2000年普通高等学校招生全国统一考试(北京、安徽)数学(理工农医类)

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2000年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000年春季高考.北京、安徽卷.理科数学试题及答案

绝密★启用前2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共14小题；第(1)─(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)z=3+i z=1-i z=z z复数，，则·在复平面内的对应点位于[ ] 1212A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限是 []（3）双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 [ ](4)曲线xy=1的参数方程是 [ ]⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==-.,D sec ,cos C csc sin B A 2121ctga y tga x a y a x a y a x t y t x ．．．． (5)一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是[ ]A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．2∶9(6)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系是 [ ]A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．重合(7)函数y=lg|x| [ ]A ．是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减(8)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有A ．120个B ．480个C ．720个D ．840个(9)椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线距离是 [ ](12)设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确．．．的是[ ][ ]A．b∈(-∞,0) B．b∈(0,1) C．b∈(1,2) D．b∈(2,+∞)第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1．第Ⅰ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2．答卷前将密封线内的项目写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16)下图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是______．(18)在空间，下列命题正确的是______．（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b②如果直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么a⊥β④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(19)（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c．证明：=a（如图一），将△ADC沿AC折起，使D到D′．记面ACD′为α，面ABC 为β，面BCD′为γ．(Ⅰ)若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小；(Ⅱ)若二面角α-AC-β为60°（如图三），求三棱锥D′-ABC的体积．(21)（本小题满分12分）设函数f(x)=|lgx|，若0＜a＜b，且(a)＞f(b)，证明：ab＜1.(22)（本小题满分12分）知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．(23)（本小题满分12分）某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ，年用电量为akW ·h ，本年度计划将电价降到0.55元/kW ·h 至0.75元/kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW ·h ，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k ）．该地区电力的成本价为0.3元/kW ·h ．(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(Ⅱ)设k=0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)）(24)（本小题满分14分）()x [0,12),x 01Ⅲ若求∈==f x f x x x (),(),.0100绝密★启用前2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

2000年全国高考数学试题(新课程卷理工农医类)江西天津(附解答)

2000年全国高考数学试题(新课程卷/理工农医类)（江西天津）一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的⑴设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,1⑵在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（A ）23 （B ）i 32- （C ）i 33- （D ）3i 3+⑶一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 ⑷设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①()()0=⋅-⋅b a c c b a ； ②b a b a -<-③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直 ④()()22492323b a b a b a ==-⋅+中，是真命题的有（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④⑸函数x x y cos -=的部分图象是⑹《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800此项税款按下表分段累进计算：（A ） 800~900元（B ）900~1200元（C ）1200~1500元（D ）1500~2800元⑺若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q ⑻右图中阴影部分的面积是（A ）32 （B ）329- （C ）332 （D ）335 ⑼一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ ⑽过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x 33 （D ）x 33- ⑾过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q p 11+等于（A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4⑿如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A ）321arccos （B ）21arccos （C ）21arccos（D ）421arccos二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上⒀某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品ξ的概率分布是⒁椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________⒂设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a na na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________⒃如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B B C C 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤⒄（本小题满分10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个甲、乙二人依次各抽一题（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（18甲）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC -111C B A ，底面ΔABC 中，CA=CB=1，BCA= 90，棱1AA =2，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点（I ）求的长；（II ）求1cos BA <，1CB >的值；（III ）求证M C B A 11⊥（18乙）（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且=∠=∠=∠6011BCD CD C CB C(Ⅰ)证明：C C 1⊥BD ；(Ⅱ)假定CD=2，C C 1=23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；(Ⅲ)当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明（19）（本小题满分12分）设函数()ax x x f -+=12，其中>a(Ⅰ)解不等式()1≤x f ；(Ⅱ)求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数（20）（本小题满分12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积（21）（本小题满分12分）(Ⅰ)已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数(Ⅱ)设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围2000年全国高考数学试题(新课程卷/理工农医类)参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分（1）B （2）B （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（13）（14）553<<-x （15）n（16）②③三、解答题（5满分10分解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C 19C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为154191101416=C C C C ，所求概率为154； ——5分（II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C CC ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为15131191101314=-C C C C 15或 +191101516C C C C +191101416C C C C 191101614C C C C 151315415431=++=15 ——10分（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识12分如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -（I ）解：依题意得B ()0 ,1 ,0，N ()1 ,0 ,1，∴()()()3011001222=-+-+-=——2分（II ）解：依题意得1A ()2 ,0 ,1，B ()0 ,1 ,0，C ()0 ,0 ,0，1B (2 ,1 ,0 ∴ ()2 ,1 ,11-=BA ，(2 ,1 ,01=CB⋅1BA 1=CB 6=5= ——5分∴ <cos ⋅1BA 301011==>CB ——9分（III ）证明：依题意得1C ()2 ,0 ,0，M ⎪⎭⎫⎝⎛2 ,21 ,21=A 1()2 ,1 ,1--，=C 1⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,21,21 ，∴ ⋅A 1=C 1002121=++-，∴⊥ 1A C 1 ——12分（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力12分（I ）证明：连结11C A 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结C 1∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC=CD又∵ C C C C DCC BCC 1111 , =∠=∠， ∴ DC C BC C 11∆≅∆， ∴ D C B C 11=， ∵ DO=OB ，∴ ⊥O C 1BD ， ——2分但 AC ⊥BD ，AC ∩O C 1=O ， ∴ BD ⊥平面1AC又 ⊂C C 1平面1AC ，∴ ⊥C C 1BD ——4分（II ）解：由（I ）知AC ⊥BD ，⊥O C 1BD ， ∴ OC C 1∠是平面角βα--BD 的平面角在BC C 1∆中，BC=2，231=C C ， 601=∠BCC ， ∴ 460cos 23222322221=⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B C ——6分 ∵ ∠OCB= 30， ∴ OB=21BC=1∴ 49141322121=-=-=OB B C O C ， ∴ 231=O C 即C C O C 11= 作H C 1⊥OC ，垂足为H ∴ 点H 是OC 的中点，且OH 23=，所以 33cos 11==∠O C OH OC C ——8分（III ）当11=CC CD时，能使C A 1⊥平面BD C 1 证明一： ∵11=CC CD， ∴ BC=CD=C C 1，又 CD C CB C BCD 11∠=∠=∠，由此可推得BD=C B C 11=∴ 三棱锥C- BD C 1是正三棱锥 ——10分设C A 1与O C 1相交于G∵ 11C A ∥AC ，且11C A ∶OC=2∶1， ∴ G A 1∶GO=2∶1又 O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形BD C 1的中心，∴ CG ⊥平面BD C 1即 C A 1⊥平面BD C 1 ——12分证明二：由（I ）知，BD ⊥平面1AC ，∵ C A 1⊂平面1AC ，∴ BD ⊥C A 1 ——10分当11=CC CD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥C A 1的证法可得1BC ⊥C A 1 又 BD ∩1BC =B ，∴C A 1⊥平面BD C 1 ——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力满分12分解：（I ）不等式()1≤x f 即ax x +≤+112，由此可得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数>a 所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+0,1122x ax x即 ()⎩⎨⎧≥+-≥02102a x ax ——3分所以，当10<<a 时，所给不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ；当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x ——6分（II ）在区间[)+∞,0上任取1x ，2x ，使得1x <x()()()2122212111x x a x x x f x f --+-+=- ()212221222111x x a x x x x --+++-=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-=a x x x x x x 1122212121 ——8分（i ）当1≥a 时， ∵111222121<++++x x x x ， ∴011222121<-++++a x x x x又 021<-x x ， ∴ ()()021>-x f x f ，即 ()(21x f x f >所以，当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调递减函数 ——10分（ii ）当10<<a 时，在区间[)+∞,0上存在两点01=x ，2212a ax -=，满足()11=x f ，()12=x f ，即()=1x f ()2x f ，所以函数()x f 在区间[)+∞,0上不是单调函数综上，当且仅当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数——12分（20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识满分12分解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()5.0+x m ，高为()x x x 22.345.0448.14-=+--由022.3>-x 和0>x ，得6.10<<x ，设容器的容积为3ym ，则有()()x x x y 22.35.0-+= ()6.10<<x 整理，得x x x y 6.12.2223++-=， ——4分 ∴ 6.14.462++-='x x y ——6分令0='y ，有06.14.462=++-x x ，即 0411152=--x x ，解得 11=x ，1542-=x （不合题意，舍去） ——8分从而，在定义域（0，1，6）内只有在1=x 处使='y 由题意，若x 过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y 值很小（接近0），因此，当1=x 时y 取得最大值，8.16.12.22=++-=最大值y ，这时，高为.1122.3=⨯-答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为38.1m ——12分（21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力12 分解：（I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有 ()()()11221-+++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，将n n n c 32+=代入上式，得 ()[]2113232n n n n p +-+++=()[]()[]112111132323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ， ——3分即 ()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ，整理得()()0323261=⋅⋅--n n p p ，解得 p =2或p =3 ——6分（II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，n n n b a c +=为证{}n c 不是等比数列只需证122c c c ⋅≠ 事实上， ()pq b a q b p a q b p a c 11221221211222++=+=， =⋅31c c ()()(2211221221212111q p b a q b p a q b p a b a +++=++由于 q p ≠，pq q p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列 ——12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力满分14分解：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称 ——2分普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高由定比分点坐标公式得()()122120+-=++-=λλλλc c c x ， λλ+=10h y 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a e = 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a c e =代入双曲线方程得 14222=-bh e ， ① 11124222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ ② ——7分由①式得 14222-=e bh ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故 1312+-=e λ ——10分由题设4332≤≤λ得，4231322≤+-≤e 解得 107≤≤e 所以双曲线的离心率的取值范围为[]10, 7——14分。

