函数的基本性质 单调性 最值
函数的基本性质
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间 上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域 为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1， 则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝ ， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数， 当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增 函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若 上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 的． ________ 取值 作差 ， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形 ，________ 定号 ，________. 结论 ________
新教材必修第一册第三章3.2函数的基本性质(全套课件)
题型二 求函数的单调区间 【典例 2】 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴 上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
2．函数的单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上 单调递增 或 单调递减 ，
那么就说函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的 单调区间．
温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，
它是函数的一个局部性质．
(2)函数 f(x)在定义域的某个区间 D 上单调，不一定在定义域 上单调．如 f(x)＝x2 等．
[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2) 若 本 例 (2) 中 “ 定 义 域 ( － ∞ ， ＋ ∞)” 改 为 “ 定 义 域 ( － 1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－ a)2，
题型三 函数单调性的应用 【典例 3】 (1)已知函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在[4，＋∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围． (2)已知 y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且 f(1－ a)<f(2a－1)，求 a 的取值范围． [思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定， 与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关 系．
数 M 满足：
①∀x∈I，都有 f(x)≤M
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1.增函数：y随x的增大而增大的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）>f（x2）2.减函数：y随x的增大而减小的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）<f（x2）3.单调性：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为单调区间考点一：用定义证明函数的单调性方法：取值变形例：证明：函数y=x+在（0，上是减函数练：在上例中，若定义域换为（3，），那么函数的单调性如何？且画出在（0，）上的大致图像。
考点二：求单调区间方法：化简函数解析式画出函数图像确定单调区间例：指出函数y=-++3的单调区间练：指出函数y=-+3x+3的单调区间考点三：利用单调性确定参数指导思想：若y=f(x)在区间（a，b）上递增（减）就等价于（a，b）是增区间（减区间）的一个子集例：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，上是减函数，求实数a的取值范围练：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2的单调递减区间是（-，，求实数a的取值范围4.函数的最大值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最大值5.函数的最小值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最小值考点四：利用图像求函数最值例：已知函数f（x）=3-12x+5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值，最小值：（1）x R;(2)x；（3）x考点五：利用单调性求函数最值方法：定义法证明函数单调性求最值例：求函数f（x）=x+在x上的最大值及最小值。
练：求函数f（x）=x+在x上的最值。
高中数学第三章函数的概念与性质3-2函数的基本性质3-2-1函数的单调性与最值学生用书湘教必修第一册
3．2 函数的基本性质 3．2.1 函数的单调性与最值教材要点要点一 函数最大(小)值设D 是函数f (x )的定义域，I 是D 的一个非空的子集．(1)如果有a ∈D ，使得不等式f (x )≤f (a )对一切x ∈D 成立，就说f (x )在x ＝a 处取到最大值M ＝f (a )，称M 为f (x )的最大值，a 为f (x )的最大值点；(2)如果有a ∈D ，使得不等式f (x )≥f (a )对一切x ∈D 成立，就说f (x )在x ＝a 处取到最小值M ＝f (a )，称M 为f(x )的最小值，a 为f (x )的最小值点．状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝－x 2(x ∈R )的最大值是0，有f (0)＝0.要点二 增函数与减函数的定义状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2； (3)属于同一个单调区间． 要点三 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间I 叫作y ＝f (x )的________．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值是1.( )(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，+∞).( )(4)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在区间[a ，c ]上在x ＝b 处有最小值f (b )．( )2．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调递减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(−∞，34]D ．[34，+∞)3．(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( )A ．f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0C ．f (a )≤f (x 1)＜f (x 2)≤f (b )D ．f (x 1)＞f (x 2)4．函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．题型1 利用图象求函数的单调区间例1 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象写出它的单调区间．方法归纳(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3，1)∪(1，4)B．(－5，3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是__________，递减区间是__________________．题型2 函数的单调性判断与证明例2 用定义证明函数f(x)＝x＋k(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．x方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 已知函数f (x )＝xx 2+4，判断并用定义证明f (x )在(0，＋∞)上的单调性．题型3 函数单调性的应用 角度1 比较大小例3 已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则( ) A ．f (34)＞f (a 2－a ＋1) B ．f (34)＜f (a 2－a ＋1)C ．f (34)≥f (a 2－a ＋1) D ．f (34)≤f (a 2－a ＋1)状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．角度2 解不等式例4 f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，若f (m －1)＞f (2m －1)，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．0＜m ＜32 C ．－1＜m ＜3D ．