《计数原理》ppt课件
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计数原理课件
•一般归纳：
• 完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中 有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的 方法.那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+m4+…….+mn
• 种不同的方法.
用前6个大写英文字母和1—9九个阿 拉伯数字，以,A1,A2…，,B1,B2…的 方式给教室里的座位编号，总共能 编出多少个不同的号码？
变式：
若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、生物 学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共 有多少种？ A大学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学
生物学
化学 医学
生物学
人力资源学
物理学
工程学
注意：分类加法计数做到不重，不漏！
如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方 案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有 m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不 同的方法，那么完成这件事共有多少种不同 的方法？ 如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
N=m×n
种不同的方法.
例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要 从中选出男、女生各一名代表班级参加 比赛，共有多少种不同的选法？
分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同 选择； 第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选 择． 根据分步乘法计数原理，共有 30×24 =720 种不同的选法．
高中数学 第1章 计数原理 3.2 “杨辉三角”与二项式系课件 新人教A版选修2-3
现在是休息时间你们休息一下眼睛看看远处要保护好眼睛哦看看远处要保护好眼睛哦站起来动一动久坐对身体不好哦站起来动一动久坐对身体不好哦如图是一个个数为aij数列aij阶杨辉三角中共有nn1阶杨辉三角的所有数的和是2n11
复习课件
高中数学 第1章 计数原理 3.2 “杨辉三角”与二项式系课件 新人教A版选修 2-3
第一章 计数原理
1．3 二项式定理 1．3.2 “杨辉三角”与二项式系
数的性质
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
1．掌握二项式系数的性质，并能利用二项式系数解决 相关问题．
2．会用赋值法求展开式系数的和．
‖知识梳理‖ 1．在杨辉三角中，在同一行的每行两端都是____1___， 与这两个____1___等距离的项的系数______相__等__；在相邻的 两行中，除___1___以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 的__和___，此性质反映组合数的性质__C_nr_＋_1_＝__C_rn_－_1＋__C__rn ___.
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 与杨辉三角有关的问题 如图所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头
所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这 个数列的前 n 项和为 S(n)，求 S20.
【思路探索】 由数列中的每一项在杨辉三角中的位 置，再结合二项展开式的二项式系数，再求解．
复习课件
高中数学 第1章 计数原理 3.2 “杨辉三角”与二项式系课件 新人教A版选修 2-3
第一章 计数原理
1．3 二项式定理 1．3.2 “杨辉三角”与二项式系
数的性质
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
1．掌握二项式系数的性质，并能利用二项式系数解决 相关问题．
2．会用赋值法求展开式系数的和．
‖知识梳理‖ 1．在杨辉三角中，在同一行的每行两端都是____1___， 与这两个____1___等距离的项的系数______相__等__；在相邻的 两行中，除___1___以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 的__和___，此性质反映组合数的性质__C_nr_＋_1_＝__C_rn_－_1＋__C__rn ___.
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 与杨辉三角有关的问题 如图所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头
所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这 个数列的前 n 项和为 S(n)，求 S20.
【思路探索】 由数列中的每一项在杨辉三角中的位 置，再结合二项展开式的二项式系数，再求解．
计数原理概率随机变量及其分布优秀课件
(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大 学志愿者各1名的概率； (2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京 大学志愿者的人数，求ξ的分布列． 【解】 (1)记“至少有1名北京大学志愿者被 分到运送矿泉水岗位”为事件A，则事件A的 对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运 送矿泉水岗位”,设有北京大学志愿者x名,
X0 1 2
3
P
1 12
55 12 12
1 12
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
【题后感悟】 (1)处理概率分布问题首先应 该明确分布类型．若是我们熟悉的分布问题, 可直接运用相关公式或结论求解． (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随 机变量为抽到的某类个体的个数．
栏目 导引
X
01234
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1 1 3 5 7 9
P
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1 0.3 0.3 0.3
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
故得分X的分布列为
X0 1 2
3
P
1 12
55 12 12
1 12
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
【题后感悟】 (1)处理概率分布问题首先应 该明确分布类型．若是我们熟悉的分布问题, 可直接运用相关公式或结论求解． (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随 机变量为抽到的某类个体的个数．
栏目 导引
X
01234
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1 1 3 5 7 9
P
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1 0.3 0.3 0.3
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
故得分X的分布列为
高二年级数学选修2-3《计数原理》优质课件
5、有3名同学排成一排，有多少种不同的排法？如果有5名呢？
3 ×2 ×1=6
5 ×4 ×3 ×2 ×1=120
6．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学
可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．56
B．65
C. 6×5×4×3×2
解：每位同学都有5种选择，则6名同学共有56种不同的选 法，故选A.
