粗糙集理论 PPT课件
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【决策管理】粗糙集决策方法讲义(PPT 110页)
1995年, ACM Communication将它列为新浮现的计算 机科学的研究课题；
1998年, 国际信息科学杂志《International Journal of Information Science》为粗糙集理论的研究出了一期 专刊;
2004年, 国际粗糙集协会主办的第一本粗糙集国际 期刊《Advances in Rough Sets》出版发行;
粗糙集的发展历程
1982年提出到80年代末, 研究主要集中在东欧. 1991年, Pawlak出版了第一部关于粗糙集的专著
《Rough Sets：Theoretical Aspects of Reasoning about Data 》. 1992年, R.Slowinski主编的关于粗糙集应用及其与 相关方法比较研究的论文集的出版，推动了国际 上对粗糙集理论与应用的深入研究. 1992年在波兰Kiekrz召开了第一届国际粗糙集讨 论会. (以后每年一届)
管理研究方法论的重要性
研究方法论是一种规范、逻辑，可以把研 究工作提高到专业水平。
正规学 术训练
野路子，新 VS 闻报道，工
作报告
科学方法与科学研究
通过系统观测而获取客观知识的方法。 客观性 实证性 规范性
科学研究：满足以上特征的获取新知识的 精确方法。研究对象具有可直接侧鲁昂和 重复出现等特点。
粗糙集决策方法
粗糙集 (ppt)
17
粗糙集的基本定义
知识的分类观点
粗糙集理论假定知识是一种对对象进行分 类的能力。而知识必须与具体或抽象世界的 特定部分相关的各种分类模式联系在一起， 这种特定部分称之为所讨论的全域或论域 (universe)。 为数学处理方便起见，在下面的定义中用 等价关系来代替分类。
18
粗糙集的基本定义
12
Issues in the Decision Table
• The same or indiscernible objects may be represented several times. • Some of the attributes may be superfluous.
13
不可区分性Indiscernibility
5
二、 知识分类
基本粗糙集理论认为知识就是人类和其他物种所固有 的分类能力。分类是推理、学习与决策中的关键问题。 因此，粗糙集理论假定知识是一种对对象进行分类的 能力。这里的“对象”是指我们所能言及的任何事物， 比如实物、状态、抽象概念、过程和时刻等等。即知 识必须与具体或抽象世界的特定部分相关的各种分类 模式联系在一起，这种特定部分称之为所讨论的全域 或论域(universe)。对于全域及知识的特性并没有任 何特别假设。事实上，知识构成了某一感兴趣领域中 各种分类模式的一个族集(family)，这个族集提供了 关于现实的显事实，以及能够从这些显事实中推导出 隐事实的推理能力。 6
2粗糙集(上课)
Байду номын сангаас
集合X关于R的上逼近(upper approximation) 定义为：
R*(X)是由所有与X相交非空的等效类［a］R 的并集，是那些可能属于X的对象组成的最 小集合.显然，R*(X)+NEG(X)=论域U
集合X的边界区(boundary region)定义为：
BN(X)为集合X的上逼近与下逼近之差. 如果BN(X)是空集，则称X关于R是清晰 的(crisp)；反之如果BN(X)不是空集，则 称集合X为关于R的粗糙集(rough set).
图1 粗糙集基本概念示意图
现举例说明粗糙集的概念.论域U及等效关 系R采用如下定义： U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}, U/R={{x1,x4 ,x8}, {x2,x5 ,x7} , {x3}, {x6 } 则关于集合X={x1,x4, x7 }的上下近似集？
对于分类来说，并非所有的条件属性都 是必要的，有些是多余的，去除这些属 性不会影响原来的分类效果.约简(reduct) 定义为不含多余属性并保证分类正确的 最小条件属性集.一个决策表可能同时存 在几个约简，这些约简的交集定义为决 策表的核(core)，核中的属性是影响分类 的重要属性.
逼近精度定义为：
式中|R*(X)|表示集合R*(X)的基数或势 (cardinality)，对有限集合来说表示集合中 所包含元素的个数.显然，0≤α R(X)≤1, 如果α R(X)=1,则称集合X相对于R是清晰 的；α R(X)＜1,则称集合X相对于R是粗糙 的.α R(X)可认为是在等效关系R下逼近集 合X的精度.