－12＜m ＜32状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内．角度3 利用函数的单调性求参数的取值范围例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2m在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围x+1是( )A．(－∞，0)∪(0，1] B.(−1，0)∪(0，1]C．(0，＋∞) D．(0，1]方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．角度4 求函数的最值例6 已知函数f(x)＝2(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．x−1方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图象的对称轴为直线x ＝2，则下列关系式正确的是( )A ．f (－1)＜f (1)＜f (2)B ．f (1)＜f (2)＜f (－1)C ．f (2)＜f (1)＜f (－1)D ．f (1)＜f (－1)＜f (2)(2)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，+∞)(3)已知函数f (x )＝|2x －a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． (4)已知函数f (x )＝32x−1，求函数f (x )在[1，5]上的最值．易错辨析 忽视函数的定义例7 已知函数f (x )＝{−x 2−ax −5(x ≤1)，ax(x ＞1)，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．－3≤a ＜0B ．a ≤－2C ．a ＜0D ．－3≤a ≤－2解析：函数f (x )＝{−x 2−ax −5(x ≤1)，ax (x ＞1)，是R 上的增函数，则f (x )＝－x 2－ax －5(x ≤1)单调递增，故它的对称轴－a 2≥1，即a ≤－2，此时f (x )＝ax (x ＞1)也单调递增，所以a ＜0，要保证在R 上是增函数．还需在x ＝1处满足－12－a ×1－5≤a1，即a ≥－3.综上所述，－3≤a ≤－2.答案：D 易错警示课堂十分钟1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y ＝f (x )的图象，则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1，4]上单调递增C ．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D ．函数在区间[－5，5]上没有单调性 2．函数y ＝1x−1的单调减区间是( )A ．(－∞，1)，(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(1，+∞) C{x ∈R |x ≠1}D ．R3．函数y ＝2x+1在[2，3]上的最小值为( ) A ．1B ．13 C ．23D ．124．设关于x 的函数y ＝(k －2)x ＋1是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 5．已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围．3．2 函数的基本性质3．2.1 函数的单调性与最值新知初探·课前预习要点二f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数减函数要点三单调性单调区间[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√，+∞).2．解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是[34答案：D3．解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．故选AB.答案：AB4．解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点，∴y max＝2，y min＝－1.答案：－1，2题型探究·课堂解透例1 解析：(1)f (x )＝x 2－4|x |＋3＝{x 2−4x +3，x ≥0，x 2+4x +3，x <0.(2)如图．(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)．跟踪训练1 解析：(1)在某个区间上，若函数y ＝f (x )的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3＝{−x 2+2x +3，x ≥0，−x 2−2x +3，x <0.画出函数图象如图，由图可知函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间是：(－∞，－1]，(0，1].递减区间是：[－1，0]，[1，＋∞)．答案：(1)C (2)(－∞，－1]，(0，1] [－1，0]，[1，＋∞) 例2 证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1+k x 1)−(x 2+k x 2)＝(x 1－x 2)＋(k x 1−k x 2)＝(x 1－x 2)＋k ·x 2−x1x 1x2＝(x 1－x 2)－k ·x 1−x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2−k x 1x 2，因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0.当x 1，x 2∈(0，√k ]时，x 1x 2－k <0⇒f (x 1)－f (x 2)>0，此时函数f (x )为减函数； 当x 1，x 2∈(√k ，＋∞)时，x 1x 2－k >0⇒f (x 1)－f (x 2)<0，此时函数f (x )为增函数． 综上，函数f (x )＝x ＋kx (k >0)在区间(0，√k ]上为减函数，在区间(√k ，＋∞)上为增函数．跟踪训练2 解析：f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． 证明如下：∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x +124－x2x +224＝x 1(x +224)－x2(x +124)(x +124)(x +224)＝(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)，因为0<x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，(x +124)(x 22＋4)>0.当x >2时，x 1x 2−4>0，(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)>0，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时f (x )单调递减． 当0<x <2时，x 1x 2−4<0，(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)<0，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时f (x )单调递增．所以，f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．例3 解析：∵a 2－a ＋1＝(a −12)2＋34≥34.又∵函数y ＝f (x )在[0，＋∞)是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34).故选C.答案：C例4 解析：由题意知{−2<m −1<2，−2<2m −1<2，m −1<2m −1，解得0<m <32.故选B.答案：B例5 解析：函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1，g (x )＝2m x+1的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到的，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得m 的取值范围是(0，1].故选D.答案：D例6 解析：∀x 1，x 2∈[2，6]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1−1−2x 2−1＝2[(x 2−1)−(x 1−1)](x 1−1)(x 2−1)＝2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1). 由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以，函数f (x )＝2x−1在区间[2，6]上单调递减．因此，函数f (x )＝2x−1在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值．在x ＝2时取得最大值，最大值是2；在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.跟踪训练3 解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝2，所以f (x )在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1，所以f (2)<f (1)<f (－1)．故选C.(2)因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.故选C.