人教版高中数学必修一第三章《函数概念与性质》解答题(含解析)

人教版高中数学必修一第三章《函数概念与性质》解答题1.设函数y=ax2+(b−2)x+3．
(1)若不等式y>0的解集为{x|−1<x<3}，求a，b的值；
(2)若x=1时，y=2，a>0，b>−1，求1
a +4
b+1
的最小值；
(3)若b=−a，求不等式y≤1的解集．
2.已知y=ax2+(b+1)x−3
x−1
(x≠1)．
(1)当a=1，b=2时，求y的取值范围；
(2)当a=0时，求y<1时x的取值范围．
3.已知函数f(x)=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R).
(1)若不等式f(x)<0的解集为⌀，求m的取值范围；
(2)当m>−2时，解不等式f(x)≥m；
(3)若不等式f(x)≥0的解集为D，且[−1,1]⊆D，求m的取值范围．
4.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+2,a∈R．
(1)当a>0时，求不等式f(x)≥0的解集；
+1有2个不同的正实根，求实数a的取值范围．
(2)若存在m>0使关于x的方程f(x)=m+1
m
5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．
(1)若方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,−1).求f(x)≤0的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−2,1)．
(ⅰ)求解关于x的不等式cx2+bx+a>0;
,(x<1)，求函数g(x)的最大值．
(ⅰ)设函数g(x)=b(x2+1)−c
a(x−1)
6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．
(1)若方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,−1).求f(x)≤0的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−2,1)．
(ⅰ)求解关于x的不等式cx2+bx+a>0;
,(x<1)，求函数g(x)的最大值．
(ⅰ)设函数g(x)=b(x2+1)−c
a(x−1)
7.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业
)结构，调整出x(x∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x
500万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出
多少名员工从事第三产业？
(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求
调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
8.已知f(x)=2x2+ax+b过点(0,−1)，且满足f(−1)=f(2)
(1)求f(x)的解析式
(2)若f(x)在[m,m+2]上的值域为[−3
2
,3]，求m的值
(3)若f(x0)=x0，则称x0为y=f(x)的不动点，函数g(x)=f(x)−ax+a有两个不相等的不动
点x1，x2，且x1，x2>0，求x1x
2+x2
x1
的最小值
9.经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/ℎ)与汽车的平均速度
v(km/ℎ)之间的函数关系为：y=920v
v+3v+1600
(v>0)，
(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/ℎ，则汽车的平均速度应在什么范围之内？
(2)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千
辆/ℎ)
10.(Ⅰ)已知a>0，b>0，且a+b=2，求证：a4+b4≥2；
(Ⅱ)已知a>0，b>0，c>0，求a3+b3+c3+(1
a +1
b
+1
c
)
3
的最小值，并写出取最小值时a，
b，c的值．
11.已知不等式ax2−3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)=(2a+b)x−1
(a−b)(x−1)
(x∈A)的最小值．12.函数f(x)=x2+ax+3．
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
13.已知f(x)=x|x−a|+2x，x∈R
(1)若a=2，求f(x)在[0,3]上的最大值；
(2)若a>2，求f(x)的单调区间；
(3)若存在a∈[−2,4]，使得方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
