【龙门亮剑全国版】2011高三数学一轮第二章第三节函数的单调性及最值课时提能精练理
(龙门亮剑全国版)高三一轮复习数学(理)课件：第2章 第1节 映
（龙门亮剑全国版）高三一轮复习数学（理）课件：
第2 章第1 节映
第一节映射、函数及反函数1．映射(1)映射的定义：设A、B 是两个集合，如果
按照某种对应法则f，对于集合A 中的_____________，在集合B 中都有
______的元
素和它对
应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的
______，记作_________.
任何一个元素唯一映射f：A→B(2)象与原象：如果给定一个从集合A 到集合
B 的映射，那幺，和A 中的元素a 对应的B 中
的元素____________，a 叫做b 的_______
b 叫做a 的象原象．映射f：与映射f：是同一个映射吗？为什幺？
【提示】不一定．映射f：A→B必须满足：(1)A 中元素无剩余，且A 中任何元素必须有象且唯一；(2)B 中元素可以有剩余，即B 中元素不一定有原象；(3)若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则可构成映射f：
A→B有nm 个，映射f：B→A有mn 个．2．函数(1)函数的定义
设A、B 都是___________，f：x→y是从A 到
B 的一个对应法则，那幺从A 到B 的映射f：
A→B就叫做______，记作y＝f(x)，
其中x∈A，y∈B，原象集合A 叫做函数的定。
【龙门亮剑全国版】高三数学一轮 第三章 第一节 数列的概念课时提能精练 理.doc
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,2,3,4与数列4,3,2,1是同一数列C ．数列{a n }中可以有相同的项D ．数列0,2,4,6,8…可以记为{2n }，其中n ∈N *【解析】 由数列定义可知，A 不能用花括号．B 中是两个不同的数列，D 中n ∈N *，不包括0这一项，故只有C 正确．【答案】 C2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158C.34D.38【解析】 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12， ∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23， ∴a 3a 5＝12×32＝34. 【答案】 C3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞0B ．k ＞－1C ．k ＞－2D ．k ＞－3【解析】 a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2，则k ＞－(2n ＋1)对于n ∈N *都成立，而－(2n ＋1)当n ＝1时取到最大值－3，所以k ＞－3.【答案】 D4．(安徽高考改编)在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则ab 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 方法一：n ＝1时，a 1＝32， ∴32＝a ＋b ① 当n ＝2时，a 2＝112，∴32＋112＝4a ＋2b ② 由①②得，a ＝2，b ＝－12，∴ab ＝－1. 方法二：a 1＝32，S n ＝n (a 1＋a n )2＝2n 2－12n ，又S n ＝an 2＋bn ，∴a ＝2，b ＝－12， ∴ab ＝－1.【答案】 B5．(邵武模拟)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a )A ．0B ．－ 3 C. 3 D.32 【解析】 a 2＝0－30＋1＝－ 3. a 3＝－3－3－3＋1＝3，a 4＝3－33＋1＝0， ∴数列{a n }是周期为3的一个循环数列，所以a 3×6＋2＝a 2＝－ 3.【答案】 B6．若数列{a n }的通项公式a n ＝5·⎝⎛⎭⎫252n －2－4·⎝⎛⎭⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 由已知得a n ＝5·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫25n －12－4·⎝⎛⎭⎫25n －1，令⎝⎛⎭⎫25n －1＝t ，由于n ≥1，所以n －1≥0，故0＜t ≤1，此时a n ＝5t 2－4t ＝5⎝⎛⎭⎫t －252－45， ∴当t ＝25时，a n 取得最小值－45，此时n ＝2. 当t ＝1时，a n 取得最大值1，此时n ＝1，∴x ＝1，y ＝2，x ＋y ＝3.【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知数列{a n }的通项a n ＝na nb ＋c(a ，b ，c 均为正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是______． 【解析】 ∵a n ＝na nb ＋c ＝a b ＋c n，c n 是减函数， ∴a n ＝a b ＋c n是增函数，∴a n ＜a n ＋1. 【答案】 a n ＜a n ＋18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(对n ≥1恒成立)且a 4＝54，则a 1＝______. 【解析】 方法一：由S 4＝S 3＋a 4，得a 1(34－1)2＝a 1(33－1)2＋54， 即a 1(34－33)2＝54，解得a 1＝2. 方法二：由S n －S n －1＝a n (n ≥2)可得a n ＝a 1(3n －1)2－a 1(3n －1－1)2＝a 1(3n －3n －1)2＝a 1·3n －1， ∴a 4＝a 1·33，∴a 1＝5427＝2. 【答案】 29．已知{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【解析】 由已知条件可得：S n ＋1＝2n ＋1.∴S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2n (n ≥2). 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2n (n ≥2) 三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．【解析】 方法一：∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11.当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .故a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…， 所以数列中有最大项为第9、10项．方法二：a n ＋1a n ＝(n ＋2)×⎝⎛⎭⎫1011n ＋1(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫1011n ＝1011×n ＋2n ＋1， 令a n ＋1a n ＝1，得1011×n ＋2n ＋1＝1， 解得n ＝9，即a 10＝a 9，易得，当n ＜9时，1011×n ＋2n ＋1＞1，即a n ＋1a n＞1， ∴a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 8＜a 9.当n ≥10时，1011×n ＋2n ＋1＜1，即a n ＋1a n＜1， ∴a 10＞a 11＞a 12＞….所以数列{a n }中有最大项，且最大项是a 9和a 10.11．(宁波模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， ∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性． 可知：1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4；a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2. ∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， ∴5＜2－a 2＜6，∴－10＜a ＜－8. 12．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明数列{a n }为n 的递增数列．【解析】 (1)由已知得log 22a n －log 2an 2＝2n ，∴a n －1a n＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0. 解得a n ＝n ±n 2＋1.∵0＜x ＜1，即0＜2a n ＜1＝∴a n ＜0，故a n ＝n －n 2＋1(n ∈N )．(2)∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1＜1，而a n ＜0， ∴a n ＋1＞a n ，即数列{a n }是n 的递增数列．。
高考数学一轮复习讲义 第二章 2.3 函数的单调性与最值课件
∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1， ∴0< x21＋x11＋ ＋x2x22＋1<1.
又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
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(3)解 任取 1≤x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
x21＋x11＋＋x2x22＋1－a，
∵f(x)单调递增，所以 f(x1)－f(x2)<0.
(1)对于任意 x∈I，都有 (3)对于任意 x∈I，都有
条件
f(x)≤M；
f(x)≥M
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0) (4)存在 x0∈I，使得 f(x0)
＝M
＝M
结论
M 为最大值
M 为最小值
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[难点正本 疑点清源] 1．函数的单调性是局部性质
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个 子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调， 在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数 的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等 函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函 数、对数函数、指数函数等；
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如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方 法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增， 异则减”的法则求解函数的单调区间． 3．单调区间的表示 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联 结，也不能用“或”联结．
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函数单调性的判断及应用
例 1 已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax，其中 a>0. (1)若 2f(1)＝f(－1)，求 a 的值； (2)证明：当 a≥1 时，函数 f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减 函数； (3)若函数 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求 a 的取值范围．
2011龙门亮剑高三一轮文科数学全国重庆专版【】三角函数专题课件精品练习
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2的值是( )A ．±3B ．－ 3C. 3D.33【解析】 ∵A 、B 、C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B .又A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＋C ＝120°，B ＝60°，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C 2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2·tan C 2＋3tan A 2·tan C 2＝tan60°⎝⎛⎭⎫1－tan A 2·tan C 2＋ 3 tan A 2·tan C 2＝ 3. 【答案】 C2．如果α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin α＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.425 B ．－425C.325 D ．－325【解析】 ∵sin α＝45，π2<α<π，∴cos α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝2cos α＝－325.【答案】 D3．(2009年大同模拟)函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝12⎣⎡⎦⎤1－cos(2x ＋π2)－12⎣⎡⎦⎤1－cos(2x －π2) ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12sin 2x ＋12sin 2x ＝sin 2x ， ∴f (x )是周期为π的奇函数． 【答案】 C4．(2008年广东四校联考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于( )A.13 B ．－13C.16 D ．－16【解析】 ∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.【答案】 D5．(2009年汤阴模拟)若2a ＝3sin 2＋cos 2，则实数a 的值所在范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫－1，－12 D.⎝⎛⎭⎫－12，0 【解析】 3sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2＋π6 ≈2sin 144.6°＝2sin 35.4°. ∵sin 30°<sin 35.4°<sin 45°， ∴12<sin 35.4°<22， ∴1<3sin 2＋cos 2<2，即1<2a <2，∴0<a <12.【答案】 A6．(2009年惠安模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝( ) A ．－13 B ．－79C.79D.13【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79，∴cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(β－α)＝－2，则tan(β－2α)＝________.【解析】 ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.又tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[]()β－α－α＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)tan α＝－4－3＝43. 【答案】 438．设α是第二象限的角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.【解析】 ∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限， 又sin α2<cos α2∴α2为第三象限的角，∴cos α2<0.∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55【答案】 －559．(2009年上海模拟)函数f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x22＋sin x 的最小正周期是________． 【解析】 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x22＋sin x ＝1＋cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1. ∴f (x )的最小正周期为2π.【答案】 2π三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x，且x ≠2k π＋π2，k ∈Z .(1)化简f (x )；(2)是否存在x ，使tan x2·f (x )与1＋tan 2x2sin x 相等？若存在，求出x ；若不存在，说明理由．【解析】 (1)f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x1－sin x ＋cos x＝2cos 2x 2－2sin x 2cos x 22sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2－2sin x 2cosx 22cos 2x 2－2sin x 2cosx 2＝2cos x 2(cos x 2－sin x 2)2sin x 2(sin x 2－cos x 2)＋2sin x 2(sin x 2－cos x 2)2cos x 2(cos x 2－sin x 2)＝－cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＝－cos 2x 2＋sin 2x 2sin x 2cos x 2＝－2sin x .(2)假设存在x 使得tan x2·f (x )与1＋tan 2x2sin x相等，则tan x 2·⎝⎛⎭⎫－2sin x ＝1＋tan 2x2sin x ， ∴－2tan x 2＝1＋tan 2x2，即(tan x 2＋1)2＝0，∴tan x2＝－1，∴x 2＝－π4＋k π，k ∈Z ， 即x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，故存在x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )使tan x2·f (x )与1＋tan 2x2sin x相等．11．(2008年北京高考)已知函数f (x )＝sin 2 ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，23π上的取值范围． 【解析】 (1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0. 所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵0≤x ≤23π，∴－π6≤2x －π6≤76π，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12≤32， 即f (x )的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，32. 12.如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC＝1.连BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于12？【解析】 设∠P AB ＝α，连接PB . ∵AB 是直径，∴∠APB ＝90°. 又AB ＝1，∴P A ＝cos α，PB ＝sin α. ∵PC 是切线，∴∠BPC ＝α.又PC ＝1， ∴S 四边形ABCP ＝S △APB ＋S △BPC ＝12P A ·PB ＋12PB ·PC ·sin α ＝12cos αsin α＋12sin 2 α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14. 由已知，24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4. ∴2α－π4＝π4，∴α＝π4.故当点P 位于AB 的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP 的面积等于12.。