(3)f (x )＝|2x －a |＝{2x −a ，x ≥a 2−2x +a ，x <a 2， 所以f (x )＝|2x －a |的单调递减区间是(−∞，a 2)，单调递增区间是[a 2，+∞)， 若函数f (x )＝|2x －a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 2＝3，解得a ＝6.(4)先证明函数f (x )＝32x−1的单调性，设x 1，x 2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x 2>x 1>12， f (x 1)－f (x 2)＝32x1−1−32x 2−1＝6(x 2−x 1)(2x 1−1)(2x 2−1). 由于x 2>x 1>12，所以x 2－x 1>0，且(2x 1－1)·(2x 2－1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f (x )在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f (x )＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f (1)＝3，最小值为f (5)＝13.答案：(1)C (2)C (3)6 (4)见解析 [课堂十分钟]1．解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“∪”连接．故选ABD.答案：ABD2．解析：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ，D 不对，B 表达不当．故选A.答案：A3．解析：∵函数y ＝2x+1在[2，3]上单调递减，∴当x ＝3时，y ＝2x+1有最小值12. 故选D.答案：D4．解析：f (x )为R 上的增函数，则k －2>0，k >2.答案：(2，＋∞)5．解析：∵f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，∴{−1≤x −2≤1，−1≤1−x ≤1，x −2<1−x ，解得1≤x <32， 所以x 的取值范围为1≤x <32.。
3.2.2函数的基本性质单调性与最大(小)值课件高一上学期数学人教A版
问题1：已知函数y=x2+2x-3 ,且x [-03，，-22],
求函数的最值．
y
解：因为由图易知:对称轴
x0= -1[0，2]
f(x)在区间[0，2]上
-10 1 2
x
单调递增。
所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
答：函数的最小值为-3，最大值为5
例三：二次函数在闭区间上的最值
y f (x)
2 O 6
11
x
例5已知函数 f (x) 2 (x [2, 6]),求函数f (x) x 1
的最大值和最小值.
y
2
0.5
02
6x
猜想 证明 运用(结论)
证明: 设任意 x1, x2 [2, 6], 且 x1 x2 , 则
22
f
(x1)
f
(x2 )
x1
1
x2
1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) . (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
h(t) 4.9(t 14.7 )2 4 (4.9) 18 14.72
2 (4.9)
4 (4.9)
当 t 14.7 1.5 时,函数h(t)有最大值 2 (4.9)
h(t ) max
h(1.5)
4 (4.9) 18 14.72 4 (4.9)
2.9
于是, 烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度约为 29 m.
例三：二次函数在闭区间上的最值
问题3:已知函数y=x2 +2x-3,且x[-2，2],
求函数的最值.
解：因为由图易知：对称轴
x0=-1 [-2，2] 所以 ymin= f(-1) = -4 ;
函数的基本性质ppt课件
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即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
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（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
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（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
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（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
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∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
函数的基本性质
函数的基本性质一．函数的单调性：1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔>--⇔>--⇔<0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是增加的。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔<--⇔<--⇔>0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是减少的。
2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。
（图像在此区间上是增加的） 自左向右看图像是下降的。
（图像在此区间上是减少的）3.判断函数单调性的方法：（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。
（数形结合） 解题程序：解析式-----图像-----单调区间（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。
高中基本初等函数：一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)0(≠=k x k y ，简单幂函数：3,2,21,1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+=a x ax y①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。
②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同；当0<a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相反；③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数， 减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g是减函数；④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。
(整理)函数的基本性质单调性最值
（一）函数单调性的定义1. 增函数与减函数一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，增函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。
减函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）>f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：xy 1=不能说 )0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2）或 f （x 1）＞f （x 2）。
2. 函数的单调性的定义如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。
例1 观察下列函数的其图象，指出其单调性． （1）1y x x=+；（2）11y x=-；例2 指出下列常见函数的单调性： （1）y c =（c 为常数）；【析】y 不随x 的增大而改变，无单调性． （2）y ax b =+（0a ≠）；【析】0a >，函数在R 上递增；0a <，函数在R 上递减． （3）2y ax bx c =++（0a ≠）； 【析】0a >，函数在(,)2b a-∞-上递减，在(,)2ba -+∞上递增；0a <，函数在(,)2b a-∞-上递增，在(,)2ba -+∞上递减．（4）ky x=（0k ≠）； 0k >，函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递减； 0k <，函数在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递增．（5）y x =；函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增． （6）y x =． 函数在(0,)+∞上递增．3. 判断函数单调性的方法和步骤（1）利用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； ②作差f （x 1）－f （x 2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性）。
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
函数的单调性与最值
