2018数学复习-第九章 解析几何 (四十四) 直线与圆、圆
高三数学直线与圆知识点复习
高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一，而高三阶段的数学更是难度系数加大。
在高三数学课程中，直线与圆是一个非常重要的知识点。
下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。
1. 直线方程在平面直角坐标系中，直线可以用一般式或点斜式方程表示。
一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1)，其中(k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线为水平线，斜率不存在表示直线为竖直线。
2. 圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用标准方程表示。
标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的方程中，圆心对圆的性质起着重要作用。
圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置，半径r则决定了圆的大小。
3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系，可以分为以下几种情况：- 直线与圆相切：直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点，此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。
- 直线与圆相离：直线与圆相离表示直线与圆没有交点，此时直线的斜率与半径的斜率不相等。
- 直线与圆相交：直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。
- 直径：直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段。
直径的长度等于圆的半径的两倍。
4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时，可以通过以下几种方法求解：- 列方程求解：将直线和圆的方程列出，根据方程求解交点的坐标。
- 利用性质求解：根据直线和圆的性质，通过几何推理求解交点的坐标。
5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定两条直线是否相交，以确保结构的稳定性。
在电子设备设计中，我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交，以确保电子元件的正常工作。
高中数学的归纳解析几何中的直线与圆
高中数学的归纳解析几何中的直线与圆归纳解析几何是高中数学中的重要内容之一，其中直线与圆的相关知识是基础中的基础。
本文将通过对直线与圆的性质、相交关系、切线等方面进行深入解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、直线与圆的基本性质在归纳解析几何中，直线与圆的基本性质对于问题的解决至关重要。
下面我们来一一介绍。
1. 直线的方程与斜率直线的方程是解析几何中的重要内容，它可以帮助我们描述直线的特征和性质。
在数学中，直线可以通过斜率和截距表示，也可以通过两点之间的关系表示。
学习直线的方程，能够帮助我们快速而准确地确定直线的位置和性质。
2. 圆的方程与性质圆是解析几何中的基本图形，其方程和性质也是我们需要掌握的知识点。
圆的方程可以通过圆心和半径表示，也可以通过两点之间的关系表示。
学习圆的方程和性质，可以帮助我们解决与圆相关的问题，如圆的切线、切点等。
二、直线与圆的相交关系直线与圆的相交关系是归纳解析几何中的重要内容，也是解决问题时常遇到的情况。
根据相交的情况，我们可以分为三种情况：相离、相切和相交。
1. 直线与圆相离当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称它们相离。
直线与圆相离时，我们需要确定直线与圆的位置关系，可以使用距离公式和判别式等方法来判断两者之间的相对位置。
2. 直线与圆相切当一条直线与一个圆恰好有一个公共点时，我们称它们相切。
直线与圆相切时，我们需要确定点的坐标和直线的斜率等信息，通过代入方程求解可以得到相切点的坐标。
3. 直线与圆相交当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称它们相交。
直线与圆相交时，我们需要利用直线和圆的方程进行联立方程求解，从而得到相交点的坐标。
三、直线与圆的切线直线与圆的切线是归纳解析几何中的一个重要概念，解决与切线相关的问题时，我们需要考虑直线与圆的相对位置和切线的特征。
1. 直线与圆的切线存在条件直线与圆的切线存在的条件是直线的斜率与圆的切点处切线的斜率相等。
我们可以通过斜率公式和圆的方程来求解切线存在的条件。
解析几何中的直线和圆
解析几何中的直线和圆引言：解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形与坐标系的关系。
其中，直线和圆是解析几何中最基本的图形，它们在几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。
本文将对解析几何中的直线和圆进行深入解析，探讨它们的性质、特点以及应用。
一、直线的性质与表示方法1. 直线的定义直线是两点之间的最短路径，它没有宽度和长度。
在解析几何中，直线可以用一元一次方程表示，即y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
2. 直线的斜率直线的斜率是直线上两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率可以用来描述直线的倾斜方向和程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线水平。
3. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点坐标。
直线与x轴的交点称为x截距，直线与y轴的交点称为y截距。
直线的截距可以通过方程的形式直接读出。
4. 直线的性质直线的性质包括平行、垂直、相交等。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1；两条直线相交的条件是它们的斜率不相等。
二、圆的性质与表示方法1. 圆的定义圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的方程圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
标准方程是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
3. 圆的性质圆的性质包括切线、弦、弧等。
切线是与圆相切且与圆的半径垂直的直线；弦是圆上任意两点之间的线段；弧是圆上两点之间的弯曲部分。
圆的切线与半径的夹角是直角。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系包括相离、相切和相交。
当直线与圆没有交点时，它们相离；当直线与圆有且仅有一个交点时，它们相切；当直线与圆有两个交点时，它们相交。
九年级数学直线与圆知识点
九年级数学直线与圆知识点九年级数学中，直线与圆是一个重要的知识点。
下面是关于直线与圆的一些基本概念和性质：1. 圆的定义：圆是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：- 圆心：圆心是固定点，通常用字母O表示。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心的两个互相垂直的线段，且长度等于圆的直径，通常用字母d表示（d=2r）。
- 弦：圆上两点之间的线段称为弦。
- 弧：圆上两点之间的部分称为弧。
- 弧度制：角度的度量单位，用符号“rad”表示。
- 圆周长：圆的周长又称为周长，用符号C表示（C=2πr）。
- 圆面积：圆的面积用符号S表示（S=πr²）。
3. 直线与圆的性质：- 直线与圆的位置关系：直线可以与圆相切、相交、或者不相交。
- 直线与圆的判定：（1）切线的判定：直线与圆相切的条件是直线与圆只有一个公共点，即直线与圆只有一个交点。
（2）相交线的判定：直线与圆相交的条件是直线与圆有两个交点。
- 弦的性质：（1）直径是最长的弦。
（2）与同一圆相交的两个弦，如果它们的长度相等，则它们所对应的圆心角的度数也相等。
（3）圆内接弦所对圆心角的度数是圆上任意两点确定的圆心角的度数的一半。
（4）圆心角相等的两个弧所对应的弦的长度相等。
- 切线与半径的性质：（1）切线与半径相垂直。
（2）切线上的切点与圆心和切点的半径构成一个直角三角形。
（3）半径平分切线上的两个切点所夹的弧。
（4）从圆外一点引圆的切线，它的切点到该点的连线与切点到圆心的连线垂直。
这些是九年级数学中关于直线与圆的基本知识点和一些性质，希望对你有帮助。
2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系理
