锐角三角函数+投影

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一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)

这里的tan42°是多少呢？
A
42°
D
C
1.6m
E
20m
B
新知探究
一用计算器求一个锐角的三角函数值
1.求sin18°．第一步：按计算器 sin 键，第二步：输入角度值18，按 = 键. 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
新知探究
∠A=78°19′58″
∠B=41°23′58″
随堂小测
2.下列各式中一定成立的是（ A） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°﹥sin15°
2.求 tan30°36'. 第一种方法：第一步：按计算器 tan 键，第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 D.M′S 键），第三步：按=键屏幕显示答案：0.591 398 351
第二种方法：第一步：按计算器 tan 键，第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）第三步：按=键屏幕显示答案：0.591 398 351
分析（1）题的结果，你能得出什么猜想，你能说明你的猜想吗？
新知探究
归纳：在锐角三角函数中正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小数值. 2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角. 3.在锐角三角函数中正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

第24讲锐角三角函数

考点三
三角函数之间的关系
1．同角三角函数之间的关系
sin2α＋cos2α＝
1
；tan
α＝csions
α α.
2．互余两角的三角函数之间的关系
若∠A＋∠B＝90°，则 sin A＝cos B，
sin B＝cos A，
tan A·tan B＝1．
3．锐角三角函数的增减性当 α 为锐角时，0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，且 sin α，tan α 的值都随 α 的增大而增大；cos α 的值随 α 的增大而减小．温馨提示：这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形公式．
Rt△ABD 中，cos A＝AD＝2 2＝2 5.故选 D．
【答案】D
AB 10 5
3．把△ABC 三边的长度都扩大到原来的 3 倍，则
锐角 A 的正弦值( A )
A．不变
B．缩小为原来的13
C．扩大到原来的 3 倍 D．不能确定
4．在锐角三角形 ABC 中，若sin A－ 23＋(1－
tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C )
＝ 5
5＋1.故选 C． 4
【答案】C
5．(2016·福州)如图，以 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点，P 是 AB 上一点(不与 A，B 重合)，连接 OP，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是( )
A．(sin α，sin α) B．(cos α，cos α) C．(cos α，sin α) D．(sin α，cos α)
考点三
三角函数的增减性
例 3 如图，若锐角
△ABC 内接于⊙O，点 D 在
⊙O 外(与点 C 在 AB 同侧)，

锐角三角函数

锐角三角函数作为数学中的一个重要概念，锐角三角函数是我们学习三角函数的关键部分之一。

在几何学和三角学中，锐角指的是小于90度的角。

而锐角三角函数是以锐角作为自变量的三角函数。

一、正弦函数（sine function）在锐角三角函数中，正弦函数是最常见也是最重要的一个函数。

正弦函数可以表示为：sin(θ) = 对边/斜边其中，θ代表锐角的度数，对边代表锐角的对边长度，斜边代表锐角的斜边长度。

二、余弦函数（cosine function）余弦函数是锐角三角函数中的另一个核心函数，表示为：cos(θ) = 临边/斜边同样，θ代表锐角的度数，临边代表锐角的临边长度，斜边代表锐角的斜边长度。

三、正切函数（tangent function）正切函数是另一个重要的锐角三角函数，表达式为：tan(θ) = 对边/临边在这个公式中，θ代表锐角的度数，对边代表锐角的对边长度，临边代表锐角的临边长度。

四、余切函数（cotangent function）余切函数是正切函数的倒数，可以表示为：cot(θ) = 临边/对边θ代表锐角的度数，临边代表锐角的临边长度，对边代表锐角的对边长度。

五、正割函数（secant function）正割函数是余弦函数的倒数，可以表示为：sec(θ) = 斜边/临边θ代表锐角的度数，斜边代表锐角的斜边长度，临边代表锐角的临边长度。

