集合间的基本关系学案

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高中数学必修一《1 2 集合间的基本关系》获奖说课导学案

【新教材】1.2 集合的基本关系学案（人教A版）1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．一、预习导入阅读课本7-8页，填写。

1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A为B的______.记作：A_________ B(或B _________ A)读作：A包含于B(或B包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A______ B且B ______ A），那么我们称这两个集合相等.记作：A ______B读作：A等于B.图示：2. 真子集A ，存在元素x______ B且x______ A，则称集合A是集合B的真子集。

若集合B记作：A ______B （或B ______A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集__________________的集合称为空集，记作：∅. 规定：空集是任何集合的子集。

4.常用结论（1）A __________ A （类比a a ≤）（2）空集是__________的子集，是_____________的真子集。

（3）若,,A B B C ⊆⊆则A __________ C （类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）（4）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为________个，其真子集数为________个，特别地，空集的子集个数为________，真子集个数为________。

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( ) (2)任何一个集合都有子集． ( ) (3)若A ＝B ，则A ⊆B . ( ) (4)空集是任何集合的真子集． ( ) 2.用适当的符号填空(1) a______{a,b,c} (2) 0_______{x|x 2=0} (3) ∅________{x ∈R|x 2+1=0} (4) {0,1}_____N(5) {∅}_____{x|x 2=x} （6）{2,1}____{x|x 2−3x +2=0} 3．设a ∈R ，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a ＝________.例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?例2 下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x 2+x=0}的关系的维恩图是( )例3 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B 之间是否存在子集关系; (2)若A ⊇B,求实数a 的取值范围.变式1． [变条件] 【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A ⊆B?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,试说明理由.变式2． [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A ⊇B,求实数a 的取值范围.1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．42．已知集合A ＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A3．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C．4 D．34．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( ) A．A⊆B B．A＝BC．A B D．A B5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( ) A．1 B．－1C．0,1 D．－1,0,1=1}，则A，B的关系是________．6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx7．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．8．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．答案小试牛刀1．答案：(1) ×(2) √(3) √ (4)×2．（1）∈（2）= （3）=（4）⊆（5）⊈（6）=3．-1自主探究例1【答案】见解析【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.(2)由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 例2【答案】B【解析】∵N={x|x 2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N ⫋M,故选B. 例3【答案】见解析【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B 是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a 所满足的条件.解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}. 如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B ⫋A. (2)由已知A ⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可得{2a -3≥-5,a -2≤2,解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a 的取值范围为-1≤a<1 变式1．【答案】见解析【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若A ⊆B,则B 一定不是空集.此时有{2a -3≤-5,a -2≥2,即{a ≤-1,a ≥4,显然实数a 不存在.变式2．【答案】见解析【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a ≥52 或a ≤-3.又因为a<1,所以a ≤-3.综上,实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤-3. 当堂检测1-5．CDADD 6．B A 7．m≥38．【答案】见解析【解析】∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种． ①当B ＝∅时，由a>2a －1，得a<1. ②当B≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a≤2a－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a≤2a－1成立，解得a>3；综上可知，实数a 的取值范围是{a|a<1或a>3}．。

高中数学人教版(新教材)必修1学案1：1.2 集合间的基本关系

1.2 集合间的基本关系学习目标1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想.重点难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；难点：属于关系与包含关系的区别．知识梳理1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于B (或B 包含A ).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A B B A ⊆⊆且），那么我们称这两个集合相等.记作：A =B读作：A 等于B. 图示：2. 真子集若集合A B ⊆,存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集不含有任何元素的集合称为空集,记作：∅.规定：空集是任何集合的子集.学习目标探究一子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：①A ={1,2,3},B ={1,2,3,4,5};②A 为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, B 为这个班全体学生组成的集合; ③A ={x |x ＞2},B ={x |x ＞1}.2.子集定义：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的.记作：(A B B A ⊆⊇或）读作：(或“”)符号语言：任意有则.3.韦恩图（Venn 图）：用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.牛刀小试1：图中A 是否为集合B 的子集？牛刀小试2：判断集合A 是否为集合B 的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×:①A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6} ( )②A ={1,3,5}, B ={1,3,6,9} ( )③A ={0}, B={x | x 2+2=0} ( )④A ={a,b,c,d }, B ={d,b,c,a } ( )探究二集合相等BB A,A1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系（1）A ＝{x |x 是两条边相等的三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；2.定义：如果集合A 的都是集合B 的元素，同时集合B 都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作.牛刀小试3：()(){}{}12012A x x x B A B =++==--，，.集合与什么关系？探究三真子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：(1)A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6}；(2)A ={四边形}, B ={多边形}.2.定义：如果集合A ⊆B ,但存在元素，且，称集合A 是集合B 的真子集．记作：（或）读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）.探究四空集1.我们把的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.即φB ，（B φ≠）例如:方程x 2+1=0没有实数根,所以方程 x 2+1=0的实数根组成的集合为φ.问题：你还能举几个空集的例子吗？2.深化概念：（1）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别？（2）集合A B 与集合A B ⊆有什么区别？（3）0，{0}与 Φ三者之间有什么关系?3.结论：由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即.（2）对于集合A 、B 、C ，若,,A B B C ⊆⊆则（类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）. 例1.写出集合{a ，b }的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2.判断下列各题中集合A 是否为集合B 的子集，并说明理由.(1)A ={1,2,3},B ={x |x 是8的约数}；(2)A ={x |x 是长方形}，B ={x |x 是两条对角线相等的平行四边形}达标检测1．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．已知集合M＝{x|－3<x<2，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( ) A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤，x∈N}3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．44．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是( )A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．——★ 参*考*答*案★——学习过程：探究一1.集合A的元素都属于集合B2.任何一个元素子集集合A含于集合B集合B包含集合Ax∈A，x∈BA⊆B牛刀小试1 集合A不是集合B的子集牛刀小试2 ①√ ②×③×④√探究二集合相等1.（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．2.任何一个元素任何一个元素A=B牛刀小试3 A=B探究三真子集1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合A.2.x∈Bx AA BB A探究四空集1.不含任何元素2.（1）前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.（2） A = B或A B（3）{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.如Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}3.（1）（2）例1.解：集合{a，b}的子集：，{a},{b} ,{a, b}.集合{a，b}真子集：，{a},{b}.例2.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.三、达标检测1.『解析』根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.『答案』B2.『解析』集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.『答案』D3.『解析』①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.『答案』B4.『解析』由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．『答案』D5.『解』因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．。

2014人教A版数学必修一1.1.2《集合间的基本关系》课时学案

1.1.2 集合间的基本关系1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能写出给定集合的子集.3.能使用Venn图表达集合之间的关系.4.在具体情境中了解空集的含义.1.一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的，记作（或）,读作“A含于B”（或“B包含A”）.2.为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上代表集合,这种图称为Venn图.3.如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素，因此，集合A与集合B，记作 .4.如果集合A⊆B，但，我们称集合A是集合B的真子集，记作（或）.5.我们把的集合叫做空集，记为，并规定：空集是的子集.6.子集的性质：(1)任何一个集合是的子集，即 .(2)对于集合A,B,C，如果A⊆B，且B⊆C，那么 .1.下列命题：①如果集合A是集合B的子集，那么集合A中的元素少于集合B中的元素；②空集是任何集合的真子集；③若空集是集合A的真子集，则集合A不是空集.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.若x,y∈R，A={(x,y)|y=x}，B=，则A与B的关系为（）A.A BB.B AC.A=BD.A⊆B3.设A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A B，则a的取值范围是（）A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}4.集合A＝{x｜-1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.一、子集提出问题：1.观察实例：(1)A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；(2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；(3)设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}；(4)P={x|x是长方形}，Q={x|x是平行四边形}；(5)S={x|x>3},T={x|x>2}；(6)E={x|(x+1)(x+2)=0},F={-1,-2}.上面每个例子中的两个集合，前一个集合的元素与后一个集合的元素之间有什么关系？两个集合之间有什么关系？结论：提出问题：2.阅读教材第6页第四段，如何用图形表示两个集合间的包含关系呢？结论：反馈练习我们在上一节学习了特殊数集的记号，请用适当的符号填空，并用Venn图表示N,Z,Q,R之间的关系：N Z，N Q，R Z，R Q.二、集合相等提出问题：1.在子集的定义中，能否理解为子集A是集合B中的“部分元素”所组成的集合？结论：提出问题：2.上一课时我们是如何定义两个集合相等的？结论：提出问题：3.观察新课开始提出的问题中的例(3)和例(6)，这两个集合中的元素一样吗？它们之间存在什么样的包含关系？结论：例1 已知三元素集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y},且A=B,求x与y的值.三、真子集。

