分形几何的早期历史研究
几何发展史简要概括
几何发展史简要概括几何学的发展史是一个漫长而丰富多彩的过程，它伴随着人类文明的发展，不断推动着人类对自然界和宇宙的认识。
以下是几何学发展史的简要概括：1. 早期几何学：早在公元前7世纪，古希腊的数学家们就开始研究几何学。
其中，欧几里德被认为是几何学的奠基人，他的《几何原本》一书成为了数学史上的经典之作。
在这个时期，几何学主要关注平面上图形的性质和度量，如长度、角度、面积等。
2. 解析几何学：到了17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将几何图形与代数方程结合起来，从而开创了解析几何学的新纪元。
解析几何学的出现，使得几何学的研究范围从平面扩展到了空间，同时也使得代数和几何在理论上得到了统一。
3. 微分几何学：在19世纪，高斯提出了微分几何学，将几何学的研究重点放在了曲面上。
微分几何学的研究对象包括曲线、曲面以及它们之间的变化和性质。
在这个时期，几何学的研究方法也得到了极大的发展，如微积分、线性代数等数学工具的引入，使得几何学的研究更加深入和广泛。
4. 拓扑学：拓扑学是几何学的一个重要分支，它研究的是图形在连续变形下保持不变的性质。
拓扑学的研究范围非常广泛，包括图形的连通性、紧致性、同胚性等方面。
在20世纪初，随着数学的发展和各学科之间的交叉融合，拓扑学逐渐成为了一个独立的数学分支。
5. 现代几何学：进入20世纪以后，几何学的发展更加多元化和深入。
在这个时期，出现了许多新的几何学分支，如纤维丛几何、黎曼几何、辛几何等。
这些分支的出现，使得几何学的研究范围更加广泛，同时也推动了数学和其他学科的发展。
总的来说，几何学的发展史是一个不断开拓、不断创新的过程。
在这个过程中，许多杰出的数学家们为几何学的发展做出了卓越的贡献。
他们的思想和成果不仅推动了数学的发展，也对其他学科产生了深远的影响。
今天，几何学已经成为一个庞大而复杂的学科体系，它将继续引领着人类对自然界和宇宙的认识和理解。
分形几何
分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。
分形几何学和分形分析的基础原理
分形几何学和分形分析的基础原理分形几何学是对自然界和人类活动中普遍存在的复杂结构进行研究的一门学科。
分形几何学的基础原理是分形性质的存在和分形维度的概念。
分形性质指的是在尺度变化下具有自相似性，即物体的部分结构与整体结构相似。
而分形维度则是用来描述分形物体复杂度的度量。
分形几何学的基本概念是由波尔曼德布罗特于20世纪70年代提出的。
他通过研究自然界中的山脉、云彩等不规则结构发现，这些结构在不同尺度下都具有相似的形态，即它们是自相似的。
波尔曼德布罗特认为，真实世界中的许多物体与几何学假设中的理想物体并不相符，而是存在着分形结构。
这一发现引发了对于自然界中不规则结构的深入研究，并为分形几何学的发展提供了基础。
分形几何学的另一个重要概念是分形维度。
传统几何学中的维度概念只适用于整数维空间中的几何体，如一维线段、二维平面和三维立体等。
然而，分形物体的形态复杂，无法用传统几何学中的维度来描述。
因此，分形几何学引入了分形维度的概念。
分形维度可以用于衡量分形物体的复杂程度，即其填充空间的能力。
分形维度的计算方法有多种，其中最常用的是盒维度和信息维度。
除了分形几何学，分形分析也是对分形性质的研究和应用。
分形分析是对数据序列或图像进行分形测度和特征提取的一种方法。
分形分析可以应用于多个领域，如信号处理、图像压缩、金融市场预测等。
分形分析的基础原理是将数据序列或图像看作是分形物体,利用分形维度等数学工具来描述和分析数据的局部和整体特征。
分形分析的一个重要应用是在信号处理领域中。
信号通常是由连续或离散的数据点组成的。
传统的信号处理方法往往采用统计建模和频域分析等方法，但是这些方法在处理复杂非线性信号时效果不佳。
分形分析的引入提供了一种新的思路。
通过计算信号的分形维度，并结合自相似性和分形原理，可以对信号进行特征提取和分类。
分形分析在信号处理中的应用不仅提高了信号处理的效果，还提供了更多的信息用于信号分析和识别。
总之，分形几何学和分形分析是一种对复杂结构进行研究和分析的数学工具和方法。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
分形理论发展历史及其应用
一、分形理论分形理论的起源与发展1967年美籍数学家曼德布罗特在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年，他创立了分形几何学。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。