2000年全国Ⅱ高考数学试题(理)

2000年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{}(,)|,x y x R y R ∈∈，映射:f A B →把集合A 中的元素(,)x y 映射成集合B 中的元素(,)x y x y +-，则在映射f 下，象(2,1)的原象是A ．()3,1B ．31,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,32．在复平面内，把复数3对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是 A．B．-C3iD．3+3A．B．CD ．64．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①()()0a b c c a b ⋅-⋅=；②||||||a b a b -<-；③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直；④22(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-中，真命题的有A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④5．函数cos y x x =-的部分图像是2x 26．《中华人民共和国所得税法》元宝，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额，税率不超过500元的部分5％，超过500元到2000元的部分，10％超过2000元到5000元的部分15％……，某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A．800～900元B．900～1200元C．1200～1500元D．1500～2800元7．若1a b>>，P=，1(lg lg)2Q a b=+，lg2a bR+⎛⎫=⎝，则A．R P Q<<B．P Q R<<C．Q P R<<D．P R Q<<8．右图中阴影部分的面积是A．B．9-C．323D．3539．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A．122ππ+B．144ππ+C．12ππ+D．142ππ+10．过原点的直线与圆22430x y x+++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A．y=B．y=C．y x=D．y x=11．过抛物线2(0)y ax a=>的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则11p q+等于A．2a B．12aC．4a D．14a12．如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为AOABCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数ξ的概率分别是14．椭圆22194x y+=的焦点为1F ，2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是． 15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+== ，则它的通项公式是n a ＝．16．如图，E ，F 分别为正方体的面11ADD A ，面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都填上）①② ③ ④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）甲、乙二人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题有6个，判断题有4个．甲、乙二人依次各抽一题．（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？18．（本小题满分12分）（甲）如图，直三棱柱111ABC A B C -，底面△ABC 中，1CA CB ==，90BCA ∠= ，棱12AA =，M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点．A BC DE F A 1B 1C 1D 1（1）求BN的长；（2）求11cos ,BA CB <>的值；（2）求证：11A B C M ⊥．18．（本小题满分12分）（乙）如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面A B C D 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=．（1）证明：1C C BD ⊥；（2）假定2CD =，132C C =，记面1C BD 为α，面CBD 为β，求二面角BD αβ--的平面角的余弦值；（3）当1CDCC 的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明． 19．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0a >．（1）解不等式()1f x ≤；（2）求a 的取值范围，使函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调函数．20．（本小题满分12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．21．（本小题满分12分）（1）已知数列{}n c ，其中23n n n c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ．（1）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明数列{}n c 不是等比数列．22．（本小题满分12分）如图，已知梯形ABCD 中||2||AB CD =，点E 满足AE EC λ=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B为焦点，当2334λ≤≤时，求双曲线离心率e 的取值范围． ABC NMA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 1D 1DAB CDE数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．2000年全国普通高等学校招生统一考试江西、天津卷数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B （2）B （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A (10) C (11)C (12) D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. （13）（14）5353<<-x（15）n1（16）②③三、解答题（5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分10分.解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有110C 19C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为154191101416=C C C C ，所求概率为154； ——5分（II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C CC ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择ξ0 1 2 p0.90250.0950.0025题的概率为15131191101314=-C C C C ，所求概率为1513.或+191101516C C C C +191101416C C C C 191101614C C C C 151315415431=++=，所求概率为1513. ——10分注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分. （18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识.满分12分. 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.（I ）解：依题意得B ()0 ,1 ,0，N ()1 ,0 ,1，()()()3011001222=-+-+-=——2分（II ）解：依题意得1A ()2 ,0 ,1，B ()0 ,1 ,0，C ()0 ,0 ,0，1B ()2 ,1 ,0. ∴()2 ,1 ,11-=BA ，()2 ,1 ,01=CB .⋅1BA 31=CB6=5=.——5分 ∴<cos ⋅1BA 301011=>CB——9分（III ）证明：依题意得1C ()2 ,0 ,0，M ⎪⎭⎫⎝⎛2 ,21 ,21=A 1()2 ,1 ,1--，=C 1⎪⎭⎫⎝⎛0 ,21 ,21 ，∴ ⋅A 1=C 1002121=++-，∴⊥ 1A C 1 ， ∴A 1B ⊥C 1M . ——12分（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力.满分12分. （I ）证明：连结11C A 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结O C 1. ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC =CD .又∵ C C C C DCC BCC 1111 , =∠=∠，∴ DC C BC C 11∆≅∆， ∴ D C B C 11=，∵ DO =OB ，∴ ⊥O C 1BD ， ——2分但 AC ⊥BD ，AC ∩O C1=O ，∴ BD ⊥平面1AC .又 ⊂C C 1平面1AC ，∴ ⊥C C 1BD .——4分（II ）解：由（I ）知AC ⊥BD ，⊥O C 1BD ，∴ OC C 1∠是二面角βα--BD 的平面角. 在BC C 1∆中，BC =2，231=C C ， 601=∠BCC ， ∴ 41360cos 23222322221=⨯⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+= B C .——6分∵ ∠OCB = 30，∴ OB =21BC =1.∴ 49141322121=-=-=OB B C O C ，∴ 231=O C 即C C O C 11=.作H C 1⊥OC ，垂足为H.∴ 点H 是OC 的中点，且OH 23=，所以 33cos 11==∠O C OH OC C .——8分（III ）当11=CC CD时，能使C A 1⊥平面BD C 1. 证法一：∵11=CC CD，∴ BC =CD =C C 1，又 CD C CB C BCD 11∠=∠=∠，由此可推得BD =D C B C 11=.∴三棱锥C - BD C 1是正三棱锥——10分设C A 1与O C 1相交于G .∵11C A ∥AC ，且11C A ∶OC =2∶1，∴G C 1∶GO =2∶1.又O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线，∴点G 是正三角形BD C 1的中心， ∴CG ⊥平面BD C 1.即C A 1⊥平面BD C 1——12分证法二：由（I ）知，BD ⊥平面1AC ，∵C A 1⊂平面1AC ，∴BD ⊥C A 1. ——10分当11=CC CD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥C A 1的证法可得1BC ⊥C A 1. 又 BD ∩1BC =B ，∴C A 1⊥平面BD C 1.——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分.思路1：（I ）不等式()1≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0>a .所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+.0, 1122x ax x 即()⎩⎨⎧≥+-≥02102a x a x——3分所以，当10<<a 时，所给不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ；当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x .——6分（II ）在区间[)+∞,0上任取1x ，2x ，使得1x <2x .()()21x f x f -()21222111x x a x x --+-+=()212221222111x x a x x x x --+++-=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-=a x x x x x x 1122212121. ——8分（i ）当1≥a 时， ∵111222121<++++x x x x ，∴011222121<-++++a x x x x ，又021<-x x ，∴()()021>-x f x f ，即()()21x f x f >.所以，当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调递减函数. ——10分（ii ）当10<<a 时，在区间[)+∞,0上存在两点01=x ，2212aax -=，满足 ()11=x f ，()12=x f ，即()=1x f ()2x f ，所以函数()x f 在区间[)+∞,0上不是单调函数.综上，当且仅当1≥a 时，函数()x f 为区间[)+∞,0上的单调函数. ——12分思路2：.1)(2a x x x f -+=——4分(i)当1≥a 时，有.112a x x≤<+，此时0)(/<x f .函数)(x f 在区间（—∞,+∞）上是单调递减函数. 但f (0)=1,因此，当且仅当x ≥0时f (x )≤1 ——8分(ii)当０＜a ＜1时：解不等式0)(/<x f 得21a a x -<，f (x )在区间⎥⎦⎤⎝⎛-∞-21,a a上是单调递减函数；同理，解不等式0)(/>x f 得21a ax ->，f (x )在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞+-，21a a 上是单调递增函数.解方程f (x )=1得 2120aax x -==或. 因为221210aaa a -<-<，所以，当且仅当1)(1202≤-≤≤x f a a x 时. 综上：(Ⅰ)当a ≥1时，1)(≤x f 的解集为{}0≥x x ；当０＜a ＜1时 1)(≤x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120a a x x . (Ⅱ)当且仅当a ≥1时，f (x )在区间[0,+∞]上是单调函数.——12分（20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.满分12分.解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()5.0+x m ，高为()x x x 22.345.0448.14-=+--．由022.3>-x 和0>x ，得6.10<<x ，设容器的容积为3ym ，则有()()x x x y 22.35.0-+= ()6.10<<x ．整理，得x x x y 6.12.2223++-=， ——4分 ∴6.14.462++-='x x y ．——6分令0='y ，有06.14.462=++-x x ，即0411152=--x x ，解得11=x ，1542-=x （不合题意，舍去）. ——8分从而，在定义域（0，1.6）内只有在1=x 处使0='y .由题意，若x 过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y 值很小（接近0），因此，当1=x 时y 取得最大值8.16.12.22=++-=最大y ，这时，高为2.1122.3=⨯-.答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为38.1m .——12分（21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力.满分12分. 解：（I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有()()()1122-++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，将n n n c 32+=代入上式，得()[]2113232nn n n p +-+++=()[]()[]11112232323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ——４分即()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ，整理得()()0323261=⋅⋅--n n p p ，解得p =2或p =3. ——８分（II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，p ≠g ,n n n b a c +=.为证{}n c 不是等比数列只需证3122c c c ⋅≠.事实上，()pq b a q b p a q b p a c 11221221211222++=+=，=⋅31c c ()()()2211221221212111q p b a q b p a q b p a b a +++=++.——12分由于q p ≠，pq q p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列. ——14分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.满分14分.解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称. ——2分依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高. 由λ=，即),2(),0000y h x c y c x --=+λ（得λλλλ+=+-=11(2)2(00h y c x ，）．——５分设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ac e =. 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线的方程得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-.111241422222222b h eb h e λλλλ，由①式得14222-=e b h ， ③将③式代入②式，整理得 ()λλ214442+=-e ，故2312+-=e λ. ——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e .解得 107≤≤e . 所以，双曲线的离心率的取值范围为[]10 , 7. ——14分。

