基于Copula函数度量违约相关性

２．选择合适的Ｃｏｐｕｌａ函数。 在构建完组合中单一资产的信用曲线之后，接下来 就可以选择一个合适的Ｃｏｐｕｌａ函数来描述这个组合中每 种资产之间的相关结构。在金融领域，一般采用正态 Ｃｏｐｕｌａ函数和学生氏Ｃｏｐｕｌａ函数。根据正态Ｃｏｐｕｌａ函数 的定义，可得到其密度
现代资产组合理论（ＭＰＴ）表明：适当地利用资产之间 的相关关系，可以有效地降低风险，并改善资产组合的风 险一收益状况。然而资产组合理论却不能简单地运用于 流动性很差的贷款和债券组合之中，这是因为这些组合 存在着收益的非正态性、收益和相关系数的不可观测性 等问题。由于缺乏历史价格和交易数据，从而使得用历 史的时间序列数据来计算收益率、方差变得比较困难，尤 其在度量资产组合信用风险的相关性方面，成熟且实用 的模型还不多见，目前在实际应用中较常使用的也只有 ＣｒｅｄｉｔＭａｔｒｉｃｓ模型（ＪＰ Ｍｏｒａｎ（１９９７））。
ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋｓ，Ｃｒｅｄｉｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｍａｒｋｅｔ ｇｒｏｗｓ ｖｅｒｙ ｑｕｉｃｋｌｙ，ｔｈｅｙ ａｒｅ ｓｕｒｅ ｔｏ ｂｅｃｏｍｅ ａ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒｔ ｏｆ
ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｍａｒｋｅｔ．Ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｖａｌｕａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｆｏｒ ｃｒｅｄｉｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ，ｄｅｓｉｇｎ ａｐｐｗｐｒｉａｔｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｆｏｒ Ｃｈｉｎｅｓｅ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｓｅｅｋ ｕｓｅｆｕｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｍａｎｇａｇｅ ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋｓ ａｒｅ ｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ
信用衍生产品则主要通过采用分解和组合技术来改 变资产的整体风险特征，如信用互换、信用期权以及信用 远期等。在过去的几年中，信用衍生产品以惊人的速度
发展起来，逐渐形成了具有一定规模的市场和一套较为 完整的交易机制，并不断地有大量的创新产品和技术涌 现出来，信用衍生产品市场已经成为未来最有发展潜力 的市场之一。根据ｔｈｅ Ｂｒｉｔｉｓｈ Ｂａｎｋｅｒｓ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ（ＢＢＡ）的分 析，世界范围内的信用衍生产品市场到２０００年年底大约 达到８９３０亿美元，２００２年有可能增至１５８００亿美元，可见 市场的发展极为迅速。而对亚洲及中国来讲，信用衍生 产品可以说是一个全新的概念，现阶段亚洲市场仍是一 个新兴市场，其规模较小，交易范围非常有限，参与者也 仅限于少数机构投资者和大银行。近几年来，为了解决 国有商业银行大量的不良资产问题，成立了四大国有资 产管理公司。目前，它们处理不良资产的一种办法就是 出售，类似一种信用衍生产品技术。同时，国内外许多金 融学家都认为，要处理好国有中国各商业银行的不良资 产，发展信用衍生产品市场是方向，只有这样才能彻底解 决这些坏账问题。对信用衍生产品的定价也涉及到如何 度量资产组合的信用风险问题。近两年来的国内外研究 表明，违约相关性（Ｄｅｆａｕｌｔ Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）度量方法是进行信 用衍生产品定价的关键技术。
由于组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个 资产本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的