六、余割函数（cosecant function）余割函数是正弦函数的倒数，可以表示为：csc(θ) = 斜边/对边在这个公式中，θ代表锐角的度数，斜边代表锐角的斜边长度，对边代表锐角的对边长度。

锐角三角函数在数学和实际应用中具有广泛的重要性。

无论是在几何学、物理学还是工程学中，锐角三角函数都扮演着重要的角色。

它们可以帮助我们计算和解决各种三角形和锐角相关问题。

在实际应用中，锐角三角函数还广泛应用于测量和建模等领域。

总结起来，锐角三角函数是数学中不可或缺的一部分。

通过掌握和理解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，我们可以更好地理解和解决与锐角有关的各种数学和实际问题。

沪科版九年级数学上册2锐角的三角函数(第3课时特殊角的三角函数值)课件

B
2a
a
45.0
A
C
a
Sin45°=
A 的对边斜边
2 2
cos45°=
A的邻边 2
斜边
2
tan45°=
A的对边 1 A 的邻边
归纳
特殊角的三角函数值
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3 2
2 2
3
tanα
3
1
60o
3 2
1 2
3
讨论：
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3
2
公式一
2、三角公式
当∠A+∠B=90°时
B
c
a
┌
A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA . tanB=1
公式二
sin2 A cos2 A 1 tan A sin A cos A
新知探究
已知Rt△ABC中，∠A=30°
B
a
2a
Sin30°=
A的对边 1
斜边
2
C
30.0 A
3a
60o
3 2
1 2
3
角度逐渐增大
正切值也增大
讨论：锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？
30o
1
sinα 2
cosα 3 2 3
tanα 3
45o
2 2
2 2
1
60o
3 2
1 2
3
0< sinA<1 0<cosA<1
归纳

2014年几何专题训练锐角三角函数和投影与视图

2014年几何专题训练锐角三角函数和投影与视图2014年几何专题训练锐角三角函数和投影与视图一．选择题（共20小题）1．（2013•昭通）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）．C D．2．（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）米米D．米3．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）．C D．4．（2012•杭州）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）5．（2011•衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）m C．m6．（2010•丹东）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）D）m7．（2009•兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）8．（2009•广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（）．C D．9．（2009•黑河）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）．C D．10．（2007•淄博）王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）．m．m11．（2013•遵义）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）．C D．．C D．13．（2013•湛江）如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）．C D．14．（2013•襄阳）如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是（）．C D．15．（2013•泰州）由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示，这个几何体的左视图是（）．CD ．16．（2013•临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）17．（2013•贺州）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm ）可求得这个几何体的体积为（）18．（2012•雅安）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方形的个数，则这个几何体的主视图是（）．CD ．19．（2012•南充）下列几何体中，俯视图相同的是（）20．（2012•临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）18+2）二．解答题（共10小题）21．（2013•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？22．（2013•天水）如图所示，在天水至宝鸡（天宝）高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度，已知在离地面2700米高度C处的飞机上，测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长．（结果保留根号）23．（2013•宿迁）某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°（即∠PBA=30°），长度为4m（即PB=4m），无障碍通道PA的倾斜角为15°（即∠PAB=15°）．求无障碍通道的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98）24．（2013•荆门）A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB 两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．25．（2013•朝阳）如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．26．（2010•达州）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．27．（2005•河北）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（2）如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度．28．（2003•常州）当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．（1）设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m、x的关系式；（2）当a=2.5，b=2，m=1.6，求：（ⅰ）点E和墙壁距离x；（ⅱ）最大视角∠PEQ的度数．（精确到1度）29．（2012•随州）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°．游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖，老君岭的仰角分别为30°，60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？30．（2012•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．2014年几何专题训练锐角三角函数和投影与视图参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2013•昭通）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）．C D．tanB=，．2．（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）米米D．米∴，BC=x+100=xx=3．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）．C D．====4．（2012•杭州）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（），，，5．（2011•衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）m C．m：：==6．（2010•丹东）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）D）m×=CE=CD+DE=CD+AB=（米）7．（2009•兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）=0.75=8．（2009•广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（）．C D．S=L•=9．（2009•黑河）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）．C D．sinB=sinD==．10．（2007•淄博）王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（）． m ． m=50AC=．11．（2013•遵义）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）．CD ．．C D．13．（2013•湛江）如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）．C D．14．（2013•襄阳）如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是（）．C D．15．（2013•泰州）由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示，这个几何体的左视图是（）．C D．16．（2013•临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）17．（2013•贺州）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm）可求得这个几何体的体积为（）18．（2012•雅安）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方形的个数，则这个几何体的主视图是（）．C D．19．（2012•南充）下列几何体中，俯视图相同的是（）20．（2012•临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）18+2）二．解答题（共10小题）21．（2013•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？CD=×=30BC=30×22．（2013•天水）如图所示，在天水至宝鸡（天宝）高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度，已知在离地面2700米高度C处的飞机上，测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长．（结果保留根号）×=900m=2700AB=2700﹣=1800m23．（2013•宿迁）某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°（即∠PBA=30°），长度为4m（即PB=4m），无障碍通道PA的倾斜角为15°（即∠PAB=15°）．求无障碍通道的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98）24．（2013•荆门）A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB 两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．CD==25．（2013•朝阳）如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．DAC=，得出DAC=，，121226．（2010•达州）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．∴∴27．（2005•河北）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（2）如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度．∴∴28．（2003•常州）当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．（1）设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m、x的关系式；（2）当a=2.5，b=2，m=1.6，求：（ⅰ）点E和墙壁距离x；（ⅱ）最大视角∠PEQ的度数．（精确到1度）PEH=，HEQ==，29．（2012•随州）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°．游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖，老君岭的仰角分别为30°，60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？得：+1=（30．（2012•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．，BC=AC=12×。