分形理论的发展大致可分为三个阶段：第一阶段为1875 年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。
第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。
第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。
曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代的专著。
1.3.1 分形的定义目前对分形并没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。
粗略地说，分形是没有特征长度，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
英国数学家肯尼斯·法尔科内（Kenneth J.Falconer）在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为，对分形的定义即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合F是分形，是指它具有下面典型的性质：a. F具有精细结构b. F是不规则的c. F通常具有自相似形式d. 一般情况下，F在某种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数。
另外，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周一样，自然界也不存在“真正的分形”。
分形理论与分形几何在自然科学中的应用
分形理论与分形几何在自然科学中的应用自然界是一个充满着奇妙和神秘的地方。
在大自然中，我们可以发现许多美丽而又复杂的形状，如树枝、云朵、山脉等等。
这些看似无规律的形态背后，隐藏着一个重要的理论——分形理论与分形几何。
分形理论由波兰数学家曼德博特尔（Benoit Mandelbrot）于20世纪70年代提出。
他发现了自然界中的许多现象都具有自相似的特点。
自相似是指一个物体的一部分与整体的形状相似，这种相似性在不同的尺度上都能得到体现。
分形理论的核心思想就是研究这种自相似性，并通过数学模型来描述和解释这些现象。
分形几何是分形理论的一个重要分支，它通过数学方法来研究自然界中的分形结构。
分形几何的研究对象包括分形曲线、分形图形和分形维度等。
分形曲线是指具有无限细节和复杂性的曲线，如科赫曲线和希尔伯特曲线。
分形图形是指具有自相似性的图形，如分形树、分形花朵等。
分形维度是对分形结构复杂性的度量，它可以用来描述一个物体的空间尺度和形态特征。
分形理论与分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
首先，它们在地质学中发挥着重要的作用。
地球上的山脉、河流、岩石等都具有分形结构。
通过分形理论和分形几何的研究，我们可以更好地理解地壳运动、地质构造和地球演化等自然现象。
例如，分形理论可以用来解释地震的发生和传播规律，通过分析地震波的分形特征，可以预测地震的强度和发生概率，为地震灾害的防治提供依据。
其次，分形理论和分形几何在生物学中也有着重要的应用。
生物界中存在着许多分形结构，如树枝、血管、叶片等。
通过分形理论的研究，我们可以更好地理解生物体的生长、发育和进化过程。
例如，分形几何可以用来解释植物根系的分形形态，通过分析根系的分形维度，可以揭示出根系的生物力学特性和水分吸收能力，为农业生产和植物育种提供指导。
此外，分形理论和分形几何还在气象学、物理学、经济学等领域中得到了广泛的应用。
在气象学中，分形理论可以用来研究天气系统的自相似性和混沌性质，从而提高天气预报的准确性。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种数学理论，包括了自相似性、不规则性和复杂性等特点，它能够描述自然界和人造物体中所存在的复杂形态。
分形几何可以将复杂的形状分解为简单的结构单元，从而更好地解释和描述复杂系统的特征。
分形几何的研究对象可以是自然界中的云雾、山脉、植物等，也可以是人类创造的艺术作品、城市景观等。
通过分形几何的研究，人们能够更深入地理解形态的形成规律和演化过程，为科学研究和艺术创作提供了新的视角。
分形几何的特点在于其不规则性和自相似性。
不规则性指的是形状的复杂度和不规则程度，而自相似性则是指在不同尺度上体现相似性。
分形几何的特点使得人们可以用简单的数学模型来描述复杂的自然现象，从而更好地理解事物的本质及其演变规律。
