机械振动3强迫振动8-10

X0 F0n (sin t sin nt ) (ωn sin t sin nt ) 2 2 2 1 k (ωn )

n
与零初值条件的受迫振动的稳态响应一致。
3.8.3 阶跃函数响应
在t1时刻开始受到突加的常值力作用，强度为F0
0, F (t ) F0 ,
若初始条件非零，则：
x(t ) e
n t

t 0
F (t )e n sin dd
( x0 cosd t
0 n x0 x
d
sin d t )
1 md

t 0
F ( )e n (t ) sin d (t )d
若阻尼为零，则非零初值条件下的响应： 0 x 1 t x(t ) ( x0 cosωnt sin ωnt ) F ( ) sin ωn (t τ )d 0 ωn mωn
单位阶跃函数的导数等于脉冲函数：
(t )
1
0
t
, t 0 d (t ) dt 0, t 0
例3.8.4：弹簧－质量系统
在（0，t1）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用
F0 , F (t ) 0,
0 t t1 t t1
F (t )
F0
0
试用杜哈梅积分计算系统的响应。
特别地，当时刻 η = 0 时，有 ：



f (t ) (t )dt f (0)
实际应用时，通常 f (t) 在 0 时才有意义
因而有：

t 0
f (t ) (t )dt f ( )
F (t ) I (t )
冲量为 I 的脉冲力可借助δ函数表示为：
当 I =1 时，为单位脉冲力。

2 n

d

F0 k
1 n ( t t1 ) cos[d (t t1 ) ]e 1 2 1
arctan n arctan d 1 2
F x(t ) 0 k
1 n ( t t1 ) cos[d (t t1 ) ]e 1 2 1
当处于零初始条件的系统受到任意激励时，可 以将激励 F(t) 看作一系列脉冲力的叠加
F (t )
F ( )d 对于时刻 t =η的脉冲力， 其冲量为： 系统受脉冲作用后产生速度增量： F ( ) d m 并引起 t >η各个时刻的响应
系统的脉冲响应 ： dx F ( )h(t )d
0
O -ε ε
t
对于η时刻的单位脉冲函数，表示为：
0 (t - ) 0 ( t ) （为极小量） 其它 且 lim (t )dt 1
0
δ 函数的性质:



f (t ) (t )dt f ( )
t t1 t t1
F0
0
F (t )
（F0 =1时，为单位阶跃函数）
t1
t
试用杜哈梅积分计算系统在t≥t1时段内的响应。 解：由于在t<t1时段内没有受到激励，故杜哈梅积分的下限 改为t1：
1 x(t ) md

t 0
F ( )e n (t ) sin d (t )d
arctan n arctan d 1 2
若激励开始的时间无滞后，即t1=0，得到
x(t ) F0 1 [1 cos （d t ）ent ] k 1 2
无阻尼系统，即ζ =0，对于激励时间有无滞后，响应分别为
F0 x(t ) [1 cos n (t t1 )] k


对于无阻尼系统，即ζ =0，矩形脉冲激励的响应为：
F0 , 0 t t1 k (1 - cosnt ) x(t ) F0 [cos (t t ) cos t ] , t t1 n n 1 k
直接解法：
F0 , F (t ) 0,
0 t t1 t t1
对于周期激励的无阻尼系统： F (t ) F0 sin ωt
F0 t x(t ) sin sin ωn (t τ )d 0 mωn F0 t cos[ωnt ( ωn ) ] cos[ωnt ( ωn ) ] d 0 mωn 2 sin t sin nt sin t sin nt F0 (ωn sin t sin nt ) F 0 2 2 2mωn ωn ωn m ω ( ω ) n n
( ) x
1 m
在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬 间，位移则来不及有改变，也习惯表示为：x(0+) = x(0-)
当 t >ε时，脉冲力作用已经结束，此时物体得到了速度增量 1/m。由于ε无限小，所以记为：
1 (0 ) x m