2000年全国高考理科数学试题及其解析范文

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 ( ) A ．2B ．3C ． 4D ． 52. 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（） A ．23B ．i 32-C ．i 33-D ．3i 3+3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长是 ( ) A ．23B ．32C ． 6D ．64．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α、β是第二象限角，则βαtg tg >C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α、β是第四象限角，则βαtg tg >5．函数x x y cos -=的部分图像是 ( )6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元7．若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 ( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ． Q <P <RD ． P <R <Q 8．以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρC ． ()1cos 2-=θρD ． ()1sin 2-=θρ9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+ 10．过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A ．x y 3=B ．x y 3-=C ． x y 33=D ． x y 33-= 11．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )A ．a 2B ．a 21C ． a 4D ．a412．如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 ( ) A ．321arccosB ．21arccosC ． 21arccos D ． 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)14．椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是________15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______16．如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？18． (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD=2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； (III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．19． (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ． (I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．20． (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；(II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．21． (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)22． (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③ 三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y=21cos 2x ＋23sinxcosx ＋1=41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sinxcosx)＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x·sin 6π＋sin2x·cos 6π)＋45=21sin(2x ＋6π)＋45 ——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ，即 x=6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x|x=6π＋kπ，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y=sinx 依次进行如下变换： (i)把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x ＋6π)的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=21sin(2x ＋6π)的图像； (iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y=21cos 2x ＋23sinxcosx ＋1的图像． ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ．∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD=CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B=C 1D ， ∵ DO=OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分但AC ⊥BD ，AC∩C 1O=O ， ∴ BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC=2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． OHGC 1CDA BD 1B 1A 1∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O=23即C 1O= C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH=23，所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC=CD= C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ，由此可推得BD= C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC=2∶1， ∴ C 1G ∶GO=2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，OHGC 1CDA BD 1B 1A 1又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x|0212aax -≤≤}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x|x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f(x 1)－f(x 2)=121+x －122+x －a(x 1－x 2) =1122212221+++-x x x x －a(x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a)． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a<0，又x 1－x 2<0， ∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．所以，当a ≥1时，函数f(x)在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a<1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f(x 1)=1，f(x 2)=1，即f(x 1)=f(x 2)，所以函数f(x)在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≥1时，函数f(x)在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：(Ⅰ)因为{c n+1－pc n }是等比数列，故有（c n+1－pc n ）2=( c n+2－pc n+1)(c n －pc n －1)，将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p(2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n +3n －p(2n －1＋3n －1)]， ——3分即[(2－p)2n +(3－p)3n ]2=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n －1+(3－p)3n －1]，整理得61(2－p)(3－p)·2n ·3n =0，解得p=2或p=3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-300200210252720012000217521200122t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得h(t)=－2001(t －50)2＋100，所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h(t)=－2001(t －350)2＋100 所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分综上，由100>87．5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A(－c ，0)，C(h c ，h)，E(x 0, y 0)，其中c=21|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0=λλ++-12c c = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ．设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ac e =．由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 14222=-b h e ， ①1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b he λλλλ． ②——7分由①式得 14222-=e b h ， ③将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故 2312+-=e λ．——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。

2000年高考新疆(理工农医类)数学

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()hS S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射BA f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素nn+2，则在映射f 下，象20的原象是（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（A ）23（B ）i32- （C ）i33- （D ）3i3+（3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是（A ）23（B ）32（C ）6 （D ）6（4）已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（A ）若α、β是第一象限角，则βαcos cos >（B ）若α、β是第二象限角，则βαtg tg > （C ）若α、β是第三象限角，则βαcos cos >（D ）若α、β是第四象限角，则βαtg tg >（5）函数xx ycos -=的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

2000年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A ={x |x ∈Z 且－10≤x ≤－1}，B ={x |x ∈Z 且|x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( )(A) 11(B) 10(C) 16(D) 15(2) 在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) －23i(C)3－3i (D) 3+3i(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则cos α>cos β (B) 若α、β是第二象限角，则tg α>tg β (C) 若α、β是第三象限角，则cos α>cos β (D) 若α、β是第四象限角，则tg α>tg β (5) 函数y =－x cos x 的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800～900元(B) 900～1200元(C) 1200～1500元(D) 1500～2800元(7) 若a >b >1，P =b a lg lg ⋅，Q =21(lg a +lg b )，R =lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ，则( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围是( )(A) (0，1)(B) (33，3) (C) (33，1) ∪(1，3) (D) (1，3)(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) y =3x(B) y =－3x(C) y =33x (D) y =－33x (11) 过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) 2a(B)a21 (C) 4a (D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 ( )(A)321(B)21 (C)21 (D)421第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有___________种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点．当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________________(15) 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1)21+n a —2n na + a n +1a n =0(n =1，2，3…)，则它的通项公式是a n =_______________(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是________________(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知函数y =3sin x +cos x ，x ∈R ．(Ⅰ)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(Ⅱ)该函数的图像可由y = sin x (x ∈R )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n ．(19) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD －A1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD ．(Ⅰ)证明：C 1C ⊥BD ； (Ⅱ)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．(20) (本小题满分12分)设函数f (x )=12+x －ax ，其中a >0． (Ⅰ)解不等式f (x )≤1；(Ⅱ)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调函数． (21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)5353<<-x (15)n1(16)②③ 三、解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =3sin x +cos x =2(sin x cos 6π+cos x sin 6π) =2sin(x +6π)，x ∈R ——3分 y 取得最大值必须且只需x +6π=ππk 22+，k ∈Z ，即x =ππk 23+，k ∈Z ．所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =3π+2k π，k ∈Z }． ——6分 (Ⅱ)变换的步骤是：(1)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x +6π)的图像； ——9分 (2)令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y =2sin(x +6π)的图像；经过这样的变换就得到函数y =3sin x +cos x 的图像． ——12分 (18)本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+21n (n －1)d ． ∵ S 7=7，S 15=75，∴ ⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ——6分即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a ——8分解得a 1=－2，d =1． ∴()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列{n S n }是等差数列，其首项为－2，公差为21， ∴ n n T n 49412-=． ——12分 (19)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC =CD ．又∵ ∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C =C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ， ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB ，∴ C 1O ⊥BD ， ——3分但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O = O ， ∴ BD ⊥平面AC 1．又 C 1C ⊂平面AC 1，∴ C 1C ⊥BD ． ——6分 (Ⅱ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ．证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD =C 1C ，又∠BCD =∠C 1CB =∠C 1CD ，由此可推得BD =C 1B =C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——9分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1C 1∥AC ，且A 1C 1：OC =2：1， ∴ C 1G ︰GO =2︰1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1， ∵ A 1C ⊂平面AC 1，∴ BD ⊥A 1C ． ——9分当11=CC CD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1C 的证法可得BC 1⊥A 1C ． BD BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (20)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．(Ⅰ) 解：不等式f (x )≤1即12+x ≤1+ax ，由此得1≤1+ax ，即ax ≥0，其中常数a >0．所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+.0,1122x ax x 即()⎩⎨⎧≥+-≥.021,02a x a x ——3分所以，当0<a <1时，所给不等式的解集为{x |0≤x ≤212a a-}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)证明：在区间[)∞+，0上任取x 1、x 2，使得x 1<x 2．f (x 1)－f (x 2)=112221+-+x x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——9分∵11222121++++x x x x <1，且a ≥1，∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)> f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调递减函数． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2+100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2+100，所以，当t =50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2+100，所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5． ——10分综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (2c ，h )，B (c ，0)，其中c 为双曲线的半焦距，c =21|AB |，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c cc x E 19711812118-=+⨯+-=， h hy E 19811811180=+⨯+=．——5分设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =．由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h ac bh a c——10分 ① ②由①式得1412222-⋅=a c bh 代入②式得922=a c 所以，离心率322==a c e ——14分。

