济学研究等方面。
例如，在市场调研中，通过对样本数据的分析，可以得到某一产品销售量的置信区间，以评估其市场潜力。
在医学实验中，可以利用区间估计来确定某种药物的有效剂量范围，以指导临床应用。
三、区间估计的优缺点区间估计具有以下优点：首先，它能够提供对总体参数的估计精度信息，使得决策者能够更加准确地评估风险和不确定性。
其次，区间估计不依赖于总体分布的假设，适用于各种类型的数据。
最后，区间估计可以较好地处理样本量较小的情况，提供对总体参数的合理估计。
然而，区间估计也存在一些缺点。
首先，区间估计只能提供对总体参数的范围估计，无法给出具体的点估计。
其次，区间估计的置信水平不一定能够准确反映总体参数的真实情况，存在一定的误差。
最后，区间估计对样本数据的分布和总体参数的假设要求较高，如果假设不满足，估计结果可能会失真。
区间估计是一种重要的统计推断方法，可以提供对总体参数的估计范围和置信水平信息。
它在各个领域的研究中有着广泛的应用，并具有一定的优点和缺点。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的区间估计方法，并结合其他统计方法进行综合分析，以获得更加准确的结论。
概率论与数理统计7.3 参数的区间估计
双正态总体
估均值差
（比）
估方差比
已知
N分布
未知 t(n1 1 n2 1)分布
已知S 未知S *
F (n1, n2 )分布 F (n1 1, n2 1)分布
步骤
1.选取未知参数的某个较优估计量ˆ。
2.围绕ˆ构造一个依赖于样本与参数的函数
U U ( X1, X 2, X n; )，该函数分布已知
X 2 ,,
X
为来自正态总体
n
X的样本 ,
X
~
N(,
2)
(1) 若 2 02已知, 求均值的置信区间
由抽样分布定理可知
X ~ N(, 2 )
n
将其标准化
U
X
~
N (0,1)
n
对于给定的置信度 1 ,若能找到一个区间 (u1 ,u2 )
使得 P{u1 U u2 } 1
即 因而
P{u1
X
) n
例3.初生婴儿的体重X近似服从正态分布 N( , 2 )
从某地区随机抽取12名新生儿,测得 x 3056.67 克, S 359.36 克,求平均体重 的置信度为95%的置信区间.
解:
设X
1
,
X
2
,
,
X
为来自总体
n
X的样本
则
T
X S
~ t(n 1)
n1
P{| T | t1 2 (n 1)} 1 的置信度为1 的置信区间为
若再用P{u1 2
X
u1 2 }
1
n
由于参数 2未知,因此将得不到 的置信区间
由抽样分布定理可知
T
X S
~ t(n 1)
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20
第21页
由 P(-1.75≤U≤2.33)=0.95
f (u)
1 . 75
2 .33
u
我们得到 均值 的置信水平为 0 . 95 的
置信区间为 [ X 1 . 75
n , X 2 . 33 n]
这个区间比前面一个要长一些.
21
第22页
类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.
P ( L U ) 1
L , U 为 称
的1- 同等置信区间。
同等置信区间是把给定的置信水平1- 用足 了。常在总体为连续分布场合下可以实现。
2、置信区间的求法
第7页
2 例1 设X1,…Xn是取自 N ( , 2 ) 的样本， 已知, 求参数 的置信度为 1 的置信区间. 寻找未知参数的 解： 选 的点估计为 X 一个良好估计. X 取 Z ~N(0, 1) n 明确问题,是求什么参数的
2未知，则 的置信水平为1- 的置信区间为
x t
2
(9) s 10 , x t 2 (9) s 10
其中，x ,s 分别为样本均值和样本标准差。 这里用它来说明置信区间的含义。
若取 =0.10，则t0.05(9)=1.8331，上式化为
x 0.5797s,
x 0.5797s
第19页
1、需要指出的是，给定样本，给 定置信水平，置信区间也不是唯一的. 对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.
注意
例如，设X1,…Xn是取自 N ( , ) 的样本，
2
2已 知 , 求参数 的置信水平为 0 . 95 的
置信区间. X 取枢轴量 U ~N(0, 1) n
19
第20页
由标准正态分布表，对任意a、b，我们可 以求得P( a<U<b)=0.95即可 . 例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
f (u)
0 .95
1 . 96 1 . 96
u
n , X 1 . 96
我们得到 均值 的置信水平为 0 . 95 的 置信区间为 [ X 1 . 96
X n
| Z 2 } 1
从中解得
P {X n Z 2 X
为什么 这样取？
n Z 2} 1
于是所求 的 置信区间为
（X Z 2 , X Z 2） n n
Z 2 也可简记为 X n
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下: 1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T (X1,X2,…Xn)
第9页
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知. 称S(T, )为枢轴量.
a
0 .9 5
b b
u
u
0 .9 5
0
b
u
a =-b
23
第24页
注意
2 如 分 布 和 F分 布 , 在密度函数不对称时,
习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
24
第25页
我们可以得到未知参数的的任何置信 水平小于1的置信区间，并且置信水平越 高，相应的置信区间平均长度越长.
