第二节一阶微分方程 (2)
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高数第4章第2节——一阶微分方程
例8
解
由通解公式得：
y
e
4 dx x
sin x x4
e
4 dx
x dx
C
eln x4
sin x x4
e ln
x 4 dx
C
1 x4
(
sin
xdx
C
)
1 x4
(
cos
x
C
).
故所求通解为：y
1 x4
( cos
x
C ).
例9 解
由通解公式得：
故所求通解为：y cos x (tan x C ).
一、可分离变量的微分方程
定义4.2.1 形如
的方程, 称为可分离
变量的微分方程. f(x), g(y) 分别是x, y 的连续函数.
求解步骤：(分离变量法)
1、当 g(y)0时分离变量,得
2、两边取积分, 得
3、求出方程通解
微分方程的隐式通解 4、若存在 y0 使 g(y)=0,则 y = y0 也是方程的解.
xx
ex 3x2exdx C Cex 3x2 6x 6,
由 y |x0 0, 得 C 6,
所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2).
小结
1.齐次线性微分方程 y P( x) y 0
2. 非齐次线性微分方程 y P( x) y Q( x)
02 第二节 一阶微分方程
第二节 一阶微分方程
分布图示
★ 可分离变量微分方程
★ 例1 ★ 例2
★ 例3
★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7
★ 一阶线性微分方程及其解法
★ 例7 ★ 例8
★ 例9
★ 例10
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6—2
内容要点
一、可分离变量的微分方程
设有一阶微分方程
),(y x F dx
dy =,
如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有
)()(y g x f dx
dy =. (2.1)
则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.
二、一阶线性微分方程
形如
)()(x Q y x P dx
dy =+ (3.1)
的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当
,0)(≡x Q 方程(3.1)成为
0)(=+y x P dx
dy (3.2)
这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.
方程(3.2)的通解
.)(⎰-=dx
x P Ce
y (3.3)
其中C 为任意常数.
求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为
,)()(⎰-=dx x P e x u y
一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为
[]
⎰-⎰+=
⎰dx
x P dx
x P e
C dx e
x Q y )()()( (3.5)
第二节一阶微分方程2
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例4 求方程 f (xy)ydx g(xy)xdy 0 通解.
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)x du ydx 0, x
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
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二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos
x sin
ydy
cos
y sin xdx
, y x0
； 4
2、cos
ydx
(1
e x ) sin
ydy
0, y x0
. 4
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练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
一阶微分方程
一阶微分方程
第二节 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F (x ,y ,y ′)＝0
或
y ′=f (x ,y )，
其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．
一、 可分离变量的方程 形如
x
y
d d =f (x )g (y ) (10-2-1)
或
M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数．
方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得
将
2
1y -作为分母时丢失了两个特解．故所求
方程的通解为：
arcsin y ＝x +C （C 为任意常数）， 另外还有两个特解y ＝±1．
例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．
解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝p
x
x P d d ． 依题意，得
p
x
x P d d ＝-3P 3，
于是
x
x d ＝-3P 2d P ，
积分得
ln x =-P 3+C 1，
即
x =Ｃ3
P -e (C =1
C -e )．
由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为
x =3
P -e ．
一阶线性微分方程及其解法2
ye
e
ln x
x
x2 e
2
1 dx x dx
C
e
ln x
dx C
1 x 3 dx C x 1 3 C x 4 x
例4 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解.
t
的函数关系。
解 设速度与时间的函数关系为： v v(t ) ,
则依题有 v t 0 0 , 由牛顿第二定律知：
mg kv ma mv k k v v g 其中 P ( t ) , Q(t ) g 即 m m k k dt m dt 则通解为 e m g e v dt C
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u ux dx u 1
2
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 dx 1 du x u
u ln|u| ln|x| ln|c
代入上式，于是所求方程的通解为
把初始条件
y
x 1
0 代入上式，求出
c 1
一阶微分方程
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例4. 求方程
的通解.
z = y−1, 则方程变形为 解: 令 dz z − = −a ln x dx x
其通解为
z =e
∫
1 dx x
−∫ [ ∫ (−aln x) e
1 dx x dx + C ]
a = x[ C − ( ln x)2 ] 2 将 z = y−1代入, 得原方程通解:
2 2
分离变量
y x dy = − dx 2 2 1+ y 1− x
ydy −x dx , =∫ 两端积分 ∫ 2 2 1+ y 1− x 得 1 ln | (1 + y 2 ) |= 1 ln | (1 − x 2 ) | + C 1 2 2
∴ 1 + y2 = c(1 − x2 )为所求通解.