第九章 解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ³ ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( ³ )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ³ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离答案 B解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2³1－2－5|22＋1＝5<6且2³1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016²全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1³a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 3．(2016²西安模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋ －12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．(2016²黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为 3－2 2＋ 4＋3 2－1－3＝52－4.5．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为________． 答案 94解析 由两圆外切可得圆心(a ，－2)，(－b ，－2)之间的距离等于两圆半径之和， 即(a ＋b )2＝(2＋1)2，即9＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 所以ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab 的最大值是94.题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定(2)(2016²江西吉安月考)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ²0＋b ²0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．(2)直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2³1＋4³(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内．直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．答案 相切解析 由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a ＋b 2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan θ2＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切． 题型二 圆与圆的位置关系例2 (1)(2016²山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离(2)(2017²重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________． 答案 (1)B (2)(－22，0)∪(0,22) 解析 (1)∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝ 1－0 2＋ 1－2 2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2.∴a∈(－22，0)∪(0,22)．思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－1 2＋ 6－3 2＝11＋61－m，解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为2 11 2－ |4³1＋3³3－23|42＋322＝27.题型三直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3 (2016²全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________.答案 4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝23，|AB|＝23，所以|OM|＝3，解得m＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4.命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015²课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →²ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4 1＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →²ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k 1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015²课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N两点，则|MN |等于( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)， 则AB →²BC →＝3³(－3)＋(－1)³(－9)＝0， 所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径， 得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26， 所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32， 故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015²湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大． 此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33)． 答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015²重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)． ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2³0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.答案 (1)C (2)A1．(2017²广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 答案 C解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9.3．(2016²南昌二模)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )． 化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2016²泰安模拟)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．6．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△PAB 面积的最大值是( ) A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6 答案 C解析 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1. 由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1， 即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322， 点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1， ∴△PAB 面积的最大值为12³22³32＋22＝3＋2，故选C. 7．(2016²全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.8．(2016²天津四校联考)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案 22解析 ∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l . ∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22. 9．(2015²山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →²PB →＝________.答案 32解析 由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →²PB →＝|PA →||PB →|²cos∠APB ＝3³3³cos 60°＝32. 