华东师大初中数学九年级上册424918比例线段及黄金分割(提高) 巩固练习[精选]
九年级数学比例线段与黄金分割同步练习
“比例线段与黄金分割”同步练习A 组1．正方形的对角线与它的边长之比是（ ）A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶2D ．2∶1 2．已知32=b a ，那么=+bb a （ ） A ．23 B ．34 C ．53 D ．35 3．已知23y x =，那么下列式子中一定成立的是（ ） A ．y x 32= B ．y x 23= C ．y x 2= D ．xy=64．已知432∶∶=x ，那么x = ． 5．把长为10cm 的线段黄金分割后，较长线段的长等于 cm ．6．若)0(32≠+==q n q p n m ，则=++qn p m ． 7．在一张比例尺为1∶10000的地图上，量得张老师家到学校的距离是8cm ，求张老师家到学校的实际距离．8．如果某古塔在地面上的影长为50米，同一时刻，高为1.5米的测杆影长为1米，你能求出古塔的高度吗？如果能，请求出古塔的高度；如果不能，请说明理由．B 组1． 已知bc ad =（a 、b 、c 、d 不等于零），那么下列各式中不正确的是（ ） A ．d d c b b a +=+ B ．d d b c c a +=+ C ．d d b c c a -=- D ．dd b a c a -=- 2． 在⊿ABC 中，∠A =900，BC =10，AC =8，那么⊿ABC 中的最短的边与最长的边之比是 ．3．已知532z y x ==，且15=++z y x ，则x= ，y= ，z= ． 4．如图13-4，用直尺和圆规作出线段AB 的黄金分割点C ，使AC ＞BC ．5．已知ba c c abc b a x +=+=+=，求x 的 值．C 组1． 已知C 是线段AB 上的黄金分割点，且215-=AB AC ，求ACCB 的值．2． 如图13-5，在Rt ⊿ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，试猜想线段AC 、AB 、CD 、BC 是否对应成比例？如果对应成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不能，请说明理由．3． 已知⊿ABC 和⊿A /B /C /中，32//////===C A AC C B BC B A AB ，且⊿A /B /C /的周长为80cm ，求⊿ABC 的周长．参考答案：A 组1．D 2．D 3．A 4．23 5．)15(5-或6.18 6．32 7．设张老师家到学校的距离为xcm ，则有1000018=x ，解得80000=x ，即张老师家到学校的距离为800米 8．能．根据物高与影长对应成比例可得，1505.1=古塔高度，∴古塔高度=75米． B 组1．D 2．3∶5 3．3 ，4.5，7.5 4．略 5．当0≠++c b a 时，21)(2=++++=c b a c b a x ，当0=++c b a 时，c b a -=+，则1-=-=+=c c c b a x ，即121-=或x ． C 组1．∵215-=AB AC ∴BC= AB-BC =253-，∴25-=ACBC 2．线段AC 、AB 、CD 、BC 对应成比例．即AB BC AC CD =（提示：根据三角形的面积公式，得BC AC CD AB ⨯=⨯2121，然后化成比例式即可） 3．由于0≠''+''+''C A C B B A ，根据等比性质，得C A C B B A AC BC AB ''+''+''++=32，即3280=ABC C ▲，∴C ⊿ABC =cm 3160．。
比例线段和黄金分割测验题
比例线段和黄金分割练习题姓名________学号_________一、选择题（每题4分，共24分）1、在比例尺为1：400000的地图上，量得AB 两地距离是24cm ，则A 、B 两地实际距离为( )A 、960mB 、9600mC 、96000mD 、960000m2、把cd ab 21=写成比例式，下列写法不正确的是 A 、b d c a 2= B 、b d c a =2 C 、b d c a =2 D 、bc d a =2 3、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则( )A 、PB AB AP ⋅=2B 、PB AP AB ⋅=2；C 、AB AP PB ⋅=2；D 、222AB BP AP =+ 4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5-5、若151011c a c b b a +=+=+ ，则=c b a ::（ ） A 、11：10：15 B 、8：3：7； C 、3：2：5； D 、6：7：86、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5M ，影长是1M ，旗杆的影长是8M ，则旗杆的高度是（ ）A 、12MB 、11MC 、10MD 、9M二、填空题（每空3分，共24分）1、已知04.0,2.0==b a ，则=b a :。
2、正方形的边长与对角线的比为：。
3、若43=b a ，则=+a b a =-b a a 2=-+ba b a 工 。
4、若2:3:=y x ，2:3:=z y 则=z y x ::。
5、若P 为AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，若AB ＝8cm ，则AP ＝__________PB ＝。
四、解答题。
（每题7分，共28分）1、（1）若322=-y y x , 求yx 的值。
（2）、若c b a 432==，求c b a ::的值。
比例线段和黄金分割练习题.doc
2、把ab = -cd 写成比例式，下列写法不正确的是 2a d A 、—=— c 2b a d 2a d —=—C 、—=— 2c b c b3、己知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP<PB,则（B 、 D 、 2a c ~d =~b ) 比例线段和黄金分割练习题姓名 学号一、选择题（每题4分，共24分） 1、在比例尺为1： 400000的地图上，量得AB 两地距离是24cm,则A 、B 两地实 际距离为（） A 、 960m B 、 9600m C 、 96000m D 、 960000mA 、AP 2 =AB PBB 、AB 2 =AP PB ；C 、PB 1 = AP A8；D 、AP 2 BP 2 = AB 24、 己知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10cm,则PQ 长为（）A 、5（V5-1）B 、5（V5 +1）C 、10（75-2）D 、5（3-妁 e a + h b + c a + c ,、 5、 若 ---- 二 ---- 二 ---- ，则。
：Z?: c =（）II 10 15A 、11： 10： 15B 、8： 3： 7；C 、3： 2： 5；D 、6： 7： 86、 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）A 、12 米B 、11 米C 、10 米D 、9 米 二、填空题（每空3分，共24分）1、 己知 “ =0.2，= 0.04,贝\\ a \b=。
2、 正方形的边长与对角线的比为：。
a 3 ri , ci+ b a a + h3、 若一二一，则 ----- = __________ _____ = __________ ____ = _________ ob 4 a a - 2b a-b4、 若x:y = 3:2, y:z = 3:2 贝^x: y: z=。
华东师大初中数学九年级上册424918比例线段及黄金分割(提高) 知识讲解
相似形和比例线段（提高） 知识讲解学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂： 394495 图形的相似 预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1. （2016春•上海校级月考）已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【思路点拨】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【答案与解析】解：（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键．举一反三：【高清课堂：394495 图形的相似预备知识练习2】【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（）.A. B. C. D. 无法确定【答案】C.2.【总结升华】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．类型二、黄金分割3. 的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【答案与解析】∵四边形ABEF 是正方形，∴AB=DC=AF,又∵AB AD =∴AF AD = 即点F 是AD 的黄金分割点，∴12AF AD =,即32DF AD =∴DF AF =，即DF DC =， ∴矩形CDEF 是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.4.（1）已知线段AB=10cm ，C 是AB 的一个黄金分割点，且AC ＜BC ，求AC 长；（2）已知线段a 、b 、c ，a=4cm ，b=9cm ，线段c 是线段a 和b 的比例中项．求线段c 的长．【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC 是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；（2）根据线段比例中项的概念，可得a ：c=c ：b ，可得c 2=ab=36，故c 的值可求．注意线段不能为负．．【答案与解析】解：（1）∵线段AB=10cm ，C 是AB 的一个黄金分割点，且AC ＜BC ， ∴AC=10×=15﹣5（cm ）；（2）∵线段c 是线段a 和b 的比例中项，a=4cm ，b=9cm ，∴c 2=ab=36，解得c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．也考查了比例中项的概念．． 举一反三：【变式】已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B. C. 或 D.以上都不对【答案】C.提示：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC，∴AC=AB=；当AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．。