分形几何是一种独特的数学理论，它不仅在科学领域有着广泛的应用，还在艺术领域中扮演着重要的角色。
通过分形几何的研究和应用，人们能够更好地理解世界的复杂性和多样性，从而为人类的进步和发展提供新的思路和方向。
1.2 分形几何的应用分形几何在应用领域有着广泛的用途，其独特的性质和特点使其在科学、工程、医学等领域发挥着重要作用。
分形几何在图像压缩和图像处理中有着重要的应用。
通过分形图像压缩技术，可以大大减少图像传输和存储时所需的数据量，从而提高图像的传输速度和保存效率。
分形图像处理技术还可以用于图像的放大和缩小，不会出现传统方法中所产生的模糊和失真现象。
在地理信息系统中，分形几何可以用来模拟地形特征，以实现更加逼真的地形图像。
分形几何在地震预测、金融市场分析、气象预测等领域也有着广泛的应用。
分形几何的应用领域十分广泛，不断地为各个领域带来新的发展和突破。
1.3 分形几何在艺术中的作用分形几何在艺术中的作用主要体现在其能够呈现出独特而美丽的几何形状和图案。
分形几何的特点使得它能够生成各种复杂、丰富并且具有自相似性的图像。
这种自相似性使得分形几何产生的图案看起来既具有整体性又具有细节性，给人以视觉上的愉悦和惊叹。
分形的历史
一.历史17世纪时，数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递回的自相似，分形的数学从那时开始渐渐地成形（虽然他误认只有直线会自相似）。
直到1872年，卡尔·魏尔施特拉斯才给出一个具有的处处连续但处处不可微这种非直观性质的函数例子，其图像在现今被认为是分形。
1904年，海里格·冯·科赫不满意魏尔施特拉斯那抽象且解析的定义，用更加几何化的定义给出一个类似的函数，今日称之为科赫雪花。
1915年瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基造出了谢尔宾斯基三角形；隔年，又造出了谢尔宾斯基地毯。
1938年，保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中将自相似曲线的概念更进一步地推进，他在文中描述了一个新的分形曲线－莱维C形曲线。
格奥尔格·康托尔也给出一个具有不寻常性质的实直线上的子集－康托尔集，今日也被认为是分形。
复平面的迭代函数在19世纪末20世纪初被儒勒·昂利·庞加莱、菲利克斯·克莱因、皮埃尔·法图和加斯东·茹利亚等人所研究，但直到现在有电脑绘图的帮忙，许多他们所发现的函数才显现出其美丽来。
1960年代，本华·曼德博开始研究自相似，且在路易斯·弗莱·理查德森之前工作的基础上，写下一篇论文《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》。
最终，曼德博在1975年提出了“分形”一词，来标记一个豪斯多夫-贝西科维奇维数大于拓扑维数的物件。
曼德博以显著的电脑绘制图像来描绘此一数学定义，这些图像征服了大众的想像；它们中许多都基于递归，导致了大众对术语“分形”的通俗理解。
分形学的推导过程
分形学的推导过程分形学是一门研究自相似性和重复出现的数学学科。
它的推导过程可以追溯到20世纪60年代，由数学家贝诺瓦·曼德博士提出。
分形学的推导过程涉及到一些基本概念和原理，其中包括自相似性、分形维度和分形生成等。
我们来看自相似性这一概念。
自相似性是指一个物体的一部分与整体相似的特征。
例如，一棵树的分支和整棵树的形状相似，这就体现了自相似性。
分形学将自相似性应用于数学模型中，通过数学公式来描述自然界中的复杂结构。
接下来，我们来介绍分形维度的概念。
传统的几何学中，维度是用来描述物体的大小和形状的。
但在分形学中，分形维度是用来描述自相似结构的复杂程度的。
分形维度可以是非整数的，这意味着分形结构具有无限的细节和复杂性。
分形维度的计算可以通过分形生成函数来实现。
分形生成函数是分形学的重要工具之一。
它是一个递归的数学公式，通过重复应用这个公式，可以生成具有自相似性的分形结构。
例如，曼德博集合是一个经典的分形模型，它可以通过迭代计算来生成复杂的分形图案。
分形生成函数的关键在于迭代过程中的参数选择和边界条件的设定，这决定了生成分形的形状和细节。
分形学的推导过程还涉及到分形维度的计算方法。
其中，箱计数法是一种常用的计算分形维度的方法。
箱计数法将分形结构覆盖在一个网格上，然后统计网格中所包含的分形结构的数量。
通过不断改变网格的大小，可以得到分形维度的估计值。
另外，分形维度还可以通过分形维度的定义公式来计算，该公式利用了分形结构的自相似性特征。
分形学的推导过程还包括对分形结构的分类和研究。
分形结构可以分为确定性分形和随机分形两类。
确定性分形是指通过确定的数学公式生成的分形结构，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。
