第二节一阶微分方程 (2)

这里记号 P( x)dx 表示P( x) 的某个确定的原函数.
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2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x). dx
常数变易法：作变换
y
u(
x)
e
P(
x )dx
y
u( x)
e
P
(
x
)dx
u( x) [P( x)]
e
P(
x )dx
,
将y和y代入原方程得u( x) e P( x)dx Q( x),
x2
y2
arctany
C1e
x
11
例8 求方程 y2 x2 dy xy dy 满足初始条件 dx dx
y(1) 1 的特解.
解
原方程变形为
dy dx
y2 xy x2
( y / x)2 , y x1
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u2 , dx u 1
分离变量得
du dx , 两边积分即得通解.
f (u) u x
注意：须将u代回.
8
例6 求方程 dy y 3 tan y 的通解.
dx x
x
解 此题不能分离变量, 是齐次方程,
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u 3 tanu , dx
22
2
为所求通解.
5
例4 求方程(e x y e x ) dx (e x y e y ) dy 0
的通解.
解
分离变量:
e ydy 1ey
e x dx ex 1
,
两边积分: ln(e y 1) ln(ex 1) lnC ,
即所求通解为 (ex 1)(e y 1) C .
6
例5
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C,
所以原方程的通解为:
y e P( x)dx[ Q( x)e P( x)dxdx C]
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y
e
P(
x )dx
[
Q(
x)
e
P
(
x
)dx
dx
C
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]
例9 求方程 y 1 y sin x 的通解.
x
x
解
P(x) 1 , x
Q( x) sin x , x
解
分 离变量,
dy y2
2 xdx
,
积分 1 x2 C , y
所以通解为
y
1 x2 C
.
3
例2 求方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量, dy 2x dx , y
积分 ln | y | x2 C , 或写为 y eC ex2 ,
记 C1 eC , 则通解为 y C1ex2 . 可简写为：分离变量, dy 2x dx ,
即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
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即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
分离变量得 (1 1 )du dx ,
u
x
积分得：u ln | u | ln | x | C ,
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
第二节
1
一、可分离变量的方程 称 g( y)dy f ( x)dx 为可分离变量的方程.
两边积分, g( y)dy f (x)dx
设函数G( y) 和 F ( x) 是依次为g( y) 和 f ( x)
的某个原函数,
则 G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
2
例1 求方程 dy 2xy2 的通解. dx
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u 1 , dx u 1
分离变量得
1 u 1 u2
du
dx x
,
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分离变量得
1 u 1 u2
du
dx x
,
积分得 arctanu 1 ln(1 u2 ) ln | x | C , 2
或写成
x
1 u2
C earctanu 1
,
再将 u y 代入,得通解为 x
y 积分 ln y x2 lnC ,
则通解为 y C ex2 .
4
例3 求方程 dy cos x y cos x y 的通解.
dx
2
2
解 dy cos x y cos x y 2sin x sin y ,
dx
2
2
22
dy 2 sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 .
x
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三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2, dx x sint t 2 , 线性的;
通解为
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln xdx C
,
将 y(1) 2 代入得 C 10 ，
所求特解为
1
y2
10 x 2 1 x2
.
7
二、齐次微分方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x d u ,
dx
dx
代入原式得 u x du f (u), dx
求方程
y
1 y2 满足 xy(1 x2 )
y(1)
2
的特解.
解
y
1
分离变量， 1
y2
dy
x(1
x2 ) dx
两边积分
1 ln(1 y2 ) 1
2
2
1 x2 (1
x2
)
dx 2
1
2
(
1 x2
1 1 x2
) dx 2
1 x2 2 ln 1 x2
1 2
ln C
通解为
1
y2
C x2 1 x2
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
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一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 dy P( x) y 0. dx
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x)dx,
使用分离 变量法
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
分离变量得 du 3 dx , tanu x
积分得 ln(sinu) 3ln x lnC ,
即得原方程通解为 sin y Cx3 .
x
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例7 求方程 (x y) y (x y) 0 的通解.
解
原方程变形为
dy y x dx y x
y 1
x y
, 是齐次方程,
1
x
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,