集合X关于R的上逼近(upper approximation) 定义为：
R*(X)是由所有与X相交非空的等效类［a］R 的并集，是那些可能属于X的对象组成的最 小集合.显然，R*(X)+NEG(X)=论域U
集合X的边界区(boundary region)定义为：
BN(X)为集合X的上逼近与下逼近之差. 如果BN(X)是空集，则称X关于R是清晰 的(crisp)；反之如果BN(X)不是空集，则 称集合X为关于R的粗糙集(rough set).
图1 粗糙集基本概念示意图
现举例说明粗糙集的概念.论域U及等效关 系R采用如下定义： U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}, U/R={{x1,x4 ,x8}, {x2,x5 ,x7} , {x3}, {x6 } 则关于集合X={x1,x4, x7 }的上下近似集？
对于分类来说，并非所有的条件属性都 是必要的，有些是多余的，去除这些属 性不会影响原来的分类效果.约简(reduct) 定义为不含多余属性并保证分类正确的 最小条件属性集.一个决策表可能同时存 在几个约简，这些约简的交集定义为决 策表的核(core)，核中的属性是影响分类 的重要属性.
逼近精度定义为：
式中|R*(X)|表示集合R*(X)的基数或势 (cardinality)，对有限集合来说表示集合中 所包含元素的个数.显然，0≤α R(X)≤1, 如果α R(X)=1,则称集合X相对于R是清晰 的；α R(X)＜1,则称集合X相对于R是粗糙 的.α R(X)可认为是在等效关系R下逼近集 合X的精度.
粗糙集理论 PPT课件
x, y R ，则称对象x与y在近似空间A中是不可分辨
的。 U/R是U上由R生成的等价类全体，它构成U的一
个划分，U上的划分可以与U上的二元等价关系之间建 立一一对应。
基本概念(续）
U/R中的元素（集合）称为U的基本集或原子集， 任意有限个基本集的并称为可定义集，空集也称为可定 义集（ 可定义集也称为精确集）。否则称为不可定义 集。
国内：
1．模式识别与人工智能 2．软件学报 3．科学通报 4．计算机科学 5．计算机学报 6．模糊系统与数学 7．计算机应用与软件 8．计算机研究与发展 9．计算技术与自动化
粗糙集的理论及应用的文章
主要发表在以下杂志(续）
国际： 1．Information Sciences 2．Fuzzy sets and systems 3．International Journal of
apr X R3
apr 来自百度文库3 X U
下近似 aprX也称为X关于近似空间A的正域，
记为pos（X）。
解释为：由那些根据现有知识判断出肯定属于X的对象 所组成的最大集合。
上近似 aprX 可以解释为：由那些根据现有知识判断 出可能属于X的对象所组成的最小集合。
U \ aprX称作X关于A的负域，记为neg (X)。
Research 10．International Journal of Approximate
的。 U/R是U上由R生成的等价类全体，它构成U的一
个划分，U上的划分可以与U上的二元等价关系之间建 立一一对应。
基本概念(续）
U/R中的元素（集合）称为U的基本集或原子集， 任意有限个基本集的并称为可定义集，空集也称为可定 义集（ 可定义集也称为精确集）。否则称为不可定义 集。
国内：
1．模式识别与人工智能 2．软件学报 3．科学通报 4．计算机科学 5．计算机学报 6．模糊系统与数学 7．计算机应用与软件 8．计算机研究与发展 9．计算技术与自动化
粗糙集的理论及应用的文章
主要发表在以下杂志(续）
国际： 1．Information Sciences 2．Fuzzy sets and systems 3．International Journal of
apr X R3
apr 来自百度文库3 X U
下近似 aprX也称为X关于近似空间A的正域，
记为pos（X）。
解释为：由那些根据现有知识判断出肯定属于X的对象 所组成的最大集合。
上近似 aprX 可以解释为：由那些根据现有知识判断 出可能属于X的对象所组成的最小集合。
U \ aprX称作X关于A的负域，记为neg (X)。
Research 10．International Journal of Approximate
粗糙集理论
2012-5-29
3
信息系统的定义
一个信息系统（或一个近似空间） — 可以形式化地用 IS 一个四元组表示为： (U , A, V , f ) 。其中， U 是全域（对 U 象构成的集合， { x x , , x }）； A 是属性（特征，变 量）集； V V 是属性值的集合， V a 是属性a的值集， f :U A V 也称为属性a的值域； 是一个信息函数，对 a xU 每一个 ，和 A 定义了一个信息函 数 f ( x , a ) V ，即信息函数 f 指定 U 中每一个对象 x 的属性值。
U ， b B ( b ( x ) b ( x ) )}，表示对象 x i 和 x j 关于
i j
2
属性集 A 的子集 B 是不可辨识的。
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2012-5-29
不可辨识关系