而随机分形是指通过随机过程生成的分形结构，如布朗运动和分形噪声。
这些分形结构在自然界中广泛存在，如云朵的形状、海岸线的起伏和树枝的分叉等。
总结起来，分形学的推导过程涉及到自相似性、分形维度、分形生成函数和分形结构的分类和研究等内容。
分形几何理论与应用
分形几何理论与应用分形几何理论是一种独特的数学理论，它研究的不是传统意义上的整数、有理数或代数等，而是那些细致、复杂、无规则的自相似结构。
这个理论的发展和应用可以追溯到上世纪60年代，由波兰数学家曼德博特和法国数学家朱利亚·帕西亚斯开创并推动。
分形几何理论的应用范围广泛，涉及到自然科学、工程技术、艺术设计等领域。
本文将介绍分形几何理论的基本概念、应用案例以及未来的发展趋势。
一、基本概念分形几何理论的核心概念是“分形”。
分形是一种具有自相似性质的几何形状或图形，即整体的某一部分与整体本身具有相似的结构。
分形可以是自然界中的云朵、树叶、山脉等，也可以是数学模型中的图形、曲线等。
分形具有以下基本特征：1. 自相似性：分形的一部分与整体具有相似的结构，无论进行何种放大或缩小，都能保持这种相似性。
2. 细节复杂性：分形结构的细节非常复杂，无法用简单的几何形状或方程进行描述。
3. 尺度无关性：分形的特征在不同尺度上都存在，并且不会随着放大或缩小而改变。
二、应用案例1. 自然科学领域：分形几何理论在自然科学领域的应用广泛。
例如，地理学家可以利用分形理论来研究地貌形态的分布规律，了解山脉、河流等地貌形状的演化过程。
生物学家可以利用分形模型来研究植物、动物体内的血管网络结构。
天文学家可以用分形几何理论解释银河系的分布规律等。
2. 工程技术领域：分形几何理论在工程技术领域的应用也非常广泛。
例如，在传输网络设计中，可以采用分形模型来提高网络的稳定性和可靠性。
在材料科学中，可以利用分形几何理论来研究材料的表面粗糙度和纹理结构，从而优化材料的性能。
在城市规划中，分形理论可以帮助设计人员更好地解决交通流量、建筑物布局等问题。
3. 艺术设计领域：分形几何理论对艺术设计也有很大的启发。
艺术家可以运用分形的特性创作出具有美感和复杂性的艺术作品。
分形图形的迭代、放大和变换等操作可以产生各种独特的视觉效果，被广泛用于绘画、雕塑和数字艺术等领域。
分型
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a 的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/logaKoch曲线的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。
那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。
与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。
Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...所谓的''分形''本意是指''破碎,不规则'',所谓''分形艺术''图就是利用数学方法通过计算机程序进行无数次运算最终形成的分形艺术图案.Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
分形几何超级介绍
分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念， 将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的 ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数）
Sierpinski垫圈的分数维
• 如右下角的垫圈 ，它是由原图缩小1/2的相 似的3个图形组成。 • 故其维数为D=log3/log2
分维数的多种定义
• 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 • 分维数已有多种定义。 • 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的 一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； • 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维 数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 • 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量 维数、对数维数和信息维数等。