集合间的基本关系学案

1.1.2集合间的关系学案预习案（限时20分钟）学习目标： 1.理解子集、真子集的含义2.能区分子集与真子集的联系与区别3.会写出给定集合的子集与真子集4.熟记空集的特性5.了解子集的传递性学习重点： 1.理解子集、真子集的含义2.能区分子集与真子集的联系与区别预习指导：请根据任务提纲认真预习课本❖ 任务一：子集、真子集以及集合相等的含义1.符号B A ⊆含义是什么？符号B A ≠⊂含义是什么？2.你能写出集合{}3,2,1=M 的子集和真子集吗？能说说子集和真子集的联系和区别吗？ 3.包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别?试结合实例作出解释？❖ 任务二：空集的特殊性4.空集是任何集合的子集吗？空集是任何集合的真子集吗？5.0，{}0与φ三者之间有什么关系？预习检测：1、用适当的符号填空：（1）a ＿＿＿{},,a b c ；（2）{,}a b {,,}a b c ；（3）0＿＿＿{}2|0x x =；（4）φ＿＿＿{}2|10x R x ∈+=；（5）φ______{a } （6）{}0,1＿＿＿N ；（7）{}0＿＿＿{}2|x x x =；（8）{}2,1＿＿＿{}2|320x x x -+=。

2、判断下列两个集合之间的关系：（1）A ={1,2,3}， {}|8B x x =是的约数；（２）{}{}|3,,|6,;A x x k k N B x x z z N ==∈==∈（３）{}{}|410,|20m,m ;A x N x B x x N +=∈==∈是与的公倍数3、写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

预习探究：1.A A ⊆，A A ≠⊂这两个都对吗？能得出什么结论？2.如果集合B A ⊆，C B ⊆，那么集合A 与C 有什么关系？能否举例说明？3.已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有＿＿＿＿个，真子集有＿＿＿＿个，非空子集有＿＿＿＿个，非空真子集有＿＿＿＿个。

高中数学集合关系概念教案

高中数学集合关系概念教案
1. 掌握集合的定义和表示方法。

2. 理解集合的包含关系和交、并、补运算。

3. 能够用集合的概念解决实际问题。

【教学重点】
1. 集合的定义和表示法。

2. 集合之间的基本关系和运算。

【教学难点】
1. 理解集合运算的概念和性质。

2. 运用集合关系解决问题的能力。

【教学准备】
1. 教师准备：PPT、教材、教具等。

2. 学生准备：课前预习教材相关内容。

【教学过程】
一、复习导入
1. 复习上节课所学内容，引导学生回顾集合的基本定义和表示法。

二、新知讲解
1. 引入：介绍集合的概念和基本表示方法。

2. 概念解释：集合的包含关系、相等关系及运算。

3. 运算规则：介绍集合的交、并、补运算，让学生了解运算规则。

三、拓展引导
1. 实例分析：通过实例让学生掌握集合的运算方法和应用。

四、课堂练习
1. 授课安排练习题，巩固学生对集合概念的理解和掌握。

五、课堂总结
1. 总结本节课的主要内容，强调集合概念及重要运算规则。

2. 鼓励学生多加练习，提高对集合概念的掌握和应用能力。

【课后作业】
1. 完成教师布置的练习题，巩固集合的概念和运算方法。

2. 阅读相关课外资料，了解更多集合的应用和拓展知识。

【教学反思】
1. 本节课教学内容是否能够引起学生的兴趣，是否能够达到预期的教学效果。

2. 学生对集合概念和运算方法的掌握情况如何，是否需要进一步加强巩固。

集合间的基本关系教案

集合间的基本关系教案集合间的基本关系教案1（一）教学目标；1．知识与技能（1）理解集合的包含和相等的关系.（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.2．过程与方法（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.3．情感、态度与价值观应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.（二）教学重点与难点重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.（三）教学方法在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境提出问题思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.师：对两个数a、b，应有a＞b或a = b或a＜b.而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系.类比生疑，引入课题概念形成分析示例：示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系（1）A = {1，2，3}B = {1，2，3，4，5}（2）A = {新华中学高（一）6班的全体女生}B = {新华中学高（一）6 班的全体学生}（3）C = {x | x是两条边相等的三角形}D = {x | x是等腰三角形}1．子集：一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B 的元素，称集合A是集合B的子集，记作，读作：“A含于B”（或B包含A）2．集合相等：若，且，则A=B.生：实例（1）、（2）的共同特点是A的每一个元素都是B 的元素.师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的'子集怎样定义呢？学生合作：讨论归纳子集的共性.生：C是D的子集，同时D是C的子集.师：类似（3）的两个集合称为相等集合.师生合作得出子集、相等两概念的数学定义.通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.初步了解子集、相等两个概念.概念深化示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：（1）A = Z，B = N；（2）A = {长方形}，B = {平行四边形}；（3）A={x| x2–3x+2=0}，B ={1，2}.1．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合.如果，则Venn图表示为：2．真子集如果集合，但存在元素x∈B，且x A，称A是B的真子集，记作AB (或B A).示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？（1）A = {(x，y) | x + y =2}.（2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}.3．空集称不含任何元素的集合为空集，记作 .规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.示例1 学生思考并回答.生：（1）（2）（3）A = B师：进一步考察（1）、（2）不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A 中，具有这种关系时，称A是B的真子集.示例3 学生思考并回答.生：（1）直线x+y=2上的所有点（2）没有元素师：对于类似（2）的集合称这样的集合为空集.师生合作归纳空集的定义.再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.能力提升一般结论：① .②若，，则 .③A = B ，且 .师：若a≤a，类比 .若a≤b，b≤c，则a≤c类比.若，，则 .师生合作完成：（1）对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故 .（2）已知集合，同时，即任意x∈A x∈B x∈C，故 .升华并体会类比数学思想的意义.应用举例例1（1）写出集合{a、b}的所有子集；（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；一般地：集合A含有n个元素则A的子集共有2n个.A的真子集共有2n – 1个.学习练习求解，老师点评总结.师：根据问题（1）、（2）、（3），子集个数的探究，提出问题：已知A = {a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个？通过练习加深对子集、真子集概念的理解.培养学生归纳能力.归纳总结子集：任意x∈A x∈B真子集：A B 任意x∈A x∈B，但存在x0∈B，且x0 A.集合相等：A = B 且空集（）：不含任何元素的集合性质：①，若A非空，则 A.② .③， .师生合作共同归纳—总结—交流—完善.师：请同学合作交流整理本节知识体系引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.课后作业1.1 第二课时习案学生独立完成巩固基础提升能力备选训练题例1 能满足关系{a，b} {a，b，c，d，e}的集合的数目是（ A ）A．8个B．6个C．4个D．3个【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.例2 已知A = {0，1}且B = {x | }，求B.【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：，{0}，{1}，{0，1}.由题意可知B = { ，{0}，{1}，{0，1}}.例3 设集合A = {x – y，x + y，xy}，B = {x2 + y2，x2 – y2，0}，且A = B，求实数x和y的值及集合A、B.【解析】∵A = B，0∈B，∴0∈A.若x + y = 0或x – y = 0，则x2 – y2 = 0，这样集合B = {x2 + y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y≠0，x – y≠0.∴（I）或（II）由（I）得：或或由（II）得：或或∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去.当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去.∴或，∴A = B = {0，1，–1}.例4 设A = {x | x2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.【解析】A = {3，5}，∵，所以（1）若B = ，则a = 0；（2）若B≠，则a≠0，这时有或，即a = 或a = .综上所述，由实数a组成的集合为 .其所有的非空真子集为：{0}，共6个.集合间的基本关系教案2一、预习目标：初步理解子集的含义，能说明集合的基本关系。

集合间的基本关系(学案)-人教A版2019必修第一册高一数学教材配套学案

1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点)2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。

1、逻辑推理2、直观想象3、数形结合【自主学习】一. 子集的相关概念1．Venn图表示：在数学中，经常用平面上___ ___ 的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．优点：形象直观。

