专题25平面几何的最值问题

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专题平面几何的最值问题

专题25 平面几何的最值问题

阅读与思考

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．

2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．

3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．

例题与求解

【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为．（四川省竞赛试题）

解题思路：四边形CDME

为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．

【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）

解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．

【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．（永州市竞赛试题）

论平面几何中的极大极小值问题

（30901070 信计0901 邹祎杰）

整个世界都是天才的造物主一手创建的，以至于很难找到一件事物，其中不显示出某种极大极小的思想。

——欧拉，1934年

最大最小值问题或极大极小值问题，也许是颇有魅力的问题之一。我们每个人在工作或生活中，都有自己的问题，它们往往反映着我们的理想或愿望。

罗马人对这类问题颇感兴趣，他们铺设了一个良好的通道系统把意大利跟帝国的其他地区连接起来。因为道路畅通，罗马军队得以迅速转移，去镇压各地叛乱；但叛乱者也因此而能很快流窜至罗马。

对15世纪和16世纪的欧洲当权者来说，最短联线问题和最速连线问题变得特别重要，他们意欲寻找通往远东和新大陆的最佳路线。更快的航线就保证了盈利更多。

对我们来说，看电视或电影，我们总希望选一个看得最清楚的位置；走路，在可能的条件下，我们希望走一条最近的路，或一条“最快”的路等等。

这些实际的问题都可以简化为几何问题，通过平面几何中的极大极小值问题来解决。

我们先以最大视角问题为例：

已知一条直线l 及其同侧的两点B A,,求直线l 上的一个点0X ,使得B AX 0∠最大。

我们知道B AX 0∠的顶点在直线l 上，两边分别通过点B A,，且B AX 0∠是所有这一类角AXB ∠中的最大，者即0X 是X 的某一特定的位置。（图1）

为了弄清0X 这一点，我们从AB 的延长线同l 的焦点（图2，当l //AB 时，它是存在的）M 出发，让点X 沿l 右行。当X 在M 时，00AMB AXB =∠=∠,可是

当X 向右运动时，AXB ∠逐渐变大，变大····然后随着X 继续右行，似乎从某一位置以后，AXB ∠又逐渐变小，且随X 的无限右行，可以变得很小很小。一个量由0开始，逐渐变大····然后再逐渐变小，变为0；在这两个极端情况之间，它应当在某处达到极大。

平面解析几何中的距离和、差的最值问题

学做综合题，拆解来帮忙

作者：棋子老师

在高考中，不少题目具有一定的综合性，综合考查的类型也是多样的。今天举例讲讲多个题型叠加的综合及掌握办法。

目标问题：已知圆22:210250M x y x y +--+=，圆22:146540N x y x y +--+=，点,P Q 分别在圆M 和圆N 上，点S 在x 轴上，则）

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

【拆解A 】已知圆22:210250M x y x y +--+=，点P 在圆M 上运动，点S )1,0(，则||SP 的最大

值、最小值分别为【解析】圆M 的圆心为()1,5M ，半径1M R =，如图，连接SP 交圆M 分别于点F E 、,当点P 在圆M 上运动时，

M M R SM SF SP SE R SM +=≤≤=-||||||||||，即：

117||117+≤≤-SP ，

（当P 运动到点E 位置时||SP 最小，运到到点F 位置时||SP 最大。）

Ps:圆上的动点到某定点、某定直线等的距离的最大值、最小值问题，一般转化为圆心到该定点、定直线的距离d ，由图像易知最大、最小距离往往为r d r d -+、.

【拆解B 】

已知点)3,7(),5,1(N M ，点S 在x 轴上，则||||SN SM -的最大值为

||||SN SM +的最小值为

【解析】（1）如图1，当S N M 、、三点构成三角形时，根据“三角形

两边之差小于第三边”有：||||||MN SN SM <-，当S 运动到NM 延长

线与x 轴交点T 时，||||||MN SN SM =-，综上：102||||||=≤-MN SN SM

初中数学九年级培优讲义-专题25 平面几何的最值问题_答案

专题25 平面几何的最值问题

例1

提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝12

AC BC AB ⋅= 例2 如图，

B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝

45AB BC

⋅=cm ，BB ′＝85cm ，AE ＝()

2222045

85AB BE -=-=cm ．在△ABB ′中，由

12BB ′•AE ＝1

AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ．例3 由△APD ∽△BPQ ，得AP AD

BP BQ

，即BQ ＝()b a x AD BP AP x -⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab

≥22ab x ab x ⋅

=，∴当且仅当x ＝

即x ＝ab 时，上式等号成立．故当AP ＝ab 时，AP ＋BQ 最小，其最小值为2ab －b ．例4 ⑴22125l π=+，2

2l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路

线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()222

1244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r

＝

244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244

h π-时，22

l l <．例5 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41

242

y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝

xy ＝y (10－2y )，即S ＝－22

中考数学二轮专题复习教案：专题一 “最值问题”之专题复习——平面几何中的最值问题

专题一：“最值问题”

