浙江省杭州市余杭区2018-2019学年八年级下学期数学期中考试试卷(解析版)

浙江省杭州市余杭区2018-2019学年八年级下学期数学期中考试试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1.下列交通标志中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.中心对称图形，A符合题意；
B.轴对称图形，B不符合题意；
C.不是中心对称图形，C不符合题意；
D.轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，由此即可得出答案.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.∵=3，故正，A符合题意；
B.∵（-）2=3，故错误，B不符合题意；
C.∵=6，故错误，C不符合题意；
D.∵（）2=7，故错误，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式性质=，（）2=a（a≥0）逐一计算即可得出答案.
3.二次根式有意义的x的范围是( )
A. x＝1
B. x≠1
C. x≥1
D. x≤1
【答案】 D
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题可得：
1-x≥0，
解得：x≤1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于0，列出不等式，解之即可得出答案.
4.若多边形的边数由3增加到n(n为大于3的正整数)，则其外角和的度数( )
A. 增加
B. 减少
C. 不变
D. 不能确定
【答案】C
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：依题可得：
任何一个多边形的外角和为360°，
∴其外角和的度数不变.
故答案为：C.
【分析】多边形外角和的度数为360°，由此即可得出答案.
5.下列二次根式中能与2 合并的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】同类二次根式
【解析】【解答】A、＝2 ，不能与2 合并，故不符合题意；
B、能与2 合并，故符合题意；
C、＝3 不能与2 合并，故不符合题意；
D、＝3不能与2 合并，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质，将各个二次根式分别化为最简二次根式，如果被开方数是3的就能与
合并。

6.一组数据1，2，3，4，4，10．去掉10，剩下的数据原数据相比，不变的是( )
A. 平均数
B. 中位数
C. 众数
D. 平均数和众数
【答案】C
【考点】平均数及其计算，中位数，众数
【解析】【解答】解：∵ 1，2，3，4，4，10，
∴平均数为：=4，
中位数为：=3.5，
众数为：4，
又∵ 1，2，3，4，4，
∴平均数为：=，
中位数为：3，
众数为：4，
∴众数不变.
故答案为：C.
【分析】根据两组数据分别求出平均数，中位数，众数，比较即可得出答案.
7.平行四边形一边的长是10cm，则这个平行四边形的两条对角线长可以是( )
A. 4cm或6cm
B. 6cm或8cm
C. 8cm或12cm
D. 20cm或30cm 【答案】 D
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵对角线长为4，6，
∴2+3＜10，A不符合题意；
B.∵对角线长为6，8，
∴3+4＜10，B不符合题意；
C.∵对角线长为8，12，
∴4+6＜10，C不符合题意；
D.∵对角线长为20，30，
∴10+15＞10，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，依此逐一分析即可得出答案.
8.如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足4a－2b＋c＝0，且有两个相等的实数根，则( )
A. b＝a
B. c＝2a
C. a(x＋2)2＝0(a≠0)
D. a(x－2)2＝0(a≠0)
【答案】C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
又∵ 4a－2b＋c＝0，
∴b2=4ac=（）2，
化简为：（4a-c）2=0，
∴4a=c，
∴b=4a，
∵ ax2＋bx＋c＝0，
∴ ax2＋4ax＋4a＝0，
即a（x+2）2=0.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得b2-4ac=0，结合已知条件4a－2b＋c＝0，解之得b=c=4a，代入方程ax2＋bx＋c＝0得ax2＋4ax＋4a＝0，化简为a（x+2）2=0.
9.欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．
则该方程的一个正根是( )
A. AC的长
B. CD的长
C. AD的长
D. BC的长
【答案】C
【考点】一元二次方程的根，勾股定理
【解析】【解答】解：设AD=x，
∵∠ACB=90°，BC=，AC=b，BD=，
∴AB2=AC2+BC2，
即（x+）2=b2+（）2，
∴ x2＋ax＝b2，
∴该方程的一个正根为AD的长.
故答案为：C.
