第八章学案4直线与圆锥曲线的位置关系

∴当k＝０时，（Ｓ△ＡＢＮ）min＝２ 2 p２.
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名师伴你行 （２）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，ＡＣ 假设满足条件的直线l存在，其方程为y
的中点为Ｏ 的中点为Ｏ′，l与ＡＣ为直径的圆相交于点Ｐ，Ｑ，Ｐ ＡＣ为直径的圆相交于点Ｐ，Ｑ，Ｐ 为直径的圆相交于点 Ｑ的中点为Ｈ，则Ｏ′Ｈ⊥ＰＱ，Ｏ′点的坐标 的中点为Ｈ，则 Ｈ， ＰＱ，Ｏ′ 为 ( x1 , y1 + p) .
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＊对应演练＊ 对应演练＊ 如图所示,在平面直角坐标系 Ｏy中，过定点Ｃ（０，p） 如图所示 在平面直角坐标系xＯ 中 过定点Ｃ（０ ） 在平面直角坐标系 Ｃ（ 作直线与抛物线x 相交于Ａ，Ｂ两点. Ａ，Ｂ两点 作直线与抛物线 ２＝２py（p＞０）相交于Ａ，Ｂ两点 （ ＞ （1）若点Ｎ是点Ｃ关于坐标原点Ｏ的对称点，求△ＡＮ ）若点Ｎ是点Ｃ关于坐标原点Ｏ的对称点， Ｂ面积的最小值； 面积的最小值； （2）是否存在垂直于 ）是否存在垂直于y 轴的直线l，使得 被以 轴的直线 ，使得l被以 ＡＣ为直径的圆截得弦 ＡＣ为直径的圆截得弦 长恒为定值？若存在， 长恒为定值？若存在， 求出l的方程；若不存在， 求出 的方程；若不存在， 的方程 请说明理由. 请说明理由 返回目录
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【解析】联立方程组 解析】
{
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y=k(x-1) x2-y2=4
消去y， 消去 ，得
(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*) 方程（ （1）当1-k2=0，即k=±1时,方程（*）化为 ） ， ± 时 方程 ）化为2x=5,方程组 方程组 有一解. 有一解 故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行. 故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行 （2）当1-k2≠0，即k≠±1时,由=4(4-3k2)>0得） ， ± 时由 得
2 2
或k> 2 .
2 2 )∪( ∪ 2 2 ,+∞). 2
的取值范围为(-∞,即k的取值范围为 的取值范围为
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（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2), ） 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2), 由方程① 由方程①，得x1+x2= 又y1+y2=k(x1+x2)+2 2， 而A(2,0),B(0,1),AB=(- 2 ,1). x1+x2=4 2k . 2 1+ 2k
消去y， 消去 ，得x２－２pkx－２p２＝０. －
由韦达定理，得x１＋x２＝２pk，x１x２＝－２p２. pk， ＝－２ 由韦达定理， ＝p|x１－x２|＝ p (x1 + x2 )2 4x1x2 ＝p 4pk + 8p ＝２p２ k+ 2 ，
1 于是Ｓ 于是Ｓ△ＡＢＮ＝Ｓ△ＢＣＮ＋Ｓ△ＡＣＮ＝ ２p|x１－x２| ２ 2
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解法一：（１ 依题意， 解法一：（１）依题意，点Ｎ的坐标为Ｎ（０，－p）， ：（ 的坐标为Ｎ（０，－p Ｎ（ 可设Ａ（x ），Ｂ（x ），直线ＡＢ的方程 直线ＡＢ 可设Ａ（x1，y１），Ｂ（x２，y２），直线ＡＢ的方程 Ａ（ 为y＝kx＋p，与x２＝２py kx＋ 联立， 联立，得
{
x２＝２py y＝kx＋p. kx＋
2 3 3
<k<
解.
2 3 ，且k≠±1时，方程（*）有两解，方程组有两 ± 时 方程（ ）有两解， 3
故直线与双曲线有两个交点. 故直线与双曲线有两个交点
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（3）当1-k2≠0，由=4(4-3k2)=0得k=± ） ， 得 ± 曲线相切. 曲线相切 （4）当1-k2≠0，由=4(4-3k2)<0得k<） ， 得 方程组无解，故直线与双曲线无交点 方程组无解，故直线与双曲线无交点.
