2.3.1直线与平面垂直的判定--优质课ppt课件
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
人教版数学1直线与平面垂直的判定 (共20张PPT)教育课件
l a
l b
a
l
b
abA
l
b
Aa
小结：
直线和平面所成的角
定义：平面的一条斜线与平面内这条斜线的射影 所成的锐角叫做直线和平面所成的角。
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事看 开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
直线和平面所成角的范围是[0，90]。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知∠C=90， AC=BC=1 ，PA⊥平面ABC，且PA= 2
求PB与平面PAC所成的角.
P
A
B
C
例题：课本66页 例2 练习：课本67页 练习
小结：
直线与平面垂直判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
2.3.1直线与平面垂直的判定
引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
直线垂直于平面内的任意一条直线．
A
B
C C
B B
如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这 条直线是否与这个平面垂直？
不一定
A
C C
B B
直线与平面垂直
定义：
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
有 些 人 经 常做 一些计 划，有 的计划 几乎不 去做或 者做了 坚持不 了多久 。其实 成功的 关键是 做很坚 持。上 帝没有 在我们 出生的 时候给 我们什 么额外 的装备 ，也许 你对未 来充满 迷惑， 也许你 觉得是 在雾里 看花， 但是只 要我们 不停的 去做， 去实践 ，总是 可以走 到一个 鲜花盛 开的地 方，也 许在那 个时候 ，你就 能感受 到什么 叫柳暗 花明。 走向成 功的过 程就好 像你的 起点是 南极， 而成功 路径的 重点在 北极。 那么无 论你往 哪个方 向走， 只要中 途的方 向不变 ，最终 都会到 达北极 ，那就 在于坚 持。
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
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C
A
B
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C
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A
B
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C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
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C
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C
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C
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B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直得判定演示课件.ppt
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
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二、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面
内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
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三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥
m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。
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l
B
m
n
α
精选课件
l
l
B
m
n
α
精选课件
l
B
m
n
α
精选课件
l
B
m
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α
精选课件
l
B
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精选课件
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A
AB=A’B
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n
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α
A’
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Байду номын сангаас l
A
AB=A’B
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E
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精选课件
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B
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精选课件
l
A
B
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2.3.1-直线与平面垂直的判定(共27张PPT)
第23页，共27页。
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
抓关键 促规范 应用线面垂直判定定理勿漏掉条件，证明要严密． CH⊥AB是由H为△ABC的垂心而得到的，证明过程中 要说明． 线面垂直则线线垂直，此处易漏掉说明线在面内这一 条件．
第24页，共27页。
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
新知初探思维启动
1．直线与平面垂直的有关概念
(1)定义：如果直线l与平面α内的_____任__意一条直线都_______,我
们垂就直说直线l与平面α互相垂直,记作_______.
l⊥α
(2)相关概念：若直线l与平面α垂直，其中直线l叫做平面α
的__垂__线___，平面α叫做直线l的_____垂__面．直线与平面垂直时，它们
第15页，共27页。
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
题型三 斜线与平面所成的角
例3 如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA ＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于______． 【解析】 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的 射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的 角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝ 45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°. 【答案】 45°
第16页，共27页。
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【名师点评】 寻找斜线在平面内的射影，是解决斜线和平 面所成角问题的关键．要找射影就要寻找过斜线上一点与平 面垂直的垂线．没有垂线的，还要在斜线上取点作平面的垂 线，垂足和斜足连线(有时也可以是两垂足)就是斜线在平面内
直线与平面垂直的判定公开课优质ppt课件
1
2
3
2.3.1直线与平面垂直的判定
学习目标
1. 掌握直线与平面垂直的定义． 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证 明直线与平面垂直．
合作探究
（1）旗杆所在的直线与影子
模拟旗杆在太阳的照射下影子的变（所化2在，）直旗探线杆究位l 直置与地关线系面是上什任么意？一
与平面垂直时，该直线与此平面内直条线不的过关旗系杆底部B的直线B1C1
的位置关系又是什么？
B
B1
C
C1
探究结论
⊥ α 内任意一条直线
B
B1
C
C1
直线与平面垂直的定义：
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α。
平面 的
l
垂线
直线l的 垂面
P
图形语言：
即学即练
（1）判断下列语句是否正确：（若不正确请举反
例）
b
①如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面
任一点，求证：
平面 是⊙ 的直径， 上的
思考：图中有几个直 角三角形?由此你认 为三棱锥中最多有几
个直角三角形？
20
内所有的直线都垂直。
（）
a
②如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那
么它与平面垂直。
（)
③
则 垂直。
（）
9
（2） 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中， 与直线AA'垂直的平面有 平面ABCD和平面A';B'C'D' 与平面ABCD垂直的直线有 AA',BB',CC'和DD' ；
2
3
2.3.1直线与平面垂直的判定
学习目标
1. 掌握直线与平面垂直的定义． 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证 明直线与平面垂直．
合作探究
（1）旗杆所在的直线与影子
模拟旗杆在太阳的照射下影子的变（所化2在，）直旗探线杆究位l 直置与地关线系面是上什任么意？一
与平面垂直时，该直线与此平面内直条线不的过关旗系杆底部B的直线B1C1
的位置关系又是什么？
B
B1
C
C1
探究结论
⊥ α 内任意一条直线
B
B1
C
C1
直线与平面垂直的定义：
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α。
平面 的
l
垂线
直线l的 垂面
P
图形语言：
即学即练
（1）判断下列语句是否正确：（若不正确请举反
例）
b
①如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面
任一点，求证：
平面 是⊙ 的直径， 上的
思考：图中有几个直 角三角形?由此你认 为三棱锥中最多有几
个直角三角形？
20
内所有的直线都垂直。
（）
a
②如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那
么它与平面垂直。
（)
③
则 垂直。
（）
9
（2） 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中， 与直线AA'垂直的平面有 平面ABCD和平面A';B'C'D' 与平面ABCD垂直的直线有 AA',BB',CC'和DD' ；
高中数学2.3.1直线与平面垂直的判定1优秀课件
思考： 〔1〕有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平 面a上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平 面a,你同意他的说法吗?
