2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(十三)文科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准预测试卷(三)文科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A.[]4,2-B. [)1,+∞C. (]0,4 D.[)2,-+∞【答案】C 【解析】 【分析】算出集合,A B 后可求B A I .【详解】{}[](1)(4)01,4A x x x =+-≤=-，{}(]2log 20,4B x x =≤=， 故(]0,4A B ⋂=，故选C.【点睛】本题考查集合的交，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化. 2.若复数21a ii+-在复平面内所对应的点在实轴上，则实数a =（ ）A. 2B. -2C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】 算出21a ii+-后利用对应的点在实轴上可求2a =-. 【详解】()()()21222122a i i a a ia i i ++-+++==-，因复平面内所对应的点在实轴上， 所以21a ii+-为实数，故2a =-，故选B. 【点睛】本题考查复数的四则运算和复数的几何意义，属于基础题.3.已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得充分性成立；由l α⊂或//l α可得必要性不成立，从而可得结论.【详解】由线面垂直的判定定理可得，若l α⊂，l β⊥则αβ⊥，充分性成立； 若l β⊥，αβ⊥，则l α⊂或//l α,必要性不成立，所以若l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题通过线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ）A.4π B. 2πC. πD. 2π【答案】D 【解析】 【分析】利用函数()tan y A x b ωϕ=++的最小正周期为ωπ得出结论. 【详解】函数1tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的是小正周期为212ππ=,故选D.【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题. 函数()tan y A x b ωϕ=++的周期为ωπ.5.设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2 B. 2-C. 3D. 3-【答案】A 【解析】根据题意画出图形，如图所示；直线1210l x y -+=： 与直线230l mx y ++=： 的交点为A ；M 为PQ 的中点， 若12AM PQ =，则PA QA ⊥， 即121210l l m ⊥∴⨯+-⨯=，（）， 解得2m = ．故选A ．6.在V ABC 中，sin 32sin B A =，2BC =，且4C π=，则=AB （ ）A. 26B. 5C. 33D. 26【答案】A 【解析】 【分析】在ABC ∆中，由正弦定理得32b a =，又2a =，所以6=b ，再利用余弦定理，即可求解，得到答案。
河北省衡水中学2020届高三押题卷(I卷)文数学试题(含解析答案)
2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等5. 某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A. B. C. D.6. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. 1 C. D.7. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 10089. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D. 学%科%网...11. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.12. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，若向量与共线，则__________．14. 已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值为__________．15. 在中，角，，的对边分别为，，，是与的等差中项且，的面积为，则的值为__________．16. 已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心. （1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.19. 2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.20. 已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：，，三点共线..21. 已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；学%科%网...（2）证明：当且时，总有.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点. （1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅰ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，则，故选D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由两双曲线的方程可得的半焦距相等，它们的渐近线方程相同，的焦点均在以原点为圆心，为半径的圆上，离心率不相等，故选D.5. 某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为，该学生到达教室的时间总长度为分钟，其中在进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率，故选A.6. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】，当时，时，则，所以，故选D.学+科+网...7. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008【答案】B【解析】由程序框图则，由规律知输出．故本题答案选．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.9. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为．三棱锥的底面是两直角边分别为的直角三角形，高为．则几何体的体积．故本题答案选．10. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，所以．则，图象过点，则，即，所以，又，则．故，令，得，令，可得其中一个对称中心为．故本题答案选．11. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．12. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B学+科+网...【解析】如图，设的中心为，球的半径为，连接，易求得，则 .在中，由勾股定理，，解得，由，知，所以，当过点的截距与垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为；当过点的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为，故选B.【方法点睛】本题主要考查正三棱锥的性质及空间想象能力、圆的性质、勾股定理的应用.属于难题. 化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解,在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识，例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，若向量与共线，则__________．【答案】【解析】 ,由向量与共线，得，解得，则，故答案为.14. 已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值为__________．【答案】1【解析】不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，，故当取最大值时，取最大值. 由图可知，当时，取最大值，此时取最大值，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移（转）、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移（旋转）变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在中，角，，的对边分别为，，，是与的等差中项且，的面积为，则的值为__________．【答案】16. 已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为__________．【答案】【解析】由题知，，准线的方程是 . 设，由，消去，得 . 因为直线经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特征知，因为直线的倾斜角是，所以，所以四边形的周长是，故答案为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得的值，从而可得，进而可得结果；（2）由（1）知，裂项相消法求和，放缩法即可证明.试题解析：（1），故的最小值为.又，所以，即.所以当时，；当时，也适合上式，学+科+网...所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，所以，所以.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心. （1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）延长交于点，先证明，再证明平面，即平面；（2）由（1）知平面，所以就是点到平面的距离，再证明，从而利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面，，所以平面，即平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，所以就是点到平面的距离.由已知可得，，所以为正三角形，所以.又点为的重心，所以.故点到平面的距离为.所以.学+科+网...19. 2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.【答案】（1），平均数是74，中位数是；（2）1200；（3）．【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为可得第4组的频率为，从而可得结果；（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果.（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）.由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分.（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为.（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取3人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及离散型随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：，，三点共线..【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于、、的方程组，结合性质，，求出、、，即可得结果；（2）设，，则，. 因为点，都在椭圆上，所以，利用“点差法”证明，即可得结论.试题解析：（1）由题意得，则.由椭圆与圆：的公共弦长为，其长度等于圆的直径，学+科+网...可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）证明：设，，则，.因为点，都在椭圆上，所以所以，即.又，所以，即，所以所以又，所以，所以，，三点共线.21. 已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；（2）证明：当且时，总有.【答案】（1）在处取得极大值，且极大值为，无极小值；（2）见解析．试题解析：（1）的定义域为，.①当时，，故在内单调递减，无极值；②当时，令，得；令，得.故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.（2）证法一：当时，.设函数，则.记，则.当变化时，，的变化情况如下表：学+科+网...由上表可知，而，由，知，所以，所以，即.所以在内为单调递增函数.所以当时，.即当且时，.所以当且时，总有.证法二：当时，.因为且，故只需证.当时，成立；当时，，即证.令，则由，得.在内，；在内，，所以.故当时，成立.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点. （1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间的转化关系，可得圆的直角坐标方程，将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义可求得弦的长；（2）写出圆的参数方程，利用点到直线的距离公式，可得，可求出的最大值，即求得的面积的最大值．试题分析：（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为. （2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.所以，即的面积的最大值为.学+科+网...23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，. 所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.。
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学(含答案解析)
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合P={}0,1，M={}|x x P ⊆，则集合M 的子集个数为（ ）A.32B.16C.31D.642. 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=A.34i -B. 34i +C. 43i -D. 43i +3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π4. 已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q 作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）5.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则’’01q <<”是.{}n a 为递减数列的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()21f x -定义域为[]0,3则 ()21f x -的定义域为（ ）A.（0，92） B.902⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.(9,2-∞) D.(9,2⎤-∞⎥⎦7.在平行四边形ABCD 中，AB=8，AD=5，3CP PD =，2APBP =, AB AD ⋅=( )A,22 B.23 C.24 D.258. sin cos y x a x =+中有一条对称轴是53x π=，则 ()sin cos g x a x x =+最大值为（ ）A.333 B.233 C.332 D.2329. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.34B.55C.78D.89x=1 y=1z=x+y50?z ≤x=y开始输出z是否10. 如图，一几何体正视图，俯视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是( )11. 设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．312. ()f x 与()1f x +事定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时()f x =sin x x -，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭-2f π⎛⎫⎪⎝⎭为( ) A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 在ABC ∆中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则 BC=___________________14. x,y 自变量满足x ≥0y ≥24y x +≤x y S +≤当35S ≤≤时，则32x y Z =+的最大值的变化范围为___________________15. 函数ay x =为偶函数且为减函数在()0,+∞上，则a 的范围为___________________16. 已知函数()f x =()lg ,0x x -<264,0x x x -+≥，若关于x 的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是___________________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. cos cos 1αβ=-，求()sin αβ+正侧俯18. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.()()2211221221212120.1000.0500.010,2.7063.841 6.635p x k n n n n n x n n n n k ++++-=≥19. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP=DQ ， 求证PQ 面BCE20. 已知椭圆中()222210x y a b a b +=>>长轴为4离心率为12，点P 为椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l 交y 轴于点A ，直线l'过点P 且垂直于l 交y 轴于B ，试判断以AB 为直径的圆能否经过定点，若能求出定点坐标，若不能说出理由21. 设函数()()()21xf x x e kxk R =--∈当1,12k ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22. 选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. 选修4－5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜2x －a ｜＋a.（Ⅰ）若不等式f （x ）≤6的解集为{x ｜－2≤x≤3}，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使f （n ）≤m－f （－n ）成立，求实数m 的取值范围参考答案1. B考点：集合的子集问题 设有限集合A ，card ()A =n ()*n N ∈子集个数2n ，真子集21n -，非空真子集22n - 解析：M={}|x x P ⊆ P={}0,1则x 有如下情况：{}{}{},0,1,0,1φ 则有子集为42216n== 注意点：该类型常错在空集φ 2. A【解析】3. B 【解析】4. A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图 5.D考点:充分条件与必要条件的判定解析：若111,2a q =-=，则数列前n 项依次为-1，-11,24-，显然不是递减数列 若等比数列为-1，-2，-4，-8显然为递减数列，但其公比q=2，不满足01q综上01q 是{}n a 为递减数列的既不充分也不必要条件注意点：对于等比数列，递减数列的概念理解，做题突破点;概念，反例 6.B考点：关于定义域的考察解析：[][][]220,30,911,8x x x ∈∈-∈-所以[][]9211,8210,90,2x x x ⎡⎤-∈--∈∈⎢⎥⎣⎦所以定义域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦注意；一般题目中的定义域一般都是指x 的范围类似的题目：已知()f x 定义域为[]()()0,4,11f x f x ++-的定义域是？ 