【分析】设AD=x，在Rt△ACB中，根据勾股定理列出等式，化简即为方程x2＋ax＝b2，由此可知该方程的一个正根为AD的长.
10.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90º，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是( )
A. ∠D的度数为α
B. a∶b＝CD∶BC
C. 若α＝60º，则平行四边形ABCD的周长为
D. 若α＝60º，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
【答案】 D
【考点】勾股定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A.∵ AE⊥BC ，AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ，AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=AB，AB2=BE2+AE2，
即AB2=（AB）2+a2，
解得：AB=a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=AD，AD2=DF2+AF2，
即AD2=（AD）2+b2，
解得：AD=b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=a，AD=b，
∴BE=a，DF=b，
∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2，
S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2，
∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF，
=ab-a2-b2，
故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.根据垂直定义和四边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；
B. 由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；
C.由A知∠B=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=a，AD=b，
根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=（a+b），故正确；
D.由C知AB=a，AD=b，从而可得BE=a，DF=b，根据三角形面积公式分别求得
S△ABE=a2，S△ADF=b2，由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=ab-a2-b2，故错误.
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11.化简＝________．
【答案】
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵=.
故答案为：.
【分析】根据二次根式分母有理化：=，依此计算即可得出答案.
12.一组数据1，3，5，7，9的方差为________．
【答案】8
【考点】方差
【解析】【解答】解：∵数据为1，3，5，7，9，
∴平均数为：=5，
∴方差为：【（1-5）2+（3-5）2+（5-5）2+（7-5）2+（9-5）2】=8.
故答案为：8.
【分析】根据方差公式S2=【（x 1-）2+（x2-）2+……+（x n-）2】，由此计算即可得出答案.
13.某校5个假日小队参加植树活动，平均每组植树10株．已知第一、二、三、五组分别植树9株、12株、9株、8株，则第四小组植树________株．
【答案】12
【考点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵某校5个假日小队参加植树活动，平均每组植树10株，
∴5个假日小队共植树：5×10=50（株），
又∵第一、二、三、五组分别植树9株、12株、9株、8株，
∴第四小组植树：50-9-12-9-8=12（株）.
故答案为：12.
【分析】根据平均数求得5个假日小队共植树50株，再由已知条件即可求得第四小组植树株数.
14.已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是－14，它的一个根是－7，则这个方程为
________．
【答案】
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：依题可设方程为：2x2+bx-14=0，
∵它的一个根是－7，
∴2×（-7）2+（-7）b-14=0，
解得：b=12，
∴这个方程为：2x2+12x-14=0.
故答案为：2x2+12x-14=0.
【分析】根据题意设方程为：2x2+bx-14=0，再将x=-7代入方程，解之即可求得b值，由此即可得出答案.
15.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G是AD 上的任一点．计S1＝S△BEF，S2＝S△GFC，S＝S□ABCD，则S＝________S2＝________S1．
【答案】4；8
【考点】三角形的面积
【解析】【解答】解：设平行四边形BC边上高为h，
∵ E，F分别为AB，BC的中点，
∴BF=CF=BC，BF边上的高为h，
∴S1=S△BEF=·BF·h=·BC·h=·BC·h，
S2=S△GFC=·CF·h=·BC·h=·BC·h，
S＝S□ABCD=BC·h，
∴S=4S2=8S1.
故答案为：4，8.
【分析】设平行四边形BC边上高为h，由中点定义可得BF=CF=BC，BF边上的高为h，根据三角形面积公式得S1=S△BEF=·BC·h，S2=S△GFC=·BC·h，S＝S□ABCD=BC·h，从而可得S=4S2=8S1.
16.商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若售价单价为________元，商场每天盈利达1500元；该商场销售这种商品日最高利润为________元．
【答案】150或170；1600
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设售价单价为x元，依题可得：
（x-120）[70-（x-130）]=1500，
化简为：（x-150）（x-170）=0，
解得：x1=150，x2=170，
设商场销售这种商品的日最高利润为W，依题可得：
W=（x-120）[70-（x-130）]，
=-（x-160）2+1600，
∴当x=160时，最高利润为1600元.
