2.3.1直线与平面垂直的判定--优质课ppt课件
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
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直线与平面垂直的应用
直线与平面垂直在几何中的应用
确定点线关系
通过直线与平面垂直的判定，可 以确定点是否在直线上或直线外，
进一步确定点线关系。
证明定理
利用直线与平面垂直的性质，可以 证明一些几何定理，如三垂线定理 等。
解决几何问题
直线与平面垂直的应用可以帮助解 决一些几何问题，如计算角度、长 度等。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
线面垂直判定定理ppt课件
则另一条也与这个平面垂直. 线面垂直→线线垂直
18
瀛海学校
杨宇
19
2.斜线
一条直线和一个平面相交，
A
斜线段 但不和这个平面垂直，这条直线
叫做这个平面的斜线，斜线和平
B
C
面的交点叫做斜足。
斜线上一点与斜足间的线段
叫做这点到这个平面的斜线段。
AC在的
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的
①线面垂直 ②线影垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直 24
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明:
P PA⊥平面ABC
AC是PC在平面ABC上的射影
符号语言:
l
若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，
m，n，则l⊥.
m
B
n
12
练习 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有
；
与直线AA'垂直的平面有
18
瀛海学校
杨宇
19
2.斜线
一条直线和一个平面相交，
A
斜线段 但不和这个平面垂直，这条直线
叫做这个平面的斜线，斜线和平
B
C
面的交点叫做斜足。
斜线上一点与斜足间的线段
叫做这点到这个平面的斜线段。
AC在的
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的
①线面垂直 ②线影垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直 24
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明:
P PA⊥平面ABC
AC是PC在平面ABC上的射影
符号语言:
l
若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，
m，n，则l⊥.
m
B
n
12
练习 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有
；
与直线AA'垂直的平面有
直线与平面垂直的判定优质课ppt课件
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
C1 B1
D A
C
B
31
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）
.
新疆 王新敞
奎屯
.
4
引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
5
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
所以 PO⊥OA，PO⊥OB
又OA∩OB＝O
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。
14
例题示范,巩固新知
例2、如图，已知a∥b，a⊥α。 求证：b⊥α。
ab
分析：在平面内作两条相交直线，
由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么24 ?
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
C1 B1
D A
C
B
31
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）
.
新疆 王新敞
奎屯
.
4
引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
5
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
所以 PO⊥OA，PO⊥OB
又OA∩OB＝O
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。
14
例题示范,巩固新知
例2、如图，已知a∥b，a⊥α。 求证：b⊥α。
ab
分析：在平面内作两条相交直线，
由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么24 ?
2.3.1直线与平面垂直的判定(典型课件)
A．有且只有一个 C．有无数多个 B．可能存在也可能不存在 D．—定不存在
(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且 PA⊥平面ABCD，则在△PAB、 △PBC、△PCD、△PAD、 △PAC及△PBD中， 5 个 为直角三角形有______
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定 （1）利用定义；垂直与平面内任意一条直线 （2）利用判定定理． 线线垂直 线面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子 有何位置关系. A 1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
PB⊥AC， 求证：PC⊥AB.
P
A
C B
思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面 垂直的定义得出线线垂直． 证明：过 P 作 PH⊥平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH 和 CH. ∵PA ⊥BC, PH⊥BC，PA ∩PH＝P， ∴BC⊥平面 PAH. 又 AH⊂平面 PAH ，∴BC⊥AH. 同理 AC⊥BH，即 H 为△ABC 的垂心， ∴AB⊥CH. ∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面 PCH. ∵PC⊂平面 PCH，∴PC⊥AB. 点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在 解(证)题中的作用．
(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且 PA⊥平面ABCD，则在△PAB、 △PBC、△PCD、△PAD、 △PAC及△PBD中， 5 个 为直角三角形有______
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定 （1）利用定义；垂直与平面内任意一条直线 （2）利用判定定理． 线线垂直 线面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子 有何位置关系. A 1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
PB⊥AC， 求证：PC⊥AB.