10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)． N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆．再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．当半圆和圆相外切时，由|OO ′|＝2＝2a ＋a ，求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由|OO ′|＝2＝2a －a ，求得a ＝22＋2，故a 的取值范围是[22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.*13.(2016²湖南六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a,0)(a >－52)， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1 ，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k ＋1，x 1x 2＝k 2－4k ＋1.若x轴平分∠ANB，则k AN＝－k BN⇒y1x1－t＋y2x2－t＝0⇒k x1－1x1－t＋k x2－1x2－t＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2 k2－4k2＋1－2k2 t＋1k2＋1＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。
数学解析几何中的直线与圆
数学解析几何中的直线与圆直线和圆是数学解析几何中的重要概念，它们在平面几何中具有广泛的应用。
直线是由无数个点无限延伸而成的，而圆则是平面上一组与给定点等距离的点的集合。
本文将介绍直线和圆的基本性质、方程和相互关系，并探讨它们在解析几何中的应用。
一、直线的性质和方程在解析几何中，直线通常是通过表示其上的点的坐标来进行研究的。
设平面上一点的坐标为(x, y)，则直线可表示为y = kx + b的形式，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
直线的斜率是直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差，即k= (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
当直线过点(0, b)时，b为直线的截距，可表示为y = kx + b = mx，其中m = k + b。
直线的斜率可以判断直线的方向，当斜率k为正数时，直线向右上方倾斜；当斜率k为负数时，直线向右下方倾斜；当斜率k为0时，直线平行于x轴；当斜率不存在时，直线平行于y轴。
二、圆的性质和方程圆是平面上与给定点（圆心）等距离的点的集合。
圆的性质包括圆心、半径和直径等。
圆心是圆上任意一点到圆心的线段的中点，通常表示为点O。
圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，即直径的长度为两倍的半径，通常用字母d表示。
圆可以通过圆心和半径来表示，圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标。
若圆心为原点(0,0)，则圆的方程为x² + y² = r²。
三、直线与圆的位置关系在解析几何中，直线和圆之间有多种可能的位置关系，包括相切、相离和相交。
下面将详细介绍每种情况：1. 相切：当直线只与圆相切于一个点时，我们称其为切线。
切线与圆的切点与切线垂直。
在数学上，判断直线与圆相切的条件是直线的斜率等于圆心到直线的距离除以半径的负倒数。
高中数学的解析解析几何中的直线与圆
高中数学的解析解析几何中的直线与圆解析几何是数学中的一个分支，研究平面或空间中的几何图形，通过代数方法进行分析和解决几何问题。
其中，直线与圆是解析几何中的两个基本概念，对于高中数学来说，理解和掌握直线与圆的性质和解析表达是非常重要的。
本文将对高中数学中直线与圆的解析解析进行探讨。
一、直线的解析解析在平面直角坐标系中，直线可以通过方程的形式进行解析表达。
假设直线的方程为y=ax+b，其中a和b为常数。
根据这个方程，我们可以得到直线的性质。
1. 斜率与倾斜角直线方程中的a称为直线的斜率，表示直线与x轴的夹角的正切值。
当a大于0时，直线向右上方倾斜；当a等于0时，直线平行于x轴；当a小于0时，直线向右下方倾斜。
根据直线的斜率可以得到直线的倾斜角。
2. 截距直线方程中的b称为直线的截距，表示直线与y轴的交点的纵坐标。
通过截距可以确定直线在y轴上的位置。
3. 与坐标轴的交点根据直线方程，当x=0时，可以得到直线与y轴的交点；当y=0时，可以得到直线与x轴的交点。
这些交点可以帮助我们确定直线在坐标系中的位置。
二、圆的解析解析圆是平面上一组到圆心距离相等的点构成的几何图形。
在解析几何中，圆也可以通过方程的形式进行解析表达。
1. 标准方程在平面直角坐标系中，圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
通过圆的标准方程，可以得到圆的性质。
2. 与坐标轴的交点根据圆的标准方程，当x=a时，可以得到圆与y轴的交点；当y=b 时，可以得到圆与x轴的交点。
这些交点可以帮助我们确定圆在坐标系中的位置。
3. 切线与法线根据圆的性质，可以得知圆上每一点处的切线与通过该点的半径垂直。
因此，我们可以通过圆的解析解析，求得切线和法线方程。
三、直线与圆的关系直线与圆在解析几何中有着密切的联系，可以通过直线与圆的方程来研究它们之间的相互位置关系。
1. 相交若直线与圆有交点，可以通过直线方程与圆的方程联立解方程组，求得交点的坐标。
【K12教育学习资料】课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系
§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示►1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考点1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：________、________、________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.答案：(1)相交相切相离(2)①相交相切相离②相交2r2－d2相切 相离(1)[教材习题改编]圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交过圆心D ．相离 答案：B解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________． 答案：x －3y ＋2＝0解析： 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上． 易知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0， ∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33， ∴切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点(2,3)作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为________． 答案：5x －12y ＋26＝0或x －2＝0解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x －2＝0. 当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以切线方程为y －3＝512(x －2)，即5x －12y ＋26＝0.综上可知，切线方程为5x －12y ＋26＝0或x －2＝0.[典题1] (1)[2017·湖北七市联考]将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 [答案] B[解析] 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．(2)[2017·陕西西安一模]直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[答案] B[解析] 解法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9， 故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3， 圆心到直线的距离d ＝a ＋－a －＋2a |a ＋2＋a －2＝|2a ＋2|2a 2＋2. 再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1， 而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0， 故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交． 解法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )， 整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．