2. 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 齐次方程
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、一阶线性微分方程 三、全微分方程
第十章
四、几类可降阶的高阶微分方程
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一、可分离变量的微分方程
1. 变量分离法
可分离变量的微分方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
例4. 求方程
的通解.
z = y−1, 则方程变形为 解: 令 dz z − = −a ln x dx x
其通解为
z =e
∫
1 dx x
−∫ [ ∫ (−aln x) e
1 dx x dx + C ]
a = x[ C − ( ln x)2 ] 2 将 z = y−1代入, 得原方程通解:
2 2
分离变量
y x dy = − dx 2 2 1+ y 1− x
ydy −x dx , =∫ 两端积分 ∫ 2 2 1+ y 1− x 得 1 ln | (1 + y 2 ) |= 1 ln | (1 − x 2 ) | + C 1 2 2
∴ 1 + y2 = c(1 − x2 )为所求通解.
2. 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 齐次方程
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、一阶线性微分方程 三、全微分方程
第十章
四、几类可降阶的高阶微分方程
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一、可分离变量的微分方程
1. 变量分离法
可分离变量的微分方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
微分方程2
1 = y ∫ (− )d y + C = y2 ( −ln y + C) . y
2
例3 设
为连续函数，且满足方程 为连续函数， ，求
解
令 u = x − t, 则
∫0
x
f (x − t )d t = − ∫ f ( u)d u.
x
0
于是,原方程化为 于是 原方程化为 f ( x) = sin x − ∫0 f (u)du. 两边对x求导 得 f ′( x) + f ( x) = cos x 两边对 求导,得 求导 一阶线性方程
所求通解为
x 2 + C0
y = Ce
x2
y = Ce
x2
例2 解
求微分方程 (ex+ y − ex )d x + (ex+ y + e y )d y = 0 的通解. 分离变量: 分离变量 两端积分: 两端积分
ey ex dy=− x d x, y e −1 e +1 ey ex ∫ e y − 1 d y = −∫ e x + 1 d x,
所求通解为
1 y= . ln cos x + C
例4
求 方 程 ( x + xy2 )d x + ( y − x2 y)d y = 0 满 足 初 始 条 件
(优选)第二节一阶线性微分方程
dy y
P( x)dx
dy P( x)dx y
得到
ln y P( x)dx c
或
y ece P( x)dx
令c ec , 则 y ce P( x)dx (c 0)
y ce P( x)dx (c 0)
此外y=0也是方程的解．
若允许c=0 ，则此解也含于上式中．
所以方程的通解为
y ce P( x)dx
x
y
ln | y | c
x
当u＝0时，y=0也是Leabharlann Baidu程的解。
例5 解微分方程 dy 2
y
y .
dx x x
解 令y ux, 代入原方程得 x du u 2 u u
dx
u 0时可化为
1 du 1 dx
２u
x
(4)
两边积分，得
u ln x c
代回原变量得原方程的通解为 y ln x c x
H( y) F(x) C
就是原方程的通解．
若存在y0，使g(y0)=0， 这时常数函数y=y0也是方程(1)的解．
一般而言，这种解会在分离变量时丢失，且 可能不含于通解中。
应注意补上这些可能丢失的解．
例1 求微分方程 dy 2xy2的解.
dx
解
当y≠0时，方程可改写为
1 y2 dy 2xdx
一阶线性微分方程可降阶的二阶微分方程
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
右端不显
含未知数 y
解法 设y px, 则y dp p
dx 于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分
方程,便得到原方程的通解.
例5-10 求微分方程 y 1 y 0的通解 x
2
例5-8 求微分方程 y y cos x esin x 的通解．
解 P(x) cosx, Q(x) esin x
y [
Q(
x)e
P(
x
) dx
dx
C
]e
P
(
x)
dx
esin x ecos xdxdx C ecos xdx
esin x esin xdx C esin x
x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y
P(
x)dx
记
Q( x)dx为u ( x), y
ln y u(x) P(x)dx
故 y eu(x) P(x)dx eu(x)e P(x)dx C(x)e P(x)dx
y C(x)e P(x)dx这里 C(x)为待定的函数.
