华中科技大学研究生矩阵论课件
华中科技大学研究生矩阵论Matrix2-1
1
1
（backward identity）
§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)
讨论 n 阶矩阵多项式的相关问题： 矩阵多项式（重点是计算） 矩阵的化零多项式（Cayley 定理） 最小多项式 Jordan标准形的应用（简化计算） 相似不变性 Jordan化的方法
n (2) 由 I A 0 知 1 2 n 0
(3) 解方程
( A 0 ) X 0 得通解
x2 x3 xn 0, x1 k
即
X k (1,0, , 0)T
于是，A关于 0 的特征向量为 X k (1,0, , 0)T , k 0, n-1 从而得T=d/dx的特征向量为 (1, x, , x ) X k , k 0.
背景：求基{i，i=1~n}, 使得 T(1 2 … n) = (1 2 …n)
1. {1 2 … n} 线性无关
1 2 n
2. L{i}是不变子空间: Ti=ii
一、变换T的特征值与特征向量
(I T )( ) O (T I )( ) O
定理2.5 (存在定理) 在复数域上，每个方阵A都相似于 一个Jordan阵JA。 含义： Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。 A相似于B JA 相似于JB
4 方阵A的Jordan 标准形的求法
目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。 求法与步骤：
例1 求Pn[x]上微分变换d/dx的特征值与特征向量。
研究生矩阵论第讲 线性空间
矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换与坐标变换；3.子空间与维数定理；4.线性空间的同构线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为α,β的和与积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“•”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ与它们对应，称δ为k 与α的数乘，记为αδ•=k ．如果加法与数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=•1；⑹ αα•=••)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα•+•=•+l k l k )(；⑻ βαβα•+•=+•k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
课件 矩阵论
6
证
对于数组
k 1
,L ,
km
,
因为
k 1
y 1
+L+
km
ym
=
(
x 1
,L,
x
n
)(
k1α
1
+L+
kmα m
)
=θ
等价于 k1α1 + L + kmα m = θ , 所以结论成立.
四、基变换与坐标变换
1．基变换：设线性空间V
n
的基(Ⅰ)为
x 1
,L,
xn
,
基(Ⅱ)为
y 1
,L,
yn
,
则
y 1
=
cx 11 1
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵论绪论20130909
稀疏快速Fourier变换sFFT（2012）
矩阵论应用选介
The $25,000,000,000 Eigenvector:
The Linear Algebra behind Google
数学文化，第二卷第一期，2011。
矩阵论应用选介
Scientific computing libraries began growing around matrix calculus. The maximum principle is related to nonnegative matrices. Control theory and stabilization of system with finitely many degrees of freedom involve spectral analysis of matrices. Statistics is widely based on correlation matrices. The generalized inverse is involved in leastsquares approximation.
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学习指导意见
理论与概念
课程基础
应用能力
练习与计算
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课程学习的两个主要目的：
学习数学的语言；学习数学的思维
数学的地位 与作用 数学教育 本质上是 一种素质 教育 （科学素质）
数学是科 学的语言
矩阵是数 学的语言
数学是一种语言、一个 工具、一个基础、一门 科学、 一门技术、一种 文化，……； 高新技术本质上是一种 数学技术
《矩阵论》课件09满秩分解谱分解(华中科大)
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0032⎥⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦4×5 ∈ F4×5
②满秩分解的一种求法
设 A ∈ Fm×n ,rank(A) = r ，
也是 Hermite 标准形
（1）采用行初等变换将 A 化成 Hermite 标准形；
（2）得 到 A 的 列 向 量 极 大 无 关 组 {αj1 ,αj2 ,…,αjr } ， 令 B = (αj1 ,αj2 ,…,αjr )
2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩分解
证：采用构造性证明方法。设 A ∈ Fm×n ,rank(A) = r ，则存在
初等变换矩阵 P ∈ Fm×m ,Q ∈ Fn×n ，
使 PAQ = ⎛⎜⎜⎜⎝I0r 00⎞⎠⎟⎟⎟， 即 A = P−1 ⎛⎜⎜⎜⎝I0r
并把 P−1 分块成 P−1 = [B | B1 ] ， r列 (m−r)列
i=1
② （幂等阵） Pi2 = Pi , i = 1, 2,...,s, ③ PiPj = 0,i ≠ j.
