广东省珠海市高中数学竞赛试题附详细答案

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高二数学竞赛试题及答案广东

高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。

令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。

在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。

2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。

试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。

2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。

答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。

2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。

当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。

广东省数学竞赛试题及答案

广东省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（无限循环）B. πC. √2D. 1/3答案：B、C2. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[-2, 2]上是单调递增的，则下列哪个选项是错误的？A. f(-1) < f(1)B. f(-2) < f(0)C. f(0) < f(2)D. f(1) < f(2)答案：A3. 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，若a3 + a7 = 20，a4 + a6 = 18，则该数列的首项a1等于多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 在一个圆中，弦AB的长度为10，弦AB所对的圆心角为60°，那么这个圆的半径是多少？A. 5√3B. 10C. 20D. 5答案：A5. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形答案：A6. 一个函数f(x) = kx + b，若f(1) = 4且f(2) = 7，求k和b的值。

A. k = 3, b = 1B. k = 2, b = 3C. k = 3, b = 3D. k = 4, b = -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个正六边形的内角和为________。

答案：720°2. 若一个二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的判别式Δ = 0，则该方程的根是________。

答案：x = -b/(2a)3. 一个圆的周长为2π，那么这个圆的面积是________。

答案：π4. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。

答案：486三、解答题（每题25分，共50分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边的长度。

解：根据勾股定理，斜边的长度为√(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10。

广东省珠海市高一数学竞赛试题

珠海市高中数学竞赛（高一卷）一、选择题（每题6分共36分）1. 如果集合{|,06}A x x N x =∈<≤，则A 的真子集有（）个（A ）31 （B ）32 （C ）63 （D ）64 2如果偶函数)(x f 在区间［1，4］上是增函数且最大值是3，那么)(x f 在区间［-4，-1］上是（A ）增函数且最大值为-5 （B ）增函数且最小值为-5（C ）减函数且最大值为-5 （D ）减函数且最小值为-53．函数y = ）（A）[2,2]-⋃ （B）[2,2]-⋃（C）( （D）[4．二次函数24=++y x ax 在(,1]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A .(,2]-∞-；B .[2,)+∞；C .(,2]-∞；D .(,1]-∞5．方程lg 0x x +=的一个实根存在的区间是（）（参考：lg20 1.3010,lg0.30.5229==-）（A ）11,113⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）11,10010⎛⎫ ⎪⎝⎭6. 设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如14321)123(222=++=f .记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝（）(A) (B) 4 (C) 42 (D) 145.二、填空题（每题6分共54分）7．已知2)1()1(xx x x f -=+，则=)(x f . 8.已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤>=0,210,1,log )(41x x x x x x f x 则=-))2((f f _______________.9. 已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2ln(1)xf x x =-+；则当0x <时，()f x =_____________________.10.已知35)31(5==b a ，则=+ba 11 . 11. 将函数)(x f 的图象C 1沿ｘ轴向右平移2个单位得到C 2，C 2关于ｙ轴对称的图象为C 3，若C 3对应的函数为x y 2=，则函数)(x f 的表达式为_______________.12. 如果方程05lg 3lg lg )5lg 3(lg lg 2=⋅+++x x 的两根是α和β，则βα⋅的值是_______________.13. 已知21=a ，222+=a ，2223++=a ，…，则与20a 最接近的正整数是_______________.14. 函数2(1)1x y x x =<-的值域是_______________. 15.对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥ba b b a a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是．三、解答题(共60分)16.（10分）解方程：43240x x +⋅-=．17.（15分）已知函数2()(0)f x x x x=+≠，求它的单调区间．18．（15分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。

