圆和相似结合(初三)教学文案

圆和相似（初三）一．解答题（共18小题）1．（2012•铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．2．（2013•河东区一模）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥BC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且∠A+2∠AED=90°．（Ⅰ）证明：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）当BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．3．（2011•湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．4．（2012•丰润区一模）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=．（1）求证：BF为⊙O的切线．（2）求⊙O的半径．5．（2013•塘沽区二模）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．（Ⅰ）求证：△ADC∽△ACB；（Ⅱ）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求的值．6．（2012•德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求线段AF的长．7．（1997•湖南）已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程x2﹣kx+2=0的两根（k 为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．8．（2005•柳州）已知，如图，直线l与⊙O相切于点D，弦BC∥l，与直径AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H．（2）如果AE=6，EF=2，求AC．9．（2006•黄冈）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？10．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求sin∠EOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．11．（2012•临沂）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．12．（2012•陕西）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．13．（2012•东营）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN 于点C，（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．14．（2013•黄石）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）求证：OF=CD．15．（2012•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA=3，AE=2，（1）求CD的长；（2）求BF的长．16．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若AF=1，OA=，求PC的长．17．（2012•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．18．（2012•怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．（2013•天津）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．圆和相似结合（初三）参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2012•铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．考点：切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．专题：压轴题．分析：（1）由BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；（2）又由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，由圆周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然后由⊙O的半径为5，cos∠BCD=，即可求得线段AD的长．解答：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴BF⊥AB，…3分∵CD⊥AB，∴CD∥BF；…6分（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，…7分∵⊙O的半径5，∴AB=10，…8分∵∠BAD=∠BCD，…10分∴cos∠BAD=cos∠BCD==，∴AD=cos∠BAD•AB=×10=8，∴AD=8．…12分点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．2．（2013•河东区一模）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥BC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且∠A+2∠AED=90°．（Ⅰ）证明：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）当BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．考点：切线的判定．专题：计算题．分析：（I）连接OE，CE，OB，求出BC=BE，证出△OEB≌△OCB，推出∠OEB=∠ACB=90°，根据切线的判定推出即可；（II）证△AEO∽△ACB，推出=，求出=，解直角三角形求出即可．解答：（Ⅰ）证明：连接OE，CE，OB，∵DC为圆O的直径，∴∠DEC=90°，即∠CEB+∠AED=90°，∴2∠AED+∠2∠CEB=180°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠A+2∠AED=90°，∴∠ABC=2∠AED，∴∠ABC+2∠CEB=180°，∵∠ABC+∠CEB+∠ECB=180°，∴∠CEB=∠ECB，∴BC=BE，在△OEB和△OCB中，∴△OEB≌△OCB，∴∠OEB=∠ACB=90°，即OE⊥AB，∴AB是⊙O切线．（Ⅱ）解：∵BE=BC=1，AB=2+1=3，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC==2，∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，∴△AEO∽△ACB，∴==，∴tan∠OBC===．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．3．（2011•湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．考点：切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD；（2）连接DE，由AE是直径，得到∠ADE=90°，然后利用已知条件可以证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题．