2006年太原市初中数学竞赛
2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案
2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C．2．已知，，且，则的值等于（）（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9答：C．解：由已知可得，．又，所以，解得．故选C．3．Rt△ABC的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为，则（）（A）（B）（C）（D）答：B．解：设点A的坐标为，点C的坐标为（），则点B的坐标为，由勾股定理，得，，，所以．由于，所以，故斜边AB上高．故选B．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过次后，可得（＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（＋1）×360°．因为这（＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（＋1）－34＝－33（个），而这些多边形的内角和不少于（－33）×180°．所以（＋1）×360°≥34×60×180°＋（－33）×180°，解得≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B．5．如图，正方形内接于⊙ ，点在劣弧上，连结，交于点．若，则的值为（）（A）（B）（C）（D）（第5题图）答：D．解：如图，设⊙ 的半径为，，则，，．在⊙ 中，根据相交弦定理，得．即，所以．连结DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知，，为整数，且＋＝2006，＝2005．若＜，则＋＋的最大值为．答：5013．解：由＋＝2006，＝2005，得＋＋＝＋4011．因为＋＝2006，＜，为整数，所以，的最大值为1002．于是，＋＋的最大值为5013．7．如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c 是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于 .（第7题图）答：．解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则．由△ADG ∽ △ABC，可得，解得．于是，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了米．于是，且≤ ，所以，≤ ＜．故x=13，此时．9．已知，且满足（表示不超过x的最大整数），则的值等于．答：6．解：因为，所以，，…，等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以＝＝…＝＝0，＝＝…＝＝1，所以，≤ ＜．故≤ ＜，于是≤ ＜，所以 6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为．根据题意，有81× ＝．记，于是，解得．因为≤ ≤ ，所以≤ ＜，故＜≤ ．因为为整数，所以＝2．于是．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知， , 为互质的正整数，且≤ ，．（1）试写出一个满足条件的x；（2）求所有满足条件的．解：（1）满足条件．……………………5分（2）因为， , 为互质的正整数，且≤ ，所以，即．当a＝1时，，这样的正整数b不存在．当a＝2时，，故b＝1，此时．当a＝3时，，故b＝2，此时．当a＝4时，，与互质的正整数b不存在．当a＝5时，，故b＝3，此时．当a＝6时，，与互质的正整数b不存在．当a＝7时，，故b＝3，4，5，此时，，．当a＝8时，，故b＝5，此时．所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．…………………15分12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式①及，②求的取值范围．解法1：由①－2×②得，所以．当时，．…………………10分又当＝时，由①，②得，③，④将④两边平方，结合③得，化简得，故，解得，或．所以，的取值范围为且，．……………15分解法2：因为，，所以＝＝，所以．又，所以，为一元二次方程⑤的两个不相等实数根，故，所以．当时，．…………………10分另外，当＝时，由⑤式有，即，或，解得，或．所以，的取值范围为且，．…………………15分13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：．（第13题图）证明：因为AC∥PB，所以．又PA是⊙O的切线，所以．故，于是△KPE∽△KAP，所以，即．………………5分由切割线定理得，所以， KP＝KB．…………………10分因为AC∥PB，所以，△KPE∽△ACE，于是，故，即．…………………15分14．2006个都不等于119的正整数排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数，，…，，①若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和（≤ ＜≤ ），于是，从而此命题得证．…………………5分对于中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为，所以≥ ．②…………………10分取，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，的最小值为3910．…………………15分。
太原市2006年数学中考试题-太原市二○○六年初中学业考试 数学试题
①30% ②40%③20% ④10% ① 很感兴趣 ② 感兴趣 ③ 兴趣一般 ④ 说不清 l A1A 2 2 C 1B 1 B 2 AC OBAC太原市二○○六年初中学业考试 数学试题第Ⅰ卷 （选择题 共30分）一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. - 2的相反数是A. - 2B.21 C. 2D. -212.不等式组⎩⎨⎧>>-0,02x x 的解集为A. x ＞ 2B. x ＞ 1C. x ＜ 2D. 1 ＜ x ＜ 23.已知△ABC ∽ △DEF ， AB ∶DE = 1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比等于A. 1∶2B. 1∶4C. 2∶1D. 4∶1 4.右图是学校对九年级100名学生学习数学的兴趣进行问卷调查的结果，被调查学生中对学习数学很感兴趣的有A. 40人B. 30人C. 20人D. 10人5.如图，△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线l 对称，将△A 1B 1C 1向右平移得到△A 2B 2C 2 .由此得出下列判断：（１）AB ∥ A 2B 2；(2)∠A= ∠A 2；（3）AB = A 2B 2 .其中正确的是 A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（1）（2）（3）6.小明准备参加校运会的跳远比赛，下面是他 近期六次跳远的成绩（单位：米）：3.6， 3.8，4.2， 4.0， 3.8， 4.0 . 那么这组数据的 A. 众数是3.9米 B. 中位数是3.8米 C. 极差是0.6米 D. 平均数是4.0米 7.如图，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，∠A= 40°，则∠DOC 等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°8.用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1、l 2如图所示，他解的这个方程组是A.⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=121,22x y x y B.⎩⎨⎧-=+-=x y x y ,22C.⎪⎩⎪⎨⎧-=-=321,83x y x yD.⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=121,22x y x y9.下图中的零件是用同一规格的正方体铁块加工成的，它们的表面均为平面，每个零件的左右表面完全相同. 其中主视图和俯视图都是左图的零件共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 10.下列图形都是二次函数y = ax 2 + ax + a 2 - 1的图象，若b >0, 则a 的值等于A.251+-B. -1C.251-- D. 1第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）主（俯）视图A (人口150万人)B (人口180万人)C (人口100万人)240km320km160kmB CDAE F二、填空题（本大题含10个小题，每小题2分，共20分） 把答案填在题中横线上或按要求作答.11.化简242+-x x 的结果是____________．12.如图是小颖所画正方体平面展开图的一部分， 请补画完整， 使它成为该正方体的一种平面展开图 .13.一元二次方程x 2 - 2x - 2 = 0的解是____________.14.边长为4cm 的等边三角形的中位线长等于_____________cm . 15.专家提醒， 目前我国少年儿童的健康存在着五个必须重视的问题：营养不良和肥胖、近视、龋齿、贫血以及儿童卫生. 这个结果是通过_____________得到的. （选填“普查”或“抽样调查”） 16.已知⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d ，当d = r 时， 直线l 与⊙O 的位置关系是_____________.17.如图， 已知AB ∥ CD ， ∠C =75°，∠A = 25°， 则∠E 的度数为__________.18.某企业2005年的年利润为50万元， 如果以后每年的年利润比上一年的年利润都增长p %， 那么2007年的年利润将达到______________万元 ．19.据有关资料统计， 两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人） 以及两城市间的距离d （单位：km ）有T =2d kmn的关系（k 为常数）. 已知A 、B 、C 三个城市的人口数及它们之间的距离如图所示. 如果A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ， 那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数用含t 的代数式表示为________________. 20.如图， 在15 × 15的网格中， 每个小正方形的边长均为1， 每个小格的顶点叫做格点. 在图中画出以格点为顶点，边长都为整数的一个锐角△ABC ，并在每条边上标出其长度. 三、解答题（本大题含9个小题，共80分） 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.（本小题满分7分） 化简并求值：（m + n ）2 + （m + n ）（m - 3n ）；其中m =2，n = 1．22.（本小题满分8分） 解方程:.311312-+=--x x x23.（本小题满分8分）某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为３１°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为３０米 ， 求这幢楼房的高AB .（结果精确到1米. 参考数据：sin ３１°≈0.52，cos ３１°≈0.86，tan ３１°≈0.60 ） 24.（本小题满分10分）“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏. 游戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负.假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率.(提示：为书写方便，解答时可以用S 表示“石头”，用J 表示“剪刀”，用B 表示“布”)25.（本小题满分10分）如图，已知四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ是对角线ＢＤ上的两点，且ＢＥ＝ＤF ． （1）若四边形ＡＥＣＦ是平行四边形，求证四边形ＡＢＣＤ是平行四边形；（2）若四边形ＡＥＣＦ是菱形，那么四边形ＡＢＣＤ也是菱形吗，为什么？B A E 310（3）若四边形ＡＥＣＦ是矩形，试判断四边形ＡＢＣＤ是否为矩形，不必写理由．26.(本小题满分10分) 王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价格销售.两商场采用的促销方式不同: 在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠.那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？27.（本小题满分8分）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3米，最高3.5米的厢式货车. 按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5米. 为设计这条能使上述厢式货车恰好安全通过的隧道，在图纸上以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标28.（本小题满分7分）A B CDE F在学习扇形的面积公式时，同学们推得Ｓ扇形＝3602R n π，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l ＝180R n π，得出扇形面积的另一种计算方法Ｓ扇形＝21lR ．接着老师让同学们解决两个问题：问题Ⅰ.求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积.问题Ⅱ.某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB 和CD 所在圆心都是点O ，AB 的长为l 1，CD 的长为l 2，AC=BD=d ，求花坛的面积.（1）请你解答问题Ⅰ；（2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式Ｓ扇形＝21lR 类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S =21（l 1 + l 2）d .他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由 .29.（本小题满分12分）如图，已知直线y = kx + 1经过点A（-3，-2），点B（a，2），交y轴于点M .（1）求a的值及AM的长；（2）在x轴的正半轴上确定点P，使得△AMP成为等腰三角形，在图中标明点P的位置并直接写出坐标；（3）将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到AC，点D（3，b）在直线AC上，连接BD. 设BE是△ABD的高，过点E的射线EF将△ABD 的面积分成2 :3两部分，且交△ABD的另一边于点F . 求点F的坐标.。
初中培优竞赛 第12讲 函数与图象
一、选择题1.（2007年浙江省竞赛题）抛物线y=x2+x+P(P≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是()A.(0,−2)B.(12,−94)C.(−12,94)D.(−12,−94)2.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛题）设0<k<1，关于x的一次函数y=kx+1k(1−x)，当1≤x≤2时的最大值是()3.（2007浙江省竞赛题）直线l：y=Px（p是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有( )A.6条B.7条C.8条D.无数条4.（2007浙江省竞赛题）若ab+c =bc+a=ca+b=t，则一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限是()A.第一、二象限B.第一、二、三象限C.第二、三、四象限D.第三、四象限5.（2007浙江省竞赛题）函数y=−1|x|图象的大致形状是( )6.（2006年全国初中数学竞赛海南赛区初赛题）如图12 -6所示，正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是( )7.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区赛题）作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2再将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2−1，则抛物线C l所对应的函数解析式是( )A.y=2(x+3)2−2B.y=−2(x+3)2+2C.y=2(x−1)2−2D.y=−2(x−1)2+28.（2007年山东省竞赛题）如图12 -7所示，一次函数y=kx+b的图象过点P(l，4)，且分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点O为坐标原点.当△AOB面积最小时，k，b 的值为( )A.k=−4,b=8B.k=−4,b=4C.k=−2,b=4D.k=−2,b=29.（2006年全国初中数学竞赛题）若函数y=(k+1)x2+x+k2+3k−2的图象与y 轴交点的纵坐标为-4，则k的值是()A.-1B.-2C.-1或2D.-1或-210.（2006年全国初中数学竞赛题）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h，则()A.h<1B.ℎ=1C.1<ℎ<2D.ℎ>211.（第41届美国高中数学考试题）已知f x=ax2−2,a为一个正常数，如果f(f(2))=−2，则a的值为()A.2−2B.1C.2− 2D.2E.2+2二、填空题12.（1996年上海市初中数学竞赛题）已知函数y=(a−2)x−3a−1，当自变量x的取值范围为3≤x≤5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围为______________13.（2006年太原市初中数学竞赛题）不论m取何值，抛物线y=x2+2mx+m2+m−1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是__________ .14.