14.现对一块边长8米的正方形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或
AD上(异于A，C)，设(米)，的面积记为(平方米)，其余部分面积记为(平方米)．
(1)当(米)时，求的值；
(2)求函数的最大值；
(3)该场地中部分改造费用为(万元)，其余部分改造费用为(万元)，记总的改造费
用为W(万元)，求W取最小值时x的值．
15.某市近郊有一块400m×400m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建
造一个总面积为3000m2的矩形场地(如图所示).图中，阴影部分是宽度为2m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小矩形场地形状、大小相同)，塑胶运动场地总面积为S m2．
(1)求S关于x的函数关系式，并给出定义域；
(2)当x为何值时S取得最大值，并求最大值．
16.某建筑队在一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中
矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．
(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
17.已知二次函数y=ax2+bx−a+2．
(1)若关于x的不等式ax2+bx−a+2>0的解集是{x|−1<x<3}，求实数a，b的值；
(2)若b=2，a>0，解关于x的不等式ax2+bx−a+2>0．
18.某游泳馆要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的
造价分别是120元/平方米和80元/平方米，设底面一边的长为x米．
(1)求总造价y(元)关于底面一边长x(米)的函数解析式；
(2)当x为何值时，总造价最低，最低造价为多少元？
19.已知实数x>0，y>0．
(1)若x+y+xy=3，求2xy的最大值与x+y的最小值；
(2)若x>y，求xy2
x−y +xy+1
y2
的最小值．
20.已知函数f(x)=ax2+2x+c的最低点为(−1,−2)
(1)求不等式f(x)>7的解集；
(2)若对任意x∈[2,4]，不等式f(x−t)≤x−2恒成立，求实数t的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：解：(1)∵不等式ax 2+(b −2)x +3>0的解集为{x|−1<x <3}，
∴−1和3是方程ax 2+(b −2)x +3=0的两个实根， 从而有{−b−2
a =23a
=−3，解得{a =−1
b =4；
(2)∵2=a +b −2+3，∴a +b +1=2， 又a >0，b >−1，
所以1
a +4
b+1=12(1
a +4
b+1)(a +b +1)=1
2(5+b+1a
+4a
b+1)
≥1
2(5+2√
b+1a
·4a b+1)=9
2，
当且仅当{b+1
a =4a
b+1,a +b +1=2,
即{a =2
3
,b =13
时等号成立，
所以1a +4b+1的最小值为9
2．
(3)因为b =−a ，可得y =ax 2−(a +2)x +3≤1， 即可得ax 2−(a +2)x +2≤0，即(x −1)(ax −2)≤0， ①当a =0时，不等式即为−2x +3≤1，解得[1,+∞)；
②当a <0时，方程(x −1)(ax −2)=0的根x 1=1，x 2=2
a <0， 故不等式的解集为(−∞,2
a ]∪[1,+∞);
③当a >0时，方程(x −1)(ax −2)=0的根x 1=1，x 2=2
a >0， (a)当a =2，即2
a =1时，即可得{1}； (b)当a >2，即2
a <1时，即可得[2
a ,1]； (c)当a <2，即2
a <1时，即可得[1,2
a ]；
综上所得，当a =0时，不等式y ≤1的解集为[1,+∞)； 当a <0时，不等式y ≤1的解集为(−∞,2
a ]∪[1,+∞)； 当0<a <2时，不等式y ≤1的解集为[1,2a ]； 当a =2时，不等式y ≤1的解集为{1}；
当a>2时，不等式y≤1的解集为[2
a
,1]．
解析：本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，考查利用基本不等式求最值的应用，属于中档题．
(1)由题可知−1和3是方程ax2+(b−2)x+3=0的两个实根，将−1和3代入方程即可得到关于a，b的方程组，求解即可得到a，b的值；
(2)由题a+b+1=2，a>0，b>1可得1
a +4
b+1
=1
2
(1
a
+4
b+1
)(a+b+1)=1
2
(5+b+1
a
+4a
b+1
)，利用
基本不等式即可求解1
a +4
b+1
的最小值．
(3)将不等式化简然后对a的值进行分类讨论进行求解即可得．2.答案：解：(1)∵当a=1，b=2时，
y=x2+3x−3
x−1=x−1+1
x−1
+5(x≠1).
①当x>1时，x−1>0.