解答：解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，∴BD⊥OD，∴BD是⊙O切线；（2）连接DE，…（7分）∵AE是直径，∴∠ADE=90°，…（8分）又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，…（9分）∴AD：AC=DE：BC又∵D是AC中点，∵BC=6，∴DE=3，…（11分）∵AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，∴x=1∴AE=5．点评：本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OD、DE，证明DE∥BC．4．（2012•丰润区一模）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=．（1）求证：BF为⊙O的切线．（2）求⊙O的半径．考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）由AB⊥CD，BF∥CD，可得AB⊥BF，又由AB是⊙O的直径，即可证得BF为⊙O的切线；（2）首先连接BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB是直角，又由AD=3，cos∠BCD=，即可得cos∠BAD==，继而求得答案．解答：（1）证明：∵AB⊥CD，BF∥CD，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF为⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=，∵AD=3，∴AB=4，∴⊙O的半径为2．点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及锐角三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用．5．（2013•塘沽区二模）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．（Ⅰ）求证：△ADC∽△ACB；（Ⅱ）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求的值．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（I）连接OC，求出∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠B，根据相似三角形的判定推出即可；（II）根据勾股定理求出AB，求出∠ACG+∠B=180°，求出∠DCA=∠B，求出∠ADC=∠AGB，证△ADC∽△AGB，得出比例式，代入求出即可．解答：（I）证明：连接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵AB是⊙O直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，∴∠ADC=∠DCO=∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°，∴∠DCA=∠OCB=∠OBC，∵∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠OBC，（II）解：∵AB是⊙O直径，∴∠AGB=90°，∵AG=4，BG=3，由勾股定理得：AB==5，∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ACG=180°，∵∠ACD+∠ACG=180°，∴∠B=∠DCA，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠AGB，∴△ADC∽△AGB，∴=，∴==．点评：本题考查了圆内接四边形，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，关键是推出△ADC∽△ACB或△ADC∽△AGB．6．（2012•德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求线段AF的长．考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形．专题：计算题；证明题．分析：（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA⊥BE，根据AG∥BE，推出OA⊥AG，根据切线的判定即可得出答案；（2）求出等边三角形AOB，求出BD、AD长，求出∠EBC=30°，在△FBD中，通过解直角三角形求出DF 即可．解答：解：（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，理由是：连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴弧AB=弧AE=弧EC，∴点A是弧BE的中点，∴OA⊥BE，又∵AG∥BE，∴OA⊥AG，∴AG与⊙O相切．（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，又∵OA=OB，∴△ABO为正三角形，又∵AD⊥OB，OB=1，∴BD=OD=，AD=，又∵∠EBC=∠EOC=30°（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），在Rt△FBD中，FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=，∴AF=AD﹣DF=﹣=．答：AF的长是．点评：本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中．7．（1997•湖南）已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程x2﹣kx+2=0的两根（k 为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．考点：圆的综合题．专题：压轴题．分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE 与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．解答：（1）证明：如图，∵PB切⊙O于点B，∴∠PBD=∠A，∵PF平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∴△PBD∽△PAE，∴PB：PA=BD：AE，∴PA•BD=PB•AE；（2分）（2）证明：如图，∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，∴∠BED=∠BDE．∴BE=BD．∵线段AE、BD的长是一元二次方程x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），∴AE+BD=k，∴AE+BD=AE+BE=AB=k，即⊙O直径为常数k．（5分）（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．∴∠PBA=90°．∵∠A=60°．∴PB=PA•sin60°=PA，又∵PA•BD=PB•AE，∴BD=AE，∵线段AE、BD的长是一元二次方程x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．∴AE•BD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，∵∠FPA=∠BPF，∴tan∠FPA=2﹣．点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．8．