函数的单调性与最值【考情分析】考试要求 1. 函数的基本性质B级要求会理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会应用函数图象理解和研究函数性质．【知识清单】1、增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图1所示)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图2所示)2、单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．3、判断函数单调性的方法(1) 定义法：利用定义严格判断．(2) 利用函数的运算性质．如若f(x)、g(x)为增函数，则：①f(x)＋g(x)为增函数；②1f(x)为减函数(f(x)>0)；③f(x)为增函数(f(x)≥0)；④f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤－f(x)为减函数．(3) 利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.4、函数的最值：【课前预习】1. 函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围 ．答案：k ＜－12解析：因为，函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以2k ＋1＜0，解得k ＜－12．2.（必修一P44.9改编）给出下列命题：①y ＝1x 在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案：3解析：①②④错误，其中①中y ＝1x 在()－∞，0和()0，＋∞上单调递减；②中y ＝(x －1)2在()1，＋∞上是增函数；④中若k ＝0，则命题不成立．3. 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是________ ．答案：(－7，－2)解析：令－2＜x ＋5＜3，得：－7＜x ＜－2．4. 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为_______．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3．所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 5. 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)＜f (1)的实数x 的取值范围是 ．答案： (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：因为，f (x )为R 上的减函数，且f (|x |)＜f (1)，所以，|x |＞1，所以，x ＜－1或x ＞1．【典型例题】目标1 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝21x x -在x ∈(－1，1)上的单调性．解析：设－1＜x 1＜x 2＜1，则1221121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----， 因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0.所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故函数f (x )在(－1，1)上为减函数．【借题发挥】变式1 讨论函数f (x )＝ax x 2－1（a ≠0）在x ∈(－1，1)上的单调性． 解析：设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 2－ax 1－ax 2x 1＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)． 因为－1＜x 1＜x 2＜1，当a ＞0时，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0.所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故函数f (x )在(－1，1)上为减函数．当a ＜0时，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0.所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在(－1，1)上为增函数．【规律方法】1、对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．2、复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．【同步拓展】判断函数f (x )＝x ＋a x (a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性．解析：设x 1，x 2是任意两个正数，且0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，又x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋a x (a ＞0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．目标2 求函数的单调区间例2 求函数y ＝x 2－3x ＋2的单调区间．解析：y ＝x 2－3x ＋2＝231()24x --， 所以，函数y ＝x 2－3x ＋2的单调递增区间为(32，＋∞)，单调递减区间为(－∞，32)． 【借题发挥】变式1 求函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调区间．解析：令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上． 所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y＝log12(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．变式2 求函数y＝x2－3x＋2的单调区间．解析：函数函数y＝x2－3x＋2是偶函数，所以函数关于y轴对称．当0x 时，y＝x2－3x＋2在(0，32)上单调递减，在(32，＋∞)上单调递增，所以函数的单调减区间为(0，32)、(－∞，－32)，单调增区间为(－32，0)、(32，＋∞)．【规律方法】求函数的单调区间：首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数．目标3 函数单调性的应用例3 定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a、b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)求f(0)的值；(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范围．解析：(1)令a＝b＝0，则f(0)＝f(0)·f(0)．又f(0)≠0，所以，f(0)＝1．(2)证明：令a＝x，b＝－x，则f(0)＝f(x)·f(－x)，所以，1＝f(x)·f(－x)，即f(x)＝1f(－x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＞1＞0，所以，f(x)＝1f(－x)＞0；当x＞0时，f(x)＞1＞0；又f(0)＝1＞0，所以，对任意的x∈R时，恒有f(x)＞0．（3）设x1，x2是R上的任意两个值，且x2＞x1，则x2－x1＞0，所以，f(x2－x1) ＞1，所以，f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)f(x1)＞f(x1)，即f(x)在R上是增函数．（4）由f(x)·f(2x－x2)＞1，可得f(x＋2x－x2)＞1，即f(3x－x2)＞f(0)，所以，3x－x2＞0，所以0＜x＜3．【规律方法】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．(2)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．【同步拓展】已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23．(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．证明：方法一 因为，函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，所以，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又因为，当x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，所以，f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．方法二 设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又因为，当x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，所以，f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以，f (x )在R 上为减函数．（2）因为，f (x )在R 上是减函数，所以，f (x )在[－3，3]上也是减函数，所以，f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2．所以函数在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2．【归纳分析】1.