（1999年黄冈初中数学竞赛题）如图12 -8所示，直线y=−2x+10与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标是____ .15.（2007年周报杯竞赛题）已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0).若二次函数y=x2+(a−3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是______________ 16.（2007年数学周报杯竞赛题）如图12 -9所示，点A，C都在函数y=33x(x>0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为___________17.（2006年全国初中数学竞赛题）函数y=x2−2006|x|+2008的图象与x轴交点的横坐标之和为________________18.（2005年全国初中数学竞赛题）在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−43m2(m>0)与x轴交于A，B两点，若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m=________________19.（1999年全国初中数学竞赛题）如图12 - 10所示，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP 与AB的交点为F.设DP=x cm，△EFB与四边形AFPD的面积和为y cm2，那么y与x之间的函数关系式是________(0<x<10).三、解答题20.（1997年江苏省初中数学竞赛题）求证：不论k为何值，一次函数(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0的图象恒过一定点.21.（1993年江苏省初中数学竞赛题）已知mm是两位数，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2.(1)求证：0<m2−4n≤4;22.（2005年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题）已知二次函数y=a(a+1)x2−(2a+1)x+1，其中a为正整数.(1)若函数y的图象与x轴相交于A，B两点，求线段AB的长；(2)若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A1B1,A2B2，…，A2005B2005，试求这2005条线段长之和.23.（2006年黑龙江竞赛题）甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为2. 6km的高山，甲、乙两个登山队选择了不同的登山路线，图12 - 11为登山高度不超过2km时，两个登山队登山的高度h(km)与登山时间t（小时）的函数图象.根据图象回答下列问题：(1)求出乙登山队登山高度与登山时间的函数关系式；(2)在两个登山队登山高度不超过2km时，问：经过多长时间两队登山的高度相同？(3)若登山的高度超过2km时，这两个登山队继续按原行进速度登山，那么能否确定哪个登山队先到达山顶？若能确定，请求出先到达山顶的那个登山队所用的时间；若不能，请说明理由.24.（2005年太原市初中数学竞赛题）已知两个二次函数y A=x2+3mx−2和y B=2x2+6mx−2，其中m>0.构造函数y;当y A>y B时，设y=y A；当y A≤y B时，设y=y B.若自变量x在−2≤x≤1的范围内变化，求函数y的最大值与最小值.25.（2005年全国初中数学联赛题）设点A，B是抛物线y=2x2+4x−2上的点，原点位于线段AB的中点处.试求A，B两点的坐标.26.（2007年全国初中数学竞赛题）设m，n为正整数，且m≠2.如果对一切实数t二次函数y=x2+(3−mt)x−3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值.答案与解析1.D 由题意得P2+P+P=0，解得P1=−2,P2=0（舍去）.当P=−2时，抛物线是y=x2+x−2，求得顶点坐标是(−12,−94)⋅2.A y=(k−1k )x+1k.因为0<k<1，所以k−1k=(k+1)(k−1)k<0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k−1k +1k=k.3.B 解方程组y=pxy=x+10得x=10P−1因为x和p都是整数，所以p−1=±10,±5，±2，±1，即P=11，-9，6，-4，3，-1，2，0，共8个值，p=0舍去.4.A 由已知可得a+b+c=2(a+b+c)t，当a+b+c≠0时，t=12,y=12x+14，直线过第一、二、三象限；当a+b+c=0时，t=−1,y=−x+1，直线过第一、二、四象限.综上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限.5.D 当x>0时，y=−1x ，图象在第四象限；当x<0时，y=1x，图象在第三象限.所以原函数的图象在第三、四象限.6.B s=1−4×12x(1−x)=2x2−2x+1(0<x<1).本题也可从选项来判断，选项A中AE为负是不可能的，从而排除选项A；如果从极端情况看，当E无限接近于点A时，S=1而不是s=0，从而排除选项C；对于如图所示的面积显然是关于x的二次函数，而选项D的图象是折线段而不是二次函数的图象，从而排除选项D.7.D 将抛物线C再变回到抛物线Cl，即将抛物线y=2(x+1)2−1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y = 2(x-l)2 -2 ，其关于x轴对称的抛物线是y=−2(x−1)2+2.SΔBOA=SΔBOP+SΔPOA=11×4−k+1×4×k−4=4−1k+16.显然，k<0，令u=−k,v=−16k，则u>0,v>0，且uv=16.所以SΔBOA=4+12(u+v)=4+12[(u−v)2+2uv]当且仅当u=v，即k=−u=−4时.上式取等号，SΔBOA取最小值8.此时b=4−(−4)=8.9.D 由函数图象与y轴交点的纵坐标为-4，可知k2+3k−2=−4，进而求得k的值为-1或-2.本题易错之处：学生往往认为它是一个二次函数而人为约定k+1≠0,从而错误地选择B，忽略了它作为一个一次函数也符合题意.10.B 设点A的坐标为(a,a2)，点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|)，则点B的坐标为(−a,a2).由勾股定理得AC2=(c−a)2+(c2−a2)2,BC2=(c+a)2+(c2−a2)2,AC2+BC2=AB2.所以(a2−c2)2=a2−c2.由于a2>c2，所以a2−c2=1，即斜边AB上高h=a2−c2=1.11.D因为f(x)=ax2−2，所以f(2)=2a− 2.f(f(2))=f(2a−2)=a(2a−2)2−2.又因为f(f(2))=−2，所以a(2a−2)2=0.因为a为正常数，所以2a−=0，即a=22⋅12. a>8(1)当a>2时，一次函数y随x的增大而增大，由题意得(a−2)×3−3a−1<3(a−2)×5−3a−1>5，解得a>8.(2)当a<2时，y随x的增大而减小，由题意(a−2)×3−3a−1>5(a−2)×5−3a−1>3.解集为∅集所以a的取值范围是a>8.13. y=−x−1将二次函数变形为y=(x+m)2+m−1，可知抛物线的顶点坐标为x=−my=m−1，消去m得x+y=−1,所以y=−x−1.说明对于二次函数，其中基本认识之一是函数的标准写法.14.(8，4) 直线y=−2x+10与x轴交点A的坐标为A(5，0)，与y轴交点B的坐标为B(0，10)，则OA=5,OB=10.连结OC交AB于M，则AB垂直平分OC.在Rt△AOB中，易得OM=25,因为OB：OA =2:1，所以M到y轴的距离等于到x轴距离的2倍，所以可以得M(4，2)，由中点坐标公式得C(8，4).15.分两种情况：(1)因为二次函数y=x2+(a−3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0)，所以[12+(a−3)×1+3]×[22+(a−3)×2+3]<0.解得−1<a<−12.由12+(a−3)×1+3=0得a=−1.此时x1=1,.令x=0，得B（0，4-k），令y=0，得A(k−4,0)⋅连结PO（见图1-3）.x2=3,符合题意.由22+(a−3)×2+3=0得a=−12⋅此时x1=2,x2=32，不符合题意.(2)今x2+(a−3)x+3=0，由判别式Δ=0得a=3±23.当a=3+23时，x1=x2=−3，不合题意；当a=3−23时,x1=x2=3,符合题意.综上所述，a的取值范围是−1≤a<12或a=3−2 3.16.(26,0)如图1-4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F.设OE=a,BF=b,则AE=3a,CF=3b,所以点A，C的坐标分别为(a,3a),(2a+b,3b).所以3a2=333b2a+b=33解得a=3b=6−3.因此点D的坐标为(26,0).17.0 原问题可转化为求方程x2−2006|x|+2008=0⋯①的所有实根之和.若实数x0为方程①的根，则其相反数一x0也为方程①的根.所以方程的所有实根之和为0，即函数的图象与x轴交点的横坐标之和等于0.18.2 设方程x2+mx−34m2=0的两根分别为x1，x2，且x1<x2，则有x1+x2=−m<0,x1x2=−34m2<0.所以x1<0,x2>0.由1OB−1OA=23可知OA>OB.又因为m>0，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA=|x1|=−x1,OB=x2⋅所以1 x2+1x1=23,x1+x2x1x2=23，故−m−34m2=23，解得 m=2.19.由DP=x得PC=10−x,FB=12(10−x)，所以y=12×10×12(10−x)+1 2[10−12(10−x)+x]×10.即y=5x+50,0<x<10.20.解法1 既然不论k取何值，于是我们取k=1,k=2得x−4y+10=03x−5y+9=0，解得x=2y=3.把x=2,y=3代人(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0，发现(2，3)就是该一次函数图象上的点，即该一次函数恒过定点(2，3).解法2 把(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0表达成(2x−y−1)k=x+3y−11⋯①因为k可取任何值，即关于k的方程①有无穷多解，故2x−y−1=0x+3y−11=0，解得x=2y=3⋅因为点(2，3)是①的解，当然也适合原一次函数，故2k−1x−k+3y−(k−11)=0恒过定点(2，3).21.(1)设y=x2+mx+n的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),x1≠x2,则x1,x2为方程x2+mx+n=0的两个不同的实根，所以x1+x2=−m,x1x2=n.又因为0<|x1−x2|≤2,即0<(x1+x2)2−4x1x2≤4,也即0<m2−4n≤4.(2)因为m，n为数码(m≠0)，所以m2−4n=1,2,3,4,而m2被4除余0或1，故m2−4n被4除也余0或1，从而只能有m2−4n=1或m2−4n=4.解这两个不定方程得m=1n=0或m=2n=2或m=5n=6或m=2n=0或m=4n=3或m=6n=8，所以所求的两位数mn为10，32,56,20,43,68.22.(1)设函数y的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程a(a+ 1)x2−(2a+1)x+1=0的两个实根.由a(a+1)x2−(2a+1)x+1=0得(ax−1)[(a+1)x−1]=0，所以x1=1a ,x2=1a+1⋅所以|AB|=|x1−x2|=1a−1a+1=1a(a+1)⋅因此所求线段的长为1a(a+1)（a为正整数）(2)当a依次取1，2，…，2005时，所截得的线段长分别为|A1B1|=1−12,|A2B2|=1 2−13,⋯,|A2005B2005|=12005−12006⋅故|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2005B2005|=(1−12)+(12−13)+⋯+(12005−12006)=1−12006=20052006⋅23.(1)当0≤t≤1时，ℎ乙=0.5t；当1<t≤5时，h乙=0.5；当5<t≤10时，设ℎ乙=kt+b，把(5，0.5)，(10，2)代人得{10k+b=25k+b=0.解得{b=−1k=0.3所以ℎ乙=0.3t−1.(2)设甲登山队登山高度与登山时间之间的函数关系为ℎ甲=kt,所以2=12k,k=1 6⋅所以ℎ甲=16t.当ℎ甲=0.5时，t=3.解方程组ℎ=16tℎ=0.3t−1得ℎ=1.25t=7.5，所以经过3小时或经过7.5小时，两登山队登山的高度相同.(3)不确定.因为两个登山队在2km以上时，到达山顶的路程不确定，所以不能确定登山高度与时间的关系（如有其他答案，符合题意即可）.24.依题意得y=x2+3mx−2(y A>y B)2x2+6mx−2(y A≤y B).易看出，已知的两个二次函数的图象皆开口向上，有共同的对称轴x=−32m<0，在直线y=−2上有两个交点，其中一点坐标为（0，-2），描绘函数y A=x2+3mx−2与y B=2x2+6mx−2的图象，则两曲线中数值相对较大部分组成的曲线（即两交点左右两虚线及中间实线）就是所求函数的图象（如图1-5）.讨论函数y在−2≤x≤1时的最值.(1)当−32m≤−2，即m≥43时，y min=y A|x=−2=2−6m,y max=y B|x=1=6m;(2)当−2<−23m<−12，即13<m<43时，y min=y A|x=−3m=−94m2−2,y max=y B|x=1=6m;(3)当−12≤−32m<0时，即0<m≤13时，y min=y A|x=−32m=−94m2−2,y max=y B|x=−2=6−12m.25.因为原点是线段AB的中点，所以点A和点B关于原点对称，设点A的坐标为(a，b)，则点B的坐标为（-a，-b）.又因为A，B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式得b=2a2+4a−2−b=2a2−4a−2，解得a=1,b=4或者a=−1,b=−4.故A(l，4)，B(-l,-4)或A(-l,-4),B(l,4).26.因为x2+(3−mt)x−3mt=(x−mt)(x+3)，则方程x2+(3−mt)x−3mt=0的解是x1=mt,x2=−3，所以二次函数y=x2+(3−mt)x−3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|x1−x2|=|mt+3|.由题意得|mt+3|≥|2t+n|，即(mt+3)2≥(2t+n)2，即(m2−4)t2+(6m−4n)t+9−n2≥0.又由题意可知m2−4≠0，且上式对一切实数t恒成立，所以m2−4>0Δ=(6m−4n)2−4(m2−4)(9−n2)≤0，即m>24(mn−6)2≤0,则m>2mn=6.所以m=3n=2或m=6n=1。
2006年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：答案：２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案答案：2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--= （ AA.24.B. 25.C. 10.D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ C ）A. B. 10.C.D.3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则s i n ∠CBE ＝（ D ） B. 23. C. 13. D.6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是 （ B ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是_____3-_______.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为___DC3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=__1-____.4．已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有___7__对. 第二试一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解 （1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====. 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-， 即1c =-.又12AB x x =-===，所以1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±.二． （本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.N M AB解 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =.又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. 又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=② .解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=， 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=， 即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc-+----++++=， 即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc-+--=， 即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ 又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=， 即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++= （ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球. 第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值. NC A（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积. 解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。