锐角三角函数

初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。

锐角三角函数—知识讲解

锐角三角函数—知识讲解撰稿：杜少波审稿：张晓新【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确地记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．ABCa bc锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角A，都有唯一的比值sinA（或cosA、tanA）与它对应，因此我们把锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．（3）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半.要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°则存在以下关系：(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、求锐角的三角函数值1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．【思路点拨】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求解．【答案与解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°．∵AB＝13，BC＝5．∴222213512AC AB BC=-=-=．∴5sin13BCAAB==，12cos13ACAAB==，5tan12BCAAC==；12sin13ACBAB==，5cos13BCBAB==，12tan5ACBBC==．【总结升华】本题考察勾股定理以及三角函数的定义，属简单题.举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c= ，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．ABCabc【答案】c=5，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值2．求下列各式的值：(1)sin30°-2cos60°+tan45°； (2)tan30sin30tan45tan60gg°°°°； (3)11(13)|1sin30|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭°．【答案与解析】(1)原式11121222=-⨯+=；(2)原式31132613⨯==⨯；(3)原式11511212222=--+=-+=．【总结升华】要熟记特殊角的三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=2，cosA=2，sinB=2，cosB=2．【变式2】计算：sin30°+cos30°•tan60°．【答案】解：原式=13+32⨯=2.类型三、由锐角三角函数值求锐角的度数3．(1)求锐角； (2)已知求锐角．【答案与解析】(1)先将已知方程变形后再求解．∴锐角=30°．(2)先将已知方程因式分解变形．∴锐角=45°．【总结升华】要求等式中的锐角度数，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的值，然后再求这个锐角．类型四、锐角三角函数的拓展与应用4.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______． (3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA BD AD ==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．5．如图，锐角△ABC 中，AB=10cm ，BC=9cm ，△ABC 的面积为27cm 2．求tanB 的值．【思路点拨】过点A 作AH ⊥BC 于H ，由三角形的面积公式求出AH 的长，再由勾股定理求出BH 的长，最后利用锐角三角函数的定义即可解答．【答案与解析】解：过点A 作AH ⊥BC 于H ，∵ABC S V =27， ∴12×9×AH ＝27， ∴AH=6， ∵AB=10，∴22AB AH -22106-=8，∴tanB=AH 63BH 84==．【总结升华】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，做出三角形的高线是解答此题的关键．。