广东高二高中数学竞赛测试带答案解析

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.A．B．C．D．2.若A．1B．1或C．D．1或3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．174.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．三、填空题1.已知 ;2.不等式的解集为3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F,求直线BC的方程.5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.A．B．C．D．【答案】 D【解析】略2.若A．1B．1或C．D．1或【答案】B【解析】略3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．17【答案】C【解析】略4.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．【答案】 D【解析】略6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负【答案】A【解析】略二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．【答案】C【解析】略三、填空题1.已知 ;【答案】【解析】略2.不等式的解集为【答案】（0,2）【解析】略3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)【答案】12【解析】略4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为【答案】【解析】略5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填【答案】【解析】略6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是【答案】②③④【解析】略四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.【答案】 y=2cos2x，的单调递增区间为【解析】∴又…………………………………………………7分(或由恒成立) ∴…………………………………………8分(2)由(1)得…………………………………10分令得的单调递增区间为…………………………………12分2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?【答案】0.024，，0.4，【解析】(1)由题意知,成绩分布在间的频率为0.9,3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.【答案】①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 "【解析】(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 " ………………………5分⑵由(1)知PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PADCD面PCD∴面PAD⊥面PCD ……………………9分⑶取PD中点F,连结EF;则EF在,PA=AD,PA AD∴AF⊥PD且又由(2)知面PAD⊥面PCD∴AF⊥面PCD∴∠AEF为AE与面PCD所成的角…………………………………12分在△AEF中, ∠AFE=900,,EF=1∴即AE与面PCD所成角的余弦值为…………………………………14分(3)由E为PC中点∴E由(2)知面PCD的一个法向量为设AE与面PCD所成角为即AE与面PCD所成角的余弦值为4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F, 求直线BC的方程.【答案】，2x+2y+5=0【解析】18、解:(1)设又由…………………………2分由①②消去t得点P的轨迹方程为:……………………………7分5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】见详解答案【解析】当,在上为增函数,此时, …………9分当,在上为减函数,在上为增函数;此时, …………11分当,在上为减函数,此时, ……13分综上,存在满足题意. …………………14分6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.【答案】，，4【解析】20、解:⑴由题意有:又由…………………………………4分⑶由(2)知故使原不等式成立的最小正整数为4. …………………………………14分。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。

广东高二高中数学竞赛测试带答案解析

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -46.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．48.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19二、填空题1.的定义域--__________2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.3.在中，,且,则的面积是_____4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值2.（本题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.3.（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.（1）求证：面；（2）求证：；4.（本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：万元，）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？5.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．6.（本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】,所以b=2,a=1,a+b=3.3.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条【答案】A【解析】若a>1,b>2,则a+b>3且ab>2.反之不成立.所以“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的充分而不必要条件.4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】,所以f(x)是周期为的偶函数.5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -4【答案】D【解析】因为,所以.6.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为,所以,当直线经过直线和直线的交点A（1,1）时，z取得最大值，最大值为3.8.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为成等比数列,所以.9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知抛物线的开口方向向左，并且p=2,所以应选A.10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】最短距离应为,长度为4+2+4+7=17.二、填空题1.的定义域--__________【答案】【解析】由,所以定义域为.2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.【答案】3700【解析】由题意知高三抽取了185-75-60=50.所以高中部共有学生.3.在中，,且,则的面积是_____【答案】6【解析】因为,所以,又因为，所以.4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.【答案】【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _【答案】【解析】曲线消参后得到普通方程为,由圆心（0，1）到直线3x+4y-7=0的距离,所以弦长.三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为. （Ⅱ）。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解：而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ，得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，，化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-，．解：因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是．解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为．解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

广东省高中数学竞赛试题及详解答案x

广东省高中数学竞赛试题及详解答案x广东省高中数学竞赛试题及详解答案一、选择题1. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3 ，则 f(-1) =（）。

A. 0B. 3C. 4D. 6解析：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 2(-1)^2 - 5(-1) + 3 = 2 + 5 + 3 = 10，选项 D 正确。

2. 若函数 f(x) = 3^x + 3^(x+1)，则 f(2x) =（）。

A. 6^(2x)B. 6^(4x)C. 6^(x+1)D. 6^(x+2)解析：将 x 替换为 2x，得到 f(2x) = 3^(2x) + 3^(2x+1) = 9^x + 27^x =（3^2）^x + （3^3）^x = 6^x + 27^x，选项 C 正确。

