弹性力学-20

位移势函数（r,z）给出的应力分量：
2 2 2 1 r 2 , , z 2 , zr z z r r r r
（r,z）应为r、z 或 R 的零次幂的调和函数，
可取
（9-12）
A2 ln( R z )
位移分量为：
A2 r 1 , ur 2G r 2GR( R z )
—— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。
18
弹性力学问题的数值解法：
（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）
基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替； 将定解问题转变为求解线性方程组。
实质：将变量离散。—— 有限差分法； 典型软件：FLAC
R r z
2 2
3
式中：
问题的求解：
1 拉甫（Love）位移函数
(r , z )
的引入：
z r
方法： 因次（量纲）分析法 由应力分量式（9-14）：
2 2 r 2 z r 2 1 z r r 2 z ( 2 ) 2 2 z z 2 zr (1 ) 2 2 r z
布希涅斯克（Boussinsq, J. ）解
11
小结： （1）求解的方法步骤： （a）由因次分析法引入拉甫（Love）位移函数

；
（b）计算位移分量和应力分量，并考察边界条件的满足情况， 确定是否需要增设位移势函数（r,z） 。 （c）由因次分析法引入位移势函数（r,z）， 并计算相应的应力 与位移分量； （d）将两者的应力与位移分量叠加，由边界条件确定待定常数， 最后得解答； （2） Love位移函数 和位移势函数（r,z）的选取不是唯一的； 如可选取：
上表面
z r
z z 0 , r 0 0, zr z 0 , r 0 0,
(b) 任意水平面上 z 方向上应力的合力与力 P 平衡：


0
( 2 rdr ) z P 0,
—— 由应力边界条件转换来的 平衡条件。
(c) 无穷远处： —— 应力有限条件
r R 0, R 0, z R 0, zr R 0,
4
A1 R A1 r 2 z 2
2 计算位移分量和应力分量：
将：
A1 R A1 r 2 z 2
2
代入位移分量
表达式和应力分量表达式，有：
z
(r 2 z ) 1 2 2 A1 3 4 z 2 2(1 ) 2 w R R3 2G z 2G 2 2 (1 2 ) z 3r 2 z r 2 A1 5 R3 z r R 2 1 (1 2 ) z , A1 3 z r r R 2 (1 2 ) z 3 z 3 2 z ( 2 ) 2 A1 5 R3 z z R
4 选取轴对称问题的位移势函数（r,z） 位移势函数（r,z）选取原则：
使得：
z z 0 , r 0 0, zr z 0,r 0 A1 (1 2 2 ) 抵消 使得： zr z 0 , r 0与
r
—— 因次分析法。
z r
（r,z）选取方法：
（9-14）
r , , z , zr P , r , z ( R )
( N/m 2 )
( N ) (m )
而
r , , z , zr 与位移函数
为 3 阶偏导数关系， ∴位移函数 应为变量 r、z 或 R 的 正一次幂的重调和函数。 初设位移函数
为：
（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。 —— 位移法
（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。 —— 力 法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量， 得到 广义（约束）变分原理。 —— 混合法 求解方法： 里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。
A1 1 ur 2G rz 2G
rz
3 2 2
A1 rz 2G R 3
r
5
3 边界条件讨论：
（1）
r R 0, R 0, z R 0, zr R 0,
—— 满足
z r
（2）
z z 0 , r 0 0,
弹性力学
(第20讲)
武汉理工大学工程结构与力学系
翟鹏程
pczhai@126.com pczhai@whut.edu.cn
1
一、半空间体在边界上受法向集中力
2
问题的描述：
(1) 几何形状： 半无限体； (2) 载荷： 自由面上某一点作用一法向集中力P —— 空间轴对称问题 (3) 边界条件： (a)
AR z ln( z R )
2
（3） 水平边界上任一点的垂直位移：
w z 0
(1 ) P Er
(1 ) P z2 w 2(1 ) 2 2ER R
12
—— 所谓地表沉陷计算公式。
q=q(x,y)
q=q(x,y)
利用法向集中力作用的结果叠加求解。
ij 1 (ui , j u j ,i ) 2
（3）物理方程
ij 1 (1 ) ij kk ij E
（4）边界条件
求解特点：
（a） 归结为求解联立的 微分方程组； 17 （b） 难以求得解析解。
ij ni X j
应力边界条件
ui ui
位移边界条件
—— 满足
zr z 0,r 0
A1 (1 2 ) 0 2 r
—— 不满足
(1 2 ) z 3r 2 z r A1 5 R3 R (1 2 ) z A1 , 3 R (1 2 ) z 3 z 3 z A1 5 R3 R (1 2 ) r 3rz 2 zr A1 5 R3 6 R
1 A2 w 2G z 2GR
7
应力分量为：
z 1 A2 r A2 3 , , R(R z) R( R z) R A2 z A2 r z 3 , zr 3 （h） R R
就结果（h），对边界条件考察，显然有
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z r
r R 0, R 0, z R 0, zr R 0, —— 满足 z z 0 , r 0 0, —— 满足 zr z 0,r 0 A22 0 —— 不满足 （2）
（1）
应力分量：
P (1 2 ) R 3r 2 z r 3 , 2 2R R z R
(1 2 ) P z R , 2 2R R R z
3 Pz 3 , z 2R 5
3 Prz 2 zr rz 2R 5
弹性力学问题的微分提法及其解法
从研究微小单元体入手，考察其平衡、 变形、材料性质，建立基本方程。
求解方法：
（1）按位移求解
（1）平衡微分方程
ij ,i X j 0
定 解 问 题
（2）几何方程
基本方程： （a）以位移为基本未知量 的平衡微分方程; （b）边界条件。 （2）按应力求解 基本方程： （a）平衡微分方程； （b） 相容方程； （c） 边界条件。
r
将Love位移函数解与位移势函数补充解叠加，使其满足边界条件求出待定常数。 总位移：
A1 rz A2 r A1 3 4 z 2 A2 ur , w 3 R R 3 2GR 2G R 2G 2GR( R z )
8
总应力：
1 (1 2 ) z 3r 2 z A z r A1 5 2 3 , R3 R(R z) R R A2 (1 2 ) z , A1 3 R( R z) R (1 2 ) z 3 z 3 A2 z z A1 5 3 , R3 R R
y a x2 ( y2 x2 ) , x a y (x y ) , z a ( x 2 y 2 ) , xy 2 a xy , yz zx 0
2 2 2