242 比例线段(2)(作业)-黄金分割-2021-2022学年九年级数学上(沪教版)(原卷版)
24.2比例线段（2）-黄金分割一、单选题1．已知线段AB 的长为a ，P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，那么AP 的长为（ ）A B C ．1)a D ．1)a2．已知C 是AB 的黄金分割点()AC BC <，若4AB =，则AC 的长为（ ）．A ．2)B ．(6-C ．1)D ．(33．下列说法正确的是（ ）A ．每一条线段有且只有一个黄金分割点B ．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C ．若点C 把线段AB 黄金分割，则AC 是AB 和BC 的比例中项D ．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6184．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点（其中AC ＞BC ），则下列结论正确的是（ ）A ．BC AC =B ．AC BC =C ．AB 2＝AC 2+BC 2D ．BC 2＝AC•BA5．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AB 的长度为8cm ，那么BP 的长度是（ ）A ．12-B ．9-C ．4D ．46．点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，下列说法正确的有（ ）AB ，352AB ，③AB ：AC=AC ：BC ，④AC≈0.618AB A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG 、GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割数”，把点G 称为线段MN 的“黄金分割点”．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若点D 是边BC 边上的一个“黄金分割点”，则△ADC 的面积为（ ）A ．5-B ．5C ．20-D ．10-8．如图，乐器上的一根弦AB ＝80cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为（ ）A ．（40）cm B ．（40）cm C ．（120﹣cm D ．（160）cm9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（10.6182≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm10．有以下命题：①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a cb d=； ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB ．BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则1．其中正确的判断有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020⎝⎭B ．2021⎝⎭C ．2020⎝⎭D ．2021⎝⎭12．著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中90ACB EJD ∠=∠=︒，CB EJ =，连结,HF CJ ，得到4个全等的四边形HFGI ，四边形HFBA ，四边形CJEA ，四边形JCBD ．CJ 分别交AB ，ED 于点M ，N ，若:5:9MN CJ =，且5AB =，则HF 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知线段AB 的长为10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝_____cm ．（结果保留根号） 14．已知线段AB 长是2,P 是线段AB 上的一点，且满足2·,APAB BP =那么AP 长为____．15．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，则AC 的长为_____．16．已知线段=AB 6，点c 是线段AB 的黄金分割点，ACBC >．那么AC BC -=________．17．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AP的长度为8cm ，那么AB 的长度是______cm ．18．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是2，则ABC 的面积是_______．19．已知点C ，D 在线段AB 上，::3:1:4AC CD DB =，M 是线段AC 中点，N 是线段BD 中点，线段24AB cm =，则线段MN =__________．20．公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了有关黄金矩形的问题．并建立起比例理论，他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比．所谓黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合这一比例．则在黄金矩形中宽与长的比值是______．21．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．22．如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为_____；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，依次以此类推，AP n的长度为_____．三、解答题23．（1）已知35ab=，求a bb+的值；（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长．24．如图，设线段AC＝1.（1）过点C画CD△AC，使CD12＝AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？25．已知：如图，线段AB＝2，BD△AB于点B，且BD＝12AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．26．（1）已知35ab=，求a bb+的值；（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，AB=BP的长度27（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．()1操作：请你在如图所示的黄金矩形()ABCD AB AD>中，以短边AD为一边作正方形AEFD；()2探究：在()1中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．28．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.29．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM ，DM 的长； （2）求证：AM 2＝AD·DM ；（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？30．如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，求3S ：2S 的值．31．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB 为边作正方形ABCD ，取AD 的中点E ，连接BE ，延长DA 至点F ，使得EF BE ，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H 即是线段AB 的黄金分割点．