(3)已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. ①求证：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； ②求直线l 被圆C 截得的最短弦长． 解法一：①[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －2＋y ＋2＝12消去y ，得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． ②[解] 设直线与圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34；当t ≠0时，因为k ∈R ， 所以Δ＝16－4t (t －3)≥0， 解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.则直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.解法二：①[证明] 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝r ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．②[解] 由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点， 由勾股定理知，|AB |＝212－5＝27， 即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.[点石成金] 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点2 切线、弦长问题[教材习题改编]过点P (1,0)的直线l 被圆O ：(x －1)2＋(y －1)2＝1截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．答案：1或－1解析：点P (1,0)在圆O 上，而圆O 的半径为1，由图(图略)可知直线l 的斜率为1或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________． 答案：2 3解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|0＋3×0－2|12＋32＝1， 则|AB |＝222－12＝2 3.2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．过点P (－1,0)作圆(x －1)2＋y 2＝1的切线，则切线方程是________． 答案：y ＝±33(x ＋1) 解析：作出图形(图略)，可知过点P (－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°， 所以切线方程为y ＝±33(x ＋1).[典题2] (1)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则圆的半径 r ＝|a ＋1|， 圆心(a,0)到y ＝x ＋1的距离为|a ＋1|2，由截得的弦长为22，得|a ＋1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋2，解得a ＝－3，所以过圆心且与 l 平行的直线为 y －0＝x ＋3，即x －y ＋3＝0. (2)已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. ①求过点P 的圆C 的切线方程；②求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意，得圆心C (1,2)，半径r ＝2. ①∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22－1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. ②∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时， 直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝－2＋－2＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1. [点石成金] 1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .[提醒] 若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则过点M 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. [提醒] 代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.[2017·重庆调研]过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)． 过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－－＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.2．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为 5. 由题意可设切线方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径， 即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点P ，Q 的坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，由两点间的距离公式得|PQ |＝4.考点3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).12121212d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解(1)[教材习题改编]圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4与圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________．答案：相交解析：两圆圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,1)， 半径长分别为r 1＝2，r 2＝3. ∵|O 1O 2|＝[2－－2＋－2＝17，3－2<17<3＋2，∴两圆相交．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 答案：2 2解析：由 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2， 所以所求弦长为2 2.两圆相切：注意是内切还是外切．若两圆x 2＋y 2＝1与(x －a )2＋(y ＋a )2＝4(a >0)相切，则a ＝________.答案：22或322解析：两圆的圆心距为2a ，半径分别为r 1＝1，r 2＝2. 当两圆内切时， 2a ＝2－1＝1，得a ＝22； 当两圆外切时， 2a ＝2＋1＝3，得a ＝322.[典题3] 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94 D ．2 3[答案] C[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.[题点发散1] 把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切，得a ＋b2＋－2＋2＝1.即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立， 故ab 的最大值为14.[题点发散2] 把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①，得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．[题点发散3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离， 故a ＋b2＋－2＋2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．[点石成金] 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案：B解析：两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．2．