3、某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其 他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
解：属于分步问题 6×5=30
4、从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少 种不同 的选法？
解：第1步，从5名同学中选出1名担任正组长，有5种不同选择；
第2步，从剩下的4名同学中选出1名担任副组长，有4种不同选择． 根据分步乘法计数原理，共有5×4=20种不同的选法．
解析：属于分类问题 5+4=9
2、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书第3层放 有2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同取法？
解：
（1）属于分类问题 N=4+3+2=9
（2）属于分步问题 N=4×3×2=24
分类加法计数原理
思考
例1、用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给 教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的 号码?
计数原理课件
第1位 第2位 第3位 第4位 5种 5种 5种
5种
解：设置四位密码可以分为4个步骤完成： 第1步:第一位从1-5十个数字中选一个有5种不同选。 第2步:第二位从1-5十个数字中选一个有5种不同选。 第3步:第三位从1-5十个数字中选一个有5种不同选。 第4步:第四位从1-5十个数字中选一个有5种不同选。
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡 羊村
灰太狼从狼堡开飞机来羊村有2条航线， 抓羊成功后，骑摩托车跑回家有 3 条道路．
那么灰太狼从狼堡到羊村、再返回家一共
有几种不同方法？
问 题 剖 析
(2)
灰太狼做什么事情
完成这个事情有几步 每步中分别有几种不同的方法 每步能否独立完成这件事情 完成这件事情共有多少种不同 的方法
根据分步乘法计数原理，四位数字的密码共有： N=5×5 ×5×5 =54=625（个）
实战演练 1.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个 无重复数字的四位数？ 解析:根据分步乘法计数原理，无重复数 字的四位数有：
N=5 × 4 × 3× 2=120（种）
实战演练
2.羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊 族有8名运动员，盘羊族有7名运动员，羚羊族有6名 运动员。问： 情境导入 （1）要从三个族中任选一名代表作羊族运动会圣火 手，有多少种不同选法？ （2）要从三个族中各选出一名代表作为火炬手。 有多少种不同选法？
5种
解：设置四位密码可以分为4个步骤完成： 第1步:第一位从1-5十个数字中选一个有5种不同选。 第2步:第二位从1-5十个数字中选一个有5种不同选。 第3步:第三位从1-5十个数字中选一个有5种不同选。 第4步:第四位从1-5十个数字中选一个有5种不同选。
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡 羊村
灰太狼从狼堡开飞机来羊村有2条航线， 抓羊成功后，骑摩托车跑回家有 3 条道路．
那么灰太狼从狼堡到羊村、再返回家一共
有几种不同方法？
问 题 剖 析
(2)
灰太狼做什么事情
完成这个事情有几步 每步中分别有几种不同的方法 每步能否独立完成这件事情 完成这件事情共有多少种不同 的方法
根据分步乘法计数原理，四位数字的密码共有： N=5×5 ×5×5 =54=625（个）
实战演练 1.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个 无重复数字的四位数？ 解析:根据分步乘法计数原理，无重复数 字的四位数有：
N=5 × 4 × 3× 2=120（种）
实战演练
2.羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊 族有8名运动员，盘羊族有7名运动员，羚羊族有6名 运动员。问： 情境导入 （1）要从三个族中任选一名代表作羊族运动会圣火 手，有多少种不同选法？ （2）要从三个族中各选出一名代表作为火炬手。 有多少种不同选法？
计数原理-完整版课件
• (2)常用解题策略如下：
• ①包含特殊元素或特殊位置的问题，采用优先法，即先考虑特殊 元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题，特殊元素对应 “在”与“不在”问题．
• ②某些元素要求“相邻”的问题，采用捆绑法，即将要求“相邻” 的元素捆绑为一个元素，注意内部元素是否有序．
• ③某些元素要求“不相邻”的问题，采用插空法，即将要求“不 相邻”的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端．
位数共有C25·C34·A55＋C25·C24·C14·A44＝10 560(个)．
二项式定理
•
点拨： 1.区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a，
b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
• 2．切实理解“常数项”、“有理项(字母指数为整数)”、“系数 最大的项”等概念．
• 3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第 几项．
解析： 先保证3名女生中有且只有两位女生相邻，则有 A22·C23·A33·A24种排法，再从中排除甲站两端的排法，∴所求种数 为A22·C23·(A33·A24－2A22·A23)＝288.
