高考数学真题专题五 平面向量第十四讲 向量的应用
高考数学(文)《平面向量》专题复习
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考法1 平面向量的有关概念
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考法2 平面向量的线性运算
1．向量的加法、减法运算 主要利用运算法则和运算律求解，一般有以下几种方法： (1)通过作出向量，运用平行四边形法则或者三角形法则求解，一般用于较简单的运算． ①向量加法的三角形法则的要领是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第 一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；②向量减法 的三角形法则的要领是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量 由减向量的终点指向被减向量的终点；③平行四边形法则的要领是“起点重合”，即两 个向量的起点相同；④当两个向量平行时，三角形法则适用，平行四边形法则不适用． (2)如果有减法，可将减法转化为加法，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序(将首 尾相连的向量合在一起)，有时也需要将一个向量拆分成两个或多个向量． (3)向量求和的多边形法则：已知n个向量，依次把这n个向量“首尾相连”，以第一个向 量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量是这n个向量的和向量． 2．向量的数乘运算 主要利用运算法则和运算律求解．在进行向量的数乘运算时，可类比于实数运算，遵循 括号内运算优先原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并，结果仍是一个向量．
向量的应用答案
即 3
=
2,
=
2
，选
B.
3
关注微信公众号：一个高中僧
9．A【解析】方法一 设OP = (10 cos ,10sin ) cos = 3 , sin = 4
5
5
则 OQ = (10 cos( + 3 ),10sin( + 3 )) = ( −7 2, − 2) ．
4
4
方法二 将向量OP = (6,8) 按逆时针旋转 3 后，可知 Q 点落在第三象限，则可排除 B、 2
a + b = 12 + 22 − 21 2 cos ( − ) = 5 + 4 cos ，
则：
a + b + a − b = 5+ 4 cos + 5− 4cos ，
令 y = 5+ 4cos x + 5− 4cos x ，则 y2 = 10+ 2 25−16cos2 16, 20 ，
( ) ( ) 据此可得： a + b + a −b = 20 = 2 5, a + b + a −b = 16 = 4 ，
以C(2, 0) 为圆心，l
为半径的圆．因为
a
与
e
的夹角为
，所以不妨令点 A 在射线
3
y = 3x( x 0)上，如图，
高考数学重要知识点讲解：平面向量的数量积以及应用
高考数学重要知识点讲解：平面向量的数量积以及应用
平面向量是大家非常熟悉的数学知识点之一，它不仅丰富了“数”的世界，更因其具有几何形式和代数形式的“双重性质”，这就让向量在数学世界成为一个特殊存在，如在高中数学学习里，向量可以成为很多知识内容板块之间的一个交汇点，成为多个知识板块之间的桥梁，如与平面解析几何、数列等内容相互结合。
平面向量具有数与形相互结合的特殊性，因此，在解决跟平面向量相关的数学问题时候，都需要用到数形结合等思想，这从某种程度上提高了向量相关数学问题的灵活性和层次性、难度等等。如向量与平面解析几何结合的数学问题，特别是有直线部分内容的问题，更加突出向量知识的重要性。
平面向量涉及到的知识点非常多，有平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积与平面向量应用等等。
今天，我们就一起来讲讲平面向量的数量积与平面向量应用相关的知识内容和解题方法，希望对大家高考数学复习，能起到一定的帮助。
平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。
用数学语言来表示就是平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
同时平面向量是处理其它问题的重要方法，通过将元素间的关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，是一种重要的解决问题的手段和方法。
什么是两个向量的夹角？
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
专题05.平面向量(2005—2014十年高考理科数学新课标2教师版)
※知识点※1 等量代换
所以 CD b 2CD a ， 所以 CD (b 2a) 0
※知识点※1 去分母 ※知识点※1 移项；2 提取公因式
1 2 1 2 2 2 2 4 1 2 A 选项 因为 CD a b ，所以 ( a b) (b 2a) 0 a b a b b a 0 3 3 3 3 3 3 3 3
| CA | | AD | 2 | CB | | DB | 1
第2页 共5页 ※知识点※1 角平分线定理
2 1 1 1 CD CB BD a BA a (b a) a b 3 3 3 3 【曹亚云·解析 7】排除法 由角平分线的性质可知，
来自百度文库 CD
1 1 a b |a| |b|
第五章
一．基础题组
平面向量
1 【2012 全国，理 6】 ABC 中，AB 边的高为 CD．若 CB a ， CA b ， a b 0 ， | a | 1 ，
| b | 2 ，则 AD (
1 1 A． a b 3 3
【答案】D
)
2 2 B． a b 3 3
3 3 C． a b 5 5
CD a ， | CD |
，剩余部分读者自行解答 ，剩余部分读者自行解答 ，剩余部分读者自行解答
CD b CD CB CD CA ， cos CD, CB 2 | CD | | CD | | CB | | CD | | CA |
