《2.4函数的奇偶性与周期性》 学案

学习过程
一、复习预习
1、复习单调性的概念
2、复习初中的轴对称和中心对称
3、预习奇偶性的概念
4、预习奇偶性的应用
二、知识讲解
考点1 函数的奇偶性
[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？
提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．
2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？
提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1.
3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？
提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．
考点2 周期性
(1)周期函数：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
三、例题精析
【例题1】
【题干】判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝lg 1－x
1＋x
；(2)f(x)＝
⎩
⎨
⎧x2＋x(x>0)，
x2－x(x<0)；
(3)f(x)＝
lg(1－x2)
|x2－2|－2
.
【解析】(1)由1－x 1＋x
>0⇒－1<x <1， 定义域关于原点对称．
又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )， 故原函数是奇函数．
(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，
－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；
当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．
(3)由⎩⎨⎧
1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2. ∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2
＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．
【例题2】
【题干】(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝() A．－3B．－1
C．1D．3
(2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则()
A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(－1)
C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)
【答案】A、A
【解析】(1)选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.
所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
(2)选A函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．
选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．
选项B中，0>－1，故f(0)<f(－1)．
同理选项C中f(－1)>f(1)，选项D中f(－3)<f(－5).
【例题3】
【题干】(1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫log 12
6的值为( )
A ．－52
B ．－5
C ．－12
D ．－6
(2)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是(
) A ．增函数 B ．减函数
C ．先增后减的函数
D ．先减后增的函数
【答案】(1)选C (2)选D
【解析】(1)选C∵－3<log
1
26<－2，∴－1<log
1
2
6＋2<0，即－1<log
1
2
3
2<0.∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f(log
1
26)＝f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
log
1
2
3
2＝－f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－log
1
2
3
2＝－f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
log2
3
2＝－⎝
⎛
⎭
⎫
22
3
log
2－1＝－
1
2.
(2)选D由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期．结合以上性质，模拟画出f(x)部分图象的变化趋势，如下图．
由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．
四、课堂运用
【基础】
1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为() A．y＝x＋1B．y＝－x3
C．y＝1
x D．y＝x|x|
2．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式fx＋f－x
x>0的解集为()
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
3．(2013·广州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)
【巩固】
4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
2a－1 a＋1，则a的取值范围是________．
5．(2013·徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝
【拔高】
6．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()
A．6 B．7
C．8 D．9
7．已知函数f(x)＝x2＋a
x(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
课程小结。