考点；对定义域的问题考察的综合应用解析:[][][]0,411,511,3x x x ∈+∈-∈-所以综合在一起的定义域是[]1,3 注意;定义域在一定题目中指的是x 范围，但每个题目中的x 的取值是一样的 所以在这些关系中取这三个范围中都包括的范围 7.A考点；利用不同方法求解 解析：法一：坐标法 设A坐标原点B()8,0 设DAB θ∠=所以()5cos ,5sin D θθ所以()5cos 2,5sin P θθ=+AB AD ⋅=()8,0()5cos ,5sin θθ=40cos θAP BP ⋅=()5cos 2,5sin θθ+()5cos 6,5sin 2θθ-=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以AB AD ⋅=22法二；AP BP ⋅=13244AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以AP BP ⋅=1344AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=223134416AD AD AB AB AD AB -⋅+⋅-=25-13*642216AD AB ⋅-= 所以AB AD ⋅=22 注意；巧妙运用题目关系并且记住题目中条件不是白给的，一定要用 8.B考点：函数最值方面的考察解析：方法一；sin cos y x a x =+=当53x π=时，122y a =-+=平方得：22311424a a a -+=+ 求得3a =- 3= 方法二：因为对称轴为53π 所以可知此时的导函数值为0 'cos sin y x a x =-555'cos sin 0333y a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以12= 所以a = =注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为09. B【解析】10.B解析：由三视图可得1hr所以22r h +=1 ()()223111113333V sh r h h h h h πππ===-=- 将V 看成函数 ()21'133V h π=- 所以当213h =时取得最值 22213h r h -== 所以63r =注意：可以将几何和函数相结合11. A 【解析】12.A 解析：32f ⎛⎫-⎪⎝⎭=31222f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2f π⎛⎫⎪⎝⎭=222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则3122222f f f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()sin f x x x =- ()'1cos 0f x x =->恒成立∴()f x是单调递增1222π>-∴12022f fπ⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴原式>0恒成立注意点：若关于轴x a=对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于点(),0a对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于(),a a对称，T=4a ()()22f x a f a x=--考点：在利用余弦转化时符号的正确利用解析：c=2 b=3 ()cos1a c B AB BCπ⋅⋅-=⋅=22225cos24a cb aBac a+--==()cos2cos1ac B B aπ-=-⋅=1cos2a B=-∴25142aaa-⋅=-∴252a-=∴23a=a=注意；()cos cosB Bπ-=-注意正负号AB BC⋅夹角是cos B-BA BC⋅夹角是cos B AB CB⋅夹角是cos B14. []7,8考点：线形规划中范围的判断解析：（1）当x+y=S与y+2x=4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是此时S=3时代入Z=7(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时最大值在B()0,4处取得∴代入248Z=⨯=∴综上范围是[]7,815. a 0<且a 为偶数考点:偶函数的定义，幂函数定义的考察 解析：为减函数 ∴a 0< 为偶函数 ∴a 为偶数类似的，若ay x =为奇函数，减函数在(),a +∞上，求范围解析：为减函数 ∴0a <为奇函数 ∴a 为奇数注意；幂函数ay x =的定义性质必须弄懂 16. 172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 解析：()226435x x x -+=--∴()()210f x bf x -+=在[]0,4上有2个根令()t f x = 210t bt -+=在[]0,4上有2个根>()0,42b∈()00f >()40f≥所以解得b ∈172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 思路点拨；运用图像画出圆然后利用二次函数两个根 最后利用根分布求范围 17. 考点:对特殊函数值的理解 解析：cos 1α≤ cos 1β≤∴cos ,cos αβ中肯定一个为1，一个为-1若cos 1α=，则cos 1β=- 则2,2k k απβππ==+∴()41k αβπ+=+ ∴()sin 0αβ+= 反之也成立注意：cos α，cos β，sin ,sin αβ取值范围可利用取特值法进行分析 18. 【答案】 （1） 有95%的把握认为有关（2） 107【解析】（1）22100(60102010)1004.762 3.8418020703073x -==≈>所以，有95％的把握认为“南方和北方的学生在甜品饮食方面有差异”（2）10776116111035==+p 所以，所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种，所以至多有学生喜欢甜品的情况有个种，只有欢甜品的情况有种；其中，没有学生喜人，共有人中选从19. 解析：证明： 证法一：如图作PMAB 交BE 于M ，作QN AB 交BC 于N 连接MN正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ∴AE=BD 又AP=DQ ∴PE=QB又PM AB QN ,PM PE QB QN BQAB AE BD DC BD∴===PM QNAB DC∴=PM ∴QN 且PM=QN 即四边形PMNQ 为平行四边形 PQ MN ∴又MC ⊂面BCE PQ ⊄面BCE∴PQ 面BCE证法二：如图连接AQ 并延长交BC 的延长线于K ，连接EKAE BD = AP DQ = PE BQ ∴= AP DQPE BQ∴= 又AD BK DQ AQ BQ QK ∴= AP AQPE QK∴= PQ EK ∴ 又PQ ⊄面BCE EK ⊂面BCEPQ ∴面BCE证法三：如图，在平面ABEF 内，过点P 作PMBE ，交AB 于M ，连接QMPM 面BCE ，且AP AMPE MB=又AE BD = AP DQ = PE BQ ∴=AP DQ PE BQ ∴= AM DQMB QB∴= MQ AD ∴ 又AD BC MQ BC ∴ MQ ∴面BCE又PM MQ M ⋂= ∴面PMQ 面BCE 又PQ ⊂面PMQ PQ ∴面BCE注意：把线面平行转化为线线平行时必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行20.解析：22143x y += 设P 为()00,x y ，P 为切点且P 在椭圆上 设l 为00143x x y y += l ’与l 是垂直的∴'l 为0034x x x ym -=直线l 过P ()00,x y 点代入 000034x y x y m ∴-= 0012x ym ∴= ∴'l 为00034y x x ym --= 在l 中令0x =得030,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在'l 中令0x =得00,3yB ⎛⎫- ⎪⎝⎭AP BP ⊥ 0PA PB ∴⋅= 200303y x y y y ⎛⎫⎛⎫∴+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22003103y x y y y ⎛⎫∴++--= ⎪⎝⎭过定点与P ()00,x y 无关 0y ∴= 21x ∴= 1x =±∴定点为()1,0或()1,0-思路点拨;本题技巧已知两线垂直的那以x 与y 前的系数好互例 体现在l ’与l 是垂直的∴0034x x x ym -=21.解析：解析：()()21x f x x e kx =--()()'20x f x x e k =-=可得120,ln 2x x k ==]1,12k ⎛∈ ⎝则](21,2k ∈ ](ln 20,ln 2k ∴∈ 令21x x >ln2k()()0ln 2k ln 2k,k ∴↓↑在，图像为ln2kk由图像可知最大值在0处或k 处取得()()()k 3f k f 0k 1e k 1∴-=--+()()()()()k 2k 2k 1e k 1k k 1k 1e k k 1=---++=----令()k 2h k e k k 1=--- ()k h'k e 2k 1=-- ()k h''k e 20=-= k=ln2∴ln2121在]112,⎛⎝上先减后增()h'1e 30=-< 1h 'e 202⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ()max h'k 0∴< 即()h k 单调递减()max 1137h k h e e 2424⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭又()()49e 0f k f 0016-<∴-> ()()()()k 3k 3max f x f k k 1e k k 1e k ∴==--=--思路点拨：本题的精华点在于导函数与原函数的穿插运用，注意图像中导函数与原函数的图像可知 解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠…………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠, 所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB ADAF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, AB AC AD AF ∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23. （Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，经变换为C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）. (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. 解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。
2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷(十三)文科数学
2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|2,}x A y y x ==∈R ，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．(0,2)B ．(,2]-∞C ．(,2)-∞D ．(0,2]2．已知复数z 满足(2i)5z -=，则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -+3．若抛物线的准线方程为7x =-，则抛物线的标准方程为（ ） A ．228x y =-B ．228x y =C ．228y x =-D ．228y x =4．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，那么(5)f 的值为（ ）A ．32B ．16C ．8D ．645．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且||3=a ，||2=b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．3B ．9C ．12D ．156．已知01a b c <<<<，则下列不等式不成立的是（ ） A ．c c a b < B ．b a c c <C ．log log a b c c >D ．log log cc b a a b> 7．直线:l y x b =+与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，则“1b =”是“||2AB =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．对任意x ∈R ，函数()y f x =的导数都存在，若()()0f x f x '+>恒成立，且0a >， 则下列结论正确的是（ ） A ．()(0)f a f <B ．()(0)f a f >C ．()(0)a e f a f ⋅<D ．()(0)a e f a f ⋅>9．已知函数：①323y x x =+；②2x xe e y -+=；③23log 3x y x -=+；④sin y x x =．从中 任取两个函数，则这两个函数的奇偶性相同的概率为（ ） A ．23B ．12 C ．13D ．1610．函数1()()cos (ππf x x x x x=--≤≤且0)x ≠的图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．11．设F 为双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>的右焦点，过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆222222()x y c c a b +==+与E 在第一象限的交点是P ，且||71PF =，则双曲线E 的方程是（ ）A ．22162x y -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=12．己知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为11，9，7，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j 列的数记为,i j a ，例如3,29a =，4,215a =，5,423a =，若,2019i j a =，则i j +=（ ）A ．64B ．65C ．71D ．72二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S = ． 14．已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，8AB AD ==，16AA =，过棱AB 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 ．15．已知α∈R ，sin 3cos 5αα+=，则πtan(2)4α+= ．16．设函数2()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为1x ，2x ，且在区间12(,)x x 上恰有两个正整数，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><部分图象如图所示： （1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间π[0,]2x ∈上的最大值和最小值．18．（12分）如图，三棱锥D ABC -中，ABC △是正三角形，DA DC =． （1）证明：AC BD ⊥；（2）若90BAD ∠=︒，2AB AD ==，求点C 到平面ABD 的距离．19．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为()n n ∈N ，则当天的利润y （单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n 的函数解析式； ②求当天的利润不低于600元的概率；（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，离心率22e =，短轴长为2． （1）求椭圆的方程；（2）如图，点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC △面积的最大值．21．（12分）已知函数21()ln 2f x x ax x =--．（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，是否存在整数k ，使不等式[()1](2)x f x x k x +->-在1x >时恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）与曲线22cos :22sin x C y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），且曲线1C 与2C 交于O ，A 两点．以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线OA 绕点O 旋转π2后，与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，求||PQ ．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|3||1|f x x x =--+． （1）求不等式()1f x ≤的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≤-+恒成立，求m 的取值范围．文科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵{|2,}{|0}x A y y x y y ==∈=>R ，{|lg(2)}{|20}{|2}(,2)B x y x x x x x ==-=->=<=-∞，∴A B =I (0,2)． 2．【答案】A【解析】因为(2i)5z -=，所以55(2i)5(2i)2i 2i (2i)(2i)5z ++====+--+． 3．【答案】D【解析】由题得抛物线的标准方程为228y x =． 4．【答案】C【解析】∵2,4()(1),4x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，∴3(5)(4)(3)28f f f ====．5．【答案】D【解析】221(2)2||2||||cos ,912()152⋅-=-⋅=-⋅〈〉=-⨯-=a a b a a b a a b a b ．6．【答案】B【解析】取14a =，12b =，2c =， 对于A 选项，2211()()42<，A 选项成立．对于B 选项，112422>，B 选项不成立．对于C 选项，141log 22=-，12log 21=-，1142log 2log 2>，C 选项成立．对于D 选项，2log 21=，21log 12=-，221log 2log 2>，D 选项成立． 7．【答案】A【解析】若1b =，则直线:1l y x b x =+=+，圆心O 到直线l 的距离d ==，可得||AB ==但是，若||AB =:1l y x =+或:1l y x =-均满足要求，因此“1b =”是“||AB = 8．【答案】D【解析】令()()x g x e f x =⋅，则()[()()]0x g x e f x f x ''=+>， 所以()g x 为R 上单调递增函数，因为0a >，所以()(0)g a g >，即()(0)a e f a f ⋅>． 9．【答案】D【解析】①中函数323y x x =+是非奇非偶函数，②中函数2x xe e y -+=是偶函数，③中函数23log 3xy x-=+是奇函数，④中函数sin y x x =是偶函数， 从上述4个函数中任取两个函数，有6中取法：①②、①③、①④、②③、②④、③④，其中②④的奇偶性相同，均为偶函数，∴所求概率为16P =．10．【答案】D【解析】1y x x =-是奇函数，cos y x =是偶函数，故()f x 是奇函数，排除A 、B ；当πx =时，1(π)π0πf =-<，排除C ，故选D ．11．【答案】D【解析】双曲线的渐近线为by x a=±，过E 的右顶点作x 轴的垂线x a =，易知这条直线与渐近线的交点为(,)A a b ，(,)B a b -，∴||||OA OB c ===，又O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，即||||AF OA =，得12a c =，2b c =，224c a =，223b a =，即双曲线2222:13x y E a a-=，排除A 、C ．∵圆222222()x y c c a b +==+与E 在第一象限的交点是P，且||1PF =，∴联立2222222134x y a a x y a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，得点3(,)22P a a ，∴||1PF ==，得21a =， 由0a >可知1a =，∴双曲线方程22:13y E x -=，故选D ．12．【答案】C【解析】由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表， 第1组1个奇数，第2组2个奇数，…，第n 组n 个奇数，则前n 组共(1)2n n +个奇数．设2019在第n 组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，则有(1)10102(1)10102n n n n -⎧<⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，解得45n =，即2019在第45组中，则前44组共990个数．又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2019为第45组从右到左的第101099020-=个数，即2019为第45组从左到右的第4520126-+=个数，即45i =，26j =， 故452671i j +=+=．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】55【解析】11162(6)(7)55a d a d a d a +-+=+==，1111161111552a a S a +=⋅==． 14．【答案】5【解析】易知球O的半径为r ==，取AB 中点1O ，则当截面与1OO 垂直时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为5d ===．15．【答案】17-【解析】因为sin 3cos αα+=，两边同时平方得22sin 6sin cos 9cos 5αααα++=，即2222sin 6sin cos 9cos 5sin cos αααααα++=+，等式左边上下同时除以2cos α， 得22tan 6tan 95tan 1ααα++=+，解方程可得1tan 2α=-，tan 2α=， 当1tan 2α=-时，由二倍角公式得22tan 4tan 21tan 3ααα==--；当tan 2α=时，由二倍角公式得22tan 4tan 21tan 3ααα==--，所以41πtan 2113tan(2)441tan 271()3ααα-+++===----． 16．【答案】3119106a <≤ 【解析】2116()021520(12)21f x x ax a a x x =⇔-+-=⇔=++-+， 依题意可得函数y a =与函数116()(12)21g x x x =++-+图象两个交点的横坐标为1x ，2x ，作出函数()y g x =的图象，其中0y >部分如图所示，在区间12(,)x x 上的一个正整数必为3，观察图象的趋势易知另一个正整数为4，故(4)(2)3119(5)106g a g a a g <≤⎧⇒<≤⎨≤⎩．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）πT =，π()sin(2)6f x x =+；（2）最大值为1，最小值为12-．