（1）请你证明这个结论；（2）延长GH 交CD 于点I ，则正方形AHGF 与矩形ICBH 的面积有怎样的关系，说出你的理由． 32．阅读与思考（图①）黄金分割是指把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．如图①，点C 把线段AB 分成两部分，如果=AC BC AB AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．它们的比值为． 我们可以通过下面的方法得到线段AB 的黄金分割点： ①过点B 作BD AB ⊥，使12BD AB =；②连接AD ，在AD 上截取DE DB =；③在AB 上截取AC AE =．则点C 为线段AB 的黄金分割点．如下是证明点C 是线段AB 的黄金分割点的部分证明过程： 证明：设2AB a =，则BD a =， …（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）应用：如图②是一个包装盒的封口面，线段BD 是这个包装盒的造型线．为了视觉美观，现要在造型线BD 上找一点作为丝带打结点．请你用尺规作图的方式找出这个点（保留作图痕迹，不写作法）．（图②）33．如图，点A 坐标是(0，0)，点C 坐标是(2，2)，现有E 、F 两点分别从点D (0，2)和点B (2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q 为EF 中点．设运动时间为t ．（1）在运动过程中始终与线段EC 相等的线段是 ；四边形CEAF 面积＝ ． （2）当t ＝1秒时，求线段CQ 的长．（3）过点B 作BP 平行于CF 交EC 于点P ．当t ＝ 时，线段AP 最短，此时作直线EP 与x 轴交于点K ，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．。
比例线段与黄金分割经典习题
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d cb a =，则称线段dc b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dcb a =⇔=⇔=::，其中dc b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：ab c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d bc b b ad c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b ab b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点； 7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________ 例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a =B.ccb d d a +=+ C.cd b a =22D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ） 例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
黄金分割(增补)课件华东师大版数学九年级上册
世界艺术珍品——维纳 斯女，神她是西元前一 百多年希腊雕塑鼎盛时 期的代表作，她的上半 身和下半身的比值接近 0.618.
著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体 现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面 两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在 整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使 得这幅油画看起来是那么的和谐和完美。
节目主持人报幕，很少不 会站在舞台的中央，而总 是站在舞台的1／3处， 站在舞台上侧近于的位置 才是最佳的位置;
• 耐人寻味的
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多 位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品 “祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在 此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的 黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长 江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割 的纬度上。
较长线段 较短线段
从形式上理解：成比例线段的形式。原长线段 较长线段
从比值上理解：黄金比 即较长线段 5 1 原线段 2
0.618原线段
●
●●
●
A
DC
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段
AC 和 BC ,
如果
AC AB
=
BC AC
(全 长 短 长)
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割
上海东方明珠电视塔
46 8
高468m,上球体是塔 身的黄金分割点,它到 塔底部的距离大约是
?
289m。
文明古国埃及的金字塔，形似方锥 ，大小各异。但这些金字塔底面的 边长与高这比都接近于0.618.
生活中
为什么翩翩起舞的芭蕾舞 演员要掂起脚尖? 为什么 身材苗条的时装模特还要 穿高跟鞋?为什么她们会 给人感到和谐、平衡、舒 适，美的感觉
成比例线段同步练习-新华东师大版九年级数学上册同步练习题
第23章图形的相似23.1.1 成比例线段知识点 1 线段的比1．已知线段a＝20 cm，b＝30 cm，则a∶b＝________，b∶a＝________．2．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比为( ) A．3∶4 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶23．如图23－1－1，C是线段AB的中点，点D在BC上，AB＝24 cm，BD＝5 cm.(1)AC∶CB＝________，AC∶AB＝________；(2)BCBD＝______，CDAB＝________，ADCD＝______．图23－1－1知识点 2 成比例线段的概念4．线段a＝8 cm，b＝30 cm，c＝10 cm，d＝24 cm中，最短两条线段的比a∶c＝________，最长两条线段的比d∶b＝________，所以这四条线段________成比例线段(填“是”或“不是”)．5．下列各组中的四条线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，12 cm，18 cmB．2 cm，3 cm，4 cm，5 cmC. 2 cm，10 cm， 5 cm，5 cmD．5 cm，2 cm，3 cm，6 cm6．判断下列线段是不是成比例线段，若是，请写出比例式．(1)a＝7 cm，b＝4 cm，c＝d＝2 7 cm；(2)a＝20 mm，b＝8 m，c＝28 m，d＝7 cm.知识点 3 比例的基本性质7．已知ab＝cd，若其中a＝5 cm，b＝3 cm，c＝2 cm，则可列比例式（）（）＝（）（），根据比例的基本性质，可得________，所以线段d＝________ cm.8．已知xy＝79，那么下列等式一定成立的是( )A．x＝97y B．7y＝9xC．7x＝9y D．xy＝63。
华东师大初中数学九年级上册424916比例线段及黄金分割(基础) 巩固练习[精选]
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比例线段及黄金分割（基础）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）.A.3 kmB.30 kmC.300 kmD.3 000 km2. （2016•滨江区模拟）由5a=6b（a≠0），可得比例式（）A．B．C．D．5.已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）.A. B. C. D.6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）. A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm二. 填空题7.（2015•慈溪市一模）若3a=4b，则= .8. （2016•浦东新区一模）已知，那么=．910.已知2=,3xy则_____,_____,______.x y x x yy x y x y+-===++.11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．三. 综合题13.已知：，求代数式的值．图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2.【答案】D.【解析】A、⇒ab=30，故选项错误；B、⇒ab=30，故选项错误；C、⇒6a=5b，故选项错误；D、⇒5（a﹣b）=b，即5a=6b，故选项正确．故选D．3．