2000年高考.全国卷.理科数学试题及答案

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（）（A）2 （B）3（C）4（D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6（D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y＝－xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q（B）P<Q<R（C）Q<P<R（D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ 的长分别是p、q，则等于（A）2a（B）（C）4a（D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000年全国高考理科数学试题及其解析

2000年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 ( ) A ．2B ．3C ． 4D ． 52. 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（） A ．23B ．i 32-C ．i 33-D ．3i 3+3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长是 ( ) A ．23B ．32C ． 6D ．64．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α、β是第二象限角，则βαtg tg >C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α、β是第四象限角，则βαtg tg >5．函数x x y cos -=的部分图像是 ( )6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元7．若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 ( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ． Q <P <RD ． P <R <Q 8．以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρC ． ()1cos 2-=θρD ． ()1sin 2-=θρ9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+ 10．过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A ．x y 3=B ．x y 3-=C ． x y 33=D ． x y 33-= 11．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )A ．a 2B ．a 21C ． a 4D ．a412．如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 ( )A ．321arccosB ．21arccosC ． 21arccos D ． 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)14．椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是________15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______16．如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？18． (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD=2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； (III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．19． (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ． (I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．20． (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；(II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．21． (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)22． (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③ 三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y=21cos 2x ＋23sinxcosx ＋1=41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sinxcosx)＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x·sin 6π＋sin2x·cos 6π)＋45=21sin(2x ＋6π)＋45 ——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ，即 x=6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x|x=6π＋kπ，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y=sinx 依次进行如下变换： (i)把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x ＋6π)的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=21sin(2x ＋6π)的图像； (iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y=21cos 2x ＋23sinxcosx ＋1的图像． ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ．∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD=CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B=C 1D ， ∵ DO=OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分但AC ⊥BD ，AC∩C 1O=O ， ∴ BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC=2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． OHGC 1CDA BD 1B 1A 1∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O=23即C 1O= C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH=23，所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC=CD= C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ，由此可推得BD= C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC=2∶1， ∴ C 1G ∶GO=2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，OHGC 1CDA BD 1B 1A 1又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x|0212aax -≤≤}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x|x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f(x 1)－f(x 2)=121+x －122+x －a(x 1－x 2) =1122212221+++-x x x x －a(x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a)． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a<0，又x 1－x 2<0， ∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．所以，当a ≥1时，函数f(x)在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a<1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f(x 1)=1，f(x 2)=1，即f(x 1)=f(x 2)，所以函数f(x)在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≥1时，函数f(x)在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：(Ⅰ)因为{c n+1－pc n }是等比数列，故有（c n+1－pc n ）2=( c n+2－pc n+1)(c n －pc n －1)，将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p(2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n +3n －p(2n －1＋3n －1)]， ——3分即[(2－p)2n +(3－p)3n ]2=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n －1+(3－p)3n －1]，整理得61(2－p)(3－p)·2n ·3n =0，解得p=2或p=3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-300200210252720012000217521200122t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得h(t)=－2001(t －50)2＋100，所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h(t)=－2001(t －350)2＋100 所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分综上，由100>87．5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A(－c ，0)，C(h c ，h)，E(x 0, y 0)，其中c=21|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0=λλ++-12c c = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ．设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =．由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 14222=-b h e ， ①1112422222=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b he λλλλ． ②——7分由①式得 14222-=e b h ， ③将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故 2312+-=e λ．——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。

2000年高考.全国卷.理科数学试题及答案

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q（B）P<Q<R（C）Q<P<R（D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ 的长分别是p、q，则等于（A）2a（B）（C）4a（D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000年高考北京卷数学(理科)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是( )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(2) 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) i 32-(C)i 33- (D) 3i 3+(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则βαcos cos > (B) 若α、β是第二象限角，则βαtg tg > (C) 若α、β是第三象限角，则βαcos cos > (D) 若α、β是第四象限角，则βαtg tg >(5) 函数x x y cos -=的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800~900元(B) 900~1200元(C) 1200~1500元(D) 1500~2800元(7) 若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 ( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ(B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ(C) ()1cos 2-=θρ(D) ()1sin 2-=θρ(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) x y 3= (B) x y 3-=(C) x y 33=(D) x y 33-=(11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) a 2(B)a 21 (C) a 4(D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( )(A) 321arccos(B) 21arccos (C) 21arccos(D) 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________(15) 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分) 已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；(III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明． (19) (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ． (I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．C 1CDABD 1B 1A 1(20) (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ； (II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．(21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1=41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45=21sin(2x ＋6π)＋45 ——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ，即 x =6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =6π＋k π，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y =sin x 依次进行如下变换：(i)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x ＋6π)的图像； (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =21sin(2x ＋6π)的图像； (iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y =21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图像． ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ， ∴ BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． ∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O =23即C 1O = C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ．OHGC 1CDA BD 1B 1A 1∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23，所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD = C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ，由此可推得BD = C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1， ∴ C 1G ∶GO =2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C 平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．OHGC 1CDA BD 1B 1A 1解：(Ⅰ)不等式f (x ) ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212a ax -≤≤}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2) =1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2<0， ∴ f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212a a-，满足f (x 1)=1，f (x 2)=1，即f (x 1)=f (x 2)，所以函数f (x )在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≤1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：(Ⅰ)因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=( c n +2－pc n+1)(c n －pc n －1)，将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p (2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p (2n +1＋3n +1)]·[2n +3n －p (2n －1＋3n －1)]， ——3分即[(2－p )2n +(3－p )3n ]2=[(2－p )2n+1+(3－p )3n+1][ (2－p )2n －1+(3－p )3n －1]，整理得61(2－p )(3－p )·2n ·3n =0，解得p =2或p =3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-300200210252720012000217521200122t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2＋100，所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5． ——10分综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (h c ，h )，E (x 0, y 0)，其中c=21|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0=λλ++-12c c = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ．设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =. 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得14222=-b h e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ． ② ——7分由①式得 14222-=e b h ， ③将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故 2312+-=e λ．——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。