2.子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A B(或B A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素_________，就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的元素都是集合B的元素，同时集合B的元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A B3.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么.二. 空集定义的集合叫做空集符号用符号表示为___规定空集是任何集合的，是任何非空集合的________A【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集．()2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}⊆A C．⊆⊆A D．{0}⊆A【经典例题】题型一集合间关系的判断点拨：判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．例1 下列各式中，正确的个数是()⊆{0}⊆{0,1,2}；⊆{0,1,2}⊆{2,1,0}；⊆⊆⊆{0,1,2}；⊆⊆＝{0}；⊆{0,1}＝{(0,1)}；⊆0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【跟踪训练】1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是()A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ⊆T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．题型二子集、真子集的个数问题点拨：公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集.(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集.(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集.例2 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2-变式写出集合{a,b,c}的所有子集? 写出集合{a,b,c,d}的所有子集?【跟踪训练】2 满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是()A．2B．6 C．7D．8题型三根据集合的包含关系求参数点拨：1.分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．2.借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3.此类问题要注意对空集的讨论．例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．【跟踪训练】3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．【当堂达标】1.下列说法：⊆空集没有子集；⊆任何集合至少有两个子集；⊆空集是任何集合的真子集；⊆若⊆A，则A≠⊆.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2 B．4 C．6 D．83.设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤34.已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．5.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C.6.已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【课堂小结】1.知识点：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断.(2)求子集、真子集的个数问题.(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点.【参考答案】【自主学习】一．1.封闭曲线内部2.任意一个 ⊆⊇ x ∈B ，且x ∉A 任何一个任何一个＝3.子集 A ⊆C二．不含任何元素 ∅ 子集真子集【小试牛刀】1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×2. D 解析：集合A ＝{x |－1－x <0}＝{x |x >－1}，所以0∈A ，{0}⊆A ，D 正确．【经典例题】例1 B 解析：(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.【跟踪训练】1 (1)A 解析：因为M ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，又T ＝{－1,0,1}，所以M T . (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn 图．如图例2 解：集合{a,b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}. 真子集为∅，{a}，{b}.例2-变式：集合{a,b,c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}. 集合{a,b,c,d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}， {b,d}，{c,d}，{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}，{a,b,c,d}.【跟踪训练】2 C 解析：由题意知，集合A 可以为{a ，b }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }，{a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }．例3 解：(1)因为B ⊆A ，当B ＝⊆时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠⊆时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.【跟踪训练】3 解：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝15时，由ax －1＝0得x ＝5.所以B ＝{5}，所以BA .(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a ＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15.综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15 【当堂达标】1.B 解析：⊆空集是它本身的子集；⊆空集只有一个子集；⊆空集不是它本身的真子集；⊆空集是任何非空集合的真子集．因此，⊆⊆⊆错误，⊆正确．2.B 解析：根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．3.B 解析：因为A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，A ⊆B ，将集合A ，B 表示在数轴上，如图所示，所以m ≥3.4.A B解析：A ＝{x |x －3>0}＝{x |x >3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥52. 结合数轴知A B .5.解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2. 所以A ＝{1,2}．因为B ⊆A ，所以对B 分类讨论如下：①若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0； ②若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}． 6.解：(1)因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1.当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足B ⊆A ，故m ＝1. (2)当B ＝⊆时，只需2a >a ＋3，即a >3；当B ≠⊆时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎨⎧ a ＋3≥2a a ＋3<－1或⎩⎨⎧a ＋3≥2a 2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.。

1.1.2 集合间的基本关系学案(人教A版必修1) (2)

1．1.2 集合间的基本关系——题型探究类型一子集、真子集的概念问题【例1】已知集合M ＝{x|x ＜2且x ∈N }，N ＝{x|－2＜x ＜2且x ∈Z }．(1)试判断集合M 、N 间的关系．(2)写出集合M 的子集、集合N 的真子集．[思路探索] 把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系和写子集与真子集．解 M ＝{x|x ＜2且x ∈N }＝{0,1}，N ＝{x|－2＜x ＜2，且x ∈Z }＝{－1,0,1}．(1)M N.(2)M 的子集为：，{0}，{1}，{0,1}，N 的真子集为：，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．[规律方法] 1.写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集：和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.【活学活用1】已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }．B ＝{x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A C B 的集合C 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析易知A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，又A C B.∴集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案 D类型二集合的相等问题【例2】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，则a 2 013＋b 2 014的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1[思路探索] 集合相等集合的元素相同 a ≠0 b ＝0，a 2＝1 a 2013＋b 2014＝－1.解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，又a ≠0，∴b a＝0，∴b ＝0. ∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 013＋b 2 014＝(－1)2 013＋02 014＝－1.答案 C[规律方法] 1.本题以“0”为着眼点，b a中a 不为0为突破口． 2．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知矛盾的情形．例如本题中a ＝1不满足互异性，否则会错选D.【活学活用2】设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ＝B ，求实数a 的值．解由A ＝B 及两集合元素特征，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±1，a ＝1或a ＝2. 因此a ＝1，代入检验满足互异性．∴a ＝1.类型三由集合间的关系求参数范围问题【例3】已知集合A ＝{x|－3≤x ≤4}，B ＝{x|2m －1＜x ＜m ＋1}，且B A.求实数m 的取值范围．[思路探索] 借助数轴分析，注意B 是否为空集．解 ∵B A ，(1)当B ＝时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠ 时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得m ≥－1.[规律方法] 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．2．此类问题要注意对空集的讨论．【活学活用3】已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围．解 (1)若A B ，由图可知a ＞2.(2)若B A ，由图可知1≤a ≤2.方法技巧分类讨论思想在集合关系中的应用所谓分类讨论，就是当问题所涉及的对象不能统一解决时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案．在集合包含关系或涉及集合的元素含有参数时，常借助分类讨论思想转化求解．【示例】 (2013·济南高一检测)已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x|mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的集合．[思路分析]解由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3.∴集合A ＝{1,3}．(1)当B ＝时，此时m ＝0，满足B A.(2)当B ≠ 时，则m ≠0，B ＝{x|mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m . ∵B A ，∴3m ＝1或3m＝3，解之得m ＝3或m ＝1. 综上可知，所求实数m 的集合为{0,1,3}．[题后反思] 1.解答诸如含有集合包含关系的题目时，一定要警惕“ ”这一陷阱，考虑不周而漏掉对空集的讨论，往往造成不应有的失分，初学者要切记．2．在方程或不等式中，当一次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况下要注意分类讨论.作业1．集合{0}与∅的关系是( )．A ．{0}B ．{0}∈C ．{0}＝D ．{0}解析空集是任何非空集合的真子集，故A 正确．集合与集合之间无属于关系，故B 错；空集不含任何元素，{0}含有一个元素0，故C 、D 均错．答案 A2．已知集合A ＝{x|－1＜x ＜4}，B ＝{x|x ＜a}，若A B ，则实数a 满足( )．A ．a ＜4B ．a ≤4C ．a ＞4D ．a ≥4解析由A B ，结合数轴，得a ≥4.答案 D3．已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1.答案－14．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B A ，则实数m ＝________. 解析 ∵B ＝{3，m 2}，A ＝{－1,3,2m －1}，且B A ，∴m 2∈{－1,3,2m －1}，又m 2≠3，∴m 2＝2m －1，解得m ＝1，经检验合题意．答案 15．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．解 ∵A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．课堂小结1．子集和真子集(1)A B 包含两种情况：A ＝B 和A B.当A 是B 的子集时，不要漏掉A ＝B 的情况．(2)在真子集的定义中，A B 首先要满足A B ，其次至少有一个x ∈B ，但x A.(3)集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于( )、包含( )，真包含于( )、真包含( )等，用这些符号时要注意方向．2．空集(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若利用“A B”或“A B”解题，要讨论A＝和A≠ 两种情况．3．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.。

集合间的关系教案

集合间的关系教案教案标题：集合间的关系教案一、教学目标1. 知识目标：学生能够理解集合的概念，掌握集合间的关系，包括并集、交集、补集等。

2. 能力目标：培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学重点和难点1. 教学重点：并集、交集、补集的概念和运用。

2. 教学难点：学生理解并集、交集、补集的抽象概念，并能够运用到实际问题中。

三、教学内容1. 集合的概念和表示方法2. 并集、交集、补集的概念3. 并集、交集、补集的运用四、教学过程1. 导入新知识：通过一个生活中的例子引入集合的概念，如学生的爱好集合、班级同学集合等。