高考数学专题练习：平面向量的综合应用 (含参考答案)
数学 平面向量的应用
一、选择题
1．若O 为△ABC 内一点，|OA →|＝|OB →|＝|OC →
|，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心
D ．重心
2．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝2，则|BA →＋BD →＋BC →
|＝( ) A ．5 B ．35 C ．45
D ．25
3．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →
)＝0，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角形
4．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．2
5．已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →
等于( ) A ．－5
2
B ．5
2
C ．0
D ．532
6．在△ABC 中“AB →·BC →
<0”是“△ABC 为锐角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝14λ
DC →，则AE →·AF →
的最小值为( )
A ．29
18
B ．7
8
C ．17
18
D ．158
8．(安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测数学试题)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12
2010-2019历年高考数学《向量的应用》真题汇总
2010-2019历年高考数学《向量的应用》真题汇总
专题五 平面向量
第十四讲 向量的应用
2019
2019年
1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角
为 A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= A ．2 B ．2 C ．52
D ．50
3. （2019全国Ⅲ13）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________.
4.（2019北京文9）已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．
5.（2019天津文14）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB = ，5AD = ，30A ∠=︒ ，
点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r
__________.
6.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE
交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB
AC
的值是 .
7.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
平面向量在高考试题中的应用
平面向量在高考试题中的应用
发表时间：2011-07-08T16:11:06.857Z 来源：《新校园》理论版2011年第3期供稿作者：徐丽红[导读] 平面向量在高考中占有非常重要的地位。
徐丽红
（大城县第一中学，河北廊坊065900）
平面向量在高考中占有非常重要的地位，它不仅可以单独命题也可以与函数、方程、不等式、三角函数以及解析几何相结合来考察，充分体现了平面向量作为一种工具在教材中的突出地位。
一、平面向量的基本定理
课本上给出了平面向量的基本定理，只要两向量与不共线，它们就可以作为一组基底，从而使平面内任一向量可以用与表示出来。
二、例题应用在高中数学课本上，有一道例题的结论是：如果A,B,C 三点共线，对于直线外一点O 来说，向量OA 可以用向量OB 和向量OC 表示出来，也就是可以写为OA=mOB+nOC,则系数m和n 满足m+n=1。这一结论经常作为高考题进行考查，有时还会和数列，函数，解析几何等结合起来考。
三、利用向量判定三角形的形状利用向量解决平面几何问题，首先设某一个或两个向量为基本向量，这些基本向量应与其他的向量有必然的联系，再对已知条件结合向量的运算进行化简，从而解决问题。
四、向量与三角函数相结合向量作为一种工具，经常和别的章节结合起来考，其中与三角函数相结合的情况最多，通常是以向量的形式给出，通过对量的垂直，平行，模长等的内容的应用把向量去掉，再对三角函数进行化简，求值的计算。例4 已知向量m=(sinA,cosA)，n=（1，-2），且m·n=0，
（1）求tanA 的值。
平面向量——2021年高考数学复习必备之2015-2020年浙江省高考试题分项解析
专题五 平面向量
一、选择题
1.（2018年浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ） A ．
B ．
C ．2
D ．
2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记
，
，
，则
A ．I １<I ２<I ３
B ．I １<I ３<I ２
C ．I ３< I １<I ２
D ．I ２<I １<I ３ 二、填空题
3．（2020·浙江高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．
4.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.
5.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______。
6.（2016年浙江文）已知平面向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.