“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．【课后作业】1．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间是 ．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 （开区间也对） 解析：y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34.其对称轴为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，所以，x ≤－12时单调递减．2. 如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围 ． 答案：(－∞，－3]解析：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，所以，f (x )在(－∞，1－a ]上是减函数，要使f (x )在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a ≥4，即a ≤－3．3. 已知定义在R 上的函数f (x )是增函数，则满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是 ． 答案：(3，＋∞)解析：依题意得，不等式f (x )＜f (2x －3)等价于x ＜2x －3，由此解得x ＞3，即满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是(3，＋∞)．4. 已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是 ． 答案：(－∞，1]解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1．5. 已知函数f (x )为区间[－1，1]上的增函数，则满足f (x )＜f (12)的实数x 的取值范围为_______． 答案：[－1，12)解析：因为，f (x )在[－1，1]上为增函数，且f (x )＜f (12)．所以，⎩⎨⎧－1≤x ≤1x <12，得－1≤x ＜12．6. 函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是 ． 答案：[1，2] （开区间也对）解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2．结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．7. 若f (x )＝⎩⎨⎧a x， x ≥1，－x ＋3a ， x ＜1，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_ ___．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：因为当x ＜1时，f (x )＝－x ＋3a 单调递减，所以当x ≥1时，f (x )＝a x 为单调递减函数，从而a ＞0且－1＋3a ≥a ，解得a ≥12． 8. 函数f (x )＝x －ax 在[1，4]上单调递增，则实数a 的最大值为 ． 答案： 2解析：令x ＝t ，所以，t ∈[]1，2，即f (t )＝t 2－at ，由()f x 在[]1，4上递增，所以，a2≤1，即a ≤2，所以，最大值为2．9．讨论函数f (x )＝xx 2－1在x ∈(－1,1)上的单调性．解析：设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21－1－x 2x 22－1＝(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). 因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数．10. 已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解析：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25．11. 已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数. 解析：(1)由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝2＋a ，得a ＝23. (2)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)221212(x x )ax ax a =--12(x x )a =--,由于120x x ≤<<<所以，0 1.<<又因为a ≥1，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x )在[0，＋∞)上单调递减．【提优训练】1．（盐城市2017届高三上学期期中）若函数1,,()|1|,x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在区间(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[1,0]-解析：函数1y x=在-∞∞（，0）和(0,+)均为减函数， 函数--∞∞y=|x+1|在（，1]上单调减，在[-1,+)上单调增，将两个函数图象画在同一个坐标系下，为了满足题目条件，得到：实数a 的取值范围是[1,0]-.2. 若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是 ． 答案：(0，1]解析：由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a ，＋∞)，所以a ≤1，因为y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，所以由g (x )＝ax ＋1在[1，2]上是减函数可得a ＞0，故0＜a ≤1． 3. 已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0，1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域.(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值.解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.因为1≥x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0． 所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax ，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值；当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a ．。
高中数学3-2函数的基本性质3-2-1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
A．f (m)<f (1)
C．f (m)≤f (1)
B
)
B．f (m)>f (1)
√
D．f (m)≥f (1)
∵函数f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，∴m－1>0，解得m>1，
则f (m)> f (1)，故选B．
− 2 + 4， ≤ 1，
1
• (1)f (x)＝－ ；
[解] 函数f
1
(x)＝－ 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，
0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．
2 + 1， ≥ 1，
• (2)f (x)＝ቊ
5 − ， < 1；
[解] 当x≥1时，f (x)是增函数，当x<1时，f (x)是减函数，所以f (x)
(2a－1)，求实数a的取值范围．
思路导引： 1 − < 2 − 1
建立的不等关系
在定义域 −1，1 上
是减函数
−1 < 1 − < 1，
2
• [解] 由题意知ቐ−1 < 2 − 1 < 1，解得0<a< ，
3
1 − > 2 − 1，
• 即所求a的取值范围是 0，
• 知识点1 增函数与减函数的定义
函数
增函数
减函数
图示
条件
设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，
f (x1)<f (x2)
都有___________
f (x1)>f (x2)
函数的单调性与最值
证明：必要性。设函数 f(x)在区间 [a，b]上单调增加，在区间 （a，b）内任取两点x, x+x，有
（1）当x 0时，则 x < x+x，从而
于是
f(x+x) - f(x) 0；
f(x+x) f(x)，
（2）当x < 0时，则 x x+x，从而
于是
f(x+x) - f(x) 0；
有了这些结果以后，我们就可以利用导数的性质来判断函数的 性质，这可以说是导数的一个重要应用。它通常包含三个典型 的问题：
（1）、求函数的单调区间； （2）、证明不等式，通常是两项不等式； （3）、证明方程只有一个实根。
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
则对于开区间（a，b）内的任意两点 x1 ， x2 ，且设 x1 < x2 ， 由拉格朗日中值定理可知，有
f ( x2 ) f ( x1) f ' ( )( x2 x1 )
由于 f () 0，因此， f( x2) f( x1)。即 f(x)为单调增加。 对于单调减少的情况类似可以证明。
f(x+x) f(x)，
综合（1）、（2）即知，对任意的 x，恒有
从而有
f (x x) f (x) 0. x
lim f (x x) f (x) f ' (x) 0.
