第二章综合测试

一、选择题

1．某个与正整数有关的命题，能由n ＝k （k ∈N +）时命题成立，推得n ＝k 十1时命题成立，若已知n ＝5时命题不成立，则以下结论正确的是（ ）． （A ）n ＝6时，此命题不成立 （B ）n ≤6时，此命题不成立 （C ）n ≥6时，此命题不成立

（D ）如果n ＝6时命题成立，那么对于任意的n ≥6，此命题都成立

2．凸n 边形有f (n )条对角钱，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为（ ）． （A ）f (n )＋n ＋1 （B ）f (n )＋n （C ）f (n )＋n －1 （D ）f (n )＋n －2

3．若lim[1(

)]1n

n r r

→∞-+=1，则r 的取值范围是（ ）． （A ）－21－21 （C ）r >2

1

（D ）r <－1

4．若lim n n x →∞=0，lim n n y →∞存在，lim n n n

y

x →∞（ ）．

（A ）一定不存在 （B ）一定存在且可能为0 （C ）可能存在也可能不存在 （D ）一定存在但不为0

5

．已知9

(22

x -的展开式的第7项为214，则2lim()n n x x x →∞+++ 的值是（ ）

（A ）43 （B ）41 （C ）－41 （－4

3）

6．若0

lim ()x x f x A -→=, 0

lim ()x x f x A +→=，则下列说法中正确的是（ ）

（A ）f (x 0)=A （B ）0

lim ()x x f x A →=

（C ）f (x )在点x 0有定义 （D ）以上（A ）（B ）（C ）都是假命题 7．

lim x →+∞

=（ ）

（A ）

21

（B ）0 （C ）1 （D ）41 8．32112lim (

)28

x x x →--++=（ ） （A ）0 （B ）21 （C ）1 （D ）－2

1

9．若0

0lim ()()x x f x f x →=，则下列说法中不正确的是（ ）

（A ）f (x )在点x ＝x 0处有定义 （B ）f (x )在点x ＝x 0处满足左连续 （C ）f (x )在点x =x 0处满足右连续

（D ）设x 0∈[a ，b ]，则f (x )在[a ，b ]上有最大值

10．若f (x

在点x =0处连续，则f (0)=（ ）

（A ）23 （B ）3

2

（C ）1 （D ）0

二、填空题

11．0.345

＝ 。

12

．lim(21n n →∞

=，则k ＝ ．

13．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，则l i m n

n n

na S →∞= .

14．无穷等比数列{a n }中，121

lim()4

n n a a a →∞

+++=

，则首项a 1的取值范围是 ·

15．函数f (x )＝22|1|

1

x x x --不连续的点是 。

三、解答题

16．已知抛物线 y ＝n (n ＋l)x 2－(2n ＋1)x +1 (n ∈N +)在x 轴上截得的线段长组成数 列{a n }，且它的顶点的纵坐标组成数列{b n }，求1

1

lim()n

n

i i n i i a b →∞

==-∑∑．

17．已知数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p ，q ，其中p >q ，

且p ≠1，q ≠1，又设c n ＝a n +b n ，S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim n n n S

S →∞-.

18．求证：方程x 4－x 2＝1在区间[1，2]上有实根．

19．设函数f (x )＝10111312x x x x x -+<⎧⎪

=⎨⎪-+<⎩≤≤，讨论函数f (x )在点x =0，1，2处连续的情况．

20．已知f (x )

x ＞0），数列{a n }满足111

()2

n n a a f a n -=⎧⎨=⎩≥，

（1）写出数列{a n }的前五项，归纳a n 的表达式，并用数学归纳法证明；

（2）求2

3lim 32n n

n n a →∞--；

（3）若b 1=122a a +，b 2=2232a a +，……，b n =1

2n

n n a a ++，求数列{b n }的前n 项和S n .