【龙门亮剑全国版】高三数学一轮 第一章 第三节 简易逻辑课时提能精练 理.doc
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．下列语句：①2＋2是有理数；②求方程x 2＋2x －3＝0的解；③2100是个大数；④肺炎是怎样传播的？⑤并非所有的人都喜欢苹果．其中是命题的是( )A ．①②③B ．①③④C ．②⑤D ．①⑤【解析】 ①、⑤是命题；②是祈使句不是命题；③无法判断其真假；④疑问句不是命题．【答案】 D2．(厦门模拟)“x ＞3”是“x 2＞4”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ①∵x ＞3，x 2＞9，∴x 2＞4成立．②当x 2＞4时得x ＜－2或x ＞2，∴x ＞3不一定成立，故x ＞3是x 2>4的充分不必要条件．【答案】 B3．与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是( )A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A【解析】 由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可．【答案】 D4．命题“若a ＞0，则a 2＞0”的否命题是( )A ．若a 2＞0，则a ＞0B ．若a ＜0，则a 2＜0C ．若a ≤0，则a 2≤0D ．若a ≤0，则a 2≥0【解析】 命题的否命题是条件结论都要否定．把原命题的条件和结论同时否定即可．【答案】 C5．(邵武模拟)已知命题p ：1x＞0；命题q ：x 有意义，则¬p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分不必要条件【解析】 p ：1x＞0⇒x ＞0，¬p ：x ≤0. q ：x 有意义⇒x ≥0，¬q ：x ＜0，∴¬p ⇒/ ¬q ，但¬q ⇒¬p ，∴¬p 是¬q 的必要不充分条件．【答案】 B6．集合A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |n －m ＜x ＜n ＋m }，若“m ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则n 的取值范围可以是( )A. [－2,0) B ．(0,2]C ．(－3，－1)D ．[－1,2)【解析】 当m ＝1时，B ＝{x |n －1＜x ＜n ＋1}．已知“m ＝1”⇒“A ∩B ≠∅”，假设A ∩B ＝∅，则n ＋1≤－1或n －1≥1，则n ≤－2或n ≥2.故A ∩B ≠∅时得－2＜n ＜2.∵“m ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件．∴n 的取值范围只要包含在(－2,2)内即可．故选D.【答案】 D二、填空题(每小题6分，共18分)8．给定下列命题：①“若b 2－4ac ＞0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”的逆否命题；②“四边相等的四边形是正方形”的逆命题；③“若x 2＝9，则x ＝3”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题，其中真命题是________．【解析】 只有④不是真命题，因为原命题正确，其逆命题不一定正确，同时若两角相等，它们的关系有很多种如同位角．【答案】 ①②③9．设α，β，γ为平面，m ，n ，l 为直线，则对于下列条件：①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β；③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件是________(将你认为正确的所有序号都填上)．【解析】 直线m 垂直于直线l ，但未说明，m ⊂α，故①不是m ⊥β的充分条件；根据“垂直于同一个平面的两平面的交线垂直于这个平面”，可得m ⊥β，故②是m ⊥β的充分条件；垂直于同一个平面的两平面平行或相交，当两平面平行时，根据m ⊥α可推出m ⊥β；当两平面相交时，根据m ⊥α推不出m ⊥β，故③不是m ⊥β的充分条件；根据“垂直于同一条直线的两平面平行”，可得α∥β，又根据“两平面平行，垂直于一个平面的直线垂直于另一个平面”，可得m ⊥β，故④是m ⊥β的充分条件．【答案】 ②④三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．若m ≤0或n ≤0，则m ＋n ≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假．【解析】 逆命题：若m ＋n ≤0，则m ≤0或n ≤0，真命题．否命题：若m ＞0且n ＞0，则m ＋n ＞0，真命题．逆否命题：若m ＋n ＞0，则m ＞0且n ＞0，假命题．11．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．【解析】 若p 真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0得m >2. 若q 真，则Δ＝16(m 2－4m ＋3)<0得1<m <3，因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 、q 应为一真一假，则p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，得m ≥3. p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3， 得1<m ≤2.所以m ≥3或1<m ≤2.12．设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】 由2x 2－3x ＋1≤0得12≤x ≤1. x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q ⇒/ p ．∴[12，1a ，a ＋1]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1≥1，且不同时取等号，∴0≤a ≤12， ∴a 的取值范围是[0，12]．。
【龙门亮剑全国版】高三数学一轮 第三章 第三节 等比数列及其性质课时提能精练 理.doc
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(全国Ⅰ)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．243【解析】 设首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋a 1q 2＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，∴a 7＝a 1q 6＝64. 【答案】 A2．(海南、宁夏高考)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( ) A ．2 B ．4C.152D.172【解析】 ∵在等比数列{a n }中，q ＝2≠1.设首项为a 1，则S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15a 1， 又a 2＝a 1q ＝2a 1，故S 4a 2＝15a 12a 1＝152. 【答案】 C3．在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋cA ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∴a ＝12，2b ＝14＋38，∴b ＝516， 又3·c ＝⎝⎛⎭⎫342，∴c ＝316， ∴a ＋b ＋c ＝12＋516＋316＝1616＝1. 【答案】 A4．(唐山模拟)等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 2＝1B ．a 3＝1C ．a 5＝1D ．a 9＝1【解析】 ∵T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，∴a 3＝1.【答案】 B5．在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10＝( ) A ．1 B ．－3C ．1或－3D ．－1或3【解析】 由a 2a 6＝16，得a 24＝16，解得a 4＝±4，由a 4＋a 8＝8，可得a 4(1＋q 4)＝8.∵q 4＞0，∴a 4＝4，∴q 2＝1，a 20a 10＝q 10＝1. 【答案】 A6．已知a ，b ，c 为等比数列，a ，m ，b 和b ，n ，c 是两个等差数列，则a m ＋c n等于( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【解析】 由题意得：b 2＝ac,2m ＝a ＋b,2n ＝b ＋c ，则a m ＋c n ＝an ＋cm mn＝a ·b ＋c 2＋c ·a ＋b 2a ＋b 2·b ＋c 2＝ab ＋ac ＋ac ＋bc ab ＋ac ＋b 2＋bc 2＝2. 【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．在83和272之间插入三个数，使这5个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．【解析】 由已知设插入的三个数分别依次为a ，b ，c ，则b 2＝83·272＝36， 又∵等比数列中奇数项符号相同，故b ＝6，∴abc ＝b 3＝63＝216.【答案】 2168．已知函数f (x )＝2x ＋3，数列{a n }满足：a 1＝1且a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝________.【解析】 ∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，从而{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，以2为公比的等比数列．∴a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.【答案】 2n ＋1－39．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．关于数列{a n }有下列三个命题：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n ＝1－(－1)n ，则{a n }是等比数列．这些命题中，真命题的序号是________．【解析】 对命题①，由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a n ＝a n －1＋a n ＋1a 2n ＝a n ＋1·a n －1(n ≥2)， 消去a n 得a n ＋1＝a n －1，又由{a n }为等差数列知，公差d ＝0，∴a n ＝a n ＋1. 对命题②，由S n ＝an 2＋bn 得S n －1＝a (n －1)2＋b (n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝b ＋a ＋(n －1)·2a (n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋b .也适合上式．∴{a n }是等差数列．对命题③，由S n ＝1－(－1)n 得S n －1＝1－(－1)n －1(n ≥2)，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n －1－(－1)n＝2·(－1)n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－(－1)1＝2也适合上式．∴{a n }的通项为a n ＝2·(－1)n －1，为等比数列．【答案】 ①②③三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．(广州模拟)等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．【解析】 (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329， 由条件知：a 1，a 6是方程x 2－11x ＋329＝0的两根， 解得x ＝13或x ＝323. 又0＜q ＜1，∴a 1＝323，a 6＝13， ∴q 5＝a 6a 1＝132，q ＝12， 从而a n ＝a 6·q n －6＝13·⎝⎛⎭⎫12n －6. (2)令323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝21，得⎝⎛⎭⎫12n ＝164， ∴n ＝6.11．(邵武模拟)已知等比数列{a n }的首项为a 1＝13，公比q 满足q ＞0且q ≠1.又已知a 1,5a 3,9a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝log 31a n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1的值． 【解析】 (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5，∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4，∴9q 4－10q 2＋1＝0，∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n . (2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 12．(上海春招)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋…，若对任意正整数n ，kS ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值．【解析】 (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3①∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3②由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)． 又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13. ∴数列{a n }是首项为1，公比为q ＝13的等比数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1(n 为正整数)．(2)由(1)知，S ＝a 11－q ＝11－13＝32， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n . 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有32k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， 解得k ≤1－⎝⎛⎭⎫13n .∵数列{1－⎝⎛⎭⎫13n }单调递增，∴当n ＝1时，数列中的最小项为23， ∴必有k ≤23，即实数k 的最大值为23.。
【龙门亮剑】高三数学一轮复习 第二章 第三节 函数的单调性及最值课件 理(全国版)
增函数
减函数
自左向右看图象是 自左向右看图象是 上升的 下降的 ________ _________ 图象描述
• • • •
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是_______或_______， 增函数 减函数 则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单 调性，_________叫做f(x)的单调区间．
f(x1)－f(x2) ③ ＞ 0； x1－x2 f(x1)－f(x2) ④ ＜0. x1－x2 其中能推出函数 y ＝ f(x)为增函数的命题为 ________．
• 【解析】 依据增函数的定义可知，对于① ③，当自变量增大时，相对应的函数值也增 大，所以①③可推出函数y＝f(x)为增函数． • 【答案】 ①③
(2)函数 f(x)＝ x＋1在[－1， ＋∞)上为增函数， 证明如下： 任取 x1、x2∈[－1，＋∞)且－1≤x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝ x1＋1－ x2＋1 ( x1＋1－ x2＋1)( x1＋1＋ x2＋1) ＝ x1＋1＋ x2＋1
(x1＋1)－(x2＋1) ＝ x1＋1＋ x2＋1 x1－x2 ＝ ， x1＋1＋ x2＋1 ∵－1≤x1＜x2，则有 x1－x2＜0.
• 1．函数的单调性 • (1)单调函数的定义
增函数
减函数
定 义
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如 果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量x1，x2，
增函数
减函数
定 义
当x1＜x2时，都有 当x1＜x2时，都 f(___________ x1)＞f(x2) ， _______________ ， 有 f(x1)＜f(x2) 那么就说函数f(x) 那么就说函数 在区间D上是增函 f(x)在区间D上 数 是减函数
《龙门亮剑》高三数学一轮复习 第二章 第二节函数的单调性、最值课件 (文)新人教AB通用
增函数
减函数
图 象 描 述
自左向右看图象是 上升的 ________
自左向右看图象是 下降的 ________
(2)单调区间的定义 增函数 或 若函数f(x)在区间D上是________ 减函数 ，则称函数f(x)在这一区间上具 _______ 区间D 叫做f(x)的 有(严格的)单调性，________ 单调区间．
4ac－b2 (－∞， ] 4 a 值域为_________________．
k {y|y≠0} ③y＝x(k≠0)的值域是__________ (0，＋∞) ④y＝ax(a＞0 且 a≠1)的值域是_________ R ⑤y＝logax(a＞0 且 a≠1)的值域是___. [－1,1] ⑥y＝sinx，y＝cosx 的值域是_______ R ⑦y＝tanx 的值域是____.