y=x2+3x−3
x−1=x−1+1
x−1
+5≥2+5=7，当且仅当x=2时取等号．
②当x<1时，x−1<0，1−x>0．
y=x−1+1
x−1+5=5−[(1−x)+1
1−x
]≤−2+5=3，当且仅当x=0时取等号．
∴y的取值范围为{y|y≤3或y≥7}．
(2)∵当a=0时，y=(b+1)x−3
x−1
，
∴由y<1得：bx−2
x−1
<0⇒(bx−2)(x−1)<0．
①当b=0时，解集为{x|x>1}；
②当b<0时，解集为{x|x>1或x<2
b
}；
③当2
b
=1，即b=2时，解集为空集；
④当2
b >1，即0<b<2时，解集为{x|1<x<2
b
}；
⑤当0<2
b <1，即b>2时，解集为{x|2
b
<x<1}．
解析：(1)
当a =1，b =2时，y =x 2+3x−3x−1
=x −1+
1x−1
+5(x ≠1)讨论x >1和x <1利用基本不等式求解．
(2)
因为当a =0时y =(b+1)x−3x−1
，下面解分式不等式
(b+1)x−3x−1
<1，要注意作等价变形，还有对b 的取值
分类讨论．
3.答案：解：(1)①m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2<0解集不是空集，舍去，
②m +1≠0时，即m ≠−1时，{
m +1>0
Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0
, 即{m >−1
3m 2
−4⩾0,∴{m >−1m ⩽−2√33或m ⩾2√33, 解得m ≥2
3√3，
∴m 的取值范围是[2
3√3,+∞)；
(2)∵f(x)≥m ，化简得：[(m +1)x +1](x −1)≥0， ①m +1=0时，即m =−1时，解集为{x|x ≥1}， ②m +1>0时，即m >−1时，(x +1
m+1)(x −1)≥0， ∴−
1m+1
<0<1，解集为{x|x ≤−
1m+1
或x ≥1}，
③m +1<0时，即−2<m <−1时，(x +1
m+1)(x −1)≤0， ∵−2<m <−1，
∴−1<m +1<0，∴−1
m+1>1， ∴解集为{x|1≤x ≤−1
m+1}；
(3)由题意得，(m +1)x 2−mx +m −1≥0对于任意x ∈[−1,1]恒成立， 整理得：m(x 2−x +1)≥1−x 2，
∵x 2
−x +1=(x −12)2
+3
4
>0恒成立，
∴得m ≥
−x 2+1x 2−x+1
=−1+2−x
x 2−x+1对于任意x ∈[−1,1]恒成立，
设t =2−x,t ∈[1,3]，则x =2−t ， ∴2−x
x 2−x+1=t
(2−t)2−(2−t)+1=t
t 2−3t+3=
1
t+3
t
−3≤2
√
3−3
=2√3+3
3，
当且仅当t =3
t ，即t =√3，x =2−√3时取等号， 此时−1+
2−x x 2−x+1
≤
2√3
3
， ∵m ⩾−1+
2−x
x 2−x+1
对于任意x ∈[−1,1]恒成立，
∴m 的取值范围是m ≥
2√3
3
．
解析：本题考查了一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值等内容，是中档题． (1)分m +1=0与m +1≠0两种情况求解即可；
(2)对不等式化简得[(m +1)x +1](x −1)≥0，分m +1=0、m +1>0和m +1<0三种情况讨论即可；
(3)由题意得，(m +1)x 2
−mx +m −1≥0对于任意x ∈[−1,1]恒成立，得m ≥1−x 2x −x+1
对于任意x ∈
[−1,1]恒成立，设t =2−x,t ∈[1,3]，由基本不等式即可得出结果．
4.答案：解：(1)由题意，f(x)=ax 2−(a +2)x +2≥0，即(ax −2)(x −1)≥0，
因为a >0，所以解方程(ax −2)(x −1)=0得x 1=2
a ,x 2=1， ①当2
a >1时，即当0<a <2时，
解不等式(ax −2)(x −1)≥0，得x ≤1或x ≥2
a ， 此时不等式f(x)≥0的解集为{x|x ≤1或x ≥2a }；
②当2
a
=1时，即a=2时，解不等式(ax−2)(x−1)≥0，得x∈R，此时不等式f(x)≥0的解集为R；
③当2
a <1时，即当a>2时，解不等式(ax−2)(x−1)≥0，得x≥1或x≤2
a
，
此时不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥1或x≤2
a
}；
综上，当0<a<2时，不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤1或x≥2
a
}；当a=2时，不等式f(x)≥0的解集为R；
当a>2时，不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥1或x≤2
a
};
(2)当m>0时，令t=m+1
m +1≥2√m×1
m
+1=3，当且仅当m=1时取等号，
则关于x的方程f(x)=t可化为ax2−(a+2)x+2−t=0，关于x的方程ax2−(a+2)x+2−t=0有两个不同正根，
则{△=(a+2)2−4a(2−t)>0(1) a+2
a
>0(2)
2−t
a
>0(3)
，
由(1)知：存在t∈[3,+∞)使不等式4at+(a+2)2−8a>0成立，故4a×3+(a+2)2−8a>0，即a2+8a+4>0，解得a<−4−2√3或a>−4+2√3，
由(2)(3)式可得a<−2，故实数a的取值范围是(−∞,−4−2√3).