齐次微分方程 dy P(x) y 0 的通解
第十章第二节典型一阶微分方程
二、齐次方程
例3 求微分方程x 2dy ( y 2 xy x 2 )dx的通解.
dy y2 y 解 原方程可改写成 d x 2 1 x x dy du y u x 设u , 有 y ux , dx dx x du u2 u 1, 代入原方程得 u x dx du 即x u2 2u 1, dx du dx 分离变量得 2 ( u 1) x
2、解法（分离变量法）
g( y ) 则G( y ) F ( x ) C 为微分方程（2）的通解 (隐式通解）.
若g( y0 ) 0, 则g( y) 0的根y y0也是方程(2)的解.
一、可分离变量的微分方程
分 离 变 量 法
dy f ( x ) g( y ) dx 分离变量
1 两边积分得 lncx u1 x y 将 u 回代, 则原方程的通解为 x y ln cx. x
二、齐次方程
例4 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x y 解 令u ， 则 dy udx xdu ， x ( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0,
2
1 dy 2 dx 2 3x 1 y y 1 dy 2 dx 2 3x 1 y
y
从而
第二节 一阶微分方程
u( x ) ux u 设y 是 原 方 程 的 解 ， y 则 x x2
1 sin x 再用常数变易法求 y y 的解, x x
x
ux u 1 u cos x 将y , y代入原方程： . 2 x x x x
u cos x
sin x C 所以原方程的解为： y x
为此约定简化写法如下：
d (Q( y )) F ( x )dx , 如果有 Q( y )
ln Q( y ) F ( x ) ln C ln Q( y ) ln C F ( x )
Q( y ) Q( y ) ln F ( x) e F ( x ) Q( y ) Ce F ( x ) C C dy ln y x 2 ln C , 例如： 2 xdx , y
dy 形如 y P ( x ) y Q( x ) 或 P ( x ) y Q( x ) dx 的微分方程称为一阶线性微分方程． 其中 P( x), Q( x) 均为
x 的已知连续函数．
特点 : 是关于y, y 的一次方程 . dx dy 2 x sin t t 2 , 线性的; y x , 例如 dt dx yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
这就是所给方程的通解 .
隐式通解
y y 例3 解 微 分 方 程 . x 解 这是可分离变量方程，分离变量得：
微积分 第七章 第二节 一阶微分方程
,
积分得 arctanu 1 ln(1 u2 ) ln | x | C , 2
或写成
x
1 u2
C earctanu 1
,
再将 u y 代入,得通解为 x
x2
y2
arctany
C1e
x
12
例8 求方程 y2 x2 dy xy dy 满足初始条件 dx dx
y(1) 1 的特解.
15
一阶线性微分方程的解法
1.线性齐次方程 dy P( x)dx, y
dy P( x) y 0. dx
dy y
P(
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x ) dx,
使用分离 变量法
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为
y
Ce
P(
x
)dx
.
这里记号 P( x)dx 表示P( x) 的某个确定的原函数.
16
2.线性非齐次方程
积分 ln | y | x2 C , 或写为 y eC ex2 , 记 C1 eC , 则通解为 y C1ex2 . 可简写为：分离变量, dy 2x dx ,
y 积分 ln y x2 lnC ,
则通解为 y C ex2 .
5
例3 求方程 dy cos x y cos x y 的通解.
1 x
(
第二节一阶微分方程
20
线性方程解的性质
齐次线性方程 y P (x )y 0 ( 1 ) 非齐次线性方程 y P ( x ) y Q ( x )( 2 )
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 3、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(2)的解； 4、方程(2)的任意两个解之差是(1)的解 .
是齐次方程,
x
作变量代换u y , x
yxu,
dy uxdu,
dx
dx
代 入 原 方 程 得 uxduu1, dx u1
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
2020/6/11
10
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
积 分 得 aru c 1 ltn 1 a u 2 ( n ) l|n x | C , 2
2020/6/11
16
y e P (x )d x [Q (x )eP (x )d x d x C ]
例9 求方y程 1ysinx的通. 解
xx
解 P(x) 1 , Q(x)sinx,
x
x
通解为 ye1xdx sxin xe1xdxdxC
elnx sinxelnxdxC
x
1x(sinxdxC)
第二节
2020/6/11
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这里记号 P( x)dx 表示P( x) 的某个确定的原函数.