进一步研究幂等阵的性质：
P72,定理 3.4 方阵 P ∈ Fn×n 为幂等阵，则 （1） PH 和 I − P 仍为幂等矩阵；
（2）P 的特征值为 1 或者 0，而且 P 可相似于对角矩阵；
（2）每一行第一个非零元素必须为 1；
（3） 每行第一个非零元所在的列中其他元素均为零。
例 1 B1 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣10000
2 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
−1 2 −1 0 0
10032⎥⎥⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦5×6 ∈ F5×6
为 Hermite 标准形
B2 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0000
华中科技大学研究生矩阵论Matrix演示文稿
AB，BA，I2B，AB，I2A
A B [aij B] A B [aijbij ]
3 0 0 0
B
I
2
B
0
0 B
0 0
1 0
0 3
0
,
0
0 0 0 1
分块对角矩阵
A
B
1 3 2 0
3 0 3 4 (1) 0
0 4,
AB B A
I
2
A
11 0 2
0 1 1 4
1 0
04.
对角矩阵
定）。
证明思路：利用定理3.6，有
k
l
A vrvrH , B wswsH ,
r 1
s 1
推出 AB可表示为
kl
A B
ursurHs , urs vr ws .
r 1 s1
第17页，共25页。
6. 3 矩阵的向量化算子和K-积
• 向量化算子Vec: Fm×n Fmn
定义（P . 143）设 A = [aij]mn , 则
(A1B1C1)(A2B2C2) = (A1A2)(B1B2)(C1C2) (A1B1)(A2B2)(A3B3) = (A1A2A3)(B1B2B3)
第11页，共25页。
6.2 Kronecker积和Hadamard积的性质
• Kronecker积的矩阵性质
定理6.4 （P. 140）设矩阵使下列运算有意义，则 • 当A，B分别为可逆矩阵时，AB和BA均为可逆 矩阵，而且有 (AB)–1 = A–1 B–1 • 当方阵AFmm，BFnn时，方阵ABFmnmn的行 列式为 |AB| = |BA| = |A|n |B|m • 若A，B是Hermite矩阵，则AB 和BA均是Hermite
矩阵论课件
2、向量的长度—（—f (模x),或g(范x)数） f (k)g(k)
k 1
3、Cauchy-Schwarz不等式 （常见的要记住）
Hale Waihona Puke （| ，）|| | | |
n
n
n
| ai bi |
| ai |2
| bi |2
4、施密i特1 正交化方i法1
i 1
三、向量空间的正交性
向量正交：（，） 0 正交
（1） a111 a212 am1m （2） a121 a222 am2m ：
（m） a1m1 a2m2 ammm
(（1）,（2）,（m）） (1,2 ,m ) A a11 a12 a1m
称A为线性变换 在基1，2，m下的矩阵
A
a21 :am1
a22 a2m
am2 amm
（3）酉阵的行列式之模为1 （4）酉阵的特征值之模为1
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
6、基R与2 中维，数常的用几基何i解 释(1—,0—),直j 观 (解0,释1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.