曲线有两个公共点； 曲线有两个公共点；当k<线无公共点. 线无公共点
或k>
3
3
时，直线与双曲
【评析】研究直线与双曲线位置关系时，应注意讨论二次项 评析】研究直线与双曲线位置关系时， 系数为0和不为 两种情况 系数为 和不为0两种情况 和不为 两种情况. 返回目录
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＊对应演练＊ 对应演练＊ 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0， 2）且斜率为 中 经过点（ ， 在平面直角坐标系 x2 2 k的直线 与椭圆 +y =1有两个不同的交点 和Q. 的直线l与椭圆 有两个不同的交点P和 的直线 有两个不同的交点 2 的取值范围； （1）求k的取值范围； ） 的取值范围 （2）设椭圆与 轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 ， 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 轴正半轴的交点分别为A， ）设椭圆与x轴正半轴 B，是否存在常数k，使得向量 ，是否存在常数 ，使得向量OP+OQ与AB共线？如 共线？ 与 共线 果存在， 的值； 果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由 的值 如果不存在，请说明理由.
（1）求抛物线 2的方程； ）求抛物线C 的方程； 作直线（ 两点， （2）过F作直线（不垂直 轴）交抛物线 2于P，Q两点， ） 作直线 不垂直x轴 交抛物线C ， 两点 的面积为6（ 为原点），这样的直线是否存在 为原点），这样的直线是否存在？ 使△POQ的面积为 （O为原点），这样的直线是否存在？ 的面积为 若存在，求出直线的倾斜角；若不存在，请说明理由 若存在，求出直线的倾斜角；若不存在，请说明理由.
{
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Ax+By+C=0 f(x,y)=0
消元（ 或 ） 消元（x或y）
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2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算 （1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐 ）当弦的两端点的坐标易求时， 标，再用 两点间的距离公式 求弦长. 求弦长 （2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，得 ）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组， 到关于x(或 的一元二次方程 的一元二次方程， 到关于 或y)的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，直线斜率为 ，则弦长公式为 两点， 两点 直线斜率为k， |AB|= (1 + k2 ) (x + x )2 - 4x x 或 1 2 1 2 |AB|=
. 返回目录
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的取值范围， 【评析】该题已知条件中没有说明a的取值范围，这一 评析】该题已知条件中没有说明 的取值范围 点正是我们容易疏忽的，双曲线 的半焦距c= 3 |a|， 点正是我们容易疏忽的，双曲线C1的半焦距 ， 在实半轴长、虚半轴长和离心率这些量中都要注意a的 在实半轴长、虚半轴长和离心率这些量中都要注意 的 取值.在弦长公式中，要注意两种形式的特点 取值 在弦长公式中，要注意两种形式的特点. 在弦长公式中
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不成立， ∵当|a|≥1时，①不成立， 时 不存在； ∴|a|≥1时，直线 不存在； 时 直线PQ不存在 a2 , 当|a|<1时，由①得k= ± 时 4 1- a 此时直线PQ存在且倾斜角为 此时直线 存在且倾斜角为 a2 a2 arctan 或π-arctan 4 1- a 1- a4
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学案4 学案4
直线与圆锥曲线的位置关系
进 入
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考点一 考点二 考点三
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1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲 相交、相切、 线 相交、相切、相离 ，解决的方法是转化为直线方程与 圆锥曲线方程组成的方程组 解的个数 ，进而转化为一元 （一次或二次）方程解的情况去研究. 一次或二次）方程解的情况去研究 设直线l的方程为 设直线 的方程为Ax+By+C=0, 的方程为 圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 圆锥曲线方程为 . 返回目录
② ③
所以OP+OQ与AB共线等价于 与 共线等价于 所以
2 ②③代入上式 解得k= 代入上式， . 将②③代入上式，解得 2 2 2 . 由（1）知k<） 或k> 2 2