2．函数的值域 (1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值相 函数值 函数值的集合 对 应的y值叫做________、 _____________ 叫做函数的值域．
(2)基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. ②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当 a＞0
4ac－b2 [ ，＋∞) 4 a 时，值域为_______________；当 a＜0 时，
【解析】
数形结合如右图，要使值域为
1 3 [0,2]，(b-a)min=1- = 4 4
【答案】 B
4．设 x1，x2 为 y＝f(x)的定义域内的任意两个 变量，有以下几个命题： ①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0； f(x1)－f(x2) ③ ＞0； x1－x2 f(x1)－f(x2) ④ ＜0. x1－x2 其 中 能 推 出 函 数 y ＝ f(x) 为 增 函 数 的 命 题 为 ________．
2011龙门亮剑高三一轮文科数学全国重庆专版【】三角函数专题课件精品练习阶段评价
《龙门亮剑》高考总复习配套测评卷 ——高三一轮数学[重庆]『文科』卷(四)三角函数【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟。
只有一项是符合题目要求的)1．(2008年全国Ⅱ)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角2．已知sin αcos α＝14，且α∈(0，π4)，则sin α－cos α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－223．给定函数①y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋x ， ②y ＝1＋sin 2(π＋x )，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 中，偶函数的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 4．化简1＋sin10＋1－sin10的结果是( ) A ．－2sin5 B ．－2cos5 C ．2cos 5 D ．2sin 55．(2009年华中师大附中模拟)如果tan(α＋β)＝34，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12，那么tan ⎝⎛⎭⎫β＋π4的值是( )A ．2 B.1011 C.211 D.256．已知钝角α的终边经过点P (sin2θ，sin4θ)，且cos θ＝12，则α的正切值为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．17．函数y ＝cos(x 2＋π2)(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．48．(2007年福建高考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称9．将y ＝f (x )的图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变．然后再将图象向右平移π4个单位，所得图象恰与y ＝3sin(x ＋π6)重合，则f (x )等于( )A ．3sin(x 2＋5π12)B ．3sin(2x ＋5π12)C ．3sin(x 2－π12)D ．3sin(2x －π12)10．已知函数f (x )＝2sin ω x 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11.sin 250°1＋sin 10°＝________. 12．(2007年浙江高考)已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ的值是________．13．函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0,2π]的单调减区间是______．14．如图所示，(|θ|<π2)的图象，那么y ＝________.15．下列命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①存在α满足sin α＋cos α＝32；②y ＝cos(7π2－3x )是奇函数；③y ＝4sin(2x ＋5π4)的一个对称中心是(－9π8，0)；④y ＝sin(2x －π4)的图象可由y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)(2009年唐山模拟)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到y ＝f (x )的图象？试写出变换过程；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值．17．(12分)已知函数f (x )＝A 2－A 2cos(2ωx ＋2φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)，且y ＝f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．(1)求φ；(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)．18．(12分)已知tan α、tan β是方程x 2－4x －2＝0的两个实根，求cos 2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin 2(α＋β)的值．19．(12分)求函数y ＝3－cos x2－cos x的值域．20．(13分)设0≤θ≤π，P ＝sin 2θ＋sin θ－cos θ. (1)若t ＝sin θ－cos θ，用含t 的式子表示P ；(2)确定t 的取值范围，并求出P 的最大值和最小值．21．(14分)设函数f n (θ)＝sin n θ＋(－1)n cos n θ，0≤θ≤π4，其中n 为正整数．(1)判断函数f 1(θ)、f 3(θ)的单调性，并就f 1(θ)的情形证明你的结论； (2)证明：2f 6(θ)－f 4(θ)＝(cos 4θ－sin 4θ)(cos 2θ－sin 2θ)．阶段评估（4）答案一、选择题1．C 【解析】 由sin α<0知α是第三或第四象限角或终边落在y 轴的非正半轴上，由tan α>0知α是第一或第三象限角，综上知α是第三象限角．2．D 【解析】 (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×14＝12，又∵α∈(0，π4)，∴sin α－cos α＜0，∴sin α－cos α＝－22.3．A 【解析】 对于①y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫32π＋x ＝x sin x ，是偶函数，故①正确；对于②y ＝1＋sin 2(π＋x )＝sin 2 x ＋1，是偶函数，故②正确；对于③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos(－sin x )＝cos(sin x )， ∵f (－x )＝cos(sin(－x ))＝cos(－sin x ) ＝cos(sin x )＝f (x )，∴函数是偶函数，故③正确． 4．A 【解析】 1＋sin10＋1－sin10＝(sin5＋cos5)2＋(sin5－cos5)2＝|sin5＋cos5|＋|sin5－cos5| ＝－(sin5＋cos5)－(sin5－cos5) ＝－2sin5.5．C 【解析】 tan ⎝⎛⎭⎫β＋π4 ＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝34－121＋34×12＝14118＝211.6．B 【解析】 tan α＝sin4θsin2θ＝2cos 2θ＝2(2cos 2θ－1)＝4cos 2θ－2＝4×(12)2－2＝－1.7．A 【解析】 y ＝cos(x 2＋π2)＝－sin x2，又0≤x ≤2π，∴0≤x 2≤π，∴－sin x2≤0，故函数y ＝cos(x 2＋π2)，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝12无交点．8．A 【解析】 ∵f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．当x ＝π3时，2x ＋π3＝2×π3＋π3＝π，∴(π3，0)为f (x )的一个对称中心． 9．B 【解析】 把y ＝3sin(x ＋π6)的图象向左平移π4个单位，得到的函数解析式为y ＝3sin(x ＋π6＋π4)＝3sin(x ＋5π12)，然后再把得到的图象横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到的图象解析式为y ＝3sin(2x ＋512π)．10．D 【解析】 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32，当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知－π3ω≥π2，即ω≤－32，综上知，ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 二、填空题11．【解析】 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.【答案】 1212．【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，即sin 2θ＝－2425，又∵π2≤θ≤3π4，∴π≤2θ≤3π2.cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－(－2425)2＝－725.【答案】 －72513．【解析】 由π2＋2k π≤x ＋π3≤32π＋2k π得π6＋2k π≤x ≤76π＋2k π，k ∈Z ， 当k ＝0时，有π6≤x ≤76π，∴函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0,2π]的单调减区间是[π6，76π]．【答案】 [π6，76π]14．【解析】 由图知周期T ＝1112π－(－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋θ)，把x ＝0，y ＝1代入上式得2sin θ＝1，即sin θ＝12，又|θ|<π2，∴θ＝π6.【答案】 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 15．【解析】 对于①，sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)，其最大值为2，故不存在α满足sinα＋cos α＝32，①错．对于②，y ＝cos(7π2－3x )＝－sin 3x 是奇函数，②正确．对于③，当x＝－9π8时，y ＝4sin[2×(－98π)＋5π4]＝4sin(－π)＝0，故③正确．对于④，y ＝sin(2x －π4)的图象可由y ＝sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到，故④错．【答案】 ②③ 三、解答题16．【解析】 (1)∵f (x )＝a·b＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x ＝cos 2 x －sin 2 x ＋2sin x cos x ＝ cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.(2)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (3)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤54π.∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2，当2x ＋π4＝54π，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.17．【解析】 (1)∵y ＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)，且y ＝f (x )的最大值为2，A ＞0， ∴A 2＋A2＝2，A ＝2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0， ∴12(2π2ω)＝2，ω＝π4. ∴f (x )＝22－22cos(π2x ＋2φ)＝1－cos(π2x ＋2φ)．∵y ＝f (x )过(1,2)点，∴cos(π2＋2φ)＝－1.π2＋2φ＝2k π＋π，k ∈Z .∴φ＝k π＋π4，k ∈Z . 又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π4.(2)∵φ＝π4，∴f (x )＝1－cos(π2x ＋π2)＝1＋sin π2x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4. 又∵y ＝f (x )的周期为4,2 008＝4×502， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝4×502＝2 008. 18．【解析】 由已知有tan α＋tan β＝4， tan α·tan β＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝43，cos 2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin 2(α＋β) ＝cos 2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin 2(α＋β)cos 2(α＋β)＋sin 2(α＋β)＝1＋2tan(α＋β)－3tan 2(α＋β)1＋tan 2(α＋β)＝1＋2×43－3×1691＋169＝－35.19．【解析】 方法一：函数的定义域为R ，y ＝1＋12－cos x ，∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－1时，2－cos x 有最大值3，此时y min ＝1＋13＝43；当cos x ＝1时，2－cos x 有最小值1，此时y max ＝2，∴函数的值域为[43，2]．方法二：由y ＝3－cos x2－cos x 解出cos x 得cos x ＝2y －3y －1.∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤2y －3y －1≤1，即|2y －3y －1|≤1， 也即|2y －3|≤|y －1|(y ≠1)，两边同时平方得(2y －3)2≤(y －1)2(y ≠1)， 即3y 2－10y ＋8≤0(y ≠1)，∴(y －2)(3y －4)≤0，∴43≤y ≤2，∴函数的值域为[43，2]．20．【解析】 (1)由t ＝sin θ－cos θ， 有t 2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ.∴sin 2θ＝1－t 2，∴P ＝1－t 2＋t ＝－t 2＋t ＋1.(2)t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)．∵0≤θ≤π，∴－π4≤θ－π4≤3π4.∴－12≤sin(θ－π4)≤1.即t 的取值范围是－1≤t ≤ 2.P (t )＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，从而P (t )在[－1，12]内是增函数，在[12，2]内是减函数． 又P (－1)＝－1，P (12)＝54，P (2)＝2－1，∴P (－1)＜P (2)＜P (12)．∴P 的最大值是54，最小值是－1.21．【解析】 (1)f 1(θ)、f 3(θ)在[0，π4]上均为单调递增的函数．对于函数f 1(θ)＝sin θ－cos θ.设θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，π4]，则f 1(θ1)－f 1(θ2)＝(sin θ1－sin θ2)＋(cos θ2－cos θ1)， ∵sin θ1＜sin θ2，cos θ2＜cos θ1， ∴f 1(θ1)＜f 1(θ2)，∴函数f 1(θ)在[0，π4]上单调递增．(2)证明：∵原式左边＝2(sin 6θ＋cos 6θ)－(sin 4θ＋cos 4θ)＝2(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 4θ－sin 2θ·cos 2θ＋cos 4θ)－(sin 4θ＋cos 4θ) ＝1－sin 22θ＝cos 22θ.又∵原式右边＝(cos 2θ－sin 2θ)2＝cos 22θ， ∴2f 6(θ)－f 4(θ)＝(cos 4θ－sin 4θ)(cos 2θ－sin 2θ)．。
2011届《龙门亮剑》高三数学一轮复习 第二章 第三节课时精练 (文)新人教AB通用
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2009某某模拟)函数y ＝－x 2(x ∈R )是()A ．左减右增的偶函数B ．左增右减的偶函数C ．减函数、奇函数D ．增函数、奇函数【解析】∵y ＝－x 2是开口向下的一条抛物线，∴y ＝－x 2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y ＝f (x )＝－x 2，则f (－x )＝－(－x )2＝－x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．【答案】B2．(2008年某某高考)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是()A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数【解析】∵对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，∴令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝－1∴令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1，∴f (x )＋1＝－f (－x )－1＝－[f (－x )＋1]，∴f (x )＋1为奇函数．【答案】C3．(2008年某某高考)函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－2【解析】 由f (a )＝2，得a 3＋sin a ＋1＝2，a 3＋sin a ＝1，又f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0.【答案】B4．(2008年某某高考)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．98【解析】∵f (7)＝f (4＋3)＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2.【答案】A5．(2009年某某模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )＜－12的解集是() A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D. [1，＋∞)【解析】 当x ＞0时，1－2－x ＝1－12x ＞0与题意不符， 当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝1－2x ，又∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝1－2x ，∴f (x )＝2x －1，∴f (x )＝2x －1＜－12，∴2x ＜12， ∴x ＜－1，∴不等式f (x )＜－12的解集是(－∞，－1)． 【答案】A6．已知f (x )＝ln(e x －e －x 2)，则下列正确的是() A ．非奇非偶函数，在(0，＋∞)上为增函数B ．奇函数，在R 上为增函数C ．非奇非偶函数，在(0，＋∞)上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数【解析】 要使f (x )有意义，则e x －e －x 2＞0， 即e x －e －x ＞0，∴x ＞0.∴f (x )为非奇非偶函数．设g (x )＝e x －e －x 2， 又∵x 1＞x 2＞0时，e x 1＞e x 2，e －x 2＞e －x 1，g (x 1)－g (x 2)＝12(e x 1－e x 2)＋12(e －x 2－e x 1)＞0， ∴g (x 1)＞g (x 2)，即ln(e x 1－e －x 12)＞ln(e x 2－e －x 22)，f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．【答案】A二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2008年某某高考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值X 围是________．【解析】 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，由对数函数图象与性质知x ∈(0,1)时f (x )＜0，x ∈(1，＋∞)时f (x )＞0.又∵f (x )是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称．∴x ∈(－∞，－1)时f (x )＜0，x ∈(－1,0)时f (x )＞0.综上所述，满足f (x )＞0的x 的X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)．