【解析】（1）由图可得1A =，2πππ2362T =-=，所以πT =，所以2ω=， 当π6x =时，()1f x =，可得πsin(2)16ϕ⋅+=， 因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()f x 的解析式为π()sin(2)6f x x =+． （2）πππ()()cos 2sin(2)cos 2sin 2cos cos 2sin cos 2666g x f x x x x x x x =-=+-=+- 31π2cos 2sin(2)26x x x =-=-， 因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤， 当ππ262x -=，即π3x =时，()g x 有最大值，最大值为1； 当ππ266x -=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．18．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】（1）取AC 中点E ，连BE ，DE ． ∵ABC △是正三角形，∴BE AC ⊥．在ACD △中，DA DC =，∴DE AC ⊥，∴AC ⊥平面BDE ，∴AC BD ⊥．（2）正ABC △中，2AB =，ACD △中，2AD CD ==，∴3BE =3DE = ∵90BAD ∠=︒，∴22BD =，∴BDE △中，222(3)(3)2)1cos 3233BED ∠==-⨯⨯， ∴122sin 19BED ∠=-= ∴1122sin 33222BDE S BE DE BED =⨯⨯⨯∠==△．由（1）证得：AC ⊥平面BDE ，又E 为AC 中点，∴112222221333D ABC A BDE BDE V V S AE --==⨯⨯⨯=⨯=△，设C 到平面ABD 的距离为h ，1112223323D ABC C ABD ABD V V S h h h --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，∴2233h =，∴2h = 19．【答案】（1）见解析；（2）100850(16)()850(17)n n y n n -≤⎧=∈⎨≥⎩N ，2225；（3）17． 【解析】（1）当17n ≥时，17(10050)850y =⨯-=；当16n ≤时，1001750100850y n n =-⨯=-．（2）①由（1）得当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为：100850(16)()850(17)n n y n n -≤⎧=∈⎨≥⎩N ．②设“当天利润不低于600”为事件A ，由①知，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个”， ∴1222()110025P A =-=， 所以当天的利润不低于600元的概率为2225． （3）若一天制作16个蛋糕， 则平均利润为11(600127001880070)758100x =⨯+⨯+⨯=； 若一天制作17个蛋糕， 则平均利润为21(55012650187501885052)760100x =⨯+⨯+⨯+⨯=， ∵12x x <，∴蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．20．【答案】（1）2212x y +=；（2．【解析】（1）由题意得22b =，解得1b =，∵2c e a ==，222a b c =+，∴a =1c =， 故椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取(1,2A ，(1,)2B -，(1,2C --，故122ABC S =⨯=△②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，联立方程得22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得2222(21)4220k x k x k +-+-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2122421k x x k +=+，21222221k x x k -⋅=+，221||21k AB k +===+，点O 到直线0kx y k --=的距离d ==，∵O 是线段AC 的中点，∴点C 到直线AB的距离为2d =，∴22111||2)2221ABCk S AB d k +=⋅=⋅=+△=< 综上，ABC △．21．【答案】（1）1(,]4-∞-；（2）不存在，见解析．【解析】（1）依题意211()10ax xf x ax x x --'=--=≥在[1,)+∞上恒成立， 即210ax x --≥，21xa x -≤在[1,)+∞上恒成立， 令222111111()()()24x g x x x x x -==-=--，则当2x =时，min 1()4g x =-， 所以14a ≤-，即实数a 的取值范围是1(,]4-∞-．（2）依题意(1)110f a '=--=，所以0a =，所以()ln f x x x =-． 不等式[()1](2)x f x x k x +->-在1x >时恒成立．即(ln 1)(2)x x k x ->-，即(ln 1)(2)0x x k x --->在1x >时恒成立， 令()(ln 1)2,(1)g x x x kx k x =--+>，则()ln g x x k '=-． 因为1x >，所以ln 0x >．当0k ≤时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，若()(1)1210g x g k k k >=--+=->，解得1k >，与0k ≤不符，应舍去； 当0k >时，由()0g x '>，得k x e >；由()0g x '<，得1k x e <<， 所以()g x 在(1,)k e 上单调递减，在(,)k e +∞上单调递增，所以当k x e =时，min ()()2k kg x g e k e ==-．问题转化为min ()20(0)kg x k e k =->>恒成立时，求k 的最大值．令()2t h t t e =-，则()2t h t e '=-．当ln 2t <时，()0h t '>；当ln 2t >时，()0h t '<， 所以()h t 在(,ln 2)-∞上单调递增，在(ln 2,)+∞单调递减， 当ln 2t =时，max ()(ln 2)2ln 22h t h ==-．因为0ln 21<<，所以2ln 220-<，即()20t h t t e =-<恒成立． 所以不存在整数k 使20k k e ->恒成立． 综上所述，不存在满足条件的整数k ．22．【答案】（1）1:2cos C ρθ=，2:4sin C ρθ=；（2）||PQ =【解析】（1）曲线1C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，其极坐标方程为2cos ρθ=， 曲线2C 是以为(0,2)圆心， 2为半径的圆，其极坐标方程为4sin ρθ=． （2）由2cos 4sin θθ=，得1tan 2θ=， 即直线OA 的斜率为12，从而sin θ=，cos θ=由已知，设1π(,)2P ρθ-，2π(,)2Q ρθ+，将1π(,)2P ρθ-代入2cos ρθ=，得1π2cos()2sin 2ρθθ=-==同理，将2π(,)2Q ρθ+代入4sin ρθ=，得2π4sin()4cos 2ρθθ=+==，所以12||PQ ρρ=+== 23．【答案】（1）1{|}2x x ≥；（2）9[,)4+∞．【解析】（1）4,1()22,134,3x f x x x x <-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，当1x <-时，()41f x =≤无解；当13x -≤≤时，由()1f x ≤，得221x -+≤，解得132x ≤≤； 当3x >时，由()1f x ≤，解得3x >．所以()1f x ≤的解集为1{|}2x x ≥．（2）由2()f x x x m ≤-+，得2|3||1|m x x x x ≥--+-+，设2224,1()2,134,3x x x g x x x x x x x ⎧-++<-⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩，当1x <-时，()(1)2g x g <-=；当13x -≤≤时，max 19()()24g x g =-=；当3x >时，()(3)10g x g <=-，∴max 9()4g x =，故实数m 的范围是9[,)4+∞．。
河北省衡水中学2020届高三押题II卷文数学试题(含解析答案)
2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 学%科%网...12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.学%科%网...请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合为.本题选择B选项.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，解得：，则.本题选择C选项.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A选项.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，学,科,网...共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，学,科,网...则且，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；当时，，则函数值，排除选项B.本题选择A选项.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：.本题选择D选项.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y= =1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y= = ,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y= =，时不满足条件y2≥x，输出 .10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,且：，两式做差可得：，则：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A学,科,网...【解析】很明显，且恒成立，即：由均值不等式的结论：，据此有：，解得：.本题选择A选项.12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．【答案】16【解析】圆的方程即：，设圆上的点P的坐标为，则：，计算可得：，，由正弦函数的性质有：，求解关于实数的不等式可得：，学,科,网...则的最小值为16.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得.则.(2)利用题意首先求得，然后结合余弦定理可得.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.又由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故，所以.学,科,网...在中，由余弦定理，得.解得.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.试题解析：（1）过点存在直线使，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线，所以有；若点不在直线上，在平面内，过点作直线，使，又，所以，即过点存在直线使.（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.学,科,网...又，所以平面，所以，所以几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..【答案】（1）.（2）见解析;（3）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，故可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩等级为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为（分），因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为，3名女生分别为，，.从中抽取2人的所有情况为，，，，，，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有，，，共3种情况，故所求概率.点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值. 试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①学,科,网...又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；②若，函数单调递增；③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若，则当在内恒成立，函数单调递增；③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）要证，只需证.学,科,网...设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.（*）又，，所以两式相减，并整理，得.把代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，学,科,网...而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.21 / 21 （2）证明：由图可知函数的最小值为，即. 所以，从而， 从而. 当且仅当时，等号成立， 即，时，有最小值， 所以得证.。
河北2020届高三模拟考试 文科数学(含答案)
河北2019-2020学年高三模拟考试数学试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 4 页．考试结束后，将答题纸和机读卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核准准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷：选择题（60分）一. 选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}1,2A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合=B A Y （ ） A ．{1，2} B ．{1，2,3}C ．{1，2,4}D ．{1，2,3,4}2.设复数z 满足11=+z ii，则||z =（ ） A ．1 B ．5 C ．2 D ．2 3．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或 4．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）A ．病人在5月13日12时的体温是38℃B ．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C ．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D ．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定 5．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①6．定义21a a122121b a b a b b -=，已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1110a x b y c ++=与直线2220a x b y c ++=平行”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．下列格式中正确的是（ ） A ．43tan 77ππ> B ．1317tan tan 45ππ-<⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- C ．tan281tan665︒>︒ D ．tan4tan3>8．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020B ．2021C ．2022D ．20139．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ） A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 10．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x =交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠=-，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 5D ．2211．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ） A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷：非选择题（90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若α，β为锐角，且4παβ+=，则()()1tan 1tan αβ++=__________；()()()()1tan11tan 21tan31tan 45++++=ooooL __________.14.若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，且()3,6-∈m ，则m x y z +=仅在点1(1,)2A -处取得最大值的概率为 ．15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 三、解答题：共70分。
2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科) (含解析)
2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|log 2(x −1)<1}，集合N ={x|x 2+x −6<0}，则M ∪N =( )A. {x|−3<x <3}B. {x|1<x <2}C. {x|x <3}D. {x|−2<x <3}2. 已知x1+i =1−yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x +yi 的共轭复数为 ( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i3. 已知角α的终边经过点P(3,4)，则sinα=( )A. 35B. 34C. 45D. 434. 某算法的程序框图如图所示，若a =4−5，b =log 45，c =log 154，则输出的是( )A. 4−5B. log 45C. log 154 D. 不确定5. 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是( )A. 12B. 13C. 23D. 356. 设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 12+a 22+⋯+a n−12)(a 22+a 32+⋯+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n )2，则 ( )A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是)①平均数x≤3；②标准差S≤2；③平均数x≤3且标准差S≤2；④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．A. ①②B. ③④C. ③④⑤D. ④⑤8.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面△PAB，C为PA中点，PA=4√3，PO=6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为()．A. 2√15B. 2√15−6√2C. 6D. 2√15−6√39.如图，在边长为2的正三角形ABC中，点P从点A出发，沿A→B→C→A的方向前进，最后回到点A.在此过程中，点P走过的路程为x，点P到点A，B，C的距离之和为f(x)，则函数y=f(x)的大致图象为()A. B.C. D.10.抛物线y2=4x的准线与x轴交于A点，焦点是F，P是抛物线上的任意一点，令m=|PF||PA|，当m 取得最小值时，PA的斜率是()A. ±1B. 1C. −1D. ±211.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为A. 4√153cm2 B. 163cm2 C. 10√23cm2 D. 8√33cm212.函数在[1e,e]上的值域是()A. [1,2+1e2] B. [1,e2−2] C. [1,2−1e2] D. [1,e2+2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x、y满足约束条件{x−y+1≤03x−y+1≥0x≤a，若z=x+y的最大值为5a，则a=________．14.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：∘C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在0∘C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33∘C的保鲜时间是_______小时．15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x−y+1=0相切，则圆C的半径为______ ．16.已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若cosBsinC AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosCsinBAC⃗⃗⃗⃗⃗ =2m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m=.(用θ表示)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{2a n}的公比为2，且a4+a32=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求数列{1(2a n−1)(2n−1)}的前n项和S n．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，E、F分别为AB，CD的中点．求证：AF//平面PEC．19.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程。