解析：本题考查含参不等式的求解，考查函数的零点个数问题，在求解含参不等式时，找出分类讨论的基本依据，在求解二次函数的零点问题时，应结合图形找出等价条件，通过列不等式组来求解，考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想，属于中档题．
(1)解不等式ax 2−(a +2)x +2⩾0，即(ax −2)(x −1)⩾0，然后就2
a 与1的大小进行分类讨论，求出该不等式的解集，
(2)t =m +1
m +1⩾3，将问题转化为：关于x 的方程ax 2−(a +2)x +2−t =0有两个不同的正根，得出Δ>0，两根之和为正、两根之积为正，列出不等式组可解出实数a 的取值范围．
5.答案：(1)由题意可得{−b
a =4
c a =3
f(2)=4a +2b +c =−1
,
解得{a =1
b =−4
c =3,∴f (x )=x 2−4x +3,
解不等式f (x )≤0，即x 2−4x +3≤0， 即(x −1)(x −3)≤0，解得1≤x ≤3， 因此，不等式f (x )≤0的解集为{x |1≤x ≤3}； (2)(ⅰ)由题意可知{a <0−b
a =−1c
a
=−2,
所以cx 2+bx +a >0可化为c
a x 2+b
a x +1<0，
即−2x 2+x +1<0，得2x 2−x −1>0，解得x <−1
2或x >1， 所求不等式的解集为
(ⅰ)由(ⅰ)可知
g(x)=b(x 2+1)−c a(x −1)=
a(x 2+1)+2a
a(x −1) =x 2+3x −1=
(x −1)2+2(x −1)+4
x −1
=−[(1−x)+(
41−x
)]+2
因为x <1,所以1−x >0， 所以(1−x)+(4
1−x )⩾4，
当且仅当1−x =41−x ，即x =−1时取等号， 所以−[(1−x)+(41−x )]⩽−4，
−[(1−x)+(4
1−x )]+2⩽−2， 所以当x =−1时，g(x)max =−2.
解析：本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式的运用，二次函数解析式和最值，属于中档题．
(1)由方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，可解得f(x)的解析式，由一元二次不等式的解法可得f(x)≤0的解集；
(2)(i)由题意可知{a <0−b a =−1c
a =−2，则由a ，
b ，
c 的关系式转化原不等式cx 2+bx +a >0后可解得答案； (ii)由(i)可知g(x)=
(x−1)2+2(x−1)+4
x−1
=−[(1−x)+(4
1−x )]+2 ，由基本不等式可得g(x)的最大值．
6.答案：(1)由题意可得{−b
a
=4
c
a
=3
f(2)=4a +2b +c =−1
,
解得{a =1
b =−4
c =3,∴f (x )=x 2−4x +3,
解不等式f (x )≤0，即x 2−4x +3≤0， 即(x −1)(x −3)≤0，解得1≤x ≤3， 因此，不等式f (x )≤0的解集为{x |1≤x ≤3}； (2)(ⅰ)由题意可知{a <0−b a =−1c
a
=−2
, 所以cx 2+bx +a >0可化为c a x 2+b
a x +1<0，
即−2x 2+x +1<0，得2x 2−x −1>0，解得x <−1
2或x >1， 所求不等式的解集为
(ⅰ)由(ⅰ)可知
g(x)=b(x 2+1)−c a(x −1)=
a(x 2+1)+2a
a(x −1) =x 2+3x −1=
(x −1)2+2(x −1)+4
x −1
=−[(1−x)+(4
1−x )]+2 因为x <1,所以1−x >0， 所以(1−x)+(4
1−x )⩾4，
当且仅当1−x =41−x ，即x =−1时取等号， 所以−[(1−x)+(41−x )]⩽−4， −[(1−x)+(4
1−x )]+2⩽−2， 所以当x =−1时，g(x)max =−2.