2000年春季高考.北京、安徽卷.理科数学试题及答案

例系数为 k）．该地区电力的成本价为 0.3 元/kW·h． (Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系
式；
(Ⅱ)设 k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%？
（注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)）
(24)（本小题满分 14 分）
4p
第 8页（共 11页）
由OA⊥OB，得kOA ·kOB
16 p2 yA yB
1,
①
依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程
(yA
y B )(y
yA
)
4p(x
y
2 A
4p
),
②
由OM⊥AB，得直线OM方程
y
yA yB 4p
x
③
设点M(x, y)，则x, y满足②、③两式，将②式两边同时乘以 x , 4p
D．
1 2
tg(α
β)
＜tg
α
2
β
(13)已知等差数列{a n }满足a1 a 2 a 3 … a101 0, 则有
A．a1 + a101＞0 C．a 3 + a 99 = 0
B．a 2 + a100 ＜0 D．a51 51
[]
(14)已知函数f(x) = ax3 bx2 cx d的图象如右图, 则 [ ]
(9)D
(10)B
(11)A (12)D
(13)C
(ห้องสมุดไป่ตู้4)A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。
(15) 3 (16) 2 2
(17) 210
(18) ①, ④

2000年高考全国卷理科数学试题及答案

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6 （D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y＝－xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q （B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（A）2a （B）（C）4a （D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