15
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x). dx
常数变易法：作变换
y
u(
x)
e
P(
x )dx
y
u( x)
e
P
(
x
)dx
u( x) [P( x)]
e
P(
x )dx
,
将y和y代入原方程得u( x) e P( x)dx Q( x),
x2
y2
arctany
C1e
x
11
例8 求方程 y2 x2 dy xy dy 满足初始条件 dx dx
y(1) 1 的特解.
解
原方程变形为
dy dx
y2 xy x2
( y / x)2 , y x1
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u2 , dx u 1
分离变量得
du dx , 两边积分即得通解.
f (u) u x
注意：须将u代回.
8
例6 求方程 dy y 3 tan y 的通解.
dx x
x
解 此题不能分离变量, 是齐次方程,
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u 3 tanu , dx
22
2
为所求通解.
5
例4 求方程(e x y e x ) dx (e x y e y ) dy 0
的通解.
解
分离变量:
e ydy 1ey
e x dx ex 1
,
两边积分: ln(e y 1) ln(ex 1) lnC ,
即所求通解为 (ex 1)(e y 1) C .
6
例5
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C,
所以原方程的通解为:
y e P( x)dx[ Q( x)e P( x)dxdx C]
16
y
e
P(
x )dx
[
Q(
x)
e
P
(
x
)dx
dx
C
百度文库
]
例9 求方程 y 1 y sin x 的通解.
x
x
解
P(x) 1 , x
Q( x) sin x , x
解
分 离变量,
dy y2
2 xdx
,
积分 1 x2 C , y
所以通解为
y
1 x2 C
.
3
例2 求方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量, dy 2x dx , y
积分 ln | y | x2 C , 或写为 y eC ex2 ,
记 C1 eC , 则通解为 y C1ex2 . 可简写为：分离变量, dy 2x dx ,
即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
12
即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
分离变量得 (1 1 )du dx ,
u
x
积分得：u ln | u | ln | x | C ,
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
第二节
1
一、可分离变量的方程 称 g( y)dy f ( x)dx 为可分离变量的方程.
两边积分, g( y)dy f (x)dx
设函数G( y) 和 F ( x) 是依次为g( y) 和 f ( x)
的某个原函数,
则 G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
2
例1 求方程 dy 2xy2 的通解. dx
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u 1 , dx u 1
分离变量得
1 u 1 u2
du
dx x
,
10
分离变量得
1 u 1 u2
du
dx x
,
积分得 arctanu 1 ln(1 u2 ) ln | x | C , 2
或写成
x
1 u2
C earctanu 1
,
再将 u y 代入,得通解为 x
y 积分 ln y x2 lnC ,
则通解为 y C ex2 .
4
例3 求方程 dy cos x y cos x y 的通解.
dx
2
2
解 dy cos x y cos x y 2sin x sin y ,
dx
2
2
22
dy 2 sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 .
x
13
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2, dx x sint t 2 , 线性的;
通解为
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln xdx C
,
将 y(1) 2 代入得 C 10 ，
所求特解为
1
y2
10 x 2 1 x2
.
7
二、齐次微分方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x d u ,
dx
dx
代入原式得 u x du f (u), dx
求方程
y
1 y2 满足 xy(1 x2 )
y(1)
2
的特解.
解
y
1
分离变量， 1
y2
dy
x(1
x2 ) dx
两边积分
1 ln(1 y2 ) 1
2
2
1 x2 (1
x2
)
dx 2
1
2
(
1 x2
1 1 x2
) dx 2
1 x2 2 ln 1 x2
1 2
ln C
通解为
1
y2
C x2 1 x2
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
14
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 dy P( x) y 0. dx
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x)dx,
使用分离 变量法
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
分离变量得 du 3 dx , tanu x
积分得 ln(sinu) 3ln x lnC ,
即得原方程通解为 sin y Cx3 .
x
9
例7 求方程 (x y) y (x y) 0 的通解.
解
原方程变形为
dy y x dx y x
y 1
x y
, 是齐次方程,
1
x
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,