2018年中考数学复习 第5单元 四边形 第24课时 矩形、菱形、正方形检测 湘教版

课时训练(二十四)矩形、菱形、正方形|夯实基础|一、选择题1．[2017·益阳]下列性质中菱形不一定具有的性质是( )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．[2017·兰州]如图K24－1，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( ) A．5 B．4C．3.5 D．3K24－1K24－23．[2017·河南]如图K24－2，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有( )A．AC⊥BD B．AB＝BCC．AC＝BD D．∠1＝∠24．[2015·资阳]若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( ) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形5．[2017·南充]已知菱形的周长为4 5，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A．2 B. 5 C．3 D．46．[2017·临沂]如图K24－3，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B、C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )图K24－3A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形7．[2017·呼和浩特]如图K24－4，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点．若AE＝5，∠EAF＝135°，则以下结论正确的是( )图K24－4A ．DE ＝1B ．tan ∠AFO ＝13C ．AF ＝102D ．四边形AFCE 的面积为94二、填空题8．[2016·南充]如图K24－5，菱形ABCD 的周长是8 cm ，则AB 的长是________ cm.图K24－5K24－69．[2016·内江]如图K24－6，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE ＝________．10．[2017·兰州]在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与DB 相交于点O.要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB ＝AD ；②AB＝BD ，且AB⊥BD；③OB＝OC ，且OB⊥OC；④AB＝AD ，且AC ＝BD.其中正确的序号是：________．11．[2017·黄冈]如图K24－7，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠BED＝________度．K24－7K24－812．[2017·常德]如图K24－8，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上，若设AE ＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为________．图K24－913．[2017·义乌]如图K24－9为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为________m.三、解答题14．[2017·自贡]如图K24－10，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.图K24－1015．[2017·盐城]如图K24－11，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．图K24－1116．[2017·张家界]如图K24－12，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△B GF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．图K24－12|拓展提升|17．[2017·杭州]如图K24－13，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF ⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．图K24－13参考答案1．C [解析] 菱形的对角线互相平分、垂直、且每一条对角线平分一组对角，菱形是轴对称图形又是中心对称图形，菱形的对角线不一定相等．因此选C.2．B [解析] 由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC ＝BD ，OC ＝12AC.已知∠ADB＝30°，故在直角三角形ABD中，BD ＝2AB ＝8，AC ＝BD ＝8，OC ＝12AC ＝4，故选B.3．C [解析] 选项A ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)；选项B ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ，∴▱ABCD 是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)； 选项C ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)；选项D ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠1＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠ACB ＝∠2，∴AB ＝BC ，∴▱ABCD 是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)，故答案为C.4．D5．D [解析] ∵菱形的四条边相等，周长为4 5，∴菱形的边长为 5.设菱形的两条对角线的长分别为x ，y ，则x ＋y ＝6①，（x 2）2＋（y 2）2＝5，即x 2＋y 2＝20②.①2－②，得2xy ＝16.∴xy＝8.∴S 菱形＝12xy ＝4.故选D.6．