7.（2016年浙江理）已知向量a ，b ，｜a ｜ =1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a·e ｜+｜b·e ｜≤ 6,则a·
高中数学向量的应用价值分析
高中数学向量的应用价值分析
向量是高中数学中一个重要的概念，具有广泛的应用价值。其应用领域包括物理学、工程学、计算机科学和金融学等。
在物理学中，向量用于描述物体的运动状态、力学现象以及电磁现象。例如，运动物体的速度和加速度可以用向量来表示。力的大小和方向也可以看作是一个向量。磁场和电场的强度也可以用向量表示。
在工程学中，向量被用于描述力、压力、速度和加速度等。例如，在力学中，重力是一个向下的向量；在机械工程中，向量可用来描述机械臂的活动范围和精度；在土木工程中，向量可以用来描述受力构件。
在计算机科学中，向量可用于描述向量空间模型和图像处理。例如，在向量空间模型中，可以将文档表示为向量，而搜索引擎可以用向量相似度来衡量文档之间的关系。在图像处理中，向量可以描述颜色、亮度等图像特征。
在金融学中，向量可以用于描述资产组合风险。例如，在投资组合中，可以将每个资产的收益率构成一个向量，然后用向量相关系数来评估资产之间的相关性和组合风险。
总之，向量是数学中一个十分有用的概念，能够广泛应用于众多领域。掌握向量的知识和应用方法对于未来的学习和职业发展都有很大的帮助。
向量在高考数学中的应用
向量在高考数学中的应用
在高考数学中，向量是一个重要的概念。它的应用可以涉及到许多不同的数学领域，如代数、几何、微积分等等。在本篇文章中，我们将讨论向量的基础知识和高考数学中的应用。
一、向量的基础知识
向量是有大小和方向的量。可以用一个带箭头的线段来表示，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
向量的坐标可以用一个有序数对表示。假设向量A的坐标为(x1,y1)，向量B的坐标为(x2,y2)，则它们的差向量C的坐标为(x2-x1,y2-y1)。
一个向量可以加、减、乘以一个标量(即实数)，这些运算后得到的仍然是一个向量。
二、向量的应用
1.在平面几何中的应用
在平面几何中，向量可以用来求线段的长度、角度、垂足等问题。例如，已知线段AB的两个端点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则线段AB的长度可以用向量求解。设差向量AB=(x2-x1,y2-y1)，则线段AB的长度为|AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
向量也可以用来求两条线的夹角。假设有两条线l1:
ax+by+c1=0和l2: ax+by+c2=0，设向量n1=(a,b)和n2=(a,b)，则它们的夹角可以用下列公式计算cosθ=(n1·n2)/(|n1|·|n2|)，其中·表示点积运算，即(n1·n2)=n1的x坐标×n2的x坐标+n1的y坐标×n2的y坐标。
2.在代数学中的应用
在代数学中，向量可以用来表示线性方程、矩阵等等。例如，一个线性方程组可以转化为一个矩阵与向量的乘法。假设有线性方程组Ax=b，其中A是一个矩阵，x和b都是向量，则该方程可以写为A·x=b。这个式子的意思是将矩阵A和向量x相乘，得到一个新的向量b。通过解这个方程组，我们可以求出向量x的值。
2023新高考二卷数学试卷真题完整版
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高考数学知识考点总结
专题一：集合
考点1:集合的基本运算
考点2：集合之间的关系
专题二：函数
考点3：函数及其表示
考点4：函数的基本性质
考点5：一次函数与二次函数.
考点6：指数与指数函数
考点7：对数与对数函数
考点8：幂函数
考点9：函数的图像
考点10：函数的值域与最值
考点11：函数的应用
专题三：立体几何初步
考点12：空间几何体的结构、三视图和直视图
考点13：空间几何体的表面积和体积
考点14：点、线、面的`位置关系
考点15：直线、平面平行的性质与判定
考点16：直线、平面垂直的判定及其性质
考点17：空间中的角
考点18：空间向量
专题四：直线与圆
考点19：直线方程和两条直线的关系
考点20：圆的方程
考点21：直线与圆、圆与圆的位置关系
专题五：算法初步与框图
考点22：算法初步与框图
专题六：三角函数
考点23：任意角的三角函数、同三角函数和诱导公式考点24：三角函数的图像和性质
考点25：三角函数的最值与综合运用
考点26：三角恒等变换
考点27：解三角形
专题七：平面向量
考点28：平面向量的概念与运算考点29：向量的运用
专题八：数列
考点30：数列的概念及其表示考点31：等差数列
考点32:等比数列
考点33：数列的综合运用
专题九：不等式
考点34：不等关系与不等式
考点35：不等式的解法
考点36：线性规划
考点37：不等式的综合运用
专题十：计数原理
考点38：排列与组合
考点39：二项式定理
专题十一：概率与统计
考点40：古典概型与几何概型考点41：概率
考点42：统计与统计案例
专题五平面向量(历年高考真题集锦)
专题五 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
2019 年
uuu uur
1. (2019 全国 n 理 3)已知 AB=(2,3), AC =(3, t),
C. 2
2. （2019全国出理13）已知a, b 为单位向量，且ab=0,若 c 2a
cos a,c
2010-2018 年
、选择题
1. (2018全国卷I )在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB
3 uuu 1 uuur 1 uuu 3 uuur A. -AB -AC
B. -AB -AC
4
4
4 4 3 uuu 1 uuur 1 u uur 3 umr C. -AB -AC
D. -AB -AC
4
4
4 4
2. (2018北京)设a , b 均为单位向量，则 “a 3b 3a b”是a^b”的
A ,充分而不必要条件
B .必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3. （2018全国卷n ）已知向量a , b 满足|a | 1,ab 1 ,则a （2a b ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
4. （2017北京）设m, n 为非零向量，则 存在负数
，使得m n ”是m n 0”的
A ,充分而不必要条件
B .必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5. （2016年山东）已知非零向量 m,n 满足4|m| 3| n |, cos m, n
则实数t 的值为
6. （2016年天津）已知 MBC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点,