太原市2006年中考办法及考试科目简要说明
太原市2006年中考办法及考试科目简要说明3月21日,备受考生、老师及家长关注的《太原市2006年初中学业考试办法》《2006年太原市初中学业考试科目简要说明》出台。
太原市2006年初中学业考试，采用全市统一组织的考试与初中学校自行组织的校内考试、考查、考评相结合的方法对学生进行全面、准确的评价。
如果考生的理化实验考查不合格、体育与健康不合格(不含残疾学生)以及基础性发展目标评定为D等者，均不能被普通高中录取。
继续实行初中毕业考试与中等学校招生考试合一进行的“太原市初中学业考试”办法。
2006年6月下旬。
具体时间另行通知。
1、太原市统一考试科目初三年级为：语文(含听话)、数学、外语(含听力)、理化合卷(物理、化学)、政史合卷(历史、思想政治)共五门；理化合卷和政史合卷为学科合卷，不设学科之间互相渗透的综合题。
初二年级为：生地合卷(地理、生物)一门，生地合卷为学科合卷，不设学科之间相互渗透的综合题。
2、太原市统一考试科目分值初三年级：语文(含听话5-6分)、数学、外语(含听力25分)各130分,理化合卷160分(物理90分、化学70分),政史合卷110分(历史40分、思想政治70分)共计660分。
地理、生物因2005年为全市统一命题、各校自行组织考试阅卷，其考试成绩今年不计入总分。
初二年级：生地合卷100分(地理50分、生物50分)。
考试成绩将按比例计入明年的学业考试总分。
太原原市统一考试科目命题将贯彻执行《教育部关于积极推进中小学评价与考试制度改革的通知》精神，严格按照义务教育新课程标准命题。
加强试题与社会实际和学生生活的联系，正确发挥考试的导向功能，坚持以学生为本，强调能力立意，注重应用性、探究性、综合性、教育性和时代性；试题注重反映对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的基本要求。
3、太原市统一考试科目考试办法政史合卷采取开卷考试形式，其余学科采用闭卷考试形式。
语文、外语采用笔试加听力同场进行考试的办法。
2006年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
GFE ABCD P2006年全国初中数学联赛试卷1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A) 36 (B) 37 (C) 55 (D) 902、已知m ＝1＋2，n ＝1－2，且(7m 2－14m ＋a ) (3n 2－6n －7)＝8，则a 的值等于( )(A) －5 (B) 5 (C) －9 (D) 93、Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y ＝x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴. 若斜边上的高为h ，则( )(A) h ＜1 (B) h ＝1 (C) 1＜h ＜2 (D) h ＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( )(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QCQA的值为( )(A) 23－1 (B) 23 (C) 3＋2 (D) 3＋2二、填空题6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，c －a ＝2005. 若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为___________.7、如图，面积为a b －c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则 a －c b的值等于________.8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米. 甲、乙两分分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a ＜1，且满足[a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋ 29 30]＝18 ([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题 11、已知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数，且a ≤8，2－1＜x ＜3－1.(1)试写出一个满足条件x ； (2)求所有满足条件的x .12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b 求a 的取值范围.13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B. 过点A做PB的平行线，交⊙O于点C. 连结PC，交⊙O于点E；连结AE，延长AE交PB于点K. 求证：PE •AC＝CE •KB14、有2006个都不等于119的正整数a1，a2，…，a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1＋a2＋…＋a2006的最小值.参考答案（1）解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处． 故选C ．（2）解：由已知可得m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1．又(7m 2－14m ＋a )(3n 2－6n －7)＝8， 所以 (7＋a )(3－7)＝8，解得a ＝－9 故选C ．（3）解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c|＜|a|），则点B 的坐标为 （－a ，a 2），由勾股定理，得AC 2＝(c －a ) 2＋(c 2－a 2) 2，BC 2＝(c ＋a ) 2＋(c 2－a 2) 2， AC 2＋BC 2＝AB 2， 所以 (a 2－c 2) 2＝a 2－c 2 .由于a 2＞c 2，所以a 2－c 2＝1，故斜边AB 上高h ＝a 2－c 2＝1 故选B ．（4）解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)³360°． 因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34³(62－2)³180°＝34³60³180°，其余多边形有(k ＋1)－34＝k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33)³180°．所以(k ＋1)³360°≥34³60³180°＋(k －33)³180°，解得k ≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33³58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33³58＝2005（刀）． 故选B ．（5）解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO ＝m ，则QP ＝m ，QC ＝r ＋m ，QA ＝r －m ． 在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ²QC ＝QP ²QD 即 (r －m )(r ＋m )＝m ²QD ，所以 QD ＝r 2－m 2m ．连结DO ，由勾股定理，得QD 2＝DO 2＋QO 2， 即 ( r 2－m 2 m )2＝r 2＋m 2 ，解得m ＝33r所以，QC QA ＝r ＋mr －m ＝3＋13－1＝3＋2 故选D ．（第7题图）ABCD GFE （6）解：由a ＋b ＝2006，c －a ＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．（7）解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则m 2＝43， 由△ADG ∽△ABC ，可得x m＝32 m －x3 2m ，解得x ＝(23－3)m于是 ：x 2＝(23－3)m 2＝283－48， 由题意，a ＝28，b ＝3, c ＝48，，所以 a －c b＝－20 3．（8）解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了46³400x 50＝368x 米．于是368(x －1)＋800－400(x －1)＞400，所以，12.5≤x ＜13.5． 故x ＝13，此时 t ＝ 400³1350＝104．（9）解：因为0＜a ＋ 1 30 ＜a ＋230＜……＜a ＋29 30＜2，所以[a ＋130]，[a ＋230]，…，[a ＋ 29 30]等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 [a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋11 30]＝0，[a ＋12 30]＋[a ＋13 30]……＋[a ＋29 30]＝1，所以 0＜a ＋ 11 30＜1 ，1≤a ＋12 30＜2．故18≤30a ＜19，于是6≤10a ＜ 19 3，所以 [10a ]＝6．（10）解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 2a 8bcdef ．根据题意，有81³abcdef ＝2a 8bcdef ．记x ＝b ³104＋c ³103＋d ³102＋e ³10＋f ，于是81³a ³105＋81x ＝208³105＋a ³106＋x 解得x ＝1250³(208－71a ) ．因为0≤x ＜105，所以0≤1250³(208－71a )＜105，故128 71＜a ≤208 71．因为a 为整数，所以a ＝2．于是x ＝1250³(208－71³2)＝82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．（11）解：（1）x＝12满足条件．（2）因为x＝ba，a，b为互质的正整数，且a≤8，所以2－1＜ba＜3－1，即(2－1)a＜b＜(3－1)a．当a＝1时，(2－1)³1＜b＜(3－1)³1，这样的正整数b不存在．当a＝2时，(2－1)³2＜b＜(3－1)³2，故b＝1，此时x＝12．当a＝3时，(2－1)³3＜b＜(3－1)³3，故b＝2，此时x＝23．当a＝4时，(2－1)³4＜b＜(3－1)³4，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，(2－1)³5＜b＜(3－1)³5，故b＝3，此时x＝35．当a＝6时，(2－1)³6＜b＜(3－1)³6，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，(2－1)³7＜b＜(3－1)³7，故b＝3，4，5此时x＝37，47，57．当a＝8时，(2－1)³8＜b＜(3－1)³8，故b＝5，此时x＝5 8 .所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58.（12）解：由①－2³②得(b－c) 2＝24(a＋1)＞0，所以a＞－1．当a＞－1时，b2＋c2＝2a2＋16a＋14＝2(a＋1)(a＋7)＞0．又当a＝b时，由①，②得c2＝a2＋16a＋14，③ac＝a2－4a－5④将④两边平方，结合③得a2 ( a2＋16a＋14)＝(a2－4a－5) 2化简得24a3＋8a2－40a－25＝0，故(6a＋5)(4a2－2a－5)＝0，解得a＝－56，或a＝1±214．所以，a的取值范围为a＞－1且a≠－56，a≠1±214．（13）证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE ＝∠ACE ．又P A 是⊙O 所以∠KAP ＝∠ACE ，故∠KPE ＝∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ， 所以KP KA ＝KE KP，即 KP 2＝KE ²KA ． 由切割线定理得 KB 2＝KE ²KA 所以KP ＝KB ．因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是PE CE ＝KP AC 故 PE CE ＝KB AC， 即 PE ²AC ＝CE ²KB（14）解：设10个学生为S 1，S 2，…，S 10 ，n 个课外小组G 1，G 2，…，G n ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S 1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S 1恰好参加G 1，G 2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S 1没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数之和不小于3³10＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数不超过5n ， 故5n ≥30，所以n ≥6．下面构造一个例子说明n ＝6是可以的．G 1＝｛S 1，S 2，S 3，S 4，S 5｝，G 2＝｛S 1，S 2，S 6，S 7，S 8｝，G 3＝｛S 1，S 3，S 6，S 9，S 10｝， G 4＝｛S 2，S 4，S 7，S 9，S 10｝，G 5＝｛S 3，S 5，S 7，S 8，S 9｝，G 6＝｛S 4，S 5，S 6，S 8，S 10｝．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．。
2006全国初中数学联赛试题及答案全
2006年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设111,p p k S S k ==．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是（ ）A ．1k k 、均为常值．B ．k 为常值，1k 不为常值． C.k 不为常值，1k 为常值． D.1k k 、均不为常值．2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132=+-mx x 的两根．则4sin α+α4cos 的值为（ ） A.92． B.31 ． C.97 ． D.1．3．关于x 的方程a x x =-|1|2仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是（ ）A.a ＞0．B.a≥4．C.2＜a ＜4．D.0＜a ＜4． 4．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是 ( )A.a c b >> ．B.b a c >> ．C.c b a >> ．D.c a b >> ．5．b a 、为有理数，且满足等式324163++⨯=+b a ,则b a +的值为 ( )A.2．B.4．C.6．D.8．6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为 ( )A ．2000．B ．2004．C ．2008．D ．2012．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于 ． 8．在等腰ABC Rt ∆中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝ ．9．使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为 ．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足PO C PAB PBC PO A S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅.就称格点P 为“好点”．则正方形OABC 内部好点的个数为 ．注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知关于x 的一元二次方程0)994()32(222=++++++b a x b a x 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(b a ，有多少组?二、（本题满分25分）如图，D 为等腰△ABC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点．已知∠EDF ＝90°．ED ＝DF ＝1，AD ＝5．求线段BC 的长．三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O1分别为△CEF 、△ABE 的外心．求证： (1)O 、E 、O1三点共线；(2).21ABC OBD ∠=∠ ．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同．三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O1分别为△CEF 、△ABE 的外心．(1)求证：O 、E 、01三点共线；(2)若,70o ABC =∠求OBD ∠的度数．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第二题相同．二、（本题满分25分）题目与（B ）卷第三题相同．三、（本题满分25分）设p 为正整数，且2≥p ．在平面直角坐标系中，点),0(p A 和点)0,(p B 的连线段通过1-p 个格点,),1,1(1 -p C )1,1(,).,(1---p C i p i C p i ．证明： (1)若p 为质数，则在原点O(0，0)与点),(i p i C i-的连线段)1,,2,1(.-=p i OC i 上除端点外无其他格点；(2)若在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(-=p i OC i 上除端点外无其他格点，则p 为质数． 2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ） A ．1. B ．31. C ．31-. D ．21. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） A ．－1. B ．1. C ．0. D ．2007.