（2005•柳州）已知，如图，直线l与⊙O相切于点D，弦BC∥l，与直径AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H．（1）求证：AB=AC；（2）如果AE=6，EF=2，求AC．考点：切线的性质；垂径定理；圆周角定理．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）根据切线的性质知道AD⊥L，由BC∥l可得AD⊥BC，那么可得到AB和AC所对的弧相等，进而得到AB=AC；（2）根据（1）可知∠F=∠B=∠ACB，由此即可证明△AEC∽△ACF，然后利用其利用对应线段成比例可以解决问题．解答：（1）证明：∵直线l与⊙O相切于点D，∴AD⊥l，∵BC∥l，∴AD⊥BC．∴．∴AB=AC．（2）解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACB．又∵∠EAC=∠FAC，∴△AEC∽△ACF．∴=，∴AE=4．点评：本题用到的知识点为：①弧相等，弧所对的弦也相等；②相似三角形中的对应线段成比例来．9．（2006•黄冈）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）作辅助线，连接OC．根据切线的性质，OC⊥PC．根据PC=PF，OC=OA，可得：∠PCF=∠PFC，∠OCF=∠OAC．在Rt△FHA中，可得：∠FHA=90°，故AB⊥ED；（2）根据AD2=DE•DF，可得：△FAD∽△AED，∠FAD=∠DEA．从而可知：=，即D在劣弧AC的中点．解答：（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠CFP=∠AFH，∴∠AFH+∠OAC=90°，∴∠AHF=90°，即：AB⊥ED．（2）解：D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE•DF．连接AE．若AD2=DE•DF，可得：△FAD∽△AED，∴∠FAD=∠DEA，∴=．即D为劣弧AC的中点时，能使AD2=DE•DF．点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形性质的运用．10．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求sin∠EOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：（1）连接AE，BC，由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再根据对顶角相等，利用两对应角相等的两三角形相似，得到三角形AEM与三角形CBM相似，由相似得比例，化简后即可得证；（2）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长，再由相交弦定理求出EM的长，根据所求EM的长与半径相等判断出△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF，EF 的长，进而求出sin∠EOB的值；（3）由EO=EM，EF垂直于OM，得到F为OM的中点，由M为OB中点，求出OM的长，可得出OF 的长，由OB+BP=OP，得出OP的长，利用OP﹣OF求出FP的长，再由EF的长，利用勾股定理求出EP 的长，在三角形OEP中，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形OEP为直角三角形，可得∠OEP为直角，即EP垂直于OE，可得EP为圆O的切线．解答：解：（1）连接AE，BC，∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角，∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），∴△AME∽△CMB，∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；（2）如图，∵DC为⊙O的直径，∴DE⊥EC，∵DC=8，DE=，∴EC===7，设EM=x，由于M为OB的中点，∴BM=2，AM=6，∴AM•MB=x•（7﹣x），即6×2=x（7﹣x），整理得：x2﹣7x+12=0，解得：x1=3，x2=4，∵EM＞MC，∴EM=4，∵OE=EM=4，∴△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1，∴EF===，∴sin∠EOB=；（3）在Rt△EFP中，EF=，PF=FB+BP=3+12=15，根据勾股定理得：EP===4，又OE=4，OP=OB+BP=4+12=16，∴OE2+EP2=16+240=256，OP2=256，∴OE2+EP2=OP2，∴∠OEP=90°，则EP为圆O的切线．点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，其中证明切线的方法有两种：有点连接此点与圆心证直线与半径垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径．11．（2012•临沂）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）首先连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC 与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线；（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD 的长．解答：（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC•tan30°=3×=，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．12．（2012•陕西）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）连接OA，由切线的性质可知OA⊥AP，再由MN⊥AP可知四边形ANMO是矩形，故可得出结论；（2）连接OB，则OB⊥BP由OA=MN，OA=OB，OM∥AP．可知OB=MN，∠OMB=∠NPM．故可得出Rt△OBM≌△MNP，OM=MP．设OM=x，则NP=9﹣x，在Rt△MNP利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论．解答：（1）证明：如图，连接OA，则OA⊥AP，∵MN⊥AP，∴MN∥OA，∵OM∥AP，∴四边形ANMO是矩形，∴OM=AN；（2）解：连接OB，则OB⊥BP∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．∴Rt△OBM≌Rt△NPM，∴OM=MP．设OM=x，则NP=9﹣x，在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2∴x=5，即OM=5．点评：本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答．13．（2012•东营）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN 于点C，（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．考点：切线的性质；勾股定理．专题：几何综合题．分析：（1）首先连接OE，由AM和BN是它的两条切线，易得∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，由切线长定理，可得∠AOD=∠EOD=∠AOE，∠AOD=∠ABE，根据同位角相等，两直线平行，即可证得OD∥BE；（2）由（1），易证得∠EOD+∠EOC=90°，然后利用勾股定理，即可求得CD的长．