高三数学专项训练：解三角形小题练习(三)
2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第3练 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(解析版)
【详解】因为
cos
4
5 ，所以 5
2 cos 2
2 sin 2
5 ，平方后可得 5
1 cos2 sin2 sin cos 1 ，整理得 1 1 sin 2 1 ，所以 sin 2 3 .
2
5
22
5
5
故选：D.
2．B
【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
6
，则
tan
（
）
A． 3
B． 2 3
C． 6
D． 6 3
3．（2023·全国·高三专题练习）若
1 1
tan tan
π 4 π 4
1 2
，则
cos
2
的值为（
）
A．- 3 5
B． 3 5
C． 4 5
D． 4 5
4．（2023
秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知
cos
12
【详解】因为
sin
3
sin
6
，所以
1 2
sin
3 cos 2
3 sin 1 cos ，
2
2
所以 3 1 cos 3 1 sin ，所以 tan 3 1 2 3 . 3 1
故选：B
3．A
【分析】由已知可得
tan
π 4
1 3
，进而求出
四个命题：
甲： tan 1 ；
2 乙： tan tan 7 : 3 ；
丙：
sin cos
5 4
；
丁： tan tan tan tan 5 : 3 .
如果其中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.（本小题满分12分）如图以点为中心的海里的圆形海域被设为警戒水域，在点正北海里处有一雷达观测站.在某时刻测得一匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的点处，经过分钟后又测得该船只已行驶到点北偏东且与点相距海里的点处，其中，.（Ⅰ）求该船行驶的速度；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断其能否进入警戒水域（说明理由）.【答案】解：（I）∴△ABC中由余弦定理得∴∴船航行速度为（海里/小时）…………6分（II）建立如图直角坐标系B点坐标C点坐标直线AB斜率直线AB方程：点E(0,-55)到直线AB距离由上得出若船不改变航行方向行驶将会进入警戒水域。
……………12分【解析】略2.（本小题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，,且.(Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(Ⅰ)由题意得即--------------------------2分由正弦定理得--------------------------3分再由余弦定理得--------------------------5分(Ⅱ) --------------------------6分-----------------------8分--------------------------10分所以，故. --------------------------12分3.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】因为，所以将其图像向右平移个单位长度，得到的图像为，又因为函数的图像关于原点对称，所以函数为奇函数，所以，即，又因为，所以，故应选．【考点】1、三角函数的恒等变换；2、三角函数的图像变换；3、三角函数的图像及其性质；4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解【答案】D【解析】A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．【考点】三角形解得个数的判断．6.已知α∈（，），sinα＝，则tan（α＋）=（）A．7B．C．－7D．－【答案】B【解析】根据题意有，，所以，故选B．【考点】同角三角函数关系式，和角公式．7.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求b，c的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由余弦定理将已知条件中等式的右端化为，再由正弦定理将其化为，然后利用两角和的正弦公式及三角形的内角和为进行整理，可得出A角的余弦值，从而求出角．（2）由已知条件列出关于b，c的方程组即可求出结果．试题解析：（1）由正弦定理得所以所以，故所以（2）由，得由条件，，所以由余弦定理得解得【考点】利用正弦定理、余弦定理解三角形．8.在中，角的对边分别为，已知，且，则为．【答案】6【解析】，，，，，即，解得．所以在中．，，，．【考点】1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．9.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
高三数学 三角函数与解三角形多选题练习题及解析
【点睛】
利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径 ，要注意公式是 ，而不是 .
2．已知函数 ， ，则（）
A． 在 上单调递减B． 是周期为 的函数
C． 有对称轴D．函数 在 上有3个零点
【答案】BD
【分析】
先判断出 是周期为 的函数，再在给定的范围上研究 的单调性和零点，从而可判断BCD的正误，再利用反证法可判断C不正确.
高三数学 三角函数与解三角形多选题练习题及解析
一、三角函数与解三角形多选题
1．在 中，角 所对的边分别为 ，下列命题正确的是（）
A．若 ， 的最大内角是最小内角的 倍
B．若 ，则 一定为直角三角形
C．若 ，则 外接圆半径为
D．若 ，则 一定是等边三角形
【答案】ABD
【分析】
对于A选项，求得 ，由此确定选项正确.对于B选项，求得 ，由此确定选项正确.对于C选项，利用正弦定理求得 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D选项，证得 ，得到 ，确定选项正确.
【详解】
对于A选项， 角最小， 角最大.由余弦定理得 ， ， ， . ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项， ，由正弦定理得 ，
， ，由于 ，所以 ，故B选项正确.
对于C选项， ， ， ，
设三角形 外接圆半径为 ，则 ，故C选项错误.
对于D选项， ，故 ，同理可得 ，
要使 ，
则需 ，
所以 ，所以 ，所以D选项正确.
【详解】
因为 ，
故 是周期为 的函数，故B正确.
当 时， ，
因为 ，而 在 为增函数，
故 在 为增函数，故A错误.
由 可得 或 或 ，故D正确.
若 的图象有对称轴 ，因为 的周期为 ，故可设 ，
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案
课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。
高三数学解三角形练习题及答案解析
高三数学解三角形练习题及答案解析一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，there4;tanA=tanB=tanC， there4;A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是（）A.152，+ infin;B.（10，+ infin;）C.（0，10）D.0，403答案D解析∵csinC=asinA=403， there4;c=403sinC.there4;04.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，there4;sin（B+C）=2sinBcosC，there4;sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，there4;sin（B-C）=0， there4;B=C.5.在△ABC中，已知（b+c）∶（c+a）∶（a+b）=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（）A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案B解析∵（b+c）∶（c+a）∶（a+b）=4∶5∶6，there4;b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k（k>0），则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.there4;s inA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为 pi;，则这个三角形的三边之积为（）A.1B.2C.12D.4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由 pi;R2= pi;，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，there4;abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案23解析∵cosC=13， there4;sinC=223，there4;12absinC=43， there4;b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60 deg;，a=3，b=1，则c=________.答案2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60 deg;=1sinB，there4;sinB=12，故B=30 deg;或150 deg;.由a>b，得A>B， there4;B=30 deg;，故C=90 deg;，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.答案7解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，there4;asinA=bsinB=csinC=2R=2，there4;asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60 deg;，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.答案126解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=12x63x12sinC=183，there4;sinC=12， there4;csinC=asinA=12，there4;c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sin（B+C）-sinCcosBsin（A+C）-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanAhArr;a2sinBcosB=b2sinAcosAhArr;4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosAhArr;sinAcosA=sinBcosBhArr;sin2A=sin2BhArr;2A=2B或2A+2B= pi;hArr;A=B或A+B= pi;2.there4;△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60 deg;，边与最小边之比为（3+1）∶2，则角为（）A.45 deg;B.60 deg;C.75 deg;D.90 deg;答案C解析设C为角，则A为最小角，则A+C=120 deg;，there4;sinCsinA=sin120 deg;-AsinA=sin120 deg;cosA-cos120 deg;sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，there4;tanA=1，A=45 deg;，C=75 deg;.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C= pi;4，cosB2=255，求△ABC的面积S.解cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.所以sinA=sin（ pi;-B-C）=sin3 pi;4-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，所以S△ABC=12acsinB=12x2x107x45=87.1.在△ABC中，有以下结论：（1）A+B+C= pi;；（2）sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC；（3）A+B2+C2= pi;2；（4）sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2，tanA+B2=1tanC2.2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.。