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形. B ．锐角三角形. C ．钝角三角形. D ）直角三角形.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）A ．30°.B ．45°.C ．60°.D ．75°.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为（ ）A ．91.B ．92.C ．94.D ．32. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）A ．101.B ．51.C ．103.D ．52. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333___ ． 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a = ． 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为 ．4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．第二试（A ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.第二试（B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. A B C D EF M N P第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数x a y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 2008年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A. 5. B.7. C .9. D.11.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ）A.185.B.4.C.215.D.245. 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）A.15.B.310.C.25.D.12. 4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）A.BM CN >.B.BM CN =.C.BM CN <.D.BM 和CN 的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ）A.39()8.B.49()8.C.59()8.D.98. 6． 已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A.2008-.B.2008.C.1-.D.1.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．设51a -=，则5432322a a a a a a a +---+=-.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 .第二试（A ）一、（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 恒成立.当乘积ab取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.三、（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+，求a ，b 的值.第二试（B ）一、（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx -+≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ ,求()a b c +的值. 2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--=（ ）A.24.B. 25.C. 10. D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ ）A.103．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（ ）A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ） A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（ ）23. C. 13. 6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=_ ____. 4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、DCB ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .三、（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=.第二试（B ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（B ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=.2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.N A B3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则（ ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB （ ）A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++=（ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PAPC ＝5，则PB ＝_____．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放______个球.第二试（A ）一、（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二、（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三、（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . N（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.第二试（B ）一、（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，，那么的大小关系是（）A. B. C. D.2．方程的整数解的组数为（）A．3. B．4. C．5. D．6.3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A． B． C． D．4．已知实数满足，则的最小值为（）A．. B．0. C．1. D．.5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（）A．0. B．. C．. D．.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（）A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数满足，则．2．使得是完全平方数的整数的个数为．3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．4．已知实数满足，，，则＝．第二试（A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二、（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.三、（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.第二试（B）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.二、（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.三、（本题满分25分）题目与（A）卷第三题相同.第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（B）卷第二题相同.三、（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P ，与轴的正半轴交于A 、B（）两点，与轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.2011年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题:（本题满分42分，每小题7分） 1．如果a ，b ，c 是三个任意的数，那么2b a +，2c b +，2ac +这三个数一定（ ） A.都是整数. B.都不是整数. C.至多有两个整数. D.至少有一个整数. 2.关于x 的方程m x x =+-1||22恰好有3个不同的实数根，则实数m 的值等于（ ） A.1-. B.0. C.1. D.2.3.ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，若BD AB BC +=，︒=∠30C ，则B ∠的度数等于（ ）A. 45.B. 60.C. 75.D. 90.4.在1，2，3，…，100这100个数之间添上（99个）“+”号或“－”号，使算式的代数和为4150，则“－”号至少可添的个数是（ ）A.4.B.5.C.6.D.7.5.点P 是矩形ABCD 内部的一点，满足6=PA ，8=PB ，10=PC ，则PD 等于（ ） A.25. B.35. C.26. D.28.6.设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足c by ax =+，a cx bz =+，b az cy =+，则以a 、b 、c 为边长的三角形一定是（ ）A.锐角三角形.B.直角三角形.C.钝角三角形.D.形状不等确定. 二、填空题:（本题满分28分，每小题7分） 1.已知131+=a ，131-=b ，则baa b +的值为 . 2.如图，矩形ABCD 中，8=AB ，6=AD ，将BDC ∆沿BD 对折为BDE ∆，再将点B 对折与点A 重合，则折痕MN 的长度为 .3.若方程0132=+-x x 的两根也是方程024=+-q px x 的根，则()11q p +的个位数字是 ．4.在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，满足︒=∠20BAP ，︒=∠45PAQ ，则AQP ∠的度数为 .三、（本题满分20分）已知抛物线()02a c bx ax y ++=与直线()412k x k y --=．无论k 取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点，求抛物线的解析式.DM CBNE A四、（本题满分25分）如图，ABC ∆与ADE ∆都是等腰直角三角形，其中 90=∠=∠DAE BAC ，点M 是线段BE 的中点，求证：DC AM ⊥．五、（本题满分25分）已知a 为实数，若关于x 的方程0143||214442=-+-+a x x x x 有实数解，求实数a 的取值范围.2011年四川初中数学联赛决赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ） A ．42条. B ．54条. C ．66条. D ．78条.2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE＝15°，则∠BOE ＝（ ） A ．30°. B ．45°. C ．60°. D ．75°. 3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的根分别是（ ）A ．a ，b.B ．－a ，－b.C ．c ，d.D ．－c ，－d. 4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ）A ．1.B ．2.C ．4.D ．6.5．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36.6．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） A ．0组. B ．2组. C ．4组. D ．无穷多组． 二、填空题:（本大题满分28分，每小题7分）1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x=1对称，则y 的最小值是__________． 2．已知1a ，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．已知△ABC 中，AB，BC ＝6，CAM 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是_______________．4．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n －1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是__________． 三、（本题满分20分）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．DM CBEAO EDCBA四、（本题满分25分）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0<x 1<x 2．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形， 且S △BMN =52S △AMN ．求该抛物线的解析式． 五、（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB>AC）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．△MDH 的外接圆交CM 于E ．求证：∠AEB ＝90°．2012年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题:（本题满分42分，每小题7分） 1．已知关于x 的方程3x+a=0的根比关于x 的方程5x －a=0的根大2，那么a 的值为（ ）A ．415-. B.415. C.41-. D.45. 2．设a a 312=+，b b 312=+且a ≠b ，则代数式2211ba +的值为（ ）A.5.B.7.C.9.D.11.3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 得距离为8cm.如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 到B 的方向移动，那么⊙P 与直线CD 相切所需的时间为（ ）秒A.6.B.8.C.10.D.6或10. 4．已知7=a,70=b,则9.4等于（ ）A.10b a +. B.10a b -. C.a b . D.10ab.5．已知0221≠+=+b ab a ，则b a 为（ ）A.－1.B.1.C.2.D.4.6．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC 交BD 于O,MON ∥AB,且MON 分别交AD 、BC 于M 、N ，则CDMNAB MN +等于（ A.1. B. 2. C.3. D.4.二、 填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．有一列数，按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2，…的规律排列，那么从左往右数，第2012个位置上的数是 .EHMDCBA2．若函数y=kx与函数y=2x的图象交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为 .3．如图，在平面上将△ABC绕点B旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′= .4．如图，大圆O的直径AB=12cm，分别以OA，OB为直径作圆1O和圆2O，并在圆O与圆1O和圆2O的空隙间作两个等圆圆3O和圆4O，这些圆相互内切或外切，则四边形1423OO O O的面积为 cm2.三、（本题满分20分）如图，一次函数y=－2x+8的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C.(1)若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；(2)若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值.四、（本题满分25分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB,过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为△ABC外接圆的直径.五、（本题满分25分）已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++azxyazxyzxyzyx2的所有各组解（x,y,z）都是由正实数组成的，其中a是参数.试求a的取值范围.一、2012年四川初中数学联赛决赛试题一、选择题：(每小题7分，共42分)1．若－3＜x＜－1，则化简2|1|x-+得( )A．1－x. B．－3＋x. C．3－x. D．3＋x.2．若抛物线y＝x2－4x＋m的顶点在x轴上，则m的值是( )A．0. B．1. C．2. D．4.3．菱形ABCD的边长为1，面积为79，则AC＋BD的值是( )A．43. B．169. C．83. D．329.4．在凸四边形ABCD中，AB＝2AD，BC＝1，∠ABC＝∠BCD＝60°，∠ADC＝90°，则AB的长度是( )A．. B．.C．2. D．3.5．一个活动小组，如果有5个13岁的成员退出，或者有5个17岁的人员加入(两种情况不同时发生)，其成员的平均年龄都增加1岁，则这个活动小组原有成员的人数是( ) A ．10. B ．12. C ．14. D ．16.6．一个正整数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”．