不可辨识关系 Ind ( B ) ，通常也简称为不可辨识关系 B ，是 一个等价关系， 它与属性子集 B 一一对应。 如果 ( x , y ) Ind ( B ) ， 则对象 x , y 将是不可辨识的，即它们在属性集合 B 上是不可 区 分 的 。 根 据 不 可 辨 识 关 系 Ind ( B ) 可 导 出 一 个 等 价 划 分
2012-5-29
2
信息系统的定义
信息系统（Information System，IS）是粗糙集理论所
粗糙集理论方法及其应用ppt课件
（2）核
信息系统可能有不只一个约简，所有约简的交称为信息系统的核，表示为：
CORE(P)= Ri ,
RiRED( P)
i=1,2,…
核是信息系统最重要的属性集，它也可能是空集。
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
apr(X) {xU : I(x) X}
apr(X) {xU : I(x) X } neg(X) {xU : I(x) X }
bnd(X) apr(X) apr(X)
bndP (X ) apr p (X ) apr p (X )
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
内容简要
粗糙集产生与发展的时代背景 粗糙集的基础理论与方法 粗糙集与其它软计算技术的杂合
粗糙集理论方法的应用
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
具有相同或相似信息的 对象不能被识别。
粗糙集概念示意图
信息系统可能有不只一个约简，所有约简的交称为信息系统的核，表示为：
CORE(P)= Ri ,
RiRED( P)
i=1,2,…
核是信息系统最重要的属性集，它也可能是空集。
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
apr(X) {xU : I(x) X}
apr(X) {xU : I(x) X } neg(X) {xU : I(x) X }
bnd(X) apr(X) apr(X)
bndP (X ) apr p (X ) apr p (X )
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
内容简要
粗糙集产生与发展的时代背景 粗糙集的基础理论与方法 粗糙集与其它软计算技术的杂合
粗糙集理论方法的应用
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
具有相同或相似信息的 对象不能被识别。
粗糙集概念示意图
粗糙集理论的基本概念课件
我们用IND(K)={IND(P)| ≠P S}表示知识库K=(U,S)中所有等价关系， 他对于集合的交运算是封闭的。任意有限个P-基本范畴的并，称为P-范畴；知识 库K=(U,S)中所有的范畴称为K-范畴。
学习交流PPT
6
定义2.4（两个知识库的关系）设K1=(U,S1)和K2=(U,S2)为两个知识库，如果 IND(S1)=IND(S2)，即U/IND(S1)=U/IND(S2)，则称知识库K1与K2是等价的，记 为K1 K2或者S1 S2。因此当两个知识库有同样的基本范畴集时，这两个知识 库中的知识都能使我们确切的表达关于论域的完全相同的事实。这就意味着可
因此，在粗糙集的实际应用中，我们需要将边界域的两种信息结合起来，既 要考虑近似精度因素，也要考虑到集合的拓扑结构。
下面再通过一个例子来说明这两种表示之间的关系。 例 2.17 给定一个知识库
K(U,S)和一个等价关系
RIN(D K) .其中论域为 U{x0,x1,x2,...,x10},
且R的等价类为：
学习交流PPT
9
学习交流PPT
10
（ 9） R (~ X ) ~ R ( X )。 （ 1 0） R (~ X ) ~ R ( X )。
(1 1) R ( R ( X )) R ( R ( X )) R ( X ).
(1 2 ) R ( R ( X )) R ( R ( X )) R ( X ).
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定义2.4（两个知识库的关系）设K1=(U,S1)和K2=(U,S2)为两个知识库，如果 IND(S1)=IND(S2)，即U/IND(S1)=U/IND(S2)，则称知识库K1与K2是等价的，记 为K1 K2或者S1 S2。因此当两个知识库有同样的基本范畴集时，这两个知识 库中的知识都能使我们确切的表达关于论域的完全相同的事实。这就意味着可
因此，在粗糙集的实际应用中，我们需要将边界域的两种信息结合起来，既 要考虑近似精度因素，也要考虑到集合的拓扑结构。
下面再通过一个例子来说明这两种表示之间的关系。 例 2.17 给定一个知识库
K(U,S)和一个等价关系
RIN(D K) .其中论域为 U{x0,x1,x2,...,x10},
且R的等价类为：
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（ 9） R (~ X ) ~ R ( X )。 （ 1 0） R (~ X ) ~ R ( X )。
(1 1) R ( R ( X )) R ( R ( X )) R ( X ).