高三数学解三角形试题
高三数学解三角形试题1.如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．=2，求DC的长；(I)若AD=2，S△ABC(Ⅱ)若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．【答案】解：(Ⅰ) ，，∴．∵,∴．在△ADC中，由余弦定理，得,, ．（Ⅱ）∵，，∴为正三角形，在中，根据正弦定理，可得 ,，, ∴的周长为,，的周长最大值为．【解析】略2.在锐角中、的对边长分别是、,则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是锐角三角形且，所以，解得。
由正弦定理可得。
因为，所以，从而可得，故选B3.、、为内角，为外接圆半径，为内切圆半径。
（1）求证：；（2）求证：。
【答案】（1）证：，化简即得；（2）证：，又，代入即得证。
【解析】略4.（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C依次成等差数列．(1)若b2=ac，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC为钝角三角形，且a>c，求的取值范围．【答案】（1）∵依次成等差数列，∴,.由余弦定理，，∴.∴为正三角形. ………………………………… 6分（2） == ==………………………………… 9分∵,∴，∴，.∴的取值范围是. ………………………… 12分【解析】略5.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则等于（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】此题考查向量的数量积、余弦定理的应用；由得到：且，所以；又由，所以选D；6.(本小题满分13分)在△ABC中，角、、所对的边分别为、、，向量，．已知．（1）若，求角的大小；（2）若，求的取值范围．【答案】【解析】略7.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos2B＝-.(1)若b＝4，求sin A的值；＝4，求b，c的值．(2)若△ABC的面积S△ABC【答案】解：(1)∵cos2B＝，且0<B<π，∴sin B＝＝，由正弦定理得＝，∴sin A＝＝＝.……….6分(2)∵S＝ac sin B＝4，∴×2×c×＝4，∴c＝5.△ABC由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，又cosB=∴b＝=或……….12分【解析】略8.（本题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积【答案】解：（Ⅰ）在中，因为，所以. ……………………………（3分）所以. ……………………（6分）（Ⅱ）根据正弦定理得：，所以. …………………………（9分）所以. ………………………………………………………（12分）【解析】略9.已知分别是的三个内角所对的边，若且是与的等差中项，则=【答案】【解析】略10.若的角对边分别为、、，且，，，则A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查余弦定理和三角形的面积公式.由余弦定理得：故选A。
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-4 Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2022·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B.5．(2021·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ． 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．由于|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝ ．解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．解析：分析三角函数图象，依据最小值求k ，再求最大值．依据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2022·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由于f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)假如y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程． 解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值， 故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． [B 级 力量突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排解A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排解B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排解D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |， ∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时， f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2021·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是 ．①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，依据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象， 依据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，由于m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。
高三数学练习曲：限时规范特训第3章三角函数、解三角形第3讲
第三章第3讲(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1。
[2013·广州一测］如果函数f(x）＝sin(ωx＋错误!）（ω〉0)的两个相邻零点之间的距离为错误!,则ω的值为( )A。
3 B。
6C. 12D. 24答案：C解析：T＝错误!，ω＝错误!＝12，选C项．2. [2012·大纲全国高考］若函数f（x)＝sin错误!（φ∈［0,2π]）是偶函数，则φ＝( )A. 错误!B. 错误!C. 错误!D。
错误!答案：C解析:∵f(x)为偶函数，关于y轴对称，x＝0为其对称轴．∴错误!＝错误!＋kπ，令x＝0，φ＝3kπ＋错误!π,当k＝0时，φ＝错误!π，选C项．3. 函数y＝tan（错误!x－错误!）的部分图象如图所示，则(O错误!－O错误!)·O错误!＝（）A。
－4 B。
4C. －2 D。
2答案：B解析：容易求得点A（2，0），B（3,1）,则(O错误!－O错误!）·O错误!＝(1，1）·（3,1)＝4。
4。
[2013·惠州模拟]已知函数y＝sin x的定义域为［a，b］，值域为［－1，错误!],则b－a的值不可能是（）A。
错误! B. 错误!C。
π D. 错误!答案：A解析：画出函数y＝sin x的草图分析知b－a的取值范围为［错误!，4π]．35. ［2013·金版原创］若函数y＝2cosωx在区间［0，错误!］上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ）A。
2 B。
错误!C。
3 D. 错误!答案：B解析：由y＝2cosωx在［0，错误!π]上是递减的，且有最小值为1,则有f(错误!π）＝1，即2×cos（ω×错误!π）＝1⇒cos错误!ω＝错误!。
检验各数据，得出B项符合．6。
[2013·泰安质检]函数f（x)＝cos(2x＋错误!)(x∈R），下面结论不正确的是（）A. 函数f(x)的最小正周期为πB。
高三数学解三角形试题
高三数学解三角形试题1.如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.【答案】(1)；（2）．【解析】（1）设，我们只要利用已知列出关于的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，，，因此有，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，，则，由引开出方程解出；（2）要使得最大，可通过求，因为，只要设，则都可用表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得，这里我们用换元法求最值，令，则有，注意到，可取负数，即为钝角，因此在取负值中的最小值时，取最大值.（1）设，，.依题意有，. 3分由，得，解得，故点应选在距点2处. 6分（2）设，，.依题意有，，10分令，由，得，，12分，，当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处. 14分【考点】(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值.2.（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（1）当p=，b=1时，求a，c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围．【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜【解析】（1）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求3.在中，角所对的边分别为，已知，，（1）求角；（2）若，，求的面积。
高三数学解三角形试题
