初等几何研究第一章习题的答案(1)
初等几何研究答案
又∵AB 上还有两点 C,D 满足条件, 即 CA:CB=DA:DB=m, ∴轨迹应是以 CD 为直径的圆.
M
A
CB
D
②完备性：即由 MA:MB=m 证明 M 在 CD 为直径的圆上.
∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, ∴MC,MD 分别为⊿ABM 的内角和外角平分线, ∴MC⊥MD. (5 分)
4、以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们
相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？
命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
5、欧氏几何公理系统中，不加定义的原始概念有哪些？对它们为什么不加定义？
已知：BC 是定线段，l 是过 B 点的定直线，A 是 l 上的动点，O 是⊿ABC 的外心，MN 是 BC 的中垂线，求证：O
的轨迹是 MN. (2 分) ① 完备性：O 是⊿ABC 的外心，则 OA=OB=OC.
又∵MN 是 BC 的中垂线，∴O 点必在 MN 上. ②纯粹性：在 MN 上任取一点 O,作 OP⊥l,
3、 到两定点 A、B 的距离之比为正实数 m（m≠1）之点的轨迹是一个圆.
若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案
一.填空题
1.①射线(或半直线),②。
2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。
3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。
4.①平移,②旋转,③轴对称、
5.
1=⋅⋅ZB
AZ
YA CY XC BX 。 6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。 7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、
10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11.
1=⋅⋅ZB
AZ
YA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、
17.1
=⋅⋅ZB AZ
YA CY XC BX (或－1)、
18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、
20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等
21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。
24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题
1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型;
2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A '');
几何第一册第一章《线段、角》测试题及答案
A
M
NB
（A）AM＝a
（B）AN＝2a－b
（C）MN＝a－b
（D）MN＝ 1 a 2
【提示】
由“M 是线段 AB 的中点，AB＝2a”，可得 AM＝MB＝ 1 AB＝a． 2
【答案】
D．
5．下列说法中正确的是…………………………………………………………（ ）
【提示】
两条不同的直线，如果它们有一个公共点，我们就说它们相交，若两条直线相交，
有两个公共点，那么根据直线公理：经过两点有且只有一条直线，则这两条直线实际上
是同一条直线了．同样两条不同的直线不能有三个或更多的公共点．
【答案】
√．
5．两条射线组成的图形叫做角……………………………………………………（ ）
【答案】
线段中点的定义，角平分线的定义，平角的定义，同角的余角相等．
【点评】
定义性质是推理的依据，要学会定义、性质的符号表达式，为后面的进一步学习做
好准备．
三、选择题（每小题 2 分，共 16 分）
1．如图，B、C、D 是射线 AM 上的一个点，则图中的射线有………………（ ）
（A）6 条 （B）5 条 （C）4 条 （D）1 条
（1）
（2）
因此，平面内经过三点中每两个的直线可以是同一条，也可以是三条，必须把上面
初等数学研究答案1
初等数学研究答案1
习题一
1答：原那么：〔1〕A ⊂B
〔2〕A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。而且关
于A 的元历来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全分歧。 〔3〕在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能实施。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原那么的最小扩展,而且由A 独
一确定。
方式：〔1〕添加元素法；〔2〕结构法
2证明:(1)设命题能成立的一切c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假定bc ac M c =∈，即，那么M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归结公理知M=N ，所以命题对恣意自然数c 成立。
〔2〕假定a <b ，那么bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，
，由，使得 那么ac<bc 。
〔3〕假定a>b ，那么ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得
那么ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：假定b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。当a >b 时，由乘
法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。那么a=b 。
〔2〕用反证法：假定b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。当a >b 时，
由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。那么a <b 。
初等几何研究答案
初等几何研究1.
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初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案
一．填空题
1．①射线（或半直线），②。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。 4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．
1=⋅⋅ZB
AZ
YA CY XC BX 。 6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。 7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.
10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．
1=⋅⋅ZB
AZ
YA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.
17．1=⋅⋅ZB AZ
YA CY XC BX （或－1）.
18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.
20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等
21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。
24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题
1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；
初等几何研究课后题答案
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初等几何研究第一章习题的答案（1）
初等⼏何研究第⼀章习题的答案（1）
初等⼏何研究试题答案
⼀、线段与⾓的相等 P491
1. ⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B,⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E,⊙O2的弦BD 交⊙O 1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC 、AE 、AF 、AD
在⊙O 1中,由∠CBA=∠DBA 得AC=AF 在⊙O 2中,由∠CBA=∠DBA 得AE=AD 由A 、C 、B 、E 四点共圆得∠1=∠2 由A 、D 、B 、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE ≌△AF ∴DF=CE
(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE ≌△AFD ∴AD=AE
在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA
2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的⼀点,AE ⊥BD 的延长线于E,⼜AE=1
2
BD,求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F
AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF
ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11
AE BD AE AF
22
ABEE BE BE ABF BD ABC
∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴∴==∴=⊥∴∠∠⼜⼜⼜平分即平分
3.已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.