3. 设函数 f(x) 的解析式为 f(x) = ax^2 + 3bx + c ，且 f(1) = 4 ，f(-1) =2 ，则 f(3) =（）。

A. 22B. 26C. 38D. 58解析：根据题意可写出方程组：a + 3b +c = 4 （1）a - 3b +c = 2 （2）将（1）+（2）得到 2a + 2c = 6，即 a + c = 3。

再将（1）-（2）得到 6b = 2，即 b = 1/3。

将 a = 3 - c 和 b = 1/3 代入函数 f(x) 中，得 f(3) = a(3^2) + 3b(3) + c = (3 - c)(9) + 1 + c = 27 - 8c，代入 a + c = 3 得到 a = 3 - c。

将 a = 3 - c 代入 f(3) 中，得到 f(3) = 27 - 8c = 27 - 8(3 - a) = 27 - 24+ 8a = 8a + 3，代入 a + c = 3 得到 a = 3 - c。

由 a + c = 3 可得到 a = 2 ，代入 f(3) = 8a + 3 中得到 f(3) = 16 + 3 = 19，选项与解析结果不符，因此该题无解。

竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。

解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。

解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。

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全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题（考试时间：9 月4 日上午10： 00—11：二题号一合计123得分评卷人复核人注意事项：1. 本试卷共二大题，全卷满分12.用圆珠笔或钢笔作答。

3.解题书写不要超出装订线。

4.不能使用计算器。

一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共 64 分. 把答案填在横线上.1. 方程log x sin x 2 在区间 (0,] 上的实根个数为_________________.222.设数列8( 1 n)1的前 n 项和为 S n，则满足不等式 | S n 6 |1的最小整数 n 是3125_________________.3. 已知n（n N ， n 2 ）是常数，且x1， x2，， x n是区间 0,内任意实数，则函数2f (x1, x2 , , x n )sin x1 cos x2 sin x2 cos x3sin x n cos x1的最大值等于_________________.4.圆周上给定 10 个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.5. 一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.6.设O是平面上一个定点， A， B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足O P A CO AA B[0,) ，则点P的轨迹为_________________. |A C|，其中|A B|7. 对给定的整数m，符号(m)表示中使 m(m) 能被3整除的唯一值，那么1,2,3(2 2010 1)(2 20102)(2 20103)_________________.8.分别以直角三角形的两条直角边 a ，b和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为V a， V b， V c，则 V a2V b2与 (2V c )2的大小关系是_________________.二、解答题：本大题共 3 小题，共56 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分 16 分）是否存在实数 a ，使直线y ax 1 和双曲线 3x2y21相交于两点 A 、 B ，且以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（本小题满分求证：不存在这样的函数 f : Z1,2, 3 ，满足对任意的整数x ，y，若| x y | 2, 3,5 ，则f ( x) f ( y).3. （本小题满分设非负实数 a ，b， c 满足a b c1，求证：9abc ab bc ca 1(1 9abc) 4全国高中数学联赛广东省预赛参考答案一、填空题1. 设f ( x)log x sin x 2 ，则f ( x)1osc x ，∵0 x，∴ 0cos1x，又 0 nl 1 ，2x ln222∴ f ( x) 0，即在区间 (0,] 上单调递增，故方程log x sin x 2 在区间 (0,]上有且只有一个实根 .2221)n 118[1(1)n]1)n，于2. 易知数列8(是首项是 8，公比是的等比数列，∴S n3 6 6(331(13)3是 | S n 6 |1213n1250 ，∵ 35243 250，36729250 ，故最小整数 n 是7.1253n 1125a2b2，3. ∵ab2∴ f (x1, x2 ,, x n )sin x1 cos x2sin x2 cos x3sin x n cos x1sin 2x1cos2x2sin 2x2cos2x3sin 2x n cos2 x1 222(sin 2x1cos2x1 )(sin 2x2cos2x2 )(sin 2xncos2xn ) 2n，2n故所求函数的最大值等于.4.圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有 C10410987210 个交点. 12342n2( 1)n 5.3 2nACOA AB AB AC6. ∵OP，∴ OP OA() ，|AC||AB|| AB||AC|即AP ( AB AC)，又AB， AC为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点P 的轨| AB| | AC|| AB| |AC|迹为BAC 的平分线.7. 由二项式定理知，2201041005(31)1005 3 p1，即22010被3除余1，∴(2 20101) 3 ，(220102)1(2 20103) 2，故(2 20101)(2 20102)(2 20103)6.8. ∵V a2V b2( b2a)2( a2b) 22a2 b2 (a2b2 )2a2 b2 c2，9933(2V c ) 2(23h2 (a b )) 2 4 2( ab)4c2 4 2a4b4，9c9c2∴作商，有Va2V b2c4(a2b2 )2(2ab)2 1 ，故V a2V b2(2V c )2. (2V c ) 24a2b24a2b24a2 b2二、解答题1. 解：设交点A、B的坐标为A( x1, y1)、B(x2, y2)，由y ax1消去 y ，得3x2y21(3 a2 )x22ax 2 0，由韦达定理，得x1 x22a，①23a2x1x2，②3a2∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴OA OB，∴ x1x2y1 y20 ，即 x1x2(ax11)(ax21)0 ，整理，得 (a21)x1 x2a( x1x2 ) 10③将①②代入③，并化简得1a2，∴a 1 ，3a2经检验， a 1 确实满足题目条件，故存在实数 a 满足题目条件.2. 证明：假设存在这样的函数 f ，则对任意的整数n ，设 f (n) a ， f (n5) b ，其中a, b1,2,3 ，由条件知 a b .由于 | (n5)(n 2) | 3 ，| n( n2) | 2 ，∴ f (n 2)a且 f (n2) b ，即 f (n 2)是 1,2,3除去 a ，b后剩下的那个数，不妨设 f (n2)c又由于 | (n5)(n 3) | 2， | n (n 3) |3，∴ f (n3) f ( n 2) .以 n 1代替n ，得 f (n4) f (n3) f (n2) ，但这与 | (n 4)(n2)| 2矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数 f .3.证明：先证左边的不等式 .∵a b c 1，∴ ab bc ca (ab bc ca)( a b c) a2b ab 2b2c bc2a2c ac23abc6abc 3abc9abc再证右边的不等式.不妨设a b c，注意到条件a b c1，得1 4( ab bc ca)9abc (a b c)34(a b c)(ab bc ca) 9abc a(a b)(a c)b(b a)(b c)c(c a)(c b)(a b)[ a(a c)b(b c)]c(c a)(c b)0 ，所以 ab bc ca 19abc) ，(141综上，9abc ab bc ca(1 9abc) .4。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。