高三数学解三角形试题1.在△ABC中，，点D在边BC上，，，，则AC＋BC＝_________________.【答案】3＋【解析】△ADC中，由cos∠DAC＝，得sin∠DAC＝，同理，由cos∠C＝，得sin∠C＝于是，sin∠ADC＝sin(∠DAC＋∠C)＝由正弦定理：，由此得：，又BC＝3DC于是，在△ABC中，由余弦定理，得由，得DC＝1从而BC＝3，AC＝即AC＋BC＝3＋考点:三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理2.如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.（1）当时，求的大小；（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.【答案】（1）θ＝60°；（2）当θ＝45°时，S取最小值.【解析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.在△BDE中，由正弦定理得，在△ADF中，由正弦定理得． 4分由tan∠DEF＝，得，整理得，所以θ＝60°． 6分（2）S＝DE·DF＝． 10分当θ＝45°时，S取最小值． 12分【考点】正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式. 3.在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A－C)=1,则有( ).A.a、c、b 成等比数列B.a、c、b 成等差数列C.a、b、c 成等差数列D.a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由,.所以cos2B+cosB+cos(A－C)=1可化为.所以成等比数列.故选D.【考点】1.三角函数的恒等变换.2.正弦定理.3.方程中的消元思想.4.（2011•山东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．【答案】（1）2 （2）2【解析】（1）因为所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=25.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;(3)是否存在v,使得小艇以v海里/时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1) 小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小(2) 10海里/时 (3)存在，v的取值范围是(15,30)【解析】解:(1)法一设相遇时小艇的航行距离为s海里,则s===.=10,v==30.故当t=时,smin即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.法二若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向. 如图所示,设小艇与轮船在C处相遇.在Rt△OAC中,OC="20cos" 30°=10,AC="20sin" 30°=10.又AC=30t,OC=vt,此时,轮船航行时间t==,v==30.即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.由题意可得(vt)2=202+(30t)2-2×20×30t×cos(90°-30°),化简得v2=-+900=400(-)2+675.由于0<t≤,即≥2,所以当=2时,v取得最小值10,即小艇航行速度的最小值为10海里/时.(3)由(2)知v2=-+900,设=u(u>0),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即解得15<v<30.所以v的取值范围是(15,30).6.如图，在凸四边形中，为定点,为动点，满足.（I）写出与的关系式；（II）设的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）有最大值.【解析】本题主要考查解三角形中的余弦公式、三角形的面积公式、平方关系、配方法求函数的最值等数学知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力、计算能力.第一问，在和中利用余弦定理分别求，两式联立，得到和的关系式；第二问，先利用面积公式展开求出和，化简，利用平方关系，将，转化为，，再将第一问的结论代入，配方法求函数最值.试题解析：（I）由余弦定理，在中，=，在中，.所以=，即 4分（II） 6分所以10分由题意易知，,所以当时，有最大值. 12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积公式；3.平方关系；4.配方法求函数最值.7.设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为（）A．4:3:2B．5:4:3C．6:5:4D．7:6:5【答案】C【解析】，，又、、为连续的三个正整数，设，，，（),由于，则，即，，解得，，，，由正弦定理得，选C.【考点】正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.8.中，角的对边分别为.已知.（I）求；（II）若，的面积为，且，求.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）在中，有差角，有单角，所以应将展开，将角统一为单角.由得：，再移项合并得：，这样可得的值，从而求出的值.（II）面积公式用哪一个？因为由（I）可得，所以用，由此可得…①为了求出，显然还应该再找一个含的等式.因为已知，在（I）题中又求出了，所以可用余弦定理再得一个含的等式：……………………………………………②这样联立①②便可求出的值.试题解析：（I），.（II）由（I）得，由面积可得：………………①因为，所以由余弦定理得：………………………②联立①②得或（舍）.综上：.【考点】1、三角恒等变换；2、余弦定理；3、三角形的面积；4、解方程组.9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，判断的形状．（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】依题意，，又，，在内易知，在内由余弦定理得，则（当且仅当时，等号成立），又有几何概率可知，即，，即，此时当且仅当，所以为等边三角形.【考点】正弦定理和余弦定理、基本不等式、几何概率.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．【答案】【解析】∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．【考点】余弦定理点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键11.如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，，.（1）求索道的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）【解析】（1）在中，∵，，∴，，从而.由正弦定理，得，所以索道的长为1040（m）.（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了m，乙距离处m，由余弦定理得，∵，即，故当(min)时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理，，得（m），乙从出发时，甲走了（m），还需要走（m）才能到达，设乙步行的速度为m/min，由题意，，解得，∴为使两游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.【考点】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.12.已知点( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由点B的坐标可知B点在的图象上，由此可知若，则，若，则，二者为或的关系，故选C【考点】本题考查向量的应用和逻辑连接词的应用。
3-2三角变换及解三角形
专题3 第2讲 三角变换及解三角形一、选择题1．(2011·辽宁理，4)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．23B ．2 2 C. 3 D. 2[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， sinB ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴ba＝ 2.2．(2011·福建理，3)若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] D[解析] 由sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.3．(2011·浙江理，6)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2＝( )A.33 B. －33 C.539D. －69 [答案] C[解析] ∵(π4＋α)－(π4－β2)＝α＋β2，∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2. 又cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，∴sin(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝63.∴cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539，选C.4．(2011·四川理，6)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)[答案] C[解析] ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ≥12，∴0<A ≤π3，故选C.5．(2011·新课标理，5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B. 6．(2010·湖南理，6)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定[答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ， ∴在△ABC 中，由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab 将c ＝2a 代入上式得2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ， ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a >b .7．(2011·天津理，6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( ) A.33 B.36 C.63D.66[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2在△ABC 中，由正弦定理： 3sin C ＝4sin A在△ABD 中，由余弦定理：cos A ＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A ＝223∴sin C ＝3sin A 4＝3sin A4＝3×2234＝2612＝66，故选D. 8．(2011·浙江五校二次联考)若△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．5B ．25 C.41 D ．5 2[答案] A[解析] 解法一：由S △ABC ＝12ac sin45°＝2⇒c ＝42，再由余弦定理可得b ＝5.解法二：作三角形ABC 中AB 边上的高CD ， 在Rt △BDC 中求得高CD ＝22，结合面积求得 AB ＝42，AD ＝722，从而b ＝AD 2＋CD 2＝5.二、填空题9．(2011·江苏启东中学模拟)在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.[答案] －2 3[解析] S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.10．(2010·山东理，15)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[答案] π6[解析] sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，∵0<B <π，∴π4<B ＋π454π，∴B ＝π4，又∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A <B ，故A ＝π6. 11．(文)(2011·江西文，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. [答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－255，解得y ＝±8， 又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点， 可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.(理)(2011·上海理，8)函数y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x )的最大值为________．[答案]2＋34[解析] ∵y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x )＝cos x (32cos x ＋12sin x )＝32cos 2x ＋12sin x cos x＝32·1＋cos2x 2＋14x ＝14(3cos2x ＋sin2x ＋3)＝12sin(2x ＋π3)＋34， 故最大值为2＋34.12．