锐角三角函数

关系式
李善兰三角函数展开式 tanα·cotα=1 希腊三角函数公式 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 1+(tanα)^2=(secα)^2 1+(cotα)^2=(cscα)^2 锐角三角函数诱导公式直角三角形中的锐角三角形函数sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα
三角函数值
取值范围
特殊角
变化情况
特殊角的三角函数值如下：注：非特殊角的三角函数值，请查三角函数表
θ是锐角： 0 0 tanθ>0 cotθ>0
1.锐角三角函数值都是正值。 2.当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。
锐角三角函数
数学函数
01 相关概念
03 关系式
目录
02 三角函数值
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做 ∠A的锐角函数。
相关概念
图1直角三角形锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到如图1所示的直角三角形中，则锐角三角函数可表示如下：

相似形、锐角三角函数、投影与试图

图1图4图图图71．如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则BCDE 的值为( )2．正方形在太阳光下的投影不可能是( )A ．正方形B ．一条线段 C ．矩形 D ．三角形3．如图2，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC4．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) 5．如图3，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC 的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APCC ．tan ∠APCD ．APC∠tan 16．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是_________。

7．如图4，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为_______。

8．一几何体的三视图如图5所示，则这个几何体的表面积是____________cm 2。

9．如图6，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD 若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．10．如图7，有一圆弧形桥拱，拱的跨度m 330=AB ，拱形的半径R ＝30m ，则拱形的弧长为__________。

11．计算：318330tan )60(sin )2012(+--+--π12．楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯炮A 的位置，再作出小树在路灯下的影子．(不写作法，保留作图痕迹)13．如图，已知：在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AD=6cm ， DB=4cm ，求CD 的长。

7.6用锐角三角函数解决问题(仰角、俯角问题)

7.6 锐角三角函数的简单应用——仰角、俯角问题一、画一画根据题意，画出仰角或俯角（1）人看气球（2）在飞机上看地面控制中心二、实际问题问题1: “小机灵”在飞行高度为180米的飞机A 上看到上海浦东国际机场地面指挥中心B 的俯角为30°，求此时飞机A 在地面上的投影点C 离B 点的水平距离。

（结果保留根号）变式：“小机灵”在离中国馆AB 120米的C 处，用高为1米的测角仪测得中国馆的最高处A的仰角为30°，已知测角仪CD 垂直于地面，求中国馆AB 的高。

（结果保留根号）AB问题2：在南浦大桥AB 的上方有一只热气球停在P 点处，此时热气球离桥面的高度为1200米，“小机灵”在大桥的两端A 、B 分别测得热气球的仰角为27°、40°，求南浦大桥的AB 。

参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9， tan27°≈0.5，sin40°≈0.6， cos40°≈0.8，tan40°≈0.8PB A人的眼睛 P · 0· A · 地面控制中心 B · A ·B · D C变式1：已知南浦大桥的主桥AB长900米，热气球由西向东飞行，一段时间后到达C处，此时“小机灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为30°、45°，求此时热气球距桥面的高度。

（结果保留根号）CB A变式2：热气球继续向东飞行至D处，此时“小机灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为40°、27°，已知主桥AB的长为900米，求此时热气球距桥面的高度。

参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9，tan27°≈0.5，sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8DB A三、数学活动室思考：1、如何测量得到旗杆的高度？（图1 ）2、怎样从地面测量小山的高度呢？（图2 ）仪器：卷尺，高度为h的测角仪；要求：画出图形，测得的角用α、β等表示，测得的长度用a、b、c等表示。