比如：1、11、121都是回文数，而110则不是回文数，将所有“回文数”从小到大排成一列：1、2、…、9、11、22、…，则第2012个“回文数”是( )A ．1011101.B ．1013101.C ．1021201.D ．1030301. 二、填空题：(每小题7分，共28分)1．设1x 、2x 是方程x2－2x －m ＝0的两根，且122x x +＝0，则m 的值是＿＿＿＿＿． 2．在△ABC 中，∠ACB ＝45°，D 是AB 边上异于A 、B 两点的任意一点，△ABC 、△ADC 和△BDC 的外接圆圆心分别为O 、1O 、2O ，则∠12O OO 的度数等于＿＿＿＿．3．已知a ，b 为正实数，m 为正整数，且满足14,48,a b ab m +≤⎧⎨≥+⎩则m 的值是＿＿＿＿＿．4．在一次球类比赛中有8个队参赛，每两队要进行一场比赛，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队要确保进入前四名(即积分至少要超过其他四个队)，则他的积分最少是＿＿＿＿＿＿．三、（本题满分20分）已知抛物线2y x =与直线(2)(21)y k x k =+--．(1)求证：无论k 为什么实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点；(2)设该抛物线与直线的两个不同的交点分别为A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，若1x ，2x 均为整数，求实数k 的值．四、（本题满分25分）如图，已知⊙A 与⊙B 相交于C 、D 两点，延长AC 交⊙B 于E ，延长BC 交⊙A 于F ．求证：C 是△DEF 的内心．五、（本题满分25分）将10，11，12，…，98，99这90个正整数写在黑板上，擦去其中的n 个数，可使黑板上剩下的所有数的乘积的个位数是1，求n 的最小值．二、 2013年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知10x ，则2x ，x ，1x的大小关系是（ ）A ．21x xx B ．21x x x C ．21x x x D ．21x x x2．如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ， 过P 作PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP ＝CQ ＝2，则正方形ABCD 的面积为A ．642B ．16C ．1282D ．323．若实数a ，b 满足2220ba b ，则a 的取值范围是（ ） A ． a ≤－1 B ：a ≥－1 C ：a ≤1 D ：a ≥14．如图，在四边形ABCD 中，∠B=135°，∠C=120°，，BC=33，CD=6，则AD 边的长为（）A ．B ．C ．D ．5．方程1137x y 的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．5 6．已知实数,,x y z 满足1x y z y z z x x y ，则222x y z y z z x x y 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．1D ．2二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）1．x 是正整数，○x 表示x 的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ． 2．草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、DC 的中点，AM=4，AN=3，且角MAN=60°，则AB 的长是 ．4、小明将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入(1)n 个数，且平均值为30.75，假设这(1)n 个数输入无误，则漏输入的一个数是 ． 三、（本题满分20分） 解方程2|21|20x x ．四、（本题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD 中，CB CD ，求证：CA 2－CB 2＝AB ×AD ； 五、（本题满分25分） 已知二次函数2yaxbx c 和一次函数ybx ，其中a 、b 、c 满足a b c ，0a b c ．(a 、b 、c ∈R )．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为A 1、B 1．求线段A1B 1的长的取值范围．2006年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．B 2．C 3．D 4．A 5． B 6．C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7．0 8．1129．8310．197第二试(A)一、（本题满分20分）解：由题可得二、（本题满分25分）三、（本题满分25分）解：第二试（B）一、（本题满分20分）题目与（A）卷第一题相同二、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同三、（本题满分25分）解：第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同二、（本题满分20分）题目与（B）卷第三题相同三、（本题满分25分）解：2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B2.C3.D4.C5.A6.B（解析：1.由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选B. 注：本题也可用特殊值法来判断.2． 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选C.3. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选D.4. 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选C.5． A.分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选A. 6．设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选B.） 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.1 2. 10034016- 3.4 4.7 （解析：1.∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2.由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以 =--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3.延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4．设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + （5分） 由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥（10分） 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2m n m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分） 证明:设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.(5分)又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.(10分)∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM =(15分) 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC(20分)∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED. A B C D E FM N P∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x （5分）因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1） 的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.（10分）设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.（25分） 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.（5分）所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）（10分）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2m n m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）（5分）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分）当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数。
2006年山西省中考(课改区)数学试卷 .doc
2006年山西省中考（课改区）数学试卷一、填空题（每小题2分，共24分） 1．21-的倒数是________。
2．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简=-++2)(||a b b a ________。
3．今年我国政府计划投资六亿元人民币用于350万农民工职业技能培训，此人数用科学记数法表示为________。
4．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到B 点。
有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。
仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式。
5．估计215-与0.5的大小关系是：215-________0.5（填“>”、“=”、“<”）。
6．将一张纸片沿任一方向翻折，得到折痕AB （如图1）；再翻折一次，得到折痕OC （如图2）；翻折使OA 与OC 重合，得到折痕OD （如图3）；最后翻折使OB 与OC 重合，得到折痕OE （如图4）。
展开恢复成图1形状，则∠DOE 的大小是________度。
（第6题）7．北京与纽约的时差为－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）。
如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是________。
8．若不等式组⎩⎨⎧>->-022x b a x 的解集是11<<-x ，则=+2006)(b a ________。
9．某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为________元。
10．在△ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC 于点D ，连结ED 并延长到点F ，使DF=DE ，连结FC ，若∠B=70°，则∠F=________度。
11．某圆柱形网球筒，其底面直径是100cm ，长为80cm ，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________2cm 的包装膜（不计接缝，π取3）。
2006年全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析决赛试卷
2006年全国九年级义务教育初中中考数学联赛决赛试卷一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,用S ,P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；1S ,1P 分别表示四边形EFGH 的面积和周长,设1S K S =,11PK P =,则下面关于K ,1K 的说法正确的是( ) A.K ,1K 均为常值B.K 为常值,1K 不为常值C.K 不为常值,1K 为常值D.K ,1K 均不为常值 【解析】 B .如图,易知14AEH ABD S S =△△,14CFG CBD S S =△△,故14AEH CFG S S S +=△△.同理,14BEF DHG S S S +=△△.故112S S =,即K 2=为常值.又易知1P AC BD =+,特别的,若取邻边长分别为1、2的矩形,则1K =；再取邻边长分别为1、3的矩形,则1K ==故1K 不是常值.GHFEDCBA2.已知m 为实数,且sin α,cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根,则44sin cos αα+的值为( )A.29B.13C.79 D,1 【解析】 C .由根与系数的关系知1sin cos 3αα=,则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-⋅=.3.关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.4a ≥C.24a <<D.04a <<【解析】 D .当0a <时,无解；当0a =时,0x =,不合题意；当0a >时,方程化为21x a x =±-,整理得20x ax a -+=或20x ax a +-=.这两个方程的判别式分别为214a a =-△和224a a =+△.∵20>△,原方程仅有两个不同实根,所以2140a a =-<△,从而04a <<.4.设0b >,2220a ab c -+=,2bc a >,则实数a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b c a >> B.c a b >> C.a b c >> D.b a c <<【解析】 A .由2bc a >及0b >,知0c >.由222ab a c =+及0b >,知0a >.由2220a ab c -+=,知()2220b c a b -=-≥,从而b c ≥.若b c =,由2220a ab c -+=知a b =,从而a b c ==与2bc a >矛盾,故b c >. 由22b bc a >>,知b a >；又由22222a c ab a +->,知c a >.5.设a ,b 为有理数,且满足等式a +则a b +的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 B .3==,所以3a +=+即()(310a b -+-. 由a 、b 为有理数,则3a =,1b =,即4a b +=.6.将满足条件“至少出现一个数字0,且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,……,则这列数中的第158个数为( ). A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 【解析】 C .在正整数中,是4的倍数的特征为末两位数字是4的倍数,其中包含数字0的7种情形:00,04,08,20,40,60,80和包括数字0的18种情形.显然,满足条件的两位数仅有4个；满足条件的三位数共有9763⨯=个；满足条件千千位数字为1的四位数共有71018188⨯+⨯=个.因为46388155++=,则从小到大的第155个满足条件的数为1980.下面满足条件的数依次为2000,2004,2008.故这列数中的第158个数为2008.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.函数220062008y x x =-+的图象与x 轴交点的横坐标之和等于 . 【解析】 0.原方程可转化为求方程2200620080x x -+=的所有实根之和.若实数0x 为方程的根,则其相反数0x -也为该方程的根,所以,方程的所有实根之和为0,即与x 轴交点的横坐标之和为0.2.在等腰Rt ABC △中,1AC BC ==,M 是BC 的中点,CE AM ⊥于E 交AB 于F ,则MBF S =△ .【解析】 112.如图,作BG BC ⊥交CF 的延长线于点G ,易证Rt Rt ACM CBG △≌△.故BG CM =,12CBG ACM ABC S S S =-△△△.由易证BFM BFG △≌△,故BGF BMF CMF S S S ==△△△.从而1113612MBF CBG ABC S S S ===△△△.MGF ECBA3.x 取值为 .【解析】 83.在直角坐标系xOy 中,设()0,2A -,()8,4B ,(),0P x ,有PAPB则10PA PB AB +=≥.当且仅当A 、P 、B 三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A 、P 、B 三点共线时,原式取最小值.此时,易知BCP AOP △∽△,有2CP BCPO AO==.从而,1833OP OC ==.故原式取最小值时,83x =.4.在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点坐标分别为()00O ，、()1000A ，、()100100B ，、()0100D ，.若正方形OABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足:POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,就称格点P 为“好点”,则正方形OABC 内部“好点”的个数为 .(注:所谓“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 【解析】 如图,过点P 分别作PD 、PE 、PF 、PG 垂直于点OA 、AB 、BC 、OC 于点D 、E 、F 、G .易知100PF PD +=,100PE PG +=.由POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,知PD PF PE PG ⋅=⋅,即()()100100PD PD PG PG -=-.化简为()()1000PD PG PD PG -+-=,故PD PG =或100PD PG +=,即PD PG =或PG PF =. 于是P 为对角线OB 上的点或P 为对角线AC 上的点.因此,当且仅当P 为对角线OB 或对角线AC 内部的格点时,点P 为好点.