(0 ) 越小 质量越大，x (0 ) 越大 质量越小，x
[d cosd (t ) n sin d (t )]e
2 n

d
[d cosd (t t1 ) n sin d (t t1 )]e n (t t1 )
2 2 d 2n cos[d (t t1 ) ]e n (t t1 )
第三章 受迫振动
3.8 系统对任意激励的响应·卷积积分 3.9 系统对任意激励的响应·傅里叶积分 3.10 用拉普拉斯变换法求系统响应· 传递函数
3.8 系统对任意激励的响应·卷积积分
上节讨论了周期激励作用下的振动响应，在不考虑 初始阶段的瞬态响应时，它是稳态的周期振动。 但在现实中激励并非是周期的，而是任意的周期函 数，或者是在极短时间内的冲击作用。在这种激励 情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。 激励停止后，系统按固有频率作自由振动。 若激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也 会持续下去。 对任意激励的响应，求解方法有多种：
arctan n arctan d 1 2
F (t )
（1）0 t t1 时
F0
t 1 n ( t ) 0 x(t ) F ( ) e sin ( t ) d t1 d 0 md t F0 t n 1 n F (t )e sin dd e sin dd 0 0 md md F0 t n e [ cos sin ] d d n d 2 0 md n F0 nt e [d d cosd t n sin d t ] kd
若系统受到冲量为I 脉冲作用，结束时物体得到了速度增量 I/m。
系统受脉冲I 作用，因脉冲结束后无后续激励，因此响应为 自由振动。其初始条件为：初位移为零，而初速度为 I/m 。
x cx kx 0 m I x(0 ) 0, x (0 ) m
1 x(t ) F ( )h(t )d 0 md

t

t 0
F ( )e n (t ) sin d (t )d
t
利用卷积性质： x(t ) F ( )h(t )d F (t )h( )d
0 0
t
1 x(t ) md
F 0 md

t t1
e n (t ) sin d (t )d
F x(t ) 0 md md md md F0 F0 F0

2 n
t t1
e n (t ) sin d (t )d
n ( t ) t t1
I nt x(t ) e sin d t (t 0) 因此解为： md I sin nt (t 0) 对无阻尼系统： x(t ) mn
对单位脉冲，其响应为脉冲响应，记为 h(t) ：
h(t )
1 nt e sin d t (t 0) md
3.8.2 卷积积分
3.8.1 脉冲响应
对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应
单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t) 表示 δ函数也称为单位脉冲函数，定义为：
0 (t ) 0

( t ) （为极小量） 其它
（3.1.1）
ห้องสมุดไป่ตู้
(t )
且， lim (t )dt 1
现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应 单位脉冲响应 或脉冲响应
(t )
记： -ε、ε为单位脉冲力的前后时刻
运动微分方程与初始条件可合写为：
cx kx (t ) x m (- ) 0 x(- ) 0, x dt cx dt kxdt (t )dt 乘dt ： m x
F0 x(t ) (1 cos n t ) k
本例子的滞后t1的突加常值力
0, F (t ) F0 ,
t t1 t t1
F (t )
F0
0
其特例是单位阶跃函数：
t1
t
0, t 0 (t ) 1, t 0
则：F (t ) F0 (t t1 )

d
t
由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统 在时间区间 0 t 内各个脉冲响应的总和 t 1 t n ( t ) F ( ) e sin d (t )d 得： x(t ) F ( )h(t )d 0 0 md 1 n ( t ) h(t τ ) e sin d (t ) 杜哈梅(Duhamel)积分 m d
t1
t
解：矩形脉冲力可利用单位阶跃函数表达为：
F (t ) F0[ (t ) (t t1 )]
在 0≤t≤t1时段，其激励尚未结束，响应与常值力激励相同：
F0 1 x(t ) [1 cos （d t ）ent ] k 1 2
在 t>t1时段，其激励相当于2个常值力激励的叠加，响应也是 两个对应的响应叠加。因此利用上例的结果：
对：F (t ) F0 (t )
x(t ) F0 1 [1 cos （d t ）ent ] k 1 2
对：F (t ) F0 (t - t1 )
F x(t ) 0 k
1 n ( t t1 ) cos[d (t t1 ) ]e 1 2 1
dx
令： x 0
0 -ε ε
t
(t )dt mdx
dx dt dx 0 x
在脉冲力作用的瞬间，位移来 不及变化，但速度可产生突变
(t )dt mdx
两边在区间 - t 内对时间积分：

-

dt (t )dt m x
-

( ) mx (- ) 1 mx
（t t1）
对F (t ) F0[ (t ) (t t1 )]
x(t ) F0 k 1
2 d
（t t1）
1 n ( t t1 )
cos[ (t t ) ]e
cos(d t )ent

即得到解：
F0 1 n t cos(d t )e 1 0 t t1 , 2 k 1 x(t ) F0 n ( t t1 ) n t , t t1 cos[ ( t t ) ] e cos( t ) e d 1 d 2 k 1