＊本文为国家自然科学基金资助项目（７０２７３０１６）。
万方数据
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统计研究
相关结构引起的风脸。要很好地度量组合的整体风险， 就要找到一个能将单个违约分布和多元违约联合分布联 系起来的方法。统计学上有许多技术可以实现这一点， 其中Ｃｏｐｕｌａ函数（Ｎｅｌｓｅｎ，Ｒ．Ｂ（１９９８，１９９９））是一种简单且 实用的方法。
ｂｅｎｅｆｉｔｓ ａｎｄ ａｓｓｅｔ ｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌ ｂａｎｋｓ．
关键词：违约相关性；信用衍生产品；Ｃｏｐｕｌａ函数
一、问题的提出
在现代信用分析中，信用风险计量模型可按其计量 的风险层次分为三种类型：一是单个交易对手或发行人 的计量模型，二是信用资产组合层次的计量模型．三是信 用衍生产品的计量模型。对于第一类模型，主要有基于 期权定价技术的风险计量模型，基于风险价值（ＶａＲ）的信 用度量模型，基于保险思想的ＣＳＦＰ信用风险附加模型， 以及麦肯锡公司的宏观模型。目前这一类模型的研究者 较多，思想也较为成熟。而对于后两类模型，研究起来则 相对复杂和困难的多。
然后利用不同资产的违约恢复率（Ｒｅｃｏｖｅｒｙ Ｒａｔｅ），可 以计算出每种情景下的组合损失值，由此得到资产组合 在ｔ时刻的损失分布，并进一步得出资产组合的ＶａＲ值。
的历史数据中获得。易找到每一个信用等级的债券在１１ 年中的总违约概率，然后利用ｎ年总违约概率与每年的 条件违约概率之间的函数关系，使用递归方法推导出每 年的条件违约概率。第二，使用布莱克一舒尔茨方法，将 股票看作一个公司的看涨期权，用这个架构可以获得ｎ 期的违约概率，然后将其转换为危险率函数。第三，从现 有的市场信息中获得公司一系列不同期限债券的到期收 益率，并将它与国债的到期收益率作比较，获得收益率价 差曲线（Ｙｉｅｌｄ Ｓｐｒｅａｄ Ｃｕｒｖｅ），然后假设一个外生的恢复率 （Ｒｅｃｏｖｅｒｙ Ｒａｔｅ），就可以推算出信用曲线，详细情况可参看 Ｌｉ（１９９８）。
万方数据
朱世武：基于Ｃｏｐｕｌａ函数度量违约相关性
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Ｐｒ（Ｔｌ＜ｔ，Ｔ２＜ｔ）＝圣。（中．１（Ｆ。（ｔ），西＿１（Ｆ２（ｔ））） ＝垂。（垂。１（１一ｅ““），西。（１一ｅ“２‘））
它表示两种资产从现在开始，到ｔ时刻时都违约的概 率。
三、实际应用
１．组合信用风险管理。 在度量资产组合的风险时，通常采用以下的过程来 进行计算。第一步，计算出资产组合中每种单一资产的 风险。传统上，已经有很多方法来计算单一风险。而近 年来ＶａＲ技术的迅速发展及其软件的普遍应用，已经使 得单一风险的度量变得更为容易。第二步，找到一个合 适的方法来将组合中单一风险进行综合。过去经常采用 的方式是，求出各资产之间的相关系数，并根据这些相关 系数以及概率论中的方差概念来组合单一风险，如 ＲｉｓｋＭｅ＿【ｒｉｃｓ和ＣｒｅｄｉｔＭｅｔｒｉｃｓ所采用的技术等。但由于相关 系数只表示一种线性相关性，因此它并不是一种理想的 代表综合相关性的方式。现在，可以使用Ｃｏｐｒａ函数来 进行综合。这种方式对前提的要求比较宽泛且现实，而 且此种方法亦比较简便。最后，在确定了资产组合综合 方式的基础上，可以进一步度量组合的风险。 、 下面给出如何利用Ｃｏｐｕｌａ函数来进行组合信用风险 的度量。假设有两种资产，每种资产的危险率ｈ恒定，于 是每种资产的生存时间概率密度ｆ（ｔ。）＝ｈ·ｅ“‘－，由此可 得Ｆ（ｔ。）＝ｌ—ｅ“‘－。然后，选择正态Ｃｏｐｕｌａ函数来连接 单一资产的信用曲线，于是得到了资产组合生存时间的 联合概率分布函数： Ｆ（ｔ。，ｔ：）＝圣。（西。１［Ｆ，（ｃ。）］，西“［Ｆ２（ｔ：）］） 有了联合概率分布函数，就可以很容易求出在时刻 ｔ，两种资产的违约概率如表１所示。 表１ 不同情景发生的概率计算公式
ｆｕｎｃｔｉｏｎ——ｔｏ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｓｉｎｇｌｅ ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋ，ａｎｄ