(1 2 ) R ( R ( X )) R ( R ( X )) R ( X ).
粗糙集理论与算法初步.ppt
知识的相对约简与相对核
知识的相对约简 知识库K和其上的两族等价关系P,QS，
对任意的GP，若: 1）G是Q独立的 2）POSG(Q)=POSP(Q) 称G是P的一个Q约简，记作G∈REDQ(P)。 其中REDQ(P)表示P的所有约简组成的集合。
有此可知，约简不一定唯一。
知识的相对约简与相对核
知识的相对核 知识库K=(U,S)和知识库中的两个等价关
RX xxU,0XRx1
另外，我们也可以定义X的λ近似集:
R X x U R
( 0 ,1 ]
以及X的强λ近似集:
R X x U R ( 0 ,1 )
粗糙集的近似集R0.5的近似度
当λ=0.5时，Rλ有以下性质：
定理：设X是有限论域U上的集合，R是U上
的等价关系，对任意的0.5≤λ1<λ2≤1，有：
系族P,QS，对于任意P中的R，若： POSIND(P-{R})(IND(Q))≠POSIND(P)(IND(Q))称R为P 中Q必要的。
另外，P中所有必要的知识组成的集合称 为P的核，记做COREQ(P)=∩REDQ(P)。
知识范畴的约简与核
必要性与独立性 知识库K=(U,S)和知识库中的一个子集簇
粗糙集理论特点无需提供所出数据之外的任何先验信息对比模糊集方法证据理论方法和概率方法等粗糙集理论第一节粗糙集理论1相关定义第一节知识表达系统知识和概念范畴或信息粒设u使我们感兴趣的对象组成的非空有限集合称作一个论域
粗糙集理论
4/23/2014
形成决策表
X 1 2 C 1 2 P 1 3 L 2 2 W 2 3
3
4
1
2
1
2
1
1
1
1
5
6 7 8
2
3 1 3
2
1 2 3
2
1 2 2
2
1 2 3
4/23/2014
按某个属性对对象进行分类 • • • •
U/C=｛｛1，3，7｝，｛2，4，5｝，｛6，8｝｝； U/P=｛｛1，3，6｝，｛4，5，7｝，｛2，8｝｝； U/L=｛｛3，4，6｝，｛1，2，5，7，8｝｝； U/W=｛｛3，4，6｝，｛1，5，7｝，｛2，8｝｝。
wk.baidu.com
4/23/2014
典型应用
• • • • • • • • • • 股票数据分析 模式识别 地震预报 冲突分析 从数据库中知识发现 粗糙控制 医疗诊断 专家系统 人工神经元网络 决策分析
4/23/2014
粗糙集的优点与不足
• 优点：粗糙集不需要任何预备的或额外的有关数据信息；
• 缺点：过分依赖自身知识库，对数据噪声过分敏感。
X U
设集合
4/23/2014
4/23/2014
R={C,P}； U/CP={{1,3}，{4,5}，{2}，{6}，{7}， {8}}； X1=[1]w=｛3，4，6｝，X2=[2]w=｛1，5，7｝， X3=[3]w=｛2，8｝。
10.粗糙集方法
的性质：
①若 ＝1，意味着 IND(C ) IND( D) ，即已知条件 C下，可将U上全部个体准确分类到决策属性D的 类别中去，即D完全依赖于C。 ②若0< <1,则称D部分依赖于C（D Rough依赖于 C），即在已知条件C下，只能将U上那些属于正 域的个体分类到决策属性D的类别中去。
(1)信息表定义
信息表S=(U，R，V，f)的定义为: U:是一个非空有限对象(元组)集合, U={x1 x2 …xn},其中xi为对象(元组)。 R:是对象的属性集合,分为两个不相交的子集, 即条件属性C和决策属性D, R=C D V:是属性值的集合， V a是属性的值域。 f ：是 U R V 的一个信息函数，它为每个对 象x的每个属性a赋予一个属性值，即
（3）正域，负域和边界的定义
全集U可以划分为三个不相交的区域，即正域 （Pos），负域（NEG）和边界（BND）：
PosA ( X ) A ( X )
NEGA ( X ) U A ( X ) BNDA ( X ) A ( X ) A ( X )
从上面可见：
A ( X ) A ( X ) BNDA ( X )
对任意一个子集 X U 属性A的等价类 A ( X ) Ei | Ei A Ei X 或
A ( X ) x | [ x] A X
《粗糙集理论简介》课件
决策分析
粗糙集理论可以用于决策支持系 统，通过建立决策模型来分析不 确定性和模糊性条件下的最优决 策。
知识获取
粗糙集理论可以用于从数据中提 取隐含的知识和规则，尤其在处 理不完整和不精确信息时具有显 著效果。
02
粗糙集的基本概念
知识的分类
知识表达
通过数据表中的属性值来表达知识，将对象进 行分类。
粗糙集的补运算
总结词
粗糙集的补运算是指求一个集合的所有 可能补集的运算。
VS
详细描述
补运算在粗糙集理论中用于确定一个集合 的所有可能补集。补集是指不属于该集合 的所有元素组成的集合。通过补运算，我 们可以了解一个集合之外的所有可能性， 这在处理不确定性和模糊性时非常重要。