4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】根据题意得AP=AB，所以PB=AB﹣AP=AB，所以PB：AB=．6．【答案】C.【解析】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，解得：y≈8cm．故选C．二、填空题7.【答案】43；【解析】两边都除以3b，得=.8.【答案】．【解析】∵的两个内项是y、1，两个外项是x、3，∴，根据合比定理，知==4；又∵上式的两个内项是x 和4，两个外项是x +y 和1， ∴．9.10.【答案】521,,.355-【解析】提示：设2.3,.x k y k ==即可得11.【答案】6.2或3.8．【解析】由题意知AC ：AB=BC ：AC ，∴AC ：AB ≈0.618，∴AC=0.618×10cm ≈6.2（结果精确到0.1cm ）或AC=10-6.2=3.8． 故答案为：6.2或3.8．12.∵△ABC 顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC ，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC 也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD ，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A ，∴BD=AD ，同理可证DE=DC ，三、解答题13.【解析】解：设=t ，∴，解得，，∴==．14.15.即点F是线段AD的黄金分割点．∴矩形CDFE是黄金矩形．。
华东师大初中数学九年级上册直角三角形(提高)巩固练习
【巩固练习】一、选择题1. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF=12S△ABC，其中成立的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2=（）A．60°B．75° C．90° D．105°3. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．74. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB等于（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm5．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BC的中点，∠EFD=50°，则∠DEF 的度数是（）A．50° B．60° C．65° D．70°6. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，则MN与BC-AD的关系是（）A．2MN＜BC-AD B．2MN＞BC-AD C．2MN=BC-AD D．MN=2（BC-AD）二、填空题7.（2016•岳池县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD= ．8. 如图所示，BD⊥AC于点D，DE∥AB，EF⊥AC于点F，若BD平分∠ABC，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是______________.9.如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_______cm．10. Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为_______________________．11.（2015•广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，CD是AB边上的中线，则CD的长是．12. 如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答题13. 将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．（1）如图1所示，边OA与OC重合，恰好CD∥AB，则∠BOD=______________°；（2）三角板△COD的位置保持不动，将三角板△AOB绕点O顺时针方向旋转，如图2，此时CD∥OA，求出∠BOD的大小；（3）若将三角板△AOB绕点O旋转一周过程中，除图1、图2外，是否还存在△AOB中的一边与CD平行的情况？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠BOD的大小；如果不存在，请说明理由．14. 已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．15.（2016秋•徐州期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别是BC、EF的中点，试说明MN⊥EF．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∴①正确；∠B=∠PAC=45°∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPA+∠APF=90°∴∠BPE=∠APF，又AP为公共边，∴△PBE≌△PAF，∴BE=AF，又AB=AC，∴AE=CF，∴②正确；②中，△PBE≌△PAF，∴PE=PF，∴③正确，∵△PFC≌△PEA，△PBE≌△PAF，∴④也正确所以①②③④都正确，故选A．2. 【答案】C;【解析】如图所示：∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∴此三角形是直角三角形，∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．故选C．3. 【答案】D;【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．故选D．4. 【答案】C；【解析】解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；∴AB=2BC；∴AB+BC=3BC=12，即BC=4，AB=2BC=8(cm)．故选C．5. 【答案】C；【解析】解：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BC的中点，∴EF=DF=BC，∵∠EFD=50°，∴∠DEF=（180°﹣∠EFD）=×（180°﹣50°）=65°．故选：C．6. 【答案】C；【解析】解：延长BA、CD，两延长线相交于点P，连接PM、PN，∵∠B+∠C=90°二.填空题7. 【答案】50°；【解析】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，∴∠A=50°．∵D为线段AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=50°．故答案是：50°．8. 【答案】4；【解析】解：如图，∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴与∠CEF相等的角有∠1、∠2、∠3、∠4共4个．故答案为：4.9. 【答案】18;【解析】解：∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∵∠ACB为△ACD的外角，∴∠CAD=∠D=30°，∴AD=2AB=18（cm）．故答案为：1810.【答案】12；【解析】解：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BC=12AB，BD=12BC，CD=12AC，∴BC+BD+CD=12（AB+BC+AC），则BC BD CD1 AB BC AC2++=++，∴△BCD与△ABC的周长之比为:12，故答案为:12.11.【答案】5；【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，∴AB=10，∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴CD=AB=×10=5．故答案为：5.12.【答案】270°；【解析】∠1＋∠6＝∠2＋∠5＝∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝270°.三.解答题13.【解析】解：（1）45°-30°=15°．（2）∵CD∥OA，∴∠AOC=∠C=90°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-45°=45°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=45°+30°=75°．（3）如备用图1，OB∥CD，∠BOD=120°，如备用图2，AB∥CD，∠BOD=165°，如备用图3，OA∥CD，∠BOD=105°，如备用图4，OB∥CD，∠BOD=60°．14.【解析】（1）证明：∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，∴∠CAD=∠CAB=60°． 又∠ABC=∠ADC=90°， ∴AD=12AC ，AB=12AC ， ∴AB+AD=AC ．（2）解：结论仍成立．理由如下：作CE ⊥AM 、CF ⊥AN 于E 、F ．则∠CED=∠CFB=90°， ∵AC 平分∠MAN ， ∴CE=CF ．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180° ∴∠CDE=∠ABC ， 在△CDE 和△CBF 中，CDE CBF CED CFB CE CF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CDE ≌△CBF （AAS ）， ∴DE=BF ．∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°， 在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，则有AE=12AC ，AF=12AC ，则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=12AC+12AC=AC．∴AD+AB=AC．15.【解析】证明：连接MF、ME，∵CF⊥AB，在Rt△BFC中，M是BC的中点，∴MF=BC（斜边中线等于斜边一半），同理ME=BC，∴ME=MF，∵N是EF的中点，∴MN⊥EF．。