解析：本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式的运用，二次函数解析式和最值，属于中档题．
(1)由方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，可解得f(x)的解析式，由一元二次不等式的解法可得f(x)≤0的解集；
(2)(i)由题意可知{a <0−b a =−1c
a =−2，则由a ，
b ，
c 的关系式转化原不等式cx 2+bx +a >0后可解得答案； (ii)由(i)可知g(x)=
(x−1)2+2(x−1)+4
x−1
=−[(1−x)+(
41−x
)]+2 ，由基本不等式可得g(x)的最大值．
7.答案：解：(1)由题意，得10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，
即x 2−500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500． 即最多调整500名员工从事第三产业．
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a −3x
500)x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元， 则10(a −3x
500)x ≤10(1000−x)(1+1
500x)， 所以ax −3x 2
500≤1000+2x −x −1
500x 2， 所以ax ≤2x 2
500+1000+x ，即a ≤2x
500+1000x
+1在x ∈(0,500]时恒成立．
因为2x
500+
1000x ≥2√2=4，
当且仅当2x
500=
1000x
，即x =500时等号成立，所以a ≤5，
又a >0，所以0<a ≤5． 所以a 的取值范围为(0,5]．
解析：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．
(1)根据题意可列出10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．
(2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围．
8.答案：解：(1)由题设f(0)=−1，得b =−1，
由f(−1)=f(2)，对称轴为x =−a
4=
−1+22
，则a =−2，
∴f(x)=2x 2−2x −1
(2)由题，f (1
2)=−3
2，
令f(t)=3，解得t =−1或t =2． ∵f(x)在[m,m +2]上的值域为[−3
2,3]，
∴m =−1时，在[−1,1]上值域满足题意．
m +2=2，即m =0时，在[0,2]上的值域满足题意． ∴m =0或−1．
(3)等价于2x 2−(a +3)x +a −1=0有两个正实数根x 1，x 2，
∴{
△=(a +3)2−8(a −1)⩾0x 1+x 2=a +32>0x 1x 2=a −12
>0⇒a >1, 则x 2x 1
+x 1
x 2
=
x 12+x 2
2x 1x 2
=
(x 1+x 2)2−2x 1x 2
x 1x 2
=
(
a+32)2
a−12
−2=12[(a −1)+16
a−1]+2
⩾2+12⋅2√(a −1)⋅16a −1
=6
当且仅当a =5时取等号，
故x 2x 1
+x
1
x 2
的最小值为6．
解析：本题考查利用待定系数法求解函数的解析式，给定函数的值域，求解参数的范围，以及均值不等式的应用，综合性强，难度较大．
(1)由f(x)=2x 2+ax +b 过点(0,−1)，得b =−1，再由f(−1)=f(2)，可求a ，由此可得结论； (2)由f(x)min =f (12)=−3
2，再求出f(t)=3时的t =−1或t =2，由题知m 只能m =−1或m +2=2，解出此时的m 的值，再检验，可得结论；
(3)先求出g(x)有两个不相等的不动点的条件a >1，在将x 1x 2+x 2x 1表示为x 2x 1
+x 1x 2
=12[(a −1)+16
a−1]+2，
利用基本不等式可得结论．
9.答案：解：(1)由条件得920v
v 2+3v+1600>10，
整理得v 2−89v +1600<0，
即(v −25)(v −64)<0.解得25<v <64． (2)依题意，y =9203+(v+1600v
)≤3+2√1600=
920
83，
当且仅当v =1600v ，即v =40时，上式等号成立，
所以ymax =
92083
≈11.1(千辆/时)．
∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/ℎ且小于64km/ℎ.当v =40km/ℎ时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．
解析：(1)某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y =920v v 2+3v+1600(v >0)可得，在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，920v
v 2+3v+1600>10，解不等式即可求出v 的范围．
(2)根据基本不等式性质可知9203+(v+1600v
)≤3+2√1600，进而求得y 的最大值．根据等号成立的条件求得
此时的平均速度．
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．
10.答案：解：证明：(Ⅰ)∵a >0,b >0，
a 4+
b 4
≥
(a 2+b 2)2
2
≥12
[
(a+b)2
2
]2
=1
2
×4=2.(当且仅当a =b 时等号成立)
(Ⅱ)a >0,b >0,c >0，
∴a 3+b 3+c 3+(1
a
+1
b
+1
c
)3⩾3√a 3b 3c 33
+(3√
1
abc
3
)3⩾2√3√a 3b 3c 33⋅(3√
1
abc
3
)3=
18， 当且仅当a =b =c =√33时，原式取最小值18.