A. -3
B. -2 uuur
高考文科数学第5章平面向量5.4 平面向量应用举例
高考总复习·数学文科（RJ）
第五章 平面向量
题型三 向量的综合应用
【例 3】 (1)已知 x，y 满足yx≥ ＋xy， ≤2，若O→A＝(x，1)，O→B＝ x≥a，
(2，y)，且O→A·O→B的最大值是最小值的 8 倍，则实数 a 的值是( )
A．1
1 B.3
1
1
C.4
D.8
高考总复习·数学文科（RJ）
高考总复习·数学文科（RJ）
第五章 平面向量
【解析】 由原等式，得O→P－O→A＝λ(A→B＋A→C)，即A→P＝ λ(A→B＋A→C)，根据平行四边形法则，知A→B＋A→C是△ABC 的中
线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量A→D的 2 倍，所以点 P 的轨 迹必过△ABC 的重心．
【答案】 C
高考总复习·数学文科（RJ）
第五章 平面向量
题型一 向量在平面几何中的应用
【例 1】 已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不
共线的三个动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋A→C)，λ∈(0，
＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
高考总复习·数学文科（RJ）
第五章 平面向量
高考专题：平面向量
高考专题：平面向量
高考专题：平面向量
一、高考知识要求
知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程及选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法.
对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.
1、了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一
定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.
2、理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知
识作正确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.
3、掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够进行分析、研究、
讨论，并且加以解决.
二、《平面向量》高考考纲
1、平面向量的实际背景及基本概念
①了解向量的实际背景.
②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. 2、向量的线性运算
①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3、平面向量的基本定理及坐标表示
①理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4、平面向量的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
高考100题平面向量：专题五 平面向量的夹角问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+ ，1232b e e =-+
的夹角为（
）
A．30︒
B．60︒
C．120︒
D．150︒
【解析】由题意，得
12121||||cos 11cos 602
e e e e θ⋅==⨯⨯︒= ．
1212(2)(32)
a b e e e e ⋅=+⋅-+ ＝221122176||2||6222
e e e e -+⋅+=-++=- ．
222121122||(2)4||4||
a e e e e e e =+=++ 1
44172
+⨯
+=222121122||(32)9||124||
b e e e e e e =-+=-+ 1
912472
-⨯
+=．所以1
cos ,2||||
a b a b a b ⋅<>==-
，则,120a b <>=︒ ，故选C．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2016全国新课标Ⅲ卷理】已知向量13(22BA =uu v ，31
,),22
BC =uu u v 则ABC ∠=（
）
A．30︒B．45︒
C．60︒
D．120︒
【答案】A
【解析】由题意，得cos ||||BA BC ABC BA BC ⋅∠=
＝133132222112
⨯+=⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A．
【例3】【2015届重庆高考理】若非零向量,a b 满足223
a = ，且()()
32a b a b -⊥+ ，则a 与b 的夹角为
（）
A．
4
πB．
2
πC．
34
πD．π
【答案】A
【例4】【2014全国新课标Ⅰ卷】已知,,A B C 为圆O 上的三点，若12
平面向量的应用(解析版)
平面向量的应用(解析版)
平面向量的应用(解析版)
平面向量是数学中一个重要的概念，它在现实生活中有着广泛的应用。本文将通过解析的方式介绍平面向量的应用。以下是几个实际问题，通过解析平面向量可以得到解决。
1. 物体运动的描述
在物理学中，我们经常需要描述物体的运动。平面向量可以用来描述物体在平面上的位置和运动情况。我们可以用一个有向线段来表示一个物体的位移，该有向线段的长度表示位移的大小，而箭头的指向表示位移的方向。通过将位移向量进行相加、相减和缩放等运算，可以得到物体相对于某一初始位置的位置矢量，从而描述物体的运动轨迹和速度等信息。
2. 力的合成和分解
在力学中，我们经常需要计算合力和分力的情况。平面向量可以用来描述物体受到的力以及力的作用方向。对于多个力的合力，我们可以通过将这些力的向量相加得到。同样地，对于一个力的分解，我们可以将该力的向量按照一定比例分解为多个力的向量。通过使用平面向量，我们可以更加方便地计算合力和分力的大小和方向。
3. 平面图形的性质
在几何学中，平面向量可以用来描述和证明平面图形的性质。例如，通过向量的加法可以证明平行四边形的对角线互相平分；通过向量的
减法可以证明平行四边形的对边相等；通过向量的数量积可以计算平
面图形的面积；通过向量的夹角可以判断平面图形是否垂直或平行等等。平面向量在解析几何中起到了重要的作用，使得我们能够更加简
单地研究平面图形的性质。
4. 导航和地图定位
在导航和地图定位中，平面向量可以用来表示位置和方向。我们可
以将某一固定点作为原点，建立一个坐标系，通过向量来表示目标位