证明:连接BD,得ΔCBD 是等腰三⾓形
初等几何研究参考答案
初等几何研究参考答案
初等几何是数学中的一门基础学科，它研究的是平面和空间中的点、线、面以
及它们之间的关系。在学习初等几何的过程中，我们经常会遇到各种问题和难题，而参考答案则是我们解决问题的重要工具之一。本文将探讨初等几何研究
中的参考答案，并探讨其在学习过程中的作用和意义。
初等几何的参考答案是指针对具体问题给出的解答或解决方法。它可以帮助我
们验证自己的解答是否正确，也可以作为我们学习的参考和借鉴。在学习初等
几何的过程中，我们经常会遇到一些难题，有时候我们可能会陷入困境，不知
道如何下手。这时，参考答案就可以给我们提供一个思路和解题的方法，帮助
我们更好地理解和掌握知识。
参考答案不仅仅是解答问题的工具，它还能够帮助我们培养一些重要的数学思
维和解决问题的能力。在初等几何中，我们需要运用一些基本的几何知识和定
理来解决问题，而参考答案则可以帮助我们理清思路，找到解决问题的关键点。通过参考答案的学习和借鉴，我们可以提高我们的分析和推理能力，培养我们
的逻辑思维和数学思维。
然而，我们在使用参考答案的时候也需要注意一些问题。首先，我们不能完全
依赖于参考答案，而应该注重自己的思考和独立解题能力。参考答案只是给出
了一种解答方法，我们需要通过自己的思考来理解和掌握这个方法，并且能够
灵活运用到其他类似的问题中。其次，我们需要对参考答案进行深入的分析和
思考，而不仅仅是简单地照搬答案。通过自己的思考和分析，我们可以更好地
理解问题的本质和解题的思路，从而提高我们的数学能力。
在学习初等几何的过程中，我们还可以通过参考答案来进行自我评估和提高。
初等数学研究答案第一章到第六章
大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一
1答：原则：（1）A ⊂B
（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对
于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一
确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法
2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11
b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设b
c ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，
由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。
（3）若a>b ，则ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。当a >b 时，由乘法
单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。则a=b 。
（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。当a >b 时，由
乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。则
第1章习题解答
第1章习题解答
1.4 计算下列标量场u 的梯度u ∇：
（1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x
y z x y z u u u
u e e e e xy z e x y z e x y z x y z
∂∂∂∇=++=++∂∂∂ （2）()()()x
y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ∂∂∂∇=++=+++++∂∂∂ （3）646x
y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z
∂∂∂∇=++=-+∂∂∂ 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导
数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x
y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ∂∂∂∇=++=+++∂∂∂ 因为410x
y z x y z A
f f f
f
e e e e e e x y z
∂
∂∂∇=++=++∂∂∂ 所以
()
max
410117l x y
z f
e e e e l ∂==++∂
()
min
410117l x y z f e e e e l
∂==-++∂
1.10 求下列矢量场在给定点的散度值：
（1）()
x y z A xyz e x e y e z =++在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++在()1,1,3M 处； （3）()()
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案
一．填空题
1．①射线（或半直线），②。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。 4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．
1=⋅⋅ZB
AZ
YA CY XC BX 。 6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。 7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.
10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．
1=⋅⋅ZB
AZ
YA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.
17．1=⋅⋅ZB AZ
YA CY XC BX （或－1）.
18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.
20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等
21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。
24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题
1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；
初等数学研究习题解答
《初等数学研究》习题解答
第一章 数系
1.1 集合论初步·自然数的基数理论
习题1.1
1．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C = 证明：()x A
B C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈）
，那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以
()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆
反过来：()()x A
B A
C x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者
x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应
是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以及前后关系
有“x A ∈或x B
C ∈”即()x A B C ∈，
所以()()()()x A
B C A B C A B A C ∈⇒⊇
所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C
有2个元素，那么()B
A C -有几个元素？
解：集合()B
A C -如图1所示：由于
452(),(),()r C r B r B C ===，
所以32(),()r B C r C B -=-=， 从而1028(())r B A C -=-=， 即()B
第一章习题解答
第一章习题
1.证明：
(1) (A -B )-C =A -(B ∪C ); （2）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C ). 证明：(1) 左=(A ∩B c )∩C c =A ∩(B c ∩C c )= A ∩(B ∪C )c =右； （2）左=(A ∪B )∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=右. 2.证明：
(1)
();(2)().I
I
I
I
A B A B A B A B αααααααα
∈∈∈∈-=--=- (1)c c I I A B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭
证明：左（）右；
(2)()c c I I A B A B αααα∈∈⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
左右.
1
111
1
1
.{},,1.{}1.n n n n n n
n
A B A B A A n B B A n ν
ννννν
-===⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
>=≤≤∞ 3 设是一列集合，作证明：是一列互不相交的集合，而且，
证明：用数学归纳法。当n=2时，B 1=A 1,B 2=A 2-A 1, 显然
121212B B B B B B n k =∅== 且，假设当时命题成立，
121
1
,,,k
k
k B B B B A νννν=== 两两互不相交，而且，
111
111
1
1
1k
k k k k k
k k n k B A A B A B A B ν
ννννννν++=++====+=-==-⇒
下证，当时命题成立，因为而，所以
11211
+1
1111
11
11111
1
,,,;k
k k k k k
k k k k k k
初等几何研究答案
初等几何研究1.
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初等代数研究第一章课后答案
初等代数研究第一章课后答案
1．对于阖其各自属于实数的解，其有限解总数是什么？
答：对于一个方程有n个未知数的情况，若其各自属于实数，其有限
解总数就是n个实数的组合数。
2．多项式的降幂性质是什么？
答：多项式的降幂性质是指把多项式的次方降低，可以说出此多项式
的系数与高次幂的多项式的系数之间存在特殊的关系。
3．方程的求根方法有哪些？
答：方程的求根方法有移项法、分式法、因式分解法、求根公式法、
四则运算法、代数位移法和零点求取法等。
4．展开某一代数式有什么用处？
答：展开某一代数式是用来求该多项式的某一特定幂次的系数，并可
以帮助我们在后续不同多项式的乘积和幂次的降低中得到精确的结果。