（3）)(x f 恒不为0时，)(x f 与
)
(1
x f 单调性________. （4）复合函数))((x g f 的单调性遵循“___________”的原则，即外层函数与内层函数单调性相同（反）时，复合函数为增（减）函数。 4. 函数单调性的证明方法（定义法）
①任取1x ，D x ∈2且21x x <； ② 作差)()(21x f x f -； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差)()(21x f x f -的正负）； ⑤下结论（指出函数)(x f 在区间D 上的单调性）． 5. 函数单调性的判断方法
（1）定义法（2）图象法（3）性质法（4）______法（通法） 6.“对勾”函数()()0,0b
f x ax a b x
=+
>>的单调性：（利用导数．．
判断） 增区间：_________________和 减区间：________________和 二．函数的奇偶性 1. 奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有___________，那么函数)(x f 就叫做偶函数．（等价形式：______________________或_______________）
一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有___________，那么函数)(x f 就叫做奇函数．（等价形式：______________________或_______________） 2．奇、偶函数的性质
(1) 奇、偶函数的定义域关于_______对称．
(2) 奇函数的图象关于_______对称； 偶函数的图象关于_______对称．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_______；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_______．
自左向右图象是上升的
自左向右图象是下降的
(4)若奇函数()x f 在0=x 处有定义，则必有()0______f =. (5)若()f x 为偶函数，则()____________f x -== 三．函数的周期性
1．定义：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有_______________，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．()kT k Z ∈也是函数的周期．
2．周期性的常用结论：若()f x 在定义域内任一自变量x 满足：
(1) ()()f x f x a =+，则______T = (2) ()()f x a f x +=-，则_____T = (3) ()()
1
f x a f x +=±
，则______T = (4) ()()f x a f x a +=-，则_____T = (5) ()()f a x f a x +=- ()0a >，当()f x 为奇函数时，_____T =；
当()f x 为偶函数时，______T =
注.在函数值的求解过程中，周期性可用于调节自变量的大小，奇偶性用于调节自变量的符号。 四．函数的对称性
特别地:
()f x 为奇函数⇔___________________⇔()f x 图象关于__________对称；
()f x 为偶函数⇔___________________⇔()f x 图象关于__________对称．
上述结论可拓展为：（类比奇偶函数记忆）
1. 函数()y f x =关于直线x a =对称⇔()()f a x f a x +=-或()()2f x f a x =-
或()()2f x a f x +=-
2. 函数()y f x =关于点(),a b 对称⇔()()2f a x f a x b
++-=或()()22f a x f x b ++-=或()()22f a x f x b -+=
更一般地：若()()f a x f b x +=-，则()f x 关于直线()()2
2
a x
b x a b
x ++-+=
=对称．
若()()f a x f b x c ++-=，则()f x 关于点,22a b c +⎛⎫
⎪⎝
⎭对称．