D [解析] 根据DE∥AC，DF ∥AB ，可证明四边形AEDF 是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF 是矩形，所以A 错误；若AD 垂直平分BC ，可以判定四边形AEDF 是菱形，所以B 错误； 若BD ＝CD ，无法判定四边形AEDF 是菱形，所以C 错误；若AD 平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，所以AF ＝DF ，又因为四边形AEDF 是平行四边形，所以四边形AEDF 是菱形，故D 正确．7．C [解析] ∵四边形ABCD 是边长为1的正方形，∴对角线互相垂直平分，AO ＝OD ＝22，∴在Rt △AOE 中，OE＝3 22，DE ＝OE －OD ＝2，∴A 选项错．∵∠EAF＝135°，∠ADO ＝45°，∴∠ADE ＝135°，∴△AFE ∽△DAE ，∴DE AE ＝AD AF ＝AE FE ＝25，∴AF ＝102，C 选项正确．∴在Rt △AOF 中，OF 2＝AF 2－AO 2，∴OF ＝2，∴tan ∠AFO ＝AO OF ＝12，∴B 选项错．EF ＝OF ＋OE ＝5 22，四边形AFCE 的面积＝12EF·AC＝12×5 22×2＝52，∴D 选项错误．8．2 9.125 [解析] 在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ＝3，OA ＝OC ＝12AC ＝4，由勾股定理得BC ＝32＋42＝5.∵OE⊥BC，∴12OE·BC＝12OB·OC，∴OE ＝3×45＝125. 10．①③④ [解析] ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD 为平行四边形的对角线，AB 为平行四边形的一条边，所以AB ＝BD 时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形．由OB ＝OC ，得AC ＝BD ，由OB⊥OC 得AC⊥BD，即四边形ABCD 为正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的菱形是正方形．依题意在平行四边形ABCD 中，由AB ＝AD ，得四边形ABCD 为菱形，又∵AC＝BD ，∴四边形ABCD 为正方形，即④正确．11．45 [解析] 由题意得，AB ＝AE ，∠BAD ＝90°，∠DAE ＝∠AED＝60°.所以∠BAE＝150°，∠AEB ＝15°.所以∠BED＝∠AED－∠AEB＝60°－15°＝45°.12．y ＝2x 2－4x ＋4 [解析] 由题中条件可知，图中的四个直角三角形是全等三角形，设AE ＝x ，则DE ＝2－x ，AF＝DE ＝2－x ，在Rt △AEF 中，由勾股定理可得EF 2＝(2－x)2＋x 2＝2x 2－4x ＋4，即正方形EFGH 的面积为2x 2－4x ＋4.13．4600 [解析] 连接GC ，由四边形ABCD 为正方形可得△ADG≌△CDG，所以GC ＝AG ，由四边形GECF 为矩形可得GC ＝EF ，所以EF ＝AG ，小敏行走的路线为B→A→G→E，所以BA ＋AG ＋GE ＝3100.小聪行走的路线为B→A→D→E→F，所以BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝BA ＋1500＋GE ＋AG ＝3100＋1500＝4600(m)．14．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠A ＝∠C，AB ＝CB. 在△AFB 和△CEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CE ，∠A ＝∠C，AB ＝CB ，∴△AFB ≌△CEB ，∴∠ABF ＝∠CBE.15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，BC ∥AD.∴∠ABD＝∠CDB. ∵BE 平分∠ABD，DF 平分∠CDB，∴∠EBD ＝12∠ABD，∠FDB ＝12∠CDB.∴∠EBD ＝∠FDB.∴BE∥DF. 又∵BC∥AD，∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF 是菱形．理由如下： ∵BE 平分∠ABD，∠ABE ＝30°， ∴∠ABD ＝60°，∠DBE ＝30°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠ADB ＝90°－∠A BD ＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE ＝∠ADB.∴DE＝BE. ∵四边形BEDF 是平行四边形， ∴四边形BEDF 是菱形．16．解：(1)证明：∵EF 是AB 的垂直平分线， ∴AG ＝BG.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ， ∴∠AEG ＝∠BFG，∠EAG ＝∠FBG，在△AGE 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEG＝∠BFG，∠EAG ＝∠FBG，AG ＝BG ，∴△AGE ≌△BGF(AAS)．(2)四边形AFBE 是菱形．理由如下： ∵△AGE ≌△BGF ，∴AE ＝BF ，又AD∥CF，∴四边形AFBE 是平行四边形， 又AB⊥EF，∴四边形AFBE 是菱形．17．解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2.理由如下：连接GC ，由正方形的性质知AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG. 在△ADG 和△CDG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，GD ＝GD ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°， ∴四边形GFCE 是矩形，∴GF ＝EC.在Rt △GEC 中，根据勾股定理，得GC 2＝GE 2＋EC 2，∴AG 2＝GE 2＋GF 2.(2)作AH⊥BD 于点H ，由题意知∠AGB＝60°，∠ABG ＝45°，∴△ABH 为等腰直角三角形，△AGH 为含30°角的直角三角形． ∵AB ＝1，∴AH ＝BH ＝22，HG ＝66，∴BG ＝22＋66＝3 2＋66.。