答 案 ： B
5．(1＋3 x)61＋41x10展开式中的常数项为________． 解析： 先求(1＋3 x)6的展开式的通项． Tr＋1＝C6r (x13)r＝Cr6x3r ，r＝0,1,2,3,4,5,6. 再求1＋41x10的展开式的通项． Tk＋1＝Ck10(x－14)k＝C1k0x－4k，k＝0,1,2,3,4，…，10.
课件9：1.1 基本计数原理
2．一个学习小组有 4 名男生，5 名女生，任选 1 名当 组长，共有__________种选法；选男、女生各 1 名当组 长，共有____________种选法．
【解析】选 1 名当组长分为两类：第一类，从 4 名男 生中选 1 名共有 4 种选法，第二类，从 5 名女生中选 1 名共有 5 种选法，一共有 4＋5＝9 种选法；选男、女 生各 1 名当组长可分为两步：第一步是选 1 名男生， 有 4 种选法，第二步是选 1 名女生，有 5 种选法，则 有 4×5＝20 种选法． 【答案】9 20
3．在一块并排共 10 垄的田地上，选择 2 垄分别种植 A、 B 两种作物，每种作物种植 1 垄，为了有利于作物生长， 要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄 方法有________种(结果用数字作答)．
【解析】把空的 6 垄看作一个整体，A、B 两种作物可 在其余 4 垄上种植，不同的选垄方法为(3＋2＋1)×2＝ 12 种． 【答案】12
反思提升 利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么， 即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种 或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出 示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探 索规律．(3)综合问题一般是先分类再分步．
高中数学选修2-3第一章计数原理精品课件 两个原理01
两 个 基 本 原 理 的 提 高 练 习
两 个 基 本 原 理 的 提 高 练 习
两 个 基 本 原 理 的 提 高 练 习
两 个 基 本 原 理 的 提 高 练 习
两 个 基 本 原 理 的 提 高 练 习
两 个 基 本 原 理 的 提 高 练 习
D
C
A
B
第一步 0 1
第二步 0 1 2 3
分步乘法计数原理的特点：
1、每一步的方法只能完成整个事情的一部分，所 有的步骤能完成整个事情。 2、每一步的方法都是互相联系、但互不干扰的。
大家谁能模仿：引例1 狐狸从草地到家的 此类的路线问题,举几个发生在我们实践中, 可以用分类计数原理解决的问题吗？
例2 书架的第1层放有4本不同的计算 机书，第2层放有3本不同的文艺书，第 3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同 的取法？ ②从书架的第1、2、3层各取1本书， 有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书， 有多少种不同的取法？
0到9,这10 个数字一共可以组成多少个７ 位数码，即可产生多少种可能的中奖号码？
两 例２：体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每 个 位数若是0~9这十个数字中任一个，则产生中奖 基 号码所有可能的种数是多少？ 本 第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 第七位 原 理 的 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 例 =10７ 题 变１：这十个数一共可以组成多少７位数字？ 和 练 百万 十万 万 千 百 十 个 习
计数原理复习课件
计数原理 (1)分类加法计数原理：N ＝n1＋n 2＋n 3＋…＋n m； (2)分步乘法计数原理：N ＝n1·n 2·n 3·…·n m．
[典例] 如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色
的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两
池的花色不同，则最多的栽种方案有
()
A．180 种 C．360 种