问该组应力分量是否可为某弹性力学问题的解？
15
16
13
位移函数法的应用
（a）半空间体边界上受法向集中力； —— 轴对称问题，用Love位移函数法求解。
（b）半空间体边界上受切向集中力；
—— 非轴对称问题，用 Galerkin 位移函数法求解。 （c）半空间体边界上受法向分布力；
—— 由半空间体边界上受法向集中力结果叠加求解。 （d）接触问题；
—— 由半空间体边界上受法向集中力结果叠加求解。
(1 2 ) r 3rz 2 A2 r zr A1 5 3 R3 R R 由边界条件： zr z 0 , r 0 0 ,
z r
(1 2 ) r A2 r A1 3 0 3 R R A1 (1 2 ) A2 0
A2 A1 (1 2 )
3z 3 z A2 (1 2 ) R 5
9
3z 3 z A2 (1 2 ) R 5
由平衡条件：


0
( 2 rdr ) z P 0,
z r
3 3z rdr P 0, 2A2 5 0 (1 2 )( r 2 z 2 ) 2 (1 2 ) P 求得： A P , A1 2 2 2
14
作
业
习题：9 - 3，9 – 5
补充题1
若应变分量为：
2
x axy , y ax y , z axy, yz az 2 by , zx ax 2 by 2 , xy 0,
2
式中：a、b为不等于零的常数。 试校核能否成为可能的应变状态。
补充题2 若应变分量为（不计算体力）：
已满足所有方程和边界条件，因而是正确的解答。
10
结果：
位移分量：
(1 ) P rz (1 2 ) r ur R 2 ( R z ) , 2ER (1 ) P z2 w 2(1 ) 2 2ER R
z r
弹性力学问题的变分提法及其解法
直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程， 将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。
基本思想： 在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；
将定解问题转变为求解线性方程组。 弹性力学中的变分原理 —— 能量原理 （变分解法也称能量法）