2020届河北省衡水中学高三高考押题文科数学试卷及答案
河北衡水中学2020年高考押题试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220A x x x =-≤，(){}2log 2,B y y x x A ==+∈，则A B I 为（ ） A ．()0,1 B ．[]0,1 C ．()1,2 D ．[]1,2 2．已知i 是虚数单位，20172i i 2iz -=-+，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =，12b =r ，则2a b -=r r （ ）A ．1 BC ．2D ．324．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞5．已知实数x ，y 满足30,260,320,x y x y x y ++>⎧⎪-+>⎨⎪--<⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．0B ．1-C ．3-D ．5-6．若[]x 表示不超过x 的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（ ） A ．48920 B ．49660 C ．49800 D ．518677．数列{}n a 满足12a =，21n n a a +=（0n a >），则n a =（ ）A ．210n - B ．110n - C ．1210n - D ．122n -8．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．69．某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C （如图（2）），其中113O A =，111O C =，则该几何体的侧面积及体积为（ ）A ．24，．32，．48，．64，10．已知函数()3sin cos f x x x ωω=-24cos x ω（0ω>）的最小正周期为π，且()12f θ=，则2f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．52-B ．92-C ．112-D ．132- 11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且12PF PF λ=（1λ>），120PF PF ⋅=uuu r uuu r，则λ=（ ）A B ．2 C ．2．12．已知函数()245,1,ln ,1,x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩若关于x 的方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A．12⎛⎝ B．12⎡⎢⎣ C．12⎛ ⎝⎦ D．12⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角ABC V 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2sin a B =，则3cos 2A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 14．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线1D E 和1A F 所成角的余弦值等于 ．15．若x ，y 都是正数，且3x y +=，则4111x y +++的最小值为 ． 16．已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩若函数()()3g x f x m =+有3个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =. （1）求角A 的大小；（2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1sin 1a A =，且2a ，4a ，8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18．如图，将直角三角形PAO 绕直角边PO 旋转构成圆锥，四边形ABCD 是O e 的内接矩形，M 为母线PA 的中点，2PA AO =.（1）求证：PC ∥平面MBD ；（2）当2AM CD ==时，求点B 到平面MCD 的距离.19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一：男生表二：女生（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （2）由表中统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆C ：22221y x a b+=（0a b >>）的上、下两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF V 的周长为8，椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线l ：y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M '，N '是直线l 上的两点，且1F M l '⊥，2F N l '⊥，求四边形12F M N F ''面积S 的最大值. 21．已知函数()()1e x f x bx a =-+（a ，R b ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，求a ，b 的值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=（1）求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）若M 的坐标为()1,0-，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知()1f x x x a =---（a 为常数）. （1）若()()21f f a <-，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为A ，且[]2,3A ⊆-，求实数a 的取值范围.文科数学答案一、选择题1-5:DAABD 6-10:CDBCB 11、12：BA二、填空题13．2- 14．2515．9516．1,03⎛⎫-⎪⎝⎭三、解答题17．解：（1cos2sinA C B=cos cosA C A-，从而可得()2sin cosA CB A+=2sin cosB B A=.又B为三角形的内角，所以sin0B≠，于是cos A=，又A为三角形的内角，所以6Aπ=.（2）设{}n a的公差为d，因为1sin1a A=，且2a，4a，8a成等比数列，所以112sinaA==，且2428a a a=⋅，所以()()()211137a d a d a d+=++，且0d≠，解得2d=，所以2na n=，所以()141=+1n na a n n+=111n n-+，所以1111223nS⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111341n n⎛⎫⎛⎫-++-=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L1111nn n-=++.18．（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以连接AC，则BD与AC相交于圆心O.连接MO，因为O，M分别为AC，PA的中点，所以PC MO∥.又MO⊂平面MBD，PC⊄平面MBD，所以PC∥平面MBD.（2）解：当2AM CD==时，224PA AM AO===，所以2AO BO AB===，所以AOBV是等边三角形.连接PD，则PA PD AC===4BD=，易求得AD CM==AM CD=，DM DM=，所以AMD CDM≌V V，所以CDM AMD S S ==V V 122PAD S =V又点M 到平面BCD 的距离12PO ==BCD S =V 13B CDM CDM V S -=⨯⨯V 点B 到平面MCD 的距离13M BCD BCD V S -==⨯V B 到平面MCD 的距离为13. 19．解：（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则45500500400m =+，25m =，则从女生中抽取20人， 所以251555x =--=，201532y =--=.表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a ，b ，c ，尚待改进的2人为A ，B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),b c ，(),A B ，(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，共10种，设事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，共6种，所以()63105P C ==，即所求概率为35. （2）22⨯列联表如下：因为10.90.1-=，()2 2.7060.10P K ≥=，而()2245155151030152520K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯224515530152520⨯⨯=⨯⨯⨯9 1.125 2.7068=<，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.20．解：（1）因为2MNF V 的周长为8，所以48a =，所以2a =.又因为c a =，所以c =1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=.（2）将直线l 的方程y kx m =+代入到椭圆方程2214y x +=中，得()2242k x kmx +++240m -=. 由直线与椭圆仅有一个公共点，知()222444k m k ∆=-+()240m-=，化简得224m k =+.设1d FM '==，22d F N '==所以22212d d +=+()222231m k +==+()22271k k ++，12d d ==22311m k -=+，所以M N ''===. 因为四边形12F M N F ''的面积()1212S M N d d ''=+， 所以22211241k S k =⨯⨯+()2212122d d d d ++()()222234161k k k+=+.令21k t +=（1t ≥），则()()22314116t t S t --+⎡⎤⎣⎦=()()21213t t t -+==()2212231212t t t +-=+2111333t ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以当113t =时，2S 取得最大值为16，故max 4S =，即四边形12F M N F ''面积的最大值为4. 21．解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()e 1e x x f x b bx '=+-()1e x bx b =+-.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()00,01,f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩得10,11,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()()21e x f x x a =-+（1a <）， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式()21e 0x x a ax -+-<的整数解有且只要一个.构造函数()()21e x F x x a ax =-+-，R x ∈，所以()()e 21x F x x a '=+-.①当0x ≥时，因为e 1x≥，211x +≥，所以()e 211x x +≥，又1a <，所以()0F x '>，所以()F x 在()0,+∞内单调递增.因为()010F a =-+<，()1e>0F =，所以在[)0,+∞上存在唯一的整数00x =使得()00F x <，即()00f x ax <.②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(),0-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(],1-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以()e 210x x +<.当01a ≤<时，函数()0F x '<，所以()F x 在(),1-∞-内为单调递减函数，所以()10F -≥，即312ea ≤<； 当0a <时，()3120eF a -=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．解：（1）将直线l 的参数方程化为普通方程可得10x +=，而圆C 的极坐标方程可化为28ρ=，化为普通方程可得228x y +=， 圆心C 到直线l 的距离为12d ==，故直线l 被圆C 截得的弦长为=（2）把1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入228x y +=，可得270t --=.（*）设1t ，2t 是方程（*）的两个根，则127t t =-， 故12MA MB t t ⋅=7=.23．解：（1）由()()21f f a <-可得1211a a --<--，即122a a -+->.（*） ①当1a <时，（*）式可化为()()122a a -+->，解之得12a <，所以12a <； ②当12a ≤≤时，（*）式可化为()()122a a -+->，即12>，所以a ∈∅； ③当2a >时，（*）式可化为()()122a a -+->，解之得52a >，所以52a >. 综上知，实数a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U 5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为()1f x x x a =---()()11x x a a ≤---=-，所以()11a f x a --≤≤-，由条件只需12,13,a a ⎧--≥-⎪⎨-≤⎪⎩即12a -≤，解之得13a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,3-.。
2020届河北省衡水中学新高考原创冲刺模拟试卷(三)文科数学
2020届河北省衡水中学新高考原创冲刺模拟试卷（三）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1.已知集合2{|40, }A x x x N =-<∈且，则集合A 的子集个数是（ ） A. 2B. 4C. 7D. 82.若b a 、均为实数，则””是““20,0≥+>>ba ab b a 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知复数224(1)+=-iz i （i 为虚数单位），则z 的模||z 为（ ）A. C. 5D. 104.已知2α=，则点(sin ,tan )P αα所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 5. 已知0,0,a b c d >>>>则一定有（ ）A.d b c a > B.d b c a < C.c b d a > D.cb d a < 6. 执行如右图所示的程序框图，输出的S 为（ ） A ．25 B ．9 C ．17 D ．207.函数xy ln 1=的大致图象可能是（ ）A ． B. C. D.8.定义在R 上的函数()x f 满足()()()()x f x f x f x f =+-=-4,，且()0,1-∈x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=41，则()=216log 2f （ ）A. 1-B.2-C. 1D. 29.若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ）A. 01b <<B. 1b <C. 0b >D. 12b <10.等差数列{}n a 的前n 项和2(1),n S a n a =++某三角形三边分别为234,,a a a ，则该三角形最大角为( ) A.32π B.43π C.65π D.2π 11.已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，若函数()f x 在区间3(,)2ππ上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（ ）A. 211[,]39B. 511[,]69C. 23[,]34D. 25[,]3612.已知函数()x f y =对任意的R x ∈，满足()()xe xf x f 2<-'，且()242e f =（其中()x f '是函数()x f 的导函数），则不等式()2xf x x e <的解集为（ ）A. ()1,∞-B. ()+∞,1C. ()2,∞-D. ()+∞,2第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13．已知非零向量b a ,满足b a b a-=+，则向量b a ,的夹角>=<b a ,________．14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-o y y x x y 22，则目标函数y x z -=2的最大值为________．15. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足“幂势既同”.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为________．16.已知正项等比数列{}n a ，满足43212()8+-+=a a a a ，则65+a a 的最小值是 . 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17.（本小题满分12分）已知()sin() (0,04,||)2f x A x A πωϕωϕ=+><<<的图象过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1. （1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程； （2）当[0,]2x ∈π时，求()f x 的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前项和为()n S n N *∈,且2121222a a S S ，=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(1)log n n b n a =-+⋅，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且a A c b 21cos +=. （1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ∥平面PCE ； （2）求点C 到平面ABF 的距离．21.（本小题满分12分）已知函数 ()()()0,ln 22>---=a x a x a x x f .（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，证明：对任意的0x >,2()2xf x e x x +>++．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的极坐标方程为()R ∈=ρπθ4，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x （α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）记l 与圆C 的两个不同交点为B A 、,求ABC ∆的面积. 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在x ∈R 使得()()5f x f x m ++≤成立，求实数m 的取值范围.数学试卷（文科答案）一、选择题二、填空题 13.2π 14.4 15.33π 16.64 三、解答题17.（1）由函数过⎪⎭⎫⎝⎛210，得6,2,21sin πϕπϕϕ=<=，12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω=，()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴π=T,对称轴为()Z k k x k x ∈+=+=+,26,262πππππ(2) ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，∴162sin 21,67626≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-≤+≤ππππx x ，所以()x f 值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21-。
2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试(十)文科数学