04
粗糙集的扩展理论
决策粗糙集
05
粗糙集的应用实例
数据挖掘中的粗糙集应用
分类
利用粗糙集理论对数据进行分类，通过确定数据的属性重要性和 类别关系，实现高效准确的分类。
聚类
通过粗糙集理论，可以发现数据中的相似性和差异性，从而将数 据分成不同的聚类。
关联规则挖掘
利用粗糙集理论，可以发现数据集中项之间的有趣关系和关联规 则。
机器学习中的粗糙集应用
风险管理
在风险评估和管理中，粗糙集理论可以用于分析不 确定性和风险因素，提供有效的风险控制策略。
粗糙集理论及其应用ppt课件
9
自然界中大部分事物所呈现的信息都是： 不完整的、不精确的、模糊的、含糊不清的 经典集合论和逻辑方法无法准确的描述和解决这 些问题。 粗糙集理论的提出，主要是为了描述并处理“含 糊”信息
10
（1）经典集合 特点：集合的边界没有宽度 每个元素要么属于 S ，要么不属于，具有 确定性。
11
（2）“含糊”问题的提出 1904年，谓词逻辑创始人G. Frege 首次提出将含糊 性归结到“边界线区域” 在论域上存在一些个体，既不能被分到某一子集 上，也不能被分到该子集的补集上。
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（3）模糊集合的提出 1965年，美国Zadeh教授首次提出个体x与集合S的 关系——x以一定的程度属于S。
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模糊集虽然解决了边界域元素的“亦此亦彼”的 现象，但： 未给出计算含糊元素数目的数学公式 未给出描述含糊元素隶属度的形式化方法 隶属度函数本身不确定
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粗糙集运用集合论中的“等价关系（不可区分关 系）”，将边界线区域定义为“上相似集”与“ 下相似集”的差集 在“真”、“假”二值之间的“含糊度”可计算 给出了含糊元素数目的计算公式
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+ + + + + + + +
在数据预处理过程中，粗糙集理论可以用于对特征更 准确的提取 在数据准备过程中，利用粗糙集理论的数据约简特性， 对数据集进行降维操作。 在数据挖掘阶段，可将粗糙集理论用于分类规则的发 现。 在解释与评估过程中，粗糙集理论可用于对所得到的 结果进行统计评估。
粗糙集理论
粗糙集理论
粗糙集的基本概念 知识表达 粗糙集在数据预处理中的应用
©
第11章
粗糙集理论: 1
粗糙集理论是由波兰华沙理工大学 Pawlak 教 授于 20 世纪 80 年代初提出的一种研究不完整、 不确定知识和数据的表达、学习、归纳的理 论方法，它是一种刻画不完整性和不确定性 的数学工具，能有效地分析不精确、不一致 (inconslsteni)、不完整 (incomPlete) 等各 种不完备的信息，还可以对数据进行分析和 推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规 律。
©
第11章
粗糙集理论: 5
粗糙集的研究对象是由一个多值属性 ( 特征、症状、 特性等 ) 集合描述的一个对象 ( 观察、病历等 ) 集合， 对于每个对象及其属性都有一个值作为其描述符号， 对象、属性和描述符是表达决策问题的 3 个基本要 素。
©
第11章
粗糙集理论: 6
知识和知识库
知识是人类通过实践对客观世界的运动规律的 认识，是人类实践经验的总结和提炼，具有抽象和 普遍的特性。 从认知科学的观点来看，知识来源于人类对客 观事物的分类能力，概念是事物类别的描述或者符 号，知识则是概念之间的关系和联系。任何一个物 种都是由一些知识来描述与分类的，利用物种的不 同属性知识描述来产生对物种的不同分类。
©
第11章
粗糙集理论: 14
粗糙集的基本概念 知识表达 粗糙集在数据预处理中的应用
©
第11章
粗糙集理论: 1
粗糙集理论是由波兰华沙理工大学 Pawlak 教 授于 20 世纪 80 年代初提出的一种研究不完整、 不确定知识和数据的表达、学习、归纳的理 论方法，它是一种刻画不完整性和不确定性 的数学工具，能有效地分析不精确、不一致 (inconslsteni)、不完整 (incomPlete) 等各 种不完备的信息，还可以对数据进行分析和 推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规 律。
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第11章
粗糙集理论: 5