[类题通法] 求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第 r＋1 项，再由 特定项的特点求出 r 值即可． (2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参 数项，再由通项公式写出第 r＋1 项，由特定项得出 r 值，最后 求出其参数． (3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．
(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加， 有 C44种选法；第二类张、王两同学中只有 1 人参加，有 C12C43种 选法．故共有 C44＋C12C34＝9 种选法．
法二：(间接法)C46－C24＝9 种． [答案] (1)C (2)B (3)A
[类题通法] 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋ C knan －kbk ＋…＋C nn bn(n ∈N*)
二项式系数 二项展开式中各项系数 Crn(r＝0,1，…，n)
计数原理课件
N=4×4×4×4=256
(2)由数字1，2，3，4可以组成多少个不同的四位数？ （数字不可以重复） N=4×3×2×1=24
课堂练习：P143 1，2，3
· · 分类计数原理(加法原理) N= m1+m2+·+mn
分步计数原理(乘法原理) N= m1×m2×·×mn · ·
1、代数式(a+b)(c+d+e)展开后共有 6 项。 拓展
分步计数原理(乘法原理)
N= m1+m2+·+mn · ·
下层有不同的物理书7本,
N= m1×m2×·×mn · ·
例1:书架上层有不同的数学书15本,中层有不同的语文书18本,
(1)若从中任取一本书,有多少种不同的取法; (2)若从中取出数学、语文、物理各一本，有多少种不同的取法。 解： （1）N=15+18+7=40 （2）N=15×18×7=1890 例2: (1)由数字1，2，3，4可以组成多少个不同的四位数？ （数字可以重复）
2、已知集合A={1,2,-3}，B={-1,0,3,4}, (1)若从集合A中取一个数作为点P(x,y)的横坐标，从集合B中取
一个数作为点P(x,y)的纵坐标，可以得到多少个不同的点？
N=3×4=12 (2)若从集合A、B中各取一个数作为点P(x,y)的坐标，那又得到
《高二数学计数原理》课件
3
组合计数
4
介绍组合计数的概念、性质和计算方 法，通过实例让学生理解其应用。
定义与分类
介绍计数原理的定义及基本分类，为 后续内容打下坚实的基础。
加法原理
探讨加法原理的应用场景及计算方法， 并提供实例进行练习与巩固。
进阶计数方法
1 错排方法
2 名次问题
介绍错排问题的定义和计算方法，帮助学 生理解错排相关的思维与技巧。
抽奖问题求解
实例分析抽奖问题的计数方法 和概率计算，培养学生的应用 能力。
号码问题求解
探讨号码问题的计数策略和应 用实例，挖掘计数原理在实际 生活中的意义。
总结与拓展
总结计数原理
归纳整理计数原理的核心 概念和应用技巧，巩固学 生对知识点的理解。
拓展应用场景
探讨计数原理在其他领域 的应用，并引导学生思考 更广阔的问题。
推荐参考书籍
提供一些优秀的数学计数 原理参考书籍，供学生进 一步学习和深入研究。
解释名次问题的背景和计算方法，培养学 生在排列问题中的灵活思维。
3 贪心策略
4 容斥原理
探讨贪心策略在计数问题中的应用，通过 实例培养学生的分析和决策能力。
详细讲解容斥原理的应用步骤和计算技巧， 帮助学生掌握解决重叠计数问题的方法。
应用案例分析
生日悖论
解释生日悖论的原理和计算方 法，让学生了解概率与计数的 关系。
10.1计数原理
相同点 不同点
计算完成一件事的方法种数 分类完成 分步完成 每类中的每一种方 每步中的每一种方 法都能独立完成 法不能独立完成
注意点
类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整
计数原理解决问题的步骤:
1、分析问题
2、建构方法
3、选择原理 4、解决问题。(分类相加,分步相乘)
基础题:
①任取一个球，共有多少种取法？ ②取一个绿球和一个黄球，共有多少种取法？ A.8+9 B.8×9
10 10 10 10 10000
迁移题： 2. 用数字1、2、3、4可以组成多少个三位数？
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
百 十 个 第一步：从4个数中选一个数做百位,有 k1 4 种方法 第二步：从4个数中选一个数做十位,有 k2 4 种方法 第三步：从4个数中选一个数做个位,有 k3 4 种方法 完成这件事的方法数有 4 4 4 64 种 思考题:用0、1、2呢？无重复数字的三位数？
我们身边的计数
QQ号码已经从5位 数上升到11位 数了,有多少用户呢?
我们身边的计数
粤C ·1 A 4 9 7
A 1 4 7 9能组成多少个车牌号?