过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． [易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10答案：C解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴ 圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴ |MN |＝46，故选C.3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案：C解析：∵直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴ 2＋a －1＝0，∴ a ＝－1， ∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴ |AB |2＝40－4＝36. ∴ |AB |＝6.4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案：4解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案：(x －1)2＋y 2＝2解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用[典例] 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．[审题视角] 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．[解析] 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示．由题意，得|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为 |0－－＋1|12＋22＝5，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内， 故|PQ |的最小值为5－1. [答案] 5－1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题．。
(江苏专用)2018高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第44课 两条直线的位置关系教师用书
第44课 两条直线的位置关系[最新考纲]1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离d ＝x 2－x 12＋y 2－y 121．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)若点P ，Q 分别是两条平行线l 1，l 2上的任意一点，则P ，Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于________． 2－1 [由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.]3．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． (2，－2) [直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．]4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 2 [由aa －3＝－2，得a ＝2.]5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．823[由l 1∥l 2，得a (a －2)＝1×3， ∴a ＝3或a ＝－1.但a ＝3时，l 1与l 2重合，舍去，∴a ＝－1，则l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0.故l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823.]12x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的________条件. 【导学号：62172240】(2)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为________． (1)充分不必要 (2)2x ＋y －1＝0 [(1)当a ＝1时，显然l 1∥l 2， 若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0， 所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． (2)直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，从而所求直线的斜率为－2.又直线过点P (－1,3)，所以所求直线的方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.][规律方法] 1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．[变式训练1] 已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为________．－10 [∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.]l的方程为________．(2)过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程. 【导学号：62172241】(1)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.](2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，则直线l 与l 2的交点B (6－x 0，－y 0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，6－x 0－y 0＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝113，y 0＝163，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，从而直线l 的斜率k ＝163－0113－3＝8， 直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．[变式训练2] 若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且AB ＝5，求直线l 的方程．[解] ①过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时AB ＝5，即直线l 的方程为x ＝1.②设过点A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －，得x ＝k ＋7k ＋2且y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则l 与l 1平行)．则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.又A (1，－1)，且AB ＝5， 所以⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34.因此y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.(1)________． (2)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程是________．(1)y ＝2x －3 (2)10x －3y ＋8＝0 [(1)法一：在直线l 上任取一点P ′(x ，y )，其关于点(1,1)的对称点P (2－x,2－y )必在直线y ＝2x ＋1上，∴2－y ＝2(2－x )＋1，即2x －y －3＝0. 因此，直线l 的方程为y ＝2x －3.法二：由题意，l 与直线y ＝2x ＋1平行，设l 的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，∴|2－1＋c |22＋1＝|2－1＋1|22＋1，解得c ＝－3. 因此所求直线l 的方程为y ＝2x －3.法三：在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点M (2,1)，B 关于点(1,1)对称的点N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3.(2)作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.][迁移探究1] 在题(1)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点”，则结果如何？[解] 设点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为A ′(a ，b )， 则AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 2，1＋b 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2＝2×1＋a2＋1，b －1a －1×2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝95，故点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95. [迁移探究2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x －y ＝0对称”，则结果如何？