华中科技大学研究生数学矩阵论练习和习题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
L L{1，2，···，m }
W
W1＋W2
矩 矩阵AF m×n，两个子空间
不不变子空间
线线性变换旳数量关系：
➢线性变换旳表达 ➢线性变换旳数量关系 ➢主要旳线性变换
第1章习题选讲
P31，习题一 1（3），2，4，9，10，11 ，17，20， 23（4），26，29，30
第2章推荐习题
P58 1，2，3，6，8，9，11， 12， 13，16，19，20
第2章习题选讲
P58 1，3，6，8，9，11， 13，16， 19，20
线性空间旳问题
线性空间旳表达形式：
集合表达形式：Vn（F）=｛ 满足旳性质｝ 向量生成形式：L{1，2，···，m }
子空间类型：
L{1，2，···，m } W1＋W2 矩阵AF m×n，两个子空间 不变子空间
线性空间旳数量关系与矩阵
线性变换旳数量关系
线性变换旳给定方式 线性变换旳变换矩阵 空间分解与矩阵分解
复习与习题
2023 级矩阵论考试信息
考试时间：第16周六（12月22日），
考试地点：西12楼（详见网上告知） 答疑时间：第16周三、四、五：下午 答疑地点：逸夫科技楼（北）913#
矩阵论复习（07）
要点：
线性空间旳问题 线性变换旳数量关系 JA，mA() ，f() =|I-A | 之间旳关系 A与f(A)在Jordan原则形上旳关系 正规矩阵旳性质与应用 向量范数与矩阵范数 矩阵幂级数和矩阵函数
试题旳构造
习题选讲
P31，习题一 2，4，10，11 ，17， 23（4），26，29，30 P57，习题二 3，6，11，13， 20
试题旳构造
填空题 25% 计算题60% 证明题 15% 试题样板
《矩阵论》课件10QR分解与Schur分解(华中科大)
第十讲 UR(QR)分解与Schur 分解一、 UR 分解和QR 分解（UR 的推广）1. 定义：如果实（复）矩阵A 可化为正交（酉）矩阵U 与实（复）上三角矩阵R(主对角线元为正)的乘积，即，则称上式为A 的UR 分解。
=A UR 2. 可逆方阵的UR 分解①存在性：P74 定理3.7：设A 是n 阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵U 与实（复）上三角矩阵R 使得，其中=A UR ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121n 22ii nn r r r r R ,r 0;i 1,2,...,n.r = [证明]：设A 记为[]ααα=12n A ，A 非奇异线性无关 ααα→12n ,,, 采用Gram-schmidt 正交化方法将它们正交化，可得 βββ12n ,,,[][][]βαεαεβααααεεεβεεεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=121n 2n 12n 12n n 12n ||||(,)(,)||||(,)||||R12 Q 是正交（酉）矩阵，R 是实（复）上三角矩阵。
② 求可逆矩阵的UR 分解(Schmidt 正交化方法)例，设 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100A 110111将UR 分解推广到对列满秩矩阵进行：3，列满秩矩阵的QR 分解P76,定理3.8. 设A 是的实（复）矩阵，且其k 个列线性无关（即列满秩），则A 具有分解。
其中Q 是阶实（复）矩阵，且满足，R 是k 阶实（复）非奇异上三角矩阵。
×m k A QR =×m k T H Q Q I(Q Q I)==n H二，Schur 定理（Schur 分解）1，内容：设，则存在酉矩阵U 和上三角矩阵T 使得×∈n n A C λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1121n 22H n t t t U AU T [证明]： −==⇒=1A HA PJ P ,P UR A UTU2，酉相似定义：A 酉相似于B ⇔=H U,st,U AU B 存在酉三，正规矩阵1， 定义：满足，称为正规矩阵。
华中科技大学研究生矩阵论Matrix6-1
对角矩阵
A B [aij B] A B [aijbij ]
6.1 K-积和H-积的定义
例题2 设分块矩阵A = (Ast)，则 AB = (Ast B) 特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB) 例题3 快速Walsh(Hadamard)变换 yN = HNxN， 其中 H N / 2 H N / 2 n HN , N 2 , n 1, 2, , H1 [1]. H N / 2 H N / 2 于是有 1 1 n HN H H H H N /2 2 N /2 2 . 1 1 H N / 2 I N / 2 I N / 2 HN ( I 2 H N / 2 )(H 2 I N / 2 ) H N / 2 I N / 2 I N / 2
P(r , t )
i , j 0
c
ij
T
i , j 0
i
r
t
j
Kronecker积的矩阵函数性质 定理6.8（P. 143）设是f(z)解析函数，f(A) 有意义，则
f(IA) = If(A) f(AI) = f(A)I
SN(IA) = ISN(A) SN(AI) = SN(A)I
求[(AI) +(IB)]的特征值和特征向量
例题3：证明对任何方阵A, B, 有
e
A B
e e e e
A B B
A
Hadamard积的性质 定理6.9（Schur积定理）设A、B为同阶方 阵。若A和B半正定（正定），则AB亦半 正定（正定）。
华中科技大学研究生矩阵论Matrix3-2
v1 (1,1,0)T / 2 , v2 (0,0,1)T , v3 (1,1,0)T / 2.
