高一数学(人教A版)必修4能力提升：3-1-2-2 两角和与差的正切
数学人教A必修4课件：3.1.2.2 两角和与差的正切公式
)
(2)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )
(3)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ都成立．(
)
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若 tan α＝3，tan β＝43，则 tan(α－β)等于(
)
A．13
B．12
23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°. (1)tan 75°＝tan(45°＋30°)＝1t－anta4n5°4＋5°ttaann3300°°＝
1＋ 1－
3 3 3 3
＝33＋ － 33＝12＋66 3＝2＋ 3.
(2)原式＝1t＋anta6n0°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
1_－__t_a_n_α_t_a_n__β
两角差 的正切
tan(α－β)＝ tan α－tan β
1_＋__t_a_n__α_t_a_n_β
简记β≠kπ ＋π2(k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ ＋π2(k∈Z)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tanπ2＋π4能用公式 tan(α＋β)展开．(
则△ABC 是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直
角”)
tan 解析：由根与系数的关系得
tan
A＋tan A·tan
B＝53， B＝13.
5 所以 tan(A＋B)＝1－tatnanA＋A·tatnanBB＝1－3 13＝52，
在△ABC 中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－52＜0， 所以∠C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角
高中数学3.1.2.2两角和与差的正切公式课件新人教A版必修4
[规范解答]
[名师批注]
由 sin β＝ 1100，β 为锐角，
得 cos β＝31010，∴tan β＝13.(6 分) ∴tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ
此处在本题的解决过程中 起到桥梁过渡的作用，若 考虑不到此点，则问题很
＝1－17＋17×13 13＝12.(8 分)
[随堂即时演练] 1．计算：11－＋ttaann 7755°°＝
A． 3
B．－ 3
C．
3 3
答案：D
D．－
3 3
()
[例 3]
是否存在锐角
α
和
β，使
α＋2β＝23π①，且
α tan2
tan β＝2－ 3②，同时成立？若存在，求出 α 和 β 的值；若
不存在，请说明理由．
[解] 由①得α2＋β＝π3，
∴tanα2＋β＝1t－antα2a＋nα2ttaannββ＝ 3.
8.三角函数中的求角问题
[典例] (12 分)已知 tan α＝17，sin β＝ 1100，且 α，β 为 锐角，求 α＋2β 的值．
＝sin cos
αcos αcos
β＋cos β－sin
αsin αsin
ββ＝1t－antaαn＋αttaannββ.
化简求值问题 [例 1] (1)若 α＋β＝π3，tan α＋ 3(tan αtan β＋c)＝0(c 为常数)， 则 tan β＝________. (2)tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°的值是________． [答案] (1) 3(c＋1) (2) 3
[解题流程]
[规范解答]
∵tan α＝17<1且α为锐角，
两角和与差的正弦正切公式教案
3.1.2两角和与差的正弦、正切公式教案授课教师：肇庆高新区大旺中学 XXX教材：人教A版必修4第三章教学目标：1、能以两角和与差的余弦公式C(α-β) 、C(α+β)推导出两角和与差的正弦、正切公式S(α-β) 、S(α+β) 、T(α-β) 、T(α+β),并能找到公式之间的逻辑联系。
2、熟悉各公式的结构特征，找出熟记公式的方法，能应用公式进行三角恒等变换。
3、通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想、变换能力，逆向思维能力，换元思想与代换思想。
4、培养学生思维的有序性、发散性，答题中表述的规范性、条理性和完整性。
教学重点：1、以两角和与差的余弦公式为基础，推导出两角和与差的正弦、正切公式。
2、将公式熟练的应用到三角恒等变换中。
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式在应用中的注意细节：角度范围的确定，三角函数值的确定，公式的逆用。
教学方法：教师采用启发引导式教学，指导学生主动参与公式的发现、推导和应用，对学生探究的结果、及公式应用的成果展示做合理的评价。
学生采用自主探究、小组讨论、合作交流的学习方式，并展示自己的学习成果。
教学手段：教师利用多媒体平台，展示教学内容与教学过程，学生用小黑板展示小组的探究成果。
教学过程：教学环节教学内容与教师活动学生活动温故知新复习引入1、===完成填空，并说出答案。
===2、C(α-β) = C(α+β) =由C(α-β)推导出C(α+β)的详细过程：3、求值：==教学环节教学内容与教师活动学生活动构建新知公式的探究及理解问题1、sin75o的值如何求？问题2、若将75o分解成45o+30o，即sin(45o+30o)该如何求值？由此引出对公式的探究。
探究一：=？问题3、正余弦之间如何转化，可否利用和角的余弦公式来推导此公式？（）回顾上节课的内容：sin75o=cos15o，再用差角的余弦公式展开求值。
诱导公式五（或六）可实现正余弦互化，转化后再利用和角的余弦公式来推导。
【高中数学必修4学习课件】——人教A版3-1-2-2两角和与差的正切公式
提高篇03
自我超越
——易错警示系列—— 忽视公式的成立条件致使过程出错 【例】 已知 tanα， tanβ 是方程 x2＋px＋q＝0 的两个根， 求 sin2(α＋β)＋psin(α＋β)cos(α＋β)＋qcos2(α＋β)的值．
【错解】
tanα＋tanβ＝－p， ∵ tanαtanβ＝q，
π π ∴α∈0，2，β∈2，π，∴α－β∈(－π，0)．
1 又∵tan(α－β)＝2>0，
π ∴α－β∈－π，－2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
3 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－4π.