2. 学习新知识：教师介绍集合的表示方法和并集、交集、补集的概念，通过示意图和实例让学生理解这些概念。

3. 练习与巩固：教师设计一些练习题，让学生在小组内合作完成，并进行讲解和讨论。

4. 拓展应用：教师设计一些实际问题，让学生运用并集、交集、补集的概念进行解决，如班级学生参加不同兴趣班的情况等。

5. 归纳总结：教师带领学生总结并集、交集、补集的性质和运用方法。

五、教学手段1. 多媒体课件2. 示意图3. 练习题4. 实例分析六、教学评价1. 课堂练习：通过课堂练习评价学生对并集、交集、补集的掌握程度。

2. 作业布置：布置相关作业，让学生在家里进行巩固和拓展。

3. 学习反馈：定期进行学习反馈，及时发现和解决学生的问题。

七、教学反思教师应该根据学生的实际情况和学习进度，灵活调整教学内容和方法，引导学生主动参与学习，培养学生的自主学习能力。

同时，教师应该及时对学生的学习情况进行评价和反馈，帮助学生解决学习中的困惑和问题。

集合间的基本关系-高一数学同步学案(人教A版2019必修第一册)(原卷版)

1.2 集合间的基本关系【学习要求】1.理解集合之间的包含与相等的含义．2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．【思维导图】【知识梳理】一、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．记法与读法：记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．或重要结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C．对子集的理解：(1)“A⊆B”的含义：若x∈A就能推出x∈B．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A 不包含于B，或B不包含A．此时记作A B或B A．(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N．二、集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．用Venn图表示如图所示．对集合相等的理解：(1)A＝B⇔A⊆B，且B⊆A，这是证明两个集合相等的重要依据；(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；三、真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集．记法：记作A B(或B A)．结论：(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B．四、空集定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集．记法：∅规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性：(1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅(2)∅是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅ A【高频考点】高频考点1. 子集、真子集的概念【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，是判断A⊆B的常用方法．②不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素．③在真子集的定义中，A ⫋B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .【例1】（2021·梁河县高一月考）下列命题中正确的是（）A ．空集没有子集B ．空集是任何一个集合的真子集C ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D ．设集合B A ⊆，那么，若x A ∉，则x B ∉【变式1-1】（2021·江西省吉水县高一期中）在①{}10,1,2⊆；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④{}0∅⊆ 上述四个关系中，错误的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-2】（2021•宁县校级月考）对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是（）A ．B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素C ．A 中至少有一个元素不属于BD ．B 中至少有一个元素不属于A【变式1-3】[多选题]（2021.山东高一期中）下列命题中，正确的有（）A ．空集是任何集合的真子集；B ．若A ⫋B ，B ⫋C ，则A ⫋C ；C ．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D ．如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B【变式1-4】（2021·北京高一期末）已知集合{}{}1,2,3,4,5,61,2,3U A ==，，集合A 与B 的关系如图所示，则集合B 可能是（）A ．{}2,4,5B ．{}1,2,5C ．{}1,6D ．{}1,3高频考点2 . 集合的相等与空集【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2021•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（）A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2n +2，n ∈Z }B ．P ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N +}C ．P ＝{x |x 2﹣x ＝0}，Q ＝{x |x，n ∈Z }D ．P ＝{x |y ＝x +1}，Q ＝{（x ，y ）|y ＝x +1} 【变式2-1】（2021·泰州市第二中学高一期中）已知集合{}{}2,,(),0,||,A x xy x y B x y =+=，若A B =，则223320202020()()()()x y x y x y x y ++++++++的值等于____.【变式2-3】（2021·龙湾高一期中）下列集合是空集的是（）A ．{|0x x >或5}x <-B ．{}0C ．{}20x x ≤D ．{}220x x += 【变式2-4】（2021·石家庄市第十八中学高一月考）若集合{}2|10A x ax ax =-+<为空集，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．[0,4)C ．(0,4]D ．[0,4] 高频考点3 . 集合间关系的判断【方法点拨】判断集合关系的方法有三种：①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． ②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．一般地，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，①若p (x )推出q (x )，则A ⊆B ；②若q (x )推出p (x )，则B ⊆A ；③若p (x )，q (x )互相推出，则A ＝B ；④若p (x )推不出q (x )，q (x )也推不出p (x )，则集合A ，B 无包含关系．③图示法：利用数轴或Venn 图判断两集合间的关系．【例3】（2021·昆山市高一月考）若集合A ={x |x =5k -1，k ∈Z }，B ={x |x =5k +4，k ∈Z }，C ={x |x =10k -1，k ∈Z }.则A ，B ，C 的关系是（）A ．A ⊆C ⊆B B ．A =B ⊆C C ．B ⊆A ⊆CD ．C ⊆A =B【变式3-1】（2021·河南洛阳市·高一期末）已知集合{}*A 2,n n x x N==∈，{}*2n,n B x x N ==∈，则（）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B ⋂=∅D ．A B =【变式3-2】（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）设集合1,4A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,24k B y y k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则它们之间最准确的关系是（）．A ．AB = B ．A B ⊄C ．A BD ．A B ⊆【变式3-3】（2021•九龙坡区校级期中）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，集合B ＝{x ||x ﹣1|≤3}，集合，则集合A ，B ，C 的关系为（） A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．C ⊆B D ．A ⊆C【变式3-4】（2020·浙江省高一课时练习）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆高频考点4. 有限集合子集、真子集的确定【方法点拨】1．确定所求集合，是子集还是真子集．2．求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．3．一般地，若集合A 中有n 个元素，则其子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个．【例4】（2021·河北衡水市·高三其他模拟）定义集合A ★B ={,,}xx ab a A b B =∈∈∣，设{2,3},{1,2}A B ==，则集合A ★B 的非空真子集的个数为（）A ．12B ．14C ．15D ．16【变式4-1】（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知集合(){}22,2,,M x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则集合M 的真子集的个数为（）A ．921-B ．821-C ．52D ．421+ 【变式4-2】（2021·江苏高一期末）已知集合{}212,A x x x Z =-≤∈，则集合A 的子集个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4 【变式4-3】（2021·浙江高一期末）已知集合{}2(1)320A xa x x =-+-=∣，若A 的子集个数为2个，则实数a =______．【变式4-4】（2021·河南驻马店市·高一期末）已知集合M 满足{}{}1,21,2,5,6,7M ⊆Ü，则符合条件的集合M 有______个．高频考点5 . 利用集合间的关系求参数【方法点拨】(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；(2)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． ②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．(3)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；【例5】（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．()[),10,-∞-⋃+∞ D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【变式5-1】（2021·上海虹口区·高一期末）若集合2{|560}A x x x =+-=，{|30,}B x ax a =+=∈R ，且B A ⊂，则满足条件的实数a 的取值集合为______.