x0
x
充分性。设函数 f(x)在 开区间（a，b）内可导，且 f (x) 0，
（2）当 x1 < x2 时，恒有 f(x1) f(x2)（或 f(x1) f(x2)）,则称函 数 f(x)在开区间（a，b）内单调减（或严格单调减）；
1.3.1函数单调性与最值
一、函数的单调性与单调区间 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2， 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2， 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数 1 对函数单调性的理解
（3）单调区间一般不能取并集，如 y=
1 x
例 2、若函数 f(x)在区间（a,b）上是增函数，在区间(b,c)上也是增函 数，则函数 f(x)在区间（a,b）∪(b,c)上（ A、必是增函数 B 必是减函数 ）
C 是增函数或减函数 D 无法确定单调性 例 3、下列说法正确的有（ ）
①若 x1,x2∈I，当 x1<x2 时，f(x1)<f(x2)，则 y=f(x)在 I 上是增函数 ②函数 y=x2 在 R 上是增函数 ③函数 y=1 x 1 x
在定义域上是增函数
④ y= 的单调区间是（−∞, 0）∪（0， + ∞） A、0 个 B 、1 个 C、2 个 D、3 个
3、利用定义法证明函数的单调性 第一步：取值，即设 x1、x2 是该区间内的任意俩个值，且 x1<x2 第二步：作差变形， 第三步：判断符号 第四步：定论 例 4、研究函数 y=x+ 的单调性
（1） 任意性，即从定义域中任取 x1、x2，证明单调性时不可随意用
俩个特殊值代替。 有序性， 同常规定 x1<x2. 同区间性， 即 x1,x2 属于同一个单调区间。
函数的基本性质(含答案)
x＋ ≥2 ＝ （当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知 是定义 上的奇函数，且 在 上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年 级： 高一辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.
函数的基本性质(最值)
1.3.1函数的单调性
想一想：对于函数f (x) 定义域内某个区间D上的任意
两个自变量的值
x1,
x2
( x1
x2 )，若
f (x1) f (x2 ) x1 x2
0
，
则函数 f (x) 在区间D上的单调性如何？
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
1.3.1函数的单调性
练习： 已知函数f(x)在R上是减函 数，且
2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而 言，有哪几种可能情况？
3:如果函数 f (x)存在最大值，那么有几个？
4:如果函数 f (x)的最大值是b，最小值是a， 那么函数 f (x)的值域是[a，b]吗？
理论迁移
1.3.1函数的单调性
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制 造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如 果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的
1.3.1函数的单调性
1.3 函数的基本性质
1.3.1函数的单调性
单调性定义：
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数，区间D就叫做函数y=f(x)一个 单调增区间. 如果函数y=f(x)在区间D上是减函数，区间D就叫做函数y=f(x)一个 单调减区间. 单调增区间,单调减区间,统称为单调区间。 如果函数在区间D上是增函数(或减函数)就称该函数在区间D上具有单调性.
观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
图2
思考:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？
思考:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
f (x) 的最小值？
函数的基本性质单调性的应用
函数的基本性质单调性的应用函数的单调性是函数在定义域上的性质，描述了函数图像随着自变量的增减而变化的规律。
应用函数的单调性可以帮助我们分析函数的性质，解决各类数学问题。
下面将对函数的基本性质单调性的应用进行分类总结。
一、判断函数的增减性：1.定义法：根据函数定义，若对于任意x1、x2∈定义域，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在该定义域上严格递增。
若f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是严格递减。
2.导数法：对于可导函数f(x)，若在定义域上f'(x)≥0，则函数f(x)在该定义域上是递增的；若f'(x)≤0，则函数f(x)在该定义域上是递减的。
3.不等式法：对于不等式f(x1)≤f(x2)，如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式成立，那么函数f(x)在该定义域上是递增的；如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式反向成立，那么函数f(x)在该定义域上是递减的。
二、判断函数的最大值和最小值：1.极值点：对于可导函数f(x)，当f'(x)=0时，x就是函数f(x)的一个极值点。
若在x点的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则x是函数f(x)的一个局部最大值点；若在x点的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则x是函数f(x)的一个局部最小值点。
2.二阶导数：对于二次可导函数f(x)，当f''(x)>0时，函数f(x)在该点上是凹的，存在一个局部极小值；当f''(x)<0时，函数f(x)在该点上是凸的，存在一个局部极大值。
通过判断二阶导数的正负，可以得出函数的凹凸性及极值点。