通法提炼 1关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已 知角的和与差，再根据公式求解. 2关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再 根据角的取值范围确定该角的大小.
通法提炼
3－tan105° (1) 等于( 1＋ 3tan105° A．－1 C．－ 3
) B．1 3 D．－ 3
π (2)若α＋β＝ 3 ，tanα＋ 3 (tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)， 则tanβ＝________.
3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
【正解】
∵tanα＋tanβ＝－p，tanα· tanβ＝q，
π ∴当 α＋β＝kπ＋2(k∈Z)时， tanα· tanβ＝1， sin(α＋β)＝1， cos(α＋β)＝0 或 sin(α＋β)＝－1，cos(α＋β)＝0. ∴原式＝1＝q. π 当 α＋β≠kπ＋ (k∈Z)时， 2 tanα＋tanβ －p tan(α＋β)＝ ＝ . 1－tanα· tanβ 1－q ∴原式
人教a版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)(含答案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝__________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝__________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________. tan αtan β＝__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α＋β)、T (α－β)的推导过程． ∵sin(α＋β)＝__________________. cos(α＋β)＝__________________.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝____________＝_________________________________.∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]∴tan(α－β)＝________________＝________________.对点讲练知识点一 化简求值例1 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.回顾归纳 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1 求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.知识点二 给值求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.回顾归纳 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.知识点三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．回顾归纳 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题6．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.7．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．三、解答题9．求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1自主探究sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan βtan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β) tan α－tan β1＋tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)∵tan 60°＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝ 3.∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.变式训练1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°·tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.变式训练2 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4∴tan α、tan β均为负．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.]6．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.填要点·记疑点1.两角和与差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin βsin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β探要点·究所然情境导学从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？探究点一 由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)思考 由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换成－β后，也一定成立.请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式？答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β.即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.思考 利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？探究点二 由公式C (α－β)推导公式S (α＋β)及S (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.探究点三 两角和与差的正弦、余弦公式的应用思考 运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角，要善于发现和利用.例1 化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)反思与感悟 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.跟踪训练1 化简求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°·cos 74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；解 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β反思与感悟 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βsin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.证明 sin(2α＋β)＝3sin β⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α⇒tan(α＋β)＝2tan α.反思与感悟 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异.4当堂测·查疑缺 123A1.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B答案 A[－2,2]∴f(x)∈[－2,2].cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β呈重点、现规律1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)cos(α＋β) sin(α＋β)sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式.对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”.对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”.2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin [β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修4课件：3.1.2.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
类型三 给值求角 例 3 已知 tan α＝17，sin β＝ 1100，且 α，β 为锐角，求 α＋2β 的值．
第十九页，编辑于星期日：点 十四分。
【解析】 ∵tan α＝17<1 且 α 为锐角，∴0<α<π4.
又∵sin
β＝
10 10 <
1500＝
22且
第一页，编辑于星期日：点 十四分。
两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－__ta_n__α_ta_n_ β
两角差 的正切
tan(α－β)＝ tan α－tan β
1＋__ta_n__α_ta_n_ β
简记符号 T(α＋β) T(α－β)
使用条件 α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z) α，β，α－β≠ kπ＋π2(k∈Z)
第十三页，编辑于星期日：点 十四分。
类型二 给值求值
例 2 (1)已知 tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么 tanα＋π4等于 ()
A.1138 B.1232
33 C.22 D.18
(2)
已
知
sin sin
α＋cos α－cos
α α
＝
3
，
ta
tan(β － 2α) ＝
方法归纳 给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的 三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求 角间的关系，如用 α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待 求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求 值．
2020-2021学年人教A版高中数学必修4课件：3.1.2 第2课时 两角和与差的正切公式
和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋
π 2
(k∈Z)，两角差的正切
公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)．
1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )
7 A.11
B．－171
7 C.13
D．－173
B [tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－4＋4×3 3＝－171.]