P
A
C B
思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面 垂直的定义得出线线垂直． 证明：过 P 作 PH⊥平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH 和 CH. ∵PA ⊥BC, PH⊥BC，PA ∩PH＝P， ∴BC⊥平面 PAH. 又 AH⊂平面 PAH ，∴BC⊥AH. 同理 AC⊥BH，即 H 为△ABC 的垂心， ∴AB⊥CH. ∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面 PCH. ∵PC⊂平面 PCH，∴PC⊥AB. 点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在 解(证)题中的作用．
直线与平面垂直的判定PPT教学课件
A
EO
B
C
课堂小结
直线和平面所成的角.
课后作业
1. 复习本节课内容，理清脉络； 2. 《学案》P.52双基训练.
故 乡人 汪曾祺
人都有恋土恋乡的情结。“日暮途 且远，游子悲故乡”，淋漓地表述了思 乡的情怀；叱咤风云的曹操，在《却东 西门行》诗中云：“狐死归首丘，故乡 安可忘。” 无穷的乡思，绵长不断。
勤劳、正直 知足、善良
在清贫风雅中
钓 生活习性
鱼 的 医
家居摆设 为乡人看病
生 写两件傻事
自得其乐，急
人淡如菊 公好义，淡于
医术高超
世故，不为浮 名所累，淡泊
医德高尚 风雅，求得世
俗中的豁达。
汪曾祺简介:（192O～1997），现、 当代作家。江苏高邮人。1939年考 入昆明西南联合大学中文系，深受 教写作课的沈从文的影响。1940年 开始发表小说。1943年大学毕业后 在昆明、上海任中学国文教员和历 史博物馆职员。1946年起在《文学 杂志》《文艺复兴》和《文艺春秋》 上发表《戴车匠》《复仇》《绿猫》 《鸡鸭名家》等短篇小说，引起文 坛注目。1950年后在北京文联、中 国民间文学研究会工作，编辑《北 京文艺》和《民间文学》等刊物。 1962年调入北京京剧团（后改北京 京剧院）任编剧。
容轻率的指点、批评。
• 川流不息：（行人、车马等） 像水流一样连 续不断。
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
D．①②③
2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围
是( B )
A．0°＜θ＜90°
B．0°≤θ≤90°
C．0°≤θ＜90°
D．0°≤θ≤180°
【解析】由线面角的定义知B正确．
3．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝ 2，BC＝AA1＝1， 则 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角的大小为____6____．
垂直的棱柱称为直棱柱），底面四边形ABCD满足什么条
件时，AC ⊥ BD?
A
D
B
AC BD
C
A
D
B
C
线面所成的角 关键：过斜线上一点作平面的垂线
斜线
斜足
A α
P
线面所成角 （锐角∠PAO）
O
射影
【提升总结】
l
一条直线垂直于平 面，它们所成的角 是直角.