我们身边的计数
我是一个密码锁
一共能设置多少个密码？
我们身边的计数
你在玩吗？
你一共能设计出多少个形象？
《计数原理》ppt
间,请问有多少种安排方法? 4×3×2=24
课后作业 关于涂色问题的探究
课后作业
关于涂色问题的探究 问题背景：
数学史上著名的“四色问题”．1852年，弗南西斯·格思里来 到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象 ：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边 界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上严格 证明呢？
[探究]:
如果完成一件事情有n类不同的办法，在每
一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
分类计数原理（又叫：加法原理）
一般地,若完成一件事，有 n 类办法，在第
1类办法中有 k 1种不同的方法，在第2类办法中
有 k 2 种不同的方法，…，..在. 第 n 类办法中有 k n 种不同的方法，那么完成这件事共有：
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
汽车1
飞机1
A地
汽车2
B地 飞机2
广州
课后作业 关于涂色问题的探究
课后作业
关于涂色问题的探究 问题背景：
数学史上著名的“四色问题”．1852年，弗南西斯·格思里来 到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象 ：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边 界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上严格 证明呢？
[探究]:
如果完成一件事情有n类不同的办法，在每
一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
分类计数原理（又叫：加法原理）
一般地,若完成一件事，有 n 类办法，在第
1类办法中有 k 1种不同的方法，在第2类办法中
有 k 2 种不同的方法，…，..在. 第 n 类办法中有 k n 种不同的方法，那么完成这件事共有：
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
汽车1
飞机1
A地
汽车2
B地 飞机2
广州
计数原理(优秀课件)
对未来学习的建议和展望
深入学习概率论
概率论是研究随机现象的数学 学科，与计数原理密切相关。 建议学习者深入学习概率论， 掌握随机现象的数学模型和计 算方法。
学习统计学
统计学是研究数据收集、整理 、分析和推断的学科，与计数 原理在数据处理方面有交叉。 建议学习者学习统计学，掌握 数据处理和分析的方法。
计数原理
通过计数原理可以计算随 机事件的个数，从而得到 事件的概率。
古典概型
当所有可能的结果是有限 的、互斥的且等可能的时， 可以使用古典概型计算概 率。
几何概型
当试验的结果在一条直线 上时，可以使用几何概型 计算概率。
实例分析及应用
抛硬币试验
通过抛硬币试验可以计算正面朝 上和反面朝上的概率，从而理解
解释
分步计数原理的核心思想是将复杂问题分解为简单子问题，并利用乘法原理对各个子问题的计数结果 进行相乘，从而得到最终的计数结果。这种方法在解决实际问题的过程中非常常见，能够简化问题， 提高解决问题的效率。
实例分析
实例1
分析
实例2
分析
某班有30名学生，每个学生 需要从5门课程中选2门课程 。问有多少种不同的选课方 案？
04
排列与组合计数原理
排列计数原理
排列计数原理定义
排列是从n个不同元素中取出m个元素 （m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列。
高中数学选修2-3：1.1《计数原理》课件(共15张ppt)
巩固训练：
书架上第一层放有4本不同的计算机书，第 二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同 的体育书。若从第一,二,三层中各取1本书，有 多少种不同取法？ 变解式：1：从若第从一书, 二架, 三上层任各取取1本1本书书，，有分多为少3个种步不骤同：取 法第？1步，从第一层取1本书，有4种不同的方法； 变第式22步：，若从从第书二架层上取取12本本书不，同有类3种 别不 的同 书的 ，方有法多；少 种第不3同步取，法从？第三层取1本书，有2种不同的方法。
完__成__一N__件=__m_事_1 _有 __mn_类2__不 __m_同3__方_种案不，同在的第方法 1类。方案中有m1
种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方
法，L 在第n类方案中有mn种不同的方法，那么
完成这件事共有_N_____m__1___m__2________m__n___
甲地
乙地 N1=2×3=6
N2=4×2=8
丙地
丁地 N= N1+N2 =14
创新设计
请根据今天所学习的原理，以四人小组为单位， 设计一个运用两个计数原理的计数问题.