解析：该题主要考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值，考查了学生的运用与计算能力． (Ⅰ)根据已知条件a >0，b >0，利用基本不等式证明：a 4+b 4⩾2．
(Ⅱ)根据已知条件知a >0，b >0，c >0，利用基本不等式求最值方法写出取最小值时a ，b ，c 的值．
11.答案：解：(1)不等式ax 2−3x +2<0的解集为A ={x|1<x <b}，
所以1和b 是方程ax 2−3x +2=0的两根， 则{a −3+2=0
ab 2
−3b +2=0, 解得a =1，b =2；
(2)由(1)得f (x )=4x +1
x−1=4(x −1)+1
x−1+4≥8， 当且仅当4(x −1)=1
x−1，取等号， 即x =3
2∈A 时，函数f(x)有最小值8．
解析：本题考查一元二次不等式的解集与方程的根的关系，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题．
(1)利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，即可求出结果； (2)将a 、b 的值代入，利用基本不等式求解即可得最小值．
12.答案：(1)[−6,2]；
(2)[−7,2]；
解：(1)∵x∈R时，f(x)≥a，
即x2+ax+3−a≥0恒成立，
∴Δ=a2−4(3−a)≤0，∴a2+4a−12≤0，∴−6≤a≤2.所以a的取值范围是[−6,2]．(2)∵x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，
∴只需f(x)min≥a，x∈[−2,2]．
f(x)的对称轴为x=−a
2
，分类：
①−a
2
≤−2即a≥4时，
f(x)min=f(−2)=7−2a≥a，∴a≤7
3
(舍去)；
②−2<−a
2
<2即−4<a<4．
则f(x)min=f(−a
2)=3−a2
4
≥a；
∴a2+4a−12≤0，
∴−6≤a≤2，∴−4<a≤2；
③−a
2
≥2即a≤−4时，f(x)min=f(2)=7+2a≥a，∴a≥−7，∴−7≤a≤−4．综合①②③知，a的取值范围为[−7,2]．
解析：本题考查一元二次不等式恒成立的问题。

要利用Δ=b 2−4ac ，进而求出a 的范围。

同时要注意最值在恒成立问题中的作用。

13.
答案：解：(1)当a =2时，f (x )=x |x −2|+2x ={−x 2+4x,x <2
x 2,x ⩾2 其大致图像如图：
由图象得f(x)在R 上为增函数， 故f(x)在[0,3]上为增函数，
所以f(x)在[0,3]上的最大值为f(3)=9．
(2)f (x )={−x 2+(2+a )x,x <a
x 2+(2−a )x,x ⩾a
若a >2，则0<a −2<a <a +2， 当x ≥a 时，易知a >a−22
，故f(x)在[a,+∞)上为增函数； 当x <a 时，
a−22
−a =
2−a 2
<0，即
a−22
<a ，
故f(x)在(−∞,
a+22
]上为增函数，在(
a+22
,a)上为减函数．
综上，f(x)的单调递增区间为(−∞,
a+22
]和[a,+∞)，单调递减区间为(a+22
,a)．
(3)当−2⩽a ⩽2时，f(x)为增函数，方程不可能有三个不相等的实数根； 当2<a ⩽4时，f (a )<tf (a )<f (a+22
)，即2a <2at <
(a+2)2
4
，
即1<t <(a+2)28a ，在(2,4]内有解，
令g (a )=
(a+2)28a
，
则g (a )=
(a+2)28a
=a 8
+
12a
+1
2在(2,4]上为增函数，
当a =4时，g(a)的最大值为9
8，则1<t <9
8．
解析：本题考查函数的单调性，函数最值的求法，属于较难题． (1)当a =2时，分析函数的单调性即可求解最值；
(2)将f(x)写成分段函数，当a >2，则0<a −2<a <a +2，然后在x ≥a 和x <a 时讨论f(x)的单调性即可；
(3)分为−2⩽a ⩽2时以及2<a ⩽4时分别研究即可．
14.答案：解：(1)由题知：当x =10>8米时，点F 在线段CD 上，|DF |=√102−82=6
所以S 1=S ⅰABCD −S 2=S ⅰABCD −S △ABE −S △ECF −S △ADF ， 所以S 1=f (10)=64−16−4−24=20(平方米)；
(2)由题知，当x <8(米)时，点F 在线段AD 上，此时：S 1<S △ADE =32(平方米)， 当x ⩾8(米)时，点F 在线段CD 上，x ∈[8,8√2), 令t =|DF |=√x 2−64∈[0,8),
所以S 1=S ⅰABCD −S 2=S ⅰABCD −S △ABE −S △ECF −S △ADF ， 所以S 1=f (x )=64−16−2(8−√x 2−64)−4√x 2−64 =32−2√x 2−64=32−2t ，