一条直线在平面内，或与平 面平行，它们所成的角是 0°的角.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
直线与平面垂直得判定演示课件.ppt
修与家具、家电配套的投资比例应该在1:1或1:2之间。 ； https://www.yidianz.com/ 武汉装修公司 lgh91neh 其实这些分配比例都只是相对的 ，当今装修行业并没有一个统一、确定的标准。由于职业、个性、喜好等不同，因此消费者 对装修投资的分配比例也不可能相同。但是，消费者依然可以把大家比较认可的比例，作为预计装修投资，控制装修 总支出
的一个计算依据。
么重要的场合，不习惯也必须要习惯。待主仆三人急匆匆地收拾妥当出了院门，全都直接傻眼了！院外三条路，哪壹条路是通 向福晋的院子？另外，爷还回不回来这里？是自己单独过去，还是等爷回来壹起去福晋那里？本来就心急火撩地，又有这么壹 堆的问题，三个人顿时觉得叫天天不应，叫地地不灵。正在焦急之际，冰凝只听身后壹个声音响起：“侧福晋吉祥！”三个人 回头壹看，只见壹个太监模样的男子，正单腿跪地，俯首叩安呢。冰凝壹阵诧异，搞不清这个太监是从哪里来的，只好强压下 慌乱的心情，故装镇静地答道：“公公请起，您……”“回禀侧福晋，奴才是您的院子－－怡然居的总管事，奴才名叫方小柱， 主子们壹般管奴才就叫小柱子。”“噢，是方公公。”“侧福晋客气了。本来是正要给您去请安的，可是见您这么急着出门， 怕是有什么事情需要奴才伺候，这就赶快追出来了。”“噢，是啊，我们这是要给福晋去敬茶，不知道福晋的院子在哪里，另 外，是不是要等爷回来？”冰凝的说话声音越来越小，到最后，“是不是要等爷回来”这几个字几乎要听不到了。小柱子确实 是要给新来的侧福晋请安，却见三个人着急忙慌地从他面前走过，根本就没有注意到他。他当时就猜测，估计她们三个人这是 要给福晋去敬茶，果不其然，还真就是这么回事儿。看着眼前这个年龄还没有自己大的小主子，而且爷过来的时候可是都后半 夜了，早晨又壹个人先走了，明摆着这又是壹个不得宠的侧福晋。想到这里，他不由自主地就动了恻隐之心，于是上前壹步说 道：“福晋在霞光苑，奴才这就带侧福晋过去，另外，爷如果回了朗吟阁的话，应该是直接去福晋那里了。还有，恕奴才多嘴， 您带壹个丫环过去就可以。”“多谢方公公提点，冰凝感激不尽。”“侧福晋您千万不要这么客气，时间不早了，咱们还是赶 快先走吧。”“那好，就由吟雪跟我同去，月影你先回去收拾收拾屋子。”第壹卷 第六十五章 敬茶 望着门口出现的年妹妹， 众人都全都惊呆了，宋格格甚至情不自禁地脱口而出：“太美了！”冰凝确实是太美了，美得就像是从画卷上走下来，而不应 该在凡尘中，活生生地出现在众人的眼前。大家也就明白了，为什么王爷巴巴地向皇上讨来做了第壹侧福晋。那种美，如同出 污泥而不染的荷花，是不容亵渎脱俗之美；如同雪域天山上的雪莲，是不染尘埃的圣洁之美。就连这府中最美的李淑清，也不 得不暗自感慨，如果自己是百里挑壹，这年氏绝对就是万里挑壹了。在这里，只有嫡福晋的位份比冰凝大，因此，她只需向雅 思琦敬茶即可。敬茶的规矩，冰凝早就烂熟于心，全套程序做下来，有板有眼，丝毫不差，却是把王爷小小地震惊了壹下。他
的一个计算依据。
么重要的场合，不习惯也必须要习惯。待主仆三人急匆匆地收拾妥当出了院门，全都直接傻眼了！院外三条路，哪壹条路是通 向福晋的院子？另外，爷还回不回来这里？是自己单独过去，还是等爷回来壹起去福晋那里？本来就心急火撩地，又有这么壹 堆的问题，三个人顿时觉得叫天天不应，叫地地不灵。正在焦急之际，冰凝只听身后壹个声音响起：“侧福晋吉祥！”三个人 回头壹看，只见壹个太监模样的男子，正单腿跪地，俯首叩安呢。冰凝壹阵诧异，搞不清这个太监是从哪里来的，只好强压下 慌乱的心情，故装镇静地答道：“公公请起，您……”“回禀侧福晋，奴才是您的院子－－怡然居的总管事，奴才名叫方小柱， 主子们壹般管奴才就叫小柱子。”“噢，是方公公。”“侧福晋客气了。本来是正要给您去请安的，可是见您这么急着出门， 怕是有什么事情需要奴才伺候，这就赶快追出来了。”“噢，是啊，我们这是要给福晋去敬茶，不知道福晋的院子在哪里，另 外，是不是要等爷回来？”冰凝的说话声音越来越小，到最后，“是不是要等爷回来”这几个字几乎要听不到了。小柱子确实 是要给新来的侧福晋请安，却见三个人着急忙慌地从他面前走过，根本就没有注意到他。他当时就猜测，估计她们三个人这是 要给福晋去敬茶，果不其然，还真就是这么回事儿。看着眼前这个年龄还没有自己大的小主子，而且爷过来的时候可是都后半 夜了，早晨又壹个人先走了，明摆着这又是壹个不得宠的侧福晋。