解答：（1）证明：连接OE，∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，…（2分）∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE；…（5分）（2）由（1）得：∠AOD=∠EOD=∠AOE，同理，有：∠BOC=∠EOC=∠BOE，∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°，∴∠EOD+∠EOC=90°，∴△DOC是直角三角形，…（7分）∴CD==10（cm）．…（9分）点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14．（2013•黄石）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）求证：OF=CD．考点：切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）连接OE，由AM与圆O相切，利用切线的性质得到OA与AM垂直，即∠OAD=90°，根据OD与BE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OA=OE，OD为公共边，利用SAS得出三角形AOD与三角形EOD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠OED=90°，即OE垂直于ED，即可得证；（2）连接OC，由CD与CB为圆的切线，利用切线的性质得到一对直角相等，由OB=OE，OC为公共边，利用HL得出两直角三角形全等，进而得到∠BOC=∠EOC，利用等量代换及平角定义得到∠COD=90°，即三角形COD为直角三角形，由OF与BN平行，AM与BN平行，得到三线平行，由O为AB的中的，利用平行线等分线段定理得到F为CD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证．解答：证明：（1）连接OE，∵AM与圆O相切，∴AM⊥OA，即∠OAD=90°，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠ABE，∠EOD=∠OEB，∵OB=OE，∴∠ABE=∠OEB，∴∠AOD=∠OEB，∴∠AOD=∠EOD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SAS），∴∠OED=∠OAD=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△BCO和Rt△ECO中，，∴Rt△BCO≌Rt△ECO，∴∠BOC=∠EOC，∵∠AOD=∠EOD，∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=×180°=90°，∵AM、BN为圆O的切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵OF∥BN，∴AM∥OF∥BN，又O为AB的中点，∴F为CD的中点，则OF=CD．点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．15．（2012•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA=3，AE=2，（1）求CD的长；（2）求BF的长．考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）连接OC，在△OCE中用勾股定理计算求出CE的长，然后得到CD的长．（2）根据切线的性质得AB⊥BF，然后用△ACE∽△AFB，可以求出BF的长．解答：解：（1）如图，连接OC，∵AB是直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE在直角△OCE中，OC2=OE2+CE232=（3﹣2）2+CE2得：CE=2，∴CD=4．（2）∵BF切⊙O于点B，∴∠ABF=90°=∠AEC．又∵∠CAE=∠FAB（公共角），∴△ACE∽△AFB∴=即：=∴BF=6．点评：本题考查的是切线的性质，（1）利用垂径定理求出CD的长．（2）根据切线的性质，得到两相似三角形，然后利用三角形的性质计算求出BF的长．16．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若AF=1，OA=，求PC的长．考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论．（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，继而也可得出PC得长．解答：（1）证明：连接OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵OA=OC（圆的半径相等），∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB，∴∠FCO=∠FAO=90°，∵CO是半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO，∴∵CO=OA=，AF=1，∴PC=PA，设PA=x，则PC=．在Rt△PCO中，由勾股定理得：，解得：，∴PC=2×=．点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，涉及知识点较多，解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质，有一定难度．17．（2012•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．解答：（1）证明：连接OD．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例），∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．点评：本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．18．（2012•怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．考点：圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定．专题：证明题；几何综合题．分析：（1）连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；（2）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出=，根据相似三角形的判定推出即可．解答：（1）解：连接OA，∵OA=OB=OD，∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．（2）证明：过O作OE⊥AB于点E，垂足为E，∵OE过O，由垂径定理得：AE=BE，∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，∴OE=OB=2，由勾股定理得：BE=2=AE，即AB=2AE=4，∵AC=2，∴BC=2，即C、E两点重合，∴DC⊥AB，∴∠DCA=∠OCB=90°，∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2，∴==，∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．点评：本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．分析：（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．解答：解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，。