(2011·安徽理，14)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．[答案] 15 3[解析] 设三角形的三边依次为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ.由余弦定理得 (a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)cos120°， 则a ＝10，所以三边长为6,10,14， S △ABC ＝12×6×10×sin120°＝15 3.三、解答题13．(文)(2011·江苏，15)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值；(2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．[解析] (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.(理)(2011·湖北理，16)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．[解析] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×144，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(14)2＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(158)2＝78， ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.14．(文)(2011·江西文，17)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ， 即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得 sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2) 则C ＋φ＝π2sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. (理)(2011·江西理，17)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2(1)求sin C 的值(2)若 a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值 [解析] (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2， 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27， 所以c ＝7＋1.15．(2011年5月南通、扬州、泰州)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角．(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． [解析] (1)因为m ∥n ， 所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0， 即32sin2A －12cos2A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6.故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2)设角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc . 而b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ＋4≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c . 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．。
高三数学专项训练：立体几何解答题（三）（文科）
中，CA CB =，1AB AA =，160BAA Ð=。
（Ⅰ）证明：1AB A C ^；（Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =高三数学专项训练：立体几何解答题（三）（文科）1．如图，在．如图，在四棱锥四棱锥A-BCDE 中，侧面∆ADE 是等边三角形，底面BCDE 是等腰是等腰梯形梯形，且CD ∥BE,DE=2BE,DE=2，，CD=4,60CDE Ð=° ,M 是DE 的中点，F 是AC 的中点，且AC=4AC=4，，求证：（1）平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD;BCD;(2)FB (2)FB∥平面∥平面ADE. ADE.2．（本小题满分12分）如图，分）如图，三棱柱三棱柱111ABC A B C -，求三棱柱111ABC A B C -的体积。
45．．如图，三棱锥P ABC -中，90ABC °Ð=，PA ABC ^底面（Ⅰ）求证：PAC PBC ^平面平面；（Ⅱ）若AC BC PA ==，M 是PB 的中点，求AM 3．如图，在．如图，在四棱锥四棱锥P －ABCD 中，中，PD PD PD⊥⊥平面ABCD ABCD，，AB AB∥∥DC DC，已知，已知BD BD＝＝2AD 2AD＝＝2PD 2PD＝＝8，AB ＝2DC 2DC＝＝（Ⅰ）设M 是PC 上一点，证明：平面MBD MBD⊥平面⊥平面PAD PAD；；（Ⅱ）若M 是PC 的中点，求棱锥P －DMB 的体积．4与平面PBC 所成角的所成角的正切正切值5中，CB DA 、是梯形的高，2AE BF ==，22AB =，现将梯形沿CB DA 、折起，使//EF AB ，且2E F A B =如图所示，已知M N P 、、（1）求证：//MN6^PA 底面ABCD ，F E ,分别是PB AC ,的中点的中点. . .PFEDC B A（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面^PBD 平面PAC ；（3）若AB PA =，求PD 与平面PAC 所成的角的大小所成的角的大小. . .．如图，在等腰．如图，在等腰梯形梯形CDEF ，得一简单，得一简单组合组合体ABCDEF 分别为,,AF BD EF 的中点平面BCF ；（2）求证：AP ^平面DAE .．如图，．如图，四棱锥四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，7中，2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM^，垂足为E ，若将ADM D 沿AM 折起，使点ABCM D -¢．（Ⅰ）求证：F D AM p ，求直线D8．如图，在四棱锥-P ．如图，在．如图，在矩形矩形ABCD D 位于D ¢位置，连接B D ¢，C D ¢得四棱锥¢^；（Ⅱ）若3p =¢ÐEF D ，直线F D ¢与平面ABCM 所成角的大小为3A ¢与平面ABCM 所成角的所成角的正弦正弦值．值．ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =,E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：PD ∥平面AEC ；（Ⅱ）求证：平面AEC ^平面PBD .-的中点，E 为PA 的中点．的中点．ADO C PBEMNC C 1B 1A 1BA9．如图，在直．如图，在直三棱柱三棱柱ABC ABC－－A 1B 1C 1中，点M 是A 1B 的中点，点N 是B 1C 的中点，连接MN MN（Ⅰ）证明：（Ⅰ）证明：MN//MN//MN//平面平面ABC ABC；； （Ⅱ）若AB=1AB=1，，AC=AA 1=3，BC=2BC=2，求二面角，求二面角A —A 1C —B 的余弦值的大小值的大小1010．．如图，四棱锥P ABCD 的底面是直角的底面是直角梯形梯形，//AB CD ，AB AD ^，PAB D 和PADD 是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD (Ⅰ)求证：PO ^平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求(Ⅲ)求直线直线CB 与平面PDC 所成角的所成角的正弦正弦值．11中，底面ABED 、090ADC Ð=，12BC CD AD ==，PA PD =，,EF .A B C -中，点D 是BC 的中点的中点..（Ⅰ）求证（Ⅰ）求证: : AD ^平面11BCC B ；（Ⅱ）求证（Ⅱ）求证: : 1A C 平面1AB D .A BCDA 1B 1C 1．在．在四棱锥四棱锥P ABCD -为直角为直角梯形梯形，//BC AD 为,AD PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）求证：AD PB ^1212．如图，正．如图，正．如图，正三棱柱三棱柱111ABC13．如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ， 902=Ð=EAB EF AB，（1）若G 点是DC ）求证：BAF DAF 面面^.（3）若,2,1===AB AD AE ，平面ABCD ABFE 平面^.中点，求证：AED FG 面//.（2求的体积三棱锥AFC D -.∴,3AM DE AM ^=,∵在∆DMC 中，中，DM=1DM=1DM=1，，60CDE Ð=°,CD=4,CD=4，，∴22241241cos6013MC =+-´´×°= ，即MC=13.在∆AMC 中，222222(3)(13)4AM MC AC +=+==∴AM AM⊥⊥MC,MC,又∵,AM DE ^MC DE M = , , ∴∴AM ^平面BCD,BCD,∵AM Í平面ADE, ADE, ∴平面∴平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD.BCD.（2）取DC 的中点N ，连结FN,NB,FN,NB,∵F,N 分别是AC AC，，DC 的中点，∴的中点，∴FN FN FN∥∥AD,AD,由因为由因为FN Ë平面ADE,AD Í平面ADE, ADE, ∴∴FN FN∥平面∥平面ADE,ADE,∵N 是DC 的中点，∴的中点，∴BC=NC=2BC=NC=2BC=NC=2，又，又60CDE Ð=°，∴∆BCN 是等边三角形，∴是等边三角形，∴BN BN BN∥∥DE,DE, 由BN Ë平面ADE,ED Í平面ADE, ADE, ∴∴BN BN∥平面∥平面ADE,ADE,∵FN BN N = , , ∴平面∴平面ADE ADE∥平面∥平面FNB,FNB,∵FB Í平面FNB, FNB, ∴∴FB FB∥平面∥平面ADE.ADE.考点：考点：1.1. 1.直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；2.2.2.平面一平面垂直的判定；平面一平面垂直的判定；平面一平面垂直的判定；3.3.3.直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定..2．（1）取AB 的中点O ，连接1OC O 、1OA O 、1A B ，因为CA=CB CA=CB，所以，所以OC AB ^，由于AB=AA 1，∠，∠BA A BA A 1=600，所以1OA AB ^，所以AB ^平面1OAC ，因为1A C Ì平面1OAC ，所以AB AB⊥⊥A 1C ；（2）因为221A C OC =因为ABC D 为等边三角形，所以3CO =，底面积1232232S =´´=高三数学专项训练：立体几何解答题（三）（文科）参考答案1．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析 【解析】【解析】试题分析：（1）首先根据直线与平民啊垂直的）首先根据直线与平民啊垂直的判定定理判定定理证明AM ^平面BCD,BCD,然后再根据平面垂直的判定定理证明平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD BCD；；（2），取DC 的中点N ，首先证FN ∥平面ADE,ADE,然后再证∴然后再证∴然后再证∴BN BN BN∥平面∥平面ADE,ADE,再根据平面与平民啊平行的判定定理证明∴平面再根据平面与平民啊平行的判定定理证明∴平面ADE ∥平面FNB,FNB,最后由面面平行的性质即可最后由面面平行的性质即可最后由面面平行的性质即可..试题解析：（1）∵∆ADE 是等边三角形，,M 是DE 的中点，的中点，，所以，所以体积体积123323V =´´=（Ⅱ）163P DMB V -=． 【解析】【解析】试题分析：试题解析：（I ）证明：在ABD D 中，由于4,8,45A D B D A B ===，所以222AD BD AB +=．故AD BD ^。