2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试（十)文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =U （ ） A. {}0,2,4,6 B. {}0,2C. {}0,1,2,3,4,6D. {}0,1230246,,,,,, 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合B ，再根据并集定义求结果.【详解】∴B={0,2,4,6}A B=｛0，1，2，3，4，6｝Q U . 故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设i 为虚数单位，复数212z ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】 【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】22111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点为12⎛- ⎝⎭，在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.已知数列{}n a 是等比数列，函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =（ ）A. 1B. 1-C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理得155a a +=，再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >，且231533a a a a =⋅=∴=故选：D点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.“()()110m a -->”是“log 0a m >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当()() “110m a -->”时，则11m a >⎧⎨>⎩或11m a <⎧⎨<⎩此时a log m 可能无意义，故0a log m >不一定成立，而当0a log m >时，则11m a >⎧⎨>⎩或0101m a <<⎧⎨<<⎩，“()() 110m a -->”成立故“()() 110m a -->”是0a log m >的一个必要不充分条件． 故答案选B5.已知圆C ：2240x y x a +++=上存在两点关于直线:=2l y kx +对称，k =（ ） A. 1 B. 1-C. 0D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，()C l ∴∈-2,0，220k ∴-+=，得1k =.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在ABC ∆中，1=3AD DC u u u r u u u r ，P 是直线BD 上的一点，若12AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则m =（ ）A. 4-B. 1-C. 1D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件化以,AB AD u u u r u u u r为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数.【详解】114222AP mAB AC mAB AD mAB AD =+=+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，又B P D 、、三点共线，所以21+=m ，得1m =-. 故选：B【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题.7.惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来.根据以上数据，该教师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（ ） A. 580B. 600C. 620D. 640【答案】D 【解析】 【分析】先假设未统计2个月的数据，确定中位数大小的取值区间，再判断选择. 【详解】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数为5305505402+=（分钟），当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数为6106506302+=（分钟），所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为]540,630⎡⎣. 故选：D【点睛】本题考查根据数据估计中位数，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ）A.B. 2C. 2ln 2D. ln 2【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0xx x x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x xf x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题. 9.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]-ππ的图像大致为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：因为()102f π=>，故排除A ；因为()(1cos )(sin )()f x x x f x -=--=-，所以函数()f x 为奇函数，故排除B ；因为()cos cos 2f x x x =-'，分别作出cos y x =与cos 2y x =的图象，可知极值点在(,)2ππ上，故选C ．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性． 【此处有视频，请去附件查看】10.P 为椭圆22110091x y +=上的一个动点，,M N 分别为圆22:(3)1C x y -+=与圆222:(3)(05)D x y r r ++=<<上的动点，若||||PM PN +的最小值为17，则r =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据||||PM PN +的最小值，得到关于r 的方程，进而求得答案.【详解】因为(3,0)C ，(3,0)D -恰好为椭圆的两个焦点， 因为||||1,||||PM PC PN PD r ≥-≥-，所以||||||||121PM PN PC PD r a r +≥+--=--. 因为2100a =，得10a =， 所以20117r --=，则2r =. 故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（ ）A. 11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得a ；再根据()f x 在[0,]π上的值域确定3x πω+取值范围，解得结果.【详解】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max()f x ==02a a >∴=Q ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤>Q ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤≤Q2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 12.已知函数321()1(1)3f x x ax ax a =-++≤在1212,()t t t t ≠处的导数相等，则不等式12(+)0f t t m +≥恒成立时，实数m 的取值范围是（ ）A. [)1-+∞，B. (]1-∞-，C. (]1-∞， D. (43⎤-∞⎥⎦，【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，根据条件解得12+=2t t a ，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得2'()2(1)f x x ax a a =-+≤，由已知得12,t t 为220x ax a -+=两个不等实根，所以12+=2t t a ，12(+)0f t t m +≥Q 恒成立，(2),(1)m f a a ∴-≤≤恒成立.令324()(2)21,(1)3g a f a a a a ==-++≤， 则2'()444(1)g a a a a a =-+=--，当(,0),'()0a g a ∈-∞<，当(0,1),'()0;a g a ∈>()(,0)g a ∴-∞在上单调递减，在(0,1)上单调递增.min ()(0)1,1, 1.g a g m m ∴==∴-≤∴≥-故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分.13.执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是_________.【答案】6 【解析】 【分析】执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果.【详解】①22,220;n =<②44,220;n =<③66,220.n =>结束循环，输出结果：6 故答案为：6．【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若2a b c +=，35c b =，则=A ________．【答案】23π（或120°） 【解析】 【分析】根据余弦定理直接求解得cos A ，再根据特殊角三角函数值得结果.【详解】因为75,33a b c b ==，22222257()()133cos 5222()3b b b bc a A bc b b +-+-===-⋅，2(0,π)3A A π∈∴=Q ．故答案为：23π【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.15.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】 【分析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.16.设M 为不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -≤≤⎧⎨≤≤-⎩所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ． （1）若1t =，则P =__________． （2）P 的最大值是__________． 【答案】 (1). 38. (2). 12. 【解析】 【分析】分析：当1t =时，2t =时，求出满足40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的面积，分别求出满足04t x t y t -≤≤⎧⎨≤≤-⎩的面积，利用几何概型概率公式求解即可.【详解】由题意可得，当1t =时，满足40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的面积为184162⨯⨯=，1t =时，满足04t x ty t -≤≤⎧⎨≤≤-⎩的面积为236⨯= ， 所以P =63168=； 如图，当()24tt -取得最大值时，即2t =时P 最大，当2t =时，满足40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的面积为184162⨯⨯=，2t =时，满足04t x ty t-≤≤⎧⎨≤≤-⎩的面积为248⨯= ，所以81162P ==；最大值为12． 故答案为38， 12.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为大于0的整数，当且仅当n =4时，n S 取得最小值.（1）求公差d 及数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前20项和.【答案】（1）d =2，29n a n =-（2）272 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质得4500a a <⎧⎨>⎩，解不等式得d 范围，再根据d 为大于0的整数得d 的值，最后根据等差数列通项公式得结果；（2）先根据项的正负去掉绝对值，再分别根据对应等差数列求和公式求和，即得结果.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则由题可知：450a a <⎧⎨>⎩.113040a d a d +<⎧∴⎨+>⎩，即730740d d -+<⎧⎨-+>⎩. 解得7743d <<. 因为d 为整数，d ∴=21(1)72(1)29n a a n d n n ∴=+-=-+-=-所以数列{}n a 的通项公式为29n a n =- （2）当4n ≤时，0n a <；当5n ≥时，0n a >12345201234520.....()(......)a a a a a a a a a a a a ++++++=-++++++ 52014()16()422a a a a +⋅+⋅=-+(71)4(131)1622--⨯+⨯=-+. =272所以数列{}n a 的前20项和为272.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及等差数列性质，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS V 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS 的中点．（1）求证：SD ∥平面ACE ；（2）若平面ABS ⊥平面ABCD ，4AB =，120ABC ∠=︒，求三棱锥E ASD -的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）设AC BD O =I ，利用三角形中位线性质得SD OE ∥，再根据线面平行判定定理得结果； （2）取AB 的中点F ，结合面面垂直性质定理得DF ⊥平面ABS ，再根据等体积法以及利用锥体体积公式求结果.【详解】（1）连接BD ，设AC BD O =I ，连接OE ，则点O 是BD 的中点． 又因为E 是BS 的中点，所以SD OE ∥， 又因为SD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE 所以SD ∥平面ACE ．（2）因为四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠=︒．又因为AB AD =，所以三角形ABD 是正三角形．取AB 的中点F ，连接SF ，则DF AB ⊥23DF =又平面ABS ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，平面ABS I 平面ABCD AB =， 所以DF ⊥平面ABS ．即DF 是四棱锥D AES -的一条高 而1sin 232ASE S SA SE ASE =⋅⋅∠=△所以E ADS D AES V V --=112323433ASE S DF =⋅=⨯△． 综上，三棱锥E ASD -的体积为4.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档基础题.19.惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量x （1020x ≤≤，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为y 元.（1）求商店日利润y 关于日需求量x 的函数表达式. （2）根据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.【答案】（1）()()301401420501401014x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩（2）①15.32公斤 ②0.4【解析】 【分析】（1）根据条件列分段函数关系式，即得结果；（2）①根据组中值求平均数，②先根据函数关系式确定日利润不少于620元对应区间，再求对应区间概率. 【详解】（1）当1014x ≤<时()401014=50140y x x x =-⨯-- 当1420x ≤≤时()40143014=30140y x x =⨯+⨯-+ 所求函数表达式为：()()301401420501401014x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩．（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是120.050.1f =⨯=； 海鲜需求量在区间[)12,14的频率是220.10.2f =⨯= 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是320.150.30f =⨯=； 海鲜需求量在区间[)16,18的频率是420.120.24f =⨯=；海鲜需求量在区间[]18,20的频率是520.080.16f =⨯=； 这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：1122334455x x f x f x f x f x f =⋅+⋅+⋅++⋅+⋅110.1130.2150.30170.24190.16=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯15.32=（公斤）②当14x =时，560y =，由此可令30140620x +≥，得16x ≥所以估计日利润不少于620元的概率为()0.120.0820.4+⨯=.【点睛】本题考查函数解析式以及利用频率分布直方图求平均数和概率，考查综合分析求解能力，属中档题.20.己知函数()()()ln f x x a x a R =-∈，它的导函数为()f x '. （1）当1a =时，求()f x '的零点；（2）若函数()f x 存在极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）1x =是()f x '的零点；（2）()2,e --+∞【解析】 【分析】（1）求得1a =时的()f x '，由单调性及()10f '=求得结果.（2）当0a =时，()1ln f x x ='+，易得()f x 存在极小值点，再分当0a >时和当0a <时，令()()g x f x ='，通过研究()g x '的单调性及零点情况，得到()g x 的零点及分布的范围，进而得到()f x 的极值情况，综合可得结果.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 当1a =时，()()1ln f x x x =-，()1ln 1f x x x+'=-. 易知()1ln 1f x x x+'=-为()0,+∞上的增函数， 又()1ln1110f '=+-=，所以1x =是()f x '的零点.（2）()ln 1ln x a af x x x x x+-'-==+， ① 当0a =时，()1ln f x x ='+，令()0f x '>，得1x e >；令()0f x '<，得10x e<<， 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意. 令()1ln a g x x x =-+，则()221a x a g x x x x+=='+. ② 当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增. 又10g ae e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()11110aaaa g ea a e e ⎛⎫=-+=+-> ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,+∞上恰有一个零点0x ，且当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()0,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，所以0x 是()f x 的极小值点，符合题意.③ 当0a <时，令()0g x '=，得x a =-.当()0,x a ∈-）时，()0g x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0g x '>， 所以()()()min 2ln g x g a a =-=+-.若()()2ln 0g a a -=+-≥，即当2a e -≤-时，()()()0f x g x g a =≥-≥'恒成立， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值点，不符合题意. 若()()2ln 0g a a -=+-<，即当20e a --<<时，()()11ln 101ag a a a-=-+->-， 所以()()10g a g a -⋅-<，即()g x 在(),a -+∞上恰有一个零点1x ，且当()1,x a x ∈-时，()()0f x g x '=<；当()1x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，所以1x 是()f x 的极小值点，符合题意.综上，可知2a e ->-，即a 的取值范围为()2,e --+∞. 【点睛】本题主要考查导数综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 21.设抛物线C :22(0)y px p =>与直线:02pl x my --=交于A 、B 两点.（1）当AB 取得最小值为163时，求p 的值. （2）在（1）的条件下，过点(3,4)P 作两条直线PM 、PN 分别交抛物线C 于M 、N （M 、N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与x 轴平行，求证：直线MN 的斜率为定值. 【答案】（1）83p =（2）证明见解析，定值23-. 【解析】 【分析】（1）先确定直线l 过抛物线焦点，再根据抛物线定义求AB ，最后根据AB 最小值求p 的值； （2）先确定PM 、PN 的斜率互为相反数，再设直线PM 方程，与抛物线联立解得M 坐标，类似可得N 点坐标，最后利用斜率公式求结果. 【详解】（1）由题意知：直线:02p l x my --=过定点(,0)2p，该点为抛物线焦点. 联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：2220y pmy p --=设1122(,),(,)A x y B x y ，有122y y pm +=，212y y p ⋅=-2121212()22(1)22p pAB x x x x p m y y p p m ∴=+++=++=++=+… 20,0p m >≥Q ，当0m =时，min 2AB p =1623p ∴=，解得83p = （2）证明：由已知可知直线PM 、PN 斜率存在，且互为相反数 设3344(,),(,)M x y N x y ，直线PM 的方程为(3)4y k x =-+.联立2163(3)4y x y k x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去x 整理得：231664480ky y k -+-=. 又4为方程的一个根，所以3644843ky k -=，得3161216433k y k k-==- 同理可得41643y k=--3434223434341611612333(8)3()16MN y y y y k x x y y y y --∴===⋅=⨯=--+-- 所以直线MN 的斜率为定值23-.【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐标系内异于O 的三点()1,A ρϕ，2,6B πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，()3123,,06,C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭都在曲线M 上.