•
自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特 征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似 的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构 与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分 与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下 自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域 放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形几何
数理基础试验班 李道坚 范宇航
分形几何的起源
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特 （B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可 追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续 但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇 异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造 了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似 雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾 斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解 决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形 几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形 理论。
解析几何报告
解析几何报告内容：1.讲述分形几何的起源，发展历史，它与欧几里德几何的主要区别。
2.介绍Sierpinski垫圈的产生原理，用Matlab、Mathmatic编写程序，画出图形。
1.分形几何的起源分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1975年，他创立了分形几何学。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。
2.分形几何的发展历史分形理论的发展大致可分为三个阶段：<1>第一阶段为1875 年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。
<2>第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究上都获得了丰富的成果。
<3>第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。
曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代的专著。
3.它与欧式几何的区别<1>分形几何（1）它的维数是分数；（2）实用于大自然现象；（3）图形不规则；（4）图形的结构层次无限；（5）局部往往具有整体的信息；（6）图形越复杂，其背后的规则经常越简单；<2>欧式几何(1)它的维数是整数；(2)图形规则；(3)图形的层次结构有限；(4)局部一般不具有整体的信息；(5)图形越复杂，背后的规则也越复杂；4.Sierpinski垫圈的产生原理<1>先画出一个等边三角形；<2>连接三角形每条边的中点，得到四个小一级正三角形；<3>在剩下的小正三角形中重复第二步；5.Matlab源程序<1>redosierpinski[ptlist_List] :=Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]/3},For[i = 0, i < pnum, i = i + 1, tmp = Join[tmp, {ptlist[[3 i + 1]], (ptlist[[3 i + 1]] + ptlist[[3 i + 