【变式5-2】（2021·浙江高三专题练习）已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-【变式5-3】（2021·霞浦县宏翔高级中学高一月考）已知集合{|25}A x x =-≤≤.（1）若B A ⊆，{|121}B x m x m =+≤≤-，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⊆，}1{2|6B x m x m =-≤≤-，求实数m 的取值范围；【变式5-4】（2021•荔湾区高一期中）已知不等式x 2﹣（a +1）x +a ≤0的解集为A ．（1）若a ＝2，求集合A ；（2）若集合A 是集合{x |﹣4≤x ≤2}的真子集，求实数a 的取值范围．高频考点6 . 集合间关系中的新定义问题【方法点拨】【例6】（2021·福清西山学校高二月考）若对任意的x A ∈，则1A x∈，就称A 是“具有伙伴关系”的集合.集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.【变式6-1】（2021·浙江高一课时练习）已知集合12,A A 满足{1|A x x A =∈或}2x A ∈为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12A A =时，()12,A A 与()21,A A 为集合A 的同一种分拆，则集合{}1,2,3A =的不同分拆的种数是（）.A ．27B ．26C ．9D ．8【变式6-2】（2021•山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax 2＝2，a ≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为．【变式6-3】（2021•如皋市校级月考）对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ；②当时，x ◎y ＝xy ．则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是（）A ．214个B ．213个C ．211个D ．27个【变式6-4】（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）设集合{}1,2,3,4I =，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②()min()card A A ≤（其中card()A 表示集合A 中元素的个数，min()A 表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为____________.易错点1. 误解集合间的关系而致错【方法点拨】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么．【例1】已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于（）A ．-1或3B ．0或-1C ．3D ．-1【变式1】设,x y ∈R ，{(,)|}A x y y x ==，(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是________.【变式2】已知集合{}101M =-，，，{},,N x x ab a b M a b ==∈≠且，则集合M 与集合N 的关系是__________．数学思想1. 分类讨论思想的应用【方法点拨】分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．【例1】集合{}11A x x =-≤≤，{}121B x a x a =-≤≤-，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1a …B ．1a <C ．01a 剟D ． 01a << 【变式1】已知集合{}12A x ax =<<，{}11B x x =-<<，求满足A B ⊆的实数a 的取值范围.【变式2】已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【课后训练】全卷共22题满分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2021•东湖区高一期中）下列各式：①{a }⊆{a }②Ø⫋{0}③0⊆{0}④{1，3}⫋{3，4}，其中正确的有（）A ．②B ．①②C ．①②③D ．①③④2．（2021·凌海市第三高级中学高二月考）下列集合中表示同一集合的是（）A ．(){}3,2M =，(){}2,3N = B ．{}3,2M =，{}2,3N = C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D ．{}1,2M =，(){}1,2N =3．（2021·陕西西安市·西安一中高一月考）设集合2141,,,44k k M x x k Z N x x k Z ππ⎧⎫⎧⎫-±==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则集合,M N 的关系为（） A ．M N Ü B ．M N = C ．N M Ü D ．M N M ⋃=4．（2020·山东省莱州一中高二月考）设{,}A a b =，{,,,,,}B a b c d e f =，集合M 满足A M B苘（都是真包含），这样的集合有（）A ．12个B ．14个C ．13个D ．以上都错 5．（2021·浙江高三专题练习）已知集合{}{}|1,2,3A a a =⊆，则A 的真子集个数为（） A ．7 B ．8 C ．255 D ．256 6．（2021·河北石家庄市·高三二模）已知集合0,,a A a b b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，{}0,1,1B b =-，（a ，b R ∈），若A B =，则2+a b =（）A ．2-B ．2C ．1-D ．1 7．（2021·全国高三专题练习）已知集合2023x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}121B x m x m =-≤≤+，若B A ⊆，则m 的取值范围为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()11,2,22⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭C ．()11,2,22⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦D ．()11,2,22⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦ 8．（2021·浙江高三三模）已知集合{}21A x x =-≤≤-，{}2,B y y x a x A ==-+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]5,4--B ．[]4,5C ．[]3,6--D ．[]3,6 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2021·石家庄市高一月考）已知集合{}220,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．0D ．210．（2021·广东汕尾市·高一期末）已知集合{}2,2,{2}A B x kx =-==，且B A ⊆，则实数k 的取值可以为（）A ．1-B ．0C ．1D ．211．（2021·广东湛江市·高三二模）已知集合{}23180A x x x =∈--<R ，{}22270B x x ax a =∈++-<R ，则下列命题中正确的是（）A ．若AB =，则3a =-B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若B A Ü时，则63a -<≤-或6a ≥ 12．（2021·深圳第二外国语学校高一开学考试）若集合A 具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{,}x y A ⊆，则xy ，x y A +∈，且当0x ≠ 时，y A x∈，则称集合A 是“紧密集合”以下说法正确的是（）A ．整数集是“紧密集合”B ．实数集是“紧密集合”C ．“紧密集合”可以是有限集D ．若集合A 是“紧密集合”，且x ，y A Î，则x y A -∈ 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·江苏高一课时练习）已知集合2={320}A x ax x -+=，若A ≠∅，则实数a 的取值范围为___．14．（2021·上海黄浦区·格致中学高一期中）定义：对于非空集合A ，若元素x A ∈，则必有()m x A -∈，则称集合A 为“m 和集合”.已知集合={1,2,3,4,5,6,7}B ，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 15．（2021·河北石家庄市·高一月考）已知{}22530,{1}M x x x N x mx =--===∣∣，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为________，P 的子集有______个；P 的非空真子集有________个． 16．（2021.广东高三专题练习）设数集32|,|43M m m x m N n n x n ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且M ，N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做数集{|}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N ⋂的长度的最小值是_________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．（2020·全国高一课时练习）写出下列每组中集合之间的关系：（1）A ={x |-3≤x <5}，B ={x |-1<x <2}．（2）A ={x |x =2n -1，n ∈N *}，B ={x |x =2n +1，n ∈N *}．（3）A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是四边形}，D ={x |x 是正方形}．（4）A ={x |-1≤x <3，x ∈Z }，B ={x |x =y ，y ∈A }．18．（2021·甘肃省武威高一期中）已知集合{}{}{}21,2,0,10A B x x ax b C x cx ==++==+=∣. （1）若A B =，求+a b 的值；（2）若C A ⊆，求常数c 所有可能的取值组成的集合.19．（2021·霍邱县第一中学高一月考）设集合{}21,1,33A a a a =--+-，{}2210B x x x =-+=，(){}210C x x a x a =-++=.（1）讨论集合B 与C 的关系；（2）若0a <，且C A ⊆，求实数a 的值.20．（2021·辽宁高一课时练习）设集合{}12,A x a x a a =-<<∈R ，不等式 2280x x --<的解集为B .（1）当0a =时，求集合A ，B .（2）当A B ⊆时，求实数a 的取值范围.21.（2021•武汉高一期中）已知关于x 不等式x 2﹣2mx +m +2≤0（m ∈R ）的解集为M ．（1）[1，2]⊆M ，求实数m 的取值范围；（2）当M 不为空集，且M ⊆[1，4]时，求实数m 的取值范围．22.（2021•南阳高一期中）集合A＝{x|﹣3≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．。