4.1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°＝
.
3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.]
合作 探究 释疑 难
两角和与差的正切公式的应用
【例1】
(1)已知tan
α＝
1 2
，tan(α－β)＝－
2 5
，则tan(β－2α)＝
()
A．－34
B．－112
C．－98
D.98
(2)如图，在△ABC 中，AD⊥BC，D 为垂足，AD 在△A∶6，则 tan∠BAC＝
.
思路点拨：(1)构造角 2α－β＝α＋(α－β)． (2)先求∠CAD，∠BAD 的正切值，再依据 tan∠BAC＝tan(∠CAD －∠BAD)求值．
(1)B
核心素养
1.借助两角和与差的正切公式 的推导过程，培养学生逻辑推 理素养. 2.通过利用两角和与差的正切 公式进行化简、求值，提升学 生的数学运算和逻辑推理素养.
自主 预习 探新 知
两角和与差的正切公式
思考：两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？
[提示] 不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角
提示：tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－－baac＝－a－b c.
2018学年高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 精品
＝ 22× 23－ 22×21＝
6－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
2 .
(3)∵α，β为锐角，且 sin α＝255，sin(α＋β)＝35，
∴cos α＝ 55，
且由
sin
α＝2
5
5 >
23，得
π α> 3 .
又21<sin(α＋β)＝35< 23， ∴α＋β>π2 ，∴cos(α＋β)＝－45.
∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
x－
2π 3sin 3 sin x
＝3cosπ3 －
2π
3sin
3
sin
x－sinπ3 ＋
2π
3cos
3
cos x
＝3×12－
3×
23sin
x－
23－
3×12cos x＝0.
(3)∵tan 60°＝tan(23°＋37°)
＝1t－antan23°23＋°ttaann 3377°°＝ 3， ∴tan 23°＋tan 37°＝ 3－ 3tan 23°tan 37°， 故得 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
＝－54× 55＋35×25 5＝2255.
题型3 利用公式解决给值求角问题
例 3 已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134，
且 0<β<α<π2 .
(1)求 tan α的值；
(2)求 β.
分析：本题中 β＝α－(α－β).
解析：(1)∵cos α＝17，0<β<α<π2 ，
人教版高一数学(人教A版)必修4课件：3-1-2-2 两角和与差的正切
∴1t－antAa＋nAt·atannBB＝－
3 3
∴tan(A＋B)＝－
3 3 (2)
又∵A、B、C为△ABC的内角，
∴B＋C＝60°，A＋B＝150°.∴A＝120°，B＝C＝30°.
∴△ABC为顶角为钝角的等腰三角形．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
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第三章
3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 三角恒等变换
＝－171.
tan(x－y)＝1t＋anxta－nxttaannyy＝1＋14－＋33×14＝13.