高三数学解三角形试题答案及解析
高三数学解三角形试题答案及解析1.（2011•山东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．【答案】（1）2 （2）2【解析】（1）因为所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=22.已知向量m＝(sin ，1)，n＝(cos ，cos2)．记f(x)＝m·n．(1)若f(α)＝，求cos(－α)的值；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，若f(A)＝，试判断△ABC的形状．【答案】（1）1 （2）等边三角形【解析】f(x)＝sin cos ＋cos2＝sin＋cos＋＝sin(＋)＋．(1)由已知f(α)＝得sin(＋)＋＝，于是＋＝2kπ＋，k∈Z，即α＝4kπ＋，k∈Z，∴cos(－α)＝cos(－4kπ－)＝1．(2)根据正弦定理知：(2a－c)cos B＝bcos C⇒(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C⇒2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sinA⇒cos B＝⇒B＝，∵f(A)＝，∴sin(＋)＋＝⇒＋＝或⇒A＝或π，而0<A<，所以A＝，因此△ABC为等边三角形．3.在中，角所对的边分别为，已知，，（1）求角；（2）若，，求的面积。
【答案】（1）（2）【解析】（1），，，，又，为锐角，。
（2）由（1）知：，，，得（舍去），，4.已知点是的重心,且,则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，延长分别交于点，由重心的性质，设，，则，，，代入得，【考点】1、重心的性质；2、勾股定理；3、正弦定理和余弦定理.5.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始几小时后,两车的距离最小()A．B．1C．D．2【答案】C【解析】如图所示,设过xh后两车距离为ykm,则BD=200-80x,BE=50x,∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos 60°,整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5),∴当x=时y2最小,即y最小.6.在△ABC中,若b=2asinB,则A等于()A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【答案】D【解析】由已知得sinB=2sinAsinB,又∵A,B为△ABC的内角,故sinB≠0,故sinA=,∴A=30°或150°.7.已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S ＝(a＋b)2－c2，则tan C等于()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab－c2，则absin C－2ab＝a2＋b2－c2，又因为cos C＝－1，所以cos C＋1＝，即2cos2＝sin cos ，所以tan ＝2，即tan C＝＝＝－8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)因为m∥n，所以a sin A＝b sin B，即a·＝b· (其中R是△ABC外接圆的半径)，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．(2)由题意，可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab，由余弦定理，知4＝c2＝a2＋b2－2ab cos＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4或ab＝－1(舍去)．所以S＝ab sin C＝×4×sin ＝.△ABC9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是，b，c.若，，则角＝【答案】【解析】本题求三角形的角，由题设条件，可用余弦定理，因此首先把角的关系转化为边的关系，这只要利用正弦定理，可得，因此，故.【考点】正弦定理与余弦定理.10.设的内角所对的边长分别为，且，,则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】由题意根据正弦定理得，再由余弦定理得，即的最小值为4.【考点】解三角形.11.如图，游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到，另一条是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，索道长为，经测量，.（1）求山路的长；（2）假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）米；（2）乙步行的速度应控制在内.【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系先求出和，再利用内角和定理以及诱导公式、两角和的正弦公式求出的值，最终利用正弦定理求出的长度；（2）利用正弦定理先求出的长度，然后计算甲步行至处所需的时间以及乙从乘缆车到所需的时间，并设乙步行的速度为，根据题中条件列有关的不等式，求出即可.试题解析：（1）∵，，∴、，∴，，∴，根据得，所以山路的长为米；（2）由正弦定理得（），甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为，由题意得，整理得，，∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在内.【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.内角和定理；3.两角和的正弦公式；4.正弦定理12.已知中的内角、、所对的边分别为、、，若，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求函数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由得：，这个等式中有边有角，一般地，有两种考虑.一是用正弦定理将边换成正弦，等式中只留角；一种是用余弦定理将余弦换掉，只留边.（Ⅱ）由于已经求出角，所以，所以可将中的一个角换掉，只留一个角，然后利用三角函数求出其取值范围.试题解析：（Ⅰ）法一、法二、，由余弦定理得：，整理化简得，所以.（Ⅱ）方法一：因为，所以，．方法二：因为，所以，下同方法一．【考点】1、向量；2、正弦定理和余弦定理；3、三角恒等变换.13.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，由余弦定理得，，，故选B.【考点】1.边角互化；2.余弦定理14.在中，已知（1）求；（2）若，的面积是，求.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）用三角形三内角和定理及特殊角的三角函数值求解；（2）利用余弦定理与三角形的面积公式，得到关于、的方程组，解出即得.（1）在中，，，，.（2）由余弦定理，则，又的面积是，则，即，，即，.【考点】三角形三内角和定理，余弦定理，三角形的面积.15.在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．（1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】解：（1）在△ABC中，， 3分因为，所以，所以， 5分因为，所以，因为，所以． 7分（2）11分因为，所以，故，因此，所以． 14分【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题。
四川省2021高考数学(文)专项练习试题 三角函数解三角形课外(文科)答案
高三后期课处专项训练 三解函数 解三角形1 时间：40分钟 1．若cos 22π2sin()4αα=--，则cos sin αα+的值为( )C （A ）72-（B ）12- （C ）12（D ）722．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,)2ωϕπ><的最小正周期为π，()()f x f x -=，则( )A（A ）()y f x =在区间(0,)2π上单调递减（B ）()y f x =在区间3(,)44ππ上单调递减（C ）()y f x =在区间(0,)2π上单调递增（D ）()y f x =在区间3(,)44ππ上单调递增3.设2()3sin cos cos f x m x x m x n =++(0m >)在区间[0,]4π上的值域为[1,2]，则()f x 的单调递增区间为( )C （以下k ∈Z ） A.]43,4[ππππ+-k k B.]3,6[ππ- C. [,]36k k ππππ-+ D.]3,6[ππππ+-k k4．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于_______m ．60 （用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，3 1.73≈）5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，3sin 5sin ,A B =则角C =_________．2π36.设4()sin(2)cos(2),63g x x x x R ππ=+--∈（1）求函数()g x 的最小正周期及单减区间; （2）若将函数()g x 先左平移76π个单位，再将其纵坐标伸长到原来的2倍得到函数()f x ，当],83[λπ-∈x 时，()f x 的值域恰好为]4,22[-，求λ的取值范围;解：（1）由43(2)(2)632x x πππ++-=34()sin(2)cos((2))6232sin(2)6g x x x x ππππ=+---=+…3分2Tππω∴==………4分 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈即2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈∴函数()g x 单减区间2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦………………………6分（2）由题意得()4cos 2f x x =……9分 即当3224x πλ-≤≤时，2cos 212x -≤≤ 当324x π=-和324x π=时，2cos 22x =-;20x =时，cos21x = 3024πλ∴≤≤…10分 故308πλ≤≤……12分 7．如图所示，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟．在甲动身2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC 长为1260米，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =．(Ⅰ) 求索道AB 的长；(Ⅱ) 乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(Ⅲ) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？ 7．(Ⅰ) 在△ABC 中，123cos ,cos 135A C ==， 0π,0π,0π,54sin ,sin .135A B C A C <<<<<<∴==+=πA B C +，()5312463sin =sin +=sin cos +cos sin =+=13513565B AC A C A C ∴⨯⨯． ==sin sin sin AC AB BCB C A∴, sin 465==1260=1040sin 563C AB AC B ∴⋅⨯⨯米．所以索道AB 的长为1040米． (Ⅱ) 由(Ⅰ) 及已知有，sin ==500sin ABC AC B⋅米． 设乙动身(8)t t ≤分钟后，甲到了D 处，乙到了E 处, 则有=50+100AD t ,130AE t =．依据余弦定理2222cos DE AE AD AE AD A =+-⋅⋅, 即2274001400010000DE t t =-+.∴当14000352740037t ==⨯时，2DE 有最小值．