2]])/2, (ptlist[[3 i + 1]] + ptlist[[3 i + 3]])/2, (ptlist[[3 i + 1]] + ptlist[[3 i + 2]])/2,ptlist[[3 i + 2]], (ptlist[[3 i + 2]] + ptlist[[3 i + 3]])/2, (ptlist[[3 i + 1]] + ptlist[[3 i + 3]])/2, (ptlist[[3 i + 2]] + ptlist[[3 i + 3]])/2,ptlist[[3 i + 3]]}]]; tmp]showsierpinski[ptlist_List] :=Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]/3},For[i = 0, i < pnum, i = i + 1,AppendTo[tmp,Polygon[{ptlist[[3*i + 1]], ptlist[[3*i + 2]],ptlist[[3*i + 3]]}]]]; Show [Graphics[tmp]]]po1 = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, Sqrt[3]}}; showsierpinski[Nest[redosierpinski, po1, 7]]运行结果function [S] = sierpinski(k)%Sierpinski垫圈%数理基础实验2班李道坚、范宇航编写a=0.1;b=0.05;c=sin(pi/3)/10;S=sin(pi/3)/200;% 给a,b,c,S赋值A=zeros(2,3^(k+1)); %定义一个2行3^(k+1)列的零矩阵A(:,1:3)=[0 a b;0 0 c]; %将A中的1到3列替换为[0 a b;0 0 c ]for n=1:k %定义一个1到k的一维数组B=1/2*A;A(:,1:3^n)=B(:,1:3^n);A(:,3^n+1:2*3^n)=B(:,1:3^n)+1/2*[a;0]*ones(1,3^n);A(:,2*3^n+1:3^(n+1))=B(:,1:3^n)+1/2*[b;c]*ones(1,3^n);endfor i=1:3^kpatch(A(1,3*i-2:3*i),A(2,3*i-2:3*i),'r');end运行结果结束语<1>分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形替我们提供了新的概念和方法。
大自然的分形几何学
大自然的分形几何学
大自然的分形几何学是一门研究自然界中重复出现的形态和模式
的学科。
在自然界中，像树枝、蕨类植物、山脉、云层、蛇皮纹理等
都呈现出分形的形态。
其重复出现的形态中所包含的是一样的也不是
一样的，这种自相似性使得大自然中的分形形态具有无限性和独特性。
分形几何学的发展历史不算太长，其最初的研究对象是基于自然界中
的分形形态。
人们通过模拟和分析分形模型的构成和特点，揭示分形
模型中的数学规律和本质特征。
后来，人们发现许多自然界中的物理
现象，如河流的分支、闪电的放电、心电图等，都呈现出分形的形态，进一步丰富了分形几何学的研究对象。
基于分形几何学的研究成果，人们对宇宙、地球、生命等诸多自然现
象提出更为深刻的问题和答案，同时也选择了新的研究方向。
例如，
分形几何学在地震预测、天气预报、金融市场分析、图像处理等领域
的应用也越来越受到重视。
morales 分型 -回复
morales 分型-回复[分形], 分形是一门数学和科学研究领域，用于描述自然界、艺术作品和金融市场中出现的重复模式。
它是一种特殊的几何结构，具有自相似性。
分形结构可以在不同的尺度上重复出现，每一个尺度都具有与整体相似的形状。
分形的概念最早由波士顿的数学家贝诺瓦·曼德博（Benoit Mandelbrot）提出，他在20世纪60年代开始研究分形几何。
曼德博将分形定义为具有自相似性的几何结构，这种结构可以在不同的尺度上重复出现。
他的研究表明，自然界中存在着众多的分形结构，如云朵的形状、河流的岸线、树枝的分布等等。
分形的一个重要特征是尺寸的缺失。
传统的几何学可以用简单的整数维度来描述物体的形状，如1维的线段、2维的平面、3维的体积等。
而分形是一种具有分数维度的结构，也就是说，它在不同的尺度上具有不同的维度，无法用传统的几何学所定义的整数维度来描述。
一个经典的分形结构是曼德博集合（Mandelbrot Set），它是由复平面上的一个递归函数生成的。
以图案中心为原点，在复平面上选择一个复数点作为起始点，然后根据递归函数的规则不断生成新的复数点，这些点的具体生成规则可以由复平面上的每个点的坐标决定。