(详细解析)2000年高考数学试题(全国旧课程)理科

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2nn +，则在映射f 下，象20的原象是A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】220nn +=，解得4n =．2．在复平面内，把复数3对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是A ．B ．-C 3iD ．3+ 【答案】B【解析】所求复数为1(3)[cos()sin()](3)()332i ππ-+-=-=-．3，这个长方体对角线的长是A ．B ．C ．6D ．6【答案】D【解析】设长、宽和高分别为,,a b c ，则2,3,6ab bc ac ===，∴6abc =，∴2,1,3a b c ===，∴对角线长2136l =++=．4．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 A ．若,αβ是第一象限角，则βαcos cos > B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则βαcos cos > D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ> 【答案】D【解析】用特殊值法：取60,30αβ=︒=︒，A 不正确；取120,150αβ=︒=︒，B 不正确；取210,240αβ=︒=︒，C 不正确；D 正确．5．函数cos y x x =-的部分图像是【答案】D【解析】函数cos y x x =-是奇函数，A 、C 错误；且当(0,)2x π∈时，0y <．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为252045+=元，所以选C ．7．若1a b >>，()1lg lg ,lg lg ,lg 22a b P a b Q a b R +⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，则 A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q << 【答案】B 【解析】方法一：()11lg lg (2lg lg )lg lg 22a b a b a b +>⋅=⋅lg 2a b ab +⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1lg lg 2a b +，所以B 正确．方法二：特殊值法：取100,10a b ==，即可得答案．8．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 A ．2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2cos 1ρθ=-D ．()2sin 1ρθ=- 【答案】C【解析】设圆上任意一点(,)M ρθ，直径为2，则2cos(1)θρ-=，即()2cos 1ρθ=-．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高2h r π=，2222(2)12(2)2S r r S r πππππ++==全侧．10．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A ．3y x = B ．3y x =- C ．x y 33= D ．x y 33-= 【答案】C【解析】圆的标准方程为22(2)1x y ++=，设直线的方程为0kx y -=，由题设条件可得2211k k -=+，解得33k =±，由于切点在第三象限，所以33k =，所求切线x y 33=．11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则qp 11+等于 A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y ⊥轴，即将14y a =代入抛物线方程得12x a=±， ∴114a p q+=．【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．12．如图，OA 是圆锥底面中心A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 A ．B ．1arccos 2C ．D ．【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂线AC ，垂足为C ，2cos ,cos cos OA r CA OA r θθθ===，∴2211(cos )3V r h πθ=，原圆锥的体积为2241122cos 33V r h V r h ππθ===，解得cos θ=θ=．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．【答案】252【解析】不同的出场安排共有3237252A A =．14．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是．【答案】(【解析】方法一：（向量法）设(,)P x y ，由题设120PF PF ⋅<u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +⋅-<，2220x c y -+<，又由22194x y +=得22449x y =-，代入2220xc y -+<并化简得225419x c<-=，解得55x -<<．方法二：（圆锥曲线性质）设(,)P x y ，∵3,2a b ==，∴5c =，又1533PF x =+， 253PF x =-，当12F PF ∠为钝角时，2221212PF PF F F +<，解得55x -<<．15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,...)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式是n a = ．【答案】n1 【解析】条件化为11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，∵0n a >∴1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a n a n +=+，累成得1n a n=．16．如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都．填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数21cos cos 1,2y x x x x =++∈R ．（I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图像可由sin ()y x x =∈R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．（Ⅰ）22111cos cos 1(2cos 1)cos )122444y x x x x x x =++=-+++1515cos 22(cos 2sin sin 2cos )4442664x x x x ππ=++=⋅+⋅+ 15sin(2)264x π=++． ——6分 y 取得最大值必须且只需22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Z ππ=+∈．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭| ——8分（Ⅱ）将函数sin y x =依次进行如下变换：（i ）把函数sin y x =的图像向左平移6π，得到函数sin()6y x π=+的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数sin(2)6y x π=+的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横纵坐标不变），得到函数1sin(2)26y x π=+的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数15sin(2)264x π=++的图像；综上得到函数213cos sin cos 12y x x x =++的图像． ——12分18．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1C CB ∠=160C CD BCD ∠=∠=︒．（I ）证明：1C C BD ⊥；（II ）假定132,2CD CC ==，记面1C BD 为α，面CBD 为β，求二面角BD αβ--的平面角的余弦值；（Ⅲ）当1CDCC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结11,A C AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴,AC BD BD CD ⊥=．又∵1111,BCC DCC C C C C ∠=∠=， ∴11C BC C DC ∆≅∆，∴11C B C D =， ∵ DO OB =，∴ 1C O BD ⊥， ——2分但1,AC BD AC C O O ⊥=I ，∴BD ⊥平面1AC ，又1CC ⊂平面1AC ，∴1CC BD ⊥． ——4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,AC BD C O BD ⊥⊥，∴1C OC ∠是二面角BD αβ--的平面角．在1C BC ∆中，1132,,602BC C C BCC ==∠=︒， ∴222133132()22cos60224C B =+-⨯⨯⨯︒=． ——6分∵30OCB ∠=︒，∴112OB BC ==．