2008届广州市高三数学单元测试题(1)集合与函数A组

2007学年高三数学单元测试试题（1）集合与函数（A ）命题人：广州市16中 吴平生一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．满足}5,4,3,2,1{}3,2,1{=A 的集合A 的个数是A ．1B ．4C ．7D ．82．设P 和Q 是两个集合，定义集合},{Q x P x x Q P ∉∈=-且，如果}1log {3<=x x P ，}2{<=x x Q ，那么Q P -等于A ．}32{<<x xB ．}322{<<-<x x x 或C ．}32{<≤x xD ．}322{<≤-≤x x x 或 3．0≠+y x 等价于A ．00≠≠y x 或B ．00≠≠y x 且C ．00==y x 或D ．00==y x 且4．给定下列四个命题：（1）“若bc ac =，则b a =”的逆命题；（2）“若b a =，则22b a =”的否命题；（3）“若0=ab ，则0=a ”的逆否命题；（4）“11,2>+∈∀x R x ”的否定.其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．R x x y ∈-=,B ．R x y x ∈=,2C ．R x x y ∈=,3D ．sin ,y x x R =∈ 6．函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是 A ．)1,1(eB ．（1，2）C ．),2(eD ．),(+∞e 7．已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数)4(+=x f y 为偶函数，则 A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 8．对于函数)(x f 定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：①f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)；③1212()()f x f x x x --<0；④1212()()()22x x f x f x f ++<.当)(x f =x2时，上述结论中正确结论的序号是A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④9．设a b c ，，均为正数，且a a5log )31(=，b b51log )31(=，c c 51log 3=，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 10．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则方程0)(=x f 在区间（0，8）内解的个数的最小值是A ．2B ．5C ．7D ．10二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，满分20分． 11．集合}24,{Z xN x x A ∈-∈=且用列举法可表示为A=12．若函数12)(22-=+-aax xx f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是13．已知])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)()]([22x f x f y +=的最大值是14．某商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：某人在此商场购物获得的折扣金额为35元，则他购物实际所付金额为 元三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 15．（本小题满分12分）已知集合}12,1{},52{-≤+≥=≤≤-=m x m x x B x x A 且，且A B A = ，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分12分）已知函数)1,0(142)(≠>---=a a a a x f x x ，求函数)(x f 的定义域与值域.17．（本小题满分14分）已知函数xax x f +=2)(（0≠x ，常数R a ∈）. （1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),1[+∞∈x 上是增函数，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分14分）某地西红杮从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红杮种植成本Q （单位：元kg 210/）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红杮种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：t a Q b a Q c bt at Q b at Q b t log ,,,2⋅=⋅=++=+=．（2）利用你选用的函数，求西红杮种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．19．（本小题满分14分）已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f a b b ax x x f ，且方程01)(=+x f 有实根.（1）求证：13-≤<-b 且0≥a ；（2）若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负，并说明理由.20．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠. （1）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立.2007学年高三数学单元测试试题（1）集合与函数（A ）参考答案分．二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算． 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．{0,1,3,4,6} 12．[0，1] 13．13 14．915三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．解：∵A B A = ，∴A B ⊆.若∅=B ，则2121<⇒->+m m m ，满足A B ⊆；若∅≠B ，则3233251221121≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+m m m m m m m m . 综上，m 的取值范围是2<m 或32≤≤m ，即3≤m .16．解：由04≥-x a ，得4≤xa .当1>a 时，4log a x ≤；当10<<a 时，4log a x ≥.∴当1>a 时，定义域为]4log ,(a -∞；当10<<a 时，定义域为),4[log +∞a . 令t a x =-4，则4)1(12422++-=---=t t t y . ∵20<≤t ，∴35≤<-y ，∴值域为]3,5(-.17．解：（1）当0=a 时，)0()(2≠=x x x f ，∵)()(x f x f =-，∴)(x f 是偶函数； 当0≠a 时，)0,0()(2≠≠+=x a xax x f ，∵)0(1)1(,1)1(≠-=-+=a a f a f ， ∴)1()1(f f ≠-且)1()1(f f -≠-，∴)(x f 是非奇非偶函数.综上，当0=a 时，)(x f 是偶函数；当0≠a 时，)(x f 是非奇非偶函数.（2）∵x a x x f +=2)(在),1[+∞上是增函数，∴02)('2≥-=xax x f 在),1[+∞上恒成立，∴32x a ≤在),1[+∞上恒成立，∴)1(2)2(min 3≥=≤x x a .∵当2=a 时，xax x f +=2)(在),1[+∞上是增函数. ∴实数a 的取值范围]2,(-∞.18．解：（1）由提供的数据知道，描述西红杮种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数t a Q b a Q b at Q b t log ,,⋅=⋅=+=中的任意一个进行描述时都应有0≠a ，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，所以选取二次函数c bt at Q ++=2进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入c bt at Q ++=2，得到⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=．c b a c b a c b a 25062500150,11012100108,502500150解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==．2225,23,2001c b a所以描述西红杮种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为22252320012+-=t t Q ． （2）当1502001223=⨯--=t 天时，西红杮种植成本最低为10022251502315020012=+⨯-⨯=Q （元kg 210/）． 答：西红杮种植成本最低时的上市天数为150天，最低种植成本为100元kg 210/.19．解：（1）∵021)1(=++=b a f ，∴12--=a b .∵方程0121)(2=+++=+b ax x x f 有实根，∴0)1(442≥+-=∆b a . ∴0842≥+a a ，∴02≥-≤a a 或.∵112<--=a b ，∴1->a ，∴2-≤a 应舍去.∴0≥a .∵10<≤a 且21+-=b a ，∴1210<+-≤b ，∴13-≤<-b . （2）∵1是方程022=++b ax x 的一根，∴b x =⋅21， ∴方程022=++b ax x 的另一根为b ，∴0)(=b f . ∴当1<<x b 时，0)(<x f ；当1><x b x 或时，0)(>x f . ∵01)(=+m f ，∴01)(<-=m f ，∴1<<m b . ∴b m <-<-34，∴0)4(>-m f .20．解：（1）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，， 121)21(212212)(22+-++=+++=++='x b x x b x x x b x x f ∵21,1>->b x ，∴0)(>'x f∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增. （2）设32)1ln()(x x x x F +-+=，则1)1(33211)('222+-+=+-+=x x x x x x x F ∵当0≥x 时，0)('>x F ，∴)(x F 在[0，+∞）上单调递增，又0)0(=F ，∴当0>x 时，0)0()(=>F x F ，∴0)1ln(32>+-+x x x ，即32)1ln(x x x ->+.因此对任意正整数n ，取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭. ∴不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭对任意的正整数n 都成立.。