中山大学2011年高等代数考研题
2011-数一真题、标准答案及解析
n
(-1) 收敛，可知幂级数∑a ∞
2011 年考研数学试题（数学一）
一、选择题
1、 曲线 y = (x -1)(x - 2)2
(x - 3)3
(x - 4)4
的拐点是（
）
（A ）（1，0）
（B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由 y = (x -1)(x - 2)2
(x - 3)3
(x - 4)4
可知1, 2, 3, 4 分别是
y = ( x -1)( x - 2)2 ( x - 3)3 ( x - 4)4
= 0
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 y '(1) ≠ 0 ， y '(2) = y '(3) =
y '(4) = 0
y ''(2) ≠ 0 ， y ''(3) = y ''(4) = 0 ， y '''(3) ≠ 0, y '''(4) = 0 ，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列 {a n } 单调减少， lim a n = 0 ， S n =
∑ a k (n = 1,2
) 无界，则幂级数
n →∞
k =1
∑a n ( x -1)
n
的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）
n =1
(0，2]
【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】 S n
=
∑ a k k =1
(n = 1,2
)无界，说明幂级数∑a n n =1
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
的参数方程为
y
sin
t
，其中 t 从 0 到 2 ，因此
z
cos
t
sin
t
xzdx xdy y2 dz 2
L
2 cos t(cos t sin t)( sin t) cos t cos t sin2 t (cos t sin t)dt
0
2
2 sin t cos2 t sin2 t cos t cos2 t sin3 t dt
2z
且在 x=1 处取得极值 g(1)=1,求 xy
x1, y1
17．(本题满分 10 分)求方程 k arctan x x 0 不同实根的个数，其中 k 为参数.
18．(本题满分 10 分)证明：(1）对任意正整数 n，都有 1 ln(1 1 ) 1
n 1
nn
1
1
(2）设 an 1+ 2 n lnn(n 1,2,) ,证明{an}收敛.
f (0) f (0)
f (0) 0 ， zxx
x0
f (0) ln
f (0) ，
y0
y0
z
yy
x0
f (0)
f (0) f (0) ( f (0))2 f 2 (0)
f (0) .
y0
要使得函数 z f (x)ln f ( y) 在点(0,0)处取得极小值，仅需
2011考研数学一真题和答案解析
2010年考研数学一真题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )
]l
=
(A)1 (B)l (C)l l −l (D)l l −l 【考点】C 。 【解析】 【方法一】
这是一个“1∞”型极限
lll l →∞
[l 2
(l −l )(l +l )]l =lll l →∞
{[1+
(l −l )l +ll (l −l )(l +l )
]
(l −l )(l +l )(l −l )l +ll }(l −l )l +ll
(l −l )(l +l )
l =l l −l
【方法二】 原式=lll l →∞
l
lll l 2
(l −l )(l +l )
而lll l →∞
lll l 2
(l −l )(l +l )=lll l →∞
lll (1+(l −l )l +ll
(l −l )(l +l ))
=lll l →∞
l ∙(l −l )l +ll
(l −l )(l +l ) (等价无穷小代换)
=l −l
则lll l →∞[l 2
(l −l )(l +l )
]l
=l l −l
【方法三】
对于“1∞”型极限可利用基本结论：
若lll
l (l )=0, lll
l (l )=0,且
lll
l (l )l (l )=l
则ll l (1+l (l ))
l (l )
=l l ,求极限
由于lll l →∞
l (l )l (l )=lll l →∞
l 2−(l −l )(l +l )
(l −l )(l +l )∙l =lll
数2--11真题答案
2011年考研数学(二)试题答案速查
一、选择题
（1）C （2）B （3）C （4）C （5）A （6）B （7）D （8）D 二、填空题
（9
（10）e sin x
x − （11
）ln(1 （12）
1
λ
（13）
7
12
（14）2 三、解答题 （15）13α<<. （16）极小值1
3
y =−
，极大值1y =， 凸区间为1
(,)3−∞，凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33
.
（17）111
12(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （18
）π
()arcsin
4
x y x =−. （19）略. （20）（Ⅰ）9
π4
V =.（Ⅱ）27π8W g ρ=. （21）a .
（22）（Ⅰ）5=a .
（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.
（23）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
（Ⅱ）001000100⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A .
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）参考答案
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．
【解答】由泰勒展开定理33sin ()3!x x x o x =−+，33(3)sin 33()3!
x x x o x =−+.