专题复习——平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

（1）应用几何性质：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长。

（2）运用代数证法：

①运用配方法求二次三项式的最值；

②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

例2、已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？

分析: 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．

例3、如上右图是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？

例4、已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大？

分析因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A 重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．

12.平面几何的最值问题(教师版)

较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．
解： ⑴ l12 25 2 ， l22 ＝49，l1＜l2，故要选择路线 l 较短．
⑵ l12 h2 r 2 ， l22 h 2r 2 ， l12 l22 r 2 4 r 4h ．
当
r＝
4h 2
4
时， l12
l22
，
当
r＞
4h 2
y＝－ 1 （x－2）2＋1（0＜x＜4）. 4
当 x＝2 时, y 最大值＝1cm.
（2）由 1 ＝－ 1 （x－2）2＋1， 44
得 x＝（2＋ 3 ）cm 或（2－ 3 ）cm.
8. 当过 A，B 两点的圆与 x 轴正半轴相切时，切点 C 为所求. 作 O′D⊥A B 于 D.，
O′D 2＝ O′B 2－B D 2＝ (a b)2 － (a b)2 ＝ab，O′D＝ ab
GF∥AB，则梯形 DEFG 面积的最大可能值为
．
（上海市竞赛试题）
5. 已知边长为 a 的正三角形 ABC，两顶点 A，B 分别在平面直角坐标系的 x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点
C 在第一象限，连结 OC，则 OC 的最大值是
．
（潍坊市中考试题）
6．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+ PD 取

例析平面向量的最值问题的几种解法

高一使用2021年5月

例析平面向量的最值问题的几种解法

■刘长柏

1I 平面向量融合了代数、几何及三角函数

等知识，在求其最值时，解题方法呈现出多样性。下面对平面向量的最值问题的解法进行归纳，意在"抛砖引玉”

—、基底法

以基底法为导向，选择恰当的向量作为基底，用基底表示出所有相关向量，将向量问题化归为基底问题来解决。

例1在平面直角坐标系j：Oy中，点A, BN在圆x2+y2=1上运动，且AB l BC,若点p的坐标为(2,)则i n A+NB+NN 的最大值为()。

A.6

B.7

C.8

D.9

解：由AB l BC,可知AC是圆O的直径。因为p B=P A+OB?P A+PN=2P(5,所以 p A+p B+p N=2P(5+p B= 3PO+o B C3p O+o B=7,当且仅当p O,o B同向时等号成立。应选B。

评析：本题通过选择合适的基底向量，把三个动向量问题转化为一个动向量问题求解的。利用基底法解决问题时，首先需要考虑的是如何选择基底。

练习1已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(一2,0),0为坐标原点，则AO•a N的最大值为。

提示：由题意可得，a O・a N=A N・(AO+ON)=A O+AO・ON=A O+ |AO||ON|cos(n—Z AOP)W A0‘+l AO•O N=6,当且仅当a O,o N同向时等号成立，所以a O-a N的最大值为6。

二、坐标系法

利用坐标系法解题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，把所求问题中的各个量用向量表示出来，然后运用向量的坐标运算法则来解决。

初中数学竞赛：平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．

例1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？

分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB ∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R 的最大值即可．

解作DE⊥AB于E，则

x2=BD2=AB·BE

＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，

所以

所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．

-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，

上式只有当x=R时取等号，这时有

所以2y=R=x．

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．

例2 如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？

分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有

2x+2y+πx=8，

若窗户的最大面积为S，则

把①代入②有

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．

例3 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？

分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．

(完整)八年级平面几何最值问题

八年级平面几何最值问题

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用其它知识求最值。

1、如图，在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是。

2、如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm 。

3、在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是．

4、如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 _ ．

5、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为【】

A ． 1

B ．3

C ． 2

D ．3＋1 6、如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，

点B 的坐标为【】

A.（0，0）

B.（2

1-，21

-） C.（22，22-） D.（22-，22-）

7、如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为【】 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

专题25 平面几何的最值问题

例题与求解

【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为．

解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．

【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）

【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a >)，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．（永州市竞赛试题）

A B

解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 22

2≥+或a +b ≥2ab

（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值．【例4】阅读下列材料：

问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线．小明设计了两条路线：

平面几何中的最值问题

最值问题的解决方法通常有两种：

1、应用几何性质：

①三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点之间，线段最短；

③垂线段最短；

④定圆中，直径最长。

2、运用代数证法：

①运用配方法②运用判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

例2、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使|PA-PB|最大。

已知AB是半圆的直径，AB=10,如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？

2 .如图是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得

出最大面积，使得窗户透光最好？

几何的定值与最值

基本方法是：分清定量和变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．

求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法；

2．几何定理(公理)法；

3．数形结合法等．

【例1】如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．

思路点拨如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，

DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2

1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x -10，从代数角度探求CD 的最小值．

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：

(1)中点处、垂直位置关系等；

2020中考数学几何培优-平面几何的最值问题(含详解版)