【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 009.9)＝________.【解析】∵f (x )是定义在R 上的偶函数且f (x ＋1)＋f (x )＝3①∴f (－x ＋1)＋f (－x )＝3，即f (x －1)＋f (x )＝3由①②，得f (x ＋1)＝f (x －1)，∴f (x )的周期T ＝2，②∴f (－2 009.9)＝f (－2 010＋0.1)＝f (0.1)＝2－0.1＝1.9.【答案】1.99．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)，其中正确的序号是________．【解析】∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋1＋1)]＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的函数，①正确．又∵f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，②正确，又∵f (x )为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是增函数，又∵对称轴为x ＝1.∴f (x )在[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)，故③④错误，⑤正确．【答案】①②⑤三、解答题(10、11每题15分，12题16分，共46分)10．已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a 、b 、c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)＜3，求a 、b 、c 的值．【解析】 由f (－x )＝－f (x )，得－bx ＋c ＝－(bx ＋c )，∴c ＝0.由f (1)＝2，得a ＋1＝2b ①由f (2)＜3，得4a ＋12b＜3② 由①②得4a ＋1a ＋1＜3③ 解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1.若a ＝0，则b ＝12，与b ∈Z 矛盾， 若a ＝1，则b ＝1，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.11．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，某某数a 的取值X 围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)设2≤x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)＜0恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2＞4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)＞16，∴a 的取值X 围是(－∞，16]．12．若定义在R 上的函数f (x )对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1成立，且当x ＞0时，f (x )＞1.(1)求证：f (x )－1为奇函数；(2)求证：f (x )是R 上的增函数；(3)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)＜3.【解析】 (1)定义在R 上的函数f (x )对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1成立，令x 1＝x 2＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1⇒f (0)＝1，令x 1＝x ，x 2＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1，∴[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，∴f (x )－1为奇函数．(2)由(1)知，f (x )－1为奇函数，∴f (－x )－1＝－[f (x )－1]，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，∵f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1，∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1＝f (x 2)－[f (x 1)－1]＝f(x2)－f(x1)＋1.∵当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＋1＞1，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)是R上的增函数．(3)∵f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且f(4)＝5，∴f(4)＝f(2)＋f(2)－1⇒f(2)＝3.由不等式f(3m2－m－2)＜3，得f(3m2－m－2)＜f(2)，由(2)知，f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2＜2，∴3m2－m－4＜0，∴－1＜m＜4，3∴不等式f(3m2－m－2)＜3的解集为(－1，43)．。
2011届《龙门亮剑》高三数学一轮复习 阶段质量检测(二)课时精练 (理)新人教AB通用
阶段质量检测(二) 函数、导数及其应用(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2009年某某模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞，0)上的单调性为()A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数【解析】 f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在x ∈(－∞，0)上为减函数，g (x )＝log 12(－x )在(－∞，0)上为增函数．【答案】 D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)3x (x ≤0)，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是() A ．9 B.19C ．－9D ．－19【解析】 f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f ⎝⎛⎭⎫log 214＝f (－2)＝3－2＝19. 【答案】 B3．设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log x (x 2＋0.3)(x >1)，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．b <c <a【解析】 ∵a ＝20.3<21＝2且a ＝20.3>20＝1， ∴1<a <2，又∵b ＝0.32<0.30＝1，∵x >1，∴c ＝log x (x 2＋0.3)>log x x 2＝2，∴c >a >b .【答案】 B4．已知函数f 1(x )＝a x ，f 2(x )＝x a ，f 3(x )＝log a x (其中a >0，且a ≠1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是()【解析】 从选项A 可看出两图象应为f 1(x )＝a x与f 2(x )＝x a，由f 1(x )的图象知a >1，由f 2(x )的图象知a <0， ∴A 不正确；对于选项B ，图象应为f 2(x )＝x a 与f 3(x )＝log a x ，由f 2(x )的图象知a >1， 由f 3(x )图象知a >1，可能正确．对于选项C ，表示f 1(x )＝a x 与f 3(x )＝log a x 的图象， 由f 1(x )知a >1，由f 3(x )知0<a <1，∴C 选项不正确．对于选项D ，表示f 2(x )＝x a 与f 1(x )＝a x 两函数的图象， 由f 2(x )的图象知a >1，由f 1(x )的图象知0<a <1，∴D 选项不正确． 【答案】 B5．设a >1，函数y ＝|log a x |的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0,1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值为56，则实数a 的值内()A ．11B ．6 C.116 D.32【解析】 在坐标平面内先画出函数f (x )＝log a x 的图象，再将其图象位于x 轴下方的部分“翻折”到x 轴的上方，与f (x )本身不在x 轴下方的部分共同组成函数g (x )＝|log a x |的图象，注意到g (1)＝0，g (a )＝g ⎝⎛⎭⎫1a ＝1，结合图形可知，要使函数g (x )的值域是[0,1]，其定义域可能是⎣⎡⎦⎤1a ，1、[]1，a 、⎣⎡⎦⎤1a ，a ，且1－1a ＝a －1a ＜a －1，因此结合题意知1－1a ＝56，a ＝6. 【答案】 B6．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t (分钟)的函数关系表示的图象只可能是()【解析】 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度没有达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B.【答案】 B7．设函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)，则f ′(x )＝0有() A ．分别位于(1,2)，(2,3)，(3,4)内三个根 B ．四个实根x i ＝i (i ＝1,2,3,4)C ．分别位于(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)内四个根D ．分别位于(0,1)，(1,2)，(2,3)内三个根【解析】 用数轴穿根法画出f (x )的图象，如图：根据导函数的值与原函数的单调性之间的关系可知A 选项正确． 【答案】 A8．(2009年某某模拟)设函数f (x )＝x －ax －1，集合M ＝{x |f (x )<0}，P ＝{x |f ′(x )≥0}，M 是P 的真子集，则实数a 的取值X 围是()A ．(－∞，1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 ∵f (x )<0，∴x －a x －1<0，当a <1时，a <x <1， 当a ＝1时，x ∈∅， 当a >1时，1<x <a ，又∵f ′(x )＝a －1(x －1)2≥0，且M P ，∴P 不能为空集，∴a ≥1. 【答案】 D9．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．若函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则实数a 的取值X 围是()A ．[－5,0]B ．[－4,1]C ．[－4,0]D ．[－5,1]【解析】 由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，即 －3≤f (x )≤3，∴－4－⎝⎛⎭⎫14x ≤a ⎝⎛⎭⎫12x≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x≤a ≤2·2x－⎝⎛⎭⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立， ∴[－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x]max ≤a ≤[2·2x－⎝⎛⎭⎫12x ]min ， 设2x ＝t ，则h (t )＝－4t －1t，p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)，得t ≥1，易知：h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，所以h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1，∴实数a 的取值X 围为[－5,1]． 【答案】 D10．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是()①y ＝x －1x ， ②y ＝x ＋1x ， ③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0<x <1)0 (x ＝1)－1x (x >1)A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①【解析】 对于①， f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )，∴满足“倒负”变换；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝x ＋1x ＝f (x )≠－f (x )．∴不满足“倒负”变换； 对于③，当0<x <1时， f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－11x＝－x ＝－f (x )， 当x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0＝－f (x )， 当x >1时， f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－⎝⎛⎭⎫－1x ＝－f (x )， ∴满足“倒负”变换． 【答案】 C 11．(2009年潍坊模拟)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有()A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)【解析】 用－x 代换x 得： f (－x )－g (－x )＝e －x ， 即f (x )＋g (x )＝－e －x ， 解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝e x ＋e －x2，而f (x )在[0，＋∞)上单调递增且大于等于0，g (0)＝－1. 【答案】D 12．(2009年海淀模拟)定义在R 上的函数f (x )，如果存在函数g (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数)，使得f (x )≥g (x )对一切实数x 都成立，则称g (x )为函数f (x )的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数f (x )，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g (x )＝2x 为函数f (x )＝2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R 的函数f (x )不存在承托函数．下列选项正确的是() A ．① B ．② C ．①③ D ．②③【解析】 对于①，若f (x )＝sin x ，则g (x )＝B (B <－1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y ＝tan x ，y ＝lg x 就没有承托函数，∴命题①正确．对于②，∵当x ＝32时，g ⎝⎛⎭⎫32＝3，f ⎝⎛⎭⎫32＝232＝22＝8， ∴f (x )<g (x )，∴g (x )＝2x 不是f (x )＝2x 的一个承托函数． 对于③如f (x )＝2x ＋3存在一个承托函数y ＝2x ＋1.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t ＝________.【解析】 ⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )|t 0＝t 2－t ＝6，∴t ＝3或t ＝－2(舍)． 【答案】 314．已知方程x 3＝4－x 的解在区间(k ，k ＋12)内，k 是12的整数倍，则实数k 的值是________．【解析】 令f (x )＝x 3＋x －4，则f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴函数f (x )在定义域上是增函数，如果有零点，只能有一个，又∵f (1)＝－2<0，f ⎝⎛⎭⎫32＝278＋32－4＝78>0， ∴函数f (x )必然有一根在⎝⎛⎭⎫1，32上，即k ＝1. 【答案】 115．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x (x >0)1－x 2(x ≤0)，则不等式f (x )>0的解集为________．【解析】 ∵f (x )>0，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x (x >0)1－x 2(x ≤0)，∴当x >0时，－log 2x >0，即log 2x <0，∴0<x <1， 当x ≤0时，1－x 2>0， 即x 2－1<0，∴－1<x ≤0，因此－1<x <1.【答案】 {x |－1<x <1}16．规定[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.3]＝2，[－2.7]＝－3，函数y ＝[x ]的图象与函数y ＝ax 的图象在[0,2010)内有2 010个交点，则a 的取值X 围是________．【解析】 依题意y ＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧0(0≤x <1)1 (1≤x <2)……2 009 (2 009≤x <2 010)＝i (i ≤x <i ＋1，i ∈N 且i <2 010)，画出y ＝[x ]及y ＝ax 的图象，从图象中可以看出，使两函数在[0,2 010)内有2 010个交点需2 0092 010<a ≤1.【答案】 (2 0092 010，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2009年某某模拟)已知实数a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值比最小值大12，某某数a 的值．【解析】 当a >1时，f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，故最大值为f (2a )，最小值为f (a )，所以log a (2a )－log a a ＝12，所以a ＝4，满足a >1，当0<a <1时，f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是减函数，故最大值为f (a )，最小值为f (2a )，所以log a a －log a (2a )＝12，所以a ＝14，满足0<a <1，综上所述，a ＝4或a ＝14.18．(12分)已知函数f (x )对任意实数x ，y 均有f (x )＋f (y )＝ 2f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2f ⎝⎛⎭⎫x －y 2，f (0)≠0，且存在非零常数c ，使f (c )＝0. (1)求f (0)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)求证f (x )是周期函数，并求出f (x )的一个周期． 【解析】 (1)∵任意x ，y ∈R 均有 f (x )＋f (y )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2，令x ＝y ＝0， ∴2f (0)＝2f (0)·f (0)，∵f (0)≠0，∴f (0)＝1. (2)令y ＝－x ，∴f (x )＋f (－x )＝2f (0)f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)∵f (2c ＋x )＋f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫2c ＋2x 2·f ⎝⎛⎭⎫2c 2， ∵f (c )＝0，∴f (2c ＋x )＋f (x )＝0， 即f (2c ＋x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (2c ＋x )＝－[－f (2c ＋(2c ＋x ))]＝f (4c ＋x )，∴f (x )的周期为4c .19．(12分)(2009年某某模拟)某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m 2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m 2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m 2森林损失费为60元，问应该派多少消防员前去救火，才能使总损失最少？【解析】 设派x 名消防员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y 元，则t ＝5×10050x －100＝10x －2， y ＝灭火材料、劳务津贴＋车辆、器械、装备费＋森林损失费 ＝125tx ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ·10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2方法一：y ＝1 250·x －2＋2x －2＋100(x －2＋2)＋30 000＋60 000x －2＝31 450＋100(x －2)＋62 500x －2≥31 450＋2100×62 500＝36 450，当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450.故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36 450元． 