u1 Bv1 / 1 (1,0)T , u2 Bv 2 / 2 (0,1)T , 已得U！
B UV
H
设UHAV=，U=[U1 U2]，V=[V1 V2]，分块运算可得
T T T
u1 Av1 / 1 , u2 Av2 / 2
1 0 1 求矩阵A和B的奇异值分解，A= 0 1 1 ； 1 1 0 。 B= 0 0 0 0 0 1 解 (1) 求AHA的特征值：1 3, 2 1, 3 0
二、矩阵的奇异值分解
1、定理314（P83）
任何矩阵AC m×n，秩(A) = r，则存在酉矩阵 UC m×m，VC n×n，使得 1 1 2 2
0 0
A U
r
证明思想：AV=U，即 Avi= σiui，i<=r; =0, i>r。 2 AHA正规，VHAHAV = r ， 酉矩阵V。
2、矩阵U，V的空间性质：
右奇异向量
V=[v 1，v2，，vr ， ，v n] =[V1 V2]C n×n的列向 量是空间C n的标准正交基。
V2的列向量是空间N(A)的标准正交基（AV2=0）。 V1的列向量是空间N(A) 的标准正交基（V1HV2=0）。
U=[u 1，u2，，ur ， ，u m] =[U1 U2]C m×m的列 左奇异向量 向量是空间C m的标准正交基。 3、奇异值分解的展开形式及其应用 A U1 rV1H 定理315（ P87）（由奇异值分解展开得到！）
华中科技大学研究生矩阵论Matrix3-1
方法3：求列的极大无关组及表示（行变换）：不用求逆 例题2 （P.69，eg5） 例题3（P.70，eg6） 法2
C r行 (A I) O P ，rank (C ) r rank ( A) C C 1 C PA O AP O ( B, B2 ) O BC
方阵的LU和LDV分解（P.61）~ 解方程
例题1（P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。
2 2 3 A 4 7 7 2 4 5
2 2 3 1 0 0 2 2 3 1 0 0 r 2 r 2 2 3 1 0 0 r 2 r 3 2 2 1 ( A I ) 4 7 7 0 1 0 0 3 1 2 1 0 0 3 1 2 1 0 r3 r1 2 4 5 0 0 1 0 0 6 5 2 1 0 6 8 1 0 1
1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 A BC 0 1 0 2 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 / 2
1 1 2 二、矩阵的满秩分解 A 0 2 2 满秩分解的求法：初等变换 1 0 1 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解
Ir S A ( B, B2 ) O O ( B, BS ) B( I r , S ) BC
B ??
A ( A1 , A2 ) B A1
1 1 2 二、矩阵的满秩分解 A 0 2 2 满秩分解的求法：初等变换 1 0 1 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解
高等工程数学华科(矩阵论)
矩阵论为何要学矩阵论？自然界和社会发展的本质——“变”（change ）。
种子幼苗 树林 房梁、桌椅…… 婴儿小学生中学生硕士、博士……数学描述：f ：x y=f(x)：RxRy function推于T ： )(αβαT =→： βαB B T −→− transformationB α，B β具有线性结构：ααααααB B 2121∈⇒∈，，， 变换具有线性性质：)()()(2121ααααT T T +=+，)()(ααkT k T =那么α可表为向量α=（x1，… xn ）T ，T 可表为矩阵n m ij a A ⨯=)( ，αβA y T =⋯=)y (m 1因此要研究矩阵的性质。
（等于研究线性变换的性质） 如解线性方程组：Ax=b b A x 1-=⇒，1-A 存在？唯一？ 正如二次型Ax x x x a x x f T ji j i ij n ==⋯∑，，),(1若有P 使∧=⋯=)(n 1λλ，，diag AP P T 则2n 211y )()(x n T T y Px Px Ax λλ+⋯+=∧= ~标准化其中T n y y Px y )(1，，⋯== 引出相似对角化问题。
2.方阵的相似化简2.1 Jordan 标准型2．1.1 矩阵的相似及对角化A 与B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。
A 课相似对角化~)(~1n diag A λλ，，⋯ 定理1.5.6 A 可相似对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量。
事实上i i i x Ax λ= n i ，，⋯=1 取)x (1n x P ⋯= （可选）有P -1AP =)(1n diag λλ，，⋯ 为求特征值∑==-⋯⋯-⋯⋯-=-n n I A i ns nin m ，（）（0))(||1s 1i 11λλλλλλλi λ的代数重数~i n为求特征向量解0)(=-x I A i λ有)(I A R n i λ--个线性无关的解i λ的几何重数~)(I A R n k i i λ--=定理2.1.1 对任何方阵A 的特征值i λ有i i n k ≤证明：t i t A αλα= t=1，…，i k 。
华中科技大学研究生矩阵论课件
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ：
定理1·8 设W=W1＋W2，则下列各条等价：
（1）
W=W1W2
（2）
X W，X=X 1＋X2的表
是惟一的
（3） W中零向量的表示是惟一的
（4）
dim W =dimW1＋dimW2
.