故答案为：150或170；1600.
【分析】设售价单价为x元，根据一个商品的利润×数量=每天商场销售这种商品的利润，依此列出方程，解之即可得出答案；设商场销售这种商品的日最高利润为W，由W=（x-120）[70-（x-130）]=-（x-160）2+1600，根据二次函数的性质，即可求得商场销售这种商品的最高利润.
三、解答题：本题有7小题，共66分．
17.解方程：
（1）x(2x－7)＝2x
（2）
【答案】（1）解：∵x（2x-7）=2x，
∴x（2x-9）=0，
解得：x1=0，x2=，
∴原方程的解为：x1=0，x2=；
（2）解：∵2x2+4x-3=0，
∵a=2，b=4，c=-3，
∴△=b2-4ac=16-4×2×（-3）=40＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x===，
∴原方程的解为：x1=，x2=。

【考点】公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的解法——提公因式法，解之即可.
（2）利用一元二次方程的解法——根的判别式，解之即可.
18.计算或求值：
（1）计算：(1－)－
（2）已知a＝＋，b＝－，求a2－ab＋b2的值．
【答案】（1）解：原式=-3-，
=-；
（2）解：∵a=，b=，
∴ a2－ab＋b2 =（a+b）2-3ab，
=【（）+（）】2-3×（）×（），
=（2）2-3×【（）2-（）2】，
=12-3×1，
=9.
【考点】二次根式的混合运算，二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法，加减法法则，计算即可得出答案.
（2）将a2－ab＋b2 =（a+b）2-3ab，再将a、b值代入化简之后的代数式，计算即可得出答案.
19.如图是某校在慈善爱心捐款活动中的统计情况，图1是各年级捐款人数占总捐款人数的百分比，图2是对部分学生捐款金额和人数的抽样调查．
（1）在抽取的样本中，捐款金额的平均数、中位数、众数各是多少？
（2）若该校九年级共有200人捐款，请你估计全校捐款的总金额约为多少元？
【答案】（1）解：由图2可知：
捐款金额：5 10 15 20 25
捐款人数：4 8 10 16 12
∴捐款金额的平均数为：=17.4（元），
捐款金额的中位数为：20元，
捐款金额的众数为：20元，
答：捐款金额的平均数是17.4元，中位数为20元，众数是20元.
（2）解：由图1知：
九年级捐款人数占总捐款人数的百分比为：
1-35%-40%=25%，
∴全校捐款人数为：200÷25%=800（人），
∴全校捐款的总金额约为：800×17.4=13920（元），
答：全校捐款的总金额约为13920元.
【考点】用样本估计总体，平均数及其计算，中位数，众数
【解析】【分析】（1）由图2的数据根据平均数公式，中位数、众数定义即可得出答案.
（2）由图1知：九年级捐款人数占总捐款人数的百分比为25%，从而求出全校捐款人数，用这个捐款人数乘以捐款平均数即可求得答案.
20.如图，平行四边形ABCD中，AP，BP分别平分∠DAB和∠CBA，交于DC边上点P，AD＝5．
（1）求线段AB的长．
（2）若BP＝6，求△ABP的周长．
【答案】（1）解：在平行四边形ABCD中，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠BAP，
∵DC//AB，
∴∠DPA＝∠PAB，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴DA＝DP．
同理CB＝CP，
∴AD＝BC＝5，
∴DC＝DP＋CP＝10cm．
（2）解：∵DA//CP，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC
∴∠BAP＝∠BAD,∠PBA＝∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝90º,
∴∠APB＝90º，
∵AB＝10，BP＝6，
∴PA＝8，
∴C△ABP=24cm．
【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质得∠DAP＝∠BAP，∠DPA＝∠PAB，等量代换得∠DAP ＝∠DPA，由等腰三角形性质可得DA＝DP ；同理可得CB＝CP，由DC=DP+CP即可求得答案.