因为t ∈[0,8)，所以S 1=32−2t ⩽32，等号当且仅当t =0时，即x =8时取得 所以f (x )最大值为32；
(3)因为S 1+S 2=64，所以：W =9S 1
+25S 2
=(9S 1
+25
S 2
)×
(S 1+S 2)64
=
164
×[34+(
9S 2S 1
+
25S 1S 2
)]⩾164×[34+2√(9S
2S 1
×
25S 1S 2
)]=1(万元)，
等号当且仅当S 1+S 2=64,
9S 2S 1
=
25S 1S 2
时取得，即S 1=24时取得，
当x <8(米)时，点F 在线段AD 上，S 1=4x =24，则x =6，
当x ⩾8(米)时，点F 在线段CD 上，S 1=32−2√x 2−64=24，则x =4√5， 综上的W 取最小值时x =6或x =4√5．
解析：本题考查了函数模型的应用，基本不等式的应用，属于较难题．
(1)当x=10>8米时，点F在线段CD上，利用S1=SⅰABCD−S2=SⅰABCD−S△ABE−S△ECF−S△ADF 算出即可；
(2)分两种情况讨论，分别求出最大值，再作比较；
(3)由题意可得W=9
S1+25
S2
=(9
S1
+25
S2
)×(S1+S2)
64
，利用基本不等式可求出其取得最小值时S1=24，然
后再分两种情况讨论
15.答案：解：(1)设矩形场地的另一条边的长为y，
则xy=3 000即y=3000
x
，且7.5<x<400．
S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a．
因为2a+6=y，所以a=y
2−3=1500
x
−3，
所以S=(2x−10)·(1 500
x
−3)
=3030−(15 000
x
+6x)，其定义域是(7.5,400)．
(2)S=3030−(15 000
x
+6x)
≤3030−2√6x·15000
x
=3030−2×300=2 430．
当且仅当15000
x
=6x，即x=50∈(7.5,400)时，上述不等式等号成立，
此时x=50，Smax=2430(m2).
答：当x=50m时，S取得最大值，其最大值为2430m2．
解析：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．
(1)设矩形场地的另一条边的长为y，得到a=y
2−3=1500
x
−3，即可得解；
(2)根据题意得到S=3030−(15 000
x +6x)≤3030−2√6x·15000
x
=3030−2×300=2 430，当且
仅当15000
x
=6x，即x=50∈(7.5,400)时，上述不等式等号成立，即可得解．16.答案：解：(1)依题意知△NDC∽△NAM，
所以DC
AM =ND
NA
，即x
30
=20−AD
20
，
则AD =20−2
3x ．
故矩形ABCD 的面积为S =20x −2
3x 2． 根据条件0<x <30，
要使学生公寓ABCD 的面积不小于144平方米， 即S =20x −2
3x 2≥144，
化简得x 2−30x +216≤0，解得12≤x ≤18． 故AB 的长度应在12米至18米内．
(2)S =20x −2
3x 2
=2
3x(30−x)≤23(
30−x+x 2
)2
=150，
当且仅当x =30−x ，即x =15时，等号成立， 此时AD =20−2
3x =10，
故AB =15米，AD =10米时，学生公寓ABCD 的面积最大，最大值是150平方米．
解析：本题主要考查解一元二次不等式和利用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题 (1)首先利用三角形的相似性，求得边AD 与边AB 的长度关系，建立三角形面积函数模型，再由S ≥144解不等式，得出边AB 的长度范围； (2)利用基本不等式求最值即可．
17.答案：解：(1)因为不等式ax 2+bx −a +2>0的解集为{x|−1<x <3}，
所以−1，3是方程ax 2+bx −a +2=0的两根， 所以可得{a −b −a +2=0,
9a +3b −a +2=0,
解得{a =−1,b =2,；
(2)当b =2时，y =ax 2+2x −a +2=(x +1)(ax −a +2)， 因为a >0，
所以(x +1)(ax −a +2)>0可转化为(x +1)(x −a−2a
)>0，
①若−1=
a−2a
，
即a =1时，解集为{x|x ≠−1}； ②若−1>
a−2a
，即0<a <1时，
解集为{x |x <a−2a
或x >−1}；
③若−1<
a−2a
，即a >1时，
解集为{x |x <−1或x >a−2a
}．
综上，当0<a <1时，解集为{x |x <a−2a
或x >−1}；