方法二：y ′＝1 250(x －2－x )(x －2)2＋100－60 000(x －2)2＝100－62 500(x －2)2，令100－62 500(x －2)2＝0，解得x ＝27或x ＝－23(舍)． 当x <27时y ′<0，当x >27时y ′>0，∴x ＝27时，y 取最小值，最小值为36 450元，故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36 450元．20．(12分)(2009年某某模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值X 围．【解析】 (1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称；当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ，若f (x )为偶函数， 则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾，若f (x )为奇函数， 则1－a ＝－(a ＋1),1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)任取x 1>x 2≥3，f (x 1)－f (x 2) ＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 1＋x 2x 21x 22，∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立，∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227. 21．(12分)已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在公共点处的切线相同．(1)若a ＝1，求b 的值；(2)用a 表示b ，并求b 的最大值．【解析】 (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同．f ′(x )＝x ＋2，g ′(x )＝3x ，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，∴⎩⎨⎧12x 2＋2x 0＝3ln x 0＋b x 0＋2＝3x，由x 0＋2＝3x 0得x 0＝1或x 0＝－3(舍去)，即有b ＝52.(2)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同．f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x ，由题意f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎨⎧12x 2＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b x 0＋2a ＝3a2x由x 0＋2a ＝3a 2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)，即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <e 13时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即t >e 13时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)为减函数，于是h (t )在(0，＋∞)的最大值为h (e 13)＝32e 23， 故b 的最大值为32e 23.22．(12分)(2009年某某模拟)已知函数f (x )＝a ＋xa －x(常数a >0)，且f (1)＋f (3)＝－2.(1)求a 的值；(2)试研究函数f (x )的单调性，并比较f (t )与22t ＋2t ⎝⎛⎭⎫－32<t <32且t ≠0的大小； (3)设g (x )＝(2－x )f (x )－m (x ＋2)－2，是否存在实数m 使得y ＝g (x )有零点？若存在，求出实数m 的取值X 围；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由f (1)＋f (3)＝a ＋1a －1＋a ＋3a －3＝－2.有a (a －2)＝0. 又a >0，所以a ＝2. (2)由(1)知函数f (x )＝2＋x2－x ，其定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 设x 1、x 2∈(－∞，2)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2＋x 12－x 1－2＋x 22－x 2＝4(x 1－x 2)(2－x 1)(2－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数，同理可得，f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．令h (x )＝2x ＋2x ＝2x＋2，则函数h (x )在区间(－∞，0)、(0，＋∞)上是减函数． 当t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0时，f (t )>f ⎝⎛⎭⎫－23＝12， h (t )<h ⎝⎛⎭⎫－23＝－1,2h (t )<2－1＝12， 所以f (t )>22t ＋2t .当t ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (t )<f ⎝⎛⎭⎫32＝7，h (t )>h ⎝⎛⎭⎫32＝103， 2h (t )>2103>23＝8，所以f (t )<22t ＋2t .综上，当t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0时，f (t )>22t ＋2t ； 当t ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (t )<22t ＋2t.(3)g (x )＝2＋x －m (x ＋2)－2，x ≠2.由题意可知，方程2＋x －m (x ＋2)－2＝0在{x |x ≥－2且x ≠2}中有实数解．令2＋x ＝t ，则t ≥0且t ≠2，问题转化为关于t 的方程mt 2－t ＋2＝0① 有非负且不等于2的实数根．若t ＝0，则①为2＝0，显然不成立．故t ≠0，方程①可变形为m ＝－2⎝⎛⎭⎫1t 2＋1t ，问题进一步转化为求关于t 的函数(t ≥0且t ≠2)的值域．因为t ≥0且t ≠2，所以1t >0且1t ≠12，所以m ＝－2⎝⎛⎭⎫1t 2＋1t ∈(－∞，0)∪(0，18]． 所以实数m 的取值X 围是(－∞，0)∪(0，18]．。
2011龙门亮剑高三一轮文科数学全国重庆专版【】三角函数专题课件精品练习
课时提能精练（本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！一、选择题（每小题6分，共36分）AC AC1.在△ ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则 tanA + tanC +•, 3tanA tanC 的值是（）A . ±,3B . - ,3 C. 3D.f【解析】 •/ A 、B 、C 成等差数列，••• A + C = 2B.4 .2 A —^― A. 5C鉅C.54 n又 A + B + C = 180° • tanA + tanC + 3t A C 2丿 =ta n =tan60【答案】 2.如果• A + C = 120° B = 60°A Cang tanqd X A 厂 A C 1 — tan^tanq + 3tan ： tan^ 1 — tanA tan C + 3 tanA tanC = , 3. C.n 且a2，兀且4.2 5 3*2 5【答案】 D2n2n3. (2009 年大同模拟)函数 f(x) = sin (x + 4)— sin (x — 4)是()A .周期为B .周期为C .周期为D •周期为【解析】 2 n 的奇函数2n 的偶函数n 的奇函数n 的偶函数f （x ） = sin 2 x +n — sin 2 x1 _ =2 1 — cos(2x + 2) 12 =；cos 2x —才—|cos 2x + 1n4n "i cos(2x — ^) 21 _ =QSin 2x + QSin 2x = sin 2x ,sin a= 5 那么 sin a+COS J a+ n =()【解析】3匚3眉=.2cos a= — -.7t 4•••sin心5 2<a n1 A.§ B . 1 c ・6D •【解析】 T 0< a < n , 3sin 2 a= sin a, • 6sin oCOS a= sin a, 又■/ sin a 0,5. (2009年汤阴模拟)若2a = 3sin 2+ cos 2,则实数a 的值所在范围是 A. 0, I B 1, 1c. -1，- 2D . - 2 0【解析】 羽si n 2 + cos 2= 2sin g +〜2sin 144.6 = 2sin 35.4 .■/ sin 30 <sin 35.4 <sin 45 ； .1--2<sin 35.4• 1< 3sin 2 + cos 2< 2, 即 1<2a < 2, • 0<a<1. 【答案】 A6. (2009年惠安模拟)若sin 訂a =寺 则cos 牛 2 a =(COS gn+ 2 a 尸 COS n —才- 2 a J _ cos (n 2、、. 7 =—cos3 — 2a=— 9. 【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)…Sin a+ COS a=3, tan( 3_ a = — 2,贝U tan( — 2 a)=a — COS aSin a+ COS a tan a+ 1【解析】 •••= = 3, ••• tan a= 2.sin a — COS a tan a — 1又 tan( 3— a= — 2,7 C.7【解析】COS (a — n =COS ( 【答案】 D—a= — COSa=— 6.••• cos 3— 2 =1 — 2si n 2 =1 — 2Xx 尸 COS 2(6 — a i I 2- 7 9，1 3 1 6• COS a= g ,6■/ sin1 3，--tan( 3— 2 a = tan [ ( 3_ 0)— a]tan( 3— 0 — tan a — 4 4 1 + tan( 3— O tan a — 3 3 4 【答案】4 4 a a a &设a 是第二象限的角，tan a=— 4，且sin-<cos2，贝卩cos ° = _________________ 【解析】 ••• a 是第二象限的角， a 2可能在第一或第三象限， a a a 又sin a<cos2二2■为第三象限的角, a 4 --COSgvO. •/ tan a= — 3, . 3 a --cos a=— 一，cos^= 5, 5 【答案】9. (2009年上海模拟)函数【解析】2 1+ cos a 5 —5 f(x) = 2 cos| 2+ sin x 的最小正周期是 T f(x)= 2 [cos xsin x = 1 + cos x + sin x =V2si n $ + 訂+ 1. ••• f(x)的最小正周期为 2 n 【答案】 2 n 三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分) 1 + cos x — sin x, 1 — cos x — sin x n10.已知 f(x)= + ，且 X M 2k n+-, k € 乙1 — sin x — cos x 1 — sin x + cos x 2(1)化简 f(x);(2)是否存在2X 1 + tan -x 2 X ,使tan ；f (x)与 相等？若存在，求出 X ；若不存在，说明理由.' 2 ' ' sin x 【解析】1 + cos x — sin x 1 — cos x — sin x (1)f(x)= +1 — sin x — cos x 1 — sin x + cos x 2x x x 2xx x 2cos — 2sin?cos? 2sin — 2sin?cos2+ 2x x x 2x x x 2sin 2 — 2sin 2cos2 2cos ? — ZsinqCos? 2x x x x x x 2COS 2(COS 2 — sin?) 2sin ?(s in?— cos?) +x x x x x . x2s in ^(si n? — cos? 2cos2(cos? — si n?x xcos^ sin?x x sin? cos?(2)由(1)得 f(x) = sin [2x —器+ g ••• 0< x< 2 n/•—冬 2x — % 7 n 6 6 6n, •••— 2< sin 2x —訂 • g sin 盘―訂+2，即f(x)的取值范围为0, 3〔12.如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且 AB = 1,过点P 作圆的切线PC ,使PC2x 2xcos 2+ sin 22sin x' x x sin|COS|2X1 + tan 2-相等,x(2)假设存在 x 使得tan2 f (x)与 s j n x‘丄2X 21+ tan 2、、sin x 丿 sin x ， 则 tan|••• — 2tan2= 1 + ta n 22,x 2x即(ta 门2+ 1)2= 0, • tan2 =— 1,x n _•- 2=— 4+ k n k € Z ,n即 x = — 2+ 2k n k € Z ,1 + tan 2专2相等.Sin x11. (2008年北京高考)已知函数f(x) = sin wx+ : 3sin wx sin( wx+ 2)( w >0)的最小正周期 为n.(1)求w 的值；nx故存在 x =— 2 + 2k n k € Z )使 tan ? f (x)与 (2)求函数【解析】、_ 2 f(x)在区间0, 丁冗1 — cos 2wx (1)f(x)=+ _23sin 2 wx的取值范围.2 1 1sin 2 wx — Q COS 2 wx+ ?=si ng wx —訂+1.因为函数f(x)的最小正周期为 n,且w >0.2 n 所以亍=n,解得w= 1.2 w=1•连BC ,当点P 在什么位置时，四边形 ABCP 的面积等于1?【解析】 设/ PAB =a 连接PB.•/ AB 是直径，•••/ APB = 90°又 AB = 1, •- PA = cos a, PB = sin a•/ PC 是切线，:丄 BPC = a 又 PC = 1,• S 四边形 ABCP = S^ APB + BPC1 1=2PA PB + 2PB P C sin a 1 1 2=2cos asin a+ qsin a 1 1=[sin 2 a+ 4(1 — cos 2 a 1 . 1=~(sin 2 a — cos 2 a + ；44•2a — 4=4,1故当点P 位于AB 的中垂线与半圆的交点时，四边形 ABCP 的面积等于-.• f （x ）是周期为n 的奇函数. 【答案】 C4. （2008年广东四校联考）已知0<a <n 3sin 2 a= sin a,贝U cos （ a — n 等于（•a = 4.。
【龙门亮剑】高三数学一轮复习 第一章 第三节 简易逻辑课件 理(全国版)
【思路点拨】 写成“若p，则q”的形式→写出逆 命题、否命题、逆否命题→判断真假
【自主解答】 (1)逆命题：全等三角形的面积相 等，真命题．
否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角 形，真命题．
逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等， 假命题． (2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1， 假命题． 否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假 命题． 逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则有q≥1， 真命题．
(3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真
命题．
否命题：若x2＋ y2≠0，则实数x ， y不全为零，真
命题．
逆否命题：若实数x ， y不全为零，
则x2＋ y2≠0，真命题．
1.命题真假的判定 对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件 与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及 的知识才能正确地判断命题的真假． 2．四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等 价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时， 可以转而判断其逆否命题的真假．
当一个命题有大前提而写出其他 三种命题时，必须保留大前提，大前提不动．
[教师选讲]写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题并判断其真假． (1)等底等高的两个三角形是全等三角形； (2)若ab＝0，则a＝0或b＝0. 【解析】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这 两个三角形等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个 三角形不全等．真命题．
5．设 A、B 为两个命题，若 B 是綈 A 的必要不
充分条件，则 A 是綈 B 的________条件．
【解析】 綈 A⇒B，∴綈 B⇒A，则 A 是綈 B
2011届《龙门亮剑》高三数学一轮复习 第二章 第十节课时精练 (文)新人教AB通用
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 从f ′(x )的图象可知f (x )在(a ，b )内从左到右的单调性依次为增减增减，∴在(a ，b )内只有一个极小值点．【答案】A2．(2008年某某高考)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则() A ．a ＞－3 B ．a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13【解析】 设f (x )＝e ax ＋3x ，则f ′(x )＝3＋a e ax . 若函数在x ∈R 上有大于零的极值点． 即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当有f ′(x )＝3＋a e ax ＝0成立时，显然有a ＜0， 此时x ＝1a ln(－3a)．由x ＞0，得参数a 的X 围为a ＜－3.【答案】B3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对【解析】 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， ∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大，∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5.∴最小值为－37. 【答案】A4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值X 围是() A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 【解析】∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0， ∴当x ＝－1时f (x )有极大值．当x ＝1时，f (x )有极小值，要使f (x )有3个不同的零点．只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0f (1)＜0，解得－2＜a ＜2.【答案】A 5．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有()A ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )D ．f (x )g (x )＞f (b )g (a )【解析】 令y ＝f (x )·g (x )， 则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )， 由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＜0， 所以y 在R 上单调递减， 又x ＜b ，故f (x )g (x )＞f (b )g (b )， 【答案】C6．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则()A ．f (1)＜f (2)＜f (3)B ．f (2)＜f (3)＜f (1)C ．f (3)＜f (2)＜f (1)D ．f (3)＜f (1)＜f (2)【解析】由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈(－π2，π2)时，f ′(x )＝1＋cos x ＞0恒成立，所以f (x )在(－π2，π2)上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0＜π－3＜1＜π－2＜π2，所以f (π－3)＜f (1)＜f (π－2)，即f (3)＜f (1)＜f (2)． 【答案】D二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．【解析】 ∵f (x )＝a ln x ＋x ，∴f ′(x )＝ax ＋1.又∵f (x )在[2,3]上单调递增， ∴ax＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立， ∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)． 【答案】[－2，＋∞)8．