经过多次迭代之后，可以得到一个复数集合，这个集合就是曼德博集合。
曼德博集合的形状充满了细节，并且以分形结构的特点出现，它在不同的尺度上具有相似的形状。
分形几何不仅仅是数学的一个研究领域，它也对其他学科产生了重要影响。
在物理学中，分形结构被用来描述复杂的现象，如自然界中的湍流、闪电的形状等。
在生物学中，分形被用来研究树叶的形态、分支的分布以及DNA的结构等。
在计算机图形学中，分形被用来生成逼真的自然景观和纹理。
在金融市场中，分形被用来研究股票价格的变动和市场波动性。
分形也被广泛应用于艺术创作。
许多艺术家使用分形生成算法来创建独特的艺术作品。
分形艺术常常具有华丽的不规则形状和丰富的细节，给人一种深入细节的感觉。
新几何学——《大自然的分形几何》
新几何学——《大自然的分形几何》---转载1975年，分形学的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，这标志着分形理论正式诞生。
1982年曼德尔布罗特又出版了另一历史著作《大自然的分形几何》，此书虽是前书的增补本，但在曼德尔布罗特看来它却是分形理论的“宣言书”，分形迷们把它当作是一部“分形的圣经”。
曼德尔布罗特的分形理论是在他考察了自然界中许多不规则的现象。
曼德尔布罗特认为，分形几何扮演了两种角色。
它技术决定论混沌的几何学，又是描述山峦、云团和星系的几何学。
自然科学与几何学总是携手并进的。
17世纪，开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道。
这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道。
同样，理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示。
简单的动力学常常和简单的几何外形相联系。
这一种数学图像暗示，物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系。
在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的，由系统的过去便能预测其未来。
曼德尔布罗特也谈到了他的分形几何学产生的背景。
他指出，两种新近的科学进展深深影响了几何外形相联系。
首先是由于认识到自然界充满了某种称为决定论混沌的事物。
宇宙中许多表面看来服从决定论定律的简单物理系统，其行为仍然是不可预测的。
例如，受两个力作用的摆。
用决定论的观念已无法预测其运动，这使大多数人吃惊。
第二种进展来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。
获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。
换言之，需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。
实际上，伽利略曾宣称，“自然界伟大的书是用数学语言写成的”，并补充说，“其特征为三角形、圆形和其他几何图形，没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡”。
数学科学中的分形几何学
数学科学中的分形几何学分形几何学是一种可视化的、有关于形态相似度的研究。
在1975年前后，它引起了人们的越来越多的关注，研究者不断地寻找着新的分形体现，并且对其进行了广泛的研究。
分形几何学以1960年代末兴起的分形理论为基础，是一种重要的新分支，不仅在纯数学中产生出多种应用，而且还带有很多涉及与物理、天文、地质、气象等领域的实际问题。
分形几何学的发展历程分形几何学的历史可以追溯到19世纪的德国，当时考古学家路德维希•谷巴尔（Ludwig Schläfli）从数学角度研究了20种多面体，把多面体的外形、大小、形态的相似性进行了比较。
后来的数学家们在此基础上，又从各自的角度进行了探索与研究。
比如，俄国的莫斯科数学家亚历山大·叶赛尼亚去研究特殊的比例题，发现了分形概念的重要性。
瑞典的奥托·察克拉芙特等也作出了较为重要的贡献。
但是，分形几何学真正的开端是在1960年代，当时马赛克模型的出现，给了分形几何学一个坚实的基础，也就是分形的数学形式和公式。
然后，分形几何学从理论研究到了实验研究，在科学研究、文化艺术、自然美学等方面发挥出了巨大的作用。
分形几何学与自然美学分形几何学在科学研究领域的应用相对来说比较多，尤其是在物理、天文、地质等领域。
但是，近年来，人们越来越意识到，分形几何学在文化艺术和自然美学领域的应用也是非常广泛的。
分形几何学强调递归和自相似性，在繁杂的自然现象中找到了类似的滋生和变化规律，阐述了丰富的美学和人类价值。