高中数学试讲集合关系教案

高中数学试讲集合关系教案
教学目标：
1. 了解集合的基本概念及表示方法
2. 掌握集合之间的关系，包括并集、交集、补集等
3. 能够运用集合关系解决实际问题
教学重点：
1. 理解集合的基本概念
2. 掌握集合关系的运算方法
教学难点：
1. 理解和运用交集、并集、补集等概念
2. 能够应用集合关系解决实际问题
教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、教学PPT
教学过程：
一、导入（5分钟）
老师通过简单的例子引入集合的概念，让学生了解集合的基本定义和表示方法。

二、讲解与练习（15分钟）
1. 讲解集合的表示方法及基本概念：集合的定义、元素、空集、全集等。

2. 讲解集合的关系：交集、并集、子集、补集等。

3. 给出若干练习题，让学生练习集合的运算方法。

三、实例分析（15分钟）
通过实际问题，引导学生运用集合关系解决实际问题，如：有一个装有黑白两种球的箱子，求抽到黑色球的概率。

四、练习与巩固（10分钟）
布置练习题，让学生巩固集合关系的概念和运算方法。

五、总结与反思（5分钟）
对本节课的内容进行总结，并让学生反思学习中遇到的问题及解决方法。

六、作业布置（5分钟）
布置下节课的预习作业，让学生对集合关系的概念进行复习和巩固。

教学反馈：检查学生的作业情况，对学生在学习中的问题进行及时指导和纠正。

教学延伸：引导学生运用集合关系解决更加复杂的问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

《集合间的基本关系》学案

《集合间的关系》同步学案一、课前预习新知（一）预习目标：初步理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．（二）预习内容：阅读教材填空：（1）一般的，对于两个集合A 、B，如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素那么集合A叫做集合B的，记作或．当集合A不包含于集合B时，记作A B,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系．A （2）集合与集合之间的“相等”关系, 若，则B （3）真子集的概念：．（4）任何一集合都是它自身的．（5）空集的概念：．记作空集是任何集合的，是任何非空集合的．二、课内探究新知（一）学习目标1．运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系2．能识别给定集合的子集．3．能利用Venn图表达集合间的关系；探索Venn图对理解抽象概念的作用．（二）学习过程1．核对预习学案中的答案2．完成下列问题用适当的符号填空：（1）a {a,b,c} （2）0 {x︱x2=0}（3）φ{x∈R︱x2+1=0}, （4）{0,1} N（5）{0} {x︱x2=x} （6）{2,1} {x︱x2-3x+2=0}（7）已知集合A={x︱2x-3< 3x}，B={x︱x ≥2},则有：-4 B -3 A {2} B B A（8）已知集合A={ x︱x2-1=0},则有：1 A，{-1} A ，￠ A ，{-1,1} A（9）{x︱x是菱形} {x︱x 是平行四边形} ；{x︱x是等腰三角形} {x︱x是等边三角形}思考：包含关系{a}⊆A与属于关系a A∈有什么区别？试结合实例作出解释．3．例题例1．观察实例，写出下列集合间的关系．（1）A=｛1，3｝，B=｛1,3,5,7｝（2）A=｛高一全体女生｝，B=｛高一全体学生｝（3）A={x︱x是矩形}，B={x︱x是平行四边形}（4）A=N,B=Q（5）A={x︱x>3}，B={x︱x>5},C={x︱x>7}（6）A={x︱（x+2）(x+1)=0}，B={-1,-2}变式训练1．判断：集合 A 是否为集合 B 的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×．（1）{}A=1,35，，{}B=1,2,3,4,5,6；( )（2）{}A=1,2,3，{}B=1,3,6,9；( )（3）{}A=0， {}2B=x x +2=0}； ( ) （4）{}A=a,b,c,d ， {}B=d,b,c,a ． ( )例2．写出集合｛a ，b ｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?变式训练2．写出集合｛a ，b ，c ｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?例3．已知集合A=｛x ︱x > b ｝, B=｛x ︱x > 3｝,若B A ⊇,，则求实数b 的范围？变式训练3．已知集合A=｛x ︱2-x<0｝, B=｛x ︱ax =1｝,若A B ⊆,，则求实数a 的范围？（三）当堂检测1．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 2．写出满足{3，4} P ⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P ．3．已知集合A=｛-1，21x -，3｝，B=｛3, 2x ｝若B A ⊇，则求实数x ．三、课后练习巩固新知1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()A．5 B．6 C．7 D．82．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A<B C．B⊆A D．A⊆B3．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若ØA，则A≠Ø．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m ＝________．5．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y．6．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【答案】1．C 2．C 3．B 4．15．【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A＝B，则x＝0或y＝0．(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1．由(1)知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0．6．【解析】由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3．因此，M＝{2，－3}．若a＝2，则N＝{2}，此时N M；若a＝－3，则N＝{2，－3}，此时N＝M；若a≠2且a≠－3，则N＝{2，a}，此时N不是M的子集，故所求实数a的值为2或－3．。

高一数学人教A版必修1学案1.1.2集合间的基本关系

第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.2 集合间的基本关系学习目标①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力;②在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:实数有相等、大小的关系,如5=5,5<7,5>3等,类比实数之间的关系,你能想到集合之间有什么关系吗?二、自主探索,尝试解决问题2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗?(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};(2)设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;(3)设A={x|x是两条边相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};(4)A={2,4,6},B={6,4,2}.三、信息交流,揭示规律集合间的基本关系:①一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为B的子集.记作:读作:如果A?B,但存在x∈B,且x?A,我们就说这两个集合有真包含关系,称集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A).②如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等.问题3:与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,在集合中,你能得出什么结论?问题4:与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你又能得出什么结论?为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn(1)和(4)的Venn图.问题5:(1)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗?(2)一座房子内没有任何东西,我们称这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢?四、运用规律,解决问题【例1】图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,则A、B、C、D、E分别代表的图形的集合为.?【例2】写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.【例3】已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m=.?五、变式演练,深化提高1.已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若N?M,求实数a的取值范围.2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:?,{a},{a,b},{a,b,c}.(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集?3.已知集合A?{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有()A.3个B.4个C.5个D.6个六、反思小结,观点提炼请同学们互相交流一下你在本节课学习中的收获.七、作业精选,巩固提高课本P11习题1.1 A组第5题.参考答案三、信息交流,揭示规律①A?B(或B?A)A含于B(或B包含A)问题3:结论:若A?B,且B?A,则A=B.问题4:类比子集,得出子集有传递性,若A?B,B?C,则A?C;若A?B,B?C,则A?C.问题5:(1)2+1=0没有实数解.(2)一个集合没有任何元素,?,并规定:空集是任何集合的子集,即??A;空集是任何非空集合的真子集,即??A(A≠?).四、运用规律,解决问题【例1】解析:由四边形的概念可得下列关系:由集合的子集概念可知,集合A={四边形},集合B={梯形},集合C={平行四边形},集合D={菱形},集合E={正方形}.答案:A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形};E={正方形}【例2】解:集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为?,{a},{b}.【例3】解析:∵B?A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.答案:1点评:本题主要考查集合和子集的概念,2=3,,再代入验证.讨论两集合之间的关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.五、变式演练,深化提高1.分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠?,由于N?M,则N=?或N≠?,要对集合N是否为空集分类讨论.解:由题意得M={x|x>2}≠?,则N=?或N≠?.当N=?时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;当N≠?时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=,又∵N?M,∴∈M.∴>2.∴0<a<.综上所得,实数a的取值范围是a=0或0<a<,即实数a的取值范围是{a|0≤a<}2.解:(1)?的子集有:?,即?有1个子集;{a}的子集有:?,{a},即{a}有2个子集;{a,b}的子集有:?,{a},{b},{a,b},即{a,b}有4个子集;{a,b,c}的子集有:?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;当n=1时,集合M有2=21个子集;当n=2时,集合M有4=22个子集;当n=3时,集合M有8=23个子集;因此含有n个元素的集合M有2n个子集.3.分析:对集合A所含元素的个数分类讨论解析:A=?或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7},共有6个.答案:D点评:,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.。

高中数学集合间关系教案

高中数学集合间关系教案
教学目标：
1. 理解集合的概念和基本性质
2. 掌握集合之间的运算及关系
3. 能够解决实际问题中的集合间关系问题
教学重点：
1. 集合的概念和基本性质
2. 集合的运算及关系
3. 实际问题中的集合间关系问题
教学难点：
1. 如何利用集合的运算及关系解决实际问题
2. 对集合含义和性质的理解
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾集合的基本概念和性质，激发学生对集合间关系的兴趣。

二、讲授（20分钟）
1. 集合的概念和基本性质
2. 集合的运算（并集、交集、差集）及关系（子集、相等）
3. 解决实际问题中的集合间关系问题
三、练习（15分钟）
教师出示一些实际问题，鼓励学生利用集合的运算及关系解决问题。