2011考研数一真题答案及详细解析
而厂八 +厂 (x)F2 (x)dx
f2 Cx)F心）dx
＝厂: +厂 F2 (X)dF1 (X)
F1 (x)dF2 Cx)
-厂 气(x)F卢） +=
00
F 1 (.r)dF卢）＋『一= F1 (x)dF卢）= 1,
+ ．．八 (x) 凡 (x) j卢）F心）满足概率密度的两条性质．故应选D.
(8) B
解因为UV={YXXY,,
当X�Y时 ， 当X<Y时，
所以UV=XY,于是E (UV) =E (XY)=EX• EY.故应选B.
二、填空题
(9) lnO +迈） 解因为y'(x)=tanx.
厂 ✓ ✓ 所以s= 4 1 + [y1(x)了dx= 4 1 +tan2 x dx
千 +』 1: e=dx�In Isecx ::nx I �lnO+迈）．
=
.工l-imo+
1 — lnO+x)-1 2x(l+x)+x2
1
+ =
lim 工 -o+
2
l +x 6x
=
-— l 2·
当X <O 时， lny = In[ — ln(l+x)] — In(-x)，同样可得
于
中山大学考高等代数研试题(2003-2010)
六、 （10 分） 设 A, B 是两个可换的实方阵， 且存在自然数 k 使得 A 0 . 证明： A B B .
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中山大学历年考研试题-高等代数（2003-2010）
中山大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
1 a1
一、 Leabharlann Baidu10 分）计算行列式 D
科目代码：870
三、 （1） （14 分）求下列行列式：
a1 j1
j1 j2 jn
a1 j2 a2 j2
a1 jn a 2 jn anjn
，这里 是对 1, 2, , n 的全排列求和；
a2 j1
anj1
anj2
a 1 a
a a
a a
.
1 2
a
a
a
1 n
n n
当 A 的列向量组线性无关； LA 是满射当且仅当 A 的行向量组线性无关. 2. 设 f ( x ), g ( x ) 是数域 F 上的多项式， m( x) [ f , g ] 是它们的首一最小公倍式， 是F
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中山大学历年考研试题-高等代数（2003-2010）
上线性空间 V 的一个线性变换. 证明： ker f ( ) ker g ( ) ker m( ) . 3． 设 是复线性空间 V 的一个线性变换. 证明： 相似于对角矩阵当且仅当对任意 子 空间 U 都有 子空间 U 使得 V U U . 4． 设 A, B 是 n 阶实对称矩阵，且 B 是正定矩阵. 证明：存在实可逆矩阵 C 使得 C AC 和
中山大学考研数学分析2011年真题及答案
中山大学2011年数学分析真题
题目
一、（每小题6分，共48分） （1） 求极限lim
x→0√1−x 2−1xtanx
； （2） 计算积分∫
sinxcosx 1+sin 4x
dx π
2
0；
（3） 已知∑(−1)n
a n ∞n=1=A ，∑a 2n−1=B ∞n=1，求级数∑a n ∞n=1的和；
（4） 计算∬(2x +43y +z)dS S
，其中S 为平面x 2+y 3+z
4=1在第一卦限部分； （5）
计算∫√x 2+y 2dx +y (xy +ln(x +√x 2+y 2))dy L ，其中L 为曲线y =sinx(0≤
x ≤π)按x 增大方向； （6） 判断级数∑n √n−lnn
∞是绝对收敛，条件收敛还是发散？
（7） 设{x =t 3−3t y =t 2+2t
，求二阶导数d 2y dx 2； （8）
求数列极限lim n→∞
12·34····
2n−12n
。 二、设f (x,y )=√|xy |，求偏导数ðf ðx ,
ðf ðy
，指出它们的定义域及连续性，并讨论f (x,y )在点
(0,0)处的可微性。
三、设f (x )满足 （1） −∞
（2）
|f (x )−f (y )|≤L |x −y |，0
任取x 1ϵ[a,b]，做序列x n+1=12
(x n +f (x n ))，n =1,2,…。求证{x n }收敛，且其极限ξϵ[a,b]满足：f (ξ)=ξ。
四、设正项数列{x n }单调递增，且lim n→∞
x n =+∞，证明∑(1−
x n x n+1
)∞n=1发散。
五、已知P 是∠AOB 内固定点，∠AOP =α,∠BOP =β，线段长度OP
2011硕士研究生入学考试高等代数试题答案
济 南 大 学
2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）答案及评分标准
一、（20分）⑴.设p 是奇素数，试证1++px x p 在有理数域上不可约.