想到这里，他不由自主地就动了恻隐之心，于是上前壹步说 道：“福晋在霞光苑，奴才这就带侧福晋过去，另外，爷如果回了朗吟阁的话，应该是直接去福晋那里了。还有，恕奴才多嘴， 您带壹个丫环过去就可以。”“多谢方公公提点，冰凝感激不尽。”“侧福晋您千万不要这么客气，时间不早了，咱们还是赶 快先走吧。”“那好，就由吟雪跟我同去，月影你先回去收拾收拾屋子。”第壹卷 第六十五章 敬茶 望着门口出现的年妹妹， 众人都全都惊呆了，宋格格甚至情不自禁地脱口而出：“太美了！”冰凝确实是太美了，美得就像是从画卷上走下来，而不应 该在凡尘中，活生生地出现在众人的眼前。大家也就明白了，为什么王爷巴巴地向皇上讨来做了第壹侧福晋。那种美，如同出 污泥而不染的荷花，是不容亵渎脱俗之美；如同雪域天山上的雪莲，是不染尘埃的圣洁之美。就连这府中最美的李淑清，也不 得不暗自感慨，如果自己是百里挑壹，这年氏绝对就是万里挑壹了。在这里，只有嫡福晋的位份比冰凝大，因此，她只需向雅 思琦敬茶即可。敬茶的规矩，冰凝早就烂熟于心，全套程序做下来，有板有眼，丝毫不差，却是把王爷小小地震惊了壹下。他
直线与平面垂直的判定定理 ppt课件
C
平面垂直？
A
D
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与
桌面所在平面 垂直．
2.直线与平面垂直的判定定理
(1)定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
注2：①该定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词
语.不能用“两条直线”，“无数条直线”替换.即
当平面内m，n平行的时候，这并不能判定l垂直于α.
探究
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
活动：请同学们准备一块三角形
的纸片，我们一起来做如图所示
的试验：过△ABC的顶点A翻折
纸片，得到折痕AD，将翻折后的
纸片竖起放置在桌面上（BD、
DC与桌面接触）.
问:折痕AD与桌面垂直吗？如何
翻折才能保证折痕AD与桌面所在
②该定义作用：“线面垂直线线平行”，这是判断两条直线
垂直时经常使用的一种方法，即a ,b a b
辨析
探究
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
1.能不能像判定直线与平面平行那样，利用直线与平 面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直呢？
l
l
C
m
B
n
2.一条直线不行，那么又能不能像判断平面与平面平 行那样，利用直线l与平面内两条直线m，n都垂直来判 定直线与平面垂直呢？
直线与平面垂直的判定公开课ppt课件
C
B
C F B
24
2.已知 PA 平面 ABC，AB是⊙O 的直径，C
是⊙O 上的任一点，求证：PC BC
思考：图中有几个直 角三角形?由此你认 为三棱锥中最多有几
个直角三角形？
25
3: 已知 l ，PA 于 A，PB 于 B
AQ l 于点 Q ，求证：BQ l．
A
（2）求证：OA⊥BC
证明(1) OA、OB、OC 两两垂直， O OA OB，OA OC B
又 OB OC O
OA 平面OBC
(2) OA 平面OBC
C
BC 平面OBC
OA BC
19
变式训练：一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长
10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地
5
思考：如何定义一条直线 与一个平面垂直？
A
B C
6
A
B C
7
A
B C
8
A
B C
9
α 内经过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内不过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A
B
α
B1
C1
C
10
直线与平面垂直的定义：
文字表示：
如果一条直线l与平面 内的任意一条直线都垂直，
2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(36张)
[跟进训练] 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，M 是圆周 上任意一点，AN⊥PM，垂足为 N.