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专题五 平面向量
第十四讲 向量的应用
一、选择题
1．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，
1AB AD ==． 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uur
AE BE 的最小值为
A ．
21
16
B ．
32
C ．
25
16
D ．3
E D
C
B
A
2．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
π，向量b 满足2
430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是 A
1
B
1
C ．2
D
．2
3．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD
相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+的最大值为
A ．3 B
． C
D ．2
4．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值是
A ．2-
B ．32-
C ．4
3
- D ．1- 5．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，
AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅u u u r u u u r ，2·
I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r
＝，则
O
A
B
C
D
A ．1I <2I <3I
B ．1I <3I <2I
C ．3I < 1I <2I
D ．2I <1I <3I
6．（2016四川）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ，DA DB ⋅u u u r u u u r
=
DB DC ⋅u u u r u u u r =DC DA ⋅u u u r u u u r =-2，动点P ，M 满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u u
u r ，则2BM u u u u u r 的最大值
是 A ．
434 B ．49
4
C
D
7．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o
，则BD CD ⋅u u u r u u u r
＝ A ．232a -
B ．23
4
a - C ．234a D ．232a
8．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r
，则
A ．1433AD A
B A
C =-+u u u r u u u
r u u u r B ．1433
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
C ．4133A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
9．（2015福建）已知AB AC ⊥u u u r u u u r ， 1
AB t
=u u u r ， AC t =u u u r ，若点P 是ABC ∆所在平面内一
点，且4AB AC
AP AB AC
=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
10．（2015四川）设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r
．若点,M N 满足
3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
11．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆2
2
1x y +=上运动，且AB BC ⊥．若点P 的坐标为
(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r
的最大值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,a b ，||||1==a b ，0⋅=a b ，点Q
满足)OQ =+u u u r a b ．曲线{|cos sin ,02}C P OP θθθπ==+u u u r
a b ≤≤，区域 {|0||,}P r PQ R r R Ω=<
≤≤．若C ΩI 为两段分离的曲线，则
A ．13r R <<<
B ．13r R <<≤
C ．13r R ≤<<
D ．13r R <<< 13．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD
?o ，点,E F 分别在边,BC DC
上，BE λBC =，DF μDC =.若1AE AF
?u u u r u u u r
，2
3
CE CF
?-
u u u r u u u r ，则λμ+= A ．
12 B ．23 C ．56 D ．7
12
14．（2012天津）在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=u u u r u u u r ，
(1)AQ AC λ=-u u u r u u u r
，R λ∈．若2BQ CP ⋅=-u u u r u u u r
，则λ=
A ．
13 B ．23 C ．4
3
D ．2 15．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，
将向量OP uuu r 绕点O 按逆时针旋转34
π
后得向量OQ uuu r
，则点Q 的坐标是
A ．(-
B ．(-
C ．(2)--
D ．(2)- 16．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ
αβββ
⋅=
⋅o ．若平面向量,a b 满足||||0>…a b ，a 与b 的夹角(0,)4π
θ∈，且a b o 和b a o 都在集合{|}2
∈n
n Z 中，则a b o = A ．
12 B ．1 C ．32 D ．5
2
17．（2011山东）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v (λ∈R )，1412
A A A A μ=u u u u v u u u u v (μ∈R )，且11
2λμ
+=，则 称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割