故乙动身3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短．(Ⅲ) 设甲所用时间为t 1，乙所用时间为2t ，乙步行速度为v ． 由题意1260126==505t 1分钟, 21040500500=2++1+=11+130t v v分钟, 所以，12650031135v ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤≤．解不等式得12506254314v ≤≤． 故为使两位旅客在C 处相互等待的大事不超过3分钟，乙步行的速度应把握在1250625[,]4314（单位：米/分钟）范围内．高三后期课外专项训练 三角函数 解三角形2 时间：40分钟 一．选择题：1．若△ABC 的对边分别为a 、b 、C 且1a =，45B ∠=，2ABC S =△，则b =（A）A.5B.25C.41D.522．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C ->，则ABC ∆的外形是 （ C ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为S ,且222()S a b c =+-, 则tan C 等于（ C ） A.34B.43C. 43-D .34- 4．在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的状况是 （ B ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解5．如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B 两点,从A,B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B 两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为 ( A )A.(30+30)m B.(30+15)m C.(15+30)m D.(15+15)m6．在ABC ∆中,04,30,AB BC ABC AD ==∠=是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于（ B ）A ．0B ．4C ．8D ．4-二．填空题：7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为16．8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a b c ,,，若2,3b c ==，ABC ∆的面积为2，则sin A = 23.9．在ABC ∆中，若222,8AB AC BC =+=，则ABC ∆的面积的最大值为3 . 三．解答题：10. △ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理，得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.备选题：1.在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若m =(b, 3cosB)，n =(sinA, －a)，且m ⊥n .（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求△ABC 的面积. 解：（1）m =(b, 3cosB) n =(sinA, －a)且m ⊥n ∴b sinA －3a cosB=0 sinB ·sinA －3sinA cosB=0而sinA ≠0∴sinB －3cosB=0 tanB=3又0°＜B ＜180° ∴B=60° （2）b 2=a 2+c 2－2ac cosB ，b=3∴a 2+c 2－ac=9 ………①又∵sinC=2sinA ∴c=2a………②由①②得a=3，c=23∴S △ABC =21·3·23·sin60°=233.2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角B 为锐角，且322sin =B （1）求B CA 2cos 2sin2++的值； （2）若2b =，求ac 的最大值。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B ，且 AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到 D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）【答案】法一：在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB="45°"在中，在中，DC2=DB2+BC2-2DB·BC cos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×=9600,航模的速度（米/秒）答：航模的速度为2（米/秒））法二:（略解）、在中，中在中，DC2=AD2+AC2-2AD·AC cos60°="9600"航模的速度（米/秒）答：航模的速度为2（米/秒）【解析】略2.函数的一部分图象如图所示，其中，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得：又，故选D3.函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则A．B．C．D．【答案】B【解析】从向x轴作垂线，垂足为，由，可得，，，所以，故选B.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.三角函数求值.4.中，角所对的边分别为，若（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理，又由，得，故选C．【考点】余弦定理.5.（12分）已知向量，，设函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查向量的数量积、倍角公式、两角差的正弦公式、三角函数的单调性、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用向量的数量积得到的解析式，再利用倍角公式和两角差的正弦公式化简表达式，使之成为的形式，再数形结合求函数的递减区间；第二问，先利用正弦定理将转化为，再将已知条件代入余弦定理中得出，从而得到特殊角，最后代入中．试题解析：（1）令，所以的递减区间为（2）由，⇒，∴，即，又∵，，∴．【考点】向量的数量积、倍角公式、两角差的正弦公式、三角函数的单调性、正弦定理、余弦定理．6.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
高三数学：解三角形专题
高三数学：解三角形专题知识回顾】1.正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} = 2R$。
cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$。
cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$。
cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。
2.余弦定理：$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$。
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$。
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$。
3.推论：正余弦定理的边角互换功能①$a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$；②$\sin A = \frac{a}{2R}$，$\sin B = \frac{b}{2R}$，$\sinC = \frac{c}{2R}$；③$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$；④$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C$；⑤$\sin^2 A = \sin^2 B + \sin^2 C - 2\sin B\sin C\cos A$；sin^2 B = \sin^2 C + \sin^2 A - 2\sin C\sin A\cos B$；sin^2 C = \sin^2 A + \sin^2 B - 2\sin A\sin B\cos C$。
4.三角形中的基本关系式：$\sin(B+C) = \sin A$，$\cos(B+C) = -\cos A$。
sin\frac{B+C}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$，$\cos\frac{B+C}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$。
(通用版)高考数学复习 专题三 三角函数 3.2 解三角形基础题练习 理-人教版高三全册数学试题
3.2 解三角形基础题命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sin A-b sin B=4c sin C ,cosA=-14,则bb =()A.6B.5C.4D.3,得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b 2+b 2-b 22bb, ∴b 2-4b 22bb =-14,∴-3b 2b =-14,∴b b =32×4=6,故选A .2.(2018全国Ⅱ·6)在△ABC 中,cos b2=√55,BC=1,AC=5,则AB=()A.4√2B.√30C.√29D.2√5cos C=2cos 2b 2-1=-35,∴AB 2=BC 2+AC 2-2BC ·AC cos C=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4√2.3.(2018全国Ⅲ·9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 的面积为b 2+b 2-b 24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6S=b2+b2-b24=12ab sin C,得c2=a2+b2-2ab sin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,∴sin C=cos C,即C=π4.4.(2017某某·9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2Asin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,∴sin B+2sin B cos C=(sin A cos C+cos A sin C)+sin A cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin B+sin A cos C, ∴2sin B cos C=sin A cos C,又△ABC为锐角三角形,∴2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2019全国Ⅱ·15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为.√3b2=a2+c2-2ac cos B,∴(2c)2+c2-2×2c×c×12=62,即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去).∴a=2c=4√3.∴S △ABC =12ac sin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.典题演练提能·刷高分1.在△ABC 中,若原点到直线x sin A+y sin B+sin C=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析由已知可得√22=1,∴sin 2C=sin 2A+sin 2B ,∴c 2=a 2+b 2,故三角形为直角三角形.选A .2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos C+c=2a ,且b=√13,c=3,则a=() A.1 B.