求证：AN⊥平面 PBM.
[证明] 设圆 O 所在的平面为 α， ∵PA⊥α，且 BM⊂α， ∴PA⊥BM. 又∵AB 为⊙O 的直径，点 M 为圆周上一点， ∴AM⊥BM. 由于直线 PA∩AM＝A， ∴BM⊥平面 PAM，而 AN⊂平面 PAM， ∴BM⊥AN. ∴AN 与 PM、BM 两条相交直线互相垂直． 故 AN⊥平面 PBM.
AB＝2BO，所以 cos ∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选 A.]
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：A1C⊥平面 BC1D. [证明] 如图，连接 AC，
∴AC⊥BD， 又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A， AC，A1A⊂平面 A1AC，
∴BD⊥平面 A1AC， ∵A1C⊂平面 A1AC， ∴BD⊥A1C. 同理可证 BC1⊥A1C. 又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面 BC1D， ∴A1C⊥平面 BC1D.
1．直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
A [若 l∥m，l⊄α，m⊂α，则 l∥α，这与已知 l⊥α 矛盾．所以直
线 l 与 m 不可能平行．]
2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
直线与平面垂直的判定公开课优质ppt课件
求证：AC⊥平面D1DBB1 ;
D1
C1
A1 B1
D A
C B
总结反思
1. 什么是直线与平面垂直的定义 ？
2. 你学会了哪些判断直线与平面垂 直的方法？
3. 在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题
？
线线垂直
线面垂直
空间问题
平面问题
18
不渴望能够一跃千里， 只希望每天能够前进一步。
谢谢大家再见 ！
1.已知 ， 是⊙
内所有的直线都垂直。
（）
a
②如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那
么它与平面垂直。
（)
③
则 垂直。
（）
9
（2） 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中， 与直线AA'垂直的平面有 平面ABCD和平面A';B'C'D' 与平面ABCD垂直的直线有 AA',BB',CC'和DD' ；
D'
A' D
典例分析
如图，已知在三棱锥A-BOC中OA、OB、OC 两两垂直
1 求证：OA⊥平面OBC 2 求证：OA⊥BC
A
O B
15
变式探究1 如图A为△BCD所在平面外一点，AC=AD，
BC=BD，E为CD中点。
【课件】2.3.1 直线与平面垂直的判定
∴AD⊥平面 DCC1D1，D1C 平面 DCC1D1.
∴AD⊥D1C.
∵AD、DC1 平面 ADC1，且 AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面 ADC1.
又 AC1 平面 ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)解：连接 AD1、AE，如图 11(3).
(3) 设 AD1∩A1D=M, BD∩AE=N,连接 MN， ∵平面 AD1E∩平面 A1BD=MN， 要使 D1E∥平面 A1BD， 需使 MN∥D1E， 又 M 是 AD1 的中点， ∴N 是 AE 的中点. 又易知△ ABN≌△EDN， ∴AB=DE, 即 E 是 DC 的中点. 综上所述，当 E 是 DC 的中点时，可使 D1E∥平面 A1BD.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
[反思小结，观点提炼] 请同学们总结下本节课所学习内容：
知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直 问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题 转化为平面问题.
∴AD⊥D1C.
∵AD、DC1 平面 ADC1，且 AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面 ADC1.