解决问题1 汉字在计算机的机器语言中是用16 位的数字表示（0或1），你如何“数出”16位 数字共能表示多少个不同的汉字？
第1位 第2位 第3位
明计数之道——辨析理解 固化原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
书架上第一层放有4本不同的计算机书，第 二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同 的体育书。若从第一,二,三层中各取1本书，有 多少种不同取法？ 变解式：1：从若第从一书, 二架, 三上层任各取取1本1本书书，，有分多为少3个种步不骤同：取 法第？1步，从第一层取1本书，有4种不同的方法； 变第式22步：，若从从第书二架层上取取12本本书不，同有类3种 别不 的同 书的 ，方有法多；少 种第不3同步取，法从？第三层取1本书，有2种不同的方法。
完__成__一N__件=__m_事_1 _有 __mn_类2__不 __m_同3__方_种案不，同在的第方法 1类。方案中有m1
种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方
法，L 在第n类方案中有mn种不同的方法，那么
完成这件事共有_N_____m__1___m__2________m__n___
甲地
乙地 N1=2×3=6
N2=4×2=8
丙地
丁地 N= N1+N2 =14
创新设计
请根据今天所学习的原理，以四人小组为单位， 设计一个运用两个计数原理的计数问题.
解决问题1 汉字在计算机的机器语言中是用16 位的数字表示（0或1），你如何“数出”16位 数字共能表示多少个不同的汉字？
第1位 第2位 第3位
明计数之道——辨析理解 固化原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
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根据分类计数原理，共有选法 5+4=9（种）
(2) 完成任选男、女各一人去参加座谈会,需分2步完成,
第一步，选一名男三好学生,有 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 4 种方法;
所以, 根据分步计数原理, 共有选法
5x4=20（种）
练习
书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有3 本不同的数学书，第3层放有2本不同的英语书；
分类计数原理(加法原理）
分步计数原理 （乘法原理）
一般地,若完成一件事，有 n 类办 一般地，若完成一件事，需要
法，在第1类办法中有 m1 种不 分成 n 步，做第1步有 m1 种不 同的方法，在第2类办法中有 m2 同的方法，做第2步有 m2 种不 种不同的方法，…，在第 n 类办 同的方法，…，做第 n 步有
法中有 mn 种不同的方法，那么 mn 种不同的方法，那么完成
完成这件事共有：
这件事共有：
种不N 同的 方m 1 法 ．m 2 Lm n 种不同N 的方m 1 法.m 2Lm n
区别
做一件事情可以分为几类办法，每一类都可以独立完成这 件事情
做一件事情要分为Baidu Nhomakorabea步，每一步都完成了才能完成这件 事情
（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？
解：４＋３＋２＝９（种）
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不 同的取法?
解：４×３×２＝２４（种）
(3)从书架上取两本不同学科的书,有多少种不同的 取法？
解：4×3+4×2+3×2=26（种）
分类计数原理与 分步计数原理
小结
数学 源于生活
都是有关做一件事情的 不同方法的种数的问题。
[探究]:
如果完成一件事情有n类不同的办法，在每
一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
分类计数原理（又叫：加法原理）
一般地,若完成一件事，有 n 类办法，在第
1类办法中有 k 1种不同的方法，在第2类办法中
有 k 2 种不同的方法，…，..在. 第 n 类办法中有 k n 种不同的方法，那么完成这件事共有：
Nk1k2.. .kn
种不同的方法． 注意：每类方法都能独立完成这件事,不重复,不遗漏
实例与练习： 1、三个袋子里分别装有9个红色球，8个蓝色球
和10个白色球。任取一个球，共有多少种取法?
9 解:9+8+10=27(种)
2、书架上有7本数学书，6本语文书，4本英语书。 如果从书架上任取一本，共有多少种不同的取法？
10.1
问题1: 重庆的
王先生想到西昌 现场观看嫦娥三 号卫星的发射， 从重庆到西昌可 以乘坐火车或者 汽车，一天中， 火车有３班，汽 车有２班，问从 重庆到西昌共有 多少种不同的走 法?