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
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tan(α－β)＝12，tanβ＝13，则tanα＝( )
A．1
1 B.7
1
5
C.5
D.7
[答案] A
[答案] B
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
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[解析] ∵1t－an1ta0n°1＋0°ttaann2200°°＝tan30°＝ 33， ∴tan10°＋tan20°＝ 33(1－tan10°tan20°)． ∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
3．两角和与差的三角函数公式间的关系
3.1.2两角和与差的正切公式(二) 导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4
3.1.2 两角和与差的正切公式（二）一、学习目标、细解考纲1、能利用两角和与差的正余弦公式导出两角和与差的正切公式2、掌握两角和与差的正切公式及变形运用3、通过公式的推导和应用提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养二、自主学习—————（素养催化剂）(阅读教材128131P -的内容，完成以下问题)1、两角和与差的正切公式（1）()()+tan ______T αβαβ+=：（2）()()-tan ______T αβαβ-=：2、在使用正切公式时，需要注意()(),,22k k Z k k Z ππαπβπ≠+∈≠+∈ (),2k k Z παβπ+≠+∈()2k k Z παβπ-≠+∈ 3、两角和与差的正切公式的变形（1）tan tan ________αβ+=()tan tan tan tan tan ________αβαβαβ+++=tan tan ______αβ⋅=（2）tan tan ________αβ-=例3、求值（1）（教材130页例4（30（2）0000tan 25tan 3525tan 35++变式3、求值（1）0000cos15sin15cos15sin15-+ （2）0000tan 35tan8535tan85+四、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）拓展1、在ABC 中，若tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos C 的值为（ ）A 、2-B 、2C 、12D 、12- 思考1、已知锐角ABC ，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=拓展2、(教材改编）若,αβ均为钝角，且()()1tan 1tan 2αβ--=，求αβ+思考2、(教材改编）已知tan ,tan αβ是方程240x -+=的两根，且(),,0αβπ∈-，求αβ+五、备选例题例1、 (教材改编）已知tan 2α=（1）求3tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求22sin 2sin sin cos 2cos ααααα+-的值．例2、(教材改编）已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求22sin sin 2cos 4ααπα+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值六、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。
高一数学(人教A版)必修4能力提升：3-1-2-2 两角和与差的正切
能 力 提 升一、选择题)＝(α，则tan214)＝β－α，tan(25)＝β＋α1．tan( 16A.2213B. 322C.1318D. [答案] D[解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)].错误!＝错误!＝错误!＝ 2．(2013长春二模)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )22A ．－22B. 12C.12D ．－ [答案] B＝－tanA ＋tanB1－tanA·tanB ，可得1＋B tan ＋A tan ＝B ·tan A tan 由 ]解析[，π4＝C ，则3π4＝B ＋A ∴，π)，(0∈B ＋A ∵，1＝－)B ＋A tan(，即1.22＝C cos 3．在△ABC 中，若0<tan B tan C <1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不能确定 [答案] B[解析] ∵0<tan B tan C <1，∴B ，C 均为锐角，，)>0C ＋B cos(∴，<1sinBsinC cosBcosC∴ ∴cos A <0，∴A 为钝角．π2＋4＝0的两根，且－x 3＋32x 是方程β、tan α4．已知tan )的值为(β＋α，则π2<β<π2，－π2<α< π3A.2π3B ．－ 2π3或－π3C.2π3或π3D ．－ [答案] B[解析] 由韦达定理得，4＝β·tan αtan ，33＝－βtan ＋αtan ∴tan α<0，tan β<0，3＝－331－4＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝)β＋αtan(∴ <0βtan ，<0αtan ，且π2<β<π2，－π2<α<π2又－ .2π3＝－β＋α∴，<0β＋απ<－∴ 3)＋θ＋π6)＋tan(θ－π65．(2011～2012·长春高一检测)tan())的值是(θ＋π6)tan(θ－π6tan(3A.33B.3C ．2233D. [答案] A)π6＋π6tan(＝π3tan ∵ ]解析[ )]θ＋π6(＋)θ－π6tan[(＝ 错误!＝ 错误!＝3∴ )θ＋π6tan(＋)θ－π6tan(即 ，)θ＋π6)·tan(θ－π6tan(3－3＝ .3＝)θ＋π6)·tan(θ－π6tan(3＋)θ＋π6tan(＋)θ－π6tan(∴ )，则这个三角形是(错误!＝B 中，若tan ABC △6．在 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] B[解析] 因为△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，错误!＝B tan 所以 ，错误!＝错误!＝ ，cosC·cosB＋sinCsinB2cosBsinC＝sinB cosB 即 ∴cos(B ＋C )＝0，∴cos(π－A )＝0，∴cos A ＝0，，π2＝A ∴，<πA 0<∵ ∴这个三角形为直角三角形，故选B.二、填空题∈x，55＝x 3广西联考)已知sin 7．(201)＝________.π4－x )，则tan(3π2，π2([答案] －3π)，π2(∈x ∴，55＝x sin ，π)32，π2(∈x ∵ ]解析[ 12＝－x tan ∴，255＝－x cos ∴ 3.＝－－321－12＝tanx －11＋tanx ＝)π4－x tan( α＋β2，则tan13＝－⎝⎛⎭⎪⎫β－α2，tan 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β28．已知tan ＝________. 17]答案[ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2tan ＝α＋β2tan ]解析[ .17＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ ，14)＝π4－β，tan(25)＝β＋αtan(9．(2013山东潍坊高一期末)如果)＝________.π4＋α那么tan( 322]答案[ )]π4－β(－)β＋αtan[(＝)π4＋αtan( ]解析[ .错误!＝错误!＝错误!＝ 三、解答题3中，ABC △10．(2011～2012·学军高一检测)已知的大小．C .求3＝B －tan A －tan B tan A tan ，3＝－tanA ＋tanB1－tanAtanB 依题意： ]解析[ ，<πB ＋A 0<，又3＝－)B ＋A tan(即 .π3＝B －A －π＝C ∴，2π3＝B ＋A ∴ 11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B.255、210的横坐标分别为求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的值．.525＝βcos ，210＝αcos 由已知得 ]解析[ 又α，β是锐角．，2710＝1－cos2α＝αsin 则 .55＝1－cos2β＝βsin .12＝sinβcosβ＝βtan ，7＝sinαcosα＝αtan 所以 3.