∴22211139144C O C B OB =-=-=，∴132C O =，即11C O C C =．作1O H OC ⊥，垂足为H ．∴ 点H 是OC的中点，且2OH =，所以11cos 3OH C OC C O ∠==． ——8分（Ⅲ）当11CDCC =时，能使1A C ⊥平面1C BD 证明一：∵11CDCC =，∴1BC CD C C ==，又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==．∴ 三棱锥1C C BD -是正三棱锥． ——10分设1A C 与1C O 相交于G ．∵11//A C AC ，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =．又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形1C BD 的中心，∴ CG ⊥平面1C BD ．即1A C ⊥平面1C BD ． ——12分证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵1AC ⊂平面1AC ，∴1BD A C ⊥． ——10分当11CDCC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同1BD A C ⊥的证法可得11BC A C ⊥，又1BD BC B =I ，∴1A C ⊥平面1C BD ． ——12分19．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0>a ．（I ）解不等式()1f x ≤；（II ）求a 的取值范围，使函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．【解】本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．（Ⅰ）不等式()1f x ≤1ax ≤+，由此得11ax ≤+，即0ax ≥，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2201a x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬-⎩⎭|；当1a ≥时，所给不等式的解集为{}0x x ≥|． ——6分（Ⅱ）在区间),0[+∞上任取12,x x ，使得12x x <．22121212()()()()f x f x a x x a x x -=-=-12()x x a =--． ——8分（ⅰ）当1a ≥1<0a -<，又12x x <，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >．所以，当1a ≥时，函数()f x 在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分（ii ）当01a <<时，在区间),0[+∞上存在两点12220,1ax x a ==-，满足1()1f x =，2()1f x =，即12()()f x f x =，所以函数()f x 在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当1a ≥时，函数()f x 在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分20．（本小题满分12分）（I ）已知数列{}n c ，其中23n nn c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ；（II ）设{}{},n n a b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明数列{}n c 不是等比数列．【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．（Ⅰ）因为{}1n n c pc +-是等比数列，故有21211()()()n n n n n n c pc c pc c pc +++--=--，将23n nn c =+代入上式，得112[23(23)]n n n n p +++-+221111[23(23)][(23(23)]n n n n n n n n p p ++++--=+-++-+， ——3分即21111[(2)2(3)3][(2)2(3)3][(2)2(3)3]nn n n n n p p p p p p ++---+-=-+-⋅-+-，整理得1(2)(3)2306n n p p --⋅⋅=，解得2p =或3p =． ——6分（Ⅱ）设{}{},n n a b 的公比分别为,,p q p q ≠，n n n c a b =+．为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅．事实上，2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++，222222221311111111()()()c c a b a p b q a p b q a b p q ⋅=++=+++．由于22,2p q p q pq ≠+>，又11,a b 不为零，因此2213c c c ≠⋅，故{}n c 不是等比数列． ——12分21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为3000200,()2300,200300;t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤． ——4分（Ⅱ）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =-即2211175020020022()17102520030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，， ——6分当0200t ≤≤时，配方整理得21()(50)100200h t t =--+，所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值100；当200300t <≤时，配方整理得21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间[200,300]上的最大值87.5． ——10分综上，由10087.5>可知，()h t 在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时50t =，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分22．（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点．当2334λ≤≤时，求双曲线离心率e 的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点,C D ，且以,A B 为焦点，由双曲线的对称性知,C D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记00(,0),(,),(,)2cA c C h E x y -，其中12c AB =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得00(2)2,12(1)1c c c h x y λλλλλλ-+-===+++．设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ac e =．由点,C E 在双曲线上，将点,C E 的坐标和ace =代入双曲线方程得 14222=-bh e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ． ② ——7分由①式得14222-=e b h ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故2312+-=e λ． ——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为． ——14分。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工类)

=
1 1 3 (2cos2x－1)＋＋ (2sinxcosx)＋1 4 4 4 1 3 5 1 5 π π cos2x＋ sin2x＋ = (cos2x·sin ＋sin2x·cos )＋ 4 4 4 2 6 6 4 1 5 π sin(2x＋ )＋ 2 6 4
——6 分
= =
y 取得最大值必须且只需 2 x＋
/hanlaoshi139 第 4 页共 12 页韩教练 13910305542
(21) (本小题满分 12 分) 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
王新敞
奎屯新疆
x2 y2 + = 1 的焦点为 F1 、 F2 ，点 P 为其上的动点，当 ∠F1 PF2 为钝角时，点 4 9
王新敞
奎屯新疆
P 横坐标的取值范围是________
(15) 设 {a n }是首项为 1 的正项数列，且 (n + 1)a n +1 − na n + a n +1 a n = 0 ( n =1， 2， 3， …)，
π⎞ ⎛ (B) ρ = 2 sin⎜θ − ⎟ 4⎠ ⎝
(D) ρ = 2 sin(θ − 1) )
(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( (A)
1 + 2π 2π
(B)
1 + 4π 4π
(C)
1 + 2π
π
(D)
1 + 4π 2π
(10) 过原点的直线与圆 x 2 + y 2 + 4 x + 3 = 0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 (A) y = 3 x (B) y = − 3 x (C) y = ( )