也就是说，要想得到的区间估计可 靠度高，区间长度就长，估计的精度就 差.这是一对矛盾.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
ˆL ,ˆU
可靠度与精度:
第17页
ˆ 长度 ˆ U L尽可能短，或能体现该要求的其 它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在 保证可靠度的条件下尽可能提高精度.
17
第18页
附 录
1、置信区间是唯一的吗？ 置信区间的可靠性和精度。 2、均匀分布的区间估计。
现假定 =15, 2 =4，则我们可以用随机模拟方法 由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这 样一个样本： 14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得 x 14.7053, s 1.8438 从而得到 的一个区间估计为
可见，确定区间估计很关键的是要寻找 一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知 参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
10
第11页
这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限 定理，可得总体的近似分布为正态分布，于是也可以 近似求得参数的区间估计. 教材上(7.5节）讨论了以下几种情形：
(n)
n
n (n) (n)
★
2 1 ★ 两个正态总体均值差 1 2 和方差比 2 2 的区间估计.
单个正态总体均值 和方差 2 的区间估计.
11
关于置信区间的构造有两点说明：
应选平均长度 E ˆ
ˆ L
第12页
满足置信度要求的a与b通常不唯一。若有可能，
U
达到最短的a与b，这在枢
轴量S=S(T,Ѳ)的分布为对称分布场合通常容易实现。
任意两个数a和b，只要它们的纵标包含 f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信 f (u) 区间. 0.95
a a a
0.95 0.95b buub0
u
我们总是希望置信区间尽可能短.
22
第23页
在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时 求得的置信区间的长度为最短.
f (u)
0 .9 5
a a
置信区间?置信水平是多少？
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 Z取值于任意区间的概率.
7
对于给定的置信水平(大概率), 根据Z的分布， 确定一个区间, 使得Z取值于该区间的概率为置信水平. 对给定的置信水平 使
第8页
1,
查正态分布表得
Z 2,
P {|
§7.4 区间估计
引言
第1页
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
1
1、 区间估计的概念
第5页
定义1 设 是总体的一个参数，其参数空间为Θ， x1, x2 , …, xn是来自该总体的样本，对给定的一个 (0< <1)，若有两个统计量 L L ( x1 , , xn ) 和 U U ( x , , x )，若对任意的 ∈Θ，有
P (ˆL ˆU ) 1 ,
L U L U
1
n
（ 1）
则称随机区间（ , ）为 的置信水平 为1- 的置信区间，或简称（ , ）是 的1-置信区间.
L
和 U 分别称为 的（双侧）置信下限 和置信上限.
第6页
定义 沿用定义1的记号，如对给定的 (0< <1)， 对任意的∈Θ，有
由图1可以 看出，这 100个区间 中有91个 包含参数 真值15， 另外9个不 包含参数 真值。 图1
的置信水平为0.90的置信区间
可见：置信水平1- 的含义是指在大量使用该 置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有 。
注：置信区间
ˆ ,ˆ 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 L U ˆ 内，就是说，概率P {ˆ L U } 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠.
第14页
14.7053 0.5797 1.8438,
14.7053 0.5797 1.8438 13.6427, 15.7679
该区间包含 的真值--15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个 区 间，我们将这100个区间画在图1上。
第15页
实用中应在保证足够可靠的前提下， 尽量使得区间的长度短一些 .
25
第26页
2、例 设x1, x2 , …, xn是来自均匀总体U(0, )的 一个样本，试对给定的 (0< <1)给出 的 1- 同等置信区间。
解:（1）取x(n)作为枢轴量，其密度函数为
p(y; )= nyn ， 0<y <1；
9
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T , ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a ≤S(T, )≤b)= 1
第10页
5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: ˆ ˆ
P{ L U } 1 则ˆL ,ˆU 就是 的100(1 )％的置信区间.
（2）x(n) / 的分布函数为F(y)=yn, 0<y <1，故
P(c≤x(n)/ ≤d)= d n-cn，
因此我们可以适当地选择c和d满足d n-cn=1-
第27页
（3）利用不等式变形可容易地给出 的1同等置信区间为[x(n) /d，x(n) /c]，该区间 1 1 Ex 的平均长度为 。不难看出， c d n n 在0≤c<d≤1及d -c =1- 的条件下，当 1 1 d=1, c= 时， c d 取得最小值，这 说明 x , x 是 的置信水平1- 为 最短置信区间。
ˆ ˆ 尽可能短的a与b， 实际中，选平均长度 E U L
这往往很难实现，因此，常这样选择 a与b，使得 两个尾部概率各为 /2，即P(S<a)=P(S>b)= /2， 这样的置信区间称为等尾置信区间。这是在S的分 布为偏态分布场合常采用的方法。