（2）据角平分线定义得∠BAP＝∠BAD，∠PBA＝∠CBA，由平行线性质得∠DAB+∠ABC=180°，从而可得∠PAB＋∠PBA＝90°，在Rt△APB中，根据勾股定理求得AP长，再由三角形周长即可求得答案.
21.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根．
（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根．
（2）解：∵，
∴．
①当直角边长为5时，，；
②当斜边长为5时，，，
∴或．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根；依此即可得出答案.
（2）先分别求出一元二次方程的解，再分情况讨论：①当直角边长为5时，②当斜边长为5时，根据勾股定理即可求得m值.
22.在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E，构造出平行四边形AEDF．
（1）若点D在线段BC上时．
①求证：FB＝FD．②求证：DE＋DF＝AC．
（2）点D在边BC所在的直线上，若AC＝8，DE＝3，请作出简单示意图求DF的长度，不需要证明．【答案】（1）解：证明：
①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DF//AC，
∴∠FDB＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，
∴FB＝FD．(4分)
②∵四边形AEDF是平行四边形，
∴ED＝AF，AE＝FD，
∵FB＝FD，
∴AE＝FB，
∴DE＋DF＝AF＋FB＝AB，
∵AB＝AC，
∴DE＋DF＝AC．
（2）如图1，
∵四边形AEDF为平行四边形，
∴AF=DE，DF=AE，
由（1）知FB=FD，
∵AC=8，DE=3，AB=AC，
∴AF=3，BF=AB-AF=8-3=5，
∴DF=BF=5；
如图2，
∵四边形AEDF为平行四边形，
∴AF=DE，DF=AE，
由（1）知FB=FD，
∵AC=8，DE=3，AB=AC，
∴AF=3，BF=AB+AF=8+3=11，
∴DF=BF=11；
【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）①根据等腰三角形性质得∠B＝∠C，由平行线性质得∠FDB＝∠C，等量代换得∠B ＝∠FDB，根据等腰三角形性质：等角对等边即可得证.
②由平行四边形性质得ED＝AF，AE＝FD，由①知FB＝FD，等量代换得AE＝FB，从而可得DE＋DF＝AF ＋FB＝AB=AC．
（2）如图1：根据平行四边形性质得AF=DE=3，DF=AE，由（1）知FB=FD，由DF=BF=AB-AF=8-3=5；
如图2：根据平行四边形性质得AF=DE=3，DF=AE，由（1）知FB=FD，由DF=BF=AB+AF=8+3=11.
23.方方同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
①该厂一月份罐头加工量为a吨；
②该厂三月份的加工量比一月份增长了44％；
③该厂第一季度共加工罐头182吨；
④该厂二月、三月加工量每月按相同的百分率增长；
⑤该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；
⑥六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68吨．
利用以上信息求：
（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率；
（2）该厂一月份的加工量a的值；
（3）该厂第二季度的总加工量．
【答案】（1）解：设第一季度加工量的月平均增长率为x，
由题意得，
解得，(不合题意舍去)，
∴第一季度加工量的月平均增长率为20%
（2）解：由题意得，
解得a＝50
（3）解：六月份产量为50×2.1＝105吨．
五月份产量为105－46.68＝58.32吨．
设从三月到五月逐月下降的百分率为y，
由题意得，
解得，(不合题意舍去)，
∴从三月到五月逐月下降的百分率为10%．
∴四月产量为72×0.9＝64.8吨，
∴第二季度总产量为64.8＋58.32＋105＝228.12吨．
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设第一季度加工量的月平均增长率为x，由该厂三月份的加工量比一月份增长了44％；列出方程，解之即可求得答案.
（2）该厂第一季度共加工罐头182吨；由此列出方程，解之即可求得a值.
（3）根据六月份产量为一月份的2.1倍求得六月份产量，六月份与五月份相比增长了46.68，由此列出等式求得五月份产量，设从三月到五月逐月下降的百分率为y，根据题意列出方程，解之求得从三月到五月逐月下降的百分率，从而求得四月产量，从而求得第二季度总产量.。