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ′(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1； ④f (x )＝x e x .【解析】 对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈(0，π2)时，f ″(x )＜0恒成立；对于②，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )＜0恒成立；对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )＜0恒成立；对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x 在x ∈(0，π2)时f ″(x )＞0恒成立，所以f (x )＝x e x 不是凸函数． 【答案】④9．将长为52 cm 的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．【解析】 设剪成2段中其中一段为x cm ，另一段为(52－x ) cm ， 依题意知：S ＝x 6·2x 6＋3(52－x )10·2(52－x )10 ＝118x 2＋350(52－x )2， S ′＝19x －325(52－x )，令S ′＝0，则x ＝27. 另一段为52－27＝25.此时S min ＝78. 【答案】78三、解答题(10、11每题15分，12题16分，共46分)10．(2009年某某模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值．【解析】(1)Q ＝P ·400v ＝(119 200v 4－1160v 3＋15v )·400v＝(119 200v 3－1160v 2＋15)·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80， 当0＜v ＜80时，Q ′＜0. 当80＜v ≤100时，Q ′＞0.∴v ＝80时，全程运输成本取得极小值，即最小值．从而Q min ＝Q (80)＝2 0003元．11．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP (x ) 的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？【解析】 (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5 000(x ∈N*，且1≤x ≤20)； MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275(x ∈N*，且1≤x ≤19)． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240＝－30(x －12)(x ＋9)， ∵x >0，∴P ′(x )＝0时，x ＝12， ∴当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时，P ′(x )<0， ∴x ＝12时，P (x )有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275＝－30(x －1)2＋3 305. 所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减， 所以单调减区间为[1,19]，且x ∈N *.MP (x )是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少．12．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈[12，2]，不等式f (x )≤10在[14，1]上恒成立，求b 的取值X 围．【解析】 (1)f ′(x )＝1－ax 2，由导数的几何意义得f ′(2)＝3，于是a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7， 解得b ＝9.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)f ′(x )＝1－ax 2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0(x ≠0)．这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)内是增函数， 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .－∞，－a (a 在(－a ，0)，(0，a )内是减函数．(3)由(2)知，f (x )在[14，1]上的最大值为f (14)与f (1)中的较大者，对于任意的a ∈[12，2]，不等式f (x )≤10在[14，1]上恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (14)≤10f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a b ≤9－a ，对任意的a ∈[12，2]成立．从而得b ≤74，所以满足条件的b 的取值X 围是(－∞，74]．。
【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第一章 第一节 集合提能精练 理(全国版)
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2010年某某模拟)已知A ＝{x |x ＋1≥0}，B ＝{y |y 2－2>0}，全集I ＝R ，则A ∩∁I B 为()A ．{x |x ≥2或x ≤－2}B ．{x |x ≥－1或x ≤2}C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |－2≤x ≤－1}【解析】由已知得A ＝{x |x ≥－1}，B ＝{y |y >2或y <－2}，∁I B ＝{y |－2≤y ≤2}，则A ∩∁I B ＝{x |－1≤x ≤2}．【答案】C2．设全集I ＝{1,2,3，…，9}，A 、B 是I 的子集，若A ∩B ＝{1,2,3}，就称集对(A ，B )为“好集”，那么所有好集的个数为()A ．6!B ．62C ．26D ．36【解析】要使A ∩B ＝{1,2,3}，必须满足集合A ，B 中都含有元素1,2,3，且对全集中的其他6个元素4,5,6,7,8,9中的每个元素，要么在集合A 中，要么在集合B 中或不在集合A 、B 中，这三种情况只能选其一，于是这6个元素所处集合的不同情况为3×3×3×3×3×3＝36.而这6个元素所处不同集合的个数即为所有好集的个数，故应选D.【答案】D3．(2010年某某模拟)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，N ＝{x |x ＋1≤2，x ∈R }，则(∁U M )∩N 等于()A ．{2}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |x <2或2<x <3}D ．{x |－1≤x <2或2<x ≤3}【解析】由x ＝x 2－2得⎩⎨⎧ x ＝x 2－2x ≥0x 2－2≥0，∴x ＝2，∴M ＝{2}．由x ＋1≤2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤4x ＋1≥0， ∴－1≤x ≤3，N ＝{x |－1≤x ≤3}．∴∁U M ＝{x |x <2或x >2}，∴∁U M ∩N ＝{x |－1≤x <2或2<x ≤3}．【答案】D4．(2010年某某模拟)已知集合P ＝{(x ，y )|y ＝k }，Q ＝{(x ，y )|y ＝a x ＋1}，且P ∩Q ＝∅，那么k 的取值X 围是()A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【解析】集合P 代表直线y ＝k 上所有的点，集合Q 代表曲线y ＝a x ＋1上所有的点， 由P ∩Q ＝∅，可知y ＝k 和y ＝a x ＋1没有交点，结合图象①②可知k ≤1.所以选B. 【答案】 B5．设U 为全集，M 、N 、P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为()A ．M ∩(N ∪P)B ．M ∩(P ∩∁U N )C ．P ∩(∁U M ∩∁U N )D ．(M ∩N )∪(M ∩P ) 【解析】图中的阴影部分是(∁U N )∩P 的子集，也是M 的子集，故M ∩(P ∩∁U N )．【答案】B6．(2010年某某)50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为()A ．50B ．45C ．40D ．35【解析】 设两项都参加的有x 人，则只参加甲项的有(30-x )人，只参加乙项的有(25-x )人．(30-x )+x +(25-x )=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，∴仅参加一项的有45人．故选B.【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}且B ⊆A ，则a ＝________.【解析】∵B ⊆A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .①由a 2－a ＋1＝3得a 2－a －2＝0解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，满足B ⊆A ，当a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，满足B ⊆A .②由a 2－a ＋1＝a 得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，当a ＝1时，A ＝{1,3,1}不满足集合元素的互异性．综上，若B ⊆A ，则a ＝－1或a ＝2.【答案】 －1或28．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为________．【解析】当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12； 当a ≠0时，若集合A 只有一个元素，则4－4a ＝0，即a ＝1.综上，当a ＝0或a ＝1时，集合A 只有一个元素．【答案】0或19．定义集合运算A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B ＝________.【解析】当x ＝0，y ＝2时，z 1＝0；当x ＝0，y ＝3时，z 2＝0；当x ＝1，y ＝2时，z 3＝1×2×(1＋2)＝6；当x ＝1，y ＝3时，z 4＝1×3×(1＋3)＝12，∴A ⊙B ＝{0,6,12}．【答案】{0,6,12}三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，求m 的值．【解析】当m ＝0时，B ＝∅，满足A ∪B ＝A ，当m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m. 若A ∪B ＝A ，则－1m ＝－1或－1m ＝2，∴m ＝1或m ＝－12. 综上若A ∪B ＝A ，则m 的值为0,1，－12. 11．(2010年哈师大附中模拟)已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2a x －(a 2＋1)<0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值X 围． 【解析】(1)当a ＝2时，A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |4<x <5}．∴A ∩B ＝{x |4<x <5}，(2)B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①当B ＝∅时，2a ≥a 2＋1，∴a ＝1，此时A ＝{x |2<x <4}，B ⊆A 符合题意．②若B ≠∅，方程(x －2)[x －(3a ＋1)]＝0的两根为x 1＝2，x 2＝3a ＋1.当3a ＋1>2，即a >13时， ⎩⎨⎧ 2a ≥2a 2＋1≤3a ＋12a <a 2＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥10≤a ≤3a ≠1⇒1<a ≤3.当3a ＋1<2，即a <13时， ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥3a ＋1a 2＋1≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1－1≤a ≤1⇒a ＝－1. ∴a 的取值X 围为[1,3]∪{－1}．12．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，某某数m 的取值X 围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，某某数m 的取值X 围．【解析】(1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3， 综上，m ≤3时有B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立．则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －12m －1<－2， 解得m >4.综上，有m <2或m >4。
2011届《龙门亮剑》高三数学一轮复习 第二章 第五节课时精练 (理)新人教AB通用
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(第小题6分，共36分) 1．已知点(m ，n )在函数f (x )＝a x 的图象上，则下列哪个点一定在函数g (x )＝－log a x (a >0，a ≠1)的图象上()A ．(n ，m )B ．(n ，－m )C ．(m ，－n )D ．(－m ，n )【解析】∵(m ，n )在函数f (x )＝a x 上，∴n ＝a m ，∴m ＝log a n ，∴－m ＝－log a n ，∴(n ，－m )在g (x )＝－log a x 的图象上．【答案】B2．(2008年·全国Ⅱ)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则()A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 因为a ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故当x ∈(e －1,1)时，a ∈(－1,0)，于是b －a ＝2ln x －ln x ＝ln x <0，从而b <a .又a －c ＝ln x －ln 3x ＝a (1＋a )(1－a )<0，从而a <c .综上所述，b <a <c .【答案】C3．(2008·某某高考)已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则()A ．x >y >zB ．z >y >xC ．y >x >zD ．z >x >y【解析】x ＝log a 2＋log a 3＝log a 6，y ＝12log a 5＝log a 5，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7， ∵0<a <1，又5<6<7，∴log a 5>log a 6>log a 7，即y >x >z .【答案】C4.(2008·某某高考)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b满足的关系是()A ．0<a －1<b<1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a<1D ．0<a －1<b －1<1【解析】 ∵函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)是增函数且随着x 增大，2x ＋b －1增大，f (x )也增大．∴a >1，∴0<1a<1， ∵当x ＝0时，f (0)＝log a b <0，∴0<b <1.又∵f (0)＝log a b>log a 1a， ∴b >1a，∴0<a －1<b <1. 【答案】 A5．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值X 围是()A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,3)D ．(3，＋∞)【解析】 设u ＝(3－a )x －a ，当1<a <3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数，u ＝(3－a )x －a 在其定义域上为增函数．∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求．当a >3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数，而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数，∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求．当0<a <1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B.【答案】B6．(2009某某某某)若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是()A.⎝⎛⎭⎫－∞，－14B.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 D ．(0，＋∞) 【解析】 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，2x 2＋x ∈(0,1)，∴0<a <1,2x 2＋x ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142－18，f (x )的定义域为(0，＋∞)∪⎝⎛⎭⎫－∞，－12， ∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－12，故选C. 【答案】C二、填空题(第小题6分，共18分)7．(2009年某某模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫13x3xx ∈[－1，0]x ∈[0，1]， 则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________. 【解析】∵－1<log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎫log 312＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝3log 32＝2. 【答案】28．(2009某某某某)设x 0是方程8－x ＝lg x 的解，且x 0∈(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k ＝________. 【解析】 令f (x )＝8－x ，g (x )＝lg x ，∵⎩⎪⎨⎪⎧f (7)＝1，g (7)＝lg 7<1，∴f (7)<g (7)．∵⎩⎪⎨⎪⎧f (8)＝0，g (8)＝lg 8>0，∴g (8)>f (8)， ∴x 0∈(7,8)，∴k ＝7.【答案】79．(2009某某某某)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象交点________个．【解析】 由f (x ＋2)＝f (x )，知函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期函数，画出函数图象得到交点为9个．【答案】 9三、解答题(10、11每题15分，12题16分，共46分)10．已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b(a >0，b >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性．【解析】(1)使f (x )有意义，则x ＋b x －b>0， ∵b >0，∴x >b 或x <－b ，∴f (x )的定义域为{x |x >b 或x <－b }．(2)由(1)知f (x )的定义域关于原点对称， ∵f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a x －b x ＋b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋b x －b＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)设u ＝x ＋b x －b ＝x －b ＋2b x －b ＝1＋2b x －b， 设x 1>x 2，则u 1－u 2＝1＋2b x 1－b －⎝⎛⎭⎪⎫1＋2b x 2－b ＝2b (x 2－x 1)(x 1－b )(x 2－b )， 当x 1>x 2>b 时，2b (x 2－x 1)(x 1－b )(x 2－b )<0，即u 1<u 2， 此时，u 为减函数，同理－b >x 1>x 2时，u 也为减函数．∴当a >1时，f (x )＝log a x ＋b x －b在(－∞，－b )上为减函数，在(－b ，＋∞)上也为减函数． 当0<a <1时，f (x )＝log a x ＋b x －b在(－∞，－b )上为增函数，在(b ，＋∞)上也为增函数． 11．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)．【解析】(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2log 2(x 2－x ＋2)<2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1－1<x <2⇒0<x <1. 12．已知f (x )＝log a x ，g (x )＝2log a (2x ＋t －2)(a >0，a ≠1，t ∈R )．(1)当t ＝4，x ∈[1,2]，且F (x )＝g (x )－f (x )有最小值2时，求a 的值；(2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，某某数t 的取值X 围．【解析】(1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a (2x ＋2)2x，x ∈ [1,2]， 令h (x )＝(2x ＋2)2x＝4⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2，x ∈ [1,2]， 设u ＝x ＋1x，x ∈ [1,2]作出u (x )的图象可知 u (x )＝x ＋1x在[1,2]上为单调增函数． ∴h (x )在[1,2]上是单调增函数，∴h (x )min ＝16，h (x )max ＝18.当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18，令log a 18＝2，求得a ＝32>1(舍去)；当a >1时，有F (x )min ＝log a 16，令log a 16＝2，求得a ＝4>1.∴a ＝4.(2)当0<a <1，x ∈ [1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，即当0<a <1，x ∈ [1,2]时，log a x ≥2log a (2x ＋t －2)恒成立，由log a x ≥2log a (2x ＋t －2)可得 log a x ≥log a (2x ＋t －2)， ∴x ≤2x ＋t －2，∴t ≥－2x ＋x ＋2. 设u (x )＝－2x ＋x ＋2＝－2(x )2＋x ＋2 ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋178，∵x ∈ [1,2]，∴x ∈ [1，2]． ∴u (x )max ＝u (1)＝1.∴实数t 的取值X 围为t ≥1.。