粗糙集的研究对象是由一个多值属性 ( 特征、症状、 特性等 ) 集合描述的一个对象 ( 观察、病历等 ) 集合， 对于每个对象及其属性都有一个值作为其描述符号， 对象、属性和描述符是表达决策问题的 3 个基本要 素。
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第11章
粗糙集理论: 6
知识和知识库
知识是人类通过实践对客观世界的运动规律的 认识，是人类实践经验的总结和提炼，具有抽象和 普遍的特性。 从认知科学的观点来看，知识来源于人类对客 观事物的分类能力，概念是事物类别的描述或者符 号，知识则是概念之间的关系和联系。任何一个物 种都是由一些知识来描述与分类的，利用物种的不 同属性知识描述来产生对物种的不同分类。
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第11章
粗糙集理论: 14
数据仓库与数据挖掘PPT第9章 粗糙集理论
类似这样的概念可以通过求交运算得到，比如X1与Y1的交就表示红 色的三角形。
所有的这些能够用交、并表示的概念以及加上上面的三个基本知识 (A/R1,A/R2.A/R3)一起就构成了一个知识系统记为: R=R1∩R2∩R3
它所决定的所有知识是A/R={{x1,x2},{x3},{x4},{x5},{x6},{x7},{x8}}以 及A/R中集合的并。
定义9.3 设R是非空集合U中的等价关系。由U的各元 素生成的R等价类所构成的集合{{[x]R | x∈U}，称为U关于R 的商集。记作U/R。
【例9.1】集合A={1，2，3，4}，有二元关系： R1={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，3)，(3，2)， (3，4)，(4，3)，(2，4)，(4，2)}， R2={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(1，2)，(2，1)， (1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)}， 显然R1和R2都是A上的等价关系。
1996～1999年，分别在日本、美国、美国、日本召开了 第4～7届粗糙集理论国际研讨会。
目前，粗糙集理论受到了国际上越来越多的学者的关 注，不仅在数学上具有独立的地位，并发展出Rough代数学、 Rough逻辑学等，而且在智能数据分析、知识发现和数据挖 掘中得到广泛的研究和应用。
• 粗糙集理论的特点在于它恰好反映了人们用粗糙集方法 处理不分明问题的常规性，即以不完全信息或知识去处 理一些不分明现象的能力，或依据观察、度量到的某些 不精确的结果而进行分类数据的能力 .
相关主题
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x, y R ，则称对象x与y在近似空间A中是不可分辨
的。 U/R是U上由R生成的等价类全体，它构成U的一
个划分，U上的划分可以与U上的二元等价关系之间建 立一一对应。
基本概念(续）
U/R中的元素（集合）称为U的基本集或原子集， 任意有限个基本集的并称为可定义集，空集也称为可定 义集（ 可定义集也称为精确集）。否则称为不可定义 集。
第一届中国RS理论与软计算学术研讨会，于2001年5月在重 庆举行。
第二届中国RS理论与软计算学术研讨会，于2002年10月在苏 州大学举行。
第三届中国RS理论与软计算学术研讨会，于2003年8月在重 庆举行。
第四届中国RS理论与软计算学术研讨会，将于2004年在舟山 举行。
粗糙集的理论及应用的文章 主要发表在以下杂志
1992年在波兰Kiekrz召开了第一届国际RS研讨会。这次 会议着重讨论了集合近似定义的基本思想及应用，其中RS环 境下的机器学习基础研究是这次会议的四个专题之一。
研究背景（续）
1993年在加拿大Banff召开第二届国际RS理论与知识发 现研讨会。这次会议积极推动了国际上对RS理论与应用的研 究。由于当时正值KDD（数据库知识发现）成为研究的热门话 题，一些著名KDD学习者参加这次会议，并且介绍了许多应用 扩展RS理论的知识发现方法与系统。
Research 10．International Journal of Approximate
Reasoning 11．Theoretical computer sciences 12．Decision support Systems 13．International Journal of Man-Machine
若将U中的集合称为概念或表示知识，则A=（U，R ）称为知识库，原子集（基本集）表示基本概念或知识 模块。那么精确集可以在知识库中被精确地定义或描述 ，可表示已知的知识。
上近似，下近似
对于一个近似空间A=（U，R），X是U的任意一个子 集。X不一定能用知识库中的知识来精确地描述；即X可 能为不可定义集，这时就用X关于A的一对下近似、上近