三角函数

三角函数（图：角θ的所有三角函数）三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

定义锐角三角函数定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。

对于AB与AC的夹角∠BAC而言：（图：Rt△ABC）对边（opposite）a=BC斜边（hypotenuse）h=AB邻边（adjacent）b=AC基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数Sine sin a/h ∠A的对边比斜边余弦函数cosine cos b/h ∠A的邻边比斜边正切函数Tangent tan a/b ∠A的对边比邻边余切函数Cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边正割函数Secant sec h/b ∠A的斜边比邻边余割函数Cosecant csc h/a ∠A的斜边比对边(注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。

)罕见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθvercosinθ=1+cosθ余矢函数coversinθ=1-sinθcovercosinθ=1+sinθ半正矢函数haversinθ=(1-cosθ)/2havercosinθ=(1+cosθ)/2半余矢函数hacoversinθ=(1-sinθ)/2hacovercosinθ=(1+sinθ)/2外正割函数exsecθ=secθ-1外余割函数excscθ=cscθ-1任意角三角函数定义如图：在平面直角坐标系中设O-x为任意角α的始边，在角α终边上任取一点P（x，y），令OP=r.sinα=y/r cscα=r/ycosα=x/r secα=r/x [1]tanα=y/x cotα=x/y单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。

三角函数化任意角的三角函数为锐角的三角函数

7. -θ的函數轉換
sin( -θ)= -cosθcos( -θ)= sinθ
tan( -θ)= cotθcot( -θ)= tanθ
sec( -θ)= -cscθcsc( -θ)= -secθ
8. +θ的函數轉換
sin( +θ)= -cosθcos( +θ)= sinθ
tan( +θ)= -cotθcot( +θ)= -tanθ
sin(π-θ)= sinθcos(π-θ)= -cosθ
tan(π-θ)= - tanθcot(π-θ)= -cotθ
sec(π-θ)= -secθcsc(π-θ)= cscθ
3.π+θ的函數轉換
sin(π+θ)= -sinθcos(π+θ)= -cosθ
tan(π+θ)= tanθcot(π+θ)= cotθ
tan( -θ)= cotθcot( -θ)= tanθ
sec( -θ)= cscθcsc( -θ)= secθ
6. -θ的函數轉換
sin( +θ)= cosθcos( +θ)= -sinθ
tan( +θ)=- cotθcot( +θ)= -tanθ
sec( +θ)= -cscθcsc( +θ)= secθ
sec( +θ)= cscθcsc( +θ)= -secθ
二、化任意角的三角函數為銳角的三角函數自我學習評量
(1)基礎題
1.
解答：1
2.
解答：
3.
解答：
4.
解答：
5.
解答：
6試求下列各三角函數的值：
(1) tan-135°(2)sin210°(3)cos-390°

锐角三角函数(18张PPT)

13 5
解：如图（2）在Rt△ABC中，
BC 5 sin A , AB 13
C
(2)
A
AC AB2 BC 2 132 52 12
AC 12 因此sin B AB 13
小试牛刀
1.判断对错:
BC √ ） 1) 如图 (1) sinA= （ AB
BC (2)sinB= （×） AB
B 3
解：如图（1）在Rt△ABC中，
C
B 13
5
A
AB AC BC 4 (1)
4
2 2
2
C 3
2
5
B
(2)
A
13
BC 3 AC 4 因此sin A , sin B AB 5 AB 5
5
C
(2)
A
试一试
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 B sinA和sinB的值．
B 10m 6m C
(3)sinA=0.6m （×） (4)SinB=0.8 （√ ） BC 2)如图，sinA= （× ） AB
A
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
小试牛刀
2倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
B
a
c
C
b
A
独立完成作业的良好习惯，
是成长过程中的良师益友。
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比值为这个锐角的正弦
如：∠A的正弦记作：sinA 即 a ∠A的对边 sinA= = 斜边 c