【龙门亮剑】高三数学一轮复习 第二章 第二节 函数的定义域、值域课件 理(全国)
•(2)配方法 •∵y＝－(x－1)2＋1，根据二次函数的性质， 可得原函数的值域是[－3,1]． •(3)判别式法 •∵Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0 •∴x2－x＋1＞0恒成立 •∴原函数定义域为R且y≠1
可将 y＝x2x－2－x＋x 1转化为(y－1)x2＋(1－ y)x＋y＝0 由 x∈R 知上述关于 x 的方程一定有解 ∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0 ∴－31≤y≤1 结合 y≠1，∴原函数的值域为[－13，1)．
，
∴x≥－1 且 x≠2，∴其定义域为{x|x≥ －1 且 x≠2}． 【答案】 {x|x≥－1 且 x≠2}
5．(2008 年湖南高考题)设[x]表示不超过 x 的 最 大 整 数 ， 如[2]＝2.54＝1 . 对 于 给 定 的 n∈N*，定义 Cxn＝n(n－x(x1－)(n1－)…2()x…－(n[x－]＋[x1]＋) 1)，
x －
3≤x≤－ 22或 22≤x≤
3
.
•若已知复合函数f [g(x)]的定义域求f (x)的定 义域，可令t＝g(x)，由x的范围推出t的范围， 再以x换t即得f (x)的定义域．若已知f (x)的定 义域求复合函数f [φ(x)]的定义域，可将f(x)的 定义域写成关于x的不等式，然后将x换成中 间变量φ(x)，再解不等式即可得到复合函数f [φ(x)]的定义域．
求函数的值域
分别求下列函数的值域： (1)y＝2xx－＋31； (2)y＝－x2＋2x(x∈[0,3])； (3)y＝x2x－2－x＋x 1； (4)y＝x＋ 1－x2；
•【思路点拨】 根据函数解析式的特点，可 用分离变量法、配方法、判别式法、换元法、 单调性和基本不等式等方法求值域．
2011届《龙门亮剑》高三数学一轮复习 第二章 第九节课时精练 (文)新人教AB通用
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每小题6分，共36分)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1、k 2，则k 1，k 2的大小关系为 ()A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定【解析】∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ，k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1＞k 2. 【答案】A2．(2008年某某高考)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值X 围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值X 围为() A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1] D.⎣⎡⎦⎤12，1【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ＋2，∴曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.又切线倾斜角X 围是⎣⎡⎦⎤0，π4，∴斜率X 围是[0,1]， 即0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12. 【答案】A3．(2008年某某高考)已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是()【解析】 由题意知函数f (x )，g (x )都为增函数，当x ＜x 0时，由图象知f ′(x )＞g ′(x )，即f (x )的增长速度大于g (x )的增长速度；当x ＞x 0时，f ′(x )＜g ′(x )，g (x )的增长速度大于f (x )的增长速度，数形结合．【答案】D4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22 【解析】 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′||x ＝2＝e x x ＝2＝e 2， ∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)．即e 2x －y －e 2＝0. 与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22. 【答案】D5．(2009年某某模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为() A ．1 B. 2C.22D. 3 【解析】 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0. ∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)． ∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. 【答案】B6．在函数y ＝x 3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是()A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】∵切线倾斜角小于π4， ∴斜率0＜k ＜1.设切点为(x 0，x 30－8x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－8， ∴0＜3x 20－8＜1，83＜x 20＜3. 又∵x 0∈Z ，∴x 0不存在．【答案】D二、填空题(每小题6分，共18分)7．若函数y ＝g (x )是函数y ＝f (x )的导函数，则称函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )的原函数，例如y ＝x 3是y ＝3x 2的原函数，y ＝x 3＋1也是y ＝3x 2的原函数，现请写出函数y ＝2x 4的一个原函数______．【解析】 由原函数的定义可知，原函数为y ＝25x 5＋c (c 为常数)， ∴一个原函数为y ＝25x 5＋1. 【答案】y ＝25x 5＋1(答案不唯一) 8．(2008年某某高考)设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为______．【解析】y ′＝(ln x )′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2， ∴切点为(2，ln2)，代入直线方程y ＝12x ＋b ， ∴ln2＝12×2＋b ，∴b ＝ln2－1. 【答案】ln2－19．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______.【解析】 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.【答案】2三、解答题(10、11每题15分，12题16分，共46分)10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．【解析】(1)由f (x )＝x 3－3x 得，f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2；(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1， 又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)·(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍)或x 0＝－12， 故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－94，∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0. 11．设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c .【解析】 因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)，所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0. 因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab .又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt .将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.12．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，通过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．【解析】(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1①y 1＝－x 21＋92x 1－4② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)．则x 1＋2＝132∴x 2＝92，y 2＝－4，∴Q ＝(92，－4)。
【龙门亮剑全国版】2020高三数学一轮 第二章 第三节 函数的单调性及最值课时提能精练 理.doc
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )x ＋1， (x <1)，a x ， (x ≥1)，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是() A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤1，32C ．(1,2) D.⎣⎡⎭⎫32，2【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，a ≥(2－a )×1＋1，解得a 的取值范围是32≤a <2，故选D.【答案】 D2．函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么( )A ．a ∈(－∞，－1)B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2【解析】 ∵函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 为二次函数且开口向上，其对称轴方程为x ＝－2(a －1)6＝1－a 3.若使y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在(－∞，1)上是减函数，则1－a 3≥1，解得a ≤－2.【答案】 C3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵f (x )在R 上为减函数且f (|x |)＜f (1)，∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1.【答案】 D4．(2010年邵武模拟)定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域上都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.【答案】 C5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或3B ．a ＝－1C ．a ＞3或a ＜－1D ．－1＜a ＜3【解析】 若a 2－2a －3≠0，则f (x )为二次函数，定义域和值域都为R 是不可能的． 若a 2－2a －3＝0，即a ＝－1或3；当a ＝3时，f (x )＝1不合题意；当a ＝－1时，f (x )＝－4x ＋1符合题意．【答案】 B6．函数y ＝f (x )对于任意x 、y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，当x ＞0时，f (x )＞1，且f (3)＝4，则( )A ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝3B ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝3C ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝2D ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝2【解析】 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－1－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1＞1－1＝0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为增函数．又∵f (3)＝f (1)＋f (2)－1＝f (1)＋f (1)＋f (1)－1－1＝3f (1)－2，∴f (1)＝2.【答案】 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a log a x (x ＜1)(x ≥1)是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．【解析】 ∵当x ≥1时，y ＝log a x 单调递减，∴0＜a ＜1；而当x ＜1时，f (x )＝(3a －1)x ＋4a 单调递减，∴a ＜13； 又函数在其定义域内单调递减，故当x ＝1时，(3a －1)x ＋4a ＞log a x ，得a ＞17， 综上可知，17＜a ＜13. 【答案】 17＜a ＜138．y ＝1－x 1＋x 的递减区间是________，y ＝1－x 1＋x的递减区间是________． 【解析】 y ＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1， 定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∴该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．对于函数y ＝1－x 1＋x，其定义域为－1＜x ≤1. 由复合函数的单调性知它的递减区间为(－1,1]．【答案】 (－∞，－1)和(－1，＋∞)(－1,1]9．(2008年湖南高考)已知函数f (x )＝3－ax a －1(a ≠1)． (1)若a ＞0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由3－ax ≥0且a ＞0，a ≠1，得x ≤3a， ∴定义域为(－∞，3a]． (2)当a ＜0时，f (x )＝3－ax a －1在(0,1]上是减函数，符合题意．当a ＝0时，f (x )＝－3，不符合题意．当0＜a ＜1时，f (x )在(0,1]上是增函数，不符合题意．当a ＞1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则3a≥1， ∴1＜a ≤3.综上所述，a 的取值范围为(－∞，0)∪(1,3]．【答案】 (1)(－∞，3a] (2)(－∞，0)∪(1,3] 三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．判断f (x )＝1＋x x在(0,1]上的单调性． 【解析】 f (x )＝1＋x x在(0,1]上为减函数． 证明如下：方法一：设x 1，x 2∈(0,1]，且x 1＜x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝1＋x 1x 1－1＋x 2x 2＝x 2＋x 1x 2－x 1－x 2x 1x 1·x 2 ＝x 2－x 1＋x 1x 2(x 1－x 2)x 1·x 2 ＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)x 1x 2 ∵x 1，x 2∈(0,1]且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )＝1＋x x在(0,1]上是减函数． 方法二：∵f (x )＝1＋x x ＝1x ＋x ＝x －12＋x 12， ∴f ′(x )＝－12x －32＋12x －12＝－12x 3＋12x＝x －12x 3.又∵0＜x ≤1，∴x －12x 3≤0(当且仅当x ＝1时取等号)， ∴f (x )在(0,1]上为减函数．11．(2010年广州模拟)已知函数f (x )自变量取值区间A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．(1)求函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞)(n ∈R )的保值区间；(2)g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，求m 的取值范围．【解析】 (1)若n ＜0，则n ＝f (0)＝0，矛盾．若n ≥0，则n ＝f (n )＝n 2，解得n ＝0或1，所以f (x )的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m ＞0，即m ＞－2，令g ′(x )＝1－1x ＋m＞0，得x ＞1－m ， 所以g (x )在(1－m ，＋∞)上为增函数，同理可得g (x )在(－m,1－m )上为减函数．若2≤1－m 即m ≤－1时，则g (1－m )＝2得m ＝－1满足题意．若m ＞－1时，则g (2)＝2，得m ＝－1，矛盾．所以满足条件的m 值为－1.12．(2010年临沂模拟)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n＞0. (1)解不等式f (x ＋12)＜f (1－x )； (2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 2＞x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)(x 2－x 1)＞0， 所以f (x 2)＞f (x 1)，所以f (x )是增函数．故由f (x ＋12)＜f (1－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＋12≤1－1≤1－x ≤1，解得0≤x ＜14，x ＋12＜1－x 即不等式f (x ＋12)＜f (1－x )的解集为[0，14)． (2)由于f (x ) 为增函数，所以f (x )的最大值为f (1)＝1， 所以f (x )≤t 2－2at ＋1对x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立⇔t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈[－1,1]恒成立，即t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝t 2－2at ＝－2ta ＋t 2，可得⎩⎨⎧ g (－1)≥0g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ≥0t 2－2t ≥0， 解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.。
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恒成立， 即 t2－ 2at≥0 对任意 a∈ [－ 1,1] 恒成立． 令 g(a) ＝t2－ 2at ＝－ 2ta＋ t2，
g(－ 1)≥ 0
t2＋ 2t≥ 0
可得
，即
，
g(1)≥ 0
t2－ 2t≥ 0
解得 t≤ － 2 或 t＝ 0 或 t≥ 2.