ｄｉｓｃｕｓｓ ｈｏｗ ｔｏ ｕｓｅ ｃｏｐｕｌａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｍａｎａｇｅｒ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓ ｏｆ ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋｓ ａｎｄ ｖａｌｕｅ ｃｒｅｄｉｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ．
Ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ Ｃｈｉｎｅｓｅ ｂａｎｋｓ．Ｃｒｅｄｉｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｈａｖｅ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｒａｎｓｆｅｒ
例如，模拟正态Ｃｏｐｕｌａ函数的步骤如下： （１）产生均值为０，相关系数矩阵为Ｐ的正态随机数
向量ｚｌ’．一，ＺⅣ，； （２）将正态随机变量转换为均匀随机变量： Ｕｉ＝西（Ｚ。），，＝ｌ，…，Ⅳ． （３）根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量： Ｘ。＝Ｆｉ‘（Ｕ。），，＝１，…，Ｎ． 这里的Ｃｏｐｕｌａ函数为：Ｃ（Ｍ。，…，Ｈ，）＝①。（垂。１（Ⅱ。），
其中，＃＝（岛，…，ｈ），＜。＝中“（“。），／７．＝１，…，Ⅳ。同样 道理，可以得到学生氏Ｃｏｐｕｌａ函数的密度函数： ｃ（Ｕ１，…，ＭⅣ）＝
巾㈠Ｔ再而两而矿 …当ｒ（ｖ＋／ｖ）［ｒ（号）］Ⅳ（１＋÷峁１）一
其中，矗＝ｔｉｌ（‰），ｒ为ｇａｍｍａ函数，”为自由度。 Ｃｏｐｕｌａ函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。
…，西。１（Ｕ。）） ３．计算联合违约概率分布。 选定适当的Ｃｏｐｕｌａ函数以及适当的参数之后，就可
以用它来将资产组合中单一资产的信用曲线连接起来， 生成一个联合违约概率分布函数，然后进一步计算几种 资产在同一时段违约的概率。
假设有两种资产，第一种资产的危险率（Ｈａｚａｒｄ Ｒａｔｅ） 为ｈ＝０．１，第二种资产的危险率为ｈ＝Ｏ．２。于是，Ｆ。（ｔ） ＝１一ｓ（ｔ）＝１一ｅ一“＝１一ｅ－ＯＡｔ，Ｆ２（ｔ）＝１一ｅ一“２‘。假设 这里采用二维正态分布Ｃｏｐｕｌａ函数，于是有下列公式：
ｈ（ｚ）ｅ—ｊｏ“‘５‰。 因此，如果知道危险率函数，就可以计算出生存函
数，也可以计算出生存时间的密度函数。 现在定义信用曲线（ｃｒｅｄｉｔ ｃｕｒｖｅ），它是危险率函数的
图形表示，代表信用资产在不同时刻的条件违约概率密 度。有了信用的线，就可以计算不同资产的违约相关性。
获得信用曲线的方法一般有三种：第一，从评级机构
ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋｓ，ａｎｄ ｈｏｗ ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅａｃｈ ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋ ｉｓ ｔｈｅ ｋｅｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｖａｌｕａｔｉｏｎ．
ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ－－Ｃｏｐｕｌａ Ｉｎ ｔｈｉ电ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ ｎｅｗ
１．构建信用曲线。 首先，引入连续随机变量生存时间Ｔ（ｓｕｒｖｉｖａｌ ｔｉｍｅ），它 表示从现在到违约（ｄｅｆａｕｌｔ）事件发生时的时间长度。引 入函数Ｆ（ｔ）和Ｓ（ｔ），其中Ｆ（ｔ）表示在ｔ时刻已经违约 的概率，而Ｓ（ｔ）则表示在ｔ时刻还没有违约的概率，它也 被称为生存函数（ｓｕｒｖｉｖａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）。根据函数的定义，可 以得到： Ｆ（ｔ）＝Ｐｒ（Ｔ≤ｔ），Ｓ（ｔ）＝１一Ｆ（ｔ）＝Ｐｒ（Ｔ＞ｔ） 可以看出，，（ｔ）其实就是生存时间ｒ的累积分布函数。 现在来计算一下资产在ｘ时刻没有违约的情况下，