锐角三角函数中的构图模型

锐角三角函数中的构图模型学习目标：1.能运用锐角三角函数知识构建常见模型，解决有关实际问题。

2.进一步体会数形结合、转化、方程建模的数学思想。

考点精讲一、定义：如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A为ΔABC中的一锐角，∠A的正弦：sinA=∠A的余弦：cosA=∠A的正切：tanA=二、特殊角的三角函数值三、锐角三角函数的实际应用1．仰角、俯角：如图②，图中仰角是俯角是2．坡度（坡比）、坡角：如图③，坡角为，坡度(坡比)i==3．方向角：如图④，A点位于0点的方向，B点位于O点的方向，C点位于0点的方向图②图③图④满分技法：在实际测量中，为了减少计算结果与实际结果之间的误差，有以下举措：①测量项目的数值应该是多次测量，取平均值；②使用高精确度的测量仪器；③测量前对仪器进行校正示意图α30o45o60o sinαcosαtanα例：某数学活动小组想测量教学楼右侧平台DF处的孔子雕像的高度（孔子雕像后面是池塘无法直接测量）他们把“测量孔子雕像的高度”作为一项课题活动，并制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.为了减小测量误差，小组在测量仰角以及两点间的距离时.都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表：请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，求孔子雕a B测量项目第一次α37.3°β59.5°一、模型分析若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.等量关系：CD为公共边，AD+BD=AB例：如图，这是工人在施工时经常用的“人字梯”。

按规定，“人字梯”的上部夹角的安全范围是35o≤∠AOB≤45°，且铰链必须牢固，并应有可靠的拉撑措施在人字梯的A，B处和C，D处（AB//CD）各需系上一根高强度的软钢丝以确保用梯安全.现测得OA=OB=2米，在A，B，C，D处固定用去的钢丝忽略不计，则所需钢丝的长度a应该在范围。

沪科版数学九年级上 23.1锐角的三角函数课件(19张PPT)

梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断
的？
?
小颖的问题,如图:
A
E
4m
3.5m
B 1.5m C F 1.3m D
同类问题多种变化
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样
判断的？
小亮的问题,如图:
E A
4m
6m
B 2m C F 3m D
同类问题多种变化
小明和小亮这样想,如图:
如图,小明想通过测量B1C1及AC1, 算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度;
课堂作业 1：书本练习1、2、3题 2：完成同步练习
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论？
B1
B2 B3
A
C3 C2
C1
用心想一想
结论：仍能得到
当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定。
A
B1
B2 B3
C3 C2
C1
知识升华
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么锐角A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
23.1锐角的三角函数
从生活实践开始
源于生活的数学同类问题多种变化 Nhomakorabea梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样
判断的？
?
小丽的问题,如图:
E
A
5m
6m
B 2m C F 2m D
同类问题多种变化
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样
判断的？
小明的问题,如图:
A
E
5m
5m
B 2m C F 2.5m D
同类问题多种变化
B
斜边 ∠A的对边

三角函数公式及图像

锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角、反三角函数图像六个三角函数值在每个象限的符号：sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的图像和性质：.反三角函数：arcsinx arccosx。

锐角三角函数的应用教学设计

锐角三角函数的应用教学设计一、引言数学作为一门重要的学科，具有广泛的应用价值。

其中，锐角三角函数是数学中的重要概念之一，并且在实际问题中有着广泛的应用。

本文将围绕锐角三角函数的应用展开，设计一节适合高中数学课堂的教学内容。

二、教学目标1. 理解正弦、余弦、正切的概念和性质；2. 掌握正弦、余弦、正切的计算方法；3. 能够应用锐角三角函数解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦、余弦、正切的概念和性质；2. 教学难点：如何将锐角三角函数应用于实际问题的解决。