又 AC1 平面 ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)解：连接 AD1、AE，如图 11(3).
(3) 设 AD1∩A1D=M, BD∩AE=N,连接 MN， ∵平面 AD1E∩平面 A1BD=MN， 要使 D1E∥平面 A1BD， 需使 MN∥D1E， 又 M 是 AD1 的中点， ∴N 是 AE 的中点. 又易知△ ABN≌△EDN， ∴AB=DE, 即 E 是 DC 的中点. 综上所述，当 E 是 DC 的中点时，可使 D1E∥平面 A1BD.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
[反思小结，观点提炼] 请同学们总结下本节课所学习内容：
知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直 问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题 转化为平面问题.
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（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）
.
新疆 王新敞
奎屯
.
4
引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
5
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
23
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角规。定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
角是直角；一条直线和平面平行,或在
平面内,我们说它所成的角是00的角。
利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.
11
探究
提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢？
师生活动：请同学们准备一
块三角形的纸片，我们一起
来做如图所示的试验：过
△ABC的顶点A翻折纸片，
得到折痕AD，将翻折后的
A
A
纸片竖起放置在桌面上
绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的
两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两
点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为什
么？
解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝
PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不
共线
因此A，O，B三点确定平面α，
因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2，
在阳光下观察直立于地面的
旗杆及它在地面的影子，随
着时间的变化，尽管影子的
位置在移动，但是旗杆所在
的直线始终与影子所在的直
线垂直（如图），事实上， C
旗杆AB所在直线与地面内 C1
任意一条不过点B的直线也
B
是垂直的。
α
B1
9
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.
记作：l ⊥α
l 叫做α的垂线, α叫做l 的垂面,
l 与α的唯一公共点P叫做垂足。 l
画直线与平面垂直时，通 常把直线画成与表示平面
α
的平行四边形的一边垂直。
P
10
三点说明: ①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.
1).若PA PB PC, C 900,则O是AB边的__点.
2).若PA PB PC,则O是ABC的 _____心.
3).若PA PB, PB PC, PC PA,则O是ABC
的 _____心.
P
A
C
B 18
归纳小结
今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义， 这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较 多的则是，如果直线l垂直于平面，那么l就垂 直于内的任何一条直线；对于判定定理，判定 线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不 难发现立体几何问题解决的一般思路
2.3.1《直线与平面 垂直的判定》
1
学习目的
• 1.理解直线与平面垂直的定义； • 2.掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其
应用； • 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问
题. • 学习重点：直线与平面垂直的判定定理内
容及其应用. • 学习难点：直线与平面垂直的判定定理内
容及论证过程
2
3
复习引入： 1.直线和平面的位置关系是什么?
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么24 ?
例题示范,巩固新知
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面
D1
BCC1B1和平面A1B1CD内的射 A1
所以 PO⊥OA，PO⊥OB
又OA∩OB＝O
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。
14
例题示范,巩固新知
例2、如图，已知a∥b，a⊥α。 求证：b⊥α。
ab
分析：在平面内作两条相交直线，
由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
新疆 王新敞
奎屯
作业布置
P67页练习第1题,P74页B组2题
19
20
复习引入
1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我 们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
2．直线与平面垂直的判定定
理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。
V
3.作业讲评:P67页 练习第1题
（BD、DC与桌面接触），
问:折痕AD与桌面垂直吗？
B
D
如何翻折才能保证折痕AD
B
D
C
C
与桌面所在平面垂直？
12
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则这条直线垂直于这个平面.
m
n
mn P
wenku.baidu.com
l
l
m
α
l n 线线垂直
l
m
n
P
线面垂直
13
例题示范,巩固新知
例1、一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的
A
C
21
B
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
22
如图,若一条直线PA和一个 平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。
斜线 P A 斜足
6
观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
7
观察实例,发现新知 大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直 的形象。
8
实例研探,定义新知
探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面
垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎
样呢? 生活中线面垂直的实例: A
阅读P66页的证明过程.