答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。

答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。

解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0，可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。

数学竞赛高中试题及答案

数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。

A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。

答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。

答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。

答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。

答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。

答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。

10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。

答案：证明略。

11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。

答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。

答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

答案：函数的最小值为0。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案试题（一）一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。

AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。

求BMN ∆外心O 的轨迹。

(12分)二、任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。

(12分)三、试证：对实数,,,0a b c d ≥，()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。

(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则称A 可逆。

(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。

试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。

(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆，试证：5A B +亦可逆。

试题（二）一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭，试求A 。

(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。

求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。

(5分)三、设a 和b 为实数，且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22a b +的最小可能值。

(6分)四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =，求(54)f 。

(5分)试题（一）解答一、【解】令G 为ABC ∆的外心。

因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补，P 在BMN ∆的外接圆上。

因120APC AGC ∠=∠=，A 、P 、G 、C 共圆，且30CPG CAG ∠=∠=。

珠海高中数学试题及答案

珠海高中数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：C2. 函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的导数是？A. 2B. 3C. 5D. 6答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于？A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 4}答案：B4. 等差数列的前三项为2, 5, 8，那么第四项是？A. 11B. 12C. 15D. 18答案：A5. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，那么向量a与向量b的点积为？A. 4B. 1C. -1D. 0答案：B二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知圆的方程为(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9，圆心坐标为______。

答案：(3, -2)7. 函数y = sin(x)在x = π/2处的值为______。

答案：18. 已知等比数列的前三项为3, 6, 12，那么公比q为______。

答案：29. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么三角形ABC是______。

答案：直角三角形三、解答题（每题10分，共60分）10. 解方程：3x^2 - 5x - 2 = 0。

答案：x = (5 ± √(5^2 - 4*3*(-2))) / (2*3)x = (5 ± √49) / 6x = (5 ± 7) / 6x1 = 2, x2 = -1/311. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。

答案：f'(x) = 3x^2 - 6x12. 已知数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + 2n，求数列的通项公式。