自然美学是一种研究自然和人与自然关系的美学，强调生命之动的自然性、多元性、无常性。
分形的数学模型不仅为自然美学提供了丰富的表现形式，而且还帮助人们更好的理解生态学、生物医学等方向。
分形几何学的应用实例分形几何学在自然界中的表现是广泛的，比如，在地理学中，分形几何可以用来研究地衣的分布，而在气象学中，分形几何可用来计算降雨的分布规律和湍流的能量分布情况，对于理解飓风、龙卷风和干旱等自然灾害方面也具有指导意义。
分形几何学与生物
分形几何学与生物
分形几何学是一种抽象的数学理论，主要用于描述复杂多边形的
形状和表面。
它的起源可以追溯到17世纪前期，当时科学家们尝试分
解自然形成的物体，从而揭示它们背后的规律。
今天，分形几何学仍
然影响着很多有关形状和表面的研究，特别地，它对生物领域也有影响。
分形几何学应用于生物学研究具有多种不同的方法，主要侧重于
探究许多自然形成的结构，并预测更多自然形态。
例如，医学科学家
可以利用这一理论来更好地理解生物组织的细节结构，特别是神经系
统的发育过程。
此外，分形几何学还能用于探讨动物尾部的形成，而
这可以促进动物进化研究。
此外，它还可以帮助用于动物圈，因为它
可以用来研究并建模动物系统的复杂性和许多动物共生关系。
同时，分形几何学也可以用在植物学研究中，它可以帮助科学家
更准确地理解植物形成的规律。
例如，分形几何学可以用来探讨许多
植物如何增长叶片的形状，这又进一步影响着植物的光合生态学。
同
样的，它也可以帮助科学家们分析复杂植物细胞结构的外部表面结构，以及研究几何植物繁殖习性及其自然形成的结构和设计。
总之，分形几何学对于生物学领域的研究起着至关重要的作用，
它提供了一个明确科学研究自然形成事物的有力工具，帮助我们有效
地识别，理解并促进自然形态的形成。
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分形几何的早期历史研究
分形几何学是20世纪70年代诞生的一门数学分支,它是继非欧几何创立之后几何学史上的又一次重大革命。
作为大自然的几何学,它在现实生活中有着非常广泛的应用。
因此,研究分形几何的早期历史具有非常重要的意义。
本文在研读原始文献及其相关研究文献的基础上,通过历史分析和文献考证的方法,以“为什么数学”为指导思想,全面系统地考察了分形几何早期历史的内容和思想,深入剖析了分形几何创立的原因。
取得的研究结果如下:1.全面考察了分析严格化的背景下,魏尔斯特拉斯函数、康托尔集和科赫曲线等早期经典分形集产生的背景、原因、过程和影响。
魏尔斯特拉斯为了搞清函数的连续性和可微性之间的关系,构造了一条连续但处处不可微的病态函数。
康托尔在单位区间上构造了一个完备但处处不稠密的病态点集。
科赫运用递归法的思想,构造了一条可以几何直观表示的连续但处处不可切的病态曲线。
这些病态的函数、曲线和集合的出现是推动分形几何创立的内因。
2.系统梳理了分数维数概念的产生过程。
为了准确测量出康托尔集的大小,康托尔、波莱尔和勒贝格等数学家相继提出了解决问题的办法和思路,但得到的结果不令人满意。
直到卡拉泰奥多里在q 维空间中定义了p维测度集,才使问题取得了一些进展。
豪斯多夫在卡拉泰奥多里工作的基础上,将维数的取值范围由整数推广到分数,解决了康托尔集的测量问题。
贝西科维奇完善了豪斯多夫关于分数维数的定义,给出了分数维数的确切概念。
3.详细论述了贝西科维奇、布利冈和柯尔莫戈洛夫等数学家对分数维数理论的贡献。
贝西科维奇研究了分数维数集的密度性质和微积分,在实数理论中探讨了分数维数集的具体应用。
盒维数是一种重要的分数维数,它的最初模型由布利冈建立,庞特里亚金和施尼勒尔曼定义了具有数学表达式的盒维数,但缺乏严格性;柯尔莫戈洛夫和契霍洛夫给出了严格的盒维数定义;法尔科内则定义了现代意义下的盒维数。
4.详尽阐述了莱维、莫兰和芒德勃罗等数学家对自相似理论的贡献。
自相似思想最早可追溯至古希腊时代,德谟克利特、亚里士多德以及我国古代的数学、哲学和医学著作中也有关于自相似思想的论述,但尚未形成严格的理论体系。
莱维引入了参数和阶数等一些基本数学概念,他是第一个对自相似性进行系统研究的数学家。
莫兰将集合论引入自相似理论的研究,定义了自相似集的概念,形成了自相似理论的雏形。
芒德波罗将统计性融入自相似理论,描绘了统计自相似性,解决了长期困扰大家的海岸线长度问题。
5.细致探究了分形几何的创立过程,深入剖析了分形几何的创立原因。
通过论文“英国的海岸线有多长”和著作《大自然的分形几何》,细致探究了分形几何的创立过程。
在原始文献和相关研究文献的基础上,指出病态函数、曲线和集合的激励,数学理论发展的推动,实际问题的鞭策,以及创立者自身的优势是分形几何创立的主要原因。