四、拓展（10分钟）
教师指导学生拓展思维，探讨集合间更复杂的关系和应用。

五、作业布置（5分钟）
布置相关练习作业，巩固学生对集合间关系的理解。

教学反思：
本节课主要讲解了高中数学中集合间的关系，包括集合的概念、运算和关系，通过实际问题的训练，提高学生解决问题的能力。

在后续教学中，需要继续强化学生对集合的理解，提高其运用集合的能力。

集合间的基本关系学案

1.1.3 集合间的基本关系【学习目标】1.能举出子集、真子集的事例，会正确表述集合之间的包含、相等关系的含义；2.能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图形对集合概念的直观作用；3.能运用分类讨论的思想以及类比的方法研究本节课的相关问题．【学习重点】子集与空集的概念，用Venn 图表达集合间的关系．【难点提示】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；子集与真子集的区别和运用.【学法提示】1. 请同学们课前将学案与教材67P -结合进行自主学习、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备１.元素与集合的关系有；用符号∈或∉填空：（1）0 N ，（2，（3）-15 R ．2.类比实数的大小关系，如5﹦5，5＜7，5＞3等等，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、探究新知１、子集的概念（1）观察思考研究下面两个实例，你能发现两个集合间有什么关系吗？①集合{}3,2,1=A ，集合{}4,3,2,1=B ； ②设A 为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B 为这个班全体学生组成的集合；说说你的发现吧！．（2）归纳概括阅读第6页，试着填写：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，那么就说集合A 与集合B 有关系，称集合A 是集合B 的子集，记为A B 或B A ．● 想一想：（1）集合之间的包含关系是不是有点类似实数的大小关系呢？（2）用Venn 图表示A ⊆B 很直观吧！（3）元素与集合的关系、集合与集合的关系在表述上有什么区别？快乐体验（1）请用恰当的符号填空．①1 {0,1,2}； ②{1} {0,1,2}；③若A ,,C B B ⊆⊆则A C （类似a ≥b ，b ≥c ，则a ≥c 吧！）（2）请举出几个生活中具有包含关系的集合实例．2、集合相等的概念（1）观察思考设集合{}2,1=C ，{}2,1=D ，则从子集角度来讲，C D ，D C ，此时集合C 、D 的元素是一样的，称C D ．我们再类比在实数中的结论：若a ≥b ，且b ≥a ，则a ﹦b ，类比思考在集合中若C ⊇D ，D ⊇C ，那么集合C 、D 有什么关系呢？（2）归纳概括若集合A ⊇B 且B ⊇A ，则集合A 与集合B ，记为．●想一想：（1）集合之间的相等关系是不是有点类似实数的相等呢？（2）用Venn 图表示A =B 很直观吧！●试一试：请举出生活中两个集合相等的例子．3、真子集的概念（1）观察思考请观察三个集合{}{}{}1,1,1A B C ===、2、3、4、5、2、3、4、2、4、3有何联系与区别？继续阅读教材第6P 页，归纳真子集的概念；试填写：如果集合A ⊆B ，但存在元素，我们称集合A 是集合B 的，记作．● 想一想：子集与真子集定义有什么区别，记法有什么区别，用Venn 图表示有什么区别；● 试一试：请举出生活中两个真子集的例子．4、空集的概念阅读第7页，试着填写：方程012=+x 有实根吗？，那么方程012=+x 解能构成集合吗？；请阅读教材7P ,你怎么理解“规定”二字呢？填写：我们把的集合叫做，记为，并规定．● 想一想：空集有点类似我们学习过的什么数？它们的意义有何异同？快乐体验（1）集合A={}210,x x x R +=∈ 与B={}210x +=都是空集吗？（2）写出集合{a ，b }的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集，有多少个子集．三、典例赏析例1 .写出集合{a ，b ，c }的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集，子集的个数与该集合元素的个数有怎样的关系？●思路启迪：从题目的要求，你想到了什么？集合{a ，b ,c}的子集中的元素有哪些情况？●解后反思（1）怎样合理分类，以便顺利找到所有的子集？深刻体会分类讨论在解决问题中的作用．（2）若一个集合有n 个元素，那么它有多少个子集呢？变式练习已知{}{},,,a b X a b c ⊆⊆，写出满足条件的所有集合X ．解：例2.确定下列每组集合的关系{}{}{}{}{}{}(1)|21,,|21,;(2)|41,,|21,;(3)|31,,|21,.A x x k k ZB x x k k Z A x x k k Z B x x k k Z A x x k k Z B x x k k Z ==-∈==+∈==+∈==+∈==+∈==+∈解：及时演练请完成教材7P 练习的2小题.● 想一想：（1）在集合的基本关系中，易混淆与易错点有哪些？（2）你能从上面所学及练习中发现集合的基本关系存在内在的联系吗？（链接1）四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：两个集合之间的基本关系有，可类比两个实数间的关系；能用Venn 图表达集合间的关系吗？“属于”与“包含”有何区别呢？等；2.你感受到本节课数学的美在哪里？（链接2）五、学习评价１.集合{03A x x =≤<且}x Z ∈的真子集的个数是( )．A ．5B ．6C ．7D ．82.在下列各式中错误的个数是( )．①{}10,1,2∈ ②{}{}10,1,2∈ ③{{}{}0,1,20,1,2⊆ ④{}{}0,1,22,0,1=A ．1B ．2C ．3D ．4３.已知集合{}12A x x =-<<，{}01B x x =<<，则集合A B ．4、下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的子集；④若A φ⊆，则A φ≠．其中正确的是．5、已知Ø={}20x x x a -+=，则实数a 的取值范围是． 6.设集合{}12A x x =≤≤，{}B x x a =≥，若A B ⊆，求a 的取值范围．7.已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}23,B m =，若B A ⊆，求实数m 的值．8.已知{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a ．◆承前启后我们学习了集合的概念、元素与集合的关系、集合的表示法、集合的基本关系，在集合除了这些，集合之间还有没有其它关系或运算呢？六、学习链接链接1 （1）A ∅⊆；若A 非空，则A ∅⊂；（2）A A ⊆;(3)若,,A B B C ⊆⊆则A C ⊆.链接2.集合间的基本关系美在：体现了自然界的包容与和谐.。

河北省辛集中学高中数学必修一学案：集合间的基本关系 PDF版

河北辛集中学高一B 级部数学学案（五）1.1.2集合间的基本关系编者：张朵例1：已知集合（1）{}0；（2）{}∅；（3）{3}x m x m <<；（4）{2}x a x a +<<；（5）2{250,}x x x x R ++=∈ 其中一定是空集的是______________练习1：1.判断下列关系其中正确的是____________（1）{}{}a a ⊆；（2）{}{}1,2,33,2,1=；（3）{}0⊂∅≠；（4）{}00∈；（5）{}0∅∈；（6）{}0∅= 2.已知集合{}{}0,1,A B x x A ==⊆,则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（）A.A B ⊆B.A B ⊂≠C. B A ⊂≠D.A B ∈例2：已知集合M 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊆⊆，求所有满足条件的集合M练习2：已知集合2{320,}A x x x x R =-+=∈,{05,}B x x x N *=<<∈,写出满足条件A C B ⊆⊆的集合C .例3：设集合2{40,}A x x x x R =+=∈,22{2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈,若B A ⊆,求实数a 的取值范围.练习3：1.设2{230}M x x x =--=，{10}N x ax =-=，若N M ⊆，求所有满足条件的a 的取值集合.2.已知集合2{(1)320}A x a x x =-+-=，2{320}B x x x =-+=，若A B ⊆,求实数a 的取值范围.例4：设集合{},A x y =，{}20,B x =，若A B =,求实数,x y 的值.练习4：已知集合,,1y A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B x x y =+，若A B =，则20152016x y +=__________ 例5：已知集合{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆,求实数m 的取值范围.变式：已知集合{45}A x x x =≥<-或，{13,}B x a x a a R =+≤≤+∈，若B A ⊆,求实数a 的取值范围.练习5:1.已知集合{(3)(5)0}A x x x =+-≤，{223}B x m x m =-<<-，且B A ⊆,求实数m 的取值范围.2.已知集合{14}A x x x =<->或，{23}B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.。

集合间的基本关系(导)学案 (19)