〔2〕折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论?
线面垂直判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么这条直线垂直于这个平面.
直接利用定义判断“线面垂直〞的最大障碍—— 一个平面内的所有直线，无法一一列举出来，需要寻 求转化
问题： 〔1〕如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直， 此直线是否和平面垂直？ 〔2〕如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直， 此直线是否和平面垂直？ 〔3〕如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直， 此直线是否和平面垂直？
问：日常生活中有哪些现象给人以直线与平面垂 直的感觉？
2.3.1 线面垂直的判定
1. 直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直，
那么直线l与平面 互相垂直，记作l⊥ . l叫平面 的垂线， 叫直线l的垂面.
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. l
P
思考：一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？ A
m ,n
mn P
l
l m ,l n
练 习：
1.判断以下说法是否正确: (1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直
线和这个平面垂直; ×
(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边;√
(3)过点P垂直于直线l的所有直线都在过点P垂直于l的平
面内;√
(4)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于
另两条直线所确定的平面.√
练 习：
2.类比平面几何中的命题:“经过一点,有且只有一条直线与 直线垂直.〞可以得出空间类似命题.
2.3.1直线与平面垂直的判定与性质 PPT课件 图文
V
A
C
B
六．课堂小结．
1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面.
直线与平面垂直的判定方法:
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
线面垂直⇒线线垂直
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
例2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:
(1)直线A’B和平面ABCD所成的角
(2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角
D’
C’
A’ B’ O
D A
C B
练习:P74
例3
【思路点拨】如图猜想，D1在C1的长中方点，体寻A求BDCE⊥D面－A1B1C1D1中， BCAE的A条1＝件．AD＝a，AB＝2a，在棱D1C1上是否存在 【点解E】，使若取得DD1EC1⊥的面中点BCEE，.
∵BC⊥CD，BC⊥CC1， ∴BC⊥面 CDD1C1. 又 DE⊂面 CDD1C1，∴DE⊥BC. 在△CDE 中，CD＝2a，CE＝DE＝ 2a， 则有 CD2＝CE2＋DE2， ∴∠DEC＝90°.∴DE⊥EC. 又 BC∩EC＝C，BC⊂平面 BCE，EC⊂平面 BCE， ∴DE⊥平面 BCE.
三、实际应用，巩固深化
例1：有一根旗杆AB高8米，它的顶端A挂有一条长10
米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点
（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点 都和旗杆脚B的距离是6米，那么旗杆就和地面升起垂
直，为什么？
A
课堂练习：已知三角形ABC，
直线l ⊥AB，l ⊥AC，求证l
⊥BC。
O
BA
A
C
B
六．课堂小结．
1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面.
直线与平面垂直的判定方法:
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
线面垂直⇒线线垂直
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
例2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:
(1)直线A’B和平面ABCD所成的角
(2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角
D’
C’
A’ B’ O
D A
C B
练习:P74
例3
【思路点拨】如图猜想，D1在C1的长中方点，体寻A求BDCE⊥D面－A1B1C1D1中， BCAE的A条1＝件．AD＝a，AB＝2a，在棱D1C1上是否存在 【点解E】，使若取得DD1EC1⊥的面中点BCEE，.
∵BC⊥CD，BC⊥CC1， ∴BC⊥面 CDD1C1. 又 DE⊂面 CDD1C1，∴DE⊥BC. 在△CDE 中，CD＝2a，CE＝DE＝ 2a， 则有 CD2＝CE2＋DE2， ∴∠DEC＝90°.∴DE⊥EC. 又 BC∩EC＝C，BC⊂平面 BCE，EC⊂平面 BCE， ∴DE⊥平面 BCE.