√6C.2√2D.42b cos C+c=2a ,由正弦定理可得2sin B cos C+sin C=2sin A=2sin(B+C )=2sin B cos C+2cos B sin C ,∴sin C=2cos B sin C ,∵sin C ≠0,∴cos B=12.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,又知b=√13,c=3,解得a=4.故选D .3.(2019某某某某高三质检)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a sin B=2b sinC ,b=3,cos B=14,则△ABC 的面积为()A.9√15B.9√1516C.3√1516D.916a sin B=2b sin C ,结合正弦定理可得ab=2bc ,则a=2c.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,可得9=(2c )2+c 2-2×2c ×c ×14,解得c=32,则a=3.又sin B=√1-cos 2b =√154,所以S △ABC =12ac sin B=12×3×32×√154=9√1516.故选B .4.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos 2b +b2-cos 2C=1,4sin B=3sin A ,a-b=1,则c 的值为()A.√13B.√7C.√37D.6解析∵2cos2b +b2=2cos 2π-b 2=2cos 2π2−b 2=2sin 2b2=1-cos C ,∴1-cos C-cos2C=1.∴cos2C=-cos C.∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12.因为{b -b =1,4b =3b ,故得到{b =3,b =4.根据余弦定理得到12=b 2+b 2-b 22bb,解得c 的值为√13.5.△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=5,B=π3,cos A=1114,则△ABC 的面积S=()A.10√33B.10C.10√3D.20√3cos A=1114,所以sin A=5√314,由正弦定理得到bsin b=bsin b,解得b=7,由正弦定理得到sin C=sin(A+B )=4√37,△ABC 的面积S=12×5×7×4√37=10√3.6.(2019某某某某高三二调)在△ABC 中,角A ,B ,C 成等差数列,且对边分别为a ,b ,c ,若bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =20,b=7,则△ABC 的内切圆的半径为()A.√3B.7√33C.2D.3角A ,B ,C 成等差数列,∴2B=A+C=π-B ,即B=π3,∴bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ca cos π3=20,即ca=40,由余弦定理b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,可得49=a 2+c 2-ac=(a+c )2-3ac=(a+c )2-120,解得a+c=13.故a=5,c=8.设△ABC 的内切圆的半径为r ,则12(a+b+c )r=12ac sin B ,可得12(5+8+7)r=12×5×8×√32,可得△ABC 的内切圆的半径r=√3.故选A .7.如图,平面四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点P ,若3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB=AD=√3BC ,∠CAD+∠ACB=56π,则bbbb=() A.√213B.√214C.2√63D.√62BC=1,则AB=AD=√3,延长BC 到E ,使BE=3BC ,所以CE=2,依题意3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AC ∥DE ,所以bb bb=bb bb=12,由正弦定理得{bb sin b =bbsin b ,bb sin b=bb sin b,两式相除得2sin b=√3sin b, 所以2sin5π6-α=√3sin α,所以α=π2,β=π3.在△ABC 中,由余弦定理得3=1+AC 2-2AC cos π3,AC=2,在Rt △ACD 中CD=√3+4=√7,故bbbb =√7√3=√213,选A .8.在△ABC 中,AB=2,AC=√7,∠ABC=2π3,则BC=.,根据余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B ,即BC 2+2BC-3=0,解得BC=1,或BC=-3(舍去负值).9.在△ABC 中,a=1,b=√7,且△ABC 的面积为√32,则c=.或2√3△ABC =12ab sin C=12×1×√7×sin C=√32,则sin C=√217,cos C=±2√77, 当cos C=2√77时,c 2=1+7-2×1×√7×2√77=4,c=2;当cos C=-2√77时,c 2=1+7+2×1×√7×2√77=12,c=2√3.10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米..5由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米.在△ABC 中,由余弦定理有cos B=bb 2+bb 2-bb 22bb ·bb=132+142-1522×13×14=513,B 为锐角,sin B=√1-cos 2b =1213.设△ABC 外接圆半径为R ,则由正弦定理有bsin b =2R ,R=b2sin b =75002×1213=4062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和X 围问题高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值X 围是.√6−√2,√6+√2).作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6−√2.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2,所以AB的取值X围为(√6−√2,√6+√2).2.(2014全国Ⅰ·16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.√3,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b2+b2-b22bb =12.∴sin A=√32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=12bc·sin A≤√3,即(S△ABC)max=√3.典题演练提能·刷高分1.(2019某某某某高三一模)在△ABC中,AB=2,C=π6,则AC+√3BC的最大值为() A.4√7 B.3√7C.2√7D.√7ABC 中,AB=2,C=π6,则2R=bbsin b =4,则AC+√3BC=4sin B+4√3sin A=4sin 5π6-A +4√3sin A=2cos A+6√3sin A=4√7sin(A+θ),其中sin θ=√714,cos θ=3√2114,由于0<A<5π6,0<θ<π2,所以0<A+θ<4π3,所以最大值为4√7.故选A .2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A=π3,a=2√2,则△ABC 面积的最大值为()A.√2B.2√3C.√6D.√3ABC 中,由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即8=b 2+c 2-2bc cos π3=b 2+c 2-bc ≥2bc-bc=bc ,即bc ≤8,当且仅当b=c 时,等号成立,所以△ABC 面积的最大值为S=12bc sin A=12×8sin π3=2√3,故选B .3.已知锐角△ABC 中的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=a (a+c ),则sin 2bsin(b -b )的取值X 围是()A.(0,√22)B.(12,√32) C.(12,√22) D.(0,√32)b 2=a (a+c ),由余弦定理,得a 2+c 2-2ac cos B=a (a+c ), 化简得c-a=2a cos B.由正弦定理,得sin C-sin A=2sin A cos B ,∵C=π-(A+B ),∴sin(A+B )-sin A=2sin A cos B ,化简得sin(B-A )=sin A.∵△ABC 是锐角三角形,∴B-A=A ,即B=2A ,∵{0<b <π2,π2<b +b <π,即{0<2b <π2,π2<3b <π,∴π6<A<π4,∴sin 2bsin(b -b )=sin A ∈(12,√22).4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为√3,且cos(b +b )cos b=b2b +b ,则c 的最小值是()A.2B.2√2C.2√3D.4∵cos(b +b )cos b=b 2b +b ,∴-cos b cos b =b2b +b ,∴根据正弦定理可得-cos bcos b =sin b2sin b +sin b ,即-2sin A cos C=sin A.∵sin A ≠0,∴cos C=-12.∵C ∈(0,π),∴C=2π3.∵△ABC 的面积为√3,∴S △ABC =12ab sin C=√3,即ab=4.∵cos C=b 2+b 2-b 22bb=-12, ∴c 2=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab=12,当且仅当a=b 时取等号. ∴c min =2√3,故选C .5.在△ABC 中,已知a 2+b 2-c 2=4S (S 为△ABC 的面积),若c=√2,则a-√22b 的取值X 围是()A.0,√2B.-1,0C.-1,√2D.-√2,√2a 2+b 2-c 2=4S ,∴a 2+b 2-c 2=4×12ab sin C=2ab sin C.∴b 2+b 2-b 22bb =sin C ,∴cos C=sin C.∴C=π4. ∵bsin b =bsin b =bsin b =√2√22=2,∴a=2sin A ,b=2sin B ,又a-√22b=2sin A-√22×2sin B=2sin A-√2sin B=2sin A-√2sin3π4-A=sin A-cos A=√2sin A-π4,∵0<A<3π4,∴-π4<A-π4<π2, ∴-1<√2sin A-π4<√2,∴-1<a-√22b<√2,故选C .6.已知平面四边形ABCD 中,AB=AD=2,BC=CD ,∠BCD=90°,则四边形ABCD 面积的最大值为()A.6B.2+2√3C.2+2√2D.4,设∠DAB=θ,BC=CD=x ,则BD=√2x.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos θ,即(√2x )2=4+4-8cos θ=8-8cos θ,∴x 2=4-4cos θ.∴四边形ABCD 的面积为S=12×22×sin θ+12x 2=2sin θ+(2-2cos θ)=2√2sin θ-π4+2.∵0<θ<π,∴-π4<θ-π4<3π4,∴当θ-π4=π2,即θ=3π4时,S 有最大值,且S max =2√2+2.选C .7.已知点O 是△ABC 的内心,∠BAC=60°,BC=1,则△BOC 面积的最大值为.BOC=180°-180°-60°2=120°,在△OBC 中,BC 2=OB 2+OC 2-2OB ·OC ·cos120°,即1=OB 2+OC 2+OB ·OC ≥3OB ·OC ,即OB ·OC ≤13,所以S △OBC =12OB ·OC sin120°≤√312,当OB=OC 时取得最大值.8.在△ABC 中,AB=AC ,D 为AC 的中点,BD=1,则△ABC 面积的最大值为.ABD 中,设AB=AC=b ,由余弦定理得cos A=b 2+b 24-12b ·b 2=54−1b 2,则sin A=√1-(54-1b 2) 2,所以△ABC 的面积为S=12b 2sin A=12b 2·√1-(54-1b2)2=18√-9(b 2-209)2+2569≤23,所以△ABC 的面积的最大值为23.9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ,若|bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6,则△ABC 面积的最大值为.|bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴|AB|=3.∵bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴ab cos C=6.∴cos C=6bb .由余弦定理得9=a 2+b 2-2ab cos C=a 2+b 2-12≥2ab-12,∴ab ≤212.∴S=12ab sin C=12ab √1-cos 2b=12ab √1-36b 2b 2=12√b 2b 2(1-36b 2b 2 =12√b 2b 2-36≤12√(212) 2-36=3√334.。