1.1.2集合间的基本关系课标要点课标要点学考要求高考要求1.子集、真子集的概念b b2.空集的概念b b3.Venn图a a知识导图,学法指导,1.注意辨析两大关系：(1)元素与集合的关系；(2)集合与集合的关系．2．本节的学习重点是子集、真子集、空集的概念；难点是集合之间关系的应用．3．学习中要注意集合之间的关系的几种表述方法：自然语言、符号语言、图形语言.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B或B包含A“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.知识点二集合相等1．自然语言：如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等．2．符号语言：若A⊆B，又B⊆A，则A＝B.(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．知识点三空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．知识点四真子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A是集合B的子集，且在集合B中存在一个元素不是集合A的元素，我们称集合A是集合B的真子集若集合A⊆B，但x∈B，且x∉A，则A B(或B A)(读作“A真包含于B”或“B真包含A”)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.知识点五子集的性质1．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.2．对于集合A，B，C，(1)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(2)若A B，B C，则A C.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.集合{0,1}的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．答案：D3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D4．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是()解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.答案：B类型一集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.【答案】(1)B(2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M 与T的关系是()A．M T B．M T C．M＝T D．M⃘T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M T.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：(1)A(2)见解析学习完知识点后，我们可以得到B⊆A，C⊆A，D⊆A，D⊆B，D⊆C.类型二子集、真子集的个数问题例2(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A C B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a 的值为()A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.【答案】(1)B (2)C(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合C.(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．方法归纳求集合子集、真子集个数的三个步骤跟踪训练2 (1)已知集合M ＝{x ∈Z |1≤x ≤m }，若集合M 有4个子集，则实数m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)若集合A {1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：(1)根据题意，集合M 有4个子集，则M 中有2个元素，又由M ＝{x ∈Z |1≤x ≤m }，其元素为大于等于1而小于等于m 的全部整数，则m ＝2.(2)若A 中含有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A 中含有两个奇数，则A ＝{1,3}．答案：(1)B (2)5由A 中含有奇数的个数分类：A 中含1个奇数，2个奇数．类型三根据集合的包含关系求参数例3 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝0时，① A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <2a . 又∵B ＝{x |－1<x <1}，且A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1.②∴a ≥2.(3) 当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a <x <1a .③∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1.∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}.①欲解不等式1<ax<2，需不等号两边同除以a ，而a 的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a 分a ＝0，a>0，a<0进行讨论．②A ⊆B 用数轴表示如图所示：由图易知，1a 和2a 需在－1与1之间．当1a ＝－1，或2a ＝1时，说明A 与B 的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如2a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x<1，x 取不到1. ③a<0时，不等式两端除以a ，不等号的方向改变．方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练3 设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值集合．解析：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a＝15时，由ax －1＝0得x ＝5.所以B ＝{5}，所以B A .(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a ＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15. 综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15,(1)解方程x 2－8x ＋15＝0，求出A ，当a ＝15时，求出B ，由此能判定集合A 与B 的关系． (2)分以下两种情况讨论，求实数a 的取值集合． ①B ＝∅，此时a ＝0； ②B ≠∅，此时a ≠0.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1解析：由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.答案：D2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是( )A ．M >NB ．M NC ．N MD ．M ⊆N解析：因为y ＝(x －1)2－2≥－2，所以M ＝{y |y ≥－2}，所以N M . 答案：C3．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．0 解析：由A ＝B 得x 2＝1，所以x ＝±1，故选C. 答案：C4．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．答案：B5．设A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，若A ⊆B ，则m 的取值范围是( )A ．m >3B ．m ≥3C ．m <3D ．m ≤3解析：因为A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，A ⊆B ，将集合A ，B 表示在数轴上，如图所示，所以m ≥3.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知集合A ＝{x |x －3>0}，B ＝{x |2x －5≥0}，则这两个集合的关系是________．解析：A ＝{x |x －3>0}＝{x |x >3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥52. 结合数轴知A B .答案：A B7．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a 的值为________．解析：∵A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ， ∴a 2－a ＋1∈A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝2或a ＝－1；由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1.经检验，a ＝1时集合A ，B 不满足集合中元素的互异性，舍去．故a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或28．已知A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x >a }，A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：在数轴上画出集合A .又因为A ⊆B ，所以a <－3，当a ＝－3时也满足题意，所以a ≤－3.答案：{a |a ≤－3}三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值．解析：方法一根据集合中元素的互异性，有⎩⎨⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎨⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1，或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴⎩⎨⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎨⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab (2b －1)＝0.②∵集合中的元素互异，∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)．当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.10．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且B ⊆A ，求由实数a 的值组成的集合C .解析：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2.所以A ＝{1,2}．因为B ⊆A ，所以对B 分类讨论如下：①若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0；②若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．[能力提升](20分钟，40分)11．世界羽毛球锦标赛于2018年7月30日至8月5日在中国南京举行，若集合A ＝{参加羽毛球锦标赛的运动员}，集合B ＝{参加羽毛球锦标赛的男运动员}，集合C ＝{参加羽毛球锦标赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．C ⃘AD ．B A解析：易知集合B ，C 是集合A 的子集，且是真子集，而B ，C之间没有关系，因此只有D 选项正确，答案：D12．已知集合A ＝{1,3,5}，则集合A 的所有子集的元素之和为________．解析：集合A 的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A 中的每个元素出现在A 的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：3613．已知集合A ＝{1,3，x 2}，B ＝{x ＋2,1}．是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，说明理由．解析：假设存在实数x ，使B ⊆A ，则x ＋2＝3或x ＋2＝x 2.(1)当x ＋2＝3时，x ＝1，此时A ＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．故x ≠1.(2)当x ＋2＝x 2时，即x 2－x －2＝0，故x ＝－1或x ＝2.①当x ＝－1时，A ＝{1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，故x ≠－1.②当x ＝2时，A ＝{1,3,4}，B ＝{4,1}，显然有B ⊆A .综上所述，存在x ＝2，使A ＝{1,3,4}，B ＝{4,1}满足B ⊆A .14．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得m ≥－1.即实数m的取值范围为{m|m≥－1}．。

(新教材学案)第1章1.2集合间的基本关系含答案

1.2集合间的基本关系学习任务核心素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？知识点1子集、真子集、集合的相等(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(2)两个集合之间的关系①子集．②集合相等．③真子集．(3)子集的性质①任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.②对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.1.(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．1.已知集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{－1,0,1}，则()A．P∈Q B．P⊆QC．Q P D．Q∈PC[∵－1,0,1均在集合P、Q中，而2∈P且2∉Q，∴Q P，结合选项可知C正确．]2.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.(1)＝(2)(3)(4)∈[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2}C；(4)2∈C.](1)方程x2＋1＝0的实数根组成的集合如何表示？(2)你认为可以规定∅是任意一个集合的子集吗？知识点2空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．2.∅与0，{0}，{∅}有何区别？[提示]∅与0∅与{0}∅与{∅} 相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅} 空集是任何非空集合的真子集．3.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)∅和{∅}都表示空集．()(2)任何集合都有子集和真子集．()(3)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅.()[答案](1)×(2)×(3)√4.下列四个集合中，是空集的为()A．{0}B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}B[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]类型1子集、真子集的个数问题【例1】(对接教材P8例题)填写下表，并回答问题：集合集合的子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？[解]集合集合的子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个；(2)A的非空子集的个数有2n－1个；(3)A的真子集的个数有2n－1个；(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．[跟进训练]1．已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．类型2集合间关系的判断【例2】判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x 是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．[解](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D B A C.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故A B.判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A⊆B和A B同时成立，则A B更能准确表达集合A，B之间的关系．[跟进训练]2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的Venn 图如选项B所示．]类型3 由集合间的关系求参数【例3】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围．判断B 是否是空集，由此借助数轴分类求解实数m 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎨⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3. 综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示，∴⎩⎨⎧m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎨⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．[跟进训练]3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B A，求m的值．[解]A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．因为B A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅.当B＝{－3}时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝1 3.当B＝{2}时，由m·2＋1＝0，得m＝－1 2.当B＝∅时，m＝0.综上所述，m＝13或m＝－12或m＝0.1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1B．3C．4D．6C[①②⑤⑥正确，③④错误，故选C.]2．集合{1,2}的子集有()A．4个B．3个C．2个D．1个A[集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．]3．已知集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是() A．A B B．A＝BC．B A D．B⊆AA[∵A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x≥1}，∴A B.故选A.]4．已知集合A＝{3，m}，B＝{3,4}，若A＝B，则实数m＝________.4[由A＝B可知，m＝4.]5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，则a的取值范围为________；(2)若B⊆A，则a的取值范围为________．(1){a|a>2}(2){a|1≤a<2}[(1)若A B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2.]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？[提示]两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系．2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？[提示](1)∅⊆A，(2)∅A(A≠∅)．3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？[提示]包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用．。

集合的基本关系教案

集合的基本关系教案教案标题：集合的基本关系教案一、教学目标1. 知识与技能：a. 理解集合的基本概念和符号表示法；b. 掌握集合的基本关系，包括并集、交集、补集；c. 能够运用集合的基本关系解决实际问题。

2. 过程与方法：a. 通过教师讲解、示范和引导，学生进行合作学习；b. 进行小组讨论和展示，培养学生的合作能力和表达能力；c. 运用教学案例，激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。

二、教学重点与难点1. 教学重点：集合的基本概念和基本关系的理解与掌握。

2. 教学难点：集合的基本关系在实际问题中的运用。

三、教学过程1. 导入新知识：通过一个生活中的例子引入集合的概念，如“小明喜欢的水果”、“小红喜欢的水果”，引导学生理解集合的概念。

2. 概念讲解：通过教师的讲解和示范，介绍集合的符号表示法和基本关系（并集、交集、补集）的概念和运算方法。

3. 练习与讨论：设计一些简单的集合运算练习题，让学生进行小组讨论和展示，加深对集合基本关系的理解。

4. 拓展应用：设计一些实际问题，让学生运用集合的基本关系进行解决，如“某班学生既参加篮球队又参加足球队的有多少人？”5. 总结归纳：让学生总结集合的基本关系，并进行知识梳理和思维导图绘制。

四、教学手段1. 多媒体课件：用于集合概念的讲解和示范。

2. 教学案例：生活中的实际例子，引发学生的学习兴趣。

3. 小组讨论：培养学生的合作能力和表达能力。

4. 板书：对集合的基本关系进行重点概括和总结。

五、教学反思通过本节课的教学，学生能够初步理解和掌握集合的基本概念和基本关系，并能够在实际问题中灵活运用。

在教学过程中，要注重引导学生进行思维的拓展和应用能力的培养，激发学生的学习兴趣和积极性。

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