三、求解方程和不等式：1.方程求解：对于严格递增（递减）函数f(x)，f(x)=k（k为常数）的方程只有一个解。
2.不等式求解：对于不等式f(x)≤0，f(x)≥0，若函数f(x)在定义域上递减，则不等式解集由定义域内满足f(x)≤0（≥0）的x组成。
06函数的单调性与最值
2 2 2 2 f(x x2＋1＋ax2 f(x1)－f(x x ，x 2∈[0，＋∞)，且 x )＝ 2 2x x ∈[0，＋∞)，且 <x ， (2)证明:任取xxx11，x22＋1－ax1－1)－f(x2x1<x，1＋1－ax1－ x2＋ (2)证明:任取2)＝，x21∈[0，＋∞)，且 xx11<x，， 1 (2)证明:任取 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求 a 的取值 (2)证明:任取 ∈[0，＋∞)，且 1 2 (2)证明:任取 x，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2， 2 (2)证明:任取 1 1，x2 ∈[0，＋∞)，且 1<x2 2 (3)若函数 2 22 ＝ 2x22＋1－ x2＋1－a(x1－x2) x2＋1＋ax 22 ＝ )－f(x2)＝ xx22＋1－ax11－ )22＋1＋ax x1＋1－ ＋1－a(x f(x11)－f(x)＝ xx＋1－ax －－x 2＋1＋ax 2 222 f(x1)－f(x2 222)＝ 2 xx11＋1－ax1－x2 x122＋1＋ax x f(x11)－f(x )＝ 221＋1－ax － x22 2 2 2 f(x )－f(x )＝ 1 1 ＋1－ax1－ 22 )－f(x 1 f(x 1 范围． f(x ＋1＋ax2 11 x1－x2 x1－x2 222 22 2 ＝ xx122＋1－ xxx2＋1－a(x1－x2)2))2 ＝ xx11＋1－ 2x22＋1－a(x1－x 2 2 x1＋1－ 2＋1－a(x 1－x ＝ 112＋1－ 2 2＋1－a(x11－x ＋1－a(x ＝ ＝ x22＋1－ x＋1－a(x1－x2)222)x1＋1＋ x2＋1－a(x1－x2) 2 ＝ ＝ x ＋1＋ 22 x ＋1－a(x －x 22 1 x22 2 22 2 2x－x2 2 －x 1 1－x xx2－x22 xx11－x22 1－x2 x1＋x2 ＝ 2 ＝ －a(x －x ＝ －a(x ＝ x2222 1 －a(x 1＝(x 22 x－a(x1－x2) 2)) ＝ 2x＋1＋ xx2＋1－a(x11－x22)2)－x ) －a(x 1－x 1＋x2 1 －x2 x－x2) x＋1 1 1 ＋1＋ 2 ＋1 xx111＋1＋ x2x22＋1 ＋1＋ 222＋1 －a . 2 x2＋1＋ x2＋1－a . x11＋1＋ 22＋1 ＋1＋ ＝(x1 2 1 2 x＋x x1＋1＋ x 2x2＋1 1 2 xx11＋x 2 1 ＋x xx＋x2 22 ( x1 x 2 )( a ). 1x1＋x2 x1＋x 2 2 2∵0≤x1< x1＋1，0<x2< x2＋1， －a ... －a －a . 2 22 2 2 . ＝(x －x)) ＋1，0<x 2 －a ＝(x －x ＝(x －x ＝(x 11－x222) 2x2 1 22< －a ＝(x 11－x 2 xxx＋1＋ x 22＋11 ＝(x11－x1<))) x11x212＋1＋ x2xx22＋12－a ∵0≤x 2 2 11 ＋1＋ xx＋1 22 x＋1＋ 2x2＋1 ＋1， x1＋x2 ＋1＋ ＋1 x 11 22＋1 1＋1＋ x122 2 2 2＋x ∵0≤x111< xxx11＋1，0<x22< x2x22＋1， 2＋1＋ x2＋1<1. x2＋1，0<x2<1. 2x22＋1， < xx22＋1， ∵0≤x ＋1，0<x ∵0≤x< 2 x1＋1，0<x 2 x2＋1， ∵0≤x11<< x＋1，0<x2<<< ∴0< x1 ∴0< ∵0≤x < 1 2＋1，0<x 1 2 2 ＋1， 2 ∵0≤x1x<＋1＋ x2＋1 2< ＋1， 1 2 1xx＋x2 2 2 x111＋x2 1x＋x22 1 ＋x ∴0< <1. ∴0< 222 x1＋x22 22 <1. 又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴0< <1. ∴0< 22 <1. ∴0< <1. 22 ∴0< xxx11＋1＋ xxx2＋1 <1. x ＋1＋ 12＋1 又∵a≥1，∴f(x＋1 1＋1＋ x21＋1＋ 2x2)－f(x2)>0， 1 ＋1＋ 2 ＋1 x1 x2＋1 ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
函数的基本性质(讲解部分)
y轴 对称
奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 关于 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
2.奇、偶函数的性质
原点 对称
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关于原
点对称的区间上的单调性 (2)在公共定义域内,
相反 .
(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
例3 求函数f(x)=log1 (-x2-2x+3)的单调区间.
2
解题导引 先求定义域,然后拆分函数式为y=log1 u,u=-x2-2x+3,判断单调性
2
得单调区间.
解析 由已知得-x2-2x+3>0,∴-3<x<1. ∴f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.令u=-x2-2x+3.
∵u=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,y=log1 u为
§3.2 函数的基本性质 (讲解部分)
考点清单
考点一 函数的单调性及最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I.区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2
都有① f(x1)<f(x2)
都有② f(x1)>f(x2)
函数f(x)在区间D上是③ 增函数
2
(2)∵f(x)在R上单调递减,
a-1 0,
∴0 a 1,
∴
loga 2 (a-1) 2-2a,
2 ≤a<1.