国内：
1．模式识别与人工智能 2．软件学报 3．科学通报 4．计算机科学 5．计算机学报 6．模糊系统与数学 7．计算机应用与软件 8．计算机研究与发展 9．计算技术与自动化
粗糙集的理论及应用的文章
主要发表在以下杂志(续）
国际： 1．Information Sciences 2．Fuzzy sets and systems 3．International Journal of
似来“近似”地描述。下面[x]R 表示x所在的R-等价类。
aprX R X xR xR X x x U,xR X
称为集合X关于R的下近似。
aprX R X xR xR X
= x x U,xR X
粗糙集理论
--研究现状与发展前景
主要内容
研究背景 粗糙集基本理论 粗糙集与知识表达 与其它处理不确定性问题方法的关系 粗糙集理论的应用与发展前景 参考文献
研究背景
粗糙集（Rough Sets）是波兰数学家Z. Pawlak于1982 年提出的[1]（为开发自动规则生成系统及研究软计算问题而 引入）。由于最初关于粗糙集理论的研究大部分是用波兰语 发表的，因此当时没有引起国际计算机学界和数学界的重视。 研究地域也局限在东欧一些国家，直到80年代末才引起各国 学者的注意。九十年代初，人们才逐渐认识到它的意义。
样本 粗糙集方法处理
具有优化指标的样本
评审样本
学习样本
数据预处理 （粗糙集方法、模糊集方法）
模糊、粗糙推理
神经网络
遗传算法
智能信息系统
基本概念
设U是非空有限论域（全域、集合），R是U上的 二元等价关系（具有相反、对称、传递性的关系）， R称为不可分辨关系。
序对A=（U，R）称为近似空间。x, yU U ，若
称为集合X关于R的上近似。
1996年在日本东京召开了第5届国际RS研讨会，推动了 亚洲地区对RS理论与应用的研究。
1995年，ACM Communication将其列为新浮现的计算机 科学的研究课题。
来自百度文库
研究背景（续）
1998年，国际信息科学杂志（Information Sciences） 为粗糙集理论的研究出了一期专辑[2，3]。
Computer and Information Sciences 4．Communication of the ACM 5．Computational Intelligence 6．Journal of computer and
system sciences
7． AI Magazine 8． AI Communications 9． European Journal of Operational
studies 14．Fundamenta Informaticae 15．Intelligent Automation Sciences
粗糙集理论
粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完 全数据的新的数学方法。由于它在机器学习与知识 发现、数据挖掘、决策支持与分析、专家系统、归 纳推理、模式识别等方面的广泛应用，现已成为一 个热门的研究领域[2]。
RS理论主要兴趣在于它恰好反映了人们用Rough 集方法处理不分明问题的常规性，即以不完全信息 或知识去处理一些不分明现象的能力。或依据观察， 度量到的某些不确定的结果而进行分类数据的能力 [4]。
粗糙集理论的基本概念
RS理论认为知识即是将对象进行分类的能力， 假定我们起初对全域里的元素（对象）具有必要的 信息、或知识，通过这些知识能够将其划分到不同 的类别。若我们对两个元素具有相同的信息，则它 们就是不可区分的（即根据已有的信息不能够将其 划分开）。显然这是一种等价关系。不可区分关系 是RS理论最基本概念。在此基础上引入了成员关系， 上近似和下近似等概念来刻划不精确性与模糊性[1， 2，4，5]。
的。 U/R是U上由R生成的等价类全体，它构成U的一
个划分，U上的划分可以与U上的二元等价关系之间建 立一一对应。
基本概念(续）
U/R中的元素（集合）称为U的基本集或原子集， 任意有限个基本集的并称为可定义集，空集也称为可定 义集（ 可定义集也称为精确集）。否则称为不可定义 集。
第一届中国RS理论与软计算学术研讨会，于2001年5月在重 庆举行。
第二届中国RS理论与软计算学术研讨会，于2002年10月在苏 州大学举行。
第三届中国RS理论与软计算学术研讨会，于2003年8月在重 庆举行。
第四届中国RS理论与软计算学术研讨会，将于2004年在舟山 举行。
粗糙集的理论及应用的文章 主要发表在以下杂志
1992年在波兰Kiekrz召开了第一届国际RS研讨会。这次 会议着重讨论了集合近似定义的基本思想及应用，其中RS环 境下的机器学习基础研究是这次会议的四个专题之一。
研究背景（续）
