《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第八章-4

五、离散时间系统的 Z 域分析
y(k + 2) + a1 y(k +1) + a0 y(k) = b2e(k + 2) + b1e(k +1) + b0e(k) b2 z2 + b1z + b0 H (z) = 2 z + a1z + a0
( z 2 + a1 z + a0 )Yzi ( z ) − y zi (0) z 2 − y zi (1) z − a1 y zi (0) z = 0
第八章 离散时间系统的变换域分析 六、离散时间系统的频率响应
连续系统 s= jω 系统函数 H(s) → H( jω) 频率响应特性
= H ( jω ) e
jϕ (ω )
H ( jω ) — 幅频特性 ϕ (ω ) — 相频特性
离散系统： 频率特性？ 离散系统：已知系统函数 H (z ) ，频率特性？
∏ Bi = 幅频特性： H ( e jω T ) = bm i n 1 Ar L ( 2 ) ∏ r =1 m n 相频特性： ϕ (ω ) = ∑ β i − ∑ α r i =1 r =1
m
Im[z]
Q
B1 β1
A1
α
1
N -1
ejωT p1 M α 0 2 1 p2
Q
ejωT
A1
ω 作图时要把握好零点、谐振点、 作图时要把握好零点、谐振点、 T 点的值，把发展趋势画出来。 点的值，把发展趋势画出来。
ωT A1 A2 B1
π
0
2
1 3 3 2
=π
A2
B1 β1 Z1=0
α1 P1=2/3
nπ
H (e jω )
-1
α2 P2=-1/2 0
2nπ R [z] e
1
1
Q
Im[z]
e 2 1 jω T − )( e + ) 3 2
作出矢量图
A2 B1
ejωT
A1
nπ
-1
P2=1/2
α2
β1 0 Z1=0
α1 P1=2/3
2nπ Re[z]
1
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第八章 离散时间系统的变换域分析
B1 j(β1 −α1 −α2 ) jωT 则 H(e ) = e A A2 1
Im[z]
六 、离散时间系统系统函数与系统的稳定性 稳定系统的 H(z) 收敛域应包含单位圆在内。 收敛域应包含单位圆在内。 对于稳定的因果系统其全部极点应在单位圆内。 对于稳定的因果系统其全部极点应在单位圆内。
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H (e jωT ) =
H ( z) =
b0 z 2 + a1 z + a0
jωT
则频率响应特性： 则频率响应特性： H (e jωT ) = H ( z ) z =e
b0 (Cos2ωT + a1CosωT + a0 ) 2 + (Sin2ωT + a1 SinωT ) 2
b0 b0 = e j2ωT + a1e jωT + a0 (Cos ωT + a1Cos T + a0 ) + j(Sin2ωT + a1SinωT) 2 ω
频响特性的周期是DTS区别于 区别于CTS的一个重要特点。 的一个重要特点。 频响特性的周期是 区别于 的一个重要特点
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第八章 离散时间系统的变换域分析
jωT 讨论： ϕ 讨论：① H(e )是的 ω 偶函数， (ω) 是ω 的奇函数 偶函数，
② 因为 e
jωT
(= CosωT + jSinωT )是 ω 的周期函数
变换： 又 h(k) 的 z 变换： H ( z) =
k =−∞
jωT
jωTk
h(k ) z −k ∑
∞
比较可见： H(e jωT ) = H(z) z=e jωT 比较可见：
H(ejωT ) = H(ejωT )ejϕ(ω)
幅频特性 ： H (e jωT ) ~ ω 相频特性 ： ϕ (ω ) = arctgH (e jωT ) ~ ω 例1 已知描述某离散系统的差分方程为 y (k + 1) − a1 y (k ) = e(k + 1) (0<a1<1), 试求该系统的频 响特性。 响特性。 z 解：系统函数为 H(z) = z −a1 2
Yzs ( z ) = H ( z ) E ( z )
变换（ 的诸项）： 也可直接对方程取 z 变换（消去有关激励信号初始值 e(0)、e(1) 的诸项）：
( z 2 + a1 z + a0 )Y ( z ) − y zi (0) z 2 − y zi (1) z − a1 y zi (0) z = (b2 z 2 + b1 z + b0 ) E ( z )