（11233ρρρ=+；（2）若过B ，C 两点直线的参数方程为32212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求四边形OBAC 的面积. 【答案】（1）详见解析；（233【解析】 【分析】（1）将()12,,,,6B πρϕρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭ 3123,(,,0)6C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭代入极坐标方程ρ2cos θ=，求出123ρρρ、、，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得()1,2,02B C ⎛ ⎝⎭，则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ=四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+，化简可得结果. 【详解】（1）由122cos ,2cos ,6πρϕρϕ⎛⎫==+⎪⎝⎭32cos 6πρϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则232cos 2cos 66ππρρϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ϕ==；（2）由曲线M 的普通方程为：2220x y x +-=，联立直线BC 的参数方程得：20t =解得120,t t ==()1,,2,022B C ⎛ ⎝⎭则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ.即四边形面积为121311sin sin 26264OBAC S ππρρρρ=+=为所求. 【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题. 23.已知函数()24f x x x =++-. （1）求不等式()3f x x ≤的解集；（2）若()(1)f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1) [2,)+∞ (2) (,2]-∞ 【解析】 【分析】(1) 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求； (2)对x 分类讨论，当1x ≠时，241x x k x ++-≤-，借助绝对值不等式即可得到右侧的最小值，从而得到k的取值范围.【详解】（1）当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >；当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解； 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤； 综上所述，不等式解集为[)2,+∞.（2）由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥- 当1x =时，60≥恒成立，所以k R ∈； 当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++----- 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311|011x x ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x ≤-时，等号成立所以，2k ≤综上，k 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．21。
2020届河北省衡中同卷高三第六次模拟考试数学(文)试卷
2020届河北省衡中同卷高三第六次模拟考试数学试卷（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题：本大题共12道小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1、已知集合{}12<=x x M ，{}0>=x x N ，则=N M ( )A. φB. {}0<x xC. {}1<x xD. {}10<<x x2、 已知复数z 满足()i z i =+31，则=z （ ）A.223i - B. 223i + C. 443i- D. 443i + 3、 命题“∈∃x R ，0122<+-x x ”的否定是 （ ）A. ∈∃x R ，0122≥+-x xB. ∈∃x R ，0122>+-x xC. ∈∀x R ，0122≥+-x xD. ∈∀x R ，0122<+-x x4、若53s i n =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα45c o s （ ）A. 102-B. 102 C. 1027- D. 10275、若命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则 （ ） A. p 或q 为假 B. q 假 C. q 真 D. 不能判断q 的真假6、等差数列{}n a 中，21=a ，1332=+a a ，则=++654a a a （ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 45A. 4B. 9C. 0D. 58、双曲线1222=-y ax 过点()1,22P ，则双曲线的焦点坐标是 （ ）A.()()0,3,0,3- B. ()()0,5,0,5- C. ()()3,0,3,0- D. ()()5,0,5,0-9、已知向量()1,2-=a ，8=⋅b a ，∣b a +∣53=， 则∣b ∣= （ ）A. 10B. 52C. 62D. 2410、若函数13++=ax x y （∈a R ）在区间()2,3--上单调递减，则a 的取值范围是 （ ） A. [)+∞,1 B. [)0,2- C. (]3,-∞-11、甲、乙、丙三名同学在军训的实弹射击各射 击10发子弹，三人的射击成绩如表。
2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试(十)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试（十)数学试题（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =I ð( )A. {3,1}--B. {3,1,3}--C. {1,3}D. {}1,1- 【答案】B【解析】【分析】根据集合补集与交集定义求结果.【详解】U A =ð {|02}x x x 或≤≥， 所以()U A B ⋂=ð {}3,1,3--故选B【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.2.已知i 为虚数单位,若11a bi i=+-,（a ,b ∈R ）,则a +b =（ ）A. 1B. 2C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a 与b 的值，则答案可求．【详解】解：由()()111111122i i a bi i i i +==+=+--+， 得a ＝b 12=， ∴a +b ＝1．故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.向量,a b 满足1,2,()(2),a b a b a b ==+⊥-则向量a 与b 的夹角为（ ）A. 45︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒【答案】C【解析】 试题分析：由已知可得22()(2)20a b a b a a b b a b a b +-=+⋅-=⋅=⇒⊥⇒r r r r r r r r r r r r 夹角为90︒，故选C ．考点：向量的基本运算．4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A. 12B. 15C. 20D. 21【答案】A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可. 详解：因为分层抽样的抽取比例为21130000.7100=⨯， 所以初中生中抽取的男生人数是20000.612100⨯=人.本题选择A 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) nN =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．5.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案.【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项，而()ln ln f x x x x x -=--=-，所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项，故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.6.给定空间中的直线l 及平面a ，条件“直线l 与平面a 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面a 垂直”的（ ）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要 【答案】C【解析】【详解】直线与平面a 内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a 垂直，即充分性不成立.直线l 与平面a 垂直，则直线l 与平面a 内任意直线都垂直，所以直线l 与平面a 内无数条直线都垂直，必要性成立，选C.【此处有视频，请去附件查看】7.已知函数2()(1)23f x m x mx =--+是偶函数，则在(,0)-∞上此函数A. 是增函数B. 不是单调函数C. 是减函数D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】先由函数为偶函数求得0m =，进而由抛物线的性质可得解.【详解】因为函数2()(1)23f x m x mx =--+是偶函数，所以函数图像关于y 轴对称， 即01m m =-，解得0m =. 所以2()3f x x =-+为开口向下的抛物线，所以在(,0)-∞上函数单调递增.故选A.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质及二次函数的单调性，属于基础题.8.设函数()=sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ+>>≤与直线3y =的交点的横坐标构成以π 为公差的等差数列，且6x π=是()f x 图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是 A. [,0]3π- B. 45[,]36ππ-- C. 27[,]36ππ D. 5[,]63ππ-- 【答案】D【解析】因为函数()()=sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ+>>≤与直线3y =的交点的横坐标构成以π 为公差的等差数列，所以函数()f x 的周期为2ππω=，求得2ω=，且3A =，再由2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求得6k πϕπ=+结合2πϕ<，可得(),3266f x sin x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，求得36k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，令0,1,1k =- 可得,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ， 45,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ ， 27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增区间，可排除选项,,A B C ，故选D. 9.的双曲线22221x y a-=的右焦点为F ,直线l 过点F 且垂直于x 轴,若l 被抛物线22y px =截得的线段长为4,则p =（ ）A. 1B. 2C. 12D.【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线的焦点坐标，推出直线方程，代入抛物线中，求出y ，根据l 被抛物线y 2＝2px 截得的线段长为4，即可求出p ，问题得以解决． 【详解】的双曲线2222x y a -=1，可得e c a === 解得a 2=，c ==1， 双曲线2222x y a-=1的右焦点为F （1，0），∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，∴x＝1，代入到y2＝2px，可得y2＝2p，显然p＞0，∴y，∵l被抛物线y2＝2px截得的线段长为4，=2，解得p＝2，故选：B．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系，属于基础题．10.一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:黑桃:3,5,Q,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J,Q 方块:2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌.甲同学说:现我们知道了.则这张牌是（）A. 梅花3B. 方块7C. 红心7D. 黑桃Q【答案】B【解析】【分析】根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可．【详解】解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7,故选:B【点睛】本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．11.曲线2lny xx=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα+的值为（）A. 45B.45- C.35D.35-【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，求出切线斜率tan 3α=，再根据同角三角函数的基本关系可求出sin α，cos α，从而根据二倍角公式和诱导公式求得结果. 【详解】根据已知条件，212()f x x x '=+，因为曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，所以tan (1)123f α'==+=，02πα<<.因为22sin cos 1a α+=，sin tan 3cos ααα==，则解得sin α=cosα=，故3cos(2)sin 22sin cos 25παααα+=-=-=-. 故本题正确答案为D.【点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，熟记公式和概念是关键，属基础题.12.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. 1-B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出点A 关于直线3x y +=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】解：设点A 关于直线3x y +=的对称点(,)A a b '， AA '的中点为2(,)22a b +，AA b k a 2'=-故•(1)122322b a a b ⎧-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得31a b =⎧⎨=⎩， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点A '到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为22311101+-=-，故选A.【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ,y 满足约束条件32969x y x y +⎧⎨-⎩≤≤≤≤,则z =x +2y 的最大值为_______ 【答案】3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：画出约束条件表示的可行域，将目标函数z ＝x +2y 平移，当目标函数经过x ﹣y ＝6和2x +y ＝9的交点（5，﹣1）时，z 有最大值，即：3，故答案为：3．【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.已知函数|log |a y x =（a >0,a ≠1）与函数y =b （b >0）存在两个不同的交点,两交点的横坐标分别为x 1,x 2（x 1<x 2）,则2x 1+x 2的最小值为_______【答案】【解析】【分析】本题先根据函数y ＝|log a x |特点，可知0＜x 1＜1＜x 2，然后根据题意有log a x 1+log a x 2＝0，化简得x 211x =，则有2x 1+x 2＝2x 111x +，然后用均值不等式可得最小值． 【详解】解：由题意，根据函数y ＝|log a x |特点，可知0＜x 1＜1＜x 2，且log a x 1+log a x 2＝0，即log a x 1x 2＝0，x 1x 2＝1，故x 211x =， ∴2x 1+x 2＝2x 111x +≥=． 当且仅当2x 111x =，即x12=时，等号成立． 故答案为：．【点睛】本题主要考查对数函数的性质应用，均值不等式的应用，本题属中档题．15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45o ，与观测站A距离B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ<<o o 的C 处，且4cos 5θ=，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】485 【解析】 由已知，03sin ,45,5BAC θθ=∠=- 所以，0272cos cos(45=cos 210BAC sin θθθ∠=-+=）（）， 由余弦定理得，22202cos(45BC AB AC AB AC θ=+-⋅⋅-）72=800+100-22021034010⨯⨯⨯=,故285BC =（海里）， 该货船的船速为485海里/小时．考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．16.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC V 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则2233AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，由6AB =，得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆Q 是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥， 2223OP OF PF =+=，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心， 外接球半径23R OC ==，∴该三棱锥外接球的表面积为()242348ππ⨯=，故答案为48π.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （一）必考题:共60分17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，△P AD 为等边三角形，平面P AD 丄平面PCD .(1)证明：平面P AD 丄平面ABCD :(2)若AB =2，Q 为线段的中点，求三棱锥Q -PCD 的体积. 【答案】（1）详见解析（2）33【解析】 分析】（1）取PD 的中点O ，连结AO ，利用面面垂直的性质，证得AO ⊥平面PCD ，再由正方形的性质，证得CD AD ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到CD ⊥平面PAD ，进而得到平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）由（1）得A 到平面PCD 的距离3d =，进而求得Q 到平面PCD 的距离32h =，利用体积公式，即可求解．【详解】（1）证明：取PD 的中点O ，连结AO ， 因为PAD ∆为等边三角形，所以AO PD ⊥，又因为AO ⊂平面PAD ，平面PAD I 平面PCD PD =， 平面PAD ⊥平面PCD ，所以AO ⊥平面PCD ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以AO CD ⊥， 因为底面ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 因为AO AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）得AO ⊥平面PCD ，所以A 到平面PCD 的距离3d AO ==，因为底面ABCD 为正方形，所以//AB CD ，又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ， 所以,A B 两点到平面PCD 的距离相等，均为d ， 又Q 为线段PB 的中点，所以Q 到平面PCD 的距离32d h ==， 由（1）知，CD ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥， 所以111332233223Q PCD PCD V S h -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，以及棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．18.