[解] 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于直线x －y ＝0的对称点为M (1,0)，点B 关于直线x －y ＝0的对称点为N (3,1)，∴根据两点式，得所求直线的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．[变式训练3] 直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＋y －2＝0对称的直线方程是________． 2x －y －1＝0 [由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0的交点坐标为(1,1)． 在直线x －2y ＋1＝0上取点A (－1,0)，设A 点关于直线x ＋y －2＝0的对称点为B (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m ＋1－＝－1，m －12＋n 2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.故所求直线的方程为y －13－1＝x －12－1，即2x －y －1＝0.][思想与方法]1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．[易错与防范]1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．课时分层训练(四十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．3 [因为线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.]2．(2016·北京高考改编)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为________． 2 [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为|－1－0＋3|12＋－2＝22＝ 2.]3．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于________． 1 [由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12×1a＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1.]4．(2017·苏州模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α的值为________． 45[依题设，直线l 的斜率k ＝2， ∴tan α＝2，且α∈[0，π)， 则sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos α＝45.]5．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________. 【导学号：62172242】2 [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0， ∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.] 6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点________． (0,2) [直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．]7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．二 [由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1，又0<k <12，则k k －1<0，2k －1k －1>0，即x <0，y >0，从而两直线的交点在第二象限．]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________. 【导学号：62172243】垂直 [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin Aa＝1.又x sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝bsin B，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，两条直线垂直．]9．经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________．5x ＋3y －1＝0 [由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)．∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，则直线l 的方程为y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.]10．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．x ＋2y －3＝0 [当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12，∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.] 二、解答题11．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.【导学号：62172244】[解] 依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.12．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．[解] (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0.∵点A (5,0)到l 的距离为3， ∴|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)，∴d max ＝PA ＝－2＋－2＝10.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________． 4 [因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －2＋n －2的最小值，而m －2＋n －2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.]2．(2017·南京模拟)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1. ②③ [设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋－2＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|－2＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝|2×5＋1|22＋－2＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.] 3．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.[解] (1)法一：当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α. 要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α， 即sin α＝±22. 所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等． 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2. 法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0，所以sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z . 又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2. (2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.4．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， ∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.。
高中数学解析几何(直线和圆、圆锥曲线)知识点总结(非常全)
相交 ⇔
k1 ≠ k2
A1 ≠ B1 A2 B2
垂直 ⇔
k1 ⋅ k2 = −1
A1 A2 + B1B2 = 0
2
设两直线的方程分别为：
l1 l2
: :
y y
= =
k1x + b1 k2 x + b2
或
l1 l2
: :