三、实际应用，巩固深化
例1：有一根旗杆AB高8米，它的顶端A挂有一条长10
米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点
（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点 都和旗杆脚B的距离是6米，那么旗杆就和地面升起垂
直，为什么？
A
课堂练习：已知三角形ABC，
直线l ⊥AB，l ⊥AC，求证l
⊥BC。
O
BA
课件高中数学_人教版必修-直线与平面垂直的判定PPT课件_优秀版
直线与平面α平行 直线与平面α相交
a D、直线l垂直于平面α内的所有直线；
【性质】如果一条直线l垂直于平面α，则这条直线l垂直于平面α中的任意
a
如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC,PB=PD.
图形 a 【定义】如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相
3、应用直线与平面垂直的判定定理解决问题。
∴b⊥α。
∴DD’⊥平面ABCD，∴DD’ ⊥AC
大家一起来讨论（3min）
因为a⊥α，根据线面垂直的定义知：a⊥d，a⊥c
已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线。
求证：PO⊥平面ABCD
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
（2）BC⊥平面PAC
A
C’ B’
C B
学以致用
3.如图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，
C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于点E.
求证： AE⊥平面PBC.
P
A
EO
B
C
大家一起来讨论（3min）
• 如 图 ， 直 四 棱 柱 ABCD—A′B′C′D′ 中 ，
底 面 四 边 形 ABCD 满 足 什 么 条 件 时 ，
2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线。
求证：AC⊥BD′
证明：连接BD
∵正方体ABCD-A’B’C’D’
∴DD’⊥平面ABCD，∴DD’ ⊥AC ∵AC、BD 正方形ABCD的为对角线
D’
∴AC⊥BD
A’
∵DD’∩BD=D
∴AC⊥平面D’DB
∴BD平面D’DB,
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所以 PO⊥OA，PO⊥OB
又OA∩OB＝O
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。
14
例题示范,巩固新知
例2、如图，已知a∥b，a⊥α。 求证：b⊥α。
ab
分析：在平面内作两条相交直线，
由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
2.3.1《直线与平面 垂直的判定》
1
学习目的
• 1.理解直线与平面垂直的定义； • 2.掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其
应用； • 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问
题. • 学习重点：直线与平面垂直的判定定理内
容及其应用. • 学习难点：直线与平面垂直的判定定理内
容及论证过程
2
3
复习引入： 1.直线和平面的位置关系是什么?
（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）
.
新疆 王新敞
奎屯
.
4
引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
5
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
6
观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
7
观察实例,发现新知 大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直 的形象。
8
实例研探,定义新知
探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面
垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎
样呢? 生活中线面垂直的实例: A
（BD、DC与桌面接触），
问:折痕AD与桌面垂直吗？
B
D
如何翻折才能保证折痕AD
B
D
C
C
与桌面所在平面垂直？
12
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则这条直线垂直于这个平面.
m
n
mn P
l
l
m
α
l n 线线垂直
l
m
n
P
线面垂直
13
例题示范,巩固新知
例1、一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的
在阳光下观察直立于地面的
旗杆及它在地面的影子，随
着时间的变化，尽管影子的
位置在移动，但是旗杆所在
的直线始终与影子所在的直
线垂直（如图），事实上， C
旗杆AB所在直线与地面内 C1
任意一条不过点B的直线也
B
是垂直的。
α
B1
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直线与平面垂直的定义：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.
新疆 王新敞
奎屯
作业布置
P67页练习第1题,P74页B组2题
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复习引入
1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我 们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
2．直线与平面垂直的判定定
理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。
V
3.作业讲评:P67页 练习第1题
利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.
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探究
提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢？
师生活动：请同学们准备一
块三角形的纸片，我们一起
来做如图所示的试验：过
△ABC的顶点A翻折纸片，
得到折痕AD，将翻折后的
A
A
纸片竖起放置在桌面上
阅读P66页的证明过程.
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探究
完成教材66页探究
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巩固练习
1.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且
PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交
点O的连线PO垂直于AB、AD.
P
A
D
O
B
C
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巩固练习
2.过ABC所在平面外一点P,作PO ,垂足
为O,连接PA, PB, PC.
1).若PA PB PC, C 900,则O是AB边的__点.
2).若PA PB PC,则O是ABC的 _____心.
3).若PA PB, PB PC, PC PA,则O是ABC
的 _____心.
P
A
C
B 18
归纳小结
今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义， 这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较 多的则是，如果直线l垂直于平面，那么l就垂 直于内的任何一条直线；对于判定定理，判定 线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不 难发现立体几何问题解决的一般思路
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斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角规。定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
角是直角；一条直线和平面平行,或在
平面内,我们说它所成的角是00的角。
绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的
两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两
点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为什
么？
解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝
PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不
共线
因此A，O，B三点确定平面α，
因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2，
A
C
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B
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
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如图,若一条直线PA和一个 平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。
斜线 P A 斜足
记作：l ⊥α
l 叫做α的垂线, α叫做l 的垂面,
l 与α的唯一公共点P叫做垂足。 l
画直线与平面垂直时，通 常把直线画成与表示平面
α
的平行四边形的一边垂直。
P
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三点说明: ①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么24 ?
例题示范,巩固新知
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面
D1
BCC1B1和平面A1B1CD内的射 A1