在公差不为零的等差数列{a n }中,已知a 2=3,且a 1,a 3,a 9成等比数列. （1）求数列{a n }的通项公式; （2）设数列{a n }的前n 项和S n ,记392n nb S =,求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）1n a n =+（2）1n n T n =+ 【解析】 【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得（1+2d ）2＝1+12d ，求出公差d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式求得S 3n ，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，依题意得()()121113260a d a d a a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪≠⎩解得121a d =⎧⎨=⎩∴()2111n a n n =+-⨯=+ （2）()()33319132122n n n n n S n -+=⨯+⨯=3992111229(1)(1)1n n b S n n n n n n ==⨯==-+++ 121111111122311n n T b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111n n n -=++， 故1n nT n =+ 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，用裂项相消法进行求和，属于中档题．19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有（2）710p = 【解析】 【分析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出2K ，与临界值表中的数据对照后可得结论．（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求． 【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表男 45 10 55 女 30 15 45 合计 7525100由列联表中的数据可得因为，所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n ）,（B,m,n ）,（C,m,n ）,（A,B,m ）, （A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ）,（A,B,C ），共10种情况， 其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C ），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ），共6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种， 因此，所求概率为710P =． 【点睛】由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，但解题时需要注意计算的准确性和判断的正确性，对独立性检验的考查多以解答题的形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．20.已知椭圆C :22221x y a b +=（a >b >0）的顶点到直线l 1:y =x 22.（1）求椭圆C 的标准方程（2）设平行于l 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r,求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）直线l 的方程为210y x =+210y x =【解析】 【分析】（1）根据直线l 1的方程可知其与两坐标轴的夹角均为45a =b =出C 的方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合|OA OB +u u u r u u u r |＝|AB u u u r|可得2244455t t OA OB --⋅=+=u u u r u u u r 0，求出t 即可.【详解】解：（1）由直线1l 的方程知，直线1l 与两坐标轴的夹角均为45︒， 故长轴端点到直线1l的距离为2，短轴端点到直线1l的距离为2==a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=（2）依题设直线:(0)l y x t t =+≠由2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x tx t ++-= 判别式()226416510t t ∆=-⨯->解得t <<设()()1122A x y B x y ，，， 由韦达定理得：由1221285445t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故()()()221212121245t y y x t x t x x x x t t -=++=+++=， 设原点为O ，OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r，故OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即221212444055t t x x y y --+=+=解得：t =，满足t <<0t ≠，故所求直线l的方程为y x =+y x =【点睛】本题考查椭圆方程的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，向量和差关系与位置关系的联系等，属于中档题．21.设函数21()(1)2xf x x e x =-+. （1）求f （x ）的单调区间.（2）当x >0时,不等式2()'()x k f x x x -<+恒成立,（其中'()f x 为f （x ）的导函数）.求整数k 的最大值.【答案】（1）函数()f x 在()-∞+∞，单调递减（2）k 的最大值为2 【解析】 【分析】（1）求导后，解不等式即可得解；（2）问题转化为11x x k x e ++-＜，令()11x x g x x e +=+-，则k ＜g （x ）min ，求函数g （x ）的最小值即可． 【详解】解：（1）函数21()(1)2xf x x e x =-+的定义域是R ，()()1x f x x e '=--，当0x >时，e 1x >，()0f x '<； 当0x <时，1x e <，()0f x '<； 当0x =时，()0f x '=.∴函数()f x 在()-∞+∞，上单调递减，即()-∞+∞，为其单调递减区间. （2）∵0x >,故()2()()()e 11xx k f x x x k x x '-<+⇔--<+, 又10x e ->,∴11xx k x e +<+- 令1()1xx g x x e +=+-,则min ()k g x <, 由()()()22e e 2e 1()1e1e1x x x xxx x g x ----'=+=--，令()e 2xh x x =--，则当0x >时，()e 10xh x '=->，()h x 在()0，+∞上单调递增，且(1)0(2)0h h <>，， 故()h x 在()0，+∞上存在唯一零点， 设此零点为0x ，则()0000(1,2)e 20xx h x x ∈=--=，，即002xe x =+， 当()00x x ∈，时，()0g x '<，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>， 于是()()00min 0001()123e 1x x g x g x x x +==+=+∈-，， ∴01k x <+，又k 为整数， ∴k 的最大值为2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，培养学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于中档题．（二）选考题:共10分.考生在第22,23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B 铅笔在答题卡上把目的题号涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-【解析】 【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 可得24cos 0ρρθ-=，所以曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.曲线2C：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-， 则2C的直角坐标方程为：(()2214x y -++=. （Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =， 所以l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得A ρ=-联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-，4A B AB ρρ=-=-解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）直线l直角坐标方程为y x =，联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ，联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()2B -， 所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.23.已知a >0,b >0,c >0,函数f （x ）=|a －x |+|x +b |+c . （1）当a =b =c =2时,求不等式f （x ）<10的解集; （2）若函数f （x ）的最小值为1,证明:22213a b c ++≥. 【答案】（1）{}|44x x -<<（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将a ＝b ＝c ＝2代入，分类讨论即可求解； （2）利用基本不等式容易得证．【详解】解：（1）当2a b c ===时，()|2||2|2f x x x =-+++所以2()102210x f x x -⎧<⇔⎨-<⎩„或22610x -<<⎧⎨<⎩或22210x x ⎧⎨+<⎩…所以不等式的解集为{}|44x x -<<（2）因为000a b c >>>，， 所以()|||||||f x a x x b c a x x b c a b c a b c =-+++-+++=++=++…因为()f x 的最小值为1，所以1a b c ++=所以2222()2221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=因为222222222ab a b bc b c ac a c +++≤，≤，≤ 所以()22222212223a b c ab ac bc a b c =+++++++≤所以22213a b c ++….【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．21。
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试(十)文科数学
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试（十)文科数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合{|A x y ==，{|12}B x x =-≤≤，则A B =I （ ）A. [1,2]-B. [1,2]C. (1,2]D. [1,1]{2}-U【答案】B 【解析】由{|{|1}A x y x x ===≥得，[1,)A =+∞，又因为{|12}B x x =-≤≤，[1,2]A B ∴=I ，故选B.2.“,0a b c >>”是“ac bc >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由不等式的性质知“,0a b c ac bc >>⇒>”是真命题，但反过来，若ac bc >，不能得出,0a b c >>，如(5)(1)(2)(1)-⨯->-⨯-，但52-<-，因此选A.考点：充分必要条件.3.某家庭去年收入的各种用途占比统计如下面的折线图，今年收入的各种用途占比统计如下面的条形图.已知今年的“旅行”费用比去年增加了3500元，则该家庭今年“衣食住”费用比去年增加了（ ）A. 2000元B. 2500元C. 3000元D. 3500元【答案】B 【解析】 【分析】根据折线图与条形图可得35%35%3500y x -=，即10000y x -=，从而得到“衣食住”费用的变化情况. 【详解】设该家庭去年的收入为x 元，今年的收入为y 元， 由题意得，35%35%3500y x -= ，解得10000y x -=，∴今年“衣食住”费用比去年多25%25%2500y x -=元，故选B.【点睛】本题考查对条形图和折线图的认识和应用，考查分析问题解决问题的能力． 4.函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π⎛⎫⎪⎝⎭的符号进行排除即可． 【详解】()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-， 函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A Ccos sin 102222f ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除B ，故选D ．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.5.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】由题意得22()()()()()(69)3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示．6.已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α=B. C. 12-D. 4-【答案】B 【解析】 分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可． 【详解】角α的终边经过点p （﹣1），其到原点的距离r ==2 故cos 12α=-，sin 2α= ∴sin22α=sin αcos 122α=⨯-=（）故选B ．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．7.若a r，b r =2，且（a b -r r ）a ⊥r ，则a r 与b r 的夹角是A.6πB.4π C.3π D.512π 【答案】B 【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=r r r r r r r r Q r r,cos 2||a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅r r r r u u r r,所以a 与b 的夹角是4π. 8.在数列 {}n a 中，112,2nn n a a a +=-=-，则2017a 的值为 （ ）A. 20162B. 20182C. 20172-D. 20172【答案】C 【解析】2112132122,2,,2n n n n n n a a a a a a a a Q -+-=-∴=-=-⋅⋅⋅=- ，以上等式相加得1121231211(12)(222)212n n n n n n a a a a a a a a ----++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+∴=-=-- ，201720172a ∴=- ．故选C ．9.已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-为()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 ( ) A. 函数()f x 的值域与()g x 的值域不同B. 存在0x ，使得函数()f x 和g()x 都在0x 处取得最值C. 把函数()f x 的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 D. 函数()f x 和g()x 在区间π(0,)2上都是增函数【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简可得f （x ）=（x 4π-），求导化简可得g （x ）=（x 4π+），结合三角形的函数的图象和性质即可判断【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，值域为：，()()'cos sin4g x f x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，值域为：］，两函数的值域相同，所以，A 错误；B 选项，不存在x 0，使得函数f （x ）和g （x ）都在x 0处取得极值点，B 错误；C 选项，()f x 的图像向右平移2π个单位：()24h x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与()g x 相同，C 正确；求出单调递增区间可知，()g x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数，D 错误．故选C【点睛】本题考查了导数的应用和三角函数的图象和性质，属于中档题.10.己知点(1,0)A -，(1,0)B 分别为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右顶点，点M 在双曲线C 上，若ABM V 是顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线C 的方程为A. 2214y x -=B. 2213y x -=C. 2212y x -=D. 221x y -=【答案】D 【解析】分析：由条件可得1a =，不妨设点M 在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM 中，120ABM ∠=︒且2AB BM ==，由此可得点M 的坐标，然后根据点M 在双曲线上可得1b =，故可得曲线方程．详解：由题意得1a =，故双曲线的方程为2221(0)y x b b-=>．设点M 在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM 中，有120ABM ∠=︒且2AB BM ==，∴点M 的横坐标为12cos 602M x =+︒=，纵坐标为2sin60M y =︒=，∴点M 的坐标为．又点在双曲线上，∴221-=，解得21b =， ∴双曲线的方程为221x y -=． 故选D ．点睛：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．11.定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，当31x -≤<-时2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++L =（）A. 335B. 338C. 339D. 340【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．【详解】解：(3)(3)f x f x +=-Q ，(6)()f x f x ∴+=()f x ∴为以6为周期的周期函数.Q 当31x -<-„时，2()(2)f x x =-+当13x -<„时，()f x x =，∴()11f =， ()22f =， ()3(3)1f f =-=-，()4(2)0f f =-=， ()5(1)1f f =-=-， ()6(0)0f f ==，∴()()()()()()1234561f f f f f f +++++=， ∴()()()123(2019)f f f f +++⋯+()()()336123f f f =+++ 338=．故选B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．12.椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（ ）A.222212cos sin 1e e θθ+= B. 222212sin cos 1e e θθ+= C .2212221cos sin e e θθ+= D. 2212221sin cos e e θθ+=【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出1a 、2a 关于c 的等式，从而可得出1e 、2e 的关系式.【详解】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，焦距为2c ，在12PF F ∆中，由余弦定理得()2222cos 22m n mn c θ+-=，由椭圆和双曲线的定义得1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，解得1212m a a n a a =+⎧⎨=-⎩. 代入()2222cos 22m n mn c θ+-=，得()()()()222121212122cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，即()222221221cos 22a a a a c θ++-=，()()222121cos21cos22a a c θθ∴-++=，即22222122sin 2cos 2a a c θθ+=，22221222sin cos1a a c cθθ∴+=，因此，222212sin cos 1e e θθ+=. 故选B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则3xz y =-+的最大值为_____【答案】43【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】解：作出实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，对应的平面区域如图：（阴影部分）由3x z y =-+的得13y x z =+，平移直线13y x z =+由图象可知当直线13y x z =+经过点A 时，直线13y x z =+的截距最大，此时z 最大．由2220x x y =⎧⎨-+=⎩解得()2,2A ．代入目标函数3xz y =-+得24233z =-+=．即3xz y =-+的最大值为：43．故答案为43．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.已知()1,4a =r ，()2,b k =-r，且()2a b +r r ∥()2a b -r r ，则实数k =___________.【答案】8- 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算可得()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，根据向量平行即可求出k . 【详解】由己知得，()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，由于()2a b +r r ∥()2a b -r r ,所以3(8)4(42)k k --=⨯+ 得8k =-. 故答案为：8-【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件，属于中档题. 