A1x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
高中数学解析几何
第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义：直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围： 0° ≤ α < 180°
2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
k = tanα
（1）.倾斜角为 90° 的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 x 轴时，
线方程： y = kx + b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为： y = kx
注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过 (x1, y1 ) 和 (x2 , y2 ) 两点，且（ x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 则直线的方程：
6(选修
4-4)参数式
x y
= =
x0 y0
+ +
at bt
（
t
参数）其中方向向量为
(a, b)
，
单位向量
a ,
a2 + b2
b a2 +
解析几何直线与圆圆与圆的位置关系课件理新
解析几何直线与圆圆与圆的位置关系课件理新汇报人：日期:•直线与圆•圆与圆的位置关系•解析几何的基本概念•直线与圆及圆与圆的方程•应用举例目•复习与总结录直线与圆01给定两点$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，直线方程可以表示为$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$。
直线的基本性质直线的两点式方程直线与x轴夹角的正切值称为直线的斜率。
直线的斜率所有垂直于x轴的直线的斜率都为无穷大。
垂直于x轴的直线圆心位于圆的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆心和半径圆的方程圆的直径给定圆心坐标$(h, k)$和半径$r$，圆的方程可以表示为$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^2$。
直径是圆中最长的弦，其长度为2r。
03圆的基本性质0201如果直线与圆没有交点，则称直线与圆相离。
相离如果直线与圆只有一个交点，则称直线与圆相切。
相切如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
相交直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系02外切两圆的外切是指两个圆在外部相切，即两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。
内切两圆的内切是指两个圆在内部相切，即两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之差。
外切与内切相交两圆相交是指两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之和且大于两个圆的半径之差。
相离两圆相离是指两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。
内含两圆内含是指两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之差。
圆与圆的相离、相交、内含关系对于两个外切的圆，存在两条外公切线，它们与两个圆都相切。
外公切线对于两个内切的圆，存在两条外公切线，它们与两个圆都相切。
内公切线对于给定的两个圆，我们可以使用极坐标方程来表示它们的圆心和半径。
极坐标方程圆与圆的公切线解析几何的基本概念03向量的定义向量是一个有方向和大小的量，通常用一条有向线段表示，包括起点、方向和长度。
初中数学掌握解析几何中的直线和圆
初中数学掌握解析几何中的直线和圆解析几何是数学中一个重要的分支，它研究了几何图形的代数性质和坐标表示方法。
在初中数学中，解析几何的学习对于学生的数学素养的培养和数学思维的发展具有重要的作用。
在初中数学的解析几何中，直线和圆是最基础也是最常见的两个图形，下面我们来详细探讨一下初中数学中解析几何中的直线和圆。
直线是最简单的几何图形，它由一组坐标点构成。
在解析几何中，直线可以通过两点确定。
给出直线上两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过计算斜率和截距来确定直线的方程。
直线的方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴的交点。
通过计算斜率和截距，我们可以方便地确定直线的方程，从而对直线进行研究和分析。
在解析几何中，圆是一个具有特殊性质的图形。
圆由一个中心点和一条半径构成。
给出圆心坐标为(h, k)，半径为r，我们可以确定圆的方程为(x-h)² + (y-k)² = r²。
圆的方程表示了圆上每一个点到圆心的距离都是半径r，通过这个方程，我们可以方便地确定圆的方程和圆的性质。
例如，我们可以通过圆的方程判断一个点是否在圆上，也可以方便地求出圆的面积和周长。
在解析几何中，直线和圆是经常出现的组合。
我们可以通过直线和圆的交点来研究它们之间的关系。
当直线与圆相交时，我们可以通过解方程组的方法求出交点的坐标。
根据交点的数量和位置，我们可以得出直线与圆的位置关系。
如果直线与圆有两个相交点，那么直线穿过圆；如果直线与圆有一个外切点，那么直线和圆相切；如果直线与圆没有交点，那么直线和圆相离。
解析几何中的直线和圆不仅仅是形式上的结构，更是数学思维和推理能力的培养。
通过学习直线和圆的性质以及相互之间的关系，我们可以培养学生的逻辑思维和推理能力。
学生需要运用已知的知识和方法，通过推导和证明来解决直线和圆的问题。
这样的学习过程不仅能够提高学生的数学能力，更能培养学生的创新思维。
解析几何中的直线与圆相关知识
解析几何中的直线与圆相关知识在数学的广袤领域中，解析几何如同一座桥梁，将代数与几何紧密相连，为我们揭示了图形与方程之间的奇妙关系。
其中，直线与圆作为最基本、也是最常见的几何图形，它们的相关知识在解析几何中占据着重要的地位。
首先，让我们来聊聊直线。
直线是一种最简单、最直观的几何图形，它可以向两端无限延伸。
在平面直角坐标系中，我们可以用多种方式来表示直线。
其中，最常见的是直线的点斜式方程。
如果我们知道直线上的一个点$（x_0, y_0)＄以及直线的斜率$k$，那么直线的点斜式方程就是$yy_0 ＝ k(x x_0)＄。
比如，已知直线经过点$（1, 2)＄，斜率为 3，那么直线方程就是$y 2 ＝ 3(x 1)＄。
直线的斜截式方程也很常用，形如$y ＝kx ＋b$，其中$k$是斜率，＄b$是直线在$y$轴上的截距。
通过这个方程，我们可以很直观地看出直线的斜率和与$y$轴的交点。
另外，还有直线的一般式方程$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$，其中$A$、＄B$不同时为 0 。
这种形式在解决一些综合性问题时非常有用。
接下来，我们说一说圆。
圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
在平面直角坐标系中，如果圆心坐标为$（a, b)＄，半径为$r$，那么圆的标准方程就是$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$。
比如，圆心在原点$（0, 0)＄，半径为 5 的圆，其方程就是$x^2 ＋ y^2 ＝ 25$。
圆的一般方程是$x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$，但需要注意的是，它表示圆的条件是$D^2 ＋ E^2 4F ＞ 0$。
直线与圆的位置关系也是解析几何中的一个重要内容。
我们可以通过比较圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小来判断直线与圆的位置关系。
当$d ＞ r$时，直线与圆相离，也就是说直线与圆没有交点；当$d ＝ r$时，直线与圆相切，此时直线与圆只有一个交点；当$d ＜ r$时，直线与圆相交，直线与圆有两个交点。
高考数学总复习 第九篇 解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理
解 (1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)， (3±2 2，0)．故可设圆的圆心坐标为(3，t)， 则有32＋(t－1)2＝(2 2)2＋t2，解得t＝1， 则圆的半径为 32＋t－12＝3， 所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 其坐标满足方程组xx－－y3＋2a＋＝y0－，12＝9， 消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
解 将两圆方程写成标准方程． C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1， a)，r2＝2，设两圆的圆心距为d， 则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5 或a＝2.