5
A ．－ 1 C．6
B．1 D． 12
【解析】 由题意知
b＝b2 ，则
当－ 2≤ x≤1 时， f(x) ＝x－ 2， 当 1＜ x≤ 2 时， f(x)＝ x3－ 2，
又 ∵ f(x)＝ x－2， f(x)＝ x3－ 2 在定义域上都为增函数， ∴ f (x)的最大值为 f(2) ＝23－ 2＝ 6.
x
【解析】
1＋ x f(x)＝ 在 (0,1] 上为减函数．
x
证明如下：
方法一： 设 x1， x2∈ (0,1] ，且 x1＜ x2.
1＋ x1 1＋ x2
则 f(x1)－ f( x2)＝
－ x1
x2
x2＋ x1 x2－ x1－ x2 x1 ＝
x1· x2
x2－ x1＋ x1x2( x1－ x2) ＝
A，则称区间
所以 f( x)的保值区间为 [0 ，＋ ∞ )或 [1，＋ ∞ )．
(2) 因为 g(x)＝x－ ln( x＋m)的保值区间是 [2，＋ ∞ )，
所以 2＋ m＞ 0，即 m＞－ 2，
令 g′ (x)＝ 1－ 1 ＞ 0，得 x＞ 1－m， x＋ m
所以 g(x)在 (1－ m，＋ ∞ )上为增函数，
________， y＝
1－ x的递减区间是 ________． 1＋ x
【解析】
1－ x y＝ ＝－ 1＋
2 ，
1＋ x
x＋ 1
2
定义域为 (－∞ ，－ 1)∪ (－ 1，＋ ∞ )， ∴ 该函数的递减区间为 (－ ∞ ，－ 1) 和(－1，＋ ∞ )．
对于函数 y＝
1－ x ，其定义域为－ 1＜ x≤ 1.
【答案】 C 5．若函数 f(x)＝ (a2－ 2a－3) x2＋ (a－ 3)x＋1 的定义域和值域都为
R，则 a 的取值范围是
1
()
A ． a＝－ 1 或 3
B ．a＝－ 1
C． a＞3 或 a＜－ 1
D．－ 1＜ a＜ 3
【解析】 若 a2－ 2a－3≠ 0，则 f(x)为二次函数，定义域和值域都为
x
方法二：
1＋ x ∵f(x)＝ ＝
1
＋
xx
∴ f ′(x)＝－ 12x－ 32＋ 12x－12
1
1
＝－ 2
x3＋ 2
x
x＝x－ 12＋ x12，
x－1 ＝ 3.
2x
x－ 1
又 ∵ 0＜ x≤1， ∴ 2
x3≤ 0(当且仅当
x＝ 1 时取等号 )，
∴ f (x)在 (0,1] 上为减函数．
11．(2010 年广州模拟 )已知函数 f(x)自变量取值区间 A，若其值域区间也为
2(a－ 1) 1－ a 其对称轴方程为 x＝－ 6 ＝ 3 . 若使 y＝ 3x2＋ 2(a－1)x＋ b 在 (－ ∞ ，1) 上是减函数，
1－ a 则 3 ≥ 1，解得 a≤ － 2.
【答案】 C
3．已知函数 f( x)为 R 上的减函数，则满足 f(|x|)＜f(1) 的实数 x 的取值范围是 ( )
A 为 f (x)的保值区间．
(1) 求函数
f
(
x)＝
2
x
形如
[n，＋∞
)( n∈ R)的保值区间；
(2) g(x)＝ x－ ln( x＋ m)的保值区间是 [2，＋∞ )，求 m 的取值范围．
【解析】 (1) 若 n＜ 0，则 n＝ f(0) ＝ 0，矛盾．
若 n≥ 0，则 n＝ f(n)＝ n2，解得 n＝ 0 或 1，
f(x)在 (0,1] 上是减函数，则
3≥ 1， a
∴ 1＜ a≤ 3.
综上所述， a 的取值范围为 (－ ∞， 0)∪ (1,3] ．
【答案】
(1)( －∞，
3 a]
(2)( －∞， 0)∪ (1,3]
三、解答题 (10,11 每题 15 分， 12 题 16 分，共 46 分 )
1＋ x 10．判断 f(x)＝ 在(0,1] 上的单调性．
1,1] ， m＋ n≠ 0
时，有
f(m)＋ f(n)＞ 0. m＋n
(1) 解不等式 f(x＋ 12)＜ f(1 －x)； (2) 若 f(x)≤ t2－ 2at＋1 对所有 x∈ [－ 1,1] ， a∈ [－ 1,1]恒成立，求实数
t 的取值范围．
【解析】 (1) 任取 x1， x2∈ [－ 1,1]，且 x2 ＞ x1，
则 f(x1)－ f( x2)＝ f(x1－ x2＋ x2)－ f(x2 )
＝ f (x1－ x2)＋ f(x2)－ 1－ f(x2)
＝ f (x1－ x2)－ 1＞ 1－1＝ 0， 即 f(x1)＞ f( x2)， ∴ f (x)为增函数．
又 ∵ f(3) ＝ f(1)＋ f(2) － 1＝ f(1)＋ f(1)＋ f(1) － 1－ 1
x1· x2
( x2－ x1)(1 － x1x2) ＝
x1x 2
∵ x1，x2∈ (0,1] 且 x1＜ x2，
∴ x2－ x1＞ 0,1－ x1x2＞ 0， ∴ f (x1)－ f(x2)＞ 0，即 f(x1)＞ f(x2)，
a＝ 0 时， f(x)＝－ 3，
3
1＋ x 所以 f( x)＝ 在 (0,1] 上是减函数．
1＋ x
由复合函数的单调性知它的递减区间为 (－1,1] ．
【答案】 (－∞，－ 1)和 (－1，＋∞ )(－ 1,1]
3－ ax 9． (2008 年湖南高考 )已知函数 f(x) ＝ a－ 1 ( a≠ 1)．
(1) 若 a＞0，则 f(x)的定义域是 ________；
(2) 若 f(x)在区间 (0,1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．
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)
一、选择题 (每小题 6 分，共 36 分 )
(2－ a)x＋ 1， (x<1) ，
1．已知 f(x)＝ ax，
是 R 上的增函数，那么 a 的取值范围是 ( ) (x≥ 1)，
A ． (1，＋∞ ) C． (1,2)
3 B. 1， 2
D.
3， 2 2
则 f(x2)－ f( x1)＝ f(x2)＋ f(－ x1)
f (x2)＋ f(－x 1)
＝
(x2－ x1)＞ 0，
x2＋ (－ x1)
所以 f( x2)＞ f(x1)，所以 f(x)是增函数． 1
故由 f( x＋2)＜ f (1－ x)，
4
－ 1≤ x＋12≤ 1
得 － 1≤ 1－x≤ 1，解得 0≤ x＜ 14，
1 x＋ 2＜ 1－ x
1
1
即不等式 f(x＋ 2)＜ f(1－ x)的解集为 [0， 4)．
(2) x)的最大值为 f(1)＝ 1， 所以 f( x)≤ t2－ 2at＋ 1 对 x∈ [－ 1,1]，a∈ [ － 1,1] 恒成立 ? t2－ 2at＋ 1≥ 1 对任意 a∈ [ －1,1]
2－a>0，
【解析】 依题意得 a>1，
a≥ (2－a)× 1＋ 1，
解得 a 的取值范围是 32≤ a<2，故选 D.
【答案】 D
2．函数 y＝ 3x2＋ 2(a－ 1)x＋ b 在区间 (－∞， 1)上是减函数，那么 (
)
A ． a∈(－∞，－ 1)
B ．a＝ 2
C． a≤－ 2
D． a≥ 2
【解析】 ∵ 函数 y＝ 3x2＋ 2(a－ 1)x＋ b 为二次函数且开口向上，
同理可得 g(x)在 (－ m,1－ m)上为减函数．
若 2≤ 1－m 即 m≤ －1 时，
则 g(1－ m) ＝2 得 m＝－ 1 满足题意．
若 m＞－ 1 时，则 g(2)＝ 2，得 m＝－ 1，矛盾．
所以满足条件的 m 值为－ 1.
12．(2010 年临沂模拟 )已知 f(x)是定义在区间 [ － 1,1] 上的奇函数， 且 f(1) ＝ 1，若 m，n∈ [ －
若 a2－ 2a－ 3＝ 0，即 a＝－ 1 或 3；
R 是不可能的．
当 a＝ 3 时， f(x)＝ 1 不合题意；
当 a＝－ 1 时， f( x)＝－ 4x＋ 1 符合题意． 【答案】 B 6．函数 y＝ f( x)对于任意 x、y∈R ，有 f( x＋ y)＝f (x)＋ f(y) － 1，当 x＞0 时， f(x)＞ 1，且 f(3) ＝ 4，则 ( ) A ． f(x) 在 R 上是减函数，且 f(1) ＝ 3 B ． f(x) 在 R 上是增函数，且 f(1) ＝3 C． f(x) 在 R 上是减函数，且 f(1) ＝2 D ． f(x) 在 R 上是增函数，且 f(1) ＝ 2 【解析】 设 x1＞ x2，
A ． (－ 1,1) C． (－ 1,0)∪ (0,1)
B ．(0,1) D． (－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )
【解析】 ∵ f(x)在 R 上为减函数且 f (|x|)＜ f(1) ，
∴ |x|＞ 1，解得 x＞ 1 或 x＜－ 1.
【答案】 D
4． (2010 年邵武模拟 )定义新运算 ：当 a≥ b 时， a b＝a；当 a＜ b 时， a 函数 f(x)＝ x)x－ x)， x∈ [－ 2,2] 的最大值等于 ( )
a 的取值
∴ 0＜ a＜ 1；