2020中考数学几何培优:平面几何的最值问题（含答案）

1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是．

2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． 3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是．

4. 在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为．

第4题图

第1题图第3题图第5题图第6题图

5．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) A ．42

B ．4.75

C ．5

D ．4.8

6．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( )

A ．12

B ．4π

C ．62

D ．63

7．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( )

A ．80°

B ．100°

C ．120°

D ．140°

8．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( )

初中几何最值问题的常用解法

初中几何最值问题的常用解法有以下几种：

1. 利用图形的性质和特点：根据所给的几何图形，利用其性质和特点推导出最值问题的解答。例如，利用等腰三角形的性质，可以求解最短路径问题；利用圆的性质，可以求出最大面积问题等。

2. 利用相似三角形：当给定的几何图形不易直接求解时，可以通过构建相似三角形来求解最值问题。通过建立相似三角形的比较关系，可以求得所需的未知数，并得到最值问题的解答。

3. 利用变量法：将所给的几何图形进行变量代换，将问题转化为代数问题。通过对新的代数表达式进行求导或求极值的方法，可以求解最值问题。

4. 利用平面几何基本定理：平面几何基本定理是初中几何学中的核心理论，其中包括了如角等分线定理、平行线性质定理、正弦定理、余弦定理等。利用这些定理，可以有效地解决几何最值问题。

总之，初中几何最值问题的解决方法需要深入理解几何图形的性质和运用几何定理，同时也需要灵活运用代数方法和应用数学思维来解决问题。

2019年中考二轮专题复习《平面几何最值问题的解法》教学案

平面几何最值问题的解法

平面几何的最值问题多为在存在动点或者不确定的位置关系的情况下求最值，有两种解题思路，一个是通过几何图形的性质实现对位置的确定，另一个是通过数量关系实现最值问题的解答. 一、利用对称性质，实现问题简单化

图形经过某一点或者轴对称之后，就会有很多固有的由对称产生的等量关系，不同的对称性(如中心对称、轴对称等)也有独特的对称性质.合理地利用相应的性质会使问题得到简化，这会给解题带来很大的帮助.

例1 在如图所示的平面直角坐标系中，在:轴的正半轴上有一点A ，B 的坐标为，点C 的坐标为1(,0)2

，三点构成直角三角形OAB ，斜边OB 上有一个动点P ，求PA PC +的最小值.

解析我们利用对称的性质，会使解题息路得到转化.如右图所示，以OB 为轴，作点A 的对称点D ，连接AD 交OB 于点M .有AP DP =恒成立.利用三角形关系中两边之和大于第三边可得出当P 在DC

连线上时取得最小值，即为图中所示的情形，只要求出CD 的长即可.根据B 点坐标可求出AB =，

OB =由三角形面积不同求法间的等量关系可得出32AM =

.故13

AN AD ==，由C 点坐标可求

出1CN =.由勾股定理可求出2

DC =

，此值即为所求PA PC +的最小值. 点拨本题中是作直线的对称点，实现直线同侧点到异侧点的转化，这是我们在解题中常遇到的情况以及常见的解题方法.对称性的应用注重于问题的解题技巧，目的是通过对称性使复杂的问题简单化. 二、构造不等关系，巧用基本不等式

对于平面几何问题，不等关系的构造是离不开几何图形本身的数量关系的.想要利用基本不等式求解，学生需要在图形中找出满足不等式的条件，这不光对于学生的平面几何知识有考查，还要学生深入理解不等式的相关知识.

初中数学几何最值专题25：胡不归最值(最全修正版)

最值系列之“胡不归”问题

PA+kPB 解决策略之一

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN 上运动的速度为V2，且V1<V2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使

AC BC

V V +的值最小．

【问题分析】

121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛

⎫++ ⎪⎝⎭

，记12V k V =，

即求BC+kAC 的最小值．

驿道

构造射线AD 使得sin ∠DAN=k ，

k AC

，CH=kAC ．

将问题转化为求BC+CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB ”型问题转化为“PA+PC ”型．

而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．

M M

解析提示：

总结：

例2、如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80km/h，而在草地上的最快速度是40km/h，则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.

中考专题复习——几何最值问题

中考数学专题复习—几何最值问题

一、知识点睛

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：

（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；

（2）应用垂线段最短的性质求最值；

（3）应用轴对称的性质求最值；

（4）应用二次函数求最值；

（5）应用其它知识求最值。

一般处理方法：

常用定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点时）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）

二、考点剖析，分类探究

（一）线段之和最小问题

P A

+PB 最小，需转化，使点在线异侧

B l

1. （2014年贵州南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A(1,0)，B(2,0)是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为_____ 。

（二）线段之差最大问题

2.（2013年江苏省宿迁市）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0,1），B（1,2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是_____ 。

（三）应用垂线段最短求最值问题

3.（2014年葫芦岛）如图，矩形ABCD中，点M是CD的

中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM

的最小值是_____ 。

（四）图形周长最值问题

4. (2015年盘锦）如图，菱形ABCD的边长为2，∠

DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，

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