易知OB 内部有99个好点,AC 内部也有99个好点,又知对角线OB 与AC 的交点也为好点,于是满足条件的好点个数为99991197+-=个.三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)1.如图,D 为等腰ABC △底边BC 的中点,E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.又已知90EDF ∠=o ,1ED DF ==,5AD =.求线段BC 的长.DEC FBA【解析】 如图,过点E 作EG AD ⊥于点G ,过点F 作FH AD ⊥于点H ,则EDG DFH ∠=∠.故Rt Rt EDG DFH △≌△.设EG x =,DG y =,则DH x =,FH y =,且221x y +=.又Rt Rt AEG AFH △∽△,则EG AGFH AH=.即55x y y x -=+. 化简为()225x y y x +=-. 由上述两式解得35x =,45y =. 又因为Rt Rt AEG ACD △∽△,则CD EGAD AG=. 故35554755EG CD AD AG =⋅=⨯=-.所以,1027BC CD ==.FEDC B A2.在平行四边形ABCD 中,A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ,点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心.⑴ 求证:O 、E 、1O 三点共线； ⑵ 求证:若70ABC ∠=o ,求OBD ∠的度数.【解析】 ⑴如图,连结OE 、OF 、1O A 、1O E .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以ABE ECF ∠=∠.又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心,所以OE OF =,11O A O E =,122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠. 于是有1OEF O EA △∽△.故1OEF AEO ∠=∠,所以O 、E 、1O 三点共线.⑵连接OD 、OC .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以,CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠. 故CE CF =.又因为点O 为CEF △的外心,所以OE OF OC ==. 则OCE OCF △≌△,有OEC OFC OCF ∠=∠=∠.故OEB OCD ∠=∠.又BAE EAD AEB ∠=∠=∠,则EB AB DC ==. 因此OCD OEB △≌△.所以,ODC OBE ∠=∠,OD OB =,ODC OBC ∠=∠,OBD ODB ∠=∠,OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠.故12OBD ABC ∠=∠.DO 1O FEDCBA3.设p 为正整数,且2p ≥.在平面直角坐标系中,连结点()0A p ，和点()0B p ，的线段通过1p -个格点()111C p -，,…,()i C i p i -，,…,()111p C p --，. 证明:⑴ 若p 为索数,则在原点()00O ，与点()i C i p i -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点；⑵ 若在原点()00O ，与点()1i C i p -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点,则p 为索数.【解析】 ⑴用(),P a b 表示OAB △内的格点,a 、b 为正整数.假设结论不成立,则点P 位于某条线段1OC 内部(如图9).过点P 作PE OB ⊥于点E ,过点i C 作i C F OB ⊥于点F .由i OEP OFC △∽△,知b p ia i-=,其中11i p -≤≤. 易知1a i <≤,1b p i <-≤. 由b p ia i-=知()a b i ap +=,从而|i ap . 因为p 为质数,且11i p <-≤,则i 与p 互质.从而|i a ,故i a ≤,这与a i <矛盾. 所以,假设不成立,从而原结论成立. ⑵假设结论不成立,即p 为合数.故p xy =,其中x 、y ∈N ,且2,1x y p -≤≤.因为OAB △内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到1p -之间的任何整数,故必存在一格点(),P a b ,满足a b x +=,于是()a b y xy p +==,即ay by p +=.因此点(),ay by 必是()11,1C p -,()22,2C p -,…,()11,1p C p --中的一个点,设为(),i C i p i -.从而有ya i =,by p i =-,故b p ia i-=. 所以,点(),P a b 在线段i OC 内部,即在线段i OC 上除端点外还有其他格点,这与已知矛盾. 故原结论成立.。
二次函数奥数题练习
《二次函数易错题》练习姓名学号一、填空题1.函数的顶点位置不动，如果把这个图像绕着顶点旋转180°，所得，到的新图像所对应的函数解析式是2.（2009年义乌市中考数学试题）如图，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则的取值范围是。
3.已知抛物线的顶点在第一象限，且在直线的下方，则的取值范围是．4.若关于x的方程x2-k|x|+4=0有四个不同的解，则k的取值范围是5.若抛物线与相交于P、Q两点，若PQ=2，则值为 .6.(2004安徽省普通高中理科实验班招生考试数学试题)已知函数的图象与轴有两个交点，且都在轴的负半轴上，则的取值范围是．7.要使的值恒为负，则的取值范围是。
8.（2006年全国初中数学竞赛预选赛试题）已知二次函数的图象与轴交于点(-2，0)，(，0)，且1＜＜2，与轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__ _____．9.已知方程有四个不同的实数根, 则实数的取值范围为。
10.（2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题）在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点. 若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于 .11.二次函数的图象与轴的两个交点的最短距离是。
12.已知抛物线y=x2+x+b2经过点(a，)和(-a，y1)，则y1的值是13.（2002年全国初中数学竞赛试题）已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，化简为。
14.（1995年全国初中数学联赛试题）设为正实数，则函数的最小值是_________。
15.已知抛物线与轴的正方向相交于A、B两点，顶点为C,△ABC为等腰直角三角形，则。
16.（2006年太原市初中数学竞赛）不论m取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是____ __．17.已知抛物线与轴的两个交点为A、B．当线段AB最大时，设抛物线的顶点为C，则∠ACB的度数为。
2006年全国初中数学联赛试题及解答
2006年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、EF 、GH 、CD 、DA 的中点，用S,P 分别表示四边形的面积和周长；S 1,P 1分别表示四边形的面积和周长.设,1S S K =,11P P K =则下面关于K 、K 1的说法中，正确的是（ ）. A. K 、K 1均为常值 B. K 为常值，K 1不为常值C. K 1为常值，K 不为常值D. K 、K 1均不为常值2.已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程 3x 2-mx +1=0的两根.则sin 4α+cos 4α的值为（ ）.A. 29B. 13C. 79D. 13.关于x 的方程a x x =−|1|2仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）. a A. a > 0 B. a ≥4 C. 2<a <4 D. 0<a <44. 设b > 0，，则实数a 、b 、c 的大小关系是（ ）.,0222=+−c ab a 2a bc >A.b>c> a B. c >a >b C. a >b >c D. b >a >c5. a 、b 为有理数，且满足等式 324163++⋅=+b a ,则a +b 的值为（ ）.A. 2B. 4C. 6D. 86.将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，，40，60，80，100，104，….则这列数中的笫158个数为（ ）.A. 2000B. 2004C. 2008D. 2012二、填空题（每小题7分，共28分）1.函数的图像与x 轴交点的横坐标之和等于________. 2008||20062+−=x x y2.在等腰Rt ΔABC 中，AC=BC=1,M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F .则S ΔMBF =________.3.使16)8(422+−++x x 取最小值的实数x 的值为________.4.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O (0,0)，A (100,0)，B (100,100)，C (0,100). 若正方形OABC 内部（边界及顶点除外）一格点P 满足： S ΔPO A ·S ΔPBC = S ΔPAB ·S ΔPOC , 就称格点为“好点”.则正方形内部好点的个数为_______.(注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.)第二试(A)一、（20分）已知关于x 的一元二次方程无相异两实根.则满足条件的有序正整数组（a ，b ）有多少组?0)994()32(2222=++++++b a x b a x二、（25分）如图，D 为等腰ΔABC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.已知∠EDF =90º，ED = DF =1，AD =5，求线段BC 的长.三、（25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为ΔCEF 、ΔABE 的外心.求证：（1）O 、E 、O 1三点共线；（2）∠OBD =21∠ABC .第二试（B）一、（20分）同A 卷第一题.二、（25分）同A 卷第二题.三、（25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为ΔCEF 、ΔABE 的外心.（1）求证：O 、E 、O 1三点共线；（2）若21∠ABC =70º，求∠OBD 的度数.第二试（C）一、（20分）同A 卷第二题.二、（25分）同B 卷第三题.三、（25分）设p 为正整数，且p ≥2.在平面直角坐标系中，点A (0,p )和点B (p ,0)的连线段通过p-1个格点， C 1 (1, p −1)，…， C i (i ,p −i )，…，C p −1 (p −1,1). 证明： （1）若p 为质数，则在原点(0，0)与点C i (i ，p −i ) 的连线段OC i （i =1，2，…，p −1）上除端点外无其他格点；（2）若在原点O (0，0)与点C i (i ，p −i )的连线段OC i （i =1，2，…，p −1）上除端点外无其他格点，则p 为质数.2006年全国初中数学联赛答案第一试一、选择题1.B如图，易知 S ΔAEH =41S ΔABD , S ΔCFG=41S ΔCBD ， 于是 S ΔAEH + S ΔCFG = 41S ABCD , 同理，故S ΔBEF + S ΔDHG = 41S ABCD ,故S ΔEFGH = 21S ABCD 即 k =2为常值. 又易知，P 1=AC +BD,特别地，若取邻边长分别为1、2的矩形，则k 1=;53 再取邻边长分别为1、的矩形，则k 1=,104故k 不是常值. 2. C 由根与系数的关系知 sin α·cos α =31 ， 则有sin 4α+cos 4α = (sin 2α+cos 2α)2 -2(sin α·cos α)2 = ,97 3. D当a<0时，无解； 当a=0时，x=0; 不合题意；当a >0时，原方程化为a x x ±=−12整理得 x 2-ax+a=0（1）或x 2+ax-a=0（2）因为方程（2）的判别式⊿2=a 2+4a>0, 即方程（2）有两个不同实根。
2006年全国初中数学竞赛试题及答案
2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 2．已知21+=m，21-=n，且)763)(147(22--+-n na m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2xy =上，并且斜边AB 平行于x轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >2 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC 的值为（ ）（A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ． 7．如图，面积为cb a-的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数， 且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 ．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a，则[]a 10的值等于．([]x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知ab x=，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ．（1） 试写出一个满足条件的x ； （2） 求所有满足条件的x ．（第7题图）ABD G12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a acb①542--=a abc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
2006年全国初中数学联合竞赛试卷
2006年全国初中数学联合竞赛试卷（辽宁）第一试（4月9日上午8:30-9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、P1分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K = SS1，K1 =PP1，则下面关于K、K1的说法正确的是（）．A.K、K1均为常值B.K为常值，K1不为常值C.K不为常值,K1为常值D.K、K1均不为常值2.已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x2 –mx + 1= 0的两根，则sin4α+ cos4α的值为（）．A.29B.13C.79D.13.关于x的方程|x2x–1|=a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）．A.a > 0B.a ≥4C.2 < a < 4D.0 < a < 44.设b>0，a2 -2ab + c2 = 0，bc > a2，则实数a、b、c的大小关系是（）．A.b > c >aB.c> a > bC.a > b > cD.b > a > c5.设a、b为有理数，且满足等式a + b 3 = 6 ⋅1 + 4 + 2 3 ，则a + b 的值为（）．A.2B.4C.6D.86.将满足条件“至少出现一个数字0，且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，……，则这列数中的第158个数为（）．A.2000B.2004C.2008D.2012二、填空题（本题满分28分,每小题7分）1.函数y= x2-2006|x|+ 2008的图象与x轴交点的横坐标之和等于__________．2.在等腰Rt△ABC中，AC = BC =1，M是BC的中点，CE⊥AM于E交AB于F，则S⊿MBF = __________.3.使x2 + 4 + (8 - x)2 + 16 取最小值的实数x的值为__________.4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(100,0)，B(100,100)，C(0,100)．若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足：S⊿POA ⋅ S⊿PBC = S⊿P AB⋅S⊿POC，就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为__________.（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）2006年全国初中数学联合竞赛试卷(辽宁）第二试(4月9日上午10:00-11:30)一、(本题满分20分)已知关于x的一元二次方程x2 +2(a + 2b + 3)x+(a2 + 4b2 + 99)= 0无相异两实根，则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组？二、(本题满分25分)如图，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．又已知∠EDF = 90°，ED = DF = 1，AD = 5．求线段BC的长．三、(本题满分25分)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心． (1)求证：O、E、O1三点共线；(2)求证：若∠ABC = 70°，求∠OBD的度数．参考答案：选择题：BCDABC填空题：1. 0 2. 112 3.38 4. 197解答题：1. 16 2. 107 3. (1) 证明相似三角形的对应角相等；（2）35°.FEDCBA．1OOFEDCBA。
2006年山西省太原市初中毕业升学考试试卷
2006年山西省太原市初中毕业升学考试试卷政治历史政治历史(政治部分)一、选择题(本大题含14个小曰，每小题2分，共28分)在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求：1．2005年10月12日，中华人民共和田第十届运动会召开。