2(y1+y2),
故没有符合题意的常数k. 故没有符合题意的常数
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考点二 弦长问题
x2 y2 抛物线C 【例2】已知双曲线 1: 2 - 2 =1,抛物线 2的顶点是 】已知双曲线C 抛物线 a 2a 坐标原点O，焦点是双曲线C1的左焦点 的左焦点F. 坐标原点 ，焦点是双曲线 的左焦点
-4 3 | a| k
2
2
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,
y1y2=-12a2,
48a2 48a2 (1 + k2 ) +48a2= , 2 2 k k
∵(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=
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1+ k2 1+ k2 2 2 2 ∴|PQ|= (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) = (y2 - y1 ) = 2 4 3 a 2 k k 3 | ka | 又原点O到直线 到直线PQ的距离为 又原点 到直线 的距离为 且S△POQ =6, 2 1+ k 2 1 1+ k 3 | ka | ,化简得 a2 1+ k2 故 =1 ， 4 3 | a | = 6 化简得 k 2 k2 1 + k2 即k2(1-a4)=a4. ①
1 (1 + 2 ) (y1 + y2 )2 - 4y1y2 . k
[
]
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考点一
直线与曲线的交点个数问题
【例1】已知双曲线 2-y2=4，直线 】已知双曲线x ，直线l:y=k(x-1)，讨论直 ， 与双曲线公共点个数. 线l与双曲线公共点个数 与双曲线公共点个数 【分析】将直线l的方程与双曲线方程联立消元后转化为 分析】将直线 的方程与双曲线方程联立消元后转化为 关于x（或y）的一元二次方Hale Waihona Puke Baidu，利用“”求解 关于 （ ）的一元二次方程，利用“ 求解. 求解
有一解，故直线与双曲线只有一个公共点， 有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双
2 3 或k> 3 2 3 时， 3
2 3 时，方程组 3
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2 3 综上所述， 综上所述，当k=±1或k=± 3 时，直线与双曲线有一个 ± 或 ± 2 3 2 3 公共点； <k<-1或-1<k<1或1<k< 公共点；当或 或 时，直线与双 3 3 2 3 2 3
由
若消去y后得 若消去 后得ax2+bx+c=0. 后得 （1）若a=0，此时圆锥曲线不会是 椭圆.当圆锥曲线为 ） ， 当圆锥曲线为 双曲线时，直线l与双曲线的渐近线 双曲线时，直线 与双曲线的渐近线 平行或重合.当圆锥 当圆锥 曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴 曲线是抛物线时，直线 与抛物线的对称轴 平行或重合 . （2）若a≠0，设=b2-4ac. ） ， ①>0时，直线与圆锥曲线相交于 两个点 ； 时 相切 ； ②=0时，直线与圆锥曲线 时 ③<0时，直线与圆锥曲线 时 圆锥曲线的位置关系 返回目录 相离 . 另外，还能利用数形结合的方法， 另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和
从而确定P，求出C 的方程. 【分析】（1）求出点 从而确定 ，求出 2的方程 分析】 ）求出点F从而确定 的长度， （2）利用弦长公式求 ）利用弦长公式求|PQ|的长度，从而计算 △POQ. 的长度 从而计算S△ 返回目录
【解析】（1）C1： x2 - y 2 =1,c2=a2+2a2=3a2,故c= |a|， 解析】 ） 故 3， a 2a 依题意，抛物线C 的方程为y |a|x. 依题意，抛物线 2的方程为 2=-4 3 （2）设存在满足题意的直线 ， ）设存在满足题意的直线PQ， 其方程为y=k(x+ 3|a|)(k≠0), 其方程为 y |a|(k≠0), 即x= - 3 k 又设点P， 的坐标分别为 的坐标分别为(x 又设点 ，Q的坐标分别为 1,y1),(x2,y2), y 代入抛物线C 把x= - 3|a|代入抛物线 2的方程， 代入抛物线 的方程， k 化简并整理得ky 化简并整理得 2+4 3|a|y-12ka2=0, 于是y 于是 1+y2=
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(1)由已知，得直线l的方程为 由已知，得直线 的方程为 的方程为y=kx+ 2 ,代入椭圆方程，得 代入椭圆方程， 由已知 代入椭圆方程
x2 +(kx+ 2
2)2=1,
① 2kx+1=0.①
1 2) 2 整理， 整理，得( +k x +2 2
直线l与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 直线 与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 与椭圆有两个不同的交点 1 2-4( =8k +k2)=4k2-2>0, 2 解得k<解得