华东师大初中数学九年级上册平行线分线段成比例及相似多边形—巩固练习[精选]
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【巩固练习】一、选择题1. 下列四组图形中，一定相似的是（）A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形2. （2016•杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F ，若=，则=（）A ．B ．C ．D．13．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F ，则的值是（）4．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）B C DA ．2B ． 4C ．D ．6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，这次复印的放缩比例是 ．9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，AB=6，AE=3，则AC 的长为 ．10．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，=，DE=4cm ，则BC 的长为 ．11．（2016•无锡一模）如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC=AC ，DE=4，那么EF 的值是 ．12．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=12∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为．三、解答题13. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．14.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．15．己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；【解析】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．故选：D．2.【答案】B．【解析】∵a∥b∥c，∴==．故选B．3.【答案】C；【解析】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．4.【答案】C；【解析】解：设AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB=BD=3，当P在OB上时，∵EF∥AC，∴==，∴=，∴y=x，当P在OD上时，同法可得：==，∴=，∴y=﹣x+8，∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选C．5.【答案】C；【解析】∵AB∥CD∥EF，∴=，即=，∴BC=，∴CE=BE﹣BC=12﹣=．故选C．6.【答案】C；【解析】解：∵AB∥CD∥EF∴∵AC=3，CE=4∴=．故选C．二、填空题7．【答案】①②④⑤；8．【答案】1：3；【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为：1：3；9．【答案】9；【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴AC=9，故答案为：9．10．【答案】12cm.【解析】解：∵DE∥BC，∴=，又∵=，∴，∴=，∴BC=12cm．故答案为12cm．11.【答案】2．【解析】∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．12．【答案】﹣1.【解析】解：过F点作FG∥BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，∴∠DCE=75°﹣15°=60°，∵∠ACE=∠BAC，∴AF=CF.在Rt△CDF中， CF=2，，∵FG∥BC，∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+），解得GF=4﹣2，∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2）：2，解得EF=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题13.【解析】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24，∴==，∴=，∴BC=15，∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．（2）解：∵l1∥l2∥l3∴==，∴=，∴OB=3，∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，∴==，∴=，∴CF=4．14. 【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．15.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF∴BE=DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG∴=又∵BE=DF，=∴==∴GF∥BC （平行线分线段成比例）∴∠DGF=∠DBC∵BC=CD∴∠BDC=∠DBC=∠DGF∴GF=DF=BE∵GF∥BC，GF=BE∴四边形BEFG是平行四边形。
[精品]华东师大初中数学九年级上册《解直角三角形》全章复习与巩固(提高) 巩固练习
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《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 计算cot30°+2sin45°－2cos30°的结果是( )．A ．2B D ．12．如图所示，△ABC 中，AC ＝5，cos 2B =，3sin 5C =，则△ABC 的面积是( ) A ．212B ．12C ．14D ．21 3．如图所示，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''， 则tan B '的值为( )A ．12B ．13C ．14D第2题图 第3题图 第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测 得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，那么小岛B 到公路l 的距离为( )．A ．25米B ．C 米D ．25+ 5．《九章算术》上有这样一个问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远.问原处还有多高的竹子？（ ）A.3.5尺B.4尺C. 4.55尺D.5尺6．如图所示，已知坡面的坡度1i =α为( )． A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°第6题图 第7题图7．如图所示，在高为2m ，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A ．4mB ．6mC ．mD ．(2+8．（2016•绵阳）如图，△ABC 中AB=AC=4，∠C=72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9. 等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是 .10.如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD 的长为 ；CD 的长为 .第10题图 第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值 为________．13.如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝________．15. 