1993年在加拿大Banff召开第二届国际RS理论与知识发 现研讨会。这次会议积极推动了国际上对RS理论与应用的研 究。由于当时正值KDD（数据库知识发现）成为研究的热门话 题，一些著名KDD学习者参加这次会议，并且介绍了许多应用 扩展RS理论的知识发现方法与系统。
Research 10．International Journal of Approximate
Reasoning 11．Theoretical computer sciences 12．Decision support Systems 13．International Journal of Man-Machine
若将U中的集合称为概念或表示知识，则A=（U，R ）称为知识库，原子集（基本集）表示基本概念或知识 模块。那么精确集可以在知识库中被精确地定义或描述 ，可表示已知的知识。
上近似，下近似
对于一个近似空间A=（U，R），X是U的任意一个子 集。X不一定能用知识库中的知识来精确地描述；即X可 能为不可定义集，这时就用X关于A的一对下近似、上近
国内：
1．模式识别与人工智能 2．软件学报 3．科学通报 4．计算机科学 5．计算机学报 6．模糊系统与数学 7．计算机应用与软件 8．计算机研究与发展 9．计算技术与自动化
粗糙集的理论及应用的文章
主要发表在以下杂志(续）
国际： 1．Information Sciences 2．Fuzzy sets and systems 3．International Journal of
似来“近似”地描述。下面[x]R 表示x所在的R-等价类。
aprX R X xR xR X x x U,xR X
称为集合X关于R的下近似。
aprX R X xR xR X
= x x U,xR X
粗糙集理论
--研究现状与发展前景
主要内容
研究背景 粗糙集基本理论 粗糙集与知识表达 与其它处理不确定性问题方法的关系 粗糙集理论的应用与发展前景 参考文献
研究背景
粗糙集（Rough Sets）是波兰数学家Z. Pawlak于1982 年提出的[1]（为开发自动规则生成系统及研究软计算问题而 引入）。由于最初关于粗糙集理论的研究大部分是用波兰语 发表的，因此当时没有引起国际计算机学界和数学界的重视。 研究地域也局限在东欧一些国家，直到80年代末才引起各国 学者的注意。九十年代初，人们才逐渐认识到它的意义。
样本 粗糙集方法处理
具有优化指标的样本
评审样本
学习样本
数据预处理 （粗糙集方法、模糊集方法）
模糊、粗糙推理
神经网络
遗传算法
智能信息系统
基本概念
设U是非空有限论域（全域、集合），R是U上的 二元等价关系（具有相反、对称、传递性的关系）， R称为不可分辨关系。
序对A=（U，R）称为近似空间。x, yU U ，若
称为集合X关于R的上近似。
1996年在日本东京召开了第5届国际RS研讨会，推动了 亚洲地区对RS理论与应用的研究。
1995年，ACM Communication将其列为新浮现的计算机 科学的研究课题。
来自百度文库
研究背景（续）
1998年，国际信息科学杂志（Information Sciences） 为粗糙集理论的研究出了一期专辑[2，3]。
Computer and Information Sciences 4．Communication of the ACM 5．Computational Intelligence 6．Journal of computer and
system sciences
7． AI Magazine 8． AI Communications 9． European Journal of Operational
studies 14．Fundamenta Informaticae 15．Intelligent Automation Sciences
粗糙集理论
粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完 全数据的新的数学方法。由于它在机器学习与知识 发现、数据挖掘、决策支持与分析、专家系统、归 纳推理、模式识别等方面的广泛应用，现已成为一 个热门的研究领域[2]。
RS理论主要兴趣在于它恰好反映了人们用Rough 集方法处理不分明问题的常规性，即以不完全信息 或知识去处理一些不分明现象的能力。或依据观察， 度量到的某些不确定的结果而进行分类数据的能力 [4]。
粗糙集理论的基本概念
RS理论认为知识即是将对象进行分类的能力， 假定我们起初对全域里的元素（对象）具有必要的 信息、或知识，通过这些知识能够将其划分到不同 的类别。若我们对两个元素具有相同的信息，则它 们就是不可区分的（即根据已有的信息不能够将其 划分开）。显然这是一种等价关系。不可区分关系 是RS理论最基本概念。在此基础上引入了成员关系， 上近似和下近似等概念来刻划不精确性与模糊性[1， 2，4，5]。