当a =1时，解集为{x|x ≠−1}； 当a >1时，解集为{x |x <−1或x >
a−2a
}．
解析：本题考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识，给出二次函数，讨论不等式不等式f(x)>0的解集并求参数的值，属于中档题．
(1)根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax 2+bx −a +2=0的两根分别为−1和3，由此建立关于a 、b 的方程组并解之，即可得到实数a 、b 的值； (2)不等式可化成(x +1)(ax −a +2)>0，由此讨论−1与a−2a
的大小关系，分3种情形加以讨论，即
可得到所求不等式的解集．
18.答案：解：(1)因为容积为8立方米，深为2米，
所以池底面积为8
2=4平方米， 所以池底造价为120×4=480元，
因为深为2米，底面一边长x 米，底面积为4平方米， 所以另一边长为4x 米，
则四面池壁的面积为2x ×2+2×4
x ×2=4x +16x
，
∴y =80×(4x +
16
x
)+480=320x +1280x
+480，(x >0)；
(2)由(1)知，y =320x +1280x
+480，(x >0)，
所以y =320x +1280x
+480≥2√320x ·1280x
+480=1760，
当且仅当320x =
1280x
，即x =2>0时，取得最小值1760，
∴当x =2时，总造价最低，最低造价为1760元．
解析：本题考查函数模型的应用，利用基本不等式求最值，以及基本不等式的实际应用，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)先求出池底造价，再求出四面池壁的面积，得到四面池壁的造价，可得总造价y(元)关于底面一边长x(米)的函数解析式；
(2)利用基本不等式可求最小值，得到最低造价，注意利用基本不等式时等号成立的条件．
19.答案：解：(1)因为x+y≥2√xy，
又因为x+y+xy=3，
所以xy+2√xy≤3，
0≤√xy≤1，
所以2xy≤2，当且仅当x=y=1时等号成立，
所以2xy最大值为2；
因为xy≤(x+y
2)
2，
所以(x+y
2)
2
+(x+y)≥3，当且仅当x=y=1时等号成立，
x+y≥2，
所以x+y最小值为2；
(2)xy2
x−y +xy+1
y2
=x2y
x−y
+1
y2
，
令t=x−y，t>0，所以x=t+y，
x2y x−y +
1
y2
=
(t+y)2y
t
+
1
y2
=ty+
y3
t
+2y2+
1
y2
≥2√ty·y3
t
+2y2+
1
y2
=4y2+
1
y2
≥2√4y2·
1
y2
=4;
当且仅当ty=y3
t
，且4y2=1y2，
即x=√2,y=√2
2
时等号成立，
所以xy 2
x−y +xy+1
y2
最小值为4．
解析：本题主要考查了基本不等式，和利用基本不等式求最值的应用，属于中等题；
(1)先根据条件得到xy+2√xy≤3，通过2xy≤2得到2xy最大值为2；再根据条件得到(x+y
2)
2 +
(x +y )≥3，得到x +y 最小值为2；
(2)根据xy 2
x−y +xy +1
y 2=x 2y
x−y +1
y 2求解，再根据ty =
y 3t
，且4y 2=1y 2，得到xy 2
x−y +xy +1
y 2最小值为4．
20.答案：解：(1)根据题意得：{−1
a
=−1a −2+c =−2，解得{a =1c =−1， ∴f (x )=x 2+2x −1． ∵f (x )=x 2+2x −1>7， ∴x 2+2x −8>0， ∴x <−4或x >2．
即不等式f(x)>7的解集为(−∞,−4)∪(2,+∞)；
(2)根据题意得：∵f(x −t)⩽x −2 ∵(x −t )2+2(x −t )−1≤x −2， ∴(x −t +1)2≤x ，
∵x ∈[2,4]，∴−√x ≤x −t +1≤√x ， ∴x −√x ≤t −1≤x +√x ，
即(√x −12
)2
−14
≤t −1≤(√x +12
)2
−14
，
∵(√x +12)2
−1
4≥2+√2，(√x −12)2
−1
4≤2， 即2≤t −1≤2+√2， ∴3≤t ≤3+√2．
故实数t 的取值范围是[3,3+√2]．
解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立的问题．
(1)首先根据已知结合二次函数的性质求出a ，c ，进而得到函数f(x)解析式，利用解一元二次不等式的求解方法求解即可；
(2)结合(1)将不等式变形为(x −t +1)2≤x ，根据已知x 的范围得到−√x ≤x −t +1≤√x ，进而得到(√x −12)2
−14≤t −1≤(√x +12)2
−14，最后利用二次函数的性质分别求出不等式两边函数的最大
值和最小值，利用不等式的性质得到t 的取值范围．。