两条宽度为1的纸条，交叉重叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分的面积为__________．16.（2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．三、解答题17．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(≈1.732)(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?19. 如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，请你设计一种方案，不用计算器求出tan15°及cot15°的值.20. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ． (1)求点D 到BC 的距离DH 的长；(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】cot30°+2sin 45°－2cos 302222⨯-⨯== 2.【答案】A ；【解析】过A 作AD ⊥BC 于D ，因为cos 2B =，所以∠B ＝45°，所以AD ＝BD ，因为3sin 5AD C AC ==，所以3535AD =⨯=，∴ BD ＝AD ＝3，所以4DC ==，所以BC ＝BD+DC ＝7， 112173222ABCS BC AD =⨯=⨯⨯=△.3.【答案】B ；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B ′＝∠B ，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B ′＝tanB ＝13． 4.【答案】B ；【解析】依题意知BC ＝AC ＝50米，小岛B 到公路l 的距离，就是过B 作l 的垂线，即是图中BE 的长，在Rt △BCE 中，sin 60BEBC=°，BE ＝BC ·sin 60°＝50×2=米)，因此选B ．5.【答案】C ；【解析】设原处还有竹子的高度为x 尺，则折断部分长为（10-x ）尺. 由题意，()222x 310x +=-解得，x=4.55∴原处还有竹子的高度为4.55尺. 6.【答案】C ；【解析】tan3BC AC α===，∴ 30α=°． 7．【答案】D ；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m ，宽为2tan 30=°，则地毯的总长至少为(2+m ．8.【答案】C ．【解析】∵△ABC 中，AB=AC=4，∠C=72°， ∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°， ∵D 是AB 中点，DE ⊥AB ， ∴AE=BE ，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC ﹣∠ABE=36°， ∠BEC=180°﹣∠EBC ﹣∠C=72°， ∴∠BEC=∠C=72°， ∴BE=BC ， ∴AE=BE=BC ．设AE=x ，则BE=BC=x ，EC=4﹣x ． 在△BCE 与△ABC 中，，∴△BCE ∽△ABC ， ∴=，即=，解得x=﹣2±2（负值舍去）， ∴AE=﹣2+2．在△ADE 中，∵∠ADE=90°， ∴cosA===．故选C ．二、填空题 9．【答案】34； 10．【答案】5+10；10+5【解析】过B 点分别作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，则得BF=ED ，BE=DF. ∵在Rt △AEB 中，∠A=30°，AB=10，∴AE=AB ·cos30°=10×=5，BE=AB ·sin30°=10×=5.又∵在Rt △BFC 中，∠C=30°，BC=20，∴BF=BC=×20=10，CF=BC ·cos30°=20×=10.∴AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11．【答案】5； 【解析】设AB 边与直线2l 的交点为E ，∵ 1l ∥2l ∥3l ∥4l ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E 为AB 的中点，在Rt △AED 中，∠ADE ＝α，AD ＝2AE ．设AE ＝k ，则AD ＝2k ，DE =．∴ sin sin5AE ADE ED α=∠===．12．【答案】13或4；【解析】由2430x x -+=得x 1＝1，x 2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A ＝13；②当3=tan4A ==． 13．【答案】137 ；【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m ，设AD=xm ，在Rt△ACD 中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100， 在Rt△ABD 中，∵tan∠ABD=， ∴x=（x+100），∴x =50（+1）≈137，即山高AD 为137米．14．【答案】3或3；【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，①当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH ⊥BC 于H ，在Rt △ABH 中．AH ＝AB ·sin ∠ABC ＝8×sin30°＝4，BH =在Rt △AHC 中，HC 3=．∴BC ＝3．②当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC ＝3．15．【答案】1sin α； 【解析】如图所示，作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，依题意，有AE=AF=1， 根据已知得∠ABE=∠ADF=α， ∴△ABE ≌△ADF ，∴AB=AD，则四边形ABCD是菱形．在Rt△ADF中，AD=AFsinα=1sinα．∴菱形ABCD的面积为：DC•AF=1sinα×1=1sinα.16.【答案】．【解析】sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=•﹣•=．故答案为．三、解答题17．【解析】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD 的坡比为，得：DE=x，则根据勾股定理得：x2+=，得x=，（﹣不合题意舍去），所以，CE=米，则，ED=米，那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，在Rt△AFD中，由三角函数得：=tan∠ADF，∴AF=FD•tan60°=×=米，∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4米，答：小树AB的高是4米．18.【解析】(1)过C点作CH⊥AB于H．设CH⊥AB．由已知有∠EAC＝45°，∠FBC＝60°，则∠CAH＝45°，∠CBA＝30°．在Rt△ACH中，AH＝CH＝x，在Rt△HBC中，tan∠HBC＝CH HB．∴tan30CHHB===°，∵AH+HB ＝AB ，∴600x +=， 解得x =≈220(米)＞200(米)．∴MN 不会穿过森林保护区．(2)设原计划完成这项工程需要y 天，则实际完成工程需要(y-5)天．根据题意得：11(125%)5y y=+⨯-，解得：y ＝25． 经检验知：y ＝25是原方程的根．答：原计划完成这项工程需要25天．19.【解析】解：如图，延长CB 至D ，使得BD=AB ，∵∠B=30°，∴∠D=30°÷2=15°， 设AC=a ，∵∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2a=BD ，，在Rt △ACD 中，tan ∠D=tan15°=AC 2CD ===.同理，cot15°=CD 2AC ==+20.【解析】(1)∵∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝10．∵点D 为AB 中点，∴ BD ＝12AB ＝3．∵∠DHB ＝∠A ＝90°，∠B ＝∠B ． ∴△BHD ∽△BAC ，∴DH BD AC BC =，∴3128105BD DH AC BC =⨯=⨯=．(2)∵QR ∥AB ，∴△RQC ∽△ABC ， ∴RQ QC AB BC =，∴10610y x-=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． (3)存在，分三种情况：①当PQ ＝PR 时，过点P 作PM ⊥QR 于M ，如图所示，则QM ＝RM ．∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C ．∴84cos 1cos 105C ∠===，∴45QM QP =，∴1425QR DH =，∴1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，∴185x =． ②当PQ ＝RQ 时，如图所示，则有312655x -+=，∴x ＝6．③当PR ＝QR 时，则R 为PQ 中垂线上的点，如图所示．于是点R 为EC 的中点，∴11224CR CE AC ===． ∵tan QR BA C CR CA ==，∴366528x -+=，∴152x =．综上所述，当x 为185或6或152时，△PQR 为等腰三角形．。