本届运动会的主题口号是A．体育的盛会，人民的节日 B．同一个世界，同一个梦想C．为人民争光，为祖国添彩 D．发展体育运动，增强人民体质2．2006年3月1日，正式实施，它在维护社会治安，保障公共安全，维护社会稳定等方面将起到更加积极的作用。
A．《中华人民共和国公务员法》 B．《中华人民共和国妇女权益保障法》C．《中华人民共和国治安管理处罚条例》 D．《中华人民共和国治安管理处罚法》3．2006 1月1日，中华人民共和国中央政府门户网站正式开通。
其网址是A． B．C． D．4．中华人民共和国中央政府门户网站的开通①为广大公民行使批评、建议权提供了新的途径②体现了政府工作的与时俱进③能进一步促进政府决策的科学化、民主化，推进我国的民主政治建设④有利于人民群众直接行使管理国家的权力A．①②③④B．①②③ C．②③④D．①③④5．右图形象地说明（图欠奉）A．喜怒哀惧是人最基本的情绪 B．兴趣不同，情绪感受就会不同C．性格不同，情绪感受就会不同 D．我们每个人都是自己情绪的主人6．性格内向的小璐，从来不敢参加班级活动，为此她感到很苦恼，决定改变自己。
于是，每天早晨她都要对着镜子大声朗读。
坚持了一段时间以后，她逐渐变得大胆、开朗了，对班级的事情也敢参与了。
小璐的变化说明A．小璐天生活泼，只是以前没有表现出来 B．养成良好的行为习惯对于塑造性格十分重要 C．每个人都应该发挥自己的性格优势 D．每个人的性格既有优势，又有弱点7．在楚汉之争中，刘邦广纳贤土，善于听取部下的意见，终成一代帝业；而项羽却自封“西楚霸王”，刚愎自用，置范增等人的建议于不顾，终落得乌江自刎。
上述事例给我们的启示是 A．要自尊自信，不要虚荣嫉妒 B．要自尊自信，不要自卑自弃C．要自尊自信，不要自轻自贱 D．要自尊自信，不要自傲自负8．2005年12月16日，原贵州省交通厅厅长卢某，因受贿罪、巨额财产来源不明罪和偷越国境界罪被执行死刑。
00,03-04年太原市初中数学竞赛试题
2000年太原市初中数学竞赛 .............................................................................................. 1 2003年太原市初中数学竞赛试题 ...................................................................................... 3 2004年全国初中数学太原 .. (8)2000年太原市初中数学竞赛第一试第一试 一、选择题一、选择题((每小题6分，共3 6分) 1 1．锐角△ABC ．锐角△ABC 的三条高AD AD、、BE BE、、CF 交于H ，在A 、B 、C 、D 、E 、 F F、、H 七个点中．能组成四点共圆的组数是组成四点共圆的组数是( )( )( )．．(A)4组 (B)5组 (C)6组 (D)7组 2·已知2·已知ab≠1,且a 2+4a+2=0,2b 2+4b+1=0.+4b+1=0.则则a 3+31b等于等于( )( )( )．．(A)-40 (B)40 (C)282 -40 (D)282 +403 3．已知．已知a+b=20012000+， a-b=20002001-．则．则 a a 4-b 4等于等于( )( )( )．．(A)2000 (B)2001 (C)2000 (D)20014 4．如图，．如图，．如图，P P 为圆柱ABCD 的母线BC 的中点，已知圆柱母线长为4，底面半径OA=1OA=1．则在圆柱的侧面上点．则在圆柱的侧面上点P 到点A 的最短距离为的最短距离为( )( )( )．．(A)22 (B)24p + (C)2π2 (D) 22p +5 5．当．当1 999≤x≤2000时，函数y=x 2+x+21 的函数值中是整数值的个数是( )( )．．(A)4001(B)4000 (C)3999 (D)3998 6 6．．如图，相等两圆交于A 、B 两点，过B 任作一直线交两圆于任作一直线交两圆于 M M M、、N ，过M 、N 各引所在圆的切线设交于C ．则四边形AMCN 有下面关系有下面关系( )( )成立．成立．(A) (A)有内切圆无外接圆有内切圆无外接圆有内切圆无外接圆 (B) (B) (B)有外接圆无内切圆有外接圆无内切圆有外接圆无内切圆 (C) (C)既有内切圆，也有外接圆既有内切圆，也有外接圆既有内切圆，也有外接圆 (D) (D) (D)以上情况都不对以上情况都不对以上情况都不对 二、填空题二、填空题二、填空题((每小题8分，共32分)1 1．方程．方程x 2—4x+3a 2-2=O 在区间在区间[-1[-1[-1，，1]1]上有实根．则实数口的取值范围是上有实根．则实数口的取值范围是上有实根．则实数口的取值范围是 ．．2．已知．已知45321354212543115432a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa+++=+++=+++=+++=K且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5≠0．则k 的值为的值为 ．．3 3．设△ABC ．设△ABC 的重心为G ，且AG=6AG=6，，BG=8BG=8，，CG=10CG=10．则．则S△ABC=S△ABC=4 4．．32000除以1 3的余数是的余数是 ．． 第二试第二试 一、一、(1 4(1 4分)解不等式：解不等式：二、二、(1 4(1 4分)设a 、b 、c 是互不相等的实数．求证：是互不相等的实数．求证：0))(())(())((444>--+--+--b c a c c a b c b b c a b a a 三、三、(1 4(1 4分)设求不超过S 的最大整数的最大整数[S][S][S]．． 四、四、四、(1 5(1 5分)如图，如图，AB AB 为半圆0的直径，的直径，C C 是半圆上的一点，CD⊥ AB 于D ，⊙O 1切BD 于点E ，切CD 于点F ，切半圆周于点G ．求证：．求证： (1)A (1)A、、F 、G 三点在一条直线上；三点在一条直线上； (2)AC=AE五、五、五、(1 5(1 5分)如图，如图，AOB AOB 是单位圆的四分之一，半圆01的圆心01在OA 上，并与︵AB 内切于点A ，半圆02的圆心O 2在OB 上，并与︵AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切．设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y．(1)(1)试建立以试建立以x 为自变量的函数y 的解析式；的解析式；(2)(2)(2)求函数求函数y 的最小值．的最小值．2000年太原市初中数学竞赛试题年太原市初中数学竞赛试题 第一试 一、一、11．C 2C 2．．A 3A 3．．D 4D 4．．B 5B 5．．B 6B 6．．D 二、二、11．-315≤a ≤3152 2．．4 34 3．．72 4.9第二试2003年太原市初中数学竞赛试题一、选择题一、选择题((每小题7分，共35分)1．已知m 2+2mn=384+2mn=384，，3mn+2n 2=560=560．则．则2m 2+13mn+6n 2—444的值是的值是 ( ) ( ) A A．．2001 B,2002 C 2001 B,2002 C．．2003 D 2003 D．．20042 2．已知．已知a 、b 是实数，是实数，x=a x=a 2+b 2+20+20，，y=4(2b-a)y=4(2b-a)．则．则x 、y 的大小关系是的大小关系是 ( ) ( )A.x≤yB.x≥y C．A.x≤y B.x≥y C．A.x≤y B.x≥y C．x<y D x<y D x<y D．．x>y3 3．有甲、乙、丙、丁四个蓄水池，盛有相同量的水，作下面变动：．有甲、乙、丙、丁四个蓄水池，盛有相同量的水，作下面变动：①在甲池中先注入池中水量的①在甲池中先注入池中水量的1010％的水，再放出注水后池中水量的％的水，再放出注水后池中水量的5％的水；％的水； ②在乙池中先注入池中水量的②在乙池中先注入池中水量的9％的水，再放出注水后池中水量的4％的水；％的水； ③在丙池中先注入池中水量的③在丙池中先注入池中水量的8％的水，再放出注水后池中水量的3％的水；％的水； ④在丁池中先注入池中水量的④在丁池中先注入池中水量的7％的水，再放出注水后池中水量的2％的水．％的水． 这时，四个蓄水池中水量最大的是这时，四个蓄水池中水量最大的是这时，四个蓄水池中水量最大的是( )( )( )池．池．池． A. A.甲甲 B B．乙．乙．乙 C C 丙 D D．丁．丁．丁4．已知．已知-l<a<0-l<a<0-l<a<0，，|x-a|=a 2．则x 的取值范围是的取值范围是( ) ( ) A.-l<x<0 B A.-l<x<0 B．．0<x<l C.-2<x<0 D 0<x<l C.-2<x<0 D．．0<x<2 5．如图．如图,,已知△ABC，过点A 作外接圆的切线交BC 延长线于点P ，22=PA PC ，点D 在AC 上，且21=CD AD ，延长PD 交AB 于点E 则AE 的值是的值是 ( ) ( ) A.41 B.42 C. 21 D.22二、填空题二、填空题((每小题7分，共35分) 1．当．当--1≤x≤2时，关于x 的函数y=(k-2)x+2|k|-1的值恒正．则k 的取值范围是的取值范围是2．方程1-=-212x x 2x+x 2的解是的解是3．已知关于x 的方程x 3+(1-a)x 2-2ax+a 2=0有且只有一个实根．则实数a 的取值范围是的取值范围是 4．已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为8080．则三边长分别是．则三边长分别是．则三边长分别是 ．． 5．如图，已知△ABC 的面积为S ，D 是边BC 的三等分点，的三等分点，E E 是边AC 的四等分点，F,G 皆是边AB 的五等分点．则四边形DEFG 的面积是的面积是 ．．三、(20分)已知关于x 的方程的方程 x x 2-(2m-3)x+m-4=O 的二根为a 1、a 2，且满足满足-3<a -3<a 1<-2<-2，，a 2>0>0．求．求m 的取值范围．的取值范围． 四、四、(20(20分)已知五位数abcde 满足下列条件：满足下列条件：(1) (1)它的各位数字均不为零；它的各位数字均不为零；它的各位数字均不为零； (2) (2)它是一个完全平方数；它是一个完全平方数；它是一个完全平方数； (3) (3)它的万位上的数字它的万位上的数字a 是一个完全平方数，千位和百位上的数字顺次构成的两位数bc 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de 也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．件的所有五位数． 五、五、(20(20分)已知二次函数的图像开口向上且不过原点0，顶点坐标为，顶点坐标为(1(1(1，，-2)-2)，与，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且满足关系式OC 2=OA·OB．=OA·OB． (1)(1)求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；(2)(2)求△ABC 求△ABC 的面积．的面积． 六、六、(20(20分)如图，已知在△ABC 中，中，D D 为AC 上一点，且AD=DC+CB AD=DC+CB．过．过D 作AC 的垂线交外接圆于M ，求证：，求证：M M 为优弧︵AB 的中点．的中点．2004年全国初中数学太原一、选择题一、选择题((本题共有6个小题。
太原市教育局关于太原市2006年初中学业考试有关事项的通知
太原市教育局关于太原市2006年初中学业考试有关事项的通
知
【法规类别】中等教育
【发文字号】并教基字[2006]第3号
【发布部门】太原市教育局
【发布日期】2006.03.11
【实施日期】2006.03.11
【时效性】现行有效
【效力级别】XP10
太原市教育局关于太原市2006年初中学业考试有关事项的通知
（并教基字〔2006〕第3号）
各县（市、区）教育局，太钢、西山教育处，直属中学（单位），厂矿中学、民办学校：
为保证基础教育课程改革的顺利进行，促进素质教育的全面实施，根据《教育部关于积极推进中小学评价与考试制度改革的通知》、《教育部关于基础教育课程改革实验区初中毕业考试与普通高中招生制度改革的指导意见》和山西省教育厅《关于印发〈山西省基础教育课程改革实验区2006年初中毕业与普通高中招生制度改革的实施意见〉的通知》（晋教基〔2005〕36号）精神，结合我市具体实际，现将太原市2006年初中学业考试的有关事项通知如下：
一、考试方式
继续坚持已实行两年的初中毕业考试与中等学校招生考试合一进行的“太原市初中学业考试”办法。
初中学业考试是义务教育阶段的终结性考试，考试结果既是衡量学生是否达到毕业标准的主要依据，也是高中阶段学校招生的重要依据之一。
二、考试时间
2006年6月下旬。
具体时间另行通知。
三、考试、考查科目及办法
为保证国家九年义务教育课程计划的全面落实，促进学生的全面发展，全面检测课程改革的成效，太原市2006年初中学业考试，采用市统一组织的考试与初中学校自行组织的校内考试、考查、考评相结合的方法，对学生进行全面、准确的评价。
具体的考试、考查科目及办法确。
2006年太原市初中数学竞赛.
2006年太原市初中数学竞赛一、选择题（每小题7分，共42分）1．若x+y=1，x3+y3=13，则x5+y5的值是（）．（A）11311131 ()()() 8181243243B C D2．已知（x>0），则222241629x xy yx xy y+-+-的值是（）．（A）241616 ()()() 392527B C D3．在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有5条对角线．观察探索凸十边形有（）条对角线．（A）29 （B）32 （C）35 （D）384．已知△ABC中，，高AD=8，则△ABC外接圆的半径为（）．（A）8 （B）9 （C）10 （D）125．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3=22-12，16=52-32）．已知智慧数按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2 006年智慧数是（）（A）2 672 （B）2 675 （C）2 677 （D）2 6806．图1是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成10×21的长方形，•空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是（）．（A）25（B）345()()7911C D二、填空题（每小题7分，共42分）1．如图2，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A （1，1），B （3，1），C （3，3），D （1，3），直线y=2x+b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．则直线在y 轴上的截距b 的变化范围是_______．2．一次函数y=ax+b•的图像L 1关于直线y=•-•x•轴对称的图像L 2的函数解析式是____________．3．不论m 取任何实数，抛物线y=x 2+2mx+m 2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是_______．4．当a<0时，方程x │x │+│x │-x-a=0的解为__________．5．某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖．现在向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是________．6．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，•每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是________．三、（16分）将一个三位数abc 的中间数码去掉，成为一个两个数ac ，且满足abc =9ac +4c （•如155=9×15+4×5）．试求出所有这样的三位数．四、（16分）已知二次函数y=a x 2+4ax+4a-1的图像是C 1．（1）求C 1关于点R （1，0）中心对称的图像C 2的函数解析式；（2）设曲线C 1、C 2与y 轴的交点分别为A 、B ，当│AB │=18时，求a 的值．五、（17分）求方程2x 2+5xy+2y 2=2006的所有正整数解．六、（17分）如图3，已知AB为⊙O的弦，M为AB的中点，P为⊙O上任意一点，以点P 为圆心、2MO为半径作圆并交⊙O于点C、D，AC、BD交于点Q，请问：（1）点Q是△PAB的什么“心”？（2）点Q是否在⊙P上？试证明你的结论．提示：（1）三角形的三条高线交于一点，称为垂心定理，此点称为垂心．（2）三角形有内心、外心、重心、垂心等．参考答案一、1．A．由x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=13，x+y=1，有x2-xy+y2=13．又因x2+2xy+y2=1，则3xy=23，xy=29．由21,,321,.93x y xxyy⎧+==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩解得故x5+y5=321331124324324381+==．2．D由原方程得2（xy）．=t，则方程变形为2t2-3t-2=0，即（2t+1）（t-2）=0．解得t1=2，t2=-12（舍去），故xy=4．将x=4y代入分式，得222241629x xy yx xy y+-+-=22(161616)16(3249)27yy+-=+-．3．C 画图观察探索知多边形：四五六七八九十对角线条数： 2 5 9 14 20 27 35规律是： 2+3 5+4 9+5 14+6 20+7 27+84．D如图，延长AD交外接圆于点E，则AE为直径．联结BE，知△ABE•为直角三角形，•有AB2=AD·AE．因此，半径为12．5．C观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2•组开始每组的第一个数都是4的倍数．归纳可得第n组的第一个数为4n（n≥2）．因2 006=3×668+2，所以，第2 006个智慧数是第669组中的第2•个数，•即为4•×669+1=2 677．6．B观察图1的结构规律，知长方形面积为10×21=210，空格图形面积为2（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=90．则透光率=903 2107=．二、1．-3≤b≤-1．由直线y=2x+b随b的数值不同而平行移动，知当直线通过点A时，得b=-1；• 当直线通过点C时，得b=-3．故-3≤b≤-1．2．y=1ax+ba．直线y=ax+b与x轴、y轴的交点分别为A1（-ba，0），B（0，b），则点A1、B2关于直线y=-x•轴对称的点为A2（0，ba），B2（-b，0），利用待定系数法或斜率、截距关系知，过点A2、B2的直线为y=1ax+ba．故一次函数y=ax+b的图像关于直线y=-x轴对称的图像的函数解析式为y=1ax+ba．