26
例1
P12 eg18
例2 设在Rn×n中，子空间
W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。
线性空间的一般性的观点：
线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
线性空间的简单性质（共性）：
定理1 . 1：V（F）具有性质：
（1） V（F）中的零元素是惟一的。
（2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。
（3）数零和零元素的性质： 数0 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0
例3 子空间W的“直和补子空间”
.
27
1·2 内积空间
主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。
一、 欧氏空间和酉空间 1 几何空间中度量关系的定义基础 2 内积的定义 定义1·7 (P13) ：要点 • 内积(，)是二元运算：Vn(F) F • (，)的公理性质 • (，)是任何满足定义的运算。 • 讨论(，1＋2), (，k)
（II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 }
0
0
1
0
3
1
0
3
1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。
1
2
§1.1 五、 子空间
概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可 以有集合的运算和关系： Wi V， W1W2， W1W2， 问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
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应用：
借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
例题2 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组.
3把其余的向量表示成极大线性无关组的
例2 设空间P4[x]的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。
每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。
线性组合.
四、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系
同一个向量在不同基下坐标之间的关系
基变换公式 设空间中有两组基：
{ { 11,, 22,,.... ..nn ,,}}过渡矩
阵
则 ( 1 2 . .n ). ( 1 2 . .n ) C .n n
过渡矩阵C的性质：
➢ C为非奇异矩阵
➢ C的第i列是 i 在基{i }下的坐标
线性空间的一般性的观点：
线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
线性空间的简单性质（共性）：
定理1 . 1：V（F）具有性质：
（1） V（F）中的零元素是惟一的。
（2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。
（3）数零和零元素的性质： 数0 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0
2、 线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
V n （F）
Fn
基{1，2，。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
在关系下，线性空间V n （F）和Fn同构。
同构的性质
定理1.3:V n （F）中向量{1，2，…n} 线性相关它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在 Fn中线性相关。
2 坐标变换公式
已知
➢空间中两组基：
{1,2,.. .n,}
{1,2,...n,}
满足: ( 1 2 . .n ). ( 1 2 . .n ) C .n n 1
矩阵与线性空间和线性变换
• 以矩阵为工具研究问题 • 在其中发展矩阵理论
矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
二、教学安排
学时配置
讲授第1章至第6章 (48学时)
第1章：10学时;
第2章：8学时
运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}；
运算：矩阵的加法和数乘矩阵
R mn ；C mni 1。
Pn [x]={p(x)= n 1 a i x i：aiR}
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•eg5： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
（4） = （1）
向量0
二、线性空间的基和维数
向量的线性相关与线性无关：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x …，enx}，x[0，1]
线性无关。
二、线性空间的基和维数
基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 常见线性空间的基与维数：
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间
Vn( F ) 的一组基， Vn( F ) ， = n x i i ，则x1 ，
x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。i 1
要点： 坐标与基有关 坐标的表达形式
例1：求 R22中向量 3
下的坐标。
4
1
5
在基{Eij}
Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n
Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。
Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] C[a,b]，
dim C[a，b]= 约定：
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
矩阵论
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 48学时 （48 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著），
华中科技大学出版社，2005 任课教师： 杨 明
（Dr. Yang Ming）
http:// /gksx/
前言
一、课程介绍 研究内容：
第3章：8学时；
第4章：6学时；
第5章：8学时；
第6章：6学时
考核方式：课程结束考试（第13周）
卷面成绩为最终成绩
三、教学指导意见
背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：
余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。 Fuzhen Zhang，Matrix Theory，Springer，1999。 Denis Serre， Matrices Theory and Applications， Springer，2002。 矩阵论历年试题及其解答
不交作业，但应该重视练习环节。
第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F=R或C
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}