问题1: 重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥
三号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火 车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有 ２班，问从重庆到西昌共有多少种不同的走 法．
例题1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈
会,有多少种不同的选法？
解：(1) 完成任选一人去领奖，需分2类： 第一类，选一名男三好学生，有 5 种方法 第二类，选一名女三好学生，有 4 种方法
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
问题2: 在长沙读书的小李欲回老家广州过年，受雪灾影
响长沙到广州的直达火车全部停运．于是他决定先乘火车 到郴州，然后第二天再乘汽车到广州．一天中，火车有３ 班，汽车有２班，问小李一共有多少种走法？
长沙
火车1 郴州 火车2 火车 3
汽车1 汽车2 广州
不同的走法: 火车1 汽车1 火车1 汽车2 火车2 汽车1
326(种)
实例与练习：
5、某校电子八班有男生 26人，女生 20人，若要选男、女生各1人作为学生代 表参加学代会，共有多少种选法？
解：20x26=520（种）
6、两个袋子中分别装有10个红色球 和6个白色球。从中取出一个红色球和一 个白色球，共有多少种方法？
解：10x6=60（种）
Nm 1m 2Lm n 种不同的方法.
注意：只有每步都完成，事情才能完成
实例与练习： 4、从唐华、张风、薛贵3个候选
人中，选出2人分别担任班长和团 支部书记，会有多少种选举结果？
分析：第一步，选班长，有3种选法， 第二步，选团支书，有2种选法。 按照分步计数原理，共有选法
汽车1
飞机1
A地
汽车2
B地 飞机2
广州
共有 ：3×2×2=12种
[探究] ：如果完成一件事情需要 n 步，每一步都有若
干种不同方法，那么应当如何计数呢？
分步计数原
理
（又叫：乘法原理）
一般地，若完成一件事，需要分成n 步，
做第1步有m 1 种不同的方法，做第2步有 m 2 种不
同的方法，…，做第n 步有 m n 种不同的方法， 那么完成这件事共有：
分析: 第一步, 由长沙去郴州有3种方法,
第二步, 由郴州去广州有2种方法；
火车2 火车3 火车3
汽车2 汽车1 汽车2
所以 从长沙经郴州到广州共有3 ×2 = 6 种不同的方法。
[ 延伸]：如果小李回家的时候需要转一次车后再
乘飞机，飞机有两个航班（如图），则共有多少种不 同的走法？
重庆
火车1 火车2 火车 3
解:7+6+4=17 (种)
3、某职业学校电子一班的学生分为三个小组， 甲组有10人，乙组有11人，丙组有9人，现要选派 1人参加学校的技能活动，有多少种不同的方法？
解:10+11+9=30 (种)
问题2: 在长沙工 作的小李欲回广州 老家过年，受雪灾 影响，长沙到广州 的直达火车全部停 运．于是他决定先 乘火车到郴州，然 后第二天再乘汽车 到广州．一天中， 火车有３班，汽车 有２班，问小李一 共有多少种走法？
数学 用于生活
分类计数原理：针 对的是“分类”问 题，其各种方法互 相独立，用其中任 何一种方法都可以 做完这件事。
(2) 完成任选男、女各一人去参加座谈会,需分2步完成,
第一步，选一名男三好学生,有 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 4 种方法;
所以, 根据分步计数原理, 共有选法
5x4=20（种）
练习
书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有3 本不同的数学书，第3层放有2本不同的英语书；
分类计数原理(加法原理）
分步计数原理 （乘法原理）
一般地,若完成一件事，有 n 类办 一般地，若完成一件事，需要
法，在第1类办法中有 m1 种不 分成 n 步，做第1步有 m1 种不 同的方法，在第2类办法中有 m2 同的方法，做第2步有 m2 种不 种不同的方法，…，在第 n 类办 同的方法，…，做第 n 步有
法中有 mn 种不同的方法，那么 mn 种不同的方法，那么完成
完成这件事共有：
这件事共有：
种不N 同的 方m 1 法 ．m 2 Lm n 种不同N 的方m 1 法.m 2Lm n
区别
做一件事情可以分为几类办法，每一类都可以独立完成这 件事情
做一件事情要分为Baidu Nhomakorabea步，每一步都完成了才能完成这件 事情
（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？
解：４＋３＋２＝９（种）
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不 同的取法?