424918比例线段及黄金分割(提高) 巩固练习.doc
比例线段及黄金分割（提高） 巩固练习【巩固练习】 一．选择题1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( ). A ．3 km B ．30 km C ．300 km D ．3 000 km2.已知线段a 、b 、c 、d 满足=ab cd 把它改写成比例式，其中错误的是（ ）. A.::b c d a = B.::a b c d = C.::c b a d = D.::a c d b =3. （2014•牡丹江）若x ：y=1：3，2y=3z ，则的值是（ ）.4.如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长为AB 、宽为PB 的矩形的面积，那么S 1（ ）S 2． A.> B.= C.< D.无法确定6. （2016•山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH二. 填空题8.（2016•奉贤区一模）线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足=，那么AP的长为cm．，（填写一个即可）．10.已知若-3=,=____;4x y xy y则若5x-4y=0,则x:y=________.三．综合题13.如果a b c dkb c d a c d a b d a b c====++++++++，一次函数y kx m=+经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．15.（2014秋•重庆校级月考）如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B【解析】图上距离︰实际距离=1：1 000 000.2．【答案】B．3．【答案】A．【解析】∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．4．56.【答案】D.【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH为黄金矩形二、填空题7.8.【答案】5﹣5．【解析】设AP=x，则BP=10﹣x，∵=，∴=，∴x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合题意，舍去），∴AP的长为（5﹣5）cm．故答案为：5﹣5．9.【解析】设所求数为x．分四种情况：10.【答案】74;.三、解答题13.【解析】∵a b c dk b c d a c d a b d a b c ====++++++++∴+1=+1=+1=+1=+1++++++++c a b c dk b c d a c d a b d a b ∴++++++++++++====+1++++++++c a b c d a b c d a b c d a b c dk b c d a c d a b d a b 则分两种情况：（1）+++=0a b c d ，即+1=0k ,=-1k(2)++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ,即===,a b c d 1=3k 则所以当=-1k ，过点（-1,2）时，=-+1y x当1=3k，过点（-1,2）时，17=+33y x.14.【解析】（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点 P3．15.【解析】解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．。
初三数学黄金比例的练习题
初三数学黄金比例的练习题【正文】黄金比例是数学中的一个重要概念，它是指一条分割线段被分为两部分时，整个线段与较大部分的比值等于较大部分与较小部分的比值。
黄金比例常常出现在艺术、建筑和自然界中，被认为是一种比例美。
在初三数学中，黄金比例的练习题是一种常见的题型，旨在帮助学生巩固和应用黄金比例的概念。
下面将提供一些黄金比例的练习题，供同学们练习和思考。
1. 请计算下列线段中，黄金比例的比值：a) AB = 6厘米, BC = 4厘米；b) DE = 9厘米, EF = 6厘米；c) GH = 15毫米, HI = 10毫米。
2. 请绘制一个线段AB，将它分割成两部分，使得整个线段与较大部分的比值等于较大部分与较小部分的比值。
3. 一根棒高为20厘米，将其分割成两部分，使得较长部分与整个棒的比值是黄金比例。
求较长部分的长度。
4. 一家公司的总利润为300万元，根据黄金比例，将利润按比例分配给员工和公司。
如果员工获得的利润与公司获得的利润的比值为黄金比例，请计算员工获得的利润。
以上是一些初三数学黄金比例的练习题，同学们可以按照以下步骤进行解答：步骤一：理解黄金比例的概念和计算方法。
黄金比例的计算公式为（a+b）/a = a/b，其中a为整体的长度，b为较短部分的长度。
步骤二：根据给定的线段长度，将其代入黄金比例的计算公式中，求解未知变量。
计算过程需要注意单位的转换和四舍五入。
步骤三：对于绘制分割线段的问题，可以利用画图工具，或者用纸和尺子进行实际绘制。
根据黄金比例的定义，将线段分割成两部分，确保较大部分与整个线段的比值等于较大部分与较小部分的比值。
步骤四：对于利润分配的问题，需要将总利润按照黄金比例进行分割，计算出员工获得的利润。
通过完成这些练习题，同学们可以更好地理解和掌握黄金比例的概念和应用。
同时，在解答问题的过程中，要注意思维的灵活性和逻辑的合理性，灵活应用数学知识，培养解决问题的能力。
黄金比例作为数学中的一个重要概念，不仅与艺术、建筑和自然界有关，也有着广泛的实际应用。
华师大版九年级数学上册 线段的比 专题练习.docx
线段的比 专题练习【例1】（1）在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）A 、20米B 、18米C 、16米D 、15米（2）已知2=y x ，则=+y y x ；=-xy x . （3）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，与它相似的四边形最小边长为6，则这个四边形的周长是 .（4）如图是圆桌正上方的灯泡O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ，若灯泡O 距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为 .【例2】（1）已知0432≠==c b a ,则c b a +的值为 ； （2）若::3:5:7x y z =，3249x y z +-=，则x y z ++的值为（ ）A 、-3B 、-5C 、-7D 、-15（3）若k c b a b c a a c b =+=+=+，则k = ；若a b c k b c a c a b===+++，则k = ； 变式拓展：（1）已知ABC DEF ∆∆:，且相似比为2:3，2AB cm =，5BC cm =，6FD cm =。
求DEF ∆的周长。
（2）cc b a b b c a a a c b -+=-+=-+，求abc b a c a c b ))()((+++的值。
★ B 卷专题1、已知2262520130a a b b ++-+=,则a b -= 。
2、已知0≠xyz ，且01843,073=--=++z y x z y x ，则=++++22222282653yy x z y x ； 3、若关于x 的方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为 ； 4、若xy y x 2322=-，则=-+y x y x 2 ；若271x x x =-+，则2421x x x =++ ；5、已知关于x 的不等式组0112x m x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩只有3个整数解，则m 的取值范围是 ； 6、若65432+==+c b a ，且2132=+-c b a ,则c b a +-34的值为 ； 7、分解因式：8)43)(33(22-++-+x x x x8、(2008年双柏县)我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A 、B 、C 三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B 种水果的重量不超过装运的A 、C 两种水果重量之和.(1)设用x 辆汽车装运A 种水果，用y 辆汽车装运B 种水果，根据下表提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式并写出自变量x 的取值范围．（2）设此次外销活动的利润为Q （万元），求Q 与x 之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．9、已知：)0(0720634≠⎩⎨⎧=-+=--xyz z y x z y x ，求代数式2222275632z y x z xy x ++++的值；10、已知51)3)(1(5-++=-++x B x A x x x ，求整式A 、B 的值。
华师大版九年级数学上册 线段的比 专题练习.docx