＝－7＋121－7×12＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝)β＋α(1)tan( (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]错误!＝ ，1＝－－3＋121＋3×12＝ ，3π2<β2＋α0<是锐角，则β 、α又 .3π4＝β2＋α所以 12．已知A 、B 、C 是△＝1.n ·m )，且A ，sin A ＝(cos n )，3＝(－1，m 的三内角，向量ABC (1)求角A ；.C ＝－3，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B (2)若tan [解析] ∵(1)m ·n ＝1，，1＝)A sin ，A )·(cos 3，1－(∴ 1.＝⎝⎛⎭⎪⎫A －π61,2sin ＝A cos －A sin 3即 .12＝⎝⎛⎭⎪⎫A －π6sin ∴ .5π6<π6－A <π6－∴，π<A 0<∵ .π3＝A 即，π6＝π6－A ∴ ，3＝－tanB ＋11－tanB ＝⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4tan 由(2) 解得tan B ＝2..3＝A tan ∴，π3＝A 又 ∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) .8＋5311＝2＋31－23＝－tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝－。
高一数学人教A版必修四教案：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2) Word版含答案
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cos αcos βsin αsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan μ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）οο15tan 115tan 1-+ 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为οοοο15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.（3）由公式T (α+β)得原式=οοοο15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°;（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1οο+- 解：原式=οοοο75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ),即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ=sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ.∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立. ∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ). 又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π. 点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练 已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值. 解：∵2π<β<α<43π, ∴0<α-β<4π,π<α+β<23π. 又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-, ∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-. ∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α) =cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α) =2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b 不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=22b a a+,sin φ=22b a b+,从而得到tan φ=ba ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练化简下列各式：（1）3sinx+cosx;（2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx) =22sin(6π-x).例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值;（2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tan α,tan β的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sin αcos β和cos αsin β，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ ∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2.（2）∵sin(α+β)=21,sin(α-β)= 31, ∴sin αcos β+cos αsin β=21, ①sinαcos β-cos αcos β=31.② ①+②得sin αcos β=125, ①-②得cos αsin β=121, ∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα 点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.计算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.（四）作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tan α、tan β,求tan(α+β)的值.解：由韦达定理得：tan α+tan β=ab -,tan αtan β=ac , ∴tan(α+β)=a c b a c c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.（五）课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：3-1-2-2 两角和与差的正切公式
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．tan1π2＝2－ 3.
解析：tan1π2＝tan4π－π6＝1t＋anπ4ta－nπ4ttaannπ6π6＝11－＋
3 33＝2－ 3
3.
类型一 公式的简单应用
[例 1] 求下列各式的值： (1)tan1112π；
tan75°－tan15° (2)1＋tan75°tan15°.
第三章
三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第2课时 两角和与差的正切公式
[目标] 1.理解两角和与差的正切公式及其推导过程． 2.能 够灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌 握公式的正向、逆向及变形应用．
[重点] 记住并会应用两角和与差的正切公式． [难点] 灵活运用公式进行求值、化简、证明．
[解] (1)∵tan(23°＋37°)＝1t－an2ta3n°2＋3°ttaann3377°°， ∴ 3＝1t－an2ta3n°2＋3°ttaann3377°°. ∴ 3－ 3tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°. ∴tan23°＋tan37°＋ 3tan23°tan37°＝ 3. (2)∵(1＋ 3tanα)(1＋ 3tanβ) ＝1＋ 3(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4， ∴tanα＋tanβ＝ 3(1－tanαtanβ)． ∴tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝ 3. 又∵α，β 均为锐角，∴0<α＋β<180°.∴α＋β＝60°.
C．－75
D．75
解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα ＝1＋13－13×－－22＝7.