广东省高中竞赛试题及答案

广东省高中竞赛试题及答案广东省高中数学竞赛试题及答案试题一：题目：已知函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求该函数的极值点。

解答：首先，我们需要找到函数的导数 \( f'(x) \)。

对 \( f(x) \) 求导，得到：\[ f'(x) = 6x - 2 \]令 \( f'(x) = 0 \)，解得：\[ 6x - 2 = 0 \]\[ x = \frac{1}{3} \]接下来，我们需要确定这个点是极大值点还是极小值点。

由于\( f'(x) \) 在 \( x < \frac{1}{3} \) 时为负，在 \( x >\frac{1}{3} \) 时为正，所以 \( x = \frac{1}{3} \) 是函数的极小值点。

将 \( x = \frac{1}{3} \) 代入原函数，得到极小值：\[ f\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 -2\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = \frac{1}{3} \]试题二：题目：解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

解答：这是一个二次方程，我们可以使用因式分解的方法来解它。

方程可以分解为：\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]这意味着 \( x - 2 = 0 \) 或 \( x - 3 = 0 \)，所以解为：\[ x = 2 \quad \text{或} \quad x = 3 \]试题三：题目：在直角坐标系中，点 \( A(1, 2) \) 和点 \( B(4, 6) \)，求直线 \( AB \) 的方程。

解答：首先，我们需要找到直线 \( AB \) 的斜率 \( m \)。

斜率公式为：\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]\[ m = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} \]接下来，我们使用点斜式方程 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，将点\( A(1, 2) \) 代入：\[ y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1) \]将方程整理为一般形式：\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} + 2 \]\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} \]结束语：以上是广东省高中数学竞赛的三道试题及其解答。

珠海高二数学试题及答案

珠海高二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 若直线l的方程为y = 2x + 1，且与x轴交于点A，求点A的坐标。

A. (0, 1)B. (1, 2)C. (-1/2, 0)D. (1/2, 0)答案：C3. 计算复数z = 3 + 4i的模。

A. 5B. √7C. √29D. 7答案：A4. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (-2, 4)，求向量a与向量b的数量积。

A. -2B. 0C. 2D. 8答案：B5. 求函数y = sin(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

A. 0B. 1C. π/2D. π答案：B6. 若三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，判断三角形ABC的形状。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B7. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A8. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上单调递增，判断该函数在该区间的单调性。

A. 单调递减B. 单调递增C. 先减后增D. 先增后减答案：B9. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，求其渐近线方程。

A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±xD. y = ±√2x答案：A10. 计算二项式(1 + x)^5的展开式中含x^3项的系数。

A. 10B. 20C. 30D. 40答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第5项a5的值。

答案：1712. 求椭圆x^2/25 + y^2/9 = 1与直线y = 2x的交点个数。

珠海高中数学试题及答案

珠海高中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 椭圆答案：B2. 函数y=x^2+2x+1的对称轴是？A. x=-1B. x=1C. x=0D. x=2答案：A3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2+b^2=c^2，则该三角形是？A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定答案：A4. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于？A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4}答案：B5. 函数f(x)=2x+3的反函数是？A. f^(-1)(x)=(x-3)/2B. f^(-1)(x)=(x+3)/2C. f^(-1)(x)=2x-3D. f^(-1)(x)=2x+3答案：A6. 以下哪个数列是等差数列？A. 1, 2, 3, 4, 5B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 3, 6, 10, 15D. 1, 1, 1, 1, 1答案：B7. 圆的面积公式是？A. A=πr^2B. A=2πrC. A=πd^2D. A=dπ答案：A8. 已知直线l的方程为y=2x+1，点P(-1,3)在直线l上，则该直线的斜率是？A. 2B. -2C. 1D. -1答案：A9. 函数y=3sin(x)的周期是？A. 2π/3B. 3πC. 2πD. π答案：C10. 以下哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=x^3C. y=xD. y=1/x答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆的周长公式是______。

答案：C=2πr2. 函数f(x)=x^3-6x^2+9x+15的极值点是______。

答案：x=1, 33. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，则该数列的第10项a10是______。

答案：a10=234. 函数y=2x+1的值域是______。