高三数学复习专题练习题：解三角形（含答案）
⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学专项训练：解三角形小题练习（三）1．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若bc c b a -+=222，，则B tan 的值等于 ． 2．在ABC △，则a = . 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5=a ，4．在ABC ∆中c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,已知,2,4==b a 则5．在ABC ∆中,若222bc b c a +=+ , 则A = 6．在ABC ∆中，已知3=b ，，︒=∠30B ，则a 等于_____________. 7．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）8．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km ．9．在△ABC 中，若AB AC ＝5，且cosC BC ＝________． 10．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
11．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
12．在ABC ∆中，若，则C ∠=13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且8,60,75a B C ︒︒===,14．在△ABC 中，120,1,A b =︒=面积等于 。
15．在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a b 、, 则b = .16．在∆ABC 则A =17．在∆ABC 中，00135,15,5,B C a ===则此三角形的最大边长为18．在∆ABC 19．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则∠A 等于_________________________值为 ．21．在ABC ∆中， 60,2,1===B BC AB ，则=AC __________.22．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为23．在ABC ∆中,若1b =，，则a = . 24．已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，若，则=A sin __________.25．在ABC ∆中，∠C = .26．在ABC ∆中.若b=5a=___________________. 27．在ABC ∆中，A ＝_____________; 28．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________29．ABC ∆中，B A t a n ,t a n 是01832=-+x x 的两个实数根，则C C C C 22cos 5cos sin 3sin 4--的值为 ．30．设ABC ∆中，形是 三角形.31．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，则C ∠= 或 ．32．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c 则ABC ∆的形状是 ．33．在△ABC 中，1a =，30A =︒，60B =︒，则b 等于 。
34．在ABC ∆中，A 的值为__________. 35．在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠===，则___________. 36．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知37．在ABC ∆中，若4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则38．在ABC ∆中，A ＝_____________。
39．在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则∆ABC 最大角的值是 。
40．在三角形ABC 中，bcosC=Ccos Ｂ，则三角形ＡＢＣ是 三角形。
41．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是_____42．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是 ．43．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2s i n B s i n C=，44．在△ABC 中，BC ＝1，B ABC tan C ＝ ．45．在△ABC 中，A=︒30，b=12，18ABC S ∆=，__________. 46．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边为,,a b c ，若sin a c A =⋅，则是________.47．在△ABC 中,∠A ＝60°，b ＝1，ABC S ∆＝_______________． 48．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是49．已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c C=_________50．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 角B 的值为____________高三数学专项训练：解三角形小题练习（三）参考答案1【解析】∵A 是三角形的内角，∴在ABC ∆中，考点：解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.2【解析】考点：考查余弦定理.3【解析】试题分析：,因为a b >，考点：1.正弦定理；2.三角函数基本关系（平方关系）.4．2【解析】考点：正弦定理点评：本题考查正弦定理在解三角形中的应用，是基础题，送分题． 5．60o【解析】试题分析：因为在△ABC 中，222bc b c a +=+， 由余弦定理2222cos bc A a b c =+-，可知，，则A =60o 考点：余弦定理．点评：本题考查余弦定理的应用，余弦定理的表达式的应用，考查基本知识的应用．6．3或6【解析】试题分析：根据题意，由于ABC ∆中，已知3=b ，，，再结合余弦定理可知2222cos a b c bc A =+-的值为9，或者36，故可知答案为3或6 考点：解三角形点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。
，故【考点定位】考查余弦定理及运算，属容易题。
8【解析】试题分析：由题意，在△ABC 中，∠BAC=906030-= ，∠ACB=9015105+= ，∠ABC=1801053045--= ，又AC=60，由正弦定理得考点：本题考查了正弦定理的实际运用点评：对于应用问题首先要理解题意，然后依据题目的条件列式，从而求解，本题就是转化为三角形内求边的问题9．4或5【解析】试题分析：在△ABC 中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯，∵AB AC ＝5，且cosC ，∴29200BC BC -+=，解得BC ＝4或5 考点：本题考查了余弦定理的运用点评：熟练运用余弦定理及其变形是解决此类问题的关键，属基础题10．1200【解析】 试题分析：∵222a b bc c =++，∴，∴A =1200 考点：本题考查了余弦定理的运用点评：熟练运用余弦定理及其变形是解决此类问题的关键，属基础题11【解析】试题分析：∵0030,135B C ==，∴15A = ，∴2s i n (4530)s i n 30考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练运用正弦定理及其变形是解决此类问题的关键，属基础题12．30°【解析】试题分析：根据题意，由于c o s C c =三角形的内角的范围可知C ∠=30°，故答案为30°。
考点：余弦定理点评：主要是考查了余弦定理的运用，属于基础题。
13【解析】试题分析：易知， 45=--=C B A π,考点：正弦定理点评：本题考查了用正弦定理解三角形，关键是能先求出角A,再用正弦定理解题，属基础题.14【解析】试题分析：因为，△ABC 中，120,A b =︒=面积，所以，考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式。
点评：中档题，本题综合性较强，较全面地考查了三角形中的重点内容，较为典型。
15．1【解析】试题分析：故可知答案为1。
考点：正弦定理点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属基础题．16【解析】 试题分析：根据题意，由于22-2c ob c b +∴考点：余弦定理点评：主要是考查了余弦定理的解三角形的运用，属于基础题。
17【解析】试题分析：首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b ，根据三角形内角和定理：A=180°-（B+C ）=30°，在△ABC 中有正弦定理有：考点：正弦定理点评：本题主要考查了正弦定理应用，在已知两角一边求另外边时采用正弦定理． 18【解析】 试题分析：根据题意，由于∆ABC 中，若3n 502故可知考点：正弦定理点评：主要是考查了正弦定理的运用，求解三角形，属于基础题。
19【解析】，那么根据正弦定理可知2那么由于在三角形中，可知角A 等于考点：正弦定理点评：主要是考查了正弦定理的运用，属于基础题。
20【解析】 试题分析：a c 变形为，即考点：余弦定理解三角形点评：本题中解三角形用到了余弦定理2222cos b a c ac B =+-的变形21【解析】试题分析：AC ==考点：余弦定理点评：本题是基础题。
在解三角形中，余弦定理的适应范围是：两边及一角，三边。
22【解析】试题分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，由正弦定理得，∴考点：本题考查了正弦定理的运用点评：三角形的内容包括正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，对这方面的考查经常出现23．1【解析】试题分析：因为，1b =，所以，由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，即220a a +-=，解得，a=1. 考点：本题主要考查余弦定理的应用。
点评：简单题，利用余弦定理，建立a 的方程，注意方程根的取舍。
24【解析】试题分析：260A C B B +=∴= ，由正弦定理可得代入数据得考点：解三角形25【解析】试题分析：因为，，所以，由余弦定理得，∠C =考点：本题主要考查余弦定理的应用。
点评：简单题，从已知出发，结合余弦定理求cosC.26【解析】，sinA=，则根据正弦定理可知考点：正弦定理点评：本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型．27．15o或75o【解析】试题分析：，3又c>b，∴60120C=或，又180A B C++= ，∴A＝15o或75o考点：本题考查了正弦定理的运用点评：一般地，已知两边和其中一边的对角应用正弦定理解三角形，有两解、一解、无解三种情况.应注意讨论28．【解析】试题分析：依题意得，222222222222213,49,594a b c ca cbc c cc b a c⎧⎧+>>⎪⎪+>+><<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩⎩，故边长c的取值范围是。