福建省清流一中高三数学上学期第二次阶段(期中)测试试题 理

福建省清流一中2015届高三数学上学期第二次阶段（期中）测试试题理满分:150分 考试时间:120分钟一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）1、已知集合{}{}220,0,1,2A x x x B =-==，则AB =( )A.{}0B. {}0,1C.{}0,2D. {}0,1,2 2、幂函数()y f x =的图像经过点1(4,)2，则1()4f 的值为( ) A.1B. 2C.3D. 43、已知,a b 都是单位向量，则下列结论正确的是( )A.1;a b ∙=B. ;22b a =C.;//b a b a=⇒ D. 0;a b ∙=4、已知命题p ：对任意x R ∈，总有20x>，q ：“1x >”是“2x >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B. p q ⌝∧⌝C.p q ⌝∧D. p q ∧⌝ 5、下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是 ( )A. ()ln 2y x =+B.y =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.1y x x =+6、函数()(),,00,sin xy x xππ=∈-的图像可能是下列图像中的()7、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A.430x y --= B. 450x y +-= C.430x y -+= D. 430x y ++=8、下列命题中，真命题是 ( ) A. 函数()tan(2)4f x x π=-的单调递增区间为3,,8282k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B. 命题“2,23x R x ∀∈->”的否定是“2,23x R x ∃∈-<”C. 12,,z z C ∈若12,z z 为共轭复数，则12z z +为实数D. 4x π=是函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴9、已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件:①对于任意的x R ∈,都有(4)()f x f x +=;②对于任意的12,x x R ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12f x f x <③函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称,则下列结论中正确的是 ( ) A.(4.5)(7)(6.5)f f f << B. (7)(4.5)(6.5)f f f << C.(7)(6.5)(4.5)f f f <<D. (4.5)(6.5)(7)f f f <<10、已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈,若函数()y f x k =+有三个零点,则实数k 的取值范围是 ( )A.2k ≤B. 10k -<<C.21k -≤<-D. 2k ≤-二、填空题 （本大题共5小题，每题4分，共20分。

）11、在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为____________ 12、若11(2)3ln 2,(1)ax dx a x+=+>⎰,则a 的值是____________13、已知向量,a b 夹角为45,且1,210a a b =-=;则b =____________14、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则∙＝____________.15、对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],(0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 .清流一中2014-2015学年上学期高三理科半期考试卷答题卡满分:150分 考试时间:120分钟一、选择题 （本大题共10题，每小题5分，共50分。

）二、填空题 （本大题共5题，每小题4分，共20分。

）11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题 （本大题共6小题，共80分。

）16、(本小题满分13分)在等差数列{}n a 中,138a a +=,且2429a a a =,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.17、(本小题满分13分)设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边分别为,,a b c ，已知11,2,cos 4a b C ===（1）求ABC ∆的周长与面积； （2）求cos()A C -.18、(本小题满分13分)函数21()cos cos (0)2f x x x x ωωωω=∙+->,最小正周期为.2π （1）求()f x 的表达式; （2）将函数()f x 的图像向右平移8π个单位,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图像,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.19、(本小题满分13分)已知向量()())90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2θθθθ--=--=b a（1）求证：b a⊥；（2）若存在不等于0的实数k 和t ，使b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2满足y x ⊥。

试求此时tt k 2+的最小值。

20、(本小题满分14分)如图所示，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？21、(本小题满分14分)设函数()ln(1),()(),0f x x g x xf x x '=+=≥， ()f x '是()f x 的导函数．（1）令11()(),()(g ()),n N n n g x g x g x g x ++==∈，猜想g ()n x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．清流一中2014-2015学年上学期高三理科数学 半期考试卷参考答案………………………密……………………………………封…………………………………………………………线…………………………………一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 CB B D AC A C A D二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,满分20分.把答案填在题中相应位置横线上)11、(1,1)- 12、2 13、 14、2215、1(1,1)e +三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤) 16、解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++. (4)所以()114,30a d d d a +=-=,解得14,0a d ==,或11,3a d ==, ...........................7 即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. (9)所以数列的前n 项和4n s n =或232n n ns -= (13)17、解：（Ⅰ）22212cos 1444 2.4=+-=+-⨯=∴=c a b ab C c (2)∴∆ABC 的周长为122 5.a b c ++=++= (4)1cos ,sin 4C C ==∴ (5)11sin 1222S ab C ∴==⨯⨯= (7)（Ⅱ）sin 4sin 2===a C A c ………………………9 ,<∴<a c A C 故A 为锐角.cos A ∴78. (11)7111cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C ∴-=+=⨯=. (13)18、(I)21()cos cos 2f x x x x ωωω=⋅+-cos2112sin(2)226x x x ωπωω+=+-=+ …………………3 由题意知)(x f 的最小正周期2T π=,222T πωπωπ===所以2=ω 所以()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭………………………6 (Ⅱ)将()f x 的图象向右平移个8π个单位后,得到)34sin(π-=x y 的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到)32sin(π-=x y 的图象.所以)32sin()(π-=x x g (8)因为02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤. (9)()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知k ≤-<或1k -=所以k <≤或1k =-. ………………………13 19、解：由诱导公式得： ()())cos ,sin ,sin 2,cos 2θθθθ=-=b a12==b a (2)（1）0cos )sin 2(sin cos 2=⋅-+⋅=⋅θθθθb a则 b a⊥ (4)（2）b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2y x ⊥ 0=⋅∴y x即：0][])3([2=+-⋅-+b t a k b t a ………………………7 0)3()])(3([2222=-+⋅--++-b t t b a k t t a k4)3(0)3(422t t k t t k -==-+-∴ (10)47)2(41]7)2[(41434)(2222-+=-+=-+=+=∴t t t t t t k t f即当2-=t 时，tt k 2+的最小值为47-. (13)20、解 如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. ………………………6 由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2. (12)因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)． (13)答 乙船每小时航行302海里．………14 21、解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)． ………………………1 (1)由已知，g 1(x )＝x1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x， g 3(x )＝x1＋3x，…，猜想g n (x )＝x1＋nx. (4)(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x(x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2， (6)当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．………………8 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]． ………………………10 (3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n . (11)下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时， ………………………12 12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． ………………………14 方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0. (11)令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， ………………………13 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证． (14)方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋nn＋1>⎠⎛nxx＋1d x＝⎠⎛n⎝⎛⎭⎪⎫1－1x＋1d x＝n－ln(n＋1)，结论得证． (14)- 11 -。