15.若正三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正切值为___.【答案】15 【解析】【详解】设棱长为1.取中点,连接,根据正三棱柱的特点,,根据线面角的定义可知,为1AB 与侧面11ACC A 所成角,在中，.考点：线面角的定义.16.若过点32(,)(0,0,3)P a b a b b a a >>≠-可作曲线32()3f x x x =-的切线恰有两条，则11a b+的最小值为__________【答案】4+【解析】 【分析】求出f （x ）的导数，设切点（x 0，f （x 0）），求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得3a+b=1，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．【详解】f′（x ）=3x 2﹣6x ， 过点P （a ，b ）作曲线的切线，设切点（x 0，f （x 0）），则切线方程为：y ﹣b=（3x 02﹣6x 0）（x ﹣a ）， 将（x 0，f （x 0））代入得：f （x 0）=（3x 02﹣6x 0）（x 0﹣a ）+b=x 03﹣3x 02， 即2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，u′（x ）=6x 2﹣（6+6a ）x+6a=6（x ﹣a ）（x ﹣1）， 可得u （1）=0或u （a ）=0， 即有3a+b=1或b=a 3﹣3a 2（舍去），则11a b +=（3a+b ）（11a b +）=4+3b a a b +，当且仅当12时，取得等号．即有11a b+的最小值为故答案为【点睛】（1）本题考查导数的运用，考查求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用（注意乘1法），考查转化思想和化简整理的运算能力．（2）本题的解题关键是常量代换，即把11a b +化成11a b+=（3a+b ）（11a b+），再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1(2)3n n S n a =+． （1）求n a ；（2）求证:121111na a a ++⋯+<． 【答案】（1）(1)n a n n =+；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）由()32n n S n a =+，得()()11312n n S n a n --=+≥，两式相减整理得()1121n n a n n a n -+=≥-，然后利用累乘可得数列的通项公式．（2）由（1）可得()111n a n n =+，利用列项求和后利用放缩可得不等式成立． 试题解析：（1）∵()32n n S n a =+， ∴()()11312n n S n a n --=+≥，两式相减得，()()1321n n n a n a n a -=+-+，∴()1121n n a n n a n -+=≥-， ∴123211232111432(1),212321n n n n n n n a a a a a n n n a a n n n a a a a a n n n -----+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+≥---L L又12a =，满足上式． ∴()1(*)n a n n n N =+∈．（2）由（1）得()111111n a nn n n ==-++． ∴()1211111112231n a a a n n ++⋯+=++⋯+⋅⋅+ 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n =-<+． 18.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170]的概率． 【答案】（1）125；（2）112；（3）25【解析】 【分析】(1)由频率和为1,列出关于a 的方程,然后求出a 的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值; (2)根据一天行走步数不大于13000频率⨯样本容量,求出频数;(3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.【详解】解:(1)由题意,得(0.0020.0060.0080.0100.0080.0020.002)201a +++++++⨯=,所以0.012a =.设中位数为110x +,则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=, 所以15x =,所以中位数为125.(2)由200(0.002200.006200.008200.01220)112⨯⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人. (3)在区间(150,170]中有2000.0082032⨯⨯=人, 在区间(170,190]中有2000.002208⨯⨯=人, 在区间(190,210]中有2000.002208⨯⨯=人,按分层抽样抽取6人,则从(150,170]中抽取4人,(170,190]中抽取1人,(190,210]中抽取1人;设从(150,170]中抽取职工为a 、b 、c 、d ,从(170,190]中抽取职工为E ,从(190,210]中抽取职工为F , 则从6人中抽取2人的情况有ab 、ac 、ad 、aE 、aF 、bc 、bd 、bE 、bF 、cd 、cE 、cF 、dE 、dF 、EF 共15种情况,它们是等可能的,其中满足两人均来自区间(150,170]的有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共有6种情况, 所以两人均来自区间(150,170]的概率62155P ==; 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属基础题.19.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 翻折得到△ASE ，且平面ASE ⊥平面ABCE ．（1）求三棱锥B ﹣CES 的体积； （2）设线段SC 上一点G 满足2SGGC=，在BE 上是否存在点H 使GH ∥平面SAE ？若存在，求出EH 的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）515；（25【解析】 【分析】(1)过S 作SO AE ⊥于O ,从而得到SO ⊥平面ABCE ,进一步得到B CES S BCE V V --=,由此求出三棱锥B CES -的体积.(2)连接AC ,交BE 于H ,连接GH ,推导出//GH SA ,由此能求出结果.【详解】解:(1)过S 作SO AE ⊥于O ,因为平面ASE ⊥平面ABCE 交线为AE , 所以SO ⊥平面ABCE .在Rt ASE ∆中由1,2SE SA ==,得25SO =, 因为112122BCE S ∆=⨯⨯=,所以11225133155B CES S BCE BCE V V S SO --∆==⋅=⨯⨯=. 所以三棱锥B CES -的体积为2515.(2)连接AC ,交BE 于H ,连接GH , 因为//CE AB ,12CE AB =, 所以ABH CEH ∆∆∽,所以12CH EH CE HA HB AB ===, 又因为2SG GC =,所以12CG GS =,所以CG CHGS HA=,所以//GH SA . 又因为GH ⊂/平面SAE ,SA ⊂平面SAE ,所以//GH 平面SAE ,此时153EH BE ==.【点睛】本题考查了折叠问题、三棱锥体积的求法和线面平行的判定定理,考查了转化思想和运算求解能力,属中档题.20.已知函数()221xf x xe ax x =+++在1x =-处取得极值.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()1y f x m =--在[]22-,上恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）在（-∞，-1）递减；在（-1，+∞）递增；（2）212m 1,ee ⎛⎤∈--- ⎥⎝⎦.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，求出a ，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于22x xe x x m ++=在[-2，2]上恰有两个不同的实根．令g （x ）=xex+x2+2x ，求出函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出m 的范围即可． 试题解析：（1）f'（x ）=e x +xe x +2ax+2，∵f（x ）在1x =-处取得极值， ∴f'（-1）=0，解得a=1．经检验a=1适合， ∴f（x ）=xe x+x 2+2x+1，f'（x ）=（x+1）（e x+2），当x∈（-∞，-1）时，f'（x ）＜0，∴f（x ）在（-∞，-1）递减； 当x∈（-1+∞）时，f'（x ）＞0，∴f（x ）在（-1，+∞）递增． （2）函数y=f （x ）-m-1在[-2，2]上恰有两个不同的零点， 等价于xe x+x 2+2x-m=0在[-2，2]上恰有两个不同的实根， 等价于xe x +x 2+2x=m 在[-2，2]上恰有两个不同的实根． 令g （x ）=xe x +x 2+2x ，∴g'（x ）=（x+1）（e x +2）， 由（1）知g （x ）在（-∞，-1）递减； 在（-1，+∞）递增． g （x ）在[-2，2]上的极小值也是最小值； ． 又，g （2）=8+2e 2＞g （-2）， ∴，即．点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.21.已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，且1C 过点3(3,)B ，圆O 是以线段12F F 为直径的圆，经过点A 且倾斜角为030的直线与圆O 相切. （1）求椭圆1C 及圆O 的方程；（2）是否存在直线l ，使得直线l 与圆O 相切，与椭圆1C 交于,C D 两点，且满足OC OD CD +=u u u v u u u v u u u v？若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）椭圆1C 的方程为22143x y +=，圆O 的方程为221x y +=；（2）不存在 【解析】【详解】分析：（1）由题意得01sin302c a ==，再根据椭圆过点B 得到关于,,a b c 的方程组，求解后可得椭圆和圆的方程．（2）先假设存在直线满足条件．（ⅰ）当直线斜率不存在时，可得直线方程为1x =±，求得点,C D 的坐标后验证可得OC OD CD +≠u u u v u u u v u u u v；（ⅱ）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得0OC OD ⋅=u u u v u u u v不成立．从而可得不存在直线l 满足题意．详解：(1)由题意知()1,0F c -,()2,0F c ,(),0A a ，圆O 的方程为222x y c +=由题可知022222303314c sin aa b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，圆O 的方程为221x y +=.（2）假设存在直线l 满足题意.由OC OD CD +=u u u v u u u v u u u v ，可得OC OD OD OC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，故0OC OD ⋅=u u u v u u u v．（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，此时l 的方程为1x =±． 当直线1l x =方程为时，可得331,,1,,22C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以9104OC OD ⋅=-≠u u u v u u u v ．同理可得，当1l x =-方程为时，0OC OD ⋅≠u u u v u u u v. 故直线l 不存在．（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 方程为y kx m =+， 因为直线l 与圆O 相切，1=，整理得221m k =+①由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,C x y D x y ，则122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+， 因为OC OD CD +=u u u v u u u v u u u v ， 所以OC OD OD OC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则0OC OD ⋅=u u u v u u u v，即12120x x y y +=， 所以()()()()221212121210x x kx m kx m k x xkm x x m +++=++++=，所以()222224128103434m kmkkm m k k--+++=++， 整理得22712120m k --=② 由①②得21k =-，此时方程无解. 故直线l 不存在． 由（i ）（ii ）可知不存直线l 满足题意.点睛：圆锥曲线中存在性问题的求解步骤假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，将曲线C 向左平移2个单位长度得到曲线D . （1）求曲线D 的参数方程；（2）已知P 为曲线D 上的动点，,A B 两点的极坐标分别为)6π，求AP BP ⋅u u u r u u u r的最大值.【答案】（1）曲线D 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）13-【解析】试题分析：（1）题设给出的是曲线C 的极坐标方程，把它变形为24cos ρρθ=后利用222,cos x y x ρρθ==+把后者化为()2224x y -+=，向左平移2个单位长度后得到曲线D ，其方程为224x y +=，其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）.（2）,A B 两点的直角坐标为()(3,0,，利用（1）算出的曲线D 的参数方程计算·1312cos AP BP αα=--u u u v u u u v，利用辅助角公式可以求其最大值.解析：（1）2224cos ,4cos ,4x y x ρθρρθ=∴=∴+=Q ,则曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，易知曲线C 为圆心是()2,0，半径为2的圆，从而得到曲线D 的直角坐标方程为224x y += ，故曲线D的参数方程为 ()2cos 2sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数.（2）,A B 两点的直角坐标分别为()(3,03，，依题意可设()2cos ,2sin P αα ，则 ()(2cos 3,2sin ,2cos 3,2sin AP BP αααα=-=-u u u v u u u v，()(22cos 32sin 2sin 412cos 9AP BP a a ααα∴⋅=-+=--+u u u v u u u v()13αφ=-+，故AP BP ⋅u u u r u u u r的最大值为13-23.设函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若关于x 的不等式()412f x m +≥-有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (0,)+∞;(2) 34m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f （x ）＞1解集;（2）根据题意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-m|有解，即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值，从而求得m 的范围． 试题解析：（1）函数()f x 可化为()3,2,{21,21,3,1,x f x x x x -≤-=+-<<≥当2x ≤-时，()30f x =-<，不合题意；当21x -<<时，()2110f x x x =+>⇒>，即01x <<；当1x ≥时，()31f x =>，即1x ≥.综上，不等式()1f x >的解集为()0,+∞.（2）关于x 的不等式()412f x m +≥-有解等价于()()max412f x m +≥-，由（1）可知()max 3f x =，（也可由()()()21213f x x x x x =+--≤+--=，得()max 3f x =），即127m -≤，解得34m -≤≤.。
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2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷（十三）
文科数学
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1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}
2|4B x x =≤，则A B =（ ） A ．[]2,1-- B ．[)1,2- C ．[]1,1- D ．D ．[)1,2 2．i 为虚数单位，复数2i i 1
z =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第二象限 B ．第一象限 C ．第四象限 D ．第三象限
3．设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 6
9S S = ( ) A ． 2 B ．73 C ． 83
D ．D.3 4. 在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
5
．已知向量)=a ，()0,1=-b
，(k =c ，若()2-⊥a b c ，则k 等于（ ） A
． B ．2 C ．C ．3- D ．1
6．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，()0,0ωϕ><<π的部分图像如图所示，则ω，ϕ的值分别
是（ ）
A ．31,4π
B ．2,4π
C ．C ．34ππ,
D ．24
π
π, 7．条件:|4|1P x ->，条件1:13Q x
>-，则P ⌝是Q ⌝的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 .D 既不充分也不必要条件
8. 设点P 是曲线3
233+-=x x y 上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A ．2[0,)[,)23πππ⋃
B ． 5[0,)[,)26πππ⋃
C ． 2[,)3ππ
D ． 5(,]26
ππ 9. 函数的最大值为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2 10. 设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b
B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b
C ．若a α，b β，a ∥b ，则α∥β
D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b
11. ABC △的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 1sin sin A b B C a c +=++，则C 为（ ） A ．6π
B ．B ．3π
C ．23π
D ．56π
12. 在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )
A ．S 17
B ．S 18
C ．S 19
D ．S 20
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．函数f(x)＝log a 3－x 3＋x
(a>0且a ≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为__________． 14若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
15．满足不等式组⎩⎨⎧
x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，
并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________． 16．数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，则a n ＝ . 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(12分) 已知函数bx ax x x f 62)(23+-=在1-=x 处有极大值7．
(Ⅰ)求)(x f 的解析式；
(Ⅱ)求)(x f 的单调区间；
18. （12分）已知向量
, ,函数
.
（1）求函数
的最小正周期及单调递增区间; （2）当
时,求
的值域.
19．(12分)如图，△ABC 中，AC ＝BC
＝2
AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．
(1)求证：GF ∥平面ABC ；
(2)求证：AC ⊥平面EBC ；
(3)求几何体ADEBC 的体积V .
20．（12分）已知()23f x x =--，()21n g x x x ax =-且函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行．
（1）求函数()g x 在()()1,1g 处的切线方程；
（2）当()0,x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．
21 （12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，
cos B ＝35.
(1)若b ＝4，求sin A 的值；
(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．
22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
2*2n n n S n +=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()
*3n a n n b a n =⋅∈N ，求数列{}n b 的前n 项和。