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一、选择题
1．tan(α＋β)＝25，tan(α－β)＝1
4，则tan2α＝( ) A.16 B.2213 C.322 D.1318
[答案] D
[解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)
＝25＋141－25×14
＝13
18. 2．(2013长春二模)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )
A ．－2
2 B.22 C.12 D ．－12 [答案] B
[解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B
1－tan A ·tan B ＝－1，
即tan(A ＋B )＝－1，∵A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝3π4，则C ＝π
4，cos C ＝22.
3．在△ABC 中，若0<tan B tan C <1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形
D ．形状不能确定
[解析] ∵0<tan B tan C <1，∴B ，C 均为锐角， ∴sin B sin C
cos B cos C <1，∴cos(B ＋C )>0， ∴cos A <0，∴A 为钝角．
4．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π
2，－π2<β<π
2，则α＋β的值为( )
A.π3 B ．－2π3 C.π3或－2π3 D ．－π3或2π3
[答案] B
[解析] 由韦达定理得
tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4， ∴tan α<0，tan β<0，
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3
又－π2<α<π2，－π2<β<π
2，且tan α<0，tan β<0 ∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π
3.
5．(2011～2012·长春高一检测)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π
6－θ)tan(π
6＋θ)的值是( )
A. 3
B.33 C ．2 3
D.233
[解析] ∵tan π3＝tan(π6＋π
6) ＝tan[(π6－θ)＋(π
6＋θ)] ＝tan (π6－θ)＋tan (π6＋θ)1－tan (π6－θ)·tan (π6＋θ)
∴3＝
tan (π6－θ)＋tan (π
6＋θ)
1－tan (π6－θ)·tan (π
6＋θ)
即tan(π6－θ)＋tan(π
6＋θ) ＝3－3tan(π6－θ)·tan(π
6＋θ)，
∴tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)＝ 3.
6．在△ABC 中，若tan B ＝cos (C －B )sin A ＋sin (C －B )，则这个三角形是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 [答案] B
[解析] 因为△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以tan B ＝cos (C －B )
sin A ＋sin (C －B )
＝cos C cos B ＋sin C sin B sin (B ＋C )＋sin (C －B )
＝cos C cos B ＋sin C sin B 2cos B sin C ，
即sin B cos B ＝cos C ·
cos B ＋sin C sin B 2cos B sin C
， ∴cos(B ＋C )＝0，∴cos(π－A )＝0，∴cos A ＝0， ∵0<A <π，∴A ＝π2，
∴这个三角形为直角三角形，故选B. 二、填空题
7．(2013广西联考)已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π
4)＝________.
[答案] －3
[解析] ∵x ∈(π2，32π)，sin x ＝55，∴x ∈(π
2，π) ∴cos x ＝－255，∴tan x ＝－1
2 tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x
＝－32
1－12
＝－3.
8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－1
3，则tan α＋β2＝________.
[答案] 1
7
[解析] tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝
⎛
⎭
⎪⎫α－β2＋⎝
⎛⎭⎪⎫β－α2
＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－131－12×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－13＝17.
9．(2013山东潍坊高一期末)如果tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝1
4，
那么tan(α＋π
4)＝________.
[答案] 3
22
[解析] tan(α
＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π
4)] ＝tan (α＋β)－tan (β－π
4)
1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝25－141＋25×14＝3
22. 三、解答题
10．(2011～2012·学军高一检测)已知△ABC 中，3tan A tan B －tan A －tan B ＝ 3.求C 的大小．
[解析] 依题意：tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3，
即tan(A ＋B )＝－3，又0<A ＋B <π， ∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－A －B ＝π
3.
11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、25
5.
求：(1)tan(α＋β)的值；
(2)α＋2β的值．
[解析] 由已知得cos α＝210，cos β＝2
5 5. 又α，β是锐角．
则sin α＝1－cos 2
α＝7
102，
sin β＝1－cos 2β＝5
5.
所以tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝1
2. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝7＋12
1－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β ＝
－3＋12
1＋3×12
＝－1， 又α、 β是锐角，则0<α＋2β<3π
2， 所以α＋2β＝3π
4.
12．已知A 、B 、C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.
(1)求角A ；
(2)若tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋B ＝－3，求tan C .
[解析] ∵(1)m ·n ＝1，
∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1， 即3sin A －cos A ＝1,2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π6＝1. ∴sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫A －π6＝12.
∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π
6. ∴A －π6＝π6，即A ＝π3.
(2)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝tan B ＋11－tan B ＝－3， 解得tan B ＝2. 又A ＝π
3，∴tan A ＝ 3.
∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2＋31－23
＝8＋5311.
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