线段的比 专题练习【例1】（1）在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）A 、20米B 、18米C 、16米D 、15米（2）已知2=y x ，则=+y y x ；=-xy x . （3）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，与它相似的四边形最小边长为6，则这个四边形的周长是 .（4）如图是圆桌正上方的灯泡O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ，若灯泡O 距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为 .【例2】（1）已知0432≠==c b a ,则c b a +的值为 ； （2）若::3:5:7x y z =，3249x y z +-=，则x y z ++的值为（ ）A 、-3B 、-5C 、-7D 、-15（3）若k c b a b c a a c b =+=+=+，则k = ；若a b c k b c a c a b===+++，则k = ； 变式拓展：（1）已知ABC DEF ∆∆，且相似比为2:3，2AB cm =，5BC cm =，6FD cm =。
求DEF ∆的周长。
（2）cc b a b b c a a a c b -+=-+=-+，求abc b a c a c b ))()((+++的值。
★ B 卷专题1、已知2262520130a a b b ++-+=,则a b -= 。
2、已知0≠xyz ，且01843,073=--=++z y x z y x ，则=++++22222282653y y x z y x ； 3、若关于x 的方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为 ； 4、若xy y x 2322=-，则=-+y x y x 2 ；若271x x x =-+，则2421x x x =++ ； 5、已知关于x 的不等式组0112x m x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩只有3个整数解，则m 的取值范围是 ； 6、若65432+==+c b a ，且2132=+-c b a ,则c b a +-34的值为 ； 7、分解因式：8)43)(33(22-++-+x x x x8、(2008年双柏县)我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A 、B 、C 三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B 种水果的重量不超过装运的A 、C 两种水果重量之和.(1)设用x 辆汽车装运A 种水果，用y 辆汽车装运B 种水果，根据下表提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式并写出自变量x 的取值范围．（2）设此次外销活动的利润为Q （万元），求Q 与x 之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．9、已知：)0(0720634≠⎩⎨⎧=-+=--xyz z y x z y x ，求代数式2222275632z y x z xy x ++++的值； 10、已知51)3)(1(5-++=-++x B x A x x x ，求整式A 、B 的值。
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比例线段及黄金分割（提高） 巩固练习
【巩固练习】 一．选择题
1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( ). A ．3 km B ．30 km C ．300 km D ．3 000 km
2.已知线段a 、b 、c 、d 满足=ab cd 把它改写成比例式，其中错误的是（ ）. A.::b c d a = B.::a b c d = C.::c b a d = D.::a c d b =
3.若x ：y=1：3，2y=3z ，则
的值是（ ）.
4.如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示
长为AB 、宽为PB 的矩形的面积，那么S 1（ ）S 2． A.> B.= C.< D.无法确定
6. （2016•山西）宽与长的比是
（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学
价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取
AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A ．矩形ABFE
B ．矩形EFCD
C ．矩形EFGH
D ．矩形DCGH
二. 填空题
8. （2016•奉贤区一模）线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，且满足=
，那么AP 的长为
cm ．
，（填写一个即可）．
10.已知若
-3
=,=____;
4
x y x
y y
则若5x-4y=0,则x:y=________.
三．综合题
13.如果
a b c d
k
b c d a c d a b d a b c
====
++++++++
，一次函数y kx m
=+经过点（-1,2），求
此一次函数解析式.
14.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
15.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．
（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】图上距离︰实际距离=1：1 000 000.
2．【答案】B．
3．【答案】A．
【解析】∵x：y=1：3，
∴设x=k，y=3k，
∵2y=3z，
∴z=2k，
∴==﹣5．
故选：A．
4．
6.【答案】D.
【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，DF==
∴FG=
∴CG=﹣1
∴=
∴矩形DCGH为黄金矩形
二、填空题
7.
8.【答案】5﹣5．
【解析】设AP=x，则BP=10﹣x，
∵=，
∴=，
∴x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合题意，舍去），∴AP的长为（5﹣5）cm．
故答案为：5﹣5．
9.
【解析】设所求数为x．分四种情况：
10.【答案】74
;.
三、解答题
13.【解析】∵
a b c d
k b c d a c d a b d a b c ====++++++++
∴
+1=+1=+1=+1=+1++++++++c a b c d
k b c d a c d a b d a b ∴
++++++++++++====+1++++++++c a b c d a b c d a b c d a b c d
k b c d a c d a b d a b 则分两种情况：（1）+++=0a b c d ，即+1=0k ,=-1k
(2)++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ,即===,a b c d 1
=3
k 则
所以当=-1k ，过点（-1,2）时，=-+1y x 当1=
3k ，过点（-1,2）时，17=+33
y x . 14.【解析】（1）∵BD=DC=AC ． 则∠B=∠DCB ，∠CDA=∠A ．
设∠B=x ，则∠DCB=x ，∠CDA=∠A=2x ． 又∠BOC=108°， ∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；
（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC是黄金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°．
∴△CDA是黄金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC是黄金三角形．
②△BAC是黄金三角形，
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．
ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点 P3．15.【解析】解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=99，
整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，
当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，
而AB＞AD，
所以x=11，即AB的长为11cm；
（2）不能．理由如下：
设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=101，
整理得x2﹣20x+101=0，
因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，
所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积可能等于101cm2；
（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得20﹣x=x，
解得x=10（﹣1），
则20﹣x=10（3﹣），
所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．。