第八章 离散时间系统的变换域分析
频响特性为
H ( e jω T ) = H ( z ) z = e jω T
=
=
jωT
e e jωT (1− a1e− jωT )
e jω T = jω T e − a1
-ωs ωs 2
1 |H(e jωT )| 1-a1 1 1+a1
ωs 2
ωs
ω
1 (1− a1 cosωT ) + ja1 sinωT
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第八章 离散时间系统的变换域分析
例 已知系统函数
H (z) = z 2 1 ( z − )( z + ) 3 2
粗略画出系统的幅频特性曲线(用几何作图法 。 粗略画出系统的幅频特性曲线 用几何作图法)。 用几何作图法 解：先求系统频响特性函数 jω T
H ( e jω T ) = H ( z ) z = e jω T = ( e jω T
−k
a< z <b
z >a
二、z 变换的性质 三、 反z变换 变换 （一）幂级数展开法 （长除法） 长除法） 因果序列、有始序列， 降幂排列, 因果序列、有始序列，按 z 降幂排列 左边序列按 z升幂排列 升幂排列 （二）部分分式展开法 基本形式 z ↔ γ k ε (k )
z −γ
（三）留数法（围线积分法） 留数法（围线积分法）
（一）系统的频率响应特性与系统函数的关系
零状态响应： 零状态响应：yzs (k) = ∑h(n)e(k − n)
n=−∞ ∞
e(k ) = e jωTk 离散的指数序列） 考虑 （离散的指数序列）
yzs (k ) =
n=−∞
∞
∑h(n)e
n = −∞
∞
jωT ( k −n)
=e
Tk
n=−∞
− jωTn
Re[z]
S平面中的虚轴映射到 平面为一单位圆 平面中的虚轴映射到Z平面为一单位圆 平面中的虚轴映射到 平面中的一点由原点jω 沿 轴正方向移动时， 当S平面中的一点由原点 =0沿jω轴正方向移动时， 平面中的一点由原点 平面中的点即由z=1点沿单位圆逆时针方向移动。 点沿单位圆逆时针方向移动。 在 z 平面中的点即由 点沿单位圆逆时针方向移动 几何作图法： 几何作图法： 值求出差矢量， 由（1）式用矢量作图法可对每一 ） 值求出差矢量， ω 然后再代入（ ）式得幅频响应及相频响应的各样点值。 然后再代入（2）式得幅频响应及相频响应的各样点值。
设 H(z) 只含单阶极点和零点
bm ∏ ( z − zi )
i =1 m
bm (z − z1)(z − z2 )L(z − zm ) = (z − p1)(z − p2 )L(z − pn )
=
∏(z − p )
r r =1
n
频响特性： 频响特性：
H (e jωT ) = bm (e jωT − z i ) ∏ (e jωT − p r ) ∏
Sin 2ωT + a1 Sin ωT ϕ (ω ) = − arctg Cos 2ωT + a1Cos ωT + a 0
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第八章 离散时间系统的变换域分析
(二）频率响应特性曲线的几何作图法 频率响应特性曲线的几何作图法
bm zm + bm−1z m−1 +L+ b1z + b0 H (z) = n z + an−1z n−1 +L+ a1z + a0
2
H ( e jω )
2
1.21.1 1 0.74
5 3 1 2
π
1
1.2
1 .2
0 . 74
0
π
2π
ωT
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第八章 离散时间系统的变换域分析
本章小结
一、 z变换的定义及收敛域 变换的定义及收敛域 ∞
∑ F ( z ) = ∑ f (k ) z
F ( z) =
k ∞−∞ = k =0
f (k ) z −k
− ∑ Re s[ F ( z ) z k −1 ]，k < 0( f l (k )) C外极点 f (k ) = k −1 ∑ Re s[ F ( z ) z ], k ≥ 0( f r (k )) C内极点
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第八章 离散时间系统的变换域分析
四、Z 变换与拉普拉斯变换的关系
zF(s) F(z) = ∑Res[ ] sT s=si z −e i
Φ(ω) π 2 ωs 2 ωs 2 ω ωs
于是幅频特性为
H (e
jωT
)=
1 1 + a1 2 − 2a1 cos ωT
-ωs
相频特性为
a sin ω T ϕ (ω ) = − arg tg 1 1 − a1 cos ω T