3．y=-x-1．将二次函数变形为y=（x+m）2+m-1，知抛物线的顶点坐标为,1. x my m=-⎧⎨=-⎩．消去m，得x+y=-1．4．当a<0时，若x≥0，方程为x2-a=0，得x2=a<0，无解；若x<0，方程为-x2-2x-a=0，即x2+2x+a=0．此时，△=4-4a>0．解得5．49欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、•且边与地砖边彼此平行、距离为的小正六边形内（如图）．作OC1⊥A1A2，且C1C2cm．因A1A2=A2O=36，A2C1=18，所以，C12．则C2O=C1O-C1C2=又因C22O，所以，B22=24．而B1B2=B2O，则小正六边形的边长为24cm．故所求概率为P=221222122436B BA A==小正六边形的面积正六边形地砖面积=49．6．黄、红、白．由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．三、因abc=100a+10b+c=，ac=10a+c，由题意得100a+10b+c=9（10a+c）+4c．化简得5（a+b）=6c．这里0≤a、b、c≤9，且a≠0．因为5是质数，所以，5,1,2,3,4,5,6,6.5,4,3,2,1,0.c aa b b==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩故则abc=155，245，335，425，515，605．四、（1）由y=a（x+2）2-1，可知抛物C1的顶点为M（-2，-1）．由图知点M（-2，-1）关于点R（1，0）中心对称的点为N（4，1），以N（4，1）为顶点，与抛物线C1关于点R（1，0）中心对称的图像C2也是抛物线，且C1与C2的开口方向相反，故抛物线C2的函数解析式为y=-a（x-4）2+1，即y=-a x2+8ax-16a+1．（2）令x=0，得抛物线C1、C2与y轴的交点A、B的纵坐标分别为4a-1和-16a+1，故│AB│=│（4a-1）-（-16a+1）│=│20a-2│．注意到│20a-2│=18．当a≥110时，有20a-2=18，得a=1；当a<110时，有2-20a=18，得a=-45． 五、方程两端分解因式得（2x+y ）（x+2y ）=2×17×59．不妨先设x ≥y ≥1，则有 ①2x+y ≥x+2y>x+y>1．由此，只有三种情况：259,2118,21003,234,217,2 2.x y x y x y x y x y x y +=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩或或 由式②、③得x+y=31．再由31,28259,3;x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得 由式④、⑤得x+y=45，与式①矛盾；由式⑥、⑦得x+y=335，与式①矛盾．故原方程的正整数解为2833;28.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩． 六、分析：当点P 在弦AB 的垂直平分线MO 上时，点Q 也在直线MO 上，此时，PQ ⊥AB ，•故考虑Q 为△PAB 的垂心．（1）如图，作⊙O 的直径BE ，联结PD 、DE 、EA ．因为∠BAE=90°，所以，AE ∥MO ．因M 为AB 中点，则AE=2MO ．于是，有AE=PD ．故四边形APDE 为等腰梯形，DE ∥PA ．又因为∠BDE=90°，BD ⊥DE ，所以，BD ⊥PA ，即点Q 在△PAB 的顶点B 到底边PA•的垂线上．联结PE 、PC ．因AE=PC=2MO ，则四边形ACPE 也为等腰梯形，所以，PE ∥AC ．又∠BPE=90°，PE⊥PB，则AC⊥PB，即点Q在△PAB的顶点A到底边PB的垂线上．因Q是△PAB两条高的交点，故Q为△PAB的垂心．（2）联结PQ．根据垂心定理知PQ⊥AB，但AE⊥AB，则PQ∥AE．又因PE∥AC，即有PE∥AQ，则四边形AQPE为平行四边形．所以，PQ=AE=PC=2MO．故点Q在⊙P上．。
2006年太原市初中数学竞赛
2006年太原市初中数学竞赛
陈兆镇; 晚成国; 任朝雁; 张亚静
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2006(000)011
【摘要】一、选择题（每小题7分，共42分）1．x＋y=1，x^3＋y^3）=1/3，则的值x^5＋y^5的值是（）．
【总页数】4页(P25-28)
【作者】陈兆镇; 晚成国; 任朝雁; 张亚静
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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山西省太原市初中数学竞赛试卷
20XX年山西省太原市初中数学竞赛试卷一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）化简根式的结果是（）A．2B．﹣2 C．D．﹣2．（7分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a+b+c的取值范围是（）A．﹣2＜a+b+c＜0 B．0＜a+b+c＜2 C．﹣4＜a+b+c＜0 D．0＜a+b+c＜43．（7分）已知关于x的一元二次方程a2x2+b2x+c2=O ①的两根之和是一元二次方程ax2+bx+c=0 ②的两根的平方和．则a、b、c的关系是（）A．a2=bc B．b2=ac C．c2=ab D．a bc=14．（7分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点M，且分正方形为四个三角形，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4分别为△AMB、△BMC、△CMD、△DMA的内切圆，已知AB=1．则⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4．所夹的中心（阴影）部分的面积为（）A．B．C．D．5．（7分）在高为4cm，底面边长为18cm的正方形方盒中，装入直径为40mm的标准型号的乒乓球，则最多可装入乒乓球的个数是（）A．16 B．18 C．20 D．236．（7分）今天是20XX年3月20日．星期日．那么，今天以后的第20052天是（）A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六二、填空题（共6小题，每小题7分，满分42分）7．（7分）1111111112（9个1）=_________．8．（7分）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个不同的交点为A、B，抛物线顶点为C．则S△ABC=_________．9．（7分）已知，则=_________．10．（7分）有两个正整数a、b，它们的平方和为5 8 5，而最大公约数与最小公倍数的和为87．则a+b=_________．11．（7分）如图，在边长为1的正方形ABCD的各边上，截取AE=BF=CG=DH=x，连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS．用x的代数式表示四边形PQRS的面积S．则S=_________．12．（7分）已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6：5：4．则在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三角形所对的角度之比为_________．三、解答题（共4小题，满分66分）13．（17分）三项式x2﹣x﹣2n能分解为两个整系数一次因式的乘积（1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？（2）当n≤2005时，求最大整数n14．（17分）如图直线l：y=kx+2﹣4k（k为实数）．（1）求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点．求△AOB面积的最小值．15．（16分）如图．已知△ABC的垂心为H．外接圆⊙O，M为AB的中点．连接MH并延长交⊙O于D．求证：HD⊥CD．16．（16分）已知两个二次函数y A=x2+3mx﹣2和y B=2x2+6mx﹣2．其中m＞0．构造函数y：当y A＞y B时．设y=y A；当y A≤y B时，设y=y B．若自变量x在﹣2≤x≤1的范围内变化，求函数y的最大值与最小值．。
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2006年太原市初中数学竞赛一、选择题（每小题7分，共42分）1．若x+y=1，x3+y3=13，则x5+y5的值是（）．（A）11311131 ()()() 8181243243B C D2．已知（x>0），则222241629x xy yx xy y+-+-的值是（）．（A）241616 ()()() 392527B C D3．在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有5条对角线．观察探索凸十边形有（）条对角线．（A）29 （B）32 （C）35 （D）384．已知△ABC中，AD=8，则△ABC外接圆的半径为（）．（A）8 （B）9 （C）10 （D）125．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3=22-12，16=52-32）．已知智慧数按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2 006年智慧数是（）（A）2 672 （B）2 675 （C）2 677 （D）2 6806．图1是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成10³21的长方形，•空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是（）．（A）25（B）345()()7911C D二、填空题（每小题7分，共42分）1．如图2，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A （1，1），B （3，1），C （3，3），D （1，3），直线y=2x+b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．则直线在y 轴上的截距b 的变化范围是_______． 2．一次函数y=ax+b•的图像L 1关于直线y=•-•x•轴对称的图像L 2的函数解析式是____________． 3．不论m 取任何实数，抛物线y=x 2+2mx+m 2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是_______． 4．当a<0时，方程x │x │+│x │-x-a=0的解为__________．5．某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖．现在向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是________．6．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，•每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多； （2）红盒中的小球与白球不一样多； （3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是________．三、（16分）将一个三位数abc 的中间数码去掉，成为一个两个数ac ，且满足abc =9ac +4c （•如155=9³15+4³5）．试求出所有这样的三位数．四、（16分）已知二次函数y=a x2+4ax+4a-1的图像是C1．（1）求C1关于点R（1，0）中心对称的图像C2的函数解析式；（2）设曲线C1、C2与y轴的交点分别为A、B，当│AB│=18时，求a的值．五、（17分）求方程2x2+5xy+2y2=2 006的所有正整数解．六、（17分）如图3，已知AB为⊙O的弦，M为AB的中点，P为⊙O上任意一点，以点P 为圆心、2MO为半径作圆并交⊙O于点C、D，AC、BD交于点Q，请问：（1）点Q是△PAB的什么“心”？（2）点Q是否在⊙P上？试证明你的结论．提示：（1）三角形的三条高线交于一点，称为垂心定理，此点称为垂心．（2）三角形有内心、外心、重心、垂心等．2006年太原市初中数学竞赛答案一、1．选A．由x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=13，x+y=1，有x2-xy+y2=13．又因x2+2xy+y2=1，则3xy=23，xy=29．由21,,321,.93x y xxyy⎧+==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩解得故x5+y5=321331124324324381+==．2．选D 由原方程得2（xy）-2=0．=t，则方程变形为2t2-3t-2=0，即（2t+1）（t-2）=0．解得t1=2，t2=-12（舍去），故xy=4．将x=4y代入分式，得222241629x xy yx xy y+-+-=22(161616)16(3249)27yy+-=+-．3．选C 画图观察探索知多边形：四五六七八九十对角线条数： 2 5 9 14 20 27 35规律是： 2+3 5+4 9+5 14+6 20+7 27+84．选D 如图，延长AD交外接圆于点E，则AE为直径．联结BE，知△ABE•为直角三角形，•有AB2=AD²AE．因此，半径为12．5．选C 观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2•组开始每组的第一个数都是4的倍数．归纳可得第n组的第一个数为4n（n≥2）．因2 006=3³668+2，所以，第2 006个智慧数是第669组中的第2•个数，•即为4•³669+1=2 677．6．选B 观察图1的结构规律，知长方形面积为10³21=210，空格图形面积为2（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=90．则透光率=903 2107=．二、1．-3≤b≤-1．由直线y=2x+b随b的数值不同而平行移动，知当直线通过点A时，得b=-1；•当直线通过点C时，得b=-3．故-3≤b≤-1．2．y=1ax+ba．直线y=ax+b与x轴、y轴的交点分别为A1（-ba，0），B（0，b），则点A1、B2关于直线y=-x•轴对称的点为A2（0，ba），B2（-b，0），利用待定系数法或斜率、截距关系知，过点A2、B2的直线为y=1ax+ba．故一次函数y=ax+b的图像关于直线y=-x轴对称的图像的函数解析式为y=1ax+ba．3．y=-x-1．将二次函数变形为y=（x+m）2+m-1，知抛物线的顶点坐标为,1. x my m=-⎧⎨=-⎩．消去m，得x+y=-1．4．a<0时，若x≥0，方程为x2-a=0，得x2=a<0，无解；若x<0，方程为-x2-2x-a=0，即x2+2x+a=0．此时，△=4-4a>0．解得=-15．49欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、•且边与地砖边彼此平行、距离为的小正六边形内（如图）．作OC1⊥A1A2，且C1C2．因A1A2=A2O=36，A2C1=18，所以， C1O=2A2则C2O=C1O-C1C2=C22O，所以，B22．而B1B2=B2O，则小正六边形的边长为24cm．故所求概率为 P=221222122436B BA A==小正六边形的面积正六边形地砖面积=49．6．黄、红、白．由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．三、因abc=100a+10b+c=，ac=10a+c，由题意得100a+10b+c=9（10a+c）+4c．化简得5（a+b）=6c．这里0≤a、b、c≤9，且a≠0．因为5是质数，所以，5,1,2,3,4,5,6,6.5,4,3,2,1,0.c aa b b==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩故则abc=155，245，335，425，515，605．四、（1）由y=a（x+2）2-1，可知抛物C1的顶点为M（-2，-1）．由图知点M（-2，-1）关于点R（1，0）中心对称的点为N（4，1），以N（4，1）为顶点，与抛物线C1关于点R（1，0）中心对称的图像C2也是抛物线，且C1与C2的开口方向相反，故抛物线C2的函数解析式为y=-a（x-4）2+1，即y=-a x2+8ax-16a+1．（2）令x=0，得抛物线C1、C2与y轴的交点A、B的纵坐标分别为4a-1和-16a+1，故│AB│=│（4a-1）-（-16a+1）│=│20a-2│．注意到│20a-2│=18．当a≥110时，有20a-2=18，得a=1；当a<110时，有2-20a=18，得a=-45．五、方程两端分解因式得（2x+y）（x+2y）=2³17³59．不妨先设x≥y≥1，则有① 2x+y≥x+2y>x+y>1．由此，只有三种情况：259,2118,21003,234,217,2 2.x y x y x y x y x y x y +=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩或或 由式②、③得x+y=31． 再由31,28259,3;x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得 由式④、⑤得x+y=45，与式①矛盾； 由式⑥、⑦得x+y=335，与式①矛盾． 故原方程的正整数解为2833;28.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩． 六、分析：当点P 在弦AB 的垂直平分线MO 上时，点Q 也在直线MO 上，此时，PQ ⊥AB ，•故考虑Q 为△PAB 的垂心．（1）如图，作⊙O 的直径BE ，联结PD 、DE 、EA ． 因为∠BAE=90°，所以，AE ∥MO ． 因M 为AB 中点，则AE=2MO ． 于是，有AE=PD ．故四边形APDE 为等腰梯形，DE ∥PA ．又因为∠BDE=90°，BD ⊥DE ，所以，BD ⊥PA ， 即点Q 在△PAB 的顶点B 到底边PA•的垂线上． 联结PE 、PC ．因AE=PC=2MO ，则四边形ACPE 也为等腰梯形，所以，PE ∥AC ．又∠BPE=90°，PE ⊥PB ，则AC ⊥PB ，即点Q 在△PAB 的顶点A 到底边PB 的垂线上． 因Q 是△PAB 两条高的交点，故Q 为△PAB 的垂心．（2）联结PQ ．根据垂心定理知PQ ⊥AB ，但AE ⊥AB ，则PQ ∥AE ．又因PE ∥AC ，即有PE ∥AQ ，则四边形AQPE 为平行四边形． 所以，PQ=AE=PC=2MO ． 故点Q 在⊙P 上．。