解：４×３×２＝２４（种）
(3)从书架上取两本不同学科的书,有多少种不同的 取法？
解：4×3+4×2+3×2=26（种）
分类计数原理与 分步计数原理
小结
数学 源于生活
都是有关做一件事情的 不同方法的种数的问题。
[探究]:
如果完成一件事情有n类不同的办法，在每
一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
分类计数原理（又叫：加法原理）
一般地,若完成一件事，有 n 类办法，在第
1类办法中有 k 1种不同的方法，在第2类办法中
有 k 2 种不同的方法，…，..在. 第 n 类办法中有 k n 种不同的方法，那么完成这件事共有：
Nk1k2.. .kn
种不同的方法． 注意：每类方法都能独立完成这件事,不重复,不遗漏
实例与练习： 1、三个袋子里分别装有9个红色球，8个蓝色球
和10个白色球。任取一个球，共有多少种取法?
9 解:9+8+10=27(种)
2、书架上有7本数学书，6本语文书，4本英语书。 如果从书架上任取一本，共有多少种不同的取法？
10.1
问题1: 重庆的
王先生想到西昌 现场观看嫦娥三 号卫星的发射， 从重庆到西昌可 以乘坐火车或者 汽车，一天中， 火车有３班，汽 车有２班，问从 重庆到西昌共有 多少种不同的走 法?
问题1: 重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥
三号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火 车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有 ２班，问从重庆到西昌共有多少种不同的走 法．
例题1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈
会,有多少种不同的选法？
解：(1) 完成任选一人去领奖，需分2类： 第一类，选一名男三好学生，有 5 种方法 第二类，选一名女三好学生，有 4 种方法
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
问题2: 在长沙读书的小李欲回老家广州过年，受雪灾影
响长沙到广州的直达火车全部停运．于是他决定先乘火车 到郴州，然后第二天再乘汽车到广州．一天中，火车有３ 班，汽车有２班，问小李一共有多少种走法？
长沙
火车1 郴州 火车2 火车 3
汽车1 汽车2 广州
不同的走法: 火车1 汽车1 火车1 汽车2 火车2 汽车1
326(种)
实例与练习：
5、某校电子八班有男生 26人，女生 20人，若要选男、女生各1人作为学生代 表参加学代会，共有多少种选法？
解：20x26=520（种）
6、两个袋子中分别装有10个红色球 和6个白色球。从中取出一个红色球和一 个白色球，共有多少种方法？
解：10x6=60（种）
Nm 1m 2Lm n 种不同的方法.
注意：只有每步都完成，事情才能完成
实例与练习： 4、从唐华、张风、薛贵3个候选
人中，选出2人分别担任班长和团 支部书记，会有多少种选举结果？
分析：第一步，选班长，有3种选法， 第二步，选团支书，有2种选法。 按照分步计数原理，共有选法
汽车1
飞机1
A地
汽车2
B地 飞机2
广州
共有 ：3×2×2=12种
[探究] ：如果完成一件事情需要 n 步，每一步都有若
干种不同方法，那么应当如何计数呢？
分步计数原
理
（又叫：乘法原理）
一般地，若完成一件事，需要分成n 步，
做第1步有m 1 种不同的方法，做第2步有 m 2 种不
同的方法，…，做第n 步有 m n 种不同的方法， 那么完成这件事共有：
分析: 第一步, 由长沙去郴州有3种方法,
第二步, 由郴州去广州有2种方法；
火车2 火车3 火车3
汽车2 汽车1 汽车2
所以 从长沙经郴州到广州共有3 ×2 = 6 种不同的方法。
[ 延伸]：如果小李回家的时候需要转一次车后再
乘飞机，飞机有两个航班（如图），则共有多少种不 同的走法？
重庆
火车1 火车2 火车 3
解:7+6+4=17 (种)
3、某职业学校电子一班的学生分为三个小组， 甲组有10人，乙组有11人，丙组有9人，现要选派 1人参加学校的技能活动，有多少种不同的方法？
解:10+11+9=30 (种)
问题2: 在长沙工 作的小李欲回广州 老家过年，受雪灾 影响，长沙到广州 的直达火车全部停 运．于是他决定先 乘火车到郴州，然 后第二天再乘汽车 到广州．一天中， 火车有３班，汽车 有２班，问小李一 共有多少种走法？
数学 用于生活
分类计数原理：针 对的是“分类”问 题，其各种方法互 相独立，用其中任 何一种方法都可以 做完这件事。