设
()1p f x x px =++.令1x y =-,()(1)g y f y =-,那么()(1)(1)(1)1p g y f y y p y =-=-+-+
1122221(1)(1)(1)(1)1221p p p p p p p p p y y y y p y p p p ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
,取素数p ,则
()g y 满足Eisenstein 判断法的条件,故()g y 在有理数域上不可约. 由于()g y 与()f x 在有理数域上有相同的可约性,故()
f x 有理数域上不可约.
⑵.判断2=x 是8122116)(2
345+--+-=x x x x x x f 的几重根.
作综合除法可知,2是
()f x 的三重根,且3()(2)(1)(1)f x x x x =-+-.
二、（10分）如果1()n x f x -，则1()n n
x f x -.
()1()()1()(1)01()1()n n n n x f x f x x g x f x f x x f x -⇒=-⇒=⇒-⇒-
三、（10分）()111(1)x x x n x x x ααααααααααα
=-+
()()()()(1)1
2111
(1)1(1)n n n x n x n x x x ααααα---=-+=--+--
(NEW)中山大学公共卫生学院数学分析与高等代数历年考研真题汇编
目 录
2008年中山大学公共卫生学院642数学分析与高等代数考研真题2009年中山大学公共卫生学院659数学分析与高等代数考研真题2010年中山大学公共卫生学院663数学分析与高等代数考研真题2011年中山大学公共卫生学院670数学分析与高等代数考研真题2012年中山大学公共卫生学院669数学分析与高等代数考研真题2013年中山大学公共卫生学院674数学分析与高等代数考研真题2014年中山大学公共卫生学院681数学分析与高等代数考研真题2015年中山大学公共卫生学院681数学分析与高等代数考研真题2016年中山大学公共卫生学院673数学分析与高等代数考研真题2017年中山大学公共卫生学院678数学分析与高等代数考研真题2018年中山大学公共卫生学院677数学分析与高等代数考研真题2019年中山大学公共卫生学院679数学分析与高等代数考研真题
2008年中山大学公共卫生学院642数学分析与高等代数考研真题
2011考研数一真题及解析
2z xy
f1[xy, yg(x)]
y[ xf11 ( xy,
yg(x)
g(x) f12 (xy,
yg(x)]
2z xy
fx(1,1)
f11(1,1)
f12 (1,1)
17 解：
令f (x) k arctan x x
f
( x)
k 1 x2 1 x2
(1)当k 1 0,即k 1时，f (x) 0(除去可能一点外f (x) 0),所以f (x)单调减少，
15 解：原式= lim[1
(
ln(1
x)
x
)
x ln(1 x)x
]e
1
x1
ln(1 x) x
x
elim x0
ln(1 x)x x(ex 1)
1 1 1 x
e x2
1
e2
x0
x
16 由 g(x)可导且在 x=1 处取极值 g(1)=1 所以 g(1) 0
z x
f1[xy, yg(x)]y
f2[xy, yg(x)]yg(x)
)
e
1 x 1
x0
x
16 设 z f (xy, yg(x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，
且在 x=1 处取得极值 g(1)=1,求 2z
xy
x1, y1
2011年考研数学一真题(含完整答案)
:8999*())):8999*(
))
)
(11)设函数F(x,y)=『三皿钟，则空�=
0 1 + t ax2 x=O
y=2
(12)设L是柱面x2+ y2 = 1与平面z=x +y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则
f
曲线积分xz d x+x d y +L d z = .
2
(13)若二次曲面的方程x2+ 3y2 + z2 + 2a xy + 2x z + 2yz = 4经正交变换化为外+4z i = 4, 则
a=
(14)设二维随机变掀(X,Y)服从正态分布N(µ,µ;矿，6勹0)'则E(XY勹＝
三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15)(本题满分10分）
求极限四[l n(l x+x)]沪-l.
(16)(本题满分9分）
设函数Z= j(x y ,y g (X)) ,其中函数J具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在X= I处取得极值g(l)=l. 求护z I
砬y霄
(17)(本题满分10分）
求方程k arcta n x -x =0不同实根的个数，其中k为参数
—2—
:
8*(
:8999*())):8999*(
))
)