2
∴a的取值范围为
2 2
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（一）函数单调性的定义1. 增函数与减函数一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，增函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。
减函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）>f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：xy 1=不能说)0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2）或 f （x 1）＞f （x 2）。
2. 函数的单调性的定义如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。
例1 观察下列函数的其图象，指出其单调性． （1）1y x x=+； （2）11y x=-；例2 指出下列常见函数的单调性： （1）y c =（c 为常数）；【析】y 不随x 的增大而改变，无单调性． （2）y ax b =+（0a ≠）；【析】0a>，函数在R 上递增；0a<，函数在R 上递减．（3）2y ax bx c =++（0a ≠）；【析】0a>，函数在(,)2b a-∞-上递减，在(,)2b a -+∞上递增；a <，函数在(,)2b a-∞-上递增，在(,)2b a-+∞上递减．（4）k y x=（0k≠）；0k >，函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递减； 0k <，函数在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递增．（5）y x =；函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增． （6）y x =．函数在(0,)+∞上递增．3. 判断函数单调性的方法和步骤（1）利用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； ②作差f （x 1）－f （x 2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性）。
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
例题分析证明：函数1()f x x=在(0,)+∞上是减函数。
证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <，则2112121211()()x x f x f x x x x x --=-=，由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x > 所以，1()f x x=在(0,)+∞上是减函数。
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3()1f x x =+的单调性。
2．根据单调函数的定义，判断函数()f x x =的单调性3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ． 2-<b 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ）A ．1=yB ．21+-=xx yC ．122---=x x yD ．21x y +=6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（ ）A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ）A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ ）A ．)2()2()3(f f f <<B ．)2()3()2(f f f <<C ．)2()2()3(f f f <<D ．)3()2()2(f f f <<（3）复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）例6 判断下列函数的单调性，并写出函数的单调区间．（1）1x y x=+；【析】111111x y x x +-==-++，其定义域为()(),11,-∞--+∞ ．令11t x =+，则1y t =-，列表如下：x→t→y(),1x ∈-∞- ↗ - ↘ - ↗ + ()1,x ∈-+∞↗-↘-↗+所以函数1x y x=+的单调增区间有(),1-∞-和()1,-+∞，无单调减区间．【注】求函数单调区间必须先求函数定义域．分式函数常采用部分分式法，使得自变量x 只出现在单个分母上．（2）2123y x x =-+；【析】()2112y x =-+，其定义域为R ．令()212t x =-+，则1y t=，列表如下：x→t→y(),1x ∈-∞ ↗ -↘ -↗ +()1,x ∈+∞↗+↗-↘-所以函数2123y x x =-+的单调增区间为(),1-∞，单调减区间为()1,+∞．【注】当函数局部出现二次函数时，可以利用配方法确定确定对应二次函数的对称轴，把定义域分成若干个区间讨论单调性．练习：（1）函数24xy -=的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．（2）5412+-=x x y 的单调递增区间为3、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数例1.下列命题正确的是（ ）A. 定义在(),a b 上的函数()y f x =，若存在12,x x (),a b ∈，使得12x x <时，有12()()f x f x <，那么()y f x =在(),a b 上为增函数.B. 定义在(),a b 上的函数()y f x =，若有无穷多对12,x x (),a b ∈，使得12x x < 时，有12()()f x f x <，那么()y f x =在(),a b 上为增函数.C. 若()y f x =在区间1I 上为减函数，在区间2I 上也为减函数，那么()y f x = 在12I I 上也一定为减函数.D. 若()y f x =在区间I 上为增函数且12()()f x f x <（12,x x I ∈）,那么12x x <.思维分析：根据单调性定义逐一判断，特别注意定义中“任意”“都有”表达的含意. 解：A 错误，12,x x 只是区间(),a b 上的两个值，不具有任意性；B 错误，无穷并不代表所有，任意；C 错误，例如函数11y x =-在()1,+∞和(),1-∞上分别递减，但不能说11y x =-在()(),11,-∞+∞ 上递减；D 正确，符合单调性的定义.故答案为D.方法点拨:函数单调性的定义是作此类题的依据.（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数 例1：判断函数4()f x x x=+在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明。
思路分析：1）题意分析：用定义证明一个分式函数在(0,2)上的单调性2）解题思路：按照用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤去做即可。
解答过程：4()f x x x=+在区间(0,2)上单调递减。
设1202x x <<<，则12()()f x f x -＝121244x x x x +--＝2112124()x x x x x x --+＝1221124()x x x x x x --。
已知1202x x <<<，所以210x x ->，1240x x ->，120x x >，所以12()()0f x f x ->，即原函数在(0,2)上单调递减。
解题后的思考：用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配方）和定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）。
（二）函数最大（小）值的定义1. 最大值与最小值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝M 那么，称M 是函数y ＝f （x ）的最大值。
一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≥M ； （2）存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝M 那么，称M 是函数y ＝f （x ）的最小值。
注意：①函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝M ； ②函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （f （x ）≥M ）。