答案 (1)1 (2)1
考向三 直线与圆的综合问题 【例3】►如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋
2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M， N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2 19时，求直线l的方程．
[审题视点] (1)由几何法或代数法判断； (2)思路1：由数与形结合分析，得|OP|＝2，从而确定P为CD 中点，然后求得点P. 思路2：由思路1知|OP|＝2，建立方程组求解．
解析
(1)法一
由y＝x＋1， x2＋y2＝1消去y，整理得x2＋x＝0，因
为Δ＝12－4×1×0＝1>0，所以直线与圆相交．
( )．
A．x＋y－1＝0
B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y＋3＝0
解析几何直线与圆
直线与圆一、解析几何知识结构：二、知识点 1．直线(1).直线的倾斜角和斜率直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则直线AB 1212x x y y K AB--=。
(2) .直线的方程a.点斜式：)(11x x k y y -=-；b.斜截式：b kx y +=；c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b ya x ；e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）。
在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。
若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则1l ∥2l ⇔1k ＝2k (除垂直）1l ⊥2l ⇔1k ·2k ＝－１（除去任一条与X 、y 轴平行或垂直）（4）点、直线之间的距离点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d=2200||BA C By Ax +++。
两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（例1．已知a >0，直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1例2．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a 、b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为 ． 例3．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为 ．例4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则直线l 的方程为______ _． 2. 圆（1）圆方程的三种形式标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，为圆心F E D 42122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．参数式：以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．以（a ，b ）为圆心、r 为半径的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x （θ为参数），θ的几何意义是：以垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角，如图所示．三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：2．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ”，它可根据圆的一般方程推导而得． 3．参数方程与普通方程我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，进行消参。
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课时达标检测（四十四） 直线与圆、圆与圆的位置关系练基础小题——强化运算能力]1．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B 因为直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．2．(2017·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2 .则r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，即7a 2－4a ＋7>0恒成立，故有r 2>d 2，即d <r ，故直线与圆相交．3．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A ∵所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0.∵所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切，∴|m |1＋4＝5，∴m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：选A 由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.5．若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.解析：圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.答案： 3练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．3或－5D ．－3或5解析：选C 因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以|a －3＋4|12＋ －1 2＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：选C 设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为(－1＋2)2＋(2－3)2＝2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.3．(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．4．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.5．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.6．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.二、填空题7．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与 x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C (－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离 d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝________.解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2.即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 答案：1或－39．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝010．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．解析：由题意知，当∠ACB 最小时，圆心C (3,4)到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为4－23－1＝1，所以直线l 的斜率为－11＝－1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝0 三、解答题11．(2016·河南中原名校第三次联考)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125. (2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，∴该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.12．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得 TA ＋ TP ＝TQ ，求实数t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22， 所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)， TA ＋ TP ＝TQ ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4. ①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[(t＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.因此，实数t的取值范围是2－221，2＋221 ]．。