15
探究
完成教材66页探究
16
巩固练习
1.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且
PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交
点O的连线PO垂直于AB、AD.
P
A
D
O
B
C
17
巩固练习
2.过ABC所在平面外一点P,作PO ,垂足
为O,连接PA, PB, PC.
.
新疆 王新敞
奎屯
.
4
引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
5
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
23
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角规。定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
角是直角；一条直线和平面平行,或在
平面内,我们说它所成的角是00的角。
利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.
11
探究
提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢？
师生活动：请同学们准备一
块三角形的纸片，我们一起
来做如图所示的试验：过
△ABC的顶点A翻折纸片，
得到折痕AD，将翻折后的
A
A
纸片竖起放置在桌面上
绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的
两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两
点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为什
么？
解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝
PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不
共线
因此A，O，B三点确定平面α，
因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2，
在阳光下观察直立于地面的
旗杆及它在地面的影子，随
着时间的变化，尽管影子的
位置在移动，但是旗杆所在
的直线始终与影子所在的直
线垂直（如图），事实上， C
旗杆AB所在直线与地面内 C1
任意一条不过点B的直线也
B
是垂直的。
α
B1
9
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.
记作：l ⊥α
l 叫做α的垂线, α叫做l 的垂面,
l 与α的唯一公共点P叫做垂足。 l
画直线与平面垂直时，通 常把直线画成与表示平面
α
的平行四边形的一边垂直。
P
10
三点说明: ①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.
1).若PA PB PC, C 900,则O是AB边的__点.
2).若PA PB PC,则O是ABC的 _____心.
3).若PA PB, PB PC, PC PA,则O是ABC
的 _____心.
P
A
C
B 18
归纳小结
今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义， 这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较 多的则是，如果直线l垂直于平面，那么l就垂 直于内的任何一条直线；对于判定定理，判定 线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不 难发现立体几何问题解决的一般思路
2.3.1《直线与平面 垂直的判定》
1
学习目的
• 1.理解直线与平面垂直的定义； • 2.掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其
应用； • 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问
题. • 学习重点：直线与平面垂直的判定定理内
容及其应用. • 学习难点：直线与平面垂直的判定定理内
容及论证过程
2
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复习引入： 1.直线和平面的位置关系是什么?
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么24 ?
例题示范,巩固新知
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面
D1
BCC1B1和平面A1B1CD内的射 A1
所以 PO⊥OA，PO⊥OB
又OA∩OB＝O
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。
14
例题示范,巩固新知
例2、如图，已知a∥b，a⊥α。 求证：b⊥α。
ab
分析：在平面内作两条相交直线，
由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
新疆 王新敞
奎屯
作业布置
P67页练习第1题,P74页B组2题
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20
复习引入
1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我 们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
2．直线与平面垂直的判定定
理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。
V
3.作业讲评:P67页 练习第1题
（BD、DC与桌面接触），
问:折痕AD与桌面垂直吗？
B
D
如何翻折才能保证折痕AD
B
D
C
C
与桌面所在平面垂直？
12
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则这条直线垂直于这个平面.
m
n
mn P
wenku.baidu.com
l
l
m
α
l n 线线垂直
l
m
n
P
线面垂直
13
例题示范,巩固新知
例1、一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的
A
C
21
B
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
22
如图,若一条直线PA和一个 平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。
斜线 P A 斜足
6
观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
7
观察实例,发现新知 大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直 的形象。
8
实例研探,定义新知
探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面
垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎
样呢? 生活中线面垂直的实例: A
阅读P66页的证明过程.
15
探究
完成教材66页探究
16
巩固练习
1.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且
PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交
点O的连线PO垂直于AB、AD.
P
A
D
O
B
C
17
巩固练习
2.过ABC所在平面外一点P,作PO ,垂足
为O,连接PA, PB, PC.