2000年普通高等学校招生全国统一考试说明(理科) 部分

２０００普通高等学校招生全国统一考试说明（理科）普通高等学校招生全国统一考试语文科说明Ⅰ．考试性质普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生参加的选拔性考试．高等学校根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取．因此，高考应有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．考试能力要求高考语文要求测试识记、理解、分析综合、应用和鉴赏评价五种能力，这五种能力表现为五个层级．Ａ．识记　指识别和记忆，是语文能力最基本的层级．Ｂ．理解　指领会并能作简单的解释，是在识记基础上高一级的能力层级．Ｃ．分析综合　指分解剖析和归纳整理，是在识记和理解的基础上进一步提高了的能力层级．Ｄ．应用　指对语文知识和能力的运用，是以识记、理解和分析综合为基础，在表达方面发展了的能力层级．Ｅ．鉴赏评价　指对阅读材料的鉴别、赏析和评说，是以识记、理解和分析综合为基础，在阅读方面发展了的能力层级．对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五个能力层级均可有难易不同的考查．Ⅲ．考试内容考试内容及相应的能力层级如下：一、语言知识和语言表达能识记基本的语言知识，掌握一定的语言表达技能．１．识记Ａ＊①识记现代汉语普通话的字音②识记现代汉字的字形２．应用Ｄ＊①正确使用标点符号②正确使用词语（包括成语）③辨析并修改病句（病句类型：语序不当、搭配不当、成分残缺或赘余、结构混乱、表意不明、不合逻辑）④扩展语句，压缩语段⑤选用、仿用、变换句式⑤语言的运用简明、连贯、得体⑦正确运用常见的修辞方法（常见修辞方法：比喻、比拟、借代、夸张、对偶、排比、设问、反问）二、文学常识和文学鉴赏能识记文学常识并初步鉴赏文学作品．１．识记　Ａ①识记中国重要作家的时代及代表作②识记外国重要作家的国别及代表作③识记文学体裁常识２．鉴赏评价　Ｅ①鉴赏文学作品的形象、语言、表达技巧③评价文学作品的思想内容三、文言文阅读能阅读浅易的文言文．１．理解　Ｂ①理解常见实词在文中的含义②了解常见文言虚词在文中的用法（常见文言虚词：安、但、而、耳、故、何、乎、或、既、乃、其、且、然、若、虽、遂、所、为、焉、也、以、已、矣、因、犹、于、哉、则、者、之）③理解与现代汉语不同的句式和用法（不同的句式和用法：判断句、被动句、疑问句、宾语前置、成分省略和词类活用）④理解并翻译文中的句子２．分析综合Ｃ①筛选并提取文中的信息③归纳内容要点，概括中心思想③分析概括作者在文中的观点态度四、现代文阅读能阅读一般社科类、科技类文章和文学作品．１．理解Ｂ①理解词语在文中的含义②理解文中重要的句子③辨别和筛选文中重要的信息２．分析综合　Ｃ①分析归纳文章的内容要点和中心思想②分析文章的结构层次和表现形式③分析概括作者在文中的观点态度３．鉴赏评价Ｅ①鉴赏文学作品的形象、语言、表达技巧②评价文章的思想内容和作者的观点态度五、写作能写记叙文、议论文、说明文及＊常用应用文．作文考试的要求分为基础和发展两个等级．１．基础等级Ｄ①符合题意②符合文体要求③思想健康，中心明确，内容充实④结构完整，语言通顺⑤书写规范，标点正确２．发展等级Ｄ①深刻透彻（如：透过现象深入本质，揭示问题产生的原因，预感事物发展的趋向和结果）②生动形象（如：善于运用各种表达方式，形象丰满，细节生动，意境深远）③有文采（如：用词生动，词语丰富，句式灵活，善于运用修辞的手法，文句有意蕴）④有创新（如：构思精巧，推理想象有独到之处，材料新鲜，见解新颖，有个性特征）注：加＊的内容，不列入２０００年度考试范围．Ⅳ．考试形式及试卷结构答卷方式：闭卷，笔试．试卷共有２８道题，满分为１５０分．考试限定用时为１５０分钟．采用人工阅卷的省、自治区、直辖市使用“常规卷”；采用机器阅卷的省、自治区、直辖市使用“分卷”．“分卷”包括Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为单项选择题，占６０分；试卷类型有Ａ、Ｂ两种，每个考生只答一种．第Ⅱ卷为除单项选择题以外的其他题型，占９０分．试卷内容、题量、赋分分别如下：１．语言知识和语言表达（一），６题，１８分２．文学常识和文学鉴赏，４题，１２分３．文言文阅读，６题，１８分４．现代文阅读（一），４题，１２分５．现代文阅读（二），４题，１８分６．语言知识和语言表达（二），３题，１２分７．写作，１题，６０分各类题型的占分比例如下：１．单项选择题约４０％２．多项选择题３．填空题（文字、线条、符号、图表）约６０％４．简答题５．作文普通高等学校招生全国统一考试数学科说明Ⅰ．考试性质普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生参加的选拔性考试．高等学校根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取．因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．考试要求《２０００年普通高等学校招生全国统一考试说明（理科）》数学科部分的考试内容是依据原国家教育委员会１９９０年颁布的《全日制中学数学教学大纲（修订本）》和有关中学数学教学的调整意见制定的．数学科考试的宗旨是：测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．考试内容以原国家教育委员会１９９０年颁布的《全日制中学数学教学大纲（修订本）》高中阶段的教学内容为主，分为代数、立体几何、平面解析几何三个分科．根据《全日制中学数学教学大纲（修订本）》的规定，高中阶段的必学内容与选学内容的“反三角函数和简单三角方程”、“参数方程和极坐标”合在一起，是理工农医类的数学试题的命题范围．关于考试内容的知识要求和能力要求作如下说明：１．知识要求对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求．（１）了解：要求对所列知识内容有初步的、感性的认识，知道有关内容，并能在有关的问题中直接应用．（２）理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题．（３）灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．２．能力要求（１）逻辑思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推断；能准确、清晰、有条理地进行表述．（２）运算能力：会根据概念、公式、法则，进行数、式、方程的正确运算和变形；能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计，并能进行近似计算．（３）空间想象能力：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．（４）分析和解决问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．３．对知识和能力的考查注意如下几点：（１）对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合．重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体．学科的内在联系，包括代数、立体几何、平面解析几何三个分科之间的相互联系及在各自发展过程中，各部分知识间的纵向联系．知识的综合性，则是从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题．（２）数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．（３）对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，切合考生的实际．运算能力是思维能力与运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和逻辑推理的考查．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理与图形的变换都要注意与推理相结合．分析问题和解决问题的能力是上述三种基本数学能力的综合体现．对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础，加强思维品质的考查，对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际．（４）数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，在强调综合性的同时，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查．Ⅲ．考试内容一、代数１．幂函数、指数函数和对数函数考试内容集合．子集、交集、并集、补集。