四、教学内容与步骤1. 理论知识阐述：a. 对正弦、余弦、正切的定义进行详细解释，并讲解其在直角三角形中的几何意义；b. 引入单位圆的概念，介绍单位圆上任意角的定义，以及角度与弧度的转换；c. 讲解正弦定理和余弦定理的概念，并通过实例演示其应用。

2. 计算方法的演示：a. 利用计算器演示如何计算正弦、余弦、正切的具体数值；b. 引导学生探索正弦、余弦、正切函数的周期性，并与单位圆的概念进行联系；c. 给予学生大量的练习，巩固计算方法的掌握。

3. 实际问题的应用：a. 针对不同的实际问题，设计一些案例，让学生通过应用锐角三角函数解决问题；b. 引导学生认识到锐角三角函数在直角三角形、几何图形、物理问题中的应用；c. 提供一些挑战性问题，鼓励学生探索更复杂的实际应用。

五、教学辅助工具和资源1. 教学辅助工具：黑板、白板、投影仪、计算器等；2. 教学资源：教科书、相关练习题、实际应用案例等。

六、教学评估方法1. 在教学过程中，通过提问、解答问题等方式对学生的理解程度进行评估；2. 设计一些小组讨论题目，让学生在小组内进行交流与合作，提高学习效果；3. 组织课堂练习和作业，检验学生对锐角三角函数应用的掌握情况；4. 针对应用题设计一些开放性问题，了解学生解决实际问题的能力和思维方式。

七、教学反思与改进1. 在教学过程中，要注重引导学生探索和思考，培养其独立解决问题的能力；2. 针对学生容易混淆的概念和易错点，可以设计一些巩固性的练习和辅导活动；3. 综合运用多种教学手段和资源，提高教学效果；4. 根据学生的不同水平和反馈信息，进行灵活的教学调整和改进。

锐角三角函数

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万方数据
锐角三角函数
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：袁劲松浙江省杭州外国语学校新课程学习（基础教育） XINKECHENG XUEXI（JICHUJIAOYU） 2010，""(1) 0次
本文链接：/Periodical_xkcxx-jcjy201001055.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：708c7340-fd72-4aa2-8311-9dc800ab5a79 下载时间：2010年8月4日
万方数据
ＸＩＮＫＥＣＩＩＥＮＧＸＵＥＸＩ
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２０１０年１月８日的．并不是先有直角三角形，再给出锐角三角函数的定义的．当一个锐角是一个直角三角形的一个锐角时，我们町以在商角三角形中计算锐角ｔ角函数的值．５．变式例题，揭示边角关系：通过３个例题，运用三角函数解决三角形中的边角关系．勾股定理揭示的是直角ｉ角形的边边关系，锐角ｉ角函数则是商角—角形中边与角的桥梁．例题３中的等腰三角形，要求利用“ｔ线合一”构造直角三角形，解决三角形中的边与角．作者单位：浙江省杭州外国语学校
２０１０年１月８日ＸＩＮＫＥＣｌＩＥＮＧＸＵＥＸＩ
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锐角三角函数
◇袁劲松思考：如何求ｓｉｎＡ。ｃｏｓＡ，妇“的值．
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五、课堂小结：１．理解锐角ｔ角函数定义的合理性，ＪＦ确运用锐角三角甬数的定义；２．在求锐角■角函数的值时，通常将这个锐角放在一个直角ｔ角形中来计算．板书设计１．１锐角三角函数幻灯片中展示不同倾斜程度的梯子，从而商观地感受梯子的倾斜度‘ｊ倾斜角、水平宽度以及竖直高度之间的关系．我们粗略地、定性地得到梯子越陡，倾斜角越大，水平宽度越小，竖直高度越大．如何精确地、定节地描述倾斜角与水平宽度、竖直高度以及梯子长度之间的关系，这就是本节课耍学习的内容．二、合作学习：１．作一个３００的厶